Mecánica de Sólidos

Mecánica de Sólidos
Capı́tulo VI: Método de Elementos Finitos para Elasticidad No Lineal
Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn
Programa de Doctorado en Ingenierı́a
Facultad de Ingenierı́a y Ciencias Hı́dricas (FICH)
Universidad Nacional del Litoral (UNL)
13 de noviembre de 2015
Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado
Mecánica
en Ingenierı́a
de Sólidos
Facultad de Ingenierı́a13
y Ciencias
de noviembre
Hı́dricas
de 2015
(FICH) Universidad
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Método de los Elementos Finitos
Principio de los Trabajos Virtuales
Principio de los Trabajos Virtuales
Partimos del PTV:
Z
Z
δW dV =
∂B0σ
B0
Z
σ̄ · δχ dS +
ρ0 b · δχ dV
B0
con
δW = tr (SδA) = tr (T(n) δE(n) )
Introducimos el desplazamiento u = χ − X y su gradiente
D = Grad u(X) = A − I.
Dada la DCA χ∗ resulta:
δχ = χ∗ − χ = (χ∗ − X) − (χ − X) = u∗ − u = δu
(1)
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Método de los Elementos Finitos
Notación de Voigt
Notación de Voigt
Trabajemos con el par conjugado (T(2) , E(2) ):
δW = tr (T(2) δE(2) )
1
1
E(2) = (AT A − I) = (D + DT + DT D) ≡ E
2
2
∂W
(2)
T =
∂E
Notación de Voigt: ordenamos los componentes de los tensores T(2)
y E en los vectores
h
i
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2) T
T̃(2) = T11 T22 T33 T12 T23 T31
Ẽ = [E11 E22 E33 2E12 2E23 2E31 ]T
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Método de los Elementos Finitos
Variación de la deformación
Variación de la deformación
La variación de E:
1
1
δEαβ = (δAkα Akβ + Akα δAkβ ) = (δuk,α Akβ + δuk,β Akα )
2
2
se expresa en notación de Voigt como:

 
δE11
Ai1 δui,1
 δE22  
A
i2 δui,2

 
 δE33  
Ai3 δui,3
 
δ Ẽ = 
 2δE12  =  Ai1 δui,2 + Ai2 δui,1

 
 2δE23   Ai2 δui,3 + Ai3 δui,2
Ai3 δui,1 + Ai1 δui,2
2δE31








(2)
Luego, la variación de W puede escribirse como
(2)
δW = Tij δEij = T̃(2)T δ Ẽ = δ ẼT T̃(2)
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Método de los Elementos Finitos
Aproximación por MEF
Aproximación por MEF
Usando MEF estándar (Galerkin), aproximamos u como
"
u=
|
1
N
0
0
0
N1
0
0
0
N1
2
N
0
0
0
N2
0
0
0
N2
{z
N
...
...
...
n
N
0
0
0
Nn
0
 1
# u2
0 u 
0 .
 .. 
Nn
} un
| {z }
(3)
U
N I (X): función de forma asociada al nodo I = 1, 2, . . . , n, t.q.
N I (XJ ) = δIJ .
uI ≈ u(XI ): aproximación al desplazamiento del nodo I (incógnita).
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Método de los Elementos Finitos
Variación de la deformación
Variación de la deformación
Usando (3):
δu = NδU
⇒
δu,α = N,α δU
Luego, la variación (2) se escribe:

δ Ẽ = [B1 B2 . . .
|
{z
B

δu1
δu2 
Bn ]  . 
}  .. 
δun
| {z }
δU
I
A11 N,1
I
A12 N,2

I

A
N
13 ,3

I
A11 N,2 + A12 N,1I

I
I
A12 N,3
+ A13 N,2
I
I
A13 N,1 + A11 N,3

con BI =
I
A21 N,1
I
A22 N,2
I
A23 N,3
I
I
A21 N,2 + A22 N,1
I
I
A22 N,3 + A23 N,2
I
I
A23 N,1
+ A21 N,3
I
A31 N,1
I
A32 N,2

I

A33 N,3

I
I 
A31 N,2
+ A32 N,1
I
I 
A32 N,3
+ A33 N,2
I
I
A33 N,1 + A31 N,3

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Método de los Elementos Finitos
Variación de la deformación
Variación de la deformación
Haciendo Aiα = ui,α + δiα , resulta



B =


I
|
I
N,1
0
0
I
N,2
0
I
N,3
0
I
N,2
0
I
N,1
I
N,3
0
0
0
I
N,3
0
I
N,2
I
N,1
{z



+


}
BIlin






|
I
u1,1 N,1
I
u1,2 N,2
I
u1,3 N,3
I
I
u1,1 N,2 + u1,2 N,1
I
I
u1,2 N,3 + u1,3 N,2
I
I
u1,3 N,1
+ u1,1 N,3
I
u2,1 N,1
I
u2,2 N,2
I
u2,3 N,3
I
I
u2,1 N,2 + u2,2 N,1
I
I
u2,2 N,3 + u2,3 N,2
I
I
u2,3 N,1
+ u2,1 N,3
{z
BInolin
I
u3,1 N,1
I
u3,2 N,2
I
u3,3 N,3
I
I
u3,1 N,2 + u3,2 N,1
I
I
u3,2 N,3 + u3,3 N,2
I
I
u3,3 N,1 + u3,1 N,3






}
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Método de los Elementos Finitos
Forma MEF de la ecuación de equilibrio
Forma MEF de la ecuación de equilibrio
Introducimos las aproximaciones por MEF en el PTV:
Z
Z
Z
(2)
tr (T δE) dV −
σ̄ · δu dS −
ρ0 b · δu dV = 0
∂B0σ
B0
Z
δ ẼT T̃(2) dV −
Z
δU
δuT σ̄ dS −
∂B0σ
B0
T
B0
Z
Z
T
B T̃
B0
(2)
Z
dV −
δuT ρ0 b dV = 0
B0
Z
T
N σ̄ dS −
∂B0σ
!
T
N ρ0 b dV
=0
B0
Siendo δU arbitrario, llegamos a la forma discreta en versión MEF
de la ecuación de equilibrio:
!
Z
Z
Z
R=
BT T̃(2) dV −
NT σ̄ dS +
NT ρ0 b dV = 0 (4)
B0
∂B0σ
B0
|
{z
} |
{z
}
Fint
Fext
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Método de los Elementos Finitos
Resolución de la ecuación no lineal de equilibrio
Resolución de la ecuación no lineal de equilibrio
La ecuación (4) define un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas
para las incógnitas Ui , i = 1, 2, . . . , dim × n (dim = 3 en 3D), con n
número total de nodos de la malla que representa a B0 .
Ese sistema debe resolverse iterativamente. Partiendo de U(k)
conocido para la iteración k, se actualiza U para la iteración k + 1
resolviendo el sistema lineal
R(U(k+1) ) = R(U(k) ) + K(U(k) )(U(k+1) − U(k) ) = 0
(5)
donde K es la matriz jacobiana tangente:
K=
dR
dFint dFext
=
−
dU
dU
dU
Método de Newton-Raphson: K se calcula exactamente.
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Método de los Elementos Finitos
Cálculo de la matriz jacobiana tangente
Cálculo de la matriz jacobiana tangente
La contribución de las fuerzas internas a K es:
Z
Z
dFint
d T
T
(2) B CB dV +
=
dV
Bnolin T̃
(2)
dU
B
B dU
| 0 {z
} | 0
{z T̃ =const. }
Kmat
Kgeo
donde C es la matriz en que se ordenan siguiendo la notación de
(2)
Voigt los módulos elásticos de primer orden Aαβγδ =

C=
A1111
A2211
A3311

A1211
A
2311
A3111
A1122
A2222
A3322
A1222
A2322
A3122
A1133
A2233
A3333
A1233
A2333
A3133
A1112
A2212
A3312
A1212
A2312
A3112
A1123
A2223
A3323
A1223
A2323
A3123
∂Tαβ
∂Eγδ :

A1131
A2231 
A3331 

A1231 

A2331
A3131
Notar: como Aαβγδ = Aγδαβ , C es simétrica.
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Cálculo de la matriz jacobiana tangente
Cálculo de la matriz jacobiana tangente
La contribución de las fuerzas externas:
Z
Z
dFext
∂b
T ∂ σ̄
=
N
dS +
NT ρ0
dV
dU
∂U
∂U
∂B0σ
B0
En caso de cargas muertas, no hay contribución de las tracciones σ̄.
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Método de los Elementos Finitos
Proyección nodal
Proyección nodal
Se define el campo continuo φ∗ usando las mismas funciones de
interpolación que para u:
φ∗ (X) = N I (X)φI
φ∗ aproxima en sentido débil al campo discontinuo φ (ej.,
componentes de tensión y deformación) si:
Z
Z
I ∗
N φ dV =
N I φ dV
B0
B0
Z
I J
N N dV φJ = FI
B
| 0 {z
}
MIJ
Si MIJ está diagonalizada:
φI =
FI
MII
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