COMUNICACIONES SOBRE LA TEORÍA DE LOS TRANSFINITOS G

COMUNICACIONES SOBRE LA TEORÍA DE LOS
TRANSFINITOS
POR
G. CANTOR
de Halle a. S.
Traducción y comentarios por J. Bares y J. Climent.
En el presente trabajo, motivado por determinados trabajos antiguos y
recientes escritos contra la posibilidad de los números infinitos, he intentado delimitar las cuestiones que se refieren al infinito actual según sus más
[elevadas decisiones], desde el punto de vista más general, para ganar de
este modo una visión de conjunto de las principales posiciones que pueden
tomarse en relación a este objeto. Habrı́a que distinguir en tres respectos el
infinito actual (IA): en primer lugar en tanto que se realiza en la más alta perfección, en el ser completamente independiente, trascendente, in Deo,
donde yo lo llamo infinito absoluto o brevemente absoluto; en segundo lugar
en tanto que está presente en el mundo dependiente, de las criaturas; en tercer lugar, en tanto que puede ser concebido in abstracto por el pensamiento
como extensión matemática, número o tipo de orden. En los dos últimos respectos, donde claramente se representa como un IA limitado, aunque capaz
de un incremento ulterior, en tanto que emparentado con lo finito, lo llamo
transfinito lo contrapongo de la manera más enérgica a lo Absoluto.
En cada uno de estos tres respectos puede afirmarse o negarse la posibilidad del infinito actual, de aquı́ se siguen en conjunto ocho diferentes puntos
de partida, que han sido en su totalidad sostenidos en la filosofı́a, y de los
cuales yo tomo aquel que es incondicionalmente afirmativo, en relación a
los tres respectos.
Incumbe especialmente a la teologı́a especulativa investigar el infinito absoluto y determinar lo que humanamente puede ser dicho de él, de la misma
manera que las cuestiones que se dirigen al transfinito recaen por otra parte
principalmente en los dominios de la metafı́sica y de la matemática y es de
ellas de las que me he ocupado preferentemente desde hace años.
Puesto que tuve la suerte de mantener correspondencia con varios sabios,
que han dedicado un interés [amistoso] a mis trabajos, y se me ha dado la
ocasión en este caso de explicar y aclarar lo hasta ahora publicado de una
manera más comprensible para todos, creo tener en este material procedente
de un intercambio de pensamientos vivo, puntos de relación para ulteriores
trabajos que interesen a un público amplio. Quisiera por ello en primer lugar
en lo que sigue publicar varias de estas cartas escritas por mi, sin efectuar
cambios esenciales en ellas. Donde a pesar de todo, ello me parezca necesario,
[me propongo] dar las explicaciones pertinentes en notas al texto.
A las cartas I, III, IV y VIII quisiera hacerlas preceder con lo siguiente
como introducción.
A I y VIII. Aquı́ se encuentra la concepción de los números enteros y
los tipos de orden como universales, que se refieren a conjuntos, y que se
obtienen de ellos, cuando se hace abstracción de las propiedades de los elementos. Esta concepción la he sostenido desde hace unos cuatro años, y la
1
2
he expuesto muchas veces en mis lecciones universitarias. Todo conjunto de
cosas bien diferenciadas puede se considerado como una cosa unitaria por
sı́ misma, en la cual aquellas cosas son partes o elementos constitutivos. Si se
abstrae tanto las propiedades de los elementos como también el orden en que
se dan, entonces se obtiene el número cardinal o la potencia del conjunto, un
concepto general, en el que los elementos, como las llamadas unidades, están
en cierto modo [compenetrados] entre sı́ orgánicamente en un todo unitario,
tal que ninguno tiene una relación de rango privilegiada con respecto a los
demás. A partir de aquı́ se obtiene [en una consideración detenida] que a
dos conjuntos diferentes les corresponde uno y el mismo número cardinal si,
y sólo si, son uno con respecto al otro lo que yo llamo equivalentes, y no hay
ninguna contradicción si, dado que esto sucede a menudo entre conjuntos
infinitos, dos conjuntos, de los cuales uno es una parte o una componente
del otro, tiene un número cardinal completamente idéntico. En la incomprensión de este hecho veo el obstáculo principal que se ha presentado a la
introducción de los números infinitos desde los antiguos.
[Si este acto de abstracción se efectúa en un conjunto dado, ordenado
según uno o varios [respectos] (dimensiones) sólo en relación a las propiedades
de los elementos de tal manera que el orden jerárquico en el que están unos
con respecto a otros, también se sigue manteniendo en el concepto general,
que de este modo en cierta manera llega a ser una configuración orgánica
unitaria, procedente de diferentes unidades, que mantienen un determinado
orden jerárquico, en una o en varias direcciones, entonces se tiene con esto
un cierto universal que he llamado en general tipo de orden o número ideal,
pero en el caso particular de conjuntos bien ordenados número ordinal ]1; esto
último coincide por completo con lo que antes [Fund. de una Teorı́a General
de la Multiplicidad] llamé “cantidad [Anzahl] de un conjunto bien ordenado”.
A dos conjuntos ordenados les corresponde uno y el mismo tipo de orden si,
y sólo si, están entre ellos en relación de semejanza o conformidad, relación
que será definida [estrictamente].
Aquı́ se han descubierto las raı́ces, a partir de las cuales se desarrolla con
necesidad lógica el organismo de la teorı́a de los tipos transfinitos o teorı́a
de los número ideales y en especial de los números ordinales transfinitos, la
cual espero poder publicar pronto en forma sistemática.
En una recensión que hube de entregar al “Deutsche Literaturzeitung”,
formulé las determinaciones de número cardinal y ordinal como sigue: “Llamo potencia de un agregado o de un conjunto de elementos (donde éstos
últimos pueden ser del mismo o de diferente tipo, simples o compuestos) a
aquel concepto general, bajo el cual caen todos los conjuntos que son equivalentes al conjunto dado, y sólo ellos. Dos conjuntos se llaman en este caso
equivalentes si se pueden coordinar entre sı́ recı́procamente de modo unı́voco, elemento [por] elemento. Otra cosa es lo que llamo ‘[cantidad] o número
ordinal’, la atribuyo sólo a “conjuntos bien ordenados”, y en concreto entiendo por la ‘[cantidad] o el número ordinal de un conjunto bien ordenado
dado’ aquel concepto general, bajo el cual caen todos lo conjuntos bien ordenados, que son semejantes al dado, y sólo estos. Llamo “semejantes” a
dos conjuntos bien ordenados si se pueden aplicar uno en el otro recı́proca,
1Cf. Gutberlet: Das Problem des Unendlichen. Z. Philos. u. philo. Krit. vol. 88, p. 183.
3
unı́voca y completamente, bajo la [salvaguardia] de la sucesión de los elementos dada en ambos [lados]. En los conjuntos finitos coinciden en cierto
modo los dos momentos ‘potencia’ y ‘[cantidad]’ porque un conjunto finito
en toda ordenación de sus elementos tiene como conjunto ‘bien ordenado’
uno y el mismo número ordinal. Por el contrario, en los conjuntos infinitos
sale a la luz la diferencia entre ‘potencia’ y ‘número ordinal’ de la manera
más [enérgica], como ha sido mostrado en mi [articulito] ‘Fundamentos de
una Teorı́a General de la Multiplicidad’, Leipzig, 1883.
Tanto los números cardinales como los tipos de orden son configuraciones
conceptuales simples; cada uno de ellos es una verdadera unidad (monˆc),
porque en él está reunida unitariamente una pluralidad y multiplicidad de
unidades.
Los elementos del conjunto M que se nos presenta han de representarse
separadamente; en la imagen intelectual M del mismo (Vid. cap. VIII, nr. 9
de este artı́culo), a la que llamo su tipo de orden, están por el contrario las
unidades reunidas en un organismo. En cierto sentido se puede contemplar
todo tipo de orden como un compuesto de materia y forma; las unidades
contenidas en él, diferenciadas conceptualmente proporcionan la materia,
mientras que el orden que se mantiene entre ellas es lo correspondiente a la
forma.
Si nos fijamos en la definición de número cardinal finito en Euclides, debe
reconocerse en primer lugar, que él refiere el número, al igual que hacemos
nosotros, de acuerdo con su verdadero origen, a los conjuntos, y que no
viene a hacer del número un mero “signo”, que se adjunte por un proceso
de contar subjetivo a las cosas particulares. Se dice en sus Elementos, libro
VII: monˆc âstin, kaj' £n ékaston tw̃n ïntwn ãn lègetai y ‚rijmòc dà tä âk
monˆdwn sugkeÐmenon plh̃joc.
Pero luego me parece, sin embargo, que se representa las unidades en el
número tan separadas, como los elementos en el conjunto discreto al que se
refieren. Al menos falta en la definición euclı́dea la indicación expresa del
carácter unitario del número que le es completamente esencial 2
2La necesidad subrayada aquı́, de ver acentuado el carácter orgánico e intraunitario del
número, parece [atenderla] más Nicómaco, cuando en su obra (Arith. intr. I, 7, 1) dice:
‚rijmòc âsti plñhjoc, ²rismènon « monˆdwn sÔsthma « posìthtoc qÔma(de qèw , fluir)
âk monˆdwn sugkeÐmenon. Y Boecio, inst. arith. I, 3, dice: “numerus est unitatum collectio, verl quantitatis acervus ex unitatibus profusus”. Leibniz, en el año 1666 en el escrito
Dissertatio de arte combinatoria, en el proemio, cuando estaba aún próximo a los
comienzos de su evolución en filosofı́a, se expresa de la siguiente manera: “omnis relatio
auto es unio aut convenientia. In unione autem res, inter quas ahec relatio est, dicuntur partes, sumtae cum unione, totum. Hoc contingit quoties plura simul tanquam unum
supponimus. Unum autem esse intelligitur quicquid uno actu intellectus, s. simul, cogitamus, v.g. queadmodum numerum aliquem quantumliber magnum, saepe caeca quadam
cogitatione simul aprehendimus, cypjras mempe in charta legendo, cui explicate intuendo
ne Methsalae quidem aetas suffectura sit. Abstractum autem ab uno es unitas, ipsumque
totum abstractum exunitatibus seu totalitas dicitur numerus”. Ya desde tres años antes se
encuentra en una carta del mismo autor a Thomasius (ed. Erdmann, p. 53) la explicación
dudosa:“numerum definito unum, et unum, et unum etc., seu unitates”. La adición de
unidades no puede sin embargo servir nunca para definir el número, porque aquı́ la indicación del asunto principal, a saber, cuántas veces deben añadirse las unidades, no puede
conseguirse sin el número mismo que hay que definir. Esto demuestra que el número,
[conseguido] por medio de un acto de abstracción, sólo puede explicarse como una unidad
4
No es superficial que yo destaque que el concepto de número ordinal, como
ha sido determinado previamente, no coincide por completo en el caso de
los números ordinales finitos con el concepto de lo que se suele denominar
“[nombres] de los números ordinales” (primero, segundo, etc); estos no son
otra cosa que denominaciones para el rango jerárquico de los elementos de un
conjunto bien ordenado y se obtienen sin más a partir de nuestros números
ordinales, en tanto el último elemento de un conjunto finito bien ordenado
es denotado como el n-simo en la sucesión de que se trata, si n representa
el número ordinal que corresponde a ese mismo conjunto bien ordenado.
Mientras que ası́ a partir de mi punto de partida los “[términos] de los
números ordinales” se obtienen como lo último y lo más inesencial en la
teorı́a cientı́fica de los números, éstos han sido tomados en dos trabajos
recientemente publicados como punto de partida para el desarrollo del concepto de número. Esto ha sucedido en los dos trabajos, que el Sr. H.v. Helmholtz y el Sr. L. Kronecker han hecho imprimir en la colección “Philosophische Aufsatze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doktor-Jubiläum
gewidtmet. Leipzig, bei Fues, 1887”3. Defienden el punto de partida empirista y psicologista con una rigidez, que no se podrı́a [tener por posible] si no
fuera porque se nos enfrenta aquı́ dos veces [incorporada en carne y hueso].
Podrı́a creerse que serı́a erróneo que la oposición entre estas concepciones
y la mı́a vendrı́a a ser la del nominalismo o conceptualismo por una parte,
frente al realismo aristotélico mesurado que yo defiendo, por la otra; más
aún, es altamente instructivo convencerse de que en estos dos investigadores
los números deben ser en primera instancia signos, pero no en general signos
de conceptos que se refieren a conjuntos, sino signos de las cosas particulares contadas en el proceso subjetivo de numerar. Se comprende por ello por
sı́ mismo que, frente a mi punto de partida, el pensamiento de estos trabajos
se muestre como un completo hysteron-proteron.
Justamente en una tal oposición están sin embargo también las concepciones que se refieren a los números, que encontramos en la antigüedad griega,
no sólo entre los filósofos, sino también entre los matemáticos. La definición
antes citada de Euclides es una prueba de esto, y esto no necesita apenas
ser señalado en relación a Platón y Aristóteles.
Sin embargo, sea cual sea la posición que se tome también frente a los
antiguos, a cualquiera le parecerı́a en principio altamente inverosı́mil que los
mejores de entre ellos pudieran haberse alejado mucho de la verdad en las
orgánica de unidades. De aquı́ se sigue además, cuán fundamentalmente falso es, querer
hacer dependiente al concepto de número del concepto del tiempo o de la llamada intuición
temporal. Esto se ha visto muchas veces en la filosofı́a más reciente desde su desarrollo
por parte de Kant: por ejemplo, Sir William Rowan Hamilton ha explicado la aritmética
como “the science or pure time”, y muchos otros hacen lo mismo. Podrı́an exactamente
con los mismos derechos hacer pasar a cualquier otra ciencia, p. ej. la geometrı́a, por “the
sc. of pure time”, porque en la formación de conceptos geométricos o de cualesquiera otros
no estamos menos [referidos] subjetivamente al “tiempo” como la forma de existencia de
esta vida no trascendente que en la adquisición de los conceptos aritméticos.
3Ambos autores llaman “número ordinal” a lo que yo llamo “[término] de un número
ordinal”, mientras que en mis trabajos el término “número ordinal” tiene otra significación.
Yo traducirı́a mi “número ordinal” por “numerus ordinarius”, y por el contrario “[término]
de un número ordinal” por “nota ordinalis”. Estas notae ordinales son lo que según los
dos autores mencionados debe determinar la esencia de los números
5
cosas más simples, determinadas y más generalmente conocidas, y que por
primera vez en el siglo XIX d.J.C. hubiera aparecido el conocimiento correcto
sobre este objeto. Y, por otra parte, hubo por cierto también en el [tiempo
pretérito horrible [grauen,¿canoso, en el sentido de antiguo?] una secta], la
cual es recordada [vivamente] por los trabajos de los señores v. Helmholtz y
Kronecker, es la antigua skepsis, y remito sobre esto, por lo que se refiere en
particular a los números, a las Hipotiposis pirrónicas de Sexto Empı́rico, Lib.
3, cap. 18. Con todo, también del “siglo de la ilustración”, que ha ejercido
en el espı́ritu de la noble y sabia Academia [un tan persistente, siempre
duradero influjo], hay que señalar una obra excelentemente elaborada, que
ha sido incluso escrita por un miembro de la Academia Berlinesa de las
Ciencias:
Louis Bertrand, Développement nouveau de la partie élémentaire des Mathématiques (Génova, edición a costa del autor, 1778).
La portada de este escrito en dos tomos muestra un grabado en cobre;
en primer plano un pastor, que examina a su rebaño que vuelve a [casa], al
fondo un cazador, cuya flecha vuela a través del [extenso espacio]; a esto se
refiere el Motto: Tu pastor numeros, extesi tu rationes Pandito Venator.
El primer capı́tulo comienza inmediatamente ası́: “En los comienzos, los
hombres fueron cazadores o ganaderos. Estos últimos fueron los primeros
que tuvieron la ocasión de contar ; era importante para ellos no perder sus
animales, y por ello necesitaban asegurarse al anochecer de que todos hubieran vuelto de pastar: el que no tuviera más que cuatro o cinco, habrı́a podido
ver de un golpe de vista si todos habı́an vuelto; pero un golpe de vista no
habrı́a sido suficiente para el que hubiera tenido veinte. Considerando, por
lo tanto, a estos animales volviendo los unos tras los otros, habrı́a imaginado
una sucesión de palabras en número semejante, y guardando estas palabras
en su memoria las habrı́a repetido al dı́a siguiente a medida que sus animales volvı́an; para estar seguro, si éstos hubieran acabado de entrar antes de
que él hubiera acabado sus palabras, de que le quedaban tantas palabras por
pronunciar, como animales le faltaban, etc”.
Se ve que es, mutatis mutandis, el mismo principio de los numeros que en
los Sres. v. Helmholtz y Kronecker; no se trata por lo tanto aquı́ de algo nuevo, sino sólo, como tantas veces, de nuevo de ”una antigua y menospreciada
verdad”(Ben Akiba).
Por lo demás aparece también en ambos sabios abiertamente el [motivo
enemigo] contra el infinito actual, y puesto que, como es sabido, los mismos
números irracionales “finitos” sin un uso [decidido] de conjuntos actualmente
infinitos no pueden fundamentarse de manera cientı́ficamente rigurosa4, los
esfuerzos de ambos se han dirigido, por ejemplo en el caso del Sr. Kronecker,
a hacer por completo “innecesarios” y superfluos los números irracionales
generalmente reconocidos desde Pitágoras y Platón con la ayuda de teorı́as
subsidiarias apropiadas para ellos más [aparentes], artificiosamente pensadas5–en lugar de investigarlos y explicarlos como es natural. Ası́ vemos a la
4Cf. mis “Grundlagen”, p. 21, y el último capı́tulo de mi trabajo en Bib. till K.Sv.
Vet.-Akad. Hdl. 11, nr. 19.
5Cf. Kronecker: Crelles J. 99,336, y Molks, Abhandlung in Acta math. 6.
6
en la actualidad dominante y potente skepsis académico-positivista surgida en Alemania como reacción contra el excesivamente extendido idealismo
Kant-Fichte-Hegel-Schellingniano, por fin también situada [angelangt] en la
aritmética, donde parece extraer las últimas conclusiones que aún le es posible extraer, con la más extrema consecuencia, para sı́ misma quizás fatal.
Pues, ¿qué podrı́a faltarle aún, tras el despliegue de una tal perspicacia y
de tales fuerzas, para su perfección?
No entra en mis intenciones realizar una valoración detallada de ambos
trabajos; puede suponerse que, correspondientemente a la dignidad de sus
autores, también otros pueden tomarlos en consideración y examinarlos.
Permı́taseme sólo realizar aún unas pocas observaciones.
El trabajo del Sr. Kronecker (Philos. Aufsätze, p. 263) se limita a los elementos de la teorı́a de los números, pero está estrechamente interrelacionado
con sus anteriores investigaciones algebraicas y en teorı́a de los números y
por ello también desde luego sólo puede ser valorado completamente en este
contexto. Algunas indicaciones del trabajo dan [espacio a la expectativa]
de que la teorı́a habrá de ser continuada in extenso posteriormente. Sólo
entonces se podrá emitir un juicio concluyente sobre su sistema, cuando se
muestre construida la relación de sus números con la geometrı́a y la mecánica. En tanto que éste no es el caso a cualquiera se le permitirá [una duda]
sobre la utilidad de su teorı́a. Creo incluso poder pronosticar sin lugar a
dudas que no le será posible, con la “reserva idea” (p. 266) de sus “denotaciones” “describir completamente y del modo más simple” la “reserva de
puntos actualmente infinita” (este modo de expresión se refiere a G. Kirchhoff, Vorl. üb. math. Phys., 1. Volf.; Kronecker, Crelles J., Vols. 92, pág. 93)
y ciertamente esta convicción mı́a se corresponde con que en el año 1873
demostré que la potencia de un continuum es más elevada que la potencia
del agregado de todos los números finitos y enteros (Cf. Crelles J., vol. 77,
pág. 258 ss.)
En la introducción del artı́culo de Kronecker (Phil. Aufs. pág. 264) se
imprime un pequeño poema [parodiado de Schiller] (Arquı́medes y el jovencito), que está dedicado al “número eterno”. Si como aquı́ y en el trabajo de
V. Helmholtz, la [significación] fundamental de los números ha de reducirlos
a meros “signos de números”, entonces no puede, para mı́, iluminar correctamente su relación con la “eternidad”, porque ante esta palabra siempre tengo
en mente la insuperada definición de Boecio (De consolatione philosophiae,
libr. 5, prosa 6).
Para concluir señalo que la demostración del teorema principal (p. 268)
en la argumentación de Kronecker no me parece que sea rigurosa; debe
mostrarse allı́ que la “[cantidad]” [enumeración] es independiente del orden
que se [persigue] en los números. Si se sigue estrictamente la demostración,
se encuentra, que en ella [el mismo teorema en otra forma se presupone y es
usado, el que debe ser demostrado, está presente por lo tanto el pasar por
alto una petitio principii.]
En esta ocasión quisiera permitirme corregir otra inadvertencia que el Sr.
Kronecker ha cometido frente a mi [eterno] amigo y colega Eduard Heine.
A este último se le hace en Crelles J., vol. 74, año 1886 principalmente responsable de la teorı́a de los números irracionales que desarrolla en el trabajo
7
“Elementos de la teorı́a de funciones”, Crelles J., vl. 74, año 1872, sobre la
base del concepto de “sucesión fundamental” (a la cual el sr. Heine llama
“sucesión de números”), aunque el sr. Heine en la introducción de su trabajo
ha dicho expresamente, que él ha“tomado prestado” los pensamientos fundamentales de mı́, y que me está obligado por“comunicaciones orale”, que ha
ejercido un “influjo importante” en la configuración de su trabajo. Al mismo
tiempo apareció un trabajo mı́o en el vol. 5 de los “Anales matemáticos” en
el mismo año 1872 bajo el tı́tulo: “Sobre la extensión de un teorema de la
teorı́a de las sucesiones trigonométricas” en el que desarrollé abreviadamente los puntos esenciales de mi teorı́a de los números irracionales; y también
he vuelto más tarde en los “Fundamentos” p. 23 sobre este tema. Debo por
lo tanto asumir para mı́ la responsabilidad por la teorı́a tan duramente atacada por el sr. Kronecker, en la medida en que descargo con ella al [buen] sr.
Heine de la presunta acusación principal atribuida a él por el sr. Kronecker.
Ad III y IV. Desde la parte teológica se me ha objetado que aquello que
yo he llamada transfinito en la natura naturata (Cf. esta rev. vol. 88, p.
227),[“no se puede defender, y en un cierto sentido. que sin embargo yo “no
parezco dar al concepto”] “estarı́a contenido el error del panteı́smo”. A esta
duda respondı́a con la carta III, a propósito de la cual experimenté el placer
de un escrito detallado dirigido a mı́, el cual me permito aquı́ imprimir
literalmente, dejando [caer] algunos epı́tetos de carácter cortés.
Se me contestó lo siguiente a la carta III:
“En su artı́culo “Sobre el problema del infinito actual”, observo para mi
satisfacción, cómo Vd. distingue muy bien el infinito absoluto y lo que Vd.
llama el infinito actual en lo creado. Puesto que Vd. [] explica expresamente
como un aún incrementable (naturalmente al infinito, i.e., sin poder llegar a
ser respectivamente un [no más incrementable]), y lo contrapone al Absoluto
como un“esencialmente inincrementable”, lo que por supuesto debe ser válido también de la posibilidad o imposibilidad de la disminución o el defecto;
ası́ son conceptos, el del infinito absoluto y el del infinito actual en lo creado
o transfinito esencialmente diferentes, de tal manera que en la comparación
de ambos sólo el primero puede caracterizarse como propiamente infinito.
Entendido ası́, no reside, hasta donde yo veo hasta ahora, en su concepto del
Transfinito ningún peligro para las verdades religiosas. Sin embargo, en un
punto va usted con total seguridad errado contra la verdad indudable; pero
este error no se sigue de su concepto del transfinito, sino de su concepción
defectuosa de lo Absoluto. En su valioso escrito dirigido a mı́ dice Vd. por
ejemplo, en primer lugar, correctamente, que (se supone que su concepto
de lo transfinito no es meramente teológicamente inofensivo, sino también
verdadero, acerca de lo cual yo no juzgo)[que] un [movimiento] parte del
concepto de Dios y acaba en primer lugar desde la más alta perfección de
la esencia divina hasta la posibilidad de la creación de un transfinitum ordinatum. Suponiendo que su transfinito actual no contenga en sı́ ninguna
contradicción, su deducción de la posibilidad de la creación de un transfinito
a partir del concepto de la omnipotencia divina es completamente correcta.
Sólo que a mi pesar Vd. sigue adelante y deduce ‘de su completa bondad y
poder la necesidad de una creación de lo transfinito que realmente ha tenido
lugar’. Precisamente porque Dios es en sı́ el bien absolutamente infinito y el
8
poder absoluto, un bien y un poder que no pueden crecer ni decrecer, es la
necesidad de una creación, [que pudiera ser siempre], una contradicción, y
es la libertad de la creación una perfección tan necesaria de Dios, como todas sus demás perfecciones, o mejor, la perfección infinita de Dios es (según
nuestras necesarias diferenciaciones), tanto libertad como omnipotencia, sabidurı́a, justicia, etc. Tras su deducción de la necesidad de una creación de lo
transfinito deberı́a Vd. de haber ido mucho más lejos. Su transfinito actual
es incrementable; ahora bien, si la bondad y el poder infinitos de Dios exigen en general con necesidad la creación de lo transfinito, entonces se sigue,
exactamente por el mismo motivo de la infinitud de su bondad y poder, la
necesidad del incremento, hasta que no hubiera nada más incrementable,
lo que contradice su propio concepto de lo transfinito. Con otras palabras:
quien deduce la necesidad de una creación de la infinitud de la bondad y el
poder de Dios, debe afirmar que todo lo creable ha sido realmente creado
desde la eternidad, y que ante los ojos de Dios no hay nada posible que su
omnipotencia pudiera llamar a la existencia. Esta infeliz opinión suya de la
necesidad de la creación le será también muy embarazosa en su refutación
de los panteı́stas y al menos debilitará la fuerza de convicción de sus demostraciones. Me he detenido tanto en este punto, porque deseo de todo corazón
que su sagacidad se libre de un error tan pasado, en el que desde luego han
caı́do tantos otros, incluyendo a algunos que se creı́an creyentes ortodoxos”.
Coincido por completo con todo lo que se establece en este escrito, como
se desprende de las pocas lı́neas que se han escrito en el apartado V. Luego,
puesto que para mı́ la absoluta libertad de Dios está fuera de cuestión, la
“necesidad” en el lugar correspondiente de la carta IV no fue comprendida
por mı́ del modo que aquı́ se supone y combate con razón. Sin embargo,
una vez que uno se familiariza con más precisión con el sentido correcto de
mi argumentación, entonces parece, como explicaré en una ocasión ulterior,
que la demostración apriorı́stica de la creación [sucedida] de hecho indicada
a modo de ensayo en IV requiere de una amplia demostración y prueba.
I.6
Por potencia o número cardinal de un conjunto M (que consiste en los
elementos bien diferenciados y conceptualmente separados m, m0 ,. . . , y que
por eso está determinado y delimitado) entiendo el concepto general y el
concepto genérico (universal) que se obtiene cuando se hace abstracción en
el conjunto tanto de las caracterı́sticas de sus elementos, como de todas las
relaciones que tienen los elementos, ya entre sı́, ya con otras cosas, luego
en particular también del orden que podrı́a dominar entre los elementos,
y sólo se piensa en aquello que es común a todos los conjuntos que son
6Esta carta fue escrita hace tres años, el 15 de feb. de 1884, al Sr. Prof. Dr. Kurd Laßwitz
en Gotha. Reproduce en lo esencial el contenido de una conferencia que dicté en septiembre
de 1883 en la sección matemática de la asamblea de investigadores de la naturaleza en
Friburgo (Baden). Como consecuencia de esta conferencia recibı́ poco tiempo después una
carta del Sr. R. Lipschitz (al que mencioné en Z. Philos. u. philos. Krit.. n. 88, p. 225), en
la que este excelente matemático me llamaba la atención hacia la correspondencia (del 12
de julio de 1831) entre Gauss y Schumacher, en la que Gauss se expresaba contra cualquier
introducción del infinito actual en la matemática.
9
equivalentes con M . Llamo, sin embargo, a dos conjuntos M y N equivalentes
si pueden ponerse en correspondencia elemento por elemento recı́proca y
unı́vocamente. (Cf. Crelles Journal, vol. 84, p. 242). Por eso uso también
la expresión más breve valencia para la potencia o el número cardinal. De
conjuntos de la misma valencia digo, que pertenecen a la misma clase de
potencia. Valencia de un conjunto M es por lo tanto un concepto general,
bajo el cual está situados todos los conjuntos de la misma clase que M y
sólo ellos.
Una de las tareas más importantes de la teorı́a de conjuntos, que creo
haber resuelto en lo principal en el trabajos “Fundamentos de una teorı́a
general de las multiplicidades”, Leipzig, 1883, consiste en la exigencia de
determinar las diferentes valencias o potencias de las multiplicidades que
presentan en el conjunto de la naturaleza, en la medida en que ella se abre a
nuestro conocimiento; esto lo he conseguido a través de la formación del concepto general de enumerable de conjuntos bien ordenados, o lo que significa
lo mismo, del concepto de número ordinal.
La definición de lo que entiendo por un conjunto bien ordenado M, se
encuentra en los “Fundamentos”, p. 4.
A dos conjuntos bien ordenados M y R los llamo del mismo tipo o también
semejantes entre sı́ si se pueden relacionar recı́proca y unı́vocamente de una
manera tal que si m y m0 son cualesquiera dos elementos del primero, y n y
n0 los elementos correspondientes del segundo, entonces la relación de rango
de m0 a m es la misma que la relación de rango de n0 a n. Digo también de
dos conjuntos bien ordenados M y R de este tipo que son respectivamente
enumerables [ojo, abzälbar].
Ası́, por ejemplo, los conjuntos bien ordenados
(a, a0 , a00 ) y (b, b0 , b00 )
ası́ como también los conjuntos bien ordenados
(a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ...) y (b, b0 , b00 , ..., b(ν) , ...)
y también
(a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ..., c, c0 , c00 ) y (b, b0 , b00 , ..., b(ν) , ..., d, d0 , d00 )
son del mismo tipo, o, lo que quiere decir lo mismo respectivamente enumerables.
Por enumerable o número ordinal de un conjunto bien ordenado M entiendo el concepto general (concepto genérico, universal), que se obtiene cuando
en el conjunto bien ordenado M se hace abstracción de las caracterı́sticas y
relaciones de sus elementos y sólo se piensa en su orden jerárquico, por el
que los elementos están en relación entre sı́; el enumerable o número ordinal
de M es por lo tanto común a todos los conjuntos bien ordenados del mismo
tipo, en cierto modo, aquel que es inmanente a todos ellos. Aquı́ nos sale
al paso la tarea de determinar los números ordinales o enumerables de los
conjuntos bien ordenados que se presentan en la naturaleza y diferenciarlos adecuadamente con la ayuda de signos apropiados. A ello conducen las
siguientes definiciones y teoremas:
Sean M y N cualesquiera dos conjuntos bien ordenados, y α y β los
números ordinales que les pertenecen; se tiene siempre que
10
M reunido con el R que le sigue
es a su vez un conjunto bien ordenado de un determinado tipo, y sea el
número ordinal que le corresponde γ. Definimos γ como la suma de α y β,
γ = α + β, y llamamos a α el sumando, y a β el sumador de esta suma. Si α
y β son cualesquiera dos diferentes números ordinales, i. e., correspondientes
a dos tipos diferentes, entonces se puede demostrar, que o bien la ecuación
β = α + ξ, o bien la ecuación α = β + ξ según ξ (i.e., según el sumador) es
resoluble, y ´por cierto sólo de una manera; en el primer caso llamamos a α
menor que β, y en el segundo llamamos a α mayor que β, xi se llamará la
diferencia entre ambos números; en el primer caso, ξ = β−α, y en el segundo,
ξ = α − β.
Se demuestra fácilmente, que si α < β, y β < γ, entonces también α < γ.
Además, se muestra que siempre se mantiene la ley [de asociación]
(α + β) + γ = α + (β + γ).
De manera semejante se define el producto de dos números ordinales,
donde hay sin embargo que diferenciar entre multiplicador y multiplicando,
pues en general α · β es diferente de β · α. Por el contrario se demuestra
también aquı́, por decirlo rápidamente, de un vistazo, que
(α · β) · γ = α · (β · γ) (ley asociativa),
ası́ como también que
α · (β + γ) = αβ + αγ (ley distributiva con α como multiplicando)
En los “Fundamentos” escribı́ el multiplicando a la izquierda, y el multiplicador a la derecha; pero se me ha mostrado que el uso opuesto, escribir
primero el multiplicando a la izquierda y luego a la derecha el multiplicador,
es el más apropiado, y en verdad casi inevitable, para el ulterior desarrollo
de la teorı́a de los números ordinales transfinitos; por ese motivo invierto
por lo tanto el modo de escribir que se empleó en los “Fundamentos”, en lo
que se refiere a los productos, a partir de ahora siempre al revés. Se convence
uno de la importancia de este cambio, en cuanto se sacan a consideración
números ordinales transfinitos de la forma αβ , para los cuales según este modo de escribir vale la misma ley: αβ · αγ = αβ+γ . Esta misma ley tomarı́a sin
embargo la chocante forma según el modo de escribir de los “Fundamentos”:
αβ · αγ = αγ+β .
Señalo además lo siguiente: si en un conjunto bien ordenado M cualesquiera dos elementos m y m0 cambian su lugar en la ordenación jerárquica total,
el tipo no cambiará por eso, luego tampoco el “enumerable” o el “número
ordinal”. De aquı́ se sigue que tales [reconfiguraciones] de un conjunto bien
ordenado dejan inalterado el [enumerable] del mismo, que se puede reconducir a una sucesión finita o infinita de transposiciones de cada dos elementos,
i.e., todos los cambios de este tipo, que se producen por permutación de los
elementos. Ahora, puesto que en un conjunto finito, si el agregado de sus
elementos permanece el mismo, cada [reconfiguración] se puede reconducir
a una sucesión de transposiciones, entonces reside aquı́ el fundamento, por
el que en los conjuntos finitos el número ordinal y el número cardinal en
cierto modo coinciden, en tanto que aquı́ conjuntos de la misma valencia [en
cada forma], pensados como conjuntos bien ordenados, siempre tienen uno
11
y el mismo número ordinal. En los conjuntos bien ordenados, sin embargo,
surge la diferencia entre número cardinal y número ordinal inmediatamente
de la manera más decisiva. Igualmente en los conjuntos finitos se [corresponden] en cualquier circunstancia las leyes conmutativas de la adición y la
multiplicación, en tanto que a partir de ahı́ se prueba muy fácilmente que,
si µ y ν son dos números ordinales finitos, entonces siempre µ + ν = ν + µ
y µ · ν = ν · µ.
Para los ordinales transfinitos mı́nimos, esto es, aquellos que corresponden
a conjuntos bien ordenados del tipo
(a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ...)
debe de adoptarse un nuevo signo; para ello he elegido la última letra del
alfabeto griego ω.
Por números ordinales de la segunda clase numérica entiendo aquellos
números, que pertenecen a conjuntos bien ordenados de la potencia de la
primera clase numérica 1, 2, 3,. . . , ν,. . . ; este agregado de números ordinales
constituye una nueva valencia y ciertamente la valencia inmediatamente
siguiente a la previa, como he mostrado rigurosamente (Fundamentos, p.
35-38). Y el mismo argumento nos conduce a clases numéricas más elevadas
y a las valencias más elevadas que les corresponden. –Esto es una armonı́a
prodigiosa, que avanza en magnitud, cuya realización exacta es el tema de
la teorı́a de los números transfinitos.
He creı́do que tenı́a que enviarle previamente todo esto, desde luego en [la]
forma concisa, para poder abordar algunas observaciones que encuentro en
su escrito. En primer lugar llamo la atención sobre la generalidad, precisión
y determinación de mis definiciones de números; tienen la misma formulación, tanto si se refieren a conjuntos finitos como a infinitos. Todo número
transfinito de la segunda clase numérica, p.ej., tiene según su definición, la
misma determinación, la misma completitud en sı́ como todo número finito.
El concepto ω, por ejemplo, no contiene nada fluctuante, nada indeterminado, nada variable, nada potencial, no es ningún ‹peiron, sino un
‚fwrisménon, y lo mismo vale para todos los demás números transfinitos.
Constituye, igual que todo número finito, p.ej. 7 o 3, una oposición a los
signos indeterminados x, a, b del cálculo con letras, con el que Usted de
modo inadecuado compara a los números transfinitos en su escrito. De este
modo, Usted se aparta del sentido que los números transfinitos tienen para
mı́, lo mismo que ha hecho el Sr. Wundt en su concepción, que se encuentra
sobre este tema en su Doctrina del Método, Lógica, Vol. II, p. 126-129. El
tratamiento de Wundt muestra que no es clara y distintamente consciente
de la diferencia fundamental entre infinitoimpropio=finito variable=infinito
sincategoremático (‹peiron) por una parte, y finito propio = transfinito =
infinito perfecto = siendo infinito = infinito categoremático (‚fwrisménon);
de no ser ası́, no habrı́a caracterizado tanto a uno como al otro como lı́mites,
un lı́mite es siempre algo fijo, invariable en sı́, por ello, de los dos conceptos de infinito, sólo el transfinito puede ser pensado como siendo y según
qué circunstancias, y en cierto sentido también como un lı́mite fijo. Por ello
yerra Wundt también al creer que el transfinito no tiene ninguna significación fı́sica, pero sı́, desde luego, el infinito potencial; tomado rigurosamente,
12
lo contrario de eso es lo correcto, porque el infinito potencial es sólo un concepto auxiliar y relacional, y se refiere siempre a un transfinito que está a
la base, sin el cual aquel no puede ser ni ser pensado. La diferencia entre
el infinito impropio y el infinito propio fue reconocida por los filósofos muy
temprano, i.e., ya desde los antiguos griegos, aunque desde luego no en todos los casos con la misma claridad; igualmente se la encuentra claramente
expresada entre los modernos, con la excepción de Kant, Herbart y los materialistas, empiristas, positivistas, etc. No obstante, Hegel no merece en
esto, como Wundt parece opinar, una mención especial, puesto que incluso
la contradicción ha sido elevada por él mismo como elemento originador de
su filosofı́a a propiedad caracterı́stica de su manera de pensar, a lo que yo
al menos no me inclino. A esto se añade que lo que Hegel pueda haber dicho más o menos apropiado sobre la diferencia aquı́ explicada, como tantas
otras cosas en él, están tomadas de Spinoza. En todos los filósofos falta, sin
embargo, el principio de la diferencia en el transfinito, que conduce a diferentes números transfinitos y diferentes potencias. La mayorı́a confunden
incluso el transfinito con el uno más elevado sin diferencia según su propia
naturaleza, con el Absoluto, con el máximo absoluto, que naturalmente no
es susceptible de ninguna determinación y por ello no está subordinado a la
matemática.
También es por completo inadecuado en la crı́tica de Wundt la elaboración
de nuevas especulaciones denominadas “metamatemáticas”, que no tienen ni
la menor semejanza ni ningún auténtico punto de contacto con mis trabajos,
y, asimismo, no puede calificarse al infinito de “trascendente” (i.e, superando
a pesar de todo ampliamente las capacidades humanas de comprensión).
13
En la recensión de Ballauf 7 que precisamente alcanza el máximo de la
inexactitud en las notas de la redacción, no sólo no es el giro, que deberı́a
ser humorı́stico, al final correcto, sino que descansa en un manifiesto error.
Si tenemos una lı́nea infinita AO que parte de A y ponemos en su principio
7Ztschr. f. exakte Philos. 12, 375. De esta reseña he llegado a tener la impresión de
que el crı́tico, [que] en muchos respectos ha comprendido muy bien mis pensamientos, ha
sido obligado por el terrorismo de los jefes de escuela a adoptar una posición mucho más
aguda contra mı́, de lo que parece compatible con sus propias convicciones. Esto resalta
de la manera más llamativa en la p. 389, donde la redacción (Theod. Allihn y Otto Flügel)
toma de repente las riendas de su reflexión libre y sin prejuicios para reconducir a la pobre
a la prisión oscura y subterránea de la dogmática Herbartiana. A lo dicho en esta nota
bajo el texto por la redacción no podemos ahorrarnos dos respuestas. En primer lugar,
no parece haber leı́do mi trabajo, pues no tiene en cuenta que yo distingo rigurosamente
en los “Fundamentos” el infinito potencial, que llamé allı́ infinito impropio, del infinito
actual, al que llamé infinito propio. Herbart y sus discı́pulos reconocen sólo el primero, le
dan sólo a él el nombre de infinito y no saben nada de transfinitos. Contra ello no habrı́a
nada que objetar formalmente, non cuivis homini contingit adire Corinthum, (no a todo
hombre le es dado ir a Corinto) y serı́a además para su uso lingüı́stico una contradictio
in terminis (contradicción en los términos), conceder el predicado de la determinación a
lo infinito. Pero, ¿cómo se puede justificar formalmente el reproche hecho a mı́, según
el cual yo habrı́a querido unificar los predicados de determinación e indeterminación, y
de ahı́ hacer un “determinado indeterminado”, ya que yo justo al contrario he separado
tan rigurosamente el infinito potencial del transfinito, que aparecen en mi obra siempre
como diferentes toto genere (en todos los géneros)? La otra respuesta es de tipo material
y afecta más al maestro que a sus desafortunados discı́pulos. Según Herbart, IV, 88 ss, el
concepto de infinito debe basarse “en un lı́mite variable, que en cada momento puede y,
respectivamente, debe deslizarse en adelante”. “Prescindir de esta variabilidad del lı́mite,
significa superar el concepto de lo infinito, no significa pensar nada Infinito, sino lo finito”.
Sin embargo, si se prescinde de esta variabilidad del lı́mite o de la continua posibilidad de
progresar, en cuanto se pone lo infinito como acabado o como realmente presente, ya no
se pone entonces un conjunto infinito, sino uno finito. No se trata aquı́ de la incapacidad
subjetiva, que es incapaz de llegar nunca al fin en la actividad de contar o de poner,
sino del concepto de lo infinito mismo, cuya caracterı́stica esencial, y sin la que no se le
puede pensar es precisamente aquel lı́mite variable más allá del cual siempre se puede
encontrar algo. Con respecto a los números se puede expresar lo ya dicho también en
los siguientes términos: en todo conjunto finito de cosas, por grande que este pueda ser,
se ofrece inmediatamente la posibilidad de un recuento objetivo (si el conjunto alcanza
unos cuantos miles de millones, me permito dudar de que a los señores redactores les sea
posible realizar el recuento objetivo inmediatamente; nota del autor). Por el contrario,
en los conjuntos infinitos (¡por lo tanto a pesar de todo un cierto reconocimiento de los
conjuntos infinitos!) la posibilidad de contar está simplemente excluida (lo que en el sentido
a que nos referimos aquı́ no lo niega nadie), porque precisamente el verdadero infinito sólo
puede concebirse como un indeterminado e inacabado. (¡Por lo tanto el “verdadero infinito”
debe ser peor que lo finito!) etc. ¿A los señores se les ha ido por completo de la memoria
que, aparte de los viajes que se pueden realizar en la fantası́a o en los sueños, que, digo,
para cambiar o desplazarse con seguridad se requiere un suelo y un piso sólidos ası́ como
un camino apropiado, un camino, que nunca se interrumpe, sino que allá donde lleva el
viaje, debe ser y permanecer practicable? Ası́ pues, la exhortación que Heinrich Hoffmann
nos ha dirigido al ánimo a todos tan claramente en su “Struwelpeter” (Frankfurt a. M.:
Loening) con el “Vistazo de Hans al cielo” a los señores herbartianos ¿es a los únicos a
los que no ha impresionado? El largo viaje que Herbart prescribe a sus “lı́mites variables”
no está limitado confesablemente a un camino finito, por lo tanto su camino debe ser uno
infinito, y ciertamente, puesto que no es por su parte cambiante, sino siempre fijo, debe
ser un camino actualmente finito. Se requiere por lo tanto para cada infinito potencial (los
lı́mites variables) un transfinito (el camino seguro para caminar) y no puede ser pensado
sin un último (Cf. con esto los caps. V y VII de este trabajo). Puesto que nosotros con
14
A un segmento finito BA, entonces obtenemos de nuevo una lı́nea infinita
BO que parte B, a la que el segmento recto que se añade no le ha producido
el menor cambio en relación con el “tamaño”, lo que se reconoce porque
se puede poner a la nueva recta en total congruencia con la antigua; la ganancia, que se ha obtenido por medio del segmento BA que se añade, es
ciertamente realmente presente e indiscutible, pero desaparece por completo
si se atiende solamente al accidente que afecta a ambas lı́neas AO y BO de
la magnitud. Quien encuentra aquı́, como siempre, en la cantidades actualmente infinitas una falta contra el principio de contradicción, se equivoca
por completo, al perder de vista el carácter abstractivo de la “magnitud” al
identificar erróneamente el quantum presente con la entidad substantiva. En
una inadvertencia semejante, sin embargo, parece haber caı́do Wundt en la
página 128. No requiere, por lo tanto, ninguna justificación ulterior, el que
yo en los “Fundamentos“ justo al principio distinga dos conceptos diferentes
toto genere entre sı́, a los que llamo el infinito impropio y el infinito propio;
no deben ser considerados en modo alguno como unificables o emparentados.
La tan a menudo en todos los tiempos admitida reunión o mezcla de estos
dos conceptos completamente distintos contiene según mi firme convicción la
causa de innumerables errores; en particular veo aquı́ sin embargo el motivo
por el que no se ha descubierto antes los números transfinitos.
Para excluir en adelante esta confusión, denoto el mı́nimo número transfinito con el signo acostumbrado, diferente al signo correspondiente al infinito
impropio ∞, a saber, con ω.
Por otra parte, ω puede en cierto modo considerarse como el lı́mite, al que
tiende el número entero finito variable ν, pero sólo en el sentido de que ω es
el mı́nimo número de orden transfinito, i.e., el mı́nimo número firmemente
determinado,
√ que es mayor que todos los números finitos ν; exactamente
igual que 2 es el lı́mite de determinados números racionales variables
y
√
crecientes, sólo que aquı́ además se añade que la diferencia entre 2 y estas
fracciones aproximadas se hace todo lo pequeña que se quiera, pero por el
contrario ω − ν siempre es igual a ω; esta diferencia no cambia sin embargo
nada, el que ω ha de contemplarse como tan determinado y completo como
√
2, y tampoco cambia √
nada el que ω tiene tan pocos rastros de los números
que tienden a él como 2 algo de las fracciones aproximadas racionales.
Los números transfinitos son en cierto sentido ellos mismos nuevas irracionalidades, y de hecho, el mejor método, a mi modo de ver, de definir los
números irracionales finitos es por completo semejante, yo dirı́a incluso que
en principio el mismo, que mi método más arriba descrito de introducción
de los números transfinitos. Se puede decir incondicionalmente: los números
transfinitos [concuerdan o coinciden] con los números irracionales finitos;
se parecen entre sı́ en su esencia más ı́ntima; pues éstos son como aquellos
nuestros trabajos hemos asegurado el amplio camino [militar] de los transfinitos, lo hemos
fundamentado y empedrado cuidadosamente, lo abrimos al tráfico y lo ponemos como
fundamento inamovible, utilizable por todos los amigos del infinito potencial, pero en
especial a disposición de los amantes de caminar dispuestos a los “lı́mites” Herbartianos,
de buen grado y pacientemente dejamos lo infatigable de la monotonı́a de su en absoluto
no envidiable destino; sólo con que [ella] camine siempre más adelante, nunca más les
desaparecerá el suelo bajo los pies. ¡Disfruten del viaje!
15
[conformaciones] o modificaciones(‚forisménai)8 limitadas y determinadas
del infinito actual.
II.9
Aunque corresponde tan poco a mis inclinaciones criticar los puntos de
vista de los demás, considerando la importancia del tema, y siguiendo su
expresa y repetidamente manifestada voluntad he examinado con detalle las
razones indicadas, en su artı́culo 10 “El problema de lo infinito” contra el
“infinitum actuale existens seu in concreto”, que según su opinión no serı́an
utilizables contra el “inf. act. possibile”, y he encontrado que aquı́ también
de nuevo, como en todas las demostraciones que persiguen el mismo fin, se
halla a la base un cı́rculo vicioso oculto. En mi carta al Sr. G. Eneström
he dicho que todas las ası́ llamadas demostraciones contra los números actualmente infinitos reposan en un prw̃ton yeũdoc, del que no se da completa
cuenta, y que me comprometo a demostrar en todo caso en el caso presente;
consiste en que se exige de antemano todas las propiedades de la magnitud
actualmente infinita de la magnitud finita, con lo que se sigue fácilmente una
contradicción con su ser infinito. Con esto se cree entonces haber llegado a
una demostración de su imposibilidad, mientras que en verdad, sólo se ha
movido en cı́rculo. Exactamente la misma convicción tengo con todos los
intentos de demostración por medio de los cuales el IA in concreto seu in
natura creata debe ser discutido; sólo que aquı́ se puede añadir aún otros
motivos, de mucho más peso, que fluyen de la absoluta omnipotencia de
Dios y ante los cuales toda negación de la posibilidad de un “transfininut
seu infinitum actuale creatu” parece como una violación de aquel atributo
de la divinidad. Con todo, no quiero llevar más adelante el último argumento, porque será suficiente señalar en la demostración de Vd. aquello que,
en correspondencia con mi convicción previamente expresada y mi humilde
opinión, es incompleto en ella.
Su reflexión dice expresamente [como sigue]: “En este lugar creo sin embargo que debo llevar a cabo la demostración de que una magnitud actualmente infinita no puede existir. Si existiera una lı́nea infinita, un hilo infinitamente largo, entonces se podrı́a en el lugar, [donde me alcanza], cortar un
segmento finito y a continuación concentrar los dos segmentos restantes y
unirlos de nuevo entre sı́. Pero ahora ninguno de los dos segmentos es ya infinito; pues a ambos les falta ya tanto de la infinitud, como se han [deslizado]
8Cf. Conimbricenses Phys. Lib. III, cap. 8, quest. 1, art. 1. Este pasaje se refiere a
Aristóteles Fı́s. Γ 208 a 6, donde se opone al >ápeiron un >ápeiron ±c ‚forisménon y, como
he demostrado en otra ocasión, se le combate con fundamento totalmente insuficiente. Cf.
tb. S. Tomás, Phys. III, lectio 13. Los fundamentos del Estagirita no demuestran otra cosa,
que el que los argumentos, que los antiguos filósofos de la naturaleza han aducido en favor
de la existencia necesaria de un >ápeiron ±c ‚forisménon no son concluyentes; sin embargo, él no demuestra la imposibilidad de un >ápeiron ±c ‚forisménon existente; en otras
palabras, él no demuestra que el concepto de éste último, si se le concibe como transfinito,
sea contradictorio, y afirmar algo ası́ le habrı́a sido difı́cil, o dicho más correctamente,
imposible.
9
Este escrito fue dirigido al Prof. Guberlet en Fulda y lleva la fecha del 24 de enero de
1886.
10
Ztsch. f. Philos. u. philos. Kritik, 88, p. 199
16
por la aproximación a la mitad. Por lo tanto ambos están limitados desde
la parte de la infinitude igualmente limitados hacia la mitad. Ahora bien,
una lı́nea podrı́a ser por otra parte limitada en un sentido y sin embargo
ilimitada hacia el otro, pero si ella está limitada en los dos sentidos, entonces
es con toda seguridad finita. Pero si los dos segmentos son finitos, entonces
también lo es toda la lı́nea, y si ella ahora, tras la sustracción de un segmento
intermedio finito, se muestra como finita, entonces lo era también con este
segmento intermedio finito, pues dos finitos no hacen ningún infinito”.
En esta argumentación reconozco el error de que se han transferido las
propiedades de una lı́nea recta finita sin más a una lı́nea recta infinita, cuyas
propiedades dependen de la naturaleza de lo infinito.
Si Vd. traslada una recta finita AB de tal modo que su punto inicial A
se deslice a lo largo de segmento AA0 = 1 hacia A0 , esto sólo es posible, de
modo que cada uno de sus demás puntos se deslizan, p.ej. M hacia M 0 a lo
largo de un segmento igual M M 0 = 1 y en especial también el punto final
B a lo largo de BB 0 = 1 hacia B 0 .
Pensemos ahora sin embargo en lugar de la lı́nea finita AB una lı́nea
actualmente infinita AO en el mismo sentido y con el mismo punto inicial,
la cual tiene su punto final O en el infinito, entonces es válido también
ciertamente que cada punto situado en [la finita] M se desliza a lo largo de
M M 0 = 1 hacia M 0 , y en caso de que A sigue tras A’, ¿quién le dice a Vd.,
sin embargo, que aquı́ también vale lo mismo del punto final infinitamente
lejano O?
Completamente al contrario la última suposición lleva, como Vd. mismo
ha mostrado, a una contradicción; esta contradicción no justifica, como Vd.
supone, la negación de posibilidad de la existencia de una recta actualmente
infinita AO, sino que conduce a la propiedad no contradictoria aquı́ involucrada de la recta actualmente infinita AO, de que, mientras todos los
demás puntos M , A, B de la recta AO son [arrastrado] un segmento igual
M M 0 = AA0 = BB 0 = 1 hacia la izquierda, sólo el punto infinitamente
lejano O permanece fijo en su lugar, i.e., no puede ser traı́do del alejamiento
infinito a lo finito por este camino, y tampoco en el caso de que Vd. quisiera
asumir por hipótesis una fuerza de tracción infinita.
Puesto que la recta pensada actualmente infinita AO corresponde según
su magnitud al número ordinal transfinito mı́nimo denotado con ω se puede reencontrar lo que acabamos de decir con la conocida ecuación, que no
envuelve la menor contradicción, 1 + ω = ω, donde en la parte izquierda
1 = A0 A tiene la significación del sumando, y ω = AO tiene la la cantidad a
la que se le suma. Por otra parte y al contrario, ω + 1 donde figuran ω como
cantidad a la que se suma, 1 como sumando, es, como se deduce de los principios de mis Fundamentos, un número transfinito diferente de ω, a saber, el
número ordinal transfinito entero inmediatamente siguiente al número ordinal mı́nimo ω; pero éste último no tiene ningún uso en su ejemplo, puesto
que puesto que para Vd. el número al que se le suma es un número finito y
que está situado en la magnitud finita A0 A = 1, y el sumando AO = ω es
un número actualmente infinito.
Puesto que he discutido el mismo tema desde otros puntos de vista en
una carta que he escrito en estos dı́as, quisiera obsequiarle con la siguiente
17
copia de un extracto11 de ella, con el deseo de que Vd. me comunicara por
escrito por favor su opinión sobre esto ası́ como sobre lo dicho en la carta
que acabo de mencionar12
III.13
Las lı́neas, que SE ... tuvo la bondad de dirigirme el 25 de diciembre de
1885, contienen algunas dudas en relación con los fundamentos filosóficos
de mis trabajos, enviados a Vd. para examen; presumiblemente se trata de
determinadas palabras empleadas por mı́, cuya significación no he explicado
con precisión, las cuales no permiten que mi opinión aparezca completamente
determinada, y yo quisiera permitirme por ello, explicarme brevemente con
más precisión.
Las expresiones “natura naturans”, y “natura naturata”, que aparecen en
mi [pequeño] artı́culo “Sobre los diferentes puntos de partida en relación con
el infinito actual”, las uso con la misma significación que le dieron los tomistas, de tal manera que la primera expresión se refiere a Dios como el creador
y conservador de todas las cosas, fuera del cual no se mantiene ninguna de
las substancias creadas por él, la segunda sin embargo al mundo creado por
él. Correspondientemente distingo un “infinitum aeternum increatum sive
absolutum”, que se refiere a Dios y sus atributos, y un “infinitum creatum
sive transfinitum”, que se dice en todas partes allı́ donde en la natura creata
se debe constatar un infinito actual, como por ejemplo en relación con el,
según mi sólida convicción, número infinito actual de los seres particulares
creados tanto en el universo como ya también en nuestra tierra y, según toda
verosimilitud, ya en toda parte extensa del espacio, por pequeña que sea, en
lo que coincido por completo con Leibniz (Epistola a Foucher, t. 2 operum,
ed. Dutens, p. I, pág 243).
11Vid. infra III.
12
Con respecto a la precedente exposición, se puede, según parece, señalar lo siguiente.
Precisamente porque la lı́nea que se desplaza se supone rı́gida, cada punto debe deslizarse igualmente con el deslizamiento desde A hasta A0 , y por ello también el punto final
infinitamente lejano O. La infinitud sólo podrı́a entonces condicionar una imposibilidad
del deslizamiento, si la fuerza de tracción fuera suficiente para el deslizamiento de un hilo
finito, pero no de uno infinito. Pero para ello podemos suponer una fuerza de tracción
infinita.
Ahora bien, se puede desde luego objetar por el contrario, que a causa de la imposibilidad metafı́sica de arrastrar una lı́nea infinita a la finitud, la realización no será posible
a pesar del cumplimiento de todas las condiciones fı́sicas, incluso bajo el supuesto de un
influjo infinitamente fuerte. Nos encontramos aquı́ en el mismo caso que Suárez presupone con el supuesto de un mundo eterno (inmutable). El fuego, ası́ opina él, puesto en el
combustible eternamente, no podrı́a inflamarlo, a pesar de su gran capacidad de quemar.
Pues el proceso de combustión de algunos minutos deberı́a cortar un trozo de la eternidad,
y ası́ hacer a ésta misma finita.
Sin embargo, apenas creo que alguien haya entendido esto de tal modo que piense que el
fuego deje el combustible eternamente intacto. Para ello debe señalarse como insostenible
incluso el supuesto de un mundo eterno, relacionado con cambios. Lo mismo parece valer
también para el hilo infinito. (Nota del Prof. Gutberlet).
13
Las dos cartas siguientes (III y IV) del 22 y del 29 de enero de 1886 fueron dirigidas a
un gran teólogo [el cardenal Franzelin]; éste fue, lo digo con dolor, llamado a la eternidad
el 11 de diciembre de 1886.
18
Aunque sé que la teorı́a del “infinitum creatum” es discutida, aunque no
por todos, sı́ por la mayorı́a de los maestros de la iglesia y en particular por
el gran S. Tomás de Aquino introdujo determinadas opiniones en contra en
su Summa Teologica p. q 7 obs. 4, sin embargo, los motivos, que en esta
cuestión en el curso de una investigación de veinte años, puedo decir, contra
mi voluntad, porque en oposición a la por mı́ siempre altamente respetada
tradición, desde dentro me he visto forzado y en cierto modo obligado, más
fuertemente que todo lo que hasta ahora he encontrado dicho en contra, aunque he comprobado esto muy ampliamente. También creo que las palabras
de la sagrada escritura, como p. ej. Sap. c. 11 cap. 21: “omnia in pondere,
numero et mensura disposuist”, en las que se presumió una contradicción
con los números actualmente infinitos, no tienen ese sentido; pues, puesto
el caso, habrı́a, como creo haber demostrado, “potencias” actualmente infinitas, i.e., número cardinales y “enumerables de conjuntos bien ordenados”
actualmente infinitos, i.e., números ordinales (estos dos conceptos, como he
encontrado, son extraordinariamente diferentes en los conjuntos actualmente infinitos, mientras que en los conjuntos finitos su diferencia es apenas
perceptible), por lo tanto estarı́an con toda seguridad también mencionados
conjuntamente los números transfinitos en aquella expresión sagrada, y no
se puede por ello, a mi parecer, tomarla como argumento contra los números
actualmente infinitos, si se quiere evitar un argumento circular.
Sin embargo, que debe admitirse un “infinitum creatum” como existente,
puede demostrarse de múltiples modos. Para no entretener a V.E. demasiado, quisiera limitarme a dos breves indicaciones en este asunto.
Una demostración parte del concepto de Dios y deduce en primer lugar
de la altı́sima perfección de la esencia divina la posibilidad de la creación de
un transfinitum ordinatum, y luego de su bondad y poder, la necesidad de
la de hecho llevada a término creación de un transfinito. Otra demostración
muestra a posteriori, que el supuesto de un transfinito en la natura naturata permite una explicación mejor de los fenómenos, en particular de los
organismos y de los fenómenos psı́quicos, porque es más completa, que la
hipótesis contraria.
IV
...V.E.... le expreso mi más cordial agradecimiento por las declaraciones
del clemente escrito del 26 de enero de 1886, con las que coincido con total
convicción; pues en la breve indicación de mi carta del 22 del mismo, no
era mi opinión en el pasaje en cuestión hablar de una necesidad metafı́sica
y objetiva para el acto de la creación, a la que Dios con una libertad absoluta estuviera supeditado, sino que querı́a sólo señalar una cierta necesidad
subjetiva para nosotros de deducir de la bondad y el poder de Dios la creación llevada a término de hecho (no a llevar a término a parte Dei), no
meramente de un finitum ordinatum, sino de un transfinitum ordinatum.
V.14
14Esta carta, fechada el 28 de febrero de 1886, está dirigida al Prof. Dr. med. A.
Eulenburg en Berlı́n.
19
Con placer encuentro en su escrito del 23 del mismo que Vd. dedica un
interés al objeto de mis investigaciones, para el cual mi agradecimiento es
tanto mayor, cuanto más inusual es que me lo hayan mostrado famosos investigadores y médicos; pues en esos cı́rculo es lo que llamo “horror infiniti”,
en los contextos más diferentes y por las más variadas causas, en general un
mal profundamente enraizado.
Si ponemos la vista en las definiciones del infinito potencial y actual, se
desvanecerán pronto las dificultades de las que Vd. me escribe.
I. El I.P.15 se afirma preferentemente, donde se presenta una magnitud
indeterminada, variable y finita, que o bien crece más allá de todos los lı́mites finitos (entre nuestras representaciones, pensemos, p.ej., lo que llamamos
tiempo, contado desde un determinado momento inicial) o bien decrece bao
todo lı́mite finito (lo que, p.ej., es la representación legı́tima de lo que llamamos un diferencial; más en general, hablo de un I.P. en todos los casos en
que entre en consideración una magnitud indeterminada, que es susceptible
de una cantidad innumerable de determinaciones.
II. Por un I.A.16 ha de entenderse por el contrario un quantum, que por
una parte no es variable, sino que más bien es fijo en todas sus partes, una
verdadera constante, pero al mismo tiempo, por otra parte, excede a toda
magnitud finita del mismo tipo en magnitud. Como ejemplo cito la totalidad,
el concepto de todos los números enteros positivos finitos; este conjunto es
una cosa de por sı́ y conforma, aparte por completo de la sucesión natural
de los números que pertenecen a él, un quantum fijo en todas sus partes y
determinado, un ‚fwrisménon),que manifiestamente hay que llamar mayor
que todo enumerable finito17
15Esto es, el infinito potencial (>ápeiron).
16Esto es, el infinito actual (‚fwrisménon).
17Cf. la concepción completamente conforme con esto de la sucesión de los números
enteros como un quantum actuamente infinito en S. Agustı́n (De civitate Dei, lib. XII,
cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia comprehendi. Debido a la gran significación que tiene este pasaje para mi posición, quiero recogerlo
aquı́ literalmente, y me reservo discutirlo en detalle en una ocasión posterior. El capı́tulo
dice ası́: “Illud autem aliud quod dicunt, nec Dei scientia quae infinita sunt posse comprehendi: restat eis, ut dicere audeant atque hic se voragini profundae inpietatis inmergant,
quod non omnes numeros Deus noverit. Eos quippe infinitos esse, certissimum est; quoniam
in quocumque numero finem facindum putaveris, idem ipse, non dico uno addito augeri,
sed quamlibet sit magnus et quamlibet ingentem multitudinem continens, in ipsa ratione
atque scientia numerorum non solum duplicari, verum etiam multiplicari potest. Ita vero
suis quisque numerus proprietatibus terminatur, tu nullus eorum par esse cuicumque alteri
possit. Ergo et dispares inter se atque diversi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnes
infiniti sunt. Itane numeros propter infinitatem nescit omnes Deus, et usque ad quandam
summam numerorum scientia Dei pervenit, ceteros ignorat? Quis hoc etiam dementissimus
dixerit? Nec audebunt isti contemnere numeros et oes dicere ad Dei scientiam non pertinere, apud quos Plato Deum magna auctoritate commendat numeris mundum fabricantem.
Et apud nos Deo dictum legitur: Omnia in mensura et numero et pondere disposuisti (Sap.
11,21); de quo et propheta dicit: Qui profert numerose saeculum (Esai. 40,26), et Salvator
in evangelio: Capilli, inquit, vestri omnes numerati sunt (Mt. 10,30). Absit itaque ut dubitemus, quod ei notus sit omnis numerus, cujus intelligentiae (absolutae), sicut in psalmo
canitur, non est numerus (Ps., 147, 5). Infinitas itaque numeri, quamvis infinitorum numerorum nullus sit numeros [finitus], non est tamen inconprehensibilis ei, cujus intelligentiae
[absolutae] non est numerus. Quapropter si, quidquid scientida conprehenditur, scientis
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Ahora bien, en tanto que San Agustı́n sostiene la percepción total e intuitiva del conjunto (ν) “quodam ineffabili modo”, a parte Dei, reconoce al
mismo tiempo a este conjunto formaliter como un todo actualmente infinito, como un transfinito, y estamos obligados, a seguirlo en esto. En este
pasaje, posiblemente sin embargo, se le formulará la objeción de que nosotros tenemos también la necesidad de contemplar el conjunto (ν) como un
infinito categoremático, y por otra parte no nos está permitido sacar a consideración el número ordinal ω o el número cardinal ω que le corresponde,
y esto no nos estarı́a permitido por este motivo, porque nosotros por las
limitaciones de nuestro ser no estamos en condiciones de pensar actualmente uno intuitu todos los infinitos individuos numéricos ν pertenecientes al
conjunto (ν). Ahora bien, yo quisiera ver a aquel que, por ejemplo, en el caso
del número finito“mil millones” o incluso en números mucho más pequeños
puede representarse distintamente y con precisión uno intuito las unidades
presentes en él. Alguien ası́ hoy por hoy no vive con toda seguridad entre
nosotros. Y a pesar de ello, tenemos el derecho de contemplar a los números
finitos, aún cuando sean tan grandes, como objetos del conocimiento discursivo y humano, e investigarlos cientı́ficamente según sus propiedades; el
mismo derecho nos asiste también en relación con los números transfinitos.
Frente a aquella objeción, por lo tanto, sólo hay una respuesta: ¡la condición
que vosotros mismos, incluso en los números pequeños y finitos no estáis en
condiciones de satisfacer y cumplir, pretendéis exigirnosla en relación con
los números infinitos! ¿Se ha puesto una exigencia más inicua nunca entre
los hombres? Según nuestra organización [conformación], rara vez estamos
en posesión de un concepto, del que pudiéramos decir, que éste serı́a un
“conceptus rei propius ex propiis”, en tanto que nosotros, a través de él, sin
la ayuda de una negación, un [simplo] o un ejemplo, lo captamos y reconocemos, cómo es en sı́ y para sı́. Es más, en el conocimiento dependemos la
mayor parte de las veces de un “conceptus proprius ex communibus”, que
nos capacita para determinar una cosa a partir de predicados generales y
con la ayuda de comparaciones, exclusiones, sı́mbolos o ejemplos de tal manera que, podamos distinguirla claramente de toda otra cosa. Compárese,
p.ej., el método por el que yo en los “Fundamentos” y antes en los Math.
Ann. 5 (1871), definı́ las magnitudes numéricas irracionales. Yo voy ahora
tan lejos, como para afirmar incondicionalmente, que este segundo tipo de
conprehensione finitur: profecto et omnis infinitas qodam ineffabili modo Deo [de]finita:
qui tandem nos sumus homunculi, qui ejus scientiae limites figere praesumamus, dicentes
quod, nisi eisdem circuitibus temporum eadem temporalia repetantur, non potest Deus
cuncta quae facit vel praescire ut faciat, vel scire cum fecerit? cujus sapientia simpliciter
multiplex et uniformiter multiformis tam inconprehensibili conprehensione omnia inconprehensibilia conprehendit, ut, quaecumque nova et dissimilia conseuentia praecedentibus
si pemper facere vellet, inordinata et inprovisa habere non posset, nec ea provideret ex
proximo tempore, sed aeterna praescientia contineret.” En determinados lugares me he
permitido realizar inserciones (reconocibles por los paréntesis), que permiten señalar más
claramente el sentido que según mi parecer tienen las palabras en [cuestión] en los pasajes
en [cuestión] en S. Agustı́n. No se puede exigir el transfinito más enérgicamente que lo
que lo hace aquı́ S. Agustı́n, ni se le puede fundamentar y defender más completamente.
Pues desde luego nadie puede poner en duda que en los conjuntos infinitos (ν) de todos
los números enteros ν no se trata del infinito absoluto (IIb).
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determinación y delimitación de las cosas es incomparablemente más sencillo, cómodo y fácil para los números transfinitos más pequeños (p.ej., ω, o
ω + 1, o ω ν en el número entero finito pequeño ν), que para números finitos muy grandes, en los cuales sólo dependemos de la misma herramienta,
correspondientemente a nuestra naturaleza imperfecta.
En contraposición a Agustı́n, se encuentra en Orı́genes una decidida toma
de posición contra el infinito actual,y avanza tan lejos por este camino, que
casi pudiera parecer que quisiera no saber afirmar incluso la infinitud de
Dios. Pues dice, que no se puede negar por medio de un falso eufemismo
(eÎfhmı́ac qárin) la limitación (circumscriptio = perigraf´h) de la potencia
divina. Recuerdo, a este respecto, que pérac significa en griego fin, lı́mite
y perfección al mismo tiempo; al >ápeiron se vincula por ello propiamente
el concepto de lo indeterminado, imperfecto. También en latı́n aparece infinitum en el sentido de “indeterminado” en Cicerón y Quintiliano (p. ej.,
infinitior distributio partium, un error lógico en el discurso; infinitas quaestiones, preguntas determinadas imprecisamente, etc.). También finis denota,
como pérac, la perfección, ası́ en el conocido tı́tulo de la obra ciceroniana de
finibus bonorum, en Tácito finis aequi juris, etc.
En el de principiis (perı̀ ‚rq´wn), ed. Redepenning (en los fragmentos
conservados, p. 10, en la traducción de Rufinus p. 214, se dice literalmente: “-intueamur creaturae initium, quodcunque illud initium creantis Dei
mens potuerit intueri. In illo ergo initio putandum est tantum numerum rationabilium creaturarum, vel intellectualium, vel quoquomodo appellandae
sunt, quas mentes superius diximus, fecisse Deum quantum sufficere posse
prospexit. Certum est quippe quod praefinito aliquo apud se numero eas
fecit: non enim, ut quidam volunt, finem putandum est non habere creaturasK quia ubi finis non est, nec conprhensio ulla nec circumscriptio esse
potest. (Es muy verosı́mil que que la discusión en Agustı́n haya sido escrita
en oposición completamente consciente a este pasaje en Orı́genes.) Quod si
fuerit, utique nec contineri vel dispensari a Deo, quae facta sunt, poterunt.
Naturaliter nempe quidquid infinitum (Orı́genes toma siempre sólo en consideración lo >ápeiron y dice, que si la potencia divina fuera >àpeiroc, Dios
no podrı́a conocerse a sı́ mismo) fuerit, et incomprehensibile erit. Porro autem, sicut scriptura dicit: ‘In numero et mensura universa’ (Sap. 11, 21)
condidit Deus, et idcirco numerus quidem recte adaptabitur rationabilibus
creaturis, vel mentibus, ut tantae sint, quantae a providentia Dei dispensari, regi et contineri possint. Mensura vero materiae corporali consequenter
aptabitur: quam utique tantam a Deo esse cretam credendum est, quantum sibi sciret ad ornatum mundi posset sufficere (gr. tosaúthn <úlhn <óshn
šdúnato katakosmh̃sai). He reproducido por completo esta consideración de
profundo sentido de Orı́genes porque veo en ella el origen de, debo reconocerlo, los argumentos más significativos y más llenos de contenido que se
han esgrimido contra el transfinito. Se les encuentra repetidos a menudo;
quiero mencionarlos aquı́ en la forma más perfecta que se les ha dado. En
la Summa theol tomista, I, q. 7, a. 4, se dice: “1) Multitudinem actu infinitam dari, impossibile est, quia omnem multitudinem oportet esse in aliqua
specie multitudinis. Species autem mutltitudinis sunt secundum species numerorum. Nulla autem species numeri est infinita, quia quilibet numerus est
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multitudo mensurata per unum. Unde imposibile est ess multitudinem infinitam actu; sive per se, sive per accidens. 2) Item omnis multitudo in rerum
natura existens est creata; et omne creatum sub aliqua intentione creantis
comprehenditur, non enim in vanum agens aliquod operatur. Unde necesse
est quod sub certo numero omnia creata comprehendantur. Impossibile est
ergo esse multitudinem infinitam in actu, etiam per accidens”.
Estos son los dos motivos de más peso, que el curso de los tiempos se han
dirigido contra el transfinito; todos los demás argumentos que se encuentran
expresados, pueden con relativa facilidad debilitarse negativamente, señalando que reposan en un error en la argumentación. Estos dos motivos, por el
contrario, están muy bien fundamentados y podrı́an ser disueltos y despachados sólo positivamente, si se demostrara y señalara que los números y los
tipos de orden transfinitos existen en el dominio de lo posible, de la misma
manera que los números finitos y que en los transfinitos están presentes y
en cierto modo acumulados incluso un dominio ampliamente mayor de formas y de “species numerorum”, que en el campo relativamente pequeño de
los finitos no limitados; por ello los transfinitos estuvieron a disposición de
las intenciones del creadar y de la potencia de su voluntad absolutamente
inagotable del mismo modo que los números finitos. Se podrı́a creer que S.
Tomás ha sospechado o incluso conocido y examinado esta tesitura, y justamente por eso ha desdeñado reproducir los demás argumentos [ligeros]
contra las magnitudes y los números actualmente infinitos, que se encuentran entre otros también en los escritos de su maestro Alberto Magno. Él
se mantuvo y permaneció con gran [derecho] en aquellos dos motivos llenos
de contenido y de peso, que podı́an ser resueltos sólo positivamente; sin embargo, abandonó los restantes motivos por completo de buena gana en la
conocida exclamación contra los murmuradores: “Praeterea adhuc non est
demonstratum, quod Deus non possit facere ut sint infinita actu”. (Opusc.
de aeternitate mundi.). Otro ejemplo es la totalidad de todos los puntos,
que están situados en un cı́rculo dado (o en cualquier otra curva determinada). Un tercer ejemplo es la totalidad de todas las mónadas que han de
representarse como rigurosamente puntuales, que contribuyen como partes
constitutivas al fenómeno de un cuerpo natural existente.
De la definición I se sigue que Vd. tiene perfecto derecho a preguntar:
“¿No serı́a mejor abandonar para el I.P. la expresión infinito?”
En efecto, el I.P. no es propiamente un infinito, por ello lo he llamado en
mis “Fundamentos” infinito impropio. A pesar de todo, será difı́cil vencer el
uso en cuestión, tanto más difı́cil, cuanto que el I.P. es el concepto más fácil,
agradable, superficial, dependiente, y la mayorı́a de las veces está unida con
él la ilusión aduladora, de que se tendrı́a con él algo correcto, un infinito
correcto; mientras que sin embargo en verdad el I.P. sólo tiene una realidad
prestada, en la medida en que siempre está referido a un I.A., sólo por el
cual éste es posible. De ahı́ el epı́teto acertado que dieron los escolásticos a
I.P.: sugkategorhmatikwc.
Si examinamos, además, la definición II, se sigue en primer lugar, que
de ahı́ puede concluirse con negar que el I.A. en su magnitud deberı́a ser
inincrementable; un supuesto erróneo, que no sólo está extendido entre los
antiguos y los escolásticos que se adherı́an a ellos, sino también nueva y la
23
novı́sima filosofı́a, casi se podrı́a decir, por doquier18. Antes bien, necesitamos hacer aquı́ una distinción fundamental, distinguiendo:
IIa I.A. incrementable o transfinito.
IIb I.A. inincrementable, o absoluto.
Los tres ejemplos anteriormente mencionados pertenecen todos a la clase
IIa de transfinitos. Pertenece igualmente a ésta el número ordinal transfinito
[überendliche] mı́nimo, que denoto con ω, pues éste puede aumentarse o
incrementarse hasta el siguiente número ordinal en tamaño ω + 1. Pero
también la mı́nima potencia o número cardinal actualmente infinito es un
transfinito, y lo mismo vale para el número cardinal siguiente en tamaño
etc.
Lo transfinito con su abundancia de configuraciones y formas está referido
con necesidad a un absoluto, a lo “verdaderamente infinito”, la magnitud del
cual en modo alguno puede experimentar incremento o disminución y al que
por ello hay que contemplar cuantitativamente como un máximo absoluto.
Éste último excede en cierto modo la capacidad humana de comprensión y
se sustrae, en particular, a la determinación matemática: por el contrario, el
transfinito no sólo corresponde al amplio dominio de lo posible en el conocimiento de Dios, sino que también ofrece un rico y siempre creciente campo
de investigación ideal y según mi convicción alcanza realidad y existencia
en diferentes respectos y hasta un cierto punto también en el en el mundo
de lo creado, para dar expresión al poder del Creador, según su decisión
absolutamente libre, más fuertemente de lo que habrı́a podido llevarse a cabo por medio de un ‘mero “mundo finito”. Pero esto habrá de esperar aún
mucho tiempo para obtener un reconocimiento general, sobre todo entre los
teólogos, por muy valioso que se pueda mostrar también este conocimiento
como medio para apoyar el objeto que defienden (la religión).
Por último, tengo aún que explicarle en qué sentido concibo el mı́nimo
de los transfinitos como lı́mite de los finitos crecientes. Se observa a este
respecto que el concepto “lı́mite” en el dominio de los números finitos tiene
18Puesto que desde cuatro años, tras la publicación de los “Fundamentos” he encontrado tiempo para estudiar más en detalle la literatura de la filosofı́a antigua y de la
escolástica, sé ahora también que el I.A. in natura creata ha tenido en todos los tiempos sus defensores dentro de la especulación cristiana. A través del diccionario de Bayle
hace tres años me llamó la atención entre otros el sobresaliente monje franciscano R. P.
Emuanel Maignan (La calificación de Emanuel Maignan (vivió de 1601 a 1676) como un
monje franciscano no es completamente correcta, pues normalmente se entienden por tales los llamados minoritas o hermanos seráficos pertenecientes a la orden de S. Francisco
de Ası́s. E. M. fue sin embargo (ası́ como el Padre Mersenne, conocido como amigo de
Descartes), un Minime, i.e., perteneciente a una orden monacal fundada en el año 1435
por Francisco de Paula († 1507), que sobrepasaba el rigor de la orden franciscana, a la
que por lo demás se adhirió, por la prohibición de toda carne) de Toulouse (Cursus philosophicus, Lyon, 1673, que asigna al infinito categoremático una esfera muy amplia. A esto
se adhiere su discı́pulo, el franciscano R. P. Hoh. Saguens (Cf. su obra: De perfectionibus
divinis. Colonia, 1718). De los nominalistas (siguiendo a Avicena) la mayor parte deben
haber afirmado el “número infinito”. Lo mismo se atribuye a los escotistas. El R.P. T.
Pesch menciona en su Inst. phil. nat. § 409 entre los defensores de la posibilidad de los
números infinitos también a los siguientes autores: Gabriel [Vasquez] (Comm. in Summ.
p. 1, d. 26, c.1), Hurtado (Phys. d. 13, §16), Arriaga (Phys. d. 13. n. 32) y Oviedo (Phys.
controv. 14, punct. 4, n. 6; punct. 5). Un punto de vista conciliador se encuentra en los
Conimbricenses (Pys. 1.3, c.8, q. 2) y en Amicus (Phys. tr. 18, q. 6, dub. 2).
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dos caracterı́sticas esenciales, que aquı́ se siguen recı́procamente entre si. El
número 1, p.ej., es el lı́mite de los números zν = 1 − ν1 (donde ν significa
un número entero finito, que crece más allá de todos los lı́mites finitos), y
presenta como lı́mite las dos siguientes caracterı́sticas, deducibles la una de
la otra:
En primer lugar, la diferencia 1 − zν = ν1 es una magnitud que deviene
infinitamente pequeña, i.e., los números zν se aproximan al lı́mite 1 hasta
la proximidad que se quiera.
En segundo lugar, 1 es la menor de todas las magnitudes numéricas, que
son mayores que todas las magnitudes zν ; porque si se toma cualquier magnitud 1 − ², que es menor que 1, entonces 1 − ² será mayor que algunos de los
zν ; pero a partir de un determinado ν, a saber, para ν > 1² , se tendrá siempre que zν > 1 − ²; por lo tanto, 1 es el minimum de todas las magnitudes
numéricas que son mayores que todos los zν .
A partir de estas dos caracterı́sticas se muestra. por ası́ decir, por cada
una de ellas por completo, el número finito 1 como lı́mite de la magnitud
variable zν = 1 − ν1 .
Ahora, si se quiere extender el concepto de lı́mite también a los lı́mites
transfinitos, entonces sirve para ello sólo la segunda de las dos caracterı́sticas
que se acaban de mencionar, y la primera habrı́a que dejarla caer aquı́,
porque sólo tiene sentido para los lı́mites finitos, pero no tiene ningún sentido
para los transfinitos.
Según esto, llamo, por ejemplo, a ω el “lı́mite” de los números enteros
finitos crecientes ν, porque ω es es el menor de todos lo números que son
menores que todos los números finitos ν; exactamente igual que 1 se encuentra que es el menor de todos lo números, que son mayores que todas las
magnitudes zν = 1− ν1 ; todo número más pequeño que ω es un número finito
y es sobrepasado en magnitud por otros números finitos ν. Por el contrario,
ω − ν es siempre igual a ω, y por lo tanto no se puede decir que los números
ν finitos crecientes llegan todo lo cerca que se quiera a su fin ω; antes bien
permanece todo número ν por grande que sea igualmente alejado de ω como
el número finito mı́nimo.
Se manifiesta aquı́ con especial claridad la circunstancia muy importante
y decisiva, que mi número ordinal mı́nimo transfinito ω y por consiguiente
también todos los demás números ordinales mayores están situado fuera por
completo de la serie numérica sin fin 1, 2, 3 etc. El ω no es desde luego el
máximo de los números finitos (no hay ciertamente tal), sino que ω es el
mı́nimo de todos los números ordinales finitos. Fue el desgraciado error de
Fontenelle 19 buscar el transfinito dentro de la [serie] numérica 1, 2, 3,...,
ν,..., aun cuando en cierto modo en el cierre de la misma (el cual, sin embargo, ciertamente le falta); en tanto que él de este modo proporcionó a sus
números infinitos en adelante una contradicción irresoluble, que decidió el
destino de su infructuosa teorı́a; ella tuvo que abandonar el campo ante una
crı́tica completamente correcta 20. Pero si otros posteriores se dejan por lo
demás guiar por la muerte de los números infinitos de Fontenelle, a criticar
severamente a los números actualmente infinitos en general, yo sé, que ellos
19Cf. Fontenelle: Éléments de la Géometrie de l’infini. Parı́s, 1727.
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25
pos su parte están contradichos por los hechos de mi teorı́a, completamente
diferente de la de Fontenelle, y completamente libre de contradicciones.