COMUNICACIONES SOBRE LA TEORÍA DE LOS TRANSFINITOS POR G. CANTOR de Halle a. S. Traducción y comentarios por J. Bares y J. Climent. En el presente trabajo, motivado por determinados trabajos antiguos y recientes escritos contra la posibilidad de los números infinitos, he intentado delimitar las cuestiones que se refieren al infinito actual según sus más [elevadas decisiones], desde el punto de vista más general, para ganar de este modo una visión de conjunto de las principales posiciones que pueden tomarse en relación a este objeto. Habrı́a que distinguir en tres respectos el infinito actual (IA): en primer lugar en tanto que se realiza en la más alta perfección, en el ser completamente independiente, trascendente, in Deo, donde yo lo llamo infinito absoluto o brevemente absoluto; en segundo lugar en tanto que está presente en el mundo dependiente, de las criaturas; en tercer lugar, en tanto que puede ser concebido in abstracto por el pensamiento como extensión matemática, número o tipo de orden. En los dos últimos respectos, donde claramente se representa como un IA limitado, aunque capaz de un incremento ulterior, en tanto que emparentado con lo finito, lo llamo transfinito lo contrapongo de la manera más enérgica a lo Absoluto. En cada uno de estos tres respectos puede afirmarse o negarse la posibilidad del infinito actual, de aquı́ se siguen en conjunto ocho diferentes puntos de partida, que han sido en su totalidad sostenidos en la filosofı́a, y de los cuales yo tomo aquel que es incondicionalmente afirmativo, en relación a los tres respectos. Incumbe especialmente a la teologı́a especulativa investigar el infinito absoluto y determinar lo que humanamente puede ser dicho de él, de la misma manera que las cuestiones que se dirigen al transfinito recaen por otra parte principalmente en los dominios de la metafı́sica y de la matemática y es de ellas de las que me he ocupado preferentemente desde hace años. Puesto que tuve la suerte de mantener correspondencia con varios sabios, que han dedicado un interés [amistoso] a mis trabajos, y se me ha dado la ocasión en este caso de explicar y aclarar lo hasta ahora publicado de una manera más comprensible para todos, creo tener en este material procedente de un intercambio de pensamientos vivo, puntos de relación para ulteriores trabajos que interesen a un público amplio. Quisiera por ello en primer lugar en lo que sigue publicar varias de estas cartas escritas por mi, sin efectuar cambios esenciales en ellas. Donde a pesar de todo, ello me parezca necesario, [me propongo] dar las explicaciones pertinentes en notas al texto. A las cartas I, III, IV y VIII quisiera hacerlas preceder con lo siguiente como introducción. A I y VIII. Aquı́ se encuentra la concepción de los números enteros y los tipos de orden como universales, que se refieren a conjuntos, y que se obtienen de ellos, cuando se hace abstracción de las propiedades de los elementos. Esta concepción la he sostenido desde hace unos cuatro años, y la 1 2 he expuesto muchas veces en mis lecciones universitarias. Todo conjunto de cosas bien diferenciadas puede se considerado como una cosa unitaria por sı́ misma, en la cual aquellas cosas son partes o elementos constitutivos. Si se abstrae tanto las propiedades de los elementos como también el orden en que se dan, entonces se obtiene el número cardinal o la potencia del conjunto, un concepto general, en el que los elementos, como las llamadas unidades, están en cierto modo [compenetrados] entre sı́ orgánicamente en un todo unitario, tal que ninguno tiene una relación de rango privilegiada con respecto a los demás. A partir de aquı́ se obtiene [en una consideración detenida] que a dos conjuntos diferentes les corresponde uno y el mismo número cardinal si, y sólo si, son uno con respecto al otro lo que yo llamo equivalentes, y no hay ninguna contradicción si, dado que esto sucede a menudo entre conjuntos infinitos, dos conjuntos, de los cuales uno es una parte o una componente del otro, tiene un número cardinal completamente idéntico. En la incomprensión de este hecho veo el obstáculo principal que se ha presentado a la introducción de los números infinitos desde los antiguos. [Si este acto de abstracción se efectúa en un conjunto dado, ordenado según uno o varios [respectos] (dimensiones) sólo en relación a las propiedades de los elementos de tal manera que el orden jerárquico en el que están unos con respecto a otros, también se sigue manteniendo en el concepto general, que de este modo en cierta manera llega a ser una configuración orgánica unitaria, procedente de diferentes unidades, que mantienen un determinado orden jerárquico, en una o en varias direcciones, entonces se tiene con esto un cierto universal que he llamado en general tipo de orden o número ideal, pero en el caso particular de conjuntos bien ordenados número ordinal ]1; esto último coincide por completo con lo que antes [Fund. de una Teorı́a General de la Multiplicidad] llamé “cantidad [Anzahl] de un conjunto bien ordenado”. A dos conjuntos ordenados les corresponde uno y el mismo tipo de orden si, y sólo si, están entre ellos en relación de semejanza o conformidad, relación que será definida [estrictamente]. Aquı́ se han descubierto las raı́ces, a partir de las cuales se desarrolla con necesidad lógica el organismo de la teorı́a de los tipos transfinitos o teorı́a de los número ideales y en especial de los números ordinales transfinitos, la cual espero poder publicar pronto en forma sistemática. En una recensión que hube de entregar al “Deutsche Literaturzeitung”, formulé las determinaciones de número cardinal y ordinal como sigue: “Llamo potencia de un agregado o de un conjunto de elementos (donde éstos últimos pueden ser del mismo o de diferente tipo, simples o compuestos) a aquel concepto general, bajo el cual caen todos los conjuntos que son equivalentes al conjunto dado, y sólo ellos. Dos conjuntos se llaman en este caso equivalentes si se pueden coordinar entre sı́ recı́procamente de modo unı́voco, elemento [por] elemento. Otra cosa es lo que llamo ‘[cantidad] o número ordinal’, la atribuyo sólo a “conjuntos bien ordenados”, y en concreto entiendo por la ‘[cantidad] o el número ordinal de un conjunto bien ordenado dado’ aquel concepto general, bajo el cual caen todos lo conjuntos bien ordenados, que son semejantes al dado, y sólo estos. Llamo “semejantes” a dos conjuntos bien ordenados si se pueden aplicar uno en el otro recı́proca, 1Cf. Gutberlet: Das Problem des Unendlichen. Z. Philos. u. philo. Krit. vol. 88, p. 183. 3 unı́voca y completamente, bajo la [salvaguardia] de la sucesión de los elementos dada en ambos [lados]. En los conjuntos finitos coinciden en cierto modo los dos momentos ‘potencia’ y ‘[cantidad]’ porque un conjunto finito en toda ordenación de sus elementos tiene como conjunto ‘bien ordenado’ uno y el mismo número ordinal. Por el contrario, en los conjuntos infinitos sale a la luz la diferencia entre ‘potencia’ y ‘número ordinal’ de la manera más [enérgica], como ha sido mostrado en mi [articulito] ‘Fundamentos de una Teorı́a General de la Multiplicidad’, Leipzig, 1883. Tanto los números cardinales como los tipos de orden son configuraciones conceptuales simples; cada uno de ellos es una verdadera unidad (monc), porque en él está reunida unitariamente una pluralidad y multiplicidad de unidades. Los elementos del conjunto M que se nos presenta han de representarse separadamente; en la imagen intelectual M del mismo (Vid. cap. VIII, nr. 9 de este artı́culo), a la que llamo su tipo de orden, están por el contrario las unidades reunidas en un organismo. En cierto sentido se puede contemplar todo tipo de orden como un compuesto de materia y forma; las unidades contenidas en él, diferenciadas conceptualmente proporcionan la materia, mientras que el orden que se mantiene entre ellas es lo correspondiente a la forma. Si nos fijamos en la definición de número cardinal finito en Euclides, debe reconocerse en primer lugar, que él refiere el número, al igual que hacemos nosotros, de acuerdo con su verdadero origen, a los conjuntos, y que no viene a hacer del número un mero “signo”, que se adjunte por un proceso de contar subjetivo a las cosas particulares. Se dice en sus Elementos, libro VII: monc âstin, kaj' £n ékaston tw̃n ïntwn ãn lègetai y rijmòc dà tä âk mondwn sugkeÐmenon plh̃joc. Pero luego me parece, sin embargo, que se representa las unidades en el número tan separadas, como los elementos en el conjunto discreto al que se refieren. Al menos falta en la definición euclı́dea la indicación expresa del carácter unitario del número que le es completamente esencial 2 2La necesidad subrayada aquı́, de ver acentuado el carácter orgánico e intraunitario del número, parece [atenderla] más Nicómaco, cuando en su obra (Arith. intr. I, 7, 1) dice: rijmòc âsti plñhjoc, ²rismènon « mondwn sÔsthma « posìthtoc qÔma(de qèw , fluir) âk mondwn sugkeÐmenon. Y Boecio, inst. arith. I, 3, dice: “numerus est unitatum collectio, verl quantitatis acervus ex unitatibus profusus”. Leibniz, en el año 1666 en el escrito Dissertatio de arte combinatoria, en el proemio, cuando estaba aún próximo a los comienzos de su evolución en filosofı́a, se expresa de la siguiente manera: “omnis relatio auto es unio aut convenientia. In unione autem res, inter quas ahec relatio est, dicuntur partes, sumtae cum unione, totum. Hoc contingit quoties plura simul tanquam unum supponimus. Unum autem esse intelligitur quicquid uno actu intellectus, s. simul, cogitamus, v.g. queadmodum numerum aliquem quantumliber magnum, saepe caeca quadam cogitatione simul aprehendimus, cypjras mempe in charta legendo, cui explicate intuendo ne Methsalae quidem aetas suffectura sit. Abstractum autem ab uno es unitas, ipsumque totum abstractum exunitatibus seu totalitas dicitur numerus”. Ya desde tres años antes se encuentra en una carta del mismo autor a Thomasius (ed. Erdmann, p. 53) la explicación dudosa:“numerum definito unum, et unum, et unum etc., seu unitates”. La adición de unidades no puede sin embargo servir nunca para definir el número, porque aquı́ la indicación del asunto principal, a saber, cuántas veces deben añadirse las unidades, no puede conseguirse sin el número mismo que hay que definir. Esto demuestra que el número, [conseguido] por medio de un acto de abstracción, sólo puede explicarse como una unidad 4 No es superficial que yo destaque que el concepto de número ordinal, como ha sido determinado previamente, no coincide por completo en el caso de los números ordinales finitos con el concepto de lo que se suele denominar “[nombres] de los números ordinales” (primero, segundo, etc); estos no son otra cosa que denominaciones para el rango jerárquico de los elementos de un conjunto bien ordenado y se obtienen sin más a partir de nuestros números ordinales, en tanto el último elemento de un conjunto finito bien ordenado es denotado como el n-simo en la sucesión de que se trata, si n representa el número ordinal que corresponde a ese mismo conjunto bien ordenado. Mientras que ası́ a partir de mi punto de partida los “[términos] de los números ordinales” se obtienen como lo último y lo más inesencial en la teorı́a cientı́fica de los números, éstos han sido tomados en dos trabajos recientemente publicados como punto de partida para el desarrollo del concepto de número. Esto ha sucedido en los dos trabajos, que el Sr. H.v. Helmholtz y el Sr. L. Kronecker han hecho imprimir en la colección “Philosophische Aufsatze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doktor-Jubiläum gewidtmet. Leipzig, bei Fues, 1887”3. Defienden el punto de partida empirista y psicologista con una rigidez, que no se podrı́a [tener por posible] si no fuera porque se nos enfrenta aquı́ dos veces [incorporada en carne y hueso]. Podrı́a creerse que serı́a erróneo que la oposición entre estas concepciones y la mı́a vendrı́a a ser la del nominalismo o conceptualismo por una parte, frente al realismo aristotélico mesurado que yo defiendo, por la otra; más aún, es altamente instructivo convencerse de que en estos dos investigadores los números deben ser en primera instancia signos, pero no en general signos de conceptos que se refieren a conjuntos, sino signos de las cosas particulares contadas en el proceso subjetivo de numerar. Se comprende por ello por sı́ mismo que, frente a mi punto de partida, el pensamiento de estos trabajos se muestre como un completo hysteron-proteron. Justamente en una tal oposición están sin embargo también las concepciones que se refieren a los números, que encontramos en la antigüedad griega, no sólo entre los filósofos, sino también entre los matemáticos. La definición antes citada de Euclides es una prueba de esto, y esto no necesita apenas ser señalado en relación a Platón y Aristóteles. Sin embargo, sea cual sea la posición que se tome también frente a los antiguos, a cualquiera le parecerı́a en principio altamente inverosı́mil que los mejores de entre ellos pudieran haberse alejado mucho de la verdad en las orgánica de unidades. De aquı́ se sigue además, cuán fundamentalmente falso es, querer hacer dependiente al concepto de número del concepto del tiempo o de la llamada intuición temporal. Esto se ha visto muchas veces en la filosofı́a más reciente desde su desarrollo por parte de Kant: por ejemplo, Sir William Rowan Hamilton ha explicado la aritmética como “the science or pure time”, y muchos otros hacen lo mismo. Podrı́an exactamente con los mismos derechos hacer pasar a cualquier otra ciencia, p. ej. la geometrı́a, por “the sc. of pure time”, porque en la formación de conceptos geométricos o de cualesquiera otros no estamos menos [referidos] subjetivamente al “tiempo” como la forma de existencia de esta vida no trascendente que en la adquisición de los conceptos aritméticos. 3Ambos autores llaman “número ordinal” a lo que yo llamo “[término] de un número ordinal”, mientras que en mis trabajos el término “número ordinal” tiene otra significación. Yo traducirı́a mi “número ordinal” por “numerus ordinarius”, y por el contrario “[término] de un número ordinal” por “nota ordinalis”. Estas notae ordinales son lo que según los dos autores mencionados debe determinar la esencia de los números 5 cosas más simples, determinadas y más generalmente conocidas, y que por primera vez en el siglo XIX d.J.C. hubiera aparecido el conocimiento correcto sobre este objeto. Y, por otra parte, hubo por cierto también en el [tiempo pretérito horrible [grauen,¿canoso, en el sentido de antiguo?] una secta], la cual es recordada [vivamente] por los trabajos de los señores v. Helmholtz y Kronecker, es la antigua skepsis, y remito sobre esto, por lo que se refiere en particular a los números, a las Hipotiposis pirrónicas de Sexto Empı́rico, Lib. 3, cap. 18. Con todo, también del “siglo de la ilustración”, que ha ejercido en el espı́ritu de la noble y sabia Academia [un tan persistente, siempre duradero influjo], hay que señalar una obra excelentemente elaborada, que ha sido incluso escrita por un miembro de la Academia Berlinesa de las Ciencias: Louis Bertrand, Développement nouveau de la partie élémentaire des Mathématiques (Génova, edición a costa del autor, 1778). La portada de este escrito en dos tomos muestra un grabado en cobre; en primer plano un pastor, que examina a su rebaño que vuelve a [casa], al fondo un cazador, cuya flecha vuela a través del [extenso espacio]; a esto se refiere el Motto: Tu pastor numeros, extesi tu rationes Pandito Venator. El primer capı́tulo comienza inmediatamente ası́: “En los comienzos, los hombres fueron cazadores o ganaderos. Estos últimos fueron los primeros que tuvieron la ocasión de contar ; era importante para ellos no perder sus animales, y por ello necesitaban asegurarse al anochecer de que todos hubieran vuelto de pastar: el que no tuviera más que cuatro o cinco, habrı́a podido ver de un golpe de vista si todos habı́an vuelto; pero un golpe de vista no habrı́a sido suficiente para el que hubiera tenido veinte. Considerando, por lo tanto, a estos animales volviendo los unos tras los otros, habrı́a imaginado una sucesión de palabras en número semejante, y guardando estas palabras en su memoria las habrı́a repetido al dı́a siguiente a medida que sus animales volvı́an; para estar seguro, si éstos hubieran acabado de entrar antes de que él hubiera acabado sus palabras, de que le quedaban tantas palabras por pronunciar, como animales le faltaban, etc”. Se ve que es, mutatis mutandis, el mismo principio de los numeros que en los Sres. v. Helmholtz y Kronecker; no se trata por lo tanto aquı́ de algo nuevo, sino sólo, como tantas veces, de nuevo de ”una antigua y menospreciada verdad”(Ben Akiba). Por lo demás aparece también en ambos sabios abiertamente el [motivo enemigo] contra el infinito actual, y puesto que, como es sabido, los mismos números irracionales “finitos” sin un uso [decidido] de conjuntos actualmente infinitos no pueden fundamentarse de manera cientı́ficamente rigurosa4, los esfuerzos de ambos se han dirigido, por ejemplo en el caso del Sr. Kronecker, a hacer por completo “innecesarios” y superfluos los números irracionales generalmente reconocidos desde Pitágoras y Platón con la ayuda de teorı́as subsidiarias apropiadas para ellos más [aparentes], artificiosamente pensadas5–en lugar de investigarlos y explicarlos como es natural. Ası́ vemos a la 4Cf. mis “Grundlagen”, p. 21, y el último capı́tulo de mi trabajo en Bib. till K.Sv. Vet.-Akad. Hdl. 11, nr. 19. 5Cf. Kronecker: Crelles J. 99,336, y Molks, Abhandlung in Acta math. 6. 6 en la actualidad dominante y potente skepsis académico-positivista surgida en Alemania como reacción contra el excesivamente extendido idealismo Kant-Fichte-Hegel-Schellingniano, por fin también situada [angelangt] en la aritmética, donde parece extraer las últimas conclusiones que aún le es posible extraer, con la más extrema consecuencia, para sı́ misma quizás fatal. Pues, ¿qué podrı́a faltarle aún, tras el despliegue de una tal perspicacia y de tales fuerzas, para su perfección? No entra en mis intenciones realizar una valoración detallada de ambos trabajos; puede suponerse que, correspondientemente a la dignidad de sus autores, también otros pueden tomarlos en consideración y examinarlos. Permı́taseme sólo realizar aún unas pocas observaciones. El trabajo del Sr. Kronecker (Philos. Aufsätze, p. 263) se limita a los elementos de la teorı́a de los números, pero está estrechamente interrelacionado con sus anteriores investigaciones algebraicas y en teorı́a de los números y por ello también desde luego sólo puede ser valorado completamente en este contexto. Algunas indicaciones del trabajo dan [espacio a la expectativa] de que la teorı́a habrá de ser continuada in extenso posteriormente. Sólo entonces se podrá emitir un juicio concluyente sobre su sistema, cuando se muestre construida la relación de sus números con la geometrı́a y la mecánica. En tanto que éste no es el caso a cualquiera se le permitirá [una duda] sobre la utilidad de su teorı́a. Creo incluso poder pronosticar sin lugar a dudas que no le será posible, con la “reserva idea” (p. 266) de sus “denotaciones” “describir completamente y del modo más simple” la “reserva de puntos actualmente infinita” (este modo de expresión se refiere a G. Kirchhoff, Vorl. üb. math. Phys., 1. Volf.; Kronecker, Crelles J., Vols. 92, pág. 93) y ciertamente esta convicción mı́a se corresponde con que en el año 1873 demostré que la potencia de un continuum es más elevada que la potencia del agregado de todos los números finitos y enteros (Cf. Crelles J., vol. 77, pág. 258 ss.) En la introducción del artı́culo de Kronecker (Phil. Aufs. pág. 264) se imprime un pequeño poema [parodiado de Schiller] (Arquı́medes y el jovencito), que está dedicado al “número eterno”. Si como aquı́ y en el trabajo de V. Helmholtz, la [significación] fundamental de los números ha de reducirlos a meros “signos de números”, entonces no puede, para mı́, iluminar correctamente su relación con la “eternidad”, porque ante esta palabra siempre tengo en mente la insuperada definición de Boecio (De consolatione philosophiae, libr. 5, prosa 6). Para concluir señalo que la demostración del teorema principal (p. 268) en la argumentación de Kronecker no me parece que sea rigurosa; debe mostrarse allı́ que la “[cantidad]” [enumeración] es independiente del orden que se [persigue] en los números. Si se sigue estrictamente la demostración, se encuentra, que en ella [el mismo teorema en otra forma se presupone y es usado, el que debe ser demostrado, está presente por lo tanto el pasar por alto una petitio principii.] En esta ocasión quisiera permitirme corregir otra inadvertencia que el Sr. Kronecker ha cometido frente a mi [eterno] amigo y colega Eduard Heine. A este último se le hace en Crelles J., vol. 74, año 1886 principalmente responsable de la teorı́a de los números irracionales que desarrolla en el trabajo 7 “Elementos de la teorı́a de funciones”, Crelles J., vl. 74, año 1872, sobre la base del concepto de “sucesión fundamental” (a la cual el sr. Heine llama “sucesión de números”), aunque el sr. Heine en la introducción de su trabajo ha dicho expresamente, que él ha“tomado prestado” los pensamientos fundamentales de mı́, y que me está obligado por“comunicaciones orale”, que ha ejercido un “influjo importante” en la configuración de su trabajo. Al mismo tiempo apareció un trabajo mı́o en el vol. 5 de los “Anales matemáticos” en el mismo año 1872 bajo el tı́tulo: “Sobre la extensión de un teorema de la teorı́a de las sucesiones trigonométricas” en el que desarrollé abreviadamente los puntos esenciales de mi teorı́a de los números irracionales; y también he vuelto más tarde en los “Fundamentos” p. 23 sobre este tema. Debo por lo tanto asumir para mı́ la responsabilidad por la teorı́a tan duramente atacada por el sr. Kronecker, en la medida en que descargo con ella al [buen] sr. Heine de la presunta acusación principal atribuida a él por el sr. Kronecker. Ad III y IV. Desde la parte teológica se me ha objetado que aquello que yo he llamada transfinito en la natura naturata (Cf. esta rev. vol. 88, p. 227),[“no se puede defender, y en un cierto sentido. que sin embargo yo “no parezco dar al concepto”] “estarı́a contenido el error del panteı́smo”. A esta duda respondı́a con la carta III, a propósito de la cual experimenté el placer de un escrito detallado dirigido a mı́, el cual me permito aquı́ imprimir literalmente, dejando [caer] algunos epı́tetos de carácter cortés. Se me contestó lo siguiente a la carta III: “En su artı́culo “Sobre el problema del infinito actual”, observo para mi satisfacción, cómo Vd. distingue muy bien el infinito absoluto y lo que Vd. llama el infinito actual en lo creado. Puesto que Vd. [] explica expresamente como un aún incrementable (naturalmente al infinito, i.e., sin poder llegar a ser respectivamente un [no más incrementable]), y lo contrapone al Absoluto como un“esencialmente inincrementable”, lo que por supuesto debe ser válido también de la posibilidad o imposibilidad de la disminución o el defecto; ası́ son conceptos, el del infinito absoluto y el del infinito actual en lo creado o transfinito esencialmente diferentes, de tal manera que en la comparación de ambos sólo el primero puede caracterizarse como propiamente infinito. Entendido ası́, no reside, hasta donde yo veo hasta ahora, en su concepto del Transfinito ningún peligro para las verdades religiosas. Sin embargo, en un punto va usted con total seguridad errado contra la verdad indudable; pero este error no se sigue de su concepto del transfinito, sino de su concepción defectuosa de lo Absoluto. En su valioso escrito dirigido a mı́ dice Vd. por ejemplo, en primer lugar, correctamente, que (se supone que su concepto de lo transfinito no es meramente teológicamente inofensivo, sino también verdadero, acerca de lo cual yo no juzgo)[que] un [movimiento] parte del concepto de Dios y acaba en primer lugar desde la más alta perfección de la esencia divina hasta la posibilidad de la creación de un transfinitum ordinatum. Suponiendo que su transfinito actual no contenga en sı́ ninguna contradicción, su deducción de la posibilidad de la creación de un transfinito a partir del concepto de la omnipotencia divina es completamente correcta. Sólo que a mi pesar Vd. sigue adelante y deduce ‘de su completa bondad y poder la necesidad de una creación de lo transfinito que realmente ha tenido lugar’. Precisamente porque Dios es en sı́ el bien absolutamente infinito y el 8 poder absoluto, un bien y un poder que no pueden crecer ni decrecer, es la necesidad de una creación, [que pudiera ser siempre], una contradicción, y es la libertad de la creación una perfección tan necesaria de Dios, como todas sus demás perfecciones, o mejor, la perfección infinita de Dios es (según nuestras necesarias diferenciaciones), tanto libertad como omnipotencia, sabidurı́a, justicia, etc. Tras su deducción de la necesidad de una creación de lo transfinito deberı́a Vd. de haber ido mucho más lejos. Su transfinito actual es incrementable; ahora bien, si la bondad y el poder infinitos de Dios exigen en general con necesidad la creación de lo transfinito, entonces se sigue, exactamente por el mismo motivo de la infinitud de su bondad y poder, la necesidad del incremento, hasta que no hubiera nada más incrementable, lo que contradice su propio concepto de lo transfinito. Con otras palabras: quien deduce la necesidad de una creación de la infinitud de la bondad y el poder de Dios, debe afirmar que todo lo creable ha sido realmente creado desde la eternidad, y que ante los ojos de Dios no hay nada posible que su omnipotencia pudiera llamar a la existencia. Esta infeliz opinión suya de la necesidad de la creación le será también muy embarazosa en su refutación de los panteı́stas y al menos debilitará la fuerza de convicción de sus demostraciones. Me he detenido tanto en este punto, porque deseo de todo corazón que su sagacidad se libre de un error tan pasado, en el que desde luego han caı́do tantos otros, incluyendo a algunos que se creı́an creyentes ortodoxos”. Coincido por completo con todo lo que se establece en este escrito, como se desprende de las pocas lı́neas que se han escrito en el apartado V. Luego, puesto que para mı́ la absoluta libertad de Dios está fuera de cuestión, la “necesidad” en el lugar correspondiente de la carta IV no fue comprendida por mı́ del modo que aquı́ se supone y combate con razón. Sin embargo, una vez que uno se familiariza con más precisión con el sentido correcto de mi argumentación, entonces parece, como explicaré en una ocasión ulterior, que la demostración apriorı́stica de la creación [sucedida] de hecho indicada a modo de ensayo en IV requiere de una amplia demostración y prueba. I.6 Por potencia o número cardinal de un conjunto M (que consiste en los elementos bien diferenciados y conceptualmente separados m, m0 ,. . . , y que por eso está determinado y delimitado) entiendo el concepto general y el concepto genérico (universal) que se obtiene cuando se hace abstracción en el conjunto tanto de las caracterı́sticas de sus elementos, como de todas las relaciones que tienen los elementos, ya entre sı́, ya con otras cosas, luego en particular también del orden que podrı́a dominar entre los elementos, y sólo se piensa en aquello que es común a todos los conjuntos que son 6Esta carta fue escrita hace tres años, el 15 de feb. de 1884, al Sr. Prof. Dr. Kurd Laßwitz en Gotha. Reproduce en lo esencial el contenido de una conferencia que dicté en septiembre de 1883 en la sección matemática de la asamblea de investigadores de la naturaleza en Friburgo (Baden). Como consecuencia de esta conferencia recibı́ poco tiempo después una carta del Sr. R. Lipschitz (al que mencioné en Z. Philos. u. philos. Krit.. n. 88, p. 225), en la que este excelente matemático me llamaba la atención hacia la correspondencia (del 12 de julio de 1831) entre Gauss y Schumacher, en la que Gauss se expresaba contra cualquier introducción del infinito actual en la matemática. 9 equivalentes con M . Llamo, sin embargo, a dos conjuntos M y N equivalentes si pueden ponerse en correspondencia elemento por elemento recı́proca y unı́vocamente. (Cf. Crelles Journal, vol. 84, p. 242). Por eso uso también la expresión más breve valencia para la potencia o el número cardinal. De conjuntos de la misma valencia digo, que pertenecen a la misma clase de potencia. Valencia de un conjunto M es por lo tanto un concepto general, bajo el cual está situados todos los conjuntos de la misma clase que M y sólo ellos. Una de las tareas más importantes de la teorı́a de conjuntos, que creo haber resuelto en lo principal en el trabajos “Fundamentos de una teorı́a general de las multiplicidades”, Leipzig, 1883, consiste en la exigencia de determinar las diferentes valencias o potencias de las multiplicidades que presentan en el conjunto de la naturaleza, en la medida en que ella se abre a nuestro conocimiento; esto lo he conseguido a través de la formación del concepto general de enumerable de conjuntos bien ordenados, o lo que significa lo mismo, del concepto de número ordinal. La definición de lo que entiendo por un conjunto bien ordenado M, se encuentra en los “Fundamentos”, p. 4. A dos conjuntos bien ordenados M y R los llamo del mismo tipo o también semejantes entre sı́ si se pueden relacionar recı́proca y unı́vocamente de una manera tal que si m y m0 son cualesquiera dos elementos del primero, y n y n0 los elementos correspondientes del segundo, entonces la relación de rango de m0 a m es la misma que la relación de rango de n0 a n. Digo también de dos conjuntos bien ordenados M y R de este tipo que son respectivamente enumerables [ojo, abzälbar]. Ası́, por ejemplo, los conjuntos bien ordenados (a, a0 , a00 ) y (b, b0 , b00 ) ası́ como también los conjuntos bien ordenados (a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ...) y (b, b0 , b00 , ..., b(ν) , ...) y también (a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ..., c, c0 , c00 ) y (b, b0 , b00 , ..., b(ν) , ..., d, d0 , d00 ) son del mismo tipo, o, lo que quiere decir lo mismo respectivamente enumerables. Por enumerable o número ordinal de un conjunto bien ordenado M entiendo el concepto general (concepto genérico, universal), que se obtiene cuando en el conjunto bien ordenado M se hace abstracción de las caracterı́sticas y relaciones de sus elementos y sólo se piensa en su orden jerárquico, por el que los elementos están en relación entre sı́; el enumerable o número ordinal de M es por lo tanto común a todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo, en cierto modo, aquel que es inmanente a todos ellos. Aquı́ nos sale al paso la tarea de determinar los números ordinales o enumerables de los conjuntos bien ordenados que se presentan en la naturaleza y diferenciarlos adecuadamente con la ayuda de signos apropiados. A ello conducen las siguientes definiciones y teoremas: Sean M y N cualesquiera dos conjuntos bien ordenados, y α y β los números ordinales que les pertenecen; se tiene siempre que 10 M reunido con el R que le sigue es a su vez un conjunto bien ordenado de un determinado tipo, y sea el número ordinal que le corresponde γ. Definimos γ como la suma de α y β, γ = α + β, y llamamos a α el sumando, y a β el sumador de esta suma. Si α y β son cualesquiera dos diferentes números ordinales, i. e., correspondientes a dos tipos diferentes, entonces se puede demostrar, que o bien la ecuación β = α + ξ, o bien la ecuación α = β + ξ según ξ (i.e., según el sumador) es resoluble, y ´por cierto sólo de una manera; en el primer caso llamamos a α menor que β, y en el segundo llamamos a α mayor que β, xi se llamará la diferencia entre ambos números; en el primer caso, ξ = β−α, y en el segundo, ξ = α − β. Se demuestra fácilmente, que si α < β, y β < γ, entonces también α < γ. Además, se muestra que siempre se mantiene la ley [de asociación] (α + β) + γ = α + (β + γ). De manera semejante se define el producto de dos números ordinales, donde hay sin embargo que diferenciar entre multiplicador y multiplicando, pues en general α · β es diferente de β · α. Por el contrario se demuestra también aquı́, por decirlo rápidamente, de un vistazo, que (α · β) · γ = α · (β · γ) (ley asociativa), ası́ como también que α · (β + γ) = αβ + αγ (ley distributiva con α como multiplicando) En los “Fundamentos” escribı́ el multiplicando a la izquierda, y el multiplicador a la derecha; pero se me ha mostrado que el uso opuesto, escribir primero el multiplicando a la izquierda y luego a la derecha el multiplicador, es el más apropiado, y en verdad casi inevitable, para el ulterior desarrollo de la teorı́a de los números ordinales transfinitos; por ese motivo invierto por lo tanto el modo de escribir que se empleó en los “Fundamentos”, en lo que se refiere a los productos, a partir de ahora siempre al revés. Se convence uno de la importancia de este cambio, en cuanto se sacan a consideración números ordinales transfinitos de la forma αβ , para los cuales según este modo de escribir vale la misma ley: αβ · αγ = αβ+γ . Esta misma ley tomarı́a sin embargo la chocante forma según el modo de escribir de los “Fundamentos”: αβ · αγ = αγ+β . Señalo además lo siguiente: si en un conjunto bien ordenado M cualesquiera dos elementos m y m0 cambian su lugar en la ordenación jerárquica total, el tipo no cambiará por eso, luego tampoco el “enumerable” o el “número ordinal”. De aquı́ se sigue que tales [reconfiguraciones] de un conjunto bien ordenado dejan inalterado el [enumerable] del mismo, que se puede reconducir a una sucesión finita o infinita de transposiciones de cada dos elementos, i.e., todos los cambios de este tipo, que se producen por permutación de los elementos. Ahora, puesto que en un conjunto finito, si el agregado de sus elementos permanece el mismo, cada [reconfiguración] se puede reconducir a una sucesión de transposiciones, entonces reside aquı́ el fundamento, por el que en los conjuntos finitos el número ordinal y el número cardinal en cierto modo coinciden, en tanto que aquı́ conjuntos de la misma valencia [en cada forma], pensados como conjuntos bien ordenados, siempre tienen uno 11 y el mismo número ordinal. En los conjuntos bien ordenados, sin embargo, surge la diferencia entre número cardinal y número ordinal inmediatamente de la manera más decisiva. Igualmente en los conjuntos finitos se [corresponden] en cualquier circunstancia las leyes conmutativas de la adición y la multiplicación, en tanto que a partir de ahı́ se prueba muy fácilmente que, si µ y ν son dos números ordinales finitos, entonces siempre µ + ν = ν + µ y µ · ν = ν · µ. Para los ordinales transfinitos mı́nimos, esto es, aquellos que corresponden a conjuntos bien ordenados del tipo (a, a0 , a00 , ..., a(ν) , ...) debe de adoptarse un nuevo signo; para ello he elegido la última letra del alfabeto griego ω. Por números ordinales de la segunda clase numérica entiendo aquellos números, que pertenecen a conjuntos bien ordenados de la potencia de la primera clase numérica 1, 2, 3,. . . , ν,. . . ; este agregado de números ordinales constituye una nueva valencia y ciertamente la valencia inmediatamente siguiente a la previa, como he mostrado rigurosamente (Fundamentos, p. 35-38). Y el mismo argumento nos conduce a clases numéricas más elevadas y a las valencias más elevadas que les corresponden. –Esto es una armonı́a prodigiosa, que avanza en magnitud, cuya realización exacta es el tema de la teorı́a de los números transfinitos. He creı́do que tenı́a que enviarle previamente todo esto, desde luego en [la] forma concisa, para poder abordar algunas observaciones que encuentro en su escrito. En primer lugar llamo la atención sobre la generalidad, precisión y determinación de mis definiciones de números; tienen la misma formulación, tanto si se refieren a conjuntos finitos como a infinitos. Todo número transfinito de la segunda clase numérica, p.ej., tiene según su definición, la misma determinación, la misma completitud en sı́ como todo número finito. El concepto ω, por ejemplo, no contiene nada fluctuante, nada indeterminado, nada variable, nada potencial, no es ningún peiron, sino un fwrisménon, y lo mismo vale para todos los demás números transfinitos. Constituye, igual que todo número finito, p.ej. 7 o 3, una oposición a los signos indeterminados x, a, b del cálculo con letras, con el que Usted de modo inadecuado compara a los números transfinitos en su escrito. De este modo, Usted se aparta del sentido que los números transfinitos tienen para mı́, lo mismo que ha hecho el Sr. Wundt en su concepción, que se encuentra sobre este tema en su Doctrina del Método, Lógica, Vol. II, p. 126-129. El tratamiento de Wundt muestra que no es clara y distintamente consciente de la diferencia fundamental entre infinitoimpropio=finito variable=infinito sincategoremático (peiron) por una parte, y finito propio = transfinito = infinito perfecto = siendo infinito = infinito categoremático (fwrisménon); de no ser ası́, no habrı́a caracterizado tanto a uno como al otro como lı́mites, un lı́mite es siempre algo fijo, invariable en sı́, por ello, de los dos conceptos de infinito, sólo el transfinito puede ser pensado como siendo y según qué circunstancias, y en cierto sentido también como un lı́mite fijo. Por ello yerra Wundt también al creer que el transfinito no tiene ninguna significación fı́sica, pero sı́, desde luego, el infinito potencial; tomado rigurosamente, 12 lo contrario de eso es lo correcto, porque el infinito potencial es sólo un concepto auxiliar y relacional, y se refiere siempre a un transfinito que está a la base, sin el cual aquel no puede ser ni ser pensado. La diferencia entre el infinito impropio y el infinito propio fue reconocida por los filósofos muy temprano, i.e., ya desde los antiguos griegos, aunque desde luego no en todos los casos con la misma claridad; igualmente se la encuentra claramente expresada entre los modernos, con la excepción de Kant, Herbart y los materialistas, empiristas, positivistas, etc. No obstante, Hegel no merece en esto, como Wundt parece opinar, una mención especial, puesto que incluso la contradicción ha sido elevada por él mismo como elemento originador de su filosofı́a a propiedad caracterı́stica de su manera de pensar, a lo que yo al menos no me inclino. A esto se añade que lo que Hegel pueda haber dicho más o menos apropiado sobre la diferencia aquı́ explicada, como tantas otras cosas en él, están tomadas de Spinoza. En todos los filósofos falta, sin embargo, el principio de la diferencia en el transfinito, que conduce a diferentes números transfinitos y diferentes potencias. La mayorı́a confunden incluso el transfinito con el uno más elevado sin diferencia según su propia naturaleza, con el Absoluto, con el máximo absoluto, que naturalmente no es susceptible de ninguna determinación y por ello no está subordinado a la matemática. También es por completo inadecuado en la crı́tica de Wundt la elaboración de nuevas especulaciones denominadas “metamatemáticas”, que no tienen ni la menor semejanza ni ningún auténtico punto de contacto con mis trabajos, y, asimismo, no puede calificarse al infinito de “trascendente” (i.e, superando a pesar de todo ampliamente las capacidades humanas de comprensión). 13 En la recensión de Ballauf 7 que precisamente alcanza el máximo de la inexactitud en las notas de la redacción, no sólo no es el giro, que deberı́a ser humorı́stico, al final correcto, sino que descansa en un manifiesto error. Si tenemos una lı́nea infinita AO que parte de A y ponemos en su principio 7Ztschr. f. exakte Philos. 12, 375. De esta reseña he llegado a tener la impresión de que el crı́tico, [que] en muchos respectos ha comprendido muy bien mis pensamientos, ha sido obligado por el terrorismo de los jefes de escuela a adoptar una posición mucho más aguda contra mı́, de lo que parece compatible con sus propias convicciones. Esto resalta de la manera más llamativa en la p. 389, donde la redacción (Theod. Allihn y Otto Flügel) toma de repente las riendas de su reflexión libre y sin prejuicios para reconducir a la pobre a la prisión oscura y subterránea de la dogmática Herbartiana. A lo dicho en esta nota bajo el texto por la redacción no podemos ahorrarnos dos respuestas. En primer lugar, no parece haber leı́do mi trabajo, pues no tiene en cuenta que yo distingo rigurosamente en los “Fundamentos” el infinito potencial, que llamé allı́ infinito impropio, del infinito actual, al que llamé infinito propio. Herbart y sus discı́pulos reconocen sólo el primero, le dan sólo a él el nombre de infinito y no saben nada de transfinitos. Contra ello no habrı́a nada que objetar formalmente, non cuivis homini contingit adire Corinthum, (no a todo hombre le es dado ir a Corinto) y serı́a además para su uso lingüı́stico una contradictio in terminis (contradicción en los términos), conceder el predicado de la determinación a lo infinito. Pero, ¿cómo se puede justificar formalmente el reproche hecho a mı́, según el cual yo habrı́a querido unificar los predicados de determinación e indeterminación, y de ahı́ hacer un “determinado indeterminado”, ya que yo justo al contrario he separado tan rigurosamente el infinito potencial del transfinito, que aparecen en mi obra siempre como diferentes toto genere (en todos los géneros)? La otra respuesta es de tipo material y afecta más al maestro que a sus desafortunados discı́pulos. Según Herbart, IV, 88 ss, el concepto de infinito debe basarse “en un lı́mite variable, que en cada momento puede y, respectivamente, debe deslizarse en adelante”. “Prescindir de esta variabilidad del lı́mite, significa superar el concepto de lo infinito, no significa pensar nada Infinito, sino lo finito”. Sin embargo, si se prescinde de esta variabilidad del lı́mite o de la continua posibilidad de progresar, en cuanto se pone lo infinito como acabado o como realmente presente, ya no se pone entonces un conjunto infinito, sino uno finito. No se trata aquı́ de la incapacidad subjetiva, que es incapaz de llegar nunca al fin en la actividad de contar o de poner, sino del concepto de lo infinito mismo, cuya caracterı́stica esencial, y sin la que no se le puede pensar es precisamente aquel lı́mite variable más allá del cual siempre se puede encontrar algo. Con respecto a los números se puede expresar lo ya dicho también en los siguientes términos: en todo conjunto finito de cosas, por grande que este pueda ser, se ofrece inmediatamente la posibilidad de un recuento objetivo (si el conjunto alcanza unos cuantos miles de millones, me permito dudar de que a los señores redactores les sea posible realizar el recuento objetivo inmediatamente; nota del autor). Por el contrario, en los conjuntos infinitos (¡por lo tanto a pesar de todo un cierto reconocimiento de los conjuntos infinitos!) la posibilidad de contar está simplemente excluida (lo que en el sentido a que nos referimos aquı́ no lo niega nadie), porque precisamente el verdadero infinito sólo puede concebirse como un indeterminado e inacabado. (¡Por lo tanto el “verdadero infinito” debe ser peor que lo finito!) etc. ¿A los señores se les ha ido por completo de la memoria que, aparte de los viajes que se pueden realizar en la fantası́a o en los sueños, que, digo, para cambiar o desplazarse con seguridad se requiere un suelo y un piso sólidos ası́ como un camino apropiado, un camino, que nunca se interrumpe, sino que allá donde lleva el viaje, debe ser y permanecer practicable? Ası́ pues, la exhortación que Heinrich Hoffmann nos ha dirigido al ánimo a todos tan claramente en su “Struwelpeter” (Frankfurt a. M.: Loening) con el “Vistazo de Hans al cielo” a los señores herbartianos ¿es a los únicos a los que no ha impresionado? El largo viaje que Herbart prescribe a sus “lı́mites variables” no está limitado confesablemente a un camino finito, por lo tanto su camino debe ser uno infinito, y ciertamente, puesto que no es por su parte cambiante, sino siempre fijo, debe ser un camino actualmente finito. Se requiere por lo tanto para cada infinito potencial (los lı́mites variables) un transfinito (el camino seguro para caminar) y no puede ser pensado sin un último (Cf. con esto los caps. V y VII de este trabajo). Puesto que nosotros con 14 A un segmento finito BA, entonces obtenemos de nuevo una lı́nea infinita BO que parte B, a la que el segmento recto que se añade no le ha producido el menor cambio en relación con el “tamaño”, lo que se reconoce porque se puede poner a la nueva recta en total congruencia con la antigua; la ganancia, que se ha obtenido por medio del segmento BA que se añade, es ciertamente realmente presente e indiscutible, pero desaparece por completo si se atiende solamente al accidente que afecta a ambas lı́neas AO y BO de la magnitud. Quien encuentra aquı́, como siempre, en la cantidades actualmente infinitas una falta contra el principio de contradicción, se equivoca por completo, al perder de vista el carácter abstractivo de la “magnitud” al identificar erróneamente el quantum presente con la entidad substantiva. En una inadvertencia semejante, sin embargo, parece haber caı́do Wundt en la página 128. No requiere, por lo tanto, ninguna justificación ulterior, el que yo en los “Fundamentos“ justo al principio distinga dos conceptos diferentes toto genere entre sı́, a los que llamo el infinito impropio y el infinito propio; no deben ser considerados en modo alguno como unificables o emparentados. La tan a menudo en todos los tiempos admitida reunión o mezcla de estos dos conceptos completamente distintos contiene según mi firme convicción la causa de innumerables errores; en particular veo aquı́ sin embargo el motivo por el que no se ha descubierto antes los números transfinitos. Para excluir en adelante esta confusión, denoto el mı́nimo número transfinito con el signo acostumbrado, diferente al signo correspondiente al infinito impropio ∞, a saber, con ω. Por otra parte, ω puede en cierto modo considerarse como el lı́mite, al que tiende el número entero finito variable ν, pero sólo en el sentido de que ω es el mı́nimo número de orden transfinito, i.e., el mı́nimo número firmemente determinado, √ que es mayor que todos los números finitos ν; exactamente igual que 2 es el lı́mite de determinados números racionales variables y √ crecientes, sólo que aquı́ además se añade que la diferencia entre 2 y estas fracciones aproximadas se hace todo lo pequeña que se quiera, pero por el contrario ω − ν siempre es igual a ω; esta diferencia no cambia sin embargo nada, el que ω ha de contemplarse como tan determinado y completo como √ 2, y tampoco cambia √ nada el que ω tiene tan pocos rastros de los números que tienden a él como 2 algo de las fracciones aproximadas racionales. Los números transfinitos son en cierto sentido ellos mismos nuevas irracionalidades, y de hecho, el mejor método, a mi modo de ver, de definir los números irracionales finitos es por completo semejante, yo dirı́a incluso que en principio el mismo, que mi método más arriba descrito de introducción de los números transfinitos. Se puede decir incondicionalmente: los números transfinitos [concuerdan o coinciden] con los números irracionales finitos; se parecen entre sı́ en su esencia más ı́ntima; pues éstos son como aquellos nuestros trabajos hemos asegurado el amplio camino [militar] de los transfinitos, lo hemos fundamentado y empedrado cuidadosamente, lo abrimos al tráfico y lo ponemos como fundamento inamovible, utilizable por todos los amigos del infinito potencial, pero en especial a disposición de los amantes de caminar dispuestos a los “lı́mites” Herbartianos, de buen grado y pacientemente dejamos lo infatigable de la monotonı́a de su en absoluto no envidiable destino; sólo con que [ella] camine siempre más adelante, nunca más les desaparecerá el suelo bajo los pies. ¡Disfruten del viaje! 15 [conformaciones] o modificaciones(forisménai)8 limitadas y determinadas del infinito actual. II.9 Aunque corresponde tan poco a mis inclinaciones criticar los puntos de vista de los demás, considerando la importancia del tema, y siguiendo su expresa y repetidamente manifestada voluntad he examinado con detalle las razones indicadas, en su artı́culo 10 “El problema de lo infinito” contra el “infinitum actuale existens seu in concreto”, que según su opinión no serı́an utilizables contra el “inf. act. possibile”, y he encontrado que aquı́ también de nuevo, como en todas las demostraciones que persiguen el mismo fin, se halla a la base un cı́rculo vicioso oculto. En mi carta al Sr. G. Eneström he dicho que todas las ası́ llamadas demostraciones contra los números actualmente infinitos reposan en un prw̃ton yeũdoc, del que no se da completa cuenta, y que me comprometo a demostrar en todo caso en el caso presente; consiste en que se exige de antemano todas las propiedades de la magnitud actualmente infinita de la magnitud finita, con lo que se sigue fácilmente una contradicción con su ser infinito. Con esto se cree entonces haber llegado a una demostración de su imposibilidad, mientras que en verdad, sólo se ha movido en cı́rculo. Exactamente la misma convicción tengo con todos los intentos de demostración por medio de los cuales el IA in concreto seu in natura creata debe ser discutido; sólo que aquı́ se puede añadir aún otros motivos, de mucho más peso, que fluyen de la absoluta omnipotencia de Dios y ante los cuales toda negación de la posibilidad de un “transfininut seu infinitum actuale creatu” parece como una violación de aquel atributo de la divinidad. Con todo, no quiero llevar más adelante el último argumento, porque será suficiente señalar en la demostración de Vd. aquello que, en correspondencia con mi convicción previamente expresada y mi humilde opinión, es incompleto en ella. Su reflexión dice expresamente [como sigue]: “En este lugar creo sin embargo que debo llevar a cabo la demostración de que una magnitud actualmente infinita no puede existir. Si existiera una lı́nea infinita, un hilo infinitamente largo, entonces se podrı́a en el lugar, [donde me alcanza], cortar un segmento finito y a continuación concentrar los dos segmentos restantes y unirlos de nuevo entre sı́. Pero ahora ninguno de los dos segmentos es ya infinito; pues a ambos les falta ya tanto de la infinitud, como se han [deslizado] 8Cf. Conimbricenses Phys. Lib. III, cap. 8, quest. 1, art. 1. Este pasaje se refiere a Aristóteles Fı́s. Γ 208 a 6, donde se opone al >ápeiron un >ápeiron ±c forisménon y, como he demostrado en otra ocasión, se le combate con fundamento totalmente insuficiente. Cf. tb. S. Tomás, Phys. III, lectio 13. Los fundamentos del Estagirita no demuestran otra cosa, que el que los argumentos, que los antiguos filósofos de la naturaleza han aducido en favor de la existencia necesaria de un >ápeiron ±c forisménon no son concluyentes; sin embargo, él no demuestra la imposibilidad de un >ápeiron ±c forisménon existente; en otras palabras, él no demuestra que el concepto de éste último, si se le concibe como transfinito, sea contradictorio, y afirmar algo ası́ le habrı́a sido difı́cil, o dicho más correctamente, imposible. 9 Este escrito fue dirigido al Prof. Guberlet en Fulda y lleva la fecha del 24 de enero de 1886. 10 Ztsch. f. Philos. u. philos. Kritik, 88, p. 199 16 por la aproximación a la mitad. Por lo tanto ambos están limitados desde la parte de la infinitude igualmente limitados hacia la mitad. Ahora bien, una lı́nea podrı́a ser por otra parte limitada en un sentido y sin embargo ilimitada hacia el otro, pero si ella está limitada en los dos sentidos, entonces es con toda seguridad finita. Pero si los dos segmentos son finitos, entonces también lo es toda la lı́nea, y si ella ahora, tras la sustracción de un segmento intermedio finito, se muestra como finita, entonces lo era también con este segmento intermedio finito, pues dos finitos no hacen ningún infinito”. En esta argumentación reconozco el error de que se han transferido las propiedades de una lı́nea recta finita sin más a una lı́nea recta infinita, cuyas propiedades dependen de la naturaleza de lo infinito. Si Vd. traslada una recta finita AB de tal modo que su punto inicial A se deslice a lo largo de segmento AA0 = 1 hacia A0 , esto sólo es posible, de modo que cada uno de sus demás puntos se deslizan, p.ej. M hacia M 0 a lo largo de un segmento igual M M 0 = 1 y en especial también el punto final B a lo largo de BB 0 = 1 hacia B 0 . Pensemos ahora sin embargo en lugar de la lı́nea finita AB una lı́nea actualmente infinita AO en el mismo sentido y con el mismo punto inicial, la cual tiene su punto final O en el infinito, entonces es válido también ciertamente que cada punto situado en [la finita] M se desliza a lo largo de M M 0 = 1 hacia M 0 , y en caso de que A sigue tras A’, ¿quién le dice a Vd., sin embargo, que aquı́ también vale lo mismo del punto final infinitamente lejano O? Completamente al contrario la última suposición lleva, como Vd. mismo ha mostrado, a una contradicción; esta contradicción no justifica, como Vd. supone, la negación de posibilidad de la existencia de una recta actualmente infinita AO, sino que conduce a la propiedad no contradictoria aquı́ involucrada de la recta actualmente infinita AO, de que, mientras todos los demás puntos M , A, B de la recta AO son [arrastrado] un segmento igual M M 0 = AA0 = BB 0 = 1 hacia la izquierda, sólo el punto infinitamente lejano O permanece fijo en su lugar, i.e., no puede ser traı́do del alejamiento infinito a lo finito por este camino, y tampoco en el caso de que Vd. quisiera asumir por hipótesis una fuerza de tracción infinita. Puesto que la recta pensada actualmente infinita AO corresponde según su magnitud al número ordinal transfinito mı́nimo denotado con ω se puede reencontrar lo que acabamos de decir con la conocida ecuación, que no envuelve la menor contradicción, 1 + ω = ω, donde en la parte izquierda 1 = A0 A tiene la significación del sumando, y ω = AO tiene la la cantidad a la que se le suma. Por otra parte y al contrario, ω + 1 donde figuran ω como cantidad a la que se suma, 1 como sumando, es, como se deduce de los principios de mis Fundamentos, un número transfinito diferente de ω, a saber, el número ordinal transfinito entero inmediatamente siguiente al número ordinal mı́nimo ω; pero éste último no tiene ningún uso en su ejemplo, puesto que puesto que para Vd. el número al que se le suma es un número finito y que está situado en la magnitud finita A0 A = 1, y el sumando AO = ω es un número actualmente infinito. Puesto que he discutido el mismo tema desde otros puntos de vista en una carta que he escrito en estos dı́as, quisiera obsequiarle con la siguiente 17 copia de un extracto11 de ella, con el deseo de que Vd. me comunicara por escrito por favor su opinión sobre esto ası́ como sobre lo dicho en la carta que acabo de mencionar12 III.13 Las lı́neas, que SE ... tuvo la bondad de dirigirme el 25 de diciembre de 1885, contienen algunas dudas en relación con los fundamentos filosóficos de mis trabajos, enviados a Vd. para examen; presumiblemente se trata de determinadas palabras empleadas por mı́, cuya significación no he explicado con precisión, las cuales no permiten que mi opinión aparezca completamente determinada, y yo quisiera permitirme por ello, explicarme brevemente con más precisión. Las expresiones “natura naturans”, y “natura naturata”, que aparecen en mi [pequeño] artı́culo “Sobre los diferentes puntos de partida en relación con el infinito actual”, las uso con la misma significación que le dieron los tomistas, de tal manera que la primera expresión se refiere a Dios como el creador y conservador de todas las cosas, fuera del cual no se mantiene ninguna de las substancias creadas por él, la segunda sin embargo al mundo creado por él. Correspondientemente distingo un “infinitum aeternum increatum sive absolutum”, que se refiere a Dios y sus atributos, y un “infinitum creatum sive transfinitum”, que se dice en todas partes allı́ donde en la natura creata se debe constatar un infinito actual, como por ejemplo en relación con el, según mi sólida convicción, número infinito actual de los seres particulares creados tanto en el universo como ya también en nuestra tierra y, según toda verosimilitud, ya en toda parte extensa del espacio, por pequeña que sea, en lo que coincido por completo con Leibniz (Epistola a Foucher, t. 2 operum, ed. Dutens, p. I, pág 243). 11Vid. infra III. 12 Con respecto a la precedente exposición, se puede, según parece, señalar lo siguiente. Precisamente porque la lı́nea que se desplaza se supone rı́gida, cada punto debe deslizarse igualmente con el deslizamiento desde A hasta A0 , y por ello también el punto final infinitamente lejano O. La infinitud sólo podrı́a entonces condicionar una imposibilidad del deslizamiento, si la fuerza de tracción fuera suficiente para el deslizamiento de un hilo finito, pero no de uno infinito. Pero para ello podemos suponer una fuerza de tracción infinita. Ahora bien, se puede desde luego objetar por el contrario, que a causa de la imposibilidad metafı́sica de arrastrar una lı́nea infinita a la finitud, la realización no será posible a pesar del cumplimiento de todas las condiciones fı́sicas, incluso bajo el supuesto de un influjo infinitamente fuerte. Nos encontramos aquı́ en el mismo caso que Suárez presupone con el supuesto de un mundo eterno (inmutable). El fuego, ası́ opina él, puesto en el combustible eternamente, no podrı́a inflamarlo, a pesar de su gran capacidad de quemar. Pues el proceso de combustión de algunos minutos deberı́a cortar un trozo de la eternidad, y ası́ hacer a ésta misma finita. Sin embargo, apenas creo que alguien haya entendido esto de tal modo que piense que el fuego deje el combustible eternamente intacto. Para ello debe señalarse como insostenible incluso el supuesto de un mundo eterno, relacionado con cambios. Lo mismo parece valer también para el hilo infinito. (Nota del Prof. Gutberlet). 13 Las dos cartas siguientes (III y IV) del 22 y del 29 de enero de 1886 fueron dirigidas a un gran teólogo [el cardenal Franzelin]; éste fue, lo digo con dolor, llamado a la eternidad el 11 de diciembre de 1886. 18 Aunque sé que la teorı́a del “infinitum creatum” es discutida, aunque no por todos, sı́ por la mayorı́a de los maestros de la iglesia y en particular por el gran S. Tomás de Aquino introdujo determinadas opiniones en contra en su Summa Teologica p. q 7 obs. 4, sin embargo, los motivos, que en esta cuestión en el curso de una investigación de veinte años, puedo decir, contra mi voluntad, porque en oposición a la por mı́ siempre altamente respetada tradición, desde dentro me he visto forzado y en cierto modo obligado, más fuertemente que todo lo que hasta ahora he encontrado dicho en contra, aunque he comprobado esto muy ampliamente. También creo que las palabras de la sagrada escritura, como p. ej. Sap. c. 11 cap. 21: “omnia in pondere, numero et mensura disposuist”, en las que se presumió una contradicción con los números actualmente infinitos, no tienen ese sentido; pues, puesto el caso, habrı́a, como creo haber demostrado, “potencias” actualmente infinitas, i.e., número cardinales y “enumerables de conjuntos bien ordenados” actualmente infinitos, i.e., números ordinales (estos dos conceptos, como he encontrado, son extraordinariamente diferentes en los conjuntos actualmente infinitos, mientras que en los conjuntos finitos su diferencia es apenas perceptible), por lo tanto estarı́an con toda seguridad también mencionados conjuntamente los números transfinitos en aquella expresión sagrada, y no se puede por ello, a mi parecer, tomarla como argumento contra los números actualmente infinitos, si se quiere evitar un argumento circular. Sin embargo, que debe admitirse un “infinitum creatum” como existente, puede demostrarse de múltiples modos. Para no entretener a V.E. demasiado, quisiera limitarme a dos breves indicaciones en este asunto. Una demostración parte del concepto de Dios y deduce en primer lugar de la altı́sima perfección de la esencia divina la posibilidad de la creación de un transfinitum ordinatum, y luego de su bondad y poder, la necesidad de la de hecho llevada a término creación de un transfinito. Otra demostración muestra a posteriori, que el supuesto de un transfinito en la natura naturata permite una explicación mejor de los fenómenos, en particular de los organismos y de los fenómenos psı́quicos, porque es más completa, que la hipótesis contraria. IV ...V.E.... le expreso mi más cordial agradecimiento por las declaraciones del clemente escrito del 26 de enero de 1886, con las que coincido con total convicción; pues en la breve indicación de mi carta del 22 del mismo, no era mi opinión en el pasaje en cuestión hablar de una necesidad metafı́sica y objetiva para el acto de la creación, a la que Dios con una libertad absoluta estuviera supeditado, sino que querı́a sólo señalar una cierta necesidad subjetiva para nosotros de deducir de la bondad y el poder de Dios la creación llevada a término de hecho (no a llevar a término a parte Dei), no meramente de un finitum ordinatum, sino de un transfinitum ordinatum. V.14 14Esta carta, fechada el 28 de febrero de 1886, está dirigida al Prof. Dr. med. A. Eulenburg en Berlı́n. 19 Con placer encuentro en su escrito del 23 del mismo que Vd. dedica un interés al objeto de mis investigaciones, para el cual mi agradecimiento es tanto mayor, cuanto más inusual es que me lo hayan mostrado famosos investigadores y médicos; pues en esos cı́rculo es lo que llamo “horror infiniti”, en los contextos más diferentes y por las más variadas causas, en general un mal profundamente enraizado. Si ponemos la vista en las definiciones del infinito potencial y actual, se desvanecerán pronto las dificultades de las que Vd. me escribe. I. El I.P.15 se afirma preferentemente, donde se presenta una magnitud indeterminada, variable y finita, que o bien crece más allá de todos los lı́mites finitos (entre nuestras representaciones, pensemos, p.ej., lo que llamamos tiempo, contado desde un determinado momento inicial) o bien decrece bao todo lı́mite finito (lo que, p.ej., es la representación legı́tima de lo que llamamos un diferencial; más en general, hablo de un I.P. en todos los casos en que entre en consideración una magnitud indeterminada, que es susceptible de una cantidad innumerable de determinaciones. II. Por un I.A.16 ha de entenderse por el contrario un quantum, que por una parte no es variable, sino que más bien es fijo en todas sus partes, una verdadera constante, pero al mismo tiempo, por otra parte, excede a toda magnitud finita del mismo tipo en magnitud. Como ejemplo cito la totalidad, el concepto de todos los números enteros positivos finitos; este conjunto es una cosa de por sı́ y conforma, aparte por completo de la sucesión natural de los números que pertenecen a él, un quantum fijo en todas sus partes y determinado, un fwrisménon),que manifiestamente hay que llamar mayor que todo enumerable finito17 15Esto es, el infinito potencial (>ápeiron). 16Esto es, el infinito actual (fwrisménon). 17Cf. la concepción completamente conforme con esto de la sucesión de los números enteros como un quantum actuamente infinito en S. Agustı́n (De civitate Dei, lib. XII, cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia comprehendi. Debido a la gran significación que tiene este pasaje para mi posición, quiero recogerlo aquı́ literalmente, y me reservo discutirlo en detalle en una ocasión posterior. El capı́tulo dice ası́: “Illud autem aliud quod dicunt, nec Dei scientia quae infinita sunt posse comprehendi: restat eis, ut dicere audeant atque hic se voragini profundae inpietatis inmergant, quod non omnes numeros Deus noverit. Eos quippe infinitos esse, certissimum est; quoniam in quocumque numero finem facindum putaveris, idem ipse, non dico uno addito augeri, sed quamlibet sit magnus et quamlibet ingentem multitudinem continens, in ipsa ratione atque scientia numerorum non solum duplicari, verum etiam multiplicari potest. Ita vero suis quisque numerus proprietatibus terminatur, tu nullus eorum par esse cuicumque alteri possit. Ergo et dispares inter se atque diversi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnes infiniti sunt. Itane numeros propter infinitatem nescit omnes Deus, et usque ad quandam summam numerorum scientia Dei pervenit, ceteros ignorat? Quis hoc etiam dementissimus dixerit? Nec audebunt isti contemnere numeros et oes dicere ad Dei scientiam non pertinere, apud quos Plato Deum magna auctoritate commendat numeris mundum fabricantem. Et apud nos Deo dictum legitur: Omnia in mensura et numero et pondere disposuisti (Sap. 11,21); de quo et propheta dicit: Qui profert numerose saeculum (Esai. 40,26), et Salvator in evangelio: Capilli, inquit, vestri omnes numerati sunt (Mt. 10,30). Absit itaque ut dubitemus, quod ei notus sit omnis numerus, cujus intelligentiae (absolutae), sicut in psalmo canitur, non est numerus (Ps., 147, 5). Infinitas itaque numeri, quamvis infinitorum numerorum nullus sit numeros [finitus], non est tamen inconprehensibilis ei, cujus intelligentiae [absolutae] non est numerus. Quapropter si, quidquid scientida conprehenditur, scientis 20 Ahora bien, en tanto que San Agustı́n sostiene la percepción total e intuitiva del conjunto (ν) “quodam ineffabili modo”, a parte Dei, reconoce al mismo tiempo a este conjunto formaliter como un todo actualmente infinito, como un transfinito, y estamos obligados, a seguirlo en esto. En este pasaje, posiblemente sin embargo, se le formulará la objeción de que nosotros tenemos también la necesidad de contemplar el conjunto (ν) como un infinito categoremático, y por otra parte no nos está permitido sacar a consideración el número ordinal ω o el número cardinal ω que le corresponde, y esto no nos estarı́a permitido por este motivo, porque nosotros por las limitaciones de nuestro ser no estamos en condiciones de pensar actualmente uno intuitu todos los infinitos individuos numéricos ν pertenecientes al conjunto (ν). Ahora bien, yo quisiera ver a aquel que, por ejemplo, en el caso del número finito“mil millones” o incluso en números mucho más pequeños puede representarse distintamente y con precisión uno intuito las unidades presentes en él. Alguien ası́ hoy por hoy no vive con toda seguridad entre nosotros. Y a pesar de ello, tenemos el derecho de contemplar a los números finitos, aún cuando sean tan grandes, como objetos del conocimiento discursivo y humano, e investigarlos cientı́ficamente según sus propiedades; el mismo derecho nos asiste también en relación con los números transfinitos. Frente a aquella objeción, por lo tanto, sólo hay una respuesta: ¡la condición que vosotros mismos, incluso en los números pequeños y finitos no estáis en condiciones de satisfacer y cumplir, pretendéis exigirnosla en relación con los números infinitos! ¿Se ha puesto una exigencia más inicua nunca entre los hombres? Según nuestra organización [conformación], rara vez estamos en posesión de un concepto, del que pudiéramos decir, que éste serı́a un “conceptus rei propius ex propiis”, en tanto que nosotros, a través de él, sin la ayuda de una negación, un [simplo] o un ejemplo, lo captamos y reconocemos, cómo es en sı́ y para sı́. Es más, en el conocimiento dependemos la mayor parte de las veces de un “conceptus proprius ex communibus”, que nos capacita para determinar una cosa a partir de predicados generales y con la ayuda de comparaciones, exclusiones, sı́mbolos o ejemplos de tal manera que, podamos distinguirla claramente de toda otra cosa. Compárese, p.ej., el método por el que yo en los “Fundamentos” y antes en los Math. Ann. 5 (1871), definı́ las magnitudes numéricas irracionales. Yo voy ahora tan lejos, como para afirmar incondicionalmente, que este segundo tipo de conprehensione finitur: profecto et omnis infinitas qodam ineffabili modo Deo [de]finita: qui tandem nos sumus homunculi, qui ejus scientiae limites figere praesumamus, dicentes quod, nisi eisdem circuitibus temporum eadem temporalia repetantur, non potest Deus cuncta quae facit vel praescire ut faciat, vel scire cum fecerit? cujus sapientia simpliciter multiplex et uniformiter multiformis tam inconprehensibili conprehensione omnia inconprehensibilia conprehendit, ut, quaecumque nova et dissimilia conseuentia praecedentibus si pemper facere vellet, inordinata et inprovisa habere non posset, nec ea provideret ex proximo tempore, sed aeterna praescientia contineret.” En determinados lugares me he permitido realizar inserciones (reconocibles por los paréntesis), que permiten señalar más claramente el sentido que según mi parecer tienen las palabras en [cuestión] en los pasajes en [cuestión] en S. Agustı́n. No se puede exigir el transfinito más enérgicamente que lo que lo hace aquı́ S. Agustı́n, ni se le puede fundamentar y defender más completamente. Pues desde luego nadie puede poner en duda que en los conjuntos infinitos (ν) de todos los números enteros ν no se trata del infinito absoluto (IIb). 21 determinación y delimitación de las cosas es incomparablemente más sencillo, cómodo y fácil para los números transfinitos más pequeños (p.ej., ω, o ω + 1, o ω ν en el número entero finito pequeño ν), que para números finitos muy grandes, en los cuales sólo dependemos de la misma herramienta, correspondientemente a nuestra naturaleza imperfecta. En contraposición a Agustı́n, se encuentra en Orı́genes una decidida toma de posición contra el infinito actual,y avanza tan lejos por este camino, que casi pudiera parecer que quisiera no saber afirmar incluso la infinitud de Dios. Pues dice, que no se puede negar por medio de un falso eufemismo (eÎfhmı́ac qárin) la limitación (circumscriptio = perigraf´h) de la potencia divina. Recuerdo, a este respecto, que pérac significa en griego fin, lı́mite y perfección al mismo tiempo; al >ápeiron se vincula por ello propiamente el concepto de lo indeterminado, imperfecto. También en latı́n aparece infinitum en el sentido de “indeterminado” en Cicerón y Quintiliano (p. ej., infinitior distributio partium, un error lógico en el discurso; infinitas quaestiones, preguntas determinadas imprecisamente, etc.). También finis denota, como pérac, la perfección, ası́ en el conocido tı́tulo de la obra ciceroniana de finibus bonorum, en Tácito finis aequi juris, etc. En el de principiis (perı̀ rq´wn), ed. Redepenning (en los fragmentos conservados, p. 10, en la traducción de Rufinus p. 214, se dice literalmente: “-intueamur creaturae initium, quodcunque illud initium creantis Dei mens potuerit intueri. In illo ergo initio putandum est tantum numerum rationabilium creaturarum, vel intellectualium, vel quoquomodo appellandae sunt, quas mentes superius diximus, fecisse Deum quantum sufficere posse prospexit. Certum est quippe quod praefinito aliquo apud se numero eas fecit: non enim, ut quidam volunt, finem putandum est non habere creaturasK quia ubi finis non est, nec conprhensio ulla nec circumscriptio esse potest. (Es muy verosı́mil que que la discusión en Agustı́n haya sido escrita en oposición completamente consciente a este pasaje en Orı́genes.) Quod si fuerit, utique nec contineri vel dispensari a Deo, quae facta sunt, poterunt. Naturaliter nempe quidquid infinitum (Orı́genes toma siempre sólo en consideración lo >ápeiron y dice, que si la potencia divina fuera >àpeiroc, Dios no podrı́a conocerse a sı́ mismo) fuerit, et incomprehensibile erit. Porro autem, sicut scriptura dicit: ‘In numero et mensura universa’ (Sap. 11, 21) condidit Deus, et idcirco numerus quidem recte adaptabitur rationabilibus creaturis, vel mentibus, ut tantae sint, quantae a providentia Dei dispensari, regi et contineri possint. Mensura vero materiae corporali consequenter aptabitur: quam utique tantam a Deo esse cretam credendum est, quantum sibi sciret ad ornatum mundi posset sufficere (gr. tosaúthn <úlhn <óshn dúnato katakosmh̃sai). He reproducido por completo esta consideración de profundo sentido de Orı́genes porque veo en ella el origen de, debo reconocerlo, los argumentos más significativos y más llenos de contenido que se han esgrimido contra el transfinito. Se les encuentra repetidos a menudo; quiero mencionarlos aquı́ en la forma más perfecta que se les ha dado. En la Summa theol tomista, I, q. 7, a. 4, se dice: “1) Multitudinem actu infinitam dari, impossibile est, quia omnem multitudinem oportet esse in aliqua specie multitudinis. Species autem mutltitudinis sunt secundum species numerorum. Nulla autem species numeri est infinita, quia quilibet numerus est 22 multitudo mensurata per unum. Unde imposibile est ess multitudinem infinitam actu; sive per se, sive per accidens. 2) Item omnis multitudo in rerum natura existens est creata; et omne creatum sub aliqua intentione creantis comprehenditur, non enim in vanum agens aliquod operatur. Unde necesse est quod sub certo numero omnia creata comprehendantur. Impossibile est ergo esse multitudinem infinitam in actu, etiam per accidens”. Estos son los dos motivos de más peso, que el curso de los tiempos se han dirigido contra el transfinito; todos los demás argumentos que se encuentran expresados, pueden con relativa facilidad debilitarse negativamente, señalando que reposan en un error en la argumentación. Estos dos motivos, por el contrario, están muy bien fundamentados y podrı́an ser disueltos y despachados sólo positivamente, si se demostrara y señalara que los números y los tipos de orden transfinitos existen en el dominio de lo posible, de la misma manera que los números finitos y que en los transfinitos están presentes y en cierto modo acumulados incluso un dominio ampliamente mayor de formas y de “species numerorum”, que en el campo relativamente pequeño de los finitos no limitados; por ello los transfinitos estuvieron a disposición de las intenciones del creadar y de la potencia de su voluntad absolutamente inagotable del mismo modo que los números finitos. Se podrı́a creer que S. Tomás ha sospechado o incluso conocido y examinado esta tesitura, y justamente por eso ha desdeñado reproducir los demás argumentos [ligeros] contra las magnitudes y los números actualmente infinitos, que se encuentran entre otros también en los escritos de su maestro Alberto Magno. Él se mantuvo y permaneció con gran [derecho] en aquellos dos motivos llenos de contenido y de peso, que podı́an ser resueltos sólo positivamente; sin embargo, abandonó los restantes motivos por completo de buena gana en la conocida exclamación contra los murmuradores: “Praeterea adhuc non est demonstratum, quod Deus non possit facere ut sint infinita actu”. (Opusc. de aeternitate mundi.). Otro ejemplo es la totalidad de todos los puntos, que están situados en un cı́rculo dado (o en cualquier otra curva determinada). Un tercer ejemplo es la totalidad de todas las mónadas que han de representarse como rigurosamente puntuales, que contribuyen como partes constitutivas al fenómeno de un cuerpo natural existente. De la definición I se sigue que Vd. tiene perfecto derecho a preguntar: “¿No serı́a mejor abandonar para el I.P. la expresión infinito?” En efecto, el I.P. no es propiamente un infinito, por ello lo he llamado en mis “Fundamentos” infinito impropio. A pesar de todo, será difı́cil vencer el uso en cuestión, tanto más difı́cil, cuanto que el I.P. es el concepto más fácil, agradable, superficial, dependiente, y la mayorı́a de las veces está unida con él la ilusión aduladora, de que se tendrı́a con él algo correcto, un infinito correcto; mientras que sin embargo en verdad el I.P. sólo tiene una realidad prestada, en la medida en que siempre está referido a un I.A., sólo por el cual éste es posible. De ahı́ el epı́teto acertado que dieron los escolásticos a I.P.: sugkategorhmatikwc. Si examinamos, además, la definición II, se sigue en primer lugar, que de ahı́ puede concluirse con negar que el I.A. en su magnitud deberı́a ser inincrementable; un supuesto erróneo, que no sólo está extendido entre los antiguos y los escolásticos que se adherı́an a ellos, sino también nueva y la 23 novı́sima filosofı́a, casi se podrı́a decir, por doquier18. Antes bien, necesitamos hacer aquı́ una distinción fundamental, distinguiendo: IIa I.A. incrementable o transfinito. IIb I.A. inincrementable, o absoluto. Los tres ejemplos anteriormente mencionados pertenecen todos a la clase IIa de transfinitos. Pertenece igualmente a ésta el número ordinal transfinito [überendliche] mı́nimo, que denoto con ω, pues éste puede aumentarse o incrementarse hasta el siguiente número ordinal en tamaño ω + 1. Pero también la mı́nima potencia o número cardinal actualmente infinito es un transfinito, y lo mismo vale para el número cardinal siguiente en tamaño etc. Lo transfinito con su abundancia de configuraciones y formas está referido con necesidad a un absoluto, a lo “verdaderamente infinito”, la magnitud del cual en modo alguno puede experimentar incremento o disminución y al que por ello hay que contemplar cuantitativamente como un máximo absoluto. Éste último excede en cierto modo la capacidad humana de comprensión y se sustrae, en particular, a la determinación matemática: por el contrario, el transfinito no sólo corresponde al amplio dominio de lo posible en el conocimiento de Dios, sino que también ofrece un rico y siempre creciente campo de investigación ideal y según mi convicción alcanza realidad y existencia en diferentes respectos y hasta un cierto punto también en el en el mundo de lo creado, para dar expresión al poder del Creador, según su decisión absolutamente libre, más fuertemente de lo que habrı́a podido llevarse a cabo por medio de un ‘mero “mundo finito”. Pero esto habrá de esperar aún mucho tiempo para obtener un reconocimiento general, sobre todo entre los teólogos, por muy valioso que se pueda mostrar también este conocimiento como medio para apoyar el objeto que defienden (la religión). Por último, tengo aún que explicarle en qué sentido concibo el mı́nimo de los transfinitos como lı́mite de los finitos crecientes. Se observa a este respecto que el concepto “lı́mite” en el dominio de los números finitos tiene 18Puesto que desde cuatro años, tras la publicación de los “Fundamentos” he encontrado tiempo para estudiar más en detalle la literatura de la filosofı́a antigua y de la escolástica, sé ahora también que el I.A. in natura creata ha tenido en todos los tiempos sus defensores dentro de la especulación cristiana. A través del diccionario de Bayle hace tres años me llamó la atención entre otros el sobresaliente monje franciscano R. P. Emuanel Maignan (La calificación de Emanuel Maignan (vivió de 1601 a 1676) como un monje franciscano no es completamente correcta, pues normalmente se entienden por tales los llamados minoritas o hermanos seráficos pertenecientes a la orden de S. Francisco de Ası́s. E. M. fue sin embargo (ası́ como el Padre Mersenne, conocido como amigo de Descartes), un Minime, i.e., perteneciente a una orden monacal fundada en el año 1435 por Francisco de Paula († 1507), que sobrepasaba el rigor de la orden franciscana, a la que por lo demás se adhirió, por la prohibición de toda carne) de Toulouse (Cursus philosophicus, Lyon, 1673, que asigna al infinito categoremático una esfera muy amplia. A esto se adhiere su discı́pulo, el franciscano R. P. Hoh. Saguens (Cf. su obra: De perfectionibus divinis. Colonia, 1718). De los nominalistas (siguiendo a Avicena) la mayor parte deben haber afirmado el “número infinito”. Lo mismo se atribuye a los escotistas. El R.P. T. Pesch menciona en su Inst. phil. nat. § 409 entre los defensores de la posibilidad de los números infinitos también a los siguientes autores: Gabriel [Vasquez] (Comm. in Summ. p. 1, d. 26, c.1), Hurtado (Phys. d. 13, §16), Arriaga (Phys. d. 13. n. 32) y Oviedo (Phys. controv. 14, punct. 4, n. 6; punct. 5). Un punto de vista conciliador se encuentra en los Conimbricenses (Pys. 1.3, c.8, q. 2) y en Amicus (Phys. tr. 18, q. 6, dub. 2). 24 dos caracterı́sticas esenciales, que aquı́ se siguen recı́procamente entre si. El número 1, p.ej., es el lı́mite de los números zν = 1 − ν1 (donde ν significa un número entero finito, que crece más allá de todos los lı́mites finitos), y presenta como lı́mite las dos siguientes caracterı́sticas, deducibles la una de la otra: En primer lugar, la diferencia 1 − zν = ν1 es una magnitud que deviene infinitamente pequeña, i.e., los números zν se aproximan al lı́mite 1 hasta la proximidad que se quiera. En segundo lugar, 1 es la menor de todas las magnitudes numéricas, que son mayores que todas las magnitudes zν ; porque si se toma cualquier magnitud 1 − ², que es menor que 1, entonces 1 − ² será mayor que algunos de los zν ; pero a partir de un determinado ν, a saber, para ν > 1² , se tendrá siempre que zν > 1 − ²; por lo tanto, 1 es el minimum de todas las magnitudes numéricas que son mayores que todos los zν . A partir de estas dos caracterı́sticas se muestra. por ası́ decir, por cada una de ellas por completo, el número finito 1 como lı́mite de la magnitud variable zν = 1 − ν1 . Ahora, si se quiere extender el concepto de lı́mite también a los lı́mites transfinitos, entonces sirve para ello sólo la segunda de las dos caracterı́sticas que se acaban de mencionar, y la primera habrı́a que dejarla caer aquı́, porque sólo tiene sentido para los lı́mites finitos, pero no tiene ningún sentido para los transfinitos. Según esto, llamo, por ejemplo, a ω el “lı́mite” de los números enteros finitos crecientes ν, porque ω es es el menor de todos lo números que son menores que todos los números finitos ν; exactamente igual que 1 se encuentra que es el menor de todos lo números, que son mayores que todas las magnitudes zν = 1− ν1 ; todo número más pequeño que ω es un número finito y es sobrepasado en magnitud por otros números finitos ν. Por el contrario, ω − ν es siempre igual a ω, y por lo tanto no se puede decir que los números ν finitos crecientes llegan todo lo cerca que se quiera a su fin ω; antes bien permanece todo número ν por grande que sea igualmente alejado de ω como el número finito mı́nimo. Se manifiesta aquı́ con especial claridad la circunstancia muy importante y decisiva, que mi número ordinal mı́nimo transfinito ω y por consiguiente también todos los demás números ordinales mayores están situado fuera por completo de la serie numérica sin fin 1, 2, 3 etc. El ω no es desde luego el máximo de los números finitos (no hay ciertamente tal), sino que ω es el mı́nimo de todos los números ordinales finitos. Fue el desgraciado error de Fontenelle 19 buscar el transfinito dentro de la [serie] numérica 1, 2, 3,..., ν,..., aun cuando en cierto modo en el cierre de la misma (el cual, sin embargo, ciertamente le falta); en tanto que él de este modo proporcionó a sus números infinitos en adelante una contradicción irresoluble, que decidió el destino de su infructuosa teorı́a; ella tuvo que abandonar el campo ante una crı́tica completamente correcta 20. Pero si otros posteriores se dejan por lo demás guiar por la muerte de los números infinitos de Fontenelle, a criticar severamente a los números actualmente infinitos en general, yo sé, que ellos 19Cf. Fontenelle: Éléments de la Géometrie de l’infini. Parı́s, 1727. 20 25 pos su parte están contradichos por los hechos de mi teorı́a, completamente diferente de la de Fontenelle, y completamente libre de contradicciones.