La paradoja del montón

LA PARADOJA DEL MONTÓN
Nancy Boyallian (Facultad de Filosofía, UNC)
Una de las más curiosas paradojas que ocuparon y preocuparon a los lógicos durante más de
dos mil años es la paradoja de sorites, la cual se atribuye a un sabio contemporáneo a
Aristóteles llamado Eubulides, filósofo megárico autor de otra ilustre paradoja: la del mentiroso.
La más notoria peculiaridad de la paradoja de sorites, y quizás la prueba más evidente de su
condición paradojal, es su reversibilidad. La misma consiste en la posibilidad de formular el
argumento en sus ya conocidas dos direcciones.
La dirección ascendente:
(+) ‘Un grano de arena no es un montón. El hecho de agregar un grano de arena a algo que no
es un montón no lo convierte en un montón.’. Si aplicamos un número considerable de veces
estas premisas concluimos que ‘no importa cuantos granos de arena agregue, nunca formaré
un montón’.
Y la dirección descendente:
(-) ‘Supongamos que estamos frente a un montón de arena. Si quito un grano de arena éste
sigue siendo un montón’. Luego, la reiterada aplicación de estas premisas nos lleva a concluir
que ‘un simple grano de arena es un montón’. Conclusión que contradice la primera premisa de
la dirección ascendente de la paradoja.
Notemos que tanto en una dirección como en otra, la reiterada aplicación de las premisas es la
que nos lleva a conclusiones que a simple vista resultan absurdas. En realidad, la paradoja
consiste en mostrar que pequeñas y sucesivas alteraciones cuantitativas, que en principio son
cualitativamente imperceptibles, a largo plazo producen un cambio cualitativo sustancial.
En el argumento de Eubulides, los primeros n pasos, consistentes en quitar o agregar un grano
de arena, satisfacen la aplicación del predicado en cuestión (montón en nuestro caso) hasta
que para un número n, lo suficientemente grande, esto deja de cumplirse. Entonces existe un
número, el menor número, a partir del cual el predicado montón comienza a dejar de ser
satisfecho. En símbolos:
(∃n)(montón(n) & ∼montón(n +1))
O equivalentemente
∼(∀n)(montón(n) ⊃ montón(n +1))
No obstante, esta imagen es un tanto pueril. Suponer que en un solo paso, de manera abrupta
y a causa de un cambio cuantitavo tan insignificante como el agregar o quitar un grano de
arena, podemos llegar a obtener de algo que no era un montón algo que finalmente termina
siéndolo es algo que resulta cuanto menos curioso. Por el contrario parece considerablemente
más intuitivo pensar en la idea de una modificación cualitativa gradual que acompaña cada
cambio cuantitativo puntual, que en principio resulta de hecho imperceptible, pero que a fuerza
de acumularse termina volviéndose ostensible.
Con todo, la manera habitual de formular formalmente el sorites sigue la dirección ascendente
y consiste en afirmar que si para un predicado P y una secuencia de objetos xi consideramos
verdaderas las siguientes dos premisas:
(1) Px1
(2) Para todo i, si Pxi entonces Pxi+1,
entonces, para un n lo suficientemente grande, resulta falsa la conclusión esperada:
(3) Pxn
Otra forma de presentar la paradoja consiste en reemplazar en el esquema anterior, la premisa
inductiva (2) por una sucesión de premisas condicionales particulares de la forma:
(2C1) Si Px1 entonces Px2
(2C2) Si Px2 entonces Px3…
y así sucesivamente. De manera general, (2Ci) ‘Si Pxi entonces Pxi+1’. Cabe aclarar que el
uso de condicionales, en este caso, no es estrictamente necesario: Diógenes Laercio, por
ejemplo, usa una secuencia de premisas de la forma ¬( Pxi & ¬Pxi+1).
Ahora bien, una de las formas más difundidas y simplistas de rechazo a la validez del
argumento de Eubulides reside en afirmar que no es de la clase de cosas que puedan ser, o
dejar de ser válidas, puesto que contiene expresiones vagas. Desde esta perspectiva, la
‘paradoja revela la incoherencia de las reglas semánticas clásicas a la hora de gobernar
argumentos que contengan términos vagos, puesto que el simple seguimiento de estas reglas
nos lleva inexorablemente a contradecirnos.
Pero el problema es aun más grave. Negar la validez de la paradoja significa renunciar a una
de las reglas de inferencia más fundamentales de la lógica: el modus ponens. Esto puede ser
visto claramente cuando el argumento toma la segunda forma que involucra una serie de
condicionales. Podemos argüir en contra, no obstante, diciendo que rechazar la validez de los
condicionales en el sorites consiste en afirmar que aún cuando cada paso sea aceptado en sí
mismo, eso no avala que el encadenamiento de muchos condicionales garantice la
preservación de la verdad a lo largo del argumento; pero si lo anterior tiene la pretensión de
‘salvar’ la aplicación puntual de la regla del modus ponens, convierte la misma noción de
preservación de la verdad en una cuestión confusa e incierta y, lo que es peor aun, pone en
tela de juicio la validez de la demostración inductiva en matemáticas. En efecto, la paradoja
desafía la validez de la regla de instanciación del cuantificador universal en el primer esquema,
es decir, implica cuestionar el significado del ‘Para todos’ de la premisa inductiva en nuestra
primera forma de presentación del argumento de Eubulides. Dicho de otro modo, la premisa (2)
del primer esquema, por ser inductiva, vale para cualquier n arbitrario. Sin embargo, ante la
presencia de predicados vagos la regla de generalización universal falla, es decir, dado un n
determinado no estamos autorizados a pasar de la verdad de:
si Pxn entonces Pxn+1
a la generalización:
Para todo i, si Pxi entonces Pxi+1.
Otra versión del sorites similar a nuestro primer esquema es la que se conoce como la
paradoja de Wang 1 , la cual suele presentarse en forma de un razonamiento inductivo como
sigue:
(1) 0 es pequeño
(2) Si n es pequeño, n+1 es pequeño;
(3) Por lo tanto, todo número es pequeño
Donde n recorre los números naturales.
En este argumento, como en el caso del montón de arena, la paradoja se debe a la vaguedad
del predicado pequeño. Pero, aquí también, al igual que en el argumento original planteado por
Eubulides, tenemos que determinar de qué manera esta vaguedad es responsable de la
aparición de la paradoja. Las alternativas vuelven a ser dos: O bien ponemos en cuestión la
verdad de la premisa inductiva (2), o bien consideramos a la inducción como un método no
válido para argumentos que contienen predicados vagos. Ahora bien, precisamente, con
respecto a la vaguedad de los predicados y con el fin de resolver la paradoja de sorites, en
cualquiera de sus versiones, uno podría verse tentado a afirmar lo siguiente: Como la extensión
de los predicados vagos es variable, es decir, como sus límites no son precisos, entonces que
sea el usuario quien determine cuántas instancias incluye y cuántas elimina como válidas. Pero
ni siquiera una decisión arbitraria como esta nos salvaría de la paradoja. El hecho de
considerar la solución desde un punto de vista pragmático, donde cada hablante decidiera en
qué momento algo que es un montón deja de serlo, no resuelve en nada la cuestión. El meollo
del argumento, tal como fue planteado por Eubulides, consiste en que una vez que nos
subimos a la primera premisa comenzamos descontroladamente a resbalar hasta el final, sin
poder zafarnos del camino que el mismo argumento nos va trazando. Argumento que no es
más que una sucesión de pequeños pasos que producen, con respecto al anterior, un cambio
tan insignificante que sería imposible atribuirle a ninguno la responsabilidad de convertir algo
(que no era un montón) en un montón. De este modo, el usuario del predicado aun cuando
deseara cortar la secuencia en un punto arbitrario, se vería imposibilitado de hacerlo.
En definitiva, la respuesta a la paradoja de sorites parece centrarse básicamente en la idea de
la negación de la validez del propio argumento, lo que significa rechazar que la conclusión se
1
Ver: Dummett, (1981). The interpretation of Frege’s Philosophy. Duckworth: London, p. 440.
sigue efectivamente de las premisas. No obstante, la posición gradualista ofrece una solución
no-clásica como opción. Si bien quienes adhieren a la teoría gradual también cuestionan la
verdad estricta de las premisas, sostienen que sería una buena iniciativa considerarlas ‘casi
verdaderas’. Así, las premisas particulares de la forma ‘Si Pxi entonces Pxi+1’ aun cuando no
lleguen a ser completamente verdaderas, pueden resultar muy próximas a la verdad. Lo
esencial de su enfoque consiste en sostener que la predicación Pxi tome grados de verdad que
abarquen una serie gradualmente decreciente que vaya desde la verdad completa (grado 1)
hasta la total falsedad de su conclusión (grado 0), sin que por ello exista una caída substancial
en el grado de verdad de los Pxi consecutivos.
Con todo, lo paradójico del argumento planteado por Eubulides, en cualquiera de sus
versiones, puede ser atribuido asimismo a ciertas irregularidades de tipo semánticas. De
hecho, el caso base o primera premisa es indudablemente verdadera, los casos próximos al
caso base siguen siendo innegablemente verdaderos también. Pero a medida que nos
alejamos de él la secuencia de condicionales comienza a ser gradualmente cada vez menos
verdadera. Así, la falsedad de los condicionales comienza a incrementarse hasta llegar a ser
muy poco verdaderos, luego bastante falsos, casi falsos y finalmente resultan completamente
falsos. Es decir, el desarrollo mismo del argumento pone de manifiesto cierta pérdida de verdad
que se va dando lenta y gradualmente a lo largo de la secuencia de condicionales implicados
en él, o a lo largo del desarrollo inductivo del mismo, y que concluye en la falsedad absoluta.
Mas aun, tampoco existe una transición exacta o precisa entre los enunciados verdaderos y
los indefinidos ni entre los indefinidos y los falsos en la secuencia de condicionales. Esto
implica afirmar que los predicados ‘falso’, ‘indefinido’ y ‘verdadero’ deben considerarse, en el
marco de la paradoja, como extensionalmente vagos. Lo cual significa que los condicionales
presentan a su vez casos límites (borderline members). En síntesis, queremos afirmar que no
sólo los valores de verdad, sino también la transición entre ellos en el metalenguaje, para la
secuencia de condicionales involucrados en la paradoja, no es clásico. Lo cual
irremediablemente nos conduce a afirmar que la transición de los valores de verdad en
cualquier nivel metalingüístico de orden superior tampoco será precisa (sharp).
Pero si lo antes descrito es correcto, entonces la teoría gradual y dentro de ella la lógica difusa,
contaría con medios suficientes para dar cuanta de la paradoja, al menos de algún modo.
Sabemos, de manera general, que las lógicas difusas trabajan con fórmulas evaluadas, es
decir, con pares ordenados de la forma (φ, k) donde φ es una fórmula y k ∈[0,1], valor que
puede ser entendido, a su vez, como una ‘información inicial’ acerca del valor de verdad de φ.
Para la paradoja de sorites resulta conveniente utilizar pares ordenados de la forma, (Pxi, k).
Así, podemos plantear la sucesión de condicionales involucrados en el argumento de Eubulides
partiendo de una fórmula evaluada de manera clásica donde k =1, es decir completamente
verdadera, y al que representamos como un par ordenado de la forma (Px1, 1). En la versión
del montón de arena esta sería nuestra primera premisa, ‘un grano de arena no es un montón’,
en la versión de la paradoja de Wang ‘0 es un número pequeño’, etc. Luego, dado un número
infinitesimal ε, para cada fórmula evaluada cuyo subíndice sea el sucesor del anterior,
restamos un ε de su valor de verdad, obteniendo así pares ordenados de la forma (Pxi+1, k- ε).
Por consiguiente, los condicionales ‘Si Pxi entonces Pxi+1’, a los que representaremos como
((Pxi, k) ⇒ (Pxi+1, k- ε)), tendrán como consecuente una fórmula con un valor de verdad
menor que el antecedente. Ahora bien, si asumimos que la lógica subyacente escogida es G
(en el sistema de Gödel es posible demostrar el teorema de deducción clásica) entonces los
condicionales del sorites, en tanto fórmulas evaluadas, asumirán el valor de verdad de su
consecuente. En símbolos:
(((Pxi, k) ⇒ (Pxi+1, k- ε)), k- ε).
Y, por lo tanto, el desarrollo del argumento tendrá la siguiente forma:
(Px1, 1)
(((Px1, 1)⇒ (Px2, 1-ε)), 1-ε)
(((Px2, 1- ε)⇒ (Px3, (1-2ε)), 1-2ε)
(((Px3, 1-2ε)⇒ (Px4, (1-3ε)), 1-3ε)
(((Px4, 1-3ε)⇒ (Px4, (1-4ε)), 1-4ε)
(((Px5, 1-4ε)⇒ (Px4, (1-5ε)), 1-5ε)
.
.
.
(((Pxn, (1-(n-1)ε))⇒ (Pxn+1, (1-nε)), 1-nε)
Al desarrollar el argumento nos encontramos con el hecho de que, como partimos de un k =1,
el valor de verdad del consecuente y por lo tanto del condicional que lo contiene, tendrá la
forma de una resta en la que el minuendo será siempre 1 y el sustraendo una acumulación de
ε. Esto es, dicho valor de verdad será siempre una resta de la forma (1- ε - ε - ε …). Lo
curioso es que la cantidad de  restados resulte idéntica al valor del subíndice de antecedente
del condicional, el cual recordemos, indica el número de veces que reiteramos la aplicación de
quitar o agregar un grano de arena antes de sumar el nuevo grano de arena que implica el
consecuente en cuestión. Con todo, la ventaja de plantear de esta manera el argumento del
sorites consiste en que se vuelve visible la pérdida de verdad antes descripta en cada
reiteración de la aplicación del predicado borroso. La idea es, precisamente, mostrar cómo
puede ser válido un argumento que, a partir de premisas casi verdaderas, nos conduce a una
conclusión totalmente falsa.
Al comienzo de este capítulo dijimos que resultaba un tanto pueril suponer que en un solo
paso, de manera abrupta y a causa de un cambio cuantitativo tan insignificante como el que
consiste en agregar o quitar un grano de arena, pudiésemos llegar a obtener de algo que no
era un montón algo que finalmente lo sea. Sostuvimos, además, que parecía
considerablemente más intuitivo pensar en la idea de una modificación cualitativa gradual que
acompañara cada cambio cuantitativo puntual. Y sostuvimos que, a pesar de que dicha
modificación cualitativa en principio resultaba imperceptible, a fuerza de acumularse terminaba
volviéndose ostensible. Ahora bien, consideremos que nuestro valor numérico infinitesimal ε
sea quien refleje esta modificación gradual cualitativa en el desarrollo del argumento, y por
consiguiente, que su acumulación responda a la respectiva acumulación de sucesiva
reiteraciones de ε restados a los valores de verdad en la secuencia de condicionales.
Recordemos que dicha acumulación guarda, tal como desarrollamos el sorites, una estrecha
relación con el número de veces en que fue aplicado el predicado en la secuencia.
Antes de continuar es importante aclarar un punto que es de capital importancia. Hasta aquí,
cada vez que mencionamos los valores k ∈[0,1], los denominamos de manera equívoca
‘valores de verdad’. Sabemos que en lógica difusa este valor numérico, si bien constituye una
‘información inicial’ del valor de verdad de la fórmula a la que es atribuido, no constituye un
valor de verdad en sí mismo. Sino que, en tanto valor que pertenece a algún subconjunto
borroso en el que se haya segmentado el intervalo unitario, caerá bajo el rótulo lingüístico que
se haya asignado a ese subconjunto; rótulo que, finalmente, determinará el valor de verdad de
la fórmula dada.
Por lo tanto, cada valor numérico de la forma (1-nε) caerá prolongadamente bajo un mismo
rótulo lingüístico a lo largo de la secuencia de condicionales que involucra el argumento. Es
decir, para que la acumulación de ε restados nos permita obtener un número en el intervalo
unitario cuyo rotulo lingüístico sea diferente del anterior, cada vez que esto ocurra, la secuencia
de condicionales tendrá que haberse desarrollado ampliamente. En condición de ejemplo, va el
siguiente esquema:
Supongamos que el rótulo lingüístico ‘verdad’ es atribuido al intervalo de los reales entre el 0.9
y el 1 y que el infinitesimal considerado sea un ε = 0.001. El número de veces que debo restar
ε para caer por debajo del subconjunto rotulado ‘verdad’, es decir para obtener un valor por
debajo del 0.9, responde a la solución de la siguiente ecuación:
1- x(0.001)= 0.9,
luego
x = 0.1/0.001=100.
Esto significa que no antes de una sucesión de 100 condicionales, en el desarrollo del sorites,
obtendremos una acumulación de sustraendos ε que provoque el paso de un rótulo lingüístico
al siguiente. Por supuesto la elección del ε es arbitraria y puede elegirse tan pequeño como se
quiera. Pero debe quedar en claro que será la elección del ε lo que determine la ‘velocidad’ con
la que admitimos que su acumulación provoque el paso de de un rótulo al siguiente.
El esquema, en nuestro caso, sería el siguiente:
(Px1, 1)
(((Px1, 1) ⇒ (Px2, 0.999)), 0.999)
(((Px2, 0.999) ⇒ (Px3, (0.998)), 0.998)
(((Px3, 0.998) ⇒ (Px4, (0.997)), 0.997)
(((Px4, 0.997) ⇒ (Px5, (0.996)), 0.996)
(((Px5, 0.996) ⇒ (Px6, (0.995)), 0.995)
.
.
.
(((Px100, (0.901) ⇒ (Px101, (0.9)), 0.9)
(((Px101, (0.9) ⇒ (Px102, (0.899)), 0.899)
(((Px102, (0.899)⇒ (Px103, (0.898)), 0.898)
(((Px103, (0.898)⇒ (Px104, (0.897)), 0.897)
.
Rótulo lingüístico =
Verdadero
Rótulo lingüístico
= Casi verdadero
.
.
En este caso, el valor del consecuente es idéntico al valor del condicional porque la
lógica subyacente elegida es G 2 . Ahora, si asumimos un criterio debilitado de validez el
cual nos dice que: un argumento es una inferencia válida si y solo si el valor de la
conclusión no es menor que el valor de la más débil de sus premisas, entonces claro
está que el planteo que hicimos del argumento lo vuelve válido. A partir del esquema
planteado, vemos que cada condicional implica una iteración de la regla del modus
ponens cuyas primeras aplicaciones son la que siguen:
(Px1, 1)
((Px1 ⇒ Px2), 0.999)
(Px2, 0.999)
((Px2 ⇒ Px3), 0.998)
(Px3, 0.998)…
2
En G:
y si x >y
x⇒y=
1 si x ≤ y
Así sucesivamente, hasta que el encadenamiento de un número suficientemente grande de
iteraciones produzca que esa cantidad ε que era despreciable comience a hacerse sentir. Sin
embargo esto no es un inconveniente para las lógicas difusas. Cada aplicación del modus
ponens resulta ‘suficiente’ a la hora de preservar la verdad puesto que el valor de la conclusión
no sólo siempre será idéntico al valor de la premisa más débil, (el condicional), sino que incluso
diferirá sólo en una cantidad despreciable del valor de verdad de la más fuerte de las premisas.
Recordemos que el principal factor inquietante acerca de la paradoja de sorites radica en que
usando una forma aparentemente correcta de razonamiento y partiendo de verdades que
parecen en principio innegables, llegamos a derivar una conclusión incuestionablemente falsa.
La lógica clásica al no contar con los medios necesarios para dar cuanta del tipo de procesos
inferenciales como el del sorites, se ve obligada a rechazarlo considerándolo paradójico. Sin
embargo, en el marco de la lógica difusa y en particular de las FLn, se demostró que el
argumento de Eubulides no sólo resulta ‘tratable’ sino que ni siquiera debe ser considerado
paradójico 3 . La lógicas difusas hacen que el paso inevitable de la verdad a la falsead que se
produce en el desarrollo del argumento pueda justificarse. Si en cada paso se pierde sólo un
épsilon de verdad entonces cada paso será con respecto al anterior, en su valor de verdad,
casi idéntico. Esto posibilita la aplicación puntual del modus ponens cuya validez, por supuesto,
ha sido ‘gradualizada’.
Para ver esto, consideremos lo siguiente: Que una fórmula sea demostrable en una teoría en
lógica difusa se interpreta como sigue:
T ├k φ significa que φ puede ser demostrada en T en un grado k, donde k es el supremo de
los valores de todas las demostraciones de
φ . Entonces para cada modelo V se cumple que k
≤v(φ) y ╞k’ φ significa que φ es verdadera en grado k’, donde k’ es el ínfimo de los valores
de φ en todos los modelos. El teorema de completud muestra que ambos grados, k y k’, son
iguales.
4
Supongamos que la teoría en la que nos manejamos es completa, es decir los índices que
muestran el grado de derivabilidad coinciden con los índices graduales de validez. Entonces el
argumento del sorites respondería al siguiente esquema:
├1 (Px1, 1)
├ 0.999 ((Px1 ⇒ Px2), 0.999)
(Px1, 1), ((Px1 ⇒ Px2), 0.999) ├ 0.999 (Px2, 0.999)
├ 0.998 ((Px2 ⇒ Px3), 0.998)
(Px2, 0.999), ((Px2 ⇒ Px3), 0.998) ├ 0.998 (Px3, 0.998)
├ 0.997 ((Px3 ⇒ Px4), 0.997)
(Px3, 0.998), ((Px3 ⇒ Px4), 0.997) ├ 0.997 (Px4, 0.997)
├ 0.996 ((Px4 ⇒ Px5), 0.996)
(Px4, 0.997), ((Px4 ⇒ Px5), 0.996)├ 0.996 (Px5, 0.996)
.
.
.
├ 0.001 ((Pxn -1 ⇒ Pxn), 0.001)
(Pxn -1, 0.002), ((Pxn -1 ⇒ Pxn), 0.001) ├ 0.001 (Pxn, 0.001)
3
Ver: Hájek, P., Novák, V., (2003), ‘The Sorites Paradox and Fuzzy Logic’. International Journal of General Systems,
Agosto-2003, Vol. 32(4), p. 379.
4
Ver: [Novák and Perfilieva, 2000], [Novák and Hájek, 1999].
├ 0 ((Pxn ⇒ Pxn+1), 0)
Vemos que la pérdida de verdad, de un ε, es idéntica a la pérdida de derivabilidad a lo largo de
la secuencia. Pero no sólo eso. La taza de pérdida es constante a lo largo de todo el desarrollo
del argumento. Es precisamente esto lo que garantiza que si la aplicación de la regla de
derivación del modus ponens vale para los dos primeros pasos del argumento, debe valer del
mismo modo para los dos últimos.
BIBLIOGRAFIA
Hájek, P., Novák, V., (2003), ‘The Sorites Paradox and Fuzzy Logic’. International Journal of
General Systems, Vol. 32(4).
Hájek, P. (1998). Metamathematics of Fuzzy logic. Kluwer, Dordrecht.
Tye, M. (1994), ‘Sorites paradoxes and the semantics of vagueness’. Vagueness. A Reader. The MIT
Press. Cambridge, Massachusetts.
Zimmerman, H. J. (1994). Fuzzy set theory and its applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.-
Dummett, (1981). The interpretation of Frege’s Philosophy. Duckworth.