Obtención de la Conjugada - Facultad de Ingeniería

Construcción de la armónica conjugada de u ( x, y ) con MAPLE
Luis Villamizar
Universidad de Carabobo – Facultad de Ingeniería
Función Armónica Conjugada: Dada una función u ( x, y ) , decimos que v ( x, y ) es la función
armónica conjugada de u ( x, y ) si u ( x, y ) + jv ( x, y ) es analítica.
Definición de un procedimiento, para la construcción de la armónica conjugada de u ( x, y )
ArmConj:=proc(u)
local uarm,t1,t2,t3,t4,c;
# comprabación si u(x,y) es armónica
uarm := diff(u,x$2)+diff(u,y$2);
if uarm = 0 then
t1 := int(diff(u,x),y);
t2 := -diff(u,y)-diff(t1,x);
t3 := int(t2,x);
t4 := t1+t3+c;
return(t4)
else
return(`u(x,y) no es armónica`)
end if
end;
Ejemplos: Determine la armónica conjugada de:
1. u ( x, y ) = xy − x y
3
3
u:=x*y^3-x^3*y;
v:=ArmConj(u);
f:=subs(x=z,y=0,u+I*v);
u := x y3 − x3 y
v :=
1 4 3 2 2 1 4
y − x y + x +c
4
2
4
⎛ z4
⎞
f := ⎜⎜ + c ⎟⎟ I
4
⎝
⎠
2. u ( x, y ) = x − y
3
3
u:=y^3-x^3;
v:=ArmConj(u);
u := y3 − x3
v := u(x,y) no es armónica
3. u ( x, y ) = 2 xy + 2 x − 2 y
u:=2*(x*y+x-y);
v:=ArmConj(u);
f:=subs(x=z,y=0,u+I*v);
u := 2 x y + 2 x − 2 y
v := y2 + 2 y − x2 + 2 x + c
f := 2 z + ( −z 2 + 2 z + c ) I
4. u ( x, y ) = x − 3 xy + y + e
3
2
2x
cos(2 y )
u:=x^3-3*x*y^2+y+exp(2*x)*cos(2*y);
v:=ArmConj(u);
f:=simplify(subs(x=z,y=0,u+I*v));
u := x3 − 3 x y2 + y + e
v := 3 x2 y − y3 + e
f := z 3 + e
5. u ( x, y ) = 2 x − x + 3 xy
3
(2 x)
(2 z)
(2 x)
cos( 2 y )
sin( 2 y ) − x + c
−zI+cI
2
u:=2*x-x^3+3*x*y^2;
v:=ArmConj(u);
f:=subs(x=z,y=0,u+I*v);
u := 2 x − x3 + 3 x y2
v := 2 y − 3 x2 y + y3 + c
f := 2 z − z 3 + c I
6. u ( x, y ) = senh( x ) sen( y )
u:=sinh(x)*sin(y);
v:=ArmConj(u);
f:=simplify(subs(x=z,y=0,u+I*v));
u := sinh( x ) sin( y )
v := −cosh( x ) cos( y ) + c
f := ( −cosh( z ) + c ) I