Historia de la geometría analítica

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2
y
g(x) = 2x.
funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función
que tiene una variable elevada a un exponente constante.
Es una
función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x
es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es
un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición:
Una función exponencial con base b es una
función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números
reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
8
6
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el
recorrido es el conjunto de todos los números reales
positivos. Por ejemplo: f(x) = 2x
4
2
0
-4
TRABAJO EN CLASE
Las
-2
0
2
4
Teniendo en cuenta los ejemplos y las explicaciones dadas por el docente realizar la grafica de cada una de las siguientes
funciones exponenciales, recuerda que cada trabajo es una nota.
A).
X
F(y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
F(y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
F(y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
F(y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
D)
-3
-2
-1
0
1
2
3
E)
X
F(y)
B)
C)
Lic. Gustavo Agudelo Martínez
Universidad Antonio Nariño
Universidad Central del Valle
La línea recta (geometría analítica)
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis
matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que
comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más
tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1.
2.
Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican
dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0,
donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como
ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones
polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
.
Historia de la geometría analítica
Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica",
apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes.
Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los
citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra. El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son
indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que
geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método),
sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones
—algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría
cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara
entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de
función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama. La geometría
diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de
las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la
geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría
analítica.Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir,
la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad
análisis-síntesis.Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que no se realiza un estudio
profundo de la geometría.
EJERCICIO
Hallar las ecuaciones que pasan por los siguientes puntos:
1)
A=(6,9)
2)
A=(11,13)
3)
A=(9,15)
B=(-5,7)
B=(-8,13)
B=(-9,17)
C=(5,-8).
C=(7,-10)
C=(8,-16)
4)
Lic. Gustavo Agudelo Martínez
Universidad Antonio Nariño
Universidad Central del Valle