Cálculo Tema 1 - Departamento de Matemáticas

PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Parte II Cálculo
Primero de Ingenierı́a Quı́mica
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
Departamento de Matemáticas
Universidad de Castilla-La Mancha
Cálculo
Tema 1: Sucesiones y series numéricas
Números complejos
1. Calcula:
³
(a) log 1 −
√ ´
π
3i , (b) log(−3), (c) e1+ 3 i , (d) i3825 , (e) (−1 + i)−i .
2. Calcula:
(a) log (3 + 3i) , (b) ilog i
3. Halla los valores de z ∈ C
I tales que:
√
π
(a) ez = −5, (b) ez = − 3 + i, (c) log z = i.
4
4. Resuelve:
sin z = 4, z ∈ C
I.
5. Halla los complejos z = x + iy tales que:
(a) ez = −1, (b)
1+i
= xeiy .
1−i
6. Resuelve en el cuerpo de los números complejos la ecuación:
5 tan z = 2sen2 z +
3
.
cos2 z
7. Determina la región del plano determinada por A ∩ B siendo A el conjunto representado
por |z − 1| < 4 y B el conjunto representado por |z − 2i| < 3.
8. Determina el lugar geométrico de los números complejos que verifican las siguientes relaciones:
(a) |z − 3i| = 5,
(b) Re(z 2 ) = K, K ∈ IR, (c) Im(z 2 ) = k, k ∈ IR,
¯
¯
¯z − 1¯
¯ < 2,
¯
(d) |z − i| + |z + i| = 4, (e) ¯
z + 1¯
9. Halla las raı́ces de
(1 + z)5 = (1 − z)5 .
10. Halla los números complejos z tales que
z 6 − 9z 3 + 8 = 0
1
(f ) z + z̄ = 4.
Sucesiones y series numéricas
1. Estudia la monotonı́a de las siguientes sucesiones:
1
(a) an = 3 n , (b) bn =
3n − 1
(−3)n − 1
,
(c)
c
=
.
n
3n + 1
(−3)n + 1
2. Utilizando el criterio de la sucesión intermedia o regla del Sandwich, calcula:
µ
(a) lim
n→∞
Ã
2
¶
2
2
√
+√
+ ... + √
.
2
2
2
n +1
n +2
n +n
!
1
1
1
(b) lim
+
+ ... +
.
2
n→∞ n2
(n + 1)
2 (n)2
µ
¶
1
1
1
(c) lim sen 2
+ 2 sen 2
+ ... + n sen 2
.
n→∞
n +1
n +2
n +n
µ
¶
n
n
n
+
+
...
+
(d) lim
n→∞ n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
3. Calcula:
lim
n→∞
1 + 2 + 3 + ... + n
.
7n2
4. Halla el lı́mite de la siguiente sucesion:
√ q √
(a) 3, 3 3,
r q
√
3 3 3, ...
5. Calcula:
3n+1
√
(a) lim n( n e − 1), (b) lim n n2 +3 , (c) lim
n→∞
n→∞
s
n
n→∞
6. Calcula:
√
√
7n + 2
3
,
(d)
lim
(
n + 1 − 3 n).
2
n→∞
3n + n + 1
à √
(a) lim (n − log(n)), (b) lim
n→∞
n→∞
n n + 5n + 3
√
n n + 3n + 1
!3√n
7. Calcula:
lim (a + 2a2 + 3a3 + ... + nan ), 0 < a < 1.
n→∞
8. Calcula:
log n
log n!
nα+1
, (b) lim
,
(c)
lim
, α ∈ IN .
n→∞ n
n→∞ log(nn )
n→∞ 1α + 2α + ... + nα
(a) lim
9. Calcula:
√
n
lim
Ã
2n
n
22n
n→∞
Indicación: Fórmula de Stirling.
2
!
.
10. Calcula:
1
1
1
1
√ +√
√ + ... + √
lim √ (
√ )
n→∞
n 1+ 2
n−1+ n
2+ 3
11. Calcula:
√
√
n+a− n+b
√
lim √
c 6= d
n→∞
n+c− n+d
12. Calcula:
√
r
µ
¶
n
n!
n
1
1
1
1
1
n
(a) lim √
,
(b)
lim
,
(c)
lim
1
+
+
...
+
,
(d)
lim
+
+
...
+
.
n→∞ n n!
n→∞ n2
n→∞
n→∞ 4 · 5
2
n
5·6
n(n + 1)
13. De la serie
∞
X
an se conoce que la sucesión de sumas parciales (Sn ) viene dada por
n=1
Sn =
3n + 2
n+4
∀n ∈ IN .
Halla:
(a) El término general an de la serie.
(b) El carácter de la serie.
14. Estudia la convergencia de la serie
∞
X
3
n2 e−n .
n=1
15. Estudia la convergencia y halla la suma, si es posible, de las siguientes series:
(a)
∞
X
∞
X
1
2n − 1
, (b)
.
(3n + 2)(3n + 5)
2n + 1
n=1
n=1
16. Halla el carácter de las siguientes series:
(a)
∞ √
X
( n+1−
√
n),
(b)
n=1
∞
X
∞
X
1
,
(n
+
3)n
n=1
(c)
p
∞
X
(n − 1)!
(n − 1)!
√
√
(d)
,
(e)
√
√ .
3
3
2
n
2))...(ln(2 n))
n=1 (ln(2
n=1 (1 + 1)(1 + 2)...(1 + n)
17. Estudia, según los valores de α > 0, el carácter de la serie:
∞
X
sen nπ
2
.
α
n=1
n
18. Estudia el carácter de la serie:
¶
∞ µ
X
1 · 4 · 7...(3n − 2) 2
n=1
3 · 6 · 9...3n
3
.
∞
X
1
1 3/2
(
) ,
n
ln
n
n=2
19. Estudia la convergencia absoluta de las series:
∞
X
(−1)n
(a)
ln n
n=2
, (b)
∞
X
(−1)n
2n
n=1
, (c)
√
∞
X
sen n
(−1)n 3/2 .
n
n=1
20. Calcula la suma de las siguientes series:
(a)
∞
X
µ
¶
∞
∞
X
X
n−1
2n + 5n
1
,
(b)
,
(c)
.
n2
n(n + 1)(n + 2)
6n
n=1
n=1
ln 1 −
n=2
21. Demuestra que la serie
menor de 10−2 .
∞
X
(−1)n+1
es convergente. Calcula su suma con un error
(3n + 1)(2n + 3)
n=1
22. Determina el carácter de las siguientes series:
(a)
∞
X
ln n
n
n=1
(f )
(p)
(g)
n
(l)
nn
(q)
nn
n=1
∞
X 3n + √n
n=1
(y)
(
∞
X
n=1
∞
X
1
(u)
(ad)
n=1
√
n3 + n
(ah)
(h)
∞
X
n=1
n
5n + 3
(v)
´n
∞
X
5n
(ai)
n=1
√
∞
X
5k2 + 3 x
n=1
√
k5 + 2 x
n3n + 3
3
7n + 2n + 1
(ab)
n
∞
X
√
n
n=1
(af )
∞
X
ln
n=1
(aj)
∞
X
n=1
(o)
n
n3n
x)
(t)
∞
³ ´n
X
2
n
n=1
∞ ³
X
1
ln n
(ac)
1
√
(ag)
´n
4ln n
∞
X
2n + n!
n=1
(ak)
n
n + 100
3
∞
X
n
n=1
1
√
5n + 8
∞
X
1
n=1
n=1
n
10n
n=1
∞
X
(ln (n)2
ln n
∞
X
n
(j)
n!
∞
³
´
X
1 1/2
1
n3
n=1
∞
X
7n
n=1
(w)
11
1 + 100−n
∞
X
s)
n
n!
n=1
∞
X
7n
(e)
∞
X
7
(n)
100n
nn
n=1
5
√
2 n
n=1
∞
X
n!
n=1
k=1
∞
X
sen2 (7n2 + 3 (n)
(r)
n
(i)
nn
∞
X
2n n!
(ae)
5ln n
5
3(ln (n)n
∞
X
5n n!
(m)
n=1
∞
X
1
n=1
5
2n + 7
(z)
(2 (n)!
n=1
n − 1)n
(d)
13n
n=1
n=1
∞ ³
X
∞
X
(n!)2
n=1
ln n
∞
X
√
n
√
∞
X
sen2 (3n2 + 5
(c)
n=1
∞
X
n!
n=1
∞
X
1
n=1
∞ ³
´
X
n+3 n
n=1
(k)
(b)
∞
X
2n n!
e−n
n=1
23. Estudia la convergencia absoluta de las siguientes series:
(a)
(d)
∞
X
1
1
1
1
1
1
100n
−
+
− ... (b)
−
+
+ ... (c)
,
(−1)n+1
2·3 3·4 4·5
2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
n!
n=1
∞
X
n=1
µ ¶n
n
3
4
,
(e)
∞
X
(−1)n−1
,
(n + 1)(n + 2)
p
n=1
4
(f )
∞
X
(−1)n+1
n=1
√
n
5
,
24. Suma las siguientes series:
(a)
∞ ³ ´
X
2 n
n=0
(e)
∞
X
5
,
(b)
∞ ³ ´
X
2 n+1
3
n=0
(−1)
n
³ ´n
1
3
n=0
,
,
(c)
1
,
(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)
n=1
√
∞ √
X
n+1− n
p
(f )
,
n(n + 1)
n=1
∞
X
(g)
∞
X
n+1
(−1)
n=1
4n + 4
,
(2n + 1)(2n + 3)
(d)
∞
X
2n + 5 n
n=1
(h)
10n
,
∞ µ
X
1
n=1
1
−
n2
(n + 1)2
Tema 2: Sucesiones y series de funciones
1. Estudia la convergencia de la serie:
µ
¶
∞
X
(−1)n+1 1 − x n
n=1
2. Demuestra que la serie
que
Z π
0
f (x)dx = 2
∞
X
∞
X
sennx
n=1
n3
2n + 3
1+x
.
converge para todo x ∈ IR. Si f (x) =
∞
X
sennx
n=1
n3
, prueba
1
.
(2n − 1)4
n=1
3. Halla el intervalo de convergencia de la serie y estudia la convergencia en los extremos de
dicho intervalo:
∞
X
(−1)n
(x − 5)n
n
n3
n=1
4. Determina el radio de convergencia de las series de potencias siguientes y, si es posible,
estudia la convergencia en los extremos de sus intervalos de convergencia:
(a)
∞
X
∞
X
xn
(−1)n (32n x2n )
,
(b)
(2n + 1)7n
3n
n=1
n=1
5. Determina el radio de convergencia de las series de potencias siguientes y, si es posible,
estudia la convergencia en los extremos de sus intervalos de convergencia:
∞
X
∞
X
xn
(−1)n (2x2n )
(a)
,
(b)
(n + 1)2n
2n
n=0
n=1
1
6. Desarrolla en serie de potencias f (x) = √
, determinando el intervalo de convergen1 − x2
cia de la serie obtenida.
7. Demuestra que cada una de las siguientes funciones tiene como representación la serie de
potencias que se indica en los conjuntos dados:
(a) ax =
∞
X
(ln (a)n n
x para x ∈ IR (a > 0).
n!
n=0
(b) sen2 x =
∞
X
(−1)n+1
n=1
22n−1 2n
x para x ∈ IR.
(2 (n)!
5
¶
.
µ
¶
∞
X
(−1)n
6 − 2x
1
+
xn para x ∈ (−1, 1).
(c)
=
3 − 2x − x2 n=0
3n
8. Integra por desarrollo en serie de Taylor las siguientes funciones.
Z
(a)
Z 1
senx
dx, (b)
x
e
0
−x2
Z 1
dx, (c)
0
xp−1 ln(1 − xq )dx (p > 0, q > 0) .
9. Escribe el polinomio de Taylor P4,0 (x) de la función f (x) = − ln(1 − x). Aprovecha el
polinomio anterior para calcular, aproximadamente, − ln(0, 9).
10. Calcula el polinomio de Mac Laurin de orden 4 de las siguientes funciones.
2
(a) senx + cos x,
(b) log(x + 1),
−x2
(c) e
,
(d)
Z x2
sent
0
t
dt.
11. Calcula los siguientes lı́mites por sustitución de infinitésimos equivalentes:
x − senx
arcsin x − arctan x
1 − cos ax
, (b) lim
, (c) lim
,
2
x→0 3x(1 − cos 5x)
x→0
x→0 x(3 − x)tgbx
x ln(1 + x)
(a) lim
senx − arctgx
,
x→0
x3
(d) lim
7x5 senxsen3x
,
x→0 (2x − x2 )7
(e) lim
(f ) lim
x→0
ln(1 + 7x)
.
e4x − 1
12. Calcula usando desarrollos de Tayor los siguientes lı́mites.
tg2 x − arcsenx2
(a) lim √
= 0.
x→0
1 + x2 − cos x − 56 log (1 − x)
√
1 − 1 + x4 cos x4
= −3.
(b) lim
x→0 x (tgx − senhx)
Indicación: en el primero se necesitan desarrollos de orden 2. En el segundo de orden 5.
x
13. Sabiendo que e =
∞
X
xn
n=0
n!
calcula
(a)
∞
X
2n
n=0
n!
, (b)
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
2n
1
, (c)
.
n!
n!
n=0
14. Calcula
∞
X
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
xn
3n
xn+1
xn
n2
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
.
(n − 1)!
(n − 1)!
(n + 1)!
n
n!
n=1
n=1
n=2
n=1
n=1
15. Calcula:
52 53 54
−
+
− ...
2!
3!
4!
(b) 1 − x2 + x4 − x6 + ...
(a) 1 − 5 +
6
16. Usando derivación término a término, calcula la suma de las series siguientes para cualquier
valor de x en el intervalo de convergencia:
(a)
∞
X
(−1)n
n=2
∞
X
xn
x2n
, (b)
(−1)n−1
.
n(n + 1)
n(2n − 1)
n=1
17. Usando integración término a término halla:
(a) f (x) =
∞
X
(n + 1)xn
n!
n=0
18. Calcula
∞
X
n+1
(a)
n!
n=0
, (b) g(x) =
∞
X
n + 1 2n
x .
n
n=1
∞
X
(n + 1)(n + 2)
, (b)
n!
n=0
.
19. Calcula la serie de Fourier asociada a la función f (x) = π + x en el intervalo −π < x < π.
Aplica el desarrollo anterior para calcular la suma de la serie:
∞
X
(−1)n+1
2n − 1
n=1
.
20. Desarrolla en serie de Fourier la función f (x) = x2 , −π < x < π.
(a) Utilizando este resultado calcula
∞
X
1
n=1
n
,
2
∞
X
(−1)n
n2
n=1
,
∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
.
(b) Aplica los resultados anteriores para calcular, integrando por desarrollo en serie,
(i)
Z 1
ln(1 + x)
x
0
dx, i (i)
Z 1
ln x
0
x
dx.
21. Desarrolla en serie de Fourier la función f (x) = |x|, −1 < x < 1. Utiliza dicho desarrollo
∞
X
1
para calcular la serie
.
(2n − 1)2
n=1
22. Obtén un desarrollo de la función f (x) = x en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo
0 ≤ x ≤ π.
23. Obtén un desarrollo de la función f (x) = x en serie de Fourier de tipo coseno en el intervalo
0 ≤ x ≤ π.
24. Desarrolla en serie de Fourier la función f (x) = |senx|, −π < x < π.
25. Calcula las siguientes integrales
Z ∞
Z ∞
dx
dx
√
(a)
(b)
4
x
x
1
1
Z ∞
(e)
(i)
−∞
dx
1 + x2
Z 1
dx
l (l)
x3
0
Z 3
0
dx
√
3−x
(f )
(j)
(m)
Z ∞
0
Z 4Z
0
Z 3
0
(c)
cos xdx
(g)
dx
(x − 2)2
dx
(2 − x)1/3
7
(k)
(n)
Z ∞
dx
2
Z ∞
2
Z 1
0
Z 3
0
√
3
x
(d)
dx
2
x +x−2
(h)
dx
√
1 − x2
dx
(x − 1)2
(l)
Z ∞
dx
x5
3
Z ∞
1
e−x dx
Z 1
0
x2
dx
− 3x
26. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias:
(a)
Z ∞
0
Z 1
(e)
0
3xdx
x2 + x + 5
dx
√
3
1 − x4
(b)
(f )
Z ∞
dx
√
x x5 + 3
(c)
dx
√
√
√
3
x + 3 x2 + 5 x
(g)
0
Z 2
0
Z ∞
0
dx
√
5
3
x +x+1
Z 1
(d)
Z ∞
sin xdx
x2
0
dx
x(1 − x)
p
0
27. Calcula mediante integrales de Euler:
(a)
0
Z 1
(e)
(i)
Z ∞
0
Z ∞
(ll)
0
3 −x2
x e
dx
x5 dx
√
1 − x4
p p−1 −ax
a x
e
Z 1 a−1
x dx
0
√
1 − x2
(b)
Z 1
(f )
dx (j)
(m)
0
x3 dx
√
1 − x2
Z ∞
0
Z ∞
0
Z 1
0
m −x2
x e
e
−x2
(c)
dx
dx
(g)
(k)
Z 8
0
Z a
0
Z 1
0
dx
1/2
x (2 − x1/3 )−1/2
p−1
x
q−1
(a − x)
dx
dx
√
, n>2
1 − xn
(d)
(h)
(l)
Z 1
0
x5 dx
√
1 − x4
Z 1 2m
x dx
0
Z ∞
0
√
1 − x2
xp−1 (1 − xn )q−1 dx
Tema 3: Cálculo diferencial de varias variables
1. Representa los siguientes conjuntos de IRn descritos en coordenadas cartesianas:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 / |x| ≥ 1, y > 1}
(b) B = {(x, y) ∈ R2 / x2 − y 2 ≥ 0}
(c) C = {(x, y) ∈ R2 / (4x − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 2x) ≤ 0}
(d) D = {((x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 = 1}
(e) E = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + z 2 ≤ 1}
(f) F = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 − z 2 ≤ 0}
2. Describe en el plano cartesiano los conjuntos de IR2 cuya expresión en coordenadas polares
es:
(a) A = {(r, θ) ∈ IR2 / r ≤ 1}
(b) B = {(r, θ) ∈ IR2 / r = senθ}
π
π
(c) C = {(r, θ) ∈ IR2 / 1 < r < 2} (d) D = {(r, θ) ∈ IR2 / ≤ θ ≤ }
4
4
3. Describe en coordenadas cartesianas los conjuntos de IR3 cuya expresión en coordenadas
cilı́ndricas es:
(a) A = {(r, θ, z) ∈ R3 / z = 1}
π
(b) B = {(r, θ, z) ∈ R3 / θ = }
4
3
2
(c) C = {(r, θ, z) ∈ R / r + z 2 ≤ 3}
4. Representa en el espacio cartesiano los conjuntos de IR3 expresados en coordenadas esféricas
por:
8
2
e−x x2 dx
(a) A = {(r, θ, φ) / r ≤ 1}
(b) B = {(r, θ, φ) / θ = π4 }
(c) C = {(r, θ, φ) / r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
π
}
2
5. Estudia la existencia de los siguientes lı́mites:
(a)
xy
(b)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
xy 3
(c)
(x,y)→(0,0) x2 + y 6
lim
x2 y 2
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )3/2
lim
6. Calcula, si existen, los lı́mites iterados y el lı́mite para las funciones siguientes:
1
yz
en (0, 0, 0) (b) g(x, y) = y 2 sen en (0, 0)
2
2
y +z
x
x2 − y 4
(c) h(x, y) = 4
en (0, 0)
(d) i(x, y) = 2
en (0, 0)
x + y4
x + y4
xy − x + y
1
1
(e) j(x, y) =
en (0, 0)
(f ) k(x, y) = xsen + y cos en (0, 0)
x+y
y
x
(a) f (x, y, z) =
x2 +
x2 y 2
7. Halla, si existen, los siguientes lı́mites:
(a)
x3 sen(y 2 − 4)
(b)
(x,y)→(0,0) (y + 2)senx
lim
(1 − cosxy)senx
(c)
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lim
exy − 1
(x,y)→(0,0) senx log(1 + y)
lim
8. Halla, si existen, los siguientes lı́mites:
(a)
lim
(x,y,z)→(0,0,0) x2
yz
(b)
+ y2 + z2
lim
2
(xseny, x2 e−y )
(x,y)→(0,0)
9. Estudia la existencia de derivadas parciales, continuidad y diferenciabilidad de las siguiente
funciones en el punto (0, 0). En caso de que sea diferenciable calcula la matriz jacobiana
en dicho punto:
¡ 2
¢

2
 sin x + y
(a)
f (x, y) =
(b)
f (x, y) =
(c)
10. Sea
f (x, y) =
x2 + y 2

 0

x6

(x2 − y) + x6

 0
 3
3
 x −y
2
2
 x +y
0

 (x2 + y 2 ) sin p 1
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
a) Demostrar que f es diferenciable en (0, 0) aunque sus derivadas parciales no sean continuas en dicho punto.
b) Calcular df en el punto (0, 0).
9
11. Comprobar la continuidad y diferenciabilidad de las siguiente funciones en el punto (0, 0)
y calcula la matriz jacobiana en dicho punto:
(a)
(c)
(e)
f (x, y) = x2 − cos(y)
x+y + y, y 2 x)
f (x, y) = (e
¡
¡
¢
¢
f (x, y) = sin x2 + y 2 e−x , e−y
(b)
(d)
(f )
f (x, y) = (x2 + cos y, yex )
f (x, y) = (e2x+3y , x − y)
f (x, y) = (x, y, sin(xy))
12. Sean las funciones f (x, y) = (e3x−y , 2x+3y, x2 ) y g(u, v, w) = (uw , sen(v +w)). Prueba que
f es diferenciable en (0, 0), que g es diferenciable en (1, 0, 0) y que h = g ◦f es diferenciable
en (0, 0). Calcula df (0, 0), dg(1, 0, 0) y dh(0, 0).
13. Halla la diferencial en (0, 0) de las funciones:
(a)
(b)
f (x, y) = ex cos y + senxtgy
f¯(x, y) = (x2 + y, senx + cos y, exy )
14. Halla el plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 , paralelo al plano x + 2y − z = 10.
15. Halla la ecuación del plano tangente a la superficie xyz = a3 en cualquier punto de la
misma.
16. Halla la recta tangente a la curva intersección de las superficies xy + xz + yz = 3 y
x2 − y 2 + z 2 = 1 en el punto (1, 1, 1).
17. Halla el plano tangente al elipsoide x2 + y 2 + 2z 2 = 4 en el punto (1, 1, 1).
18. Halla el vector gradiente y la derivada direccional máxima de la función f (x, y) = x3 + y 3
en los puntos (0, 0) y (1, 1). Interpreta el resultado.
19. Sea f (x, y) = ex seny + ey senx. Se pide
(a) Halla el vector gradiente de la función en un punto arbitrario de IR2 .
(b) Halla la derivada direccional de f en el punto (0, 0), en la dirección θ = π/4.
(c) Halla la dirección θ para la que Dθ f (0, 0) = 0.
20. Halla dw/dt en los siguientes cambios de variable:
y
w = ln , x = cos t, y = sent
x
w = x2 + y 2 , x = et , y = e−t
q
w =
x2 + y 2 , x = cos t, y = et
w = x2 + y 2 + z 2 , x = et cos t, y = et sent, z = et
21. Halla las derivadas parciales de f con respecto a x, y, z después de hacer el cambio de
variable que se indica:
f (u, v, w) = u2 + v 2 − w, u = x2 y, v = y 2 , w = e−xz
22. Repetir el ejercicio anterior aplicando el procedimiento del ejercicio 12.
10
23. Halla las derivadas parciales de f con respecto a r y θ, después de hacer el cambio de
variable que se indica:
y
f (x, y) = arctg , x = r cos θ, y = rsenθ
x
24. Halla las derivadas parciales de f con respecto a s y t, después de hacer el cambio de
variable que se indica:
f (x, y, z) = xy + yz + xz, x = s cos t, y = ssent, z = t
25. Repetir el ejercicio anterior siguiendo el procedimiento del ejercicio 12.
26. Se consideran las funciones u = x2 + y 2 − z 2 , v = 2xy + 3xz + yz, w = x2 − y 2 + 5yz. Si
∂(u, v, w)
x = r cos θsenφ, y = rsenθsenφ, z = r cos φ. Halla
.
∂(r, θ, φ)
27. Repetir el ejercicio anterior siguiendo el procedimiento del ejercicio 12.
28. Calcula el desarrollo de Taylor de segundo orden de la función f (x, y) = ex cos y en torno
al punto (0, 0). Si aproximamos f (0.05, 0.2) por el valor del desarrollo de McLaurin de f
de orden 2 evaluado en (0.05, 0.2), ¿qué error cometemos?.
29. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = e2x−3y (b) f (x, y) = sen(x + 3y) (c) f (x, y) = (x + y)2
30. Calcula los máximos y mı́nimos relativos y los puntos de ensilladura de las siguientes
funciones:
(a) f (x, y) = 2x2 + 2xy + y 2 + 2x − 3
(b) f (x, y) = log(x2 + y 2 + 1)
(c) f (x, y) = −5x2 + 4xy − y 2 + 16x + 10 (d) f (x, y) = xy
31. Clasifica los puntos crı́ticos o estacionarios de las siguientes funciones:
2
2
(e) f (x, y) = (x2 + 4y 2 )e1−x −y
(f ) z = x2 − y 2 − 2x − 4y − 4
2
2
(g) z = 2x + 3y − 4x − 12y + 13 (h) z = x3 − 3xy + y 3
32. Halla los extremos absolutos de las funciones siguientes en los conjuntos que se indican:
n
o
(a) f (x, y) = xy 2 , sobre B = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1 .
n
o
(b) f (x, y, z) = x + y + z, sobre B = (x, y, z) : x2 + y 2 ≤ z ≤ 1 .
(c) f (x, y) = 3xy − 6x − 3y + 7, en el triángulo de vértices (0, 0), (3, 0), (0, 5).
33. Halla los extremos de f (x, y) = 3x + 2y sujetos a la restricción 2x2 + 3y 2 = 3.
34. Sea T (x, y, z) = 100 + x2 + y 2 la temperatura en cada punto de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 50.
Halla la temperatura máxima en la curva formada por la intersección de la esfera y el
plano x − z = 0.
35. Calcula los puntos crı́ticos de la siguiente función y clasifı́calos:
f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3)
11
36. Halla los extremos de f (x, y) = x ln x + y ln y sujetos a la condición x + y = 1.
37. Halla la mı́nima distancia del punto (2, 1, 2) al plano x + y + z + 3 = 0.
38. Halla la mı́nima distancia del origen a la superficie x2 + y 2 + z = 3.
39. Halla la mı́nima distancia al origen de la recta dada por las ecuaciones 2x + y + z = 2 y
x − y − 3z = 4.
Tema 4: Cálculo integral de varias variables.
1. Calcula las integrales dobles siguientes en los dos órdenes de integración:
(a)
Z Z p
Z Z
(b)
Z ZD
(c)
1 − x2 dxdy, donde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
D
D
xydxdy, donde D = {(x, y) : −
π
π
≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ cos x}.
2
2
x2 dxdy, donde D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}.
2. Calcula las integrales dobles siguientes en los dos órdenes de integración :
(a)
Z 2Z 2 q
0
x
x 1 + y 3 dydx (b)
Z 2Z 2
0
x
2
e−y dydx
Z Z
3. Calcula
D
(x2 + y 2 )dxdy siendo D la región comprendida entre las circunferencias:
x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4.
4. Sea D RelRparalelogramo limitado por las rectas y = −x, y = −x + 1, y = 2x, y = 2x − 3.
2
2
Hallar
D (x + y )dxdy.
5. Sea D la región del primer cuadrante
delimitada por las curvas x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 =
R
R
9, x2 − y 2 = 4 y x2 − y 2 = 1. Hallar
D xydxdy.
6. Calcula el área de los recintos en los que están definidas las integrales de los ejercicios 1 y
3.
7. Calcula las integrales:
(a)
(d)
Z 1Z xZ y
Z01 Z01 Z 01
0
x
0
(y + xz)dz dy dx (b)
2
zey dz dy dx
(e)
Z 2 Z x Z x+y
dz dy dx
Z0 1 Z0 2x Z0 x+y
0
0
x2 +y 2
(c)
Z 2 Z √4−x2 Z 4
0
0
x2 +y 2
xdz dy dx
dz dy dx
8. Halla el volumen del sólido limitado por z = 1 − xy, y = x, y = 1.
9. Halla el volumen del sólido limitado por z = 4 − y 2 , y = x, y = 2.
10. Halla el volumen limitado por el cilindro x2 + y 2 = 1 y los planos z + 2y = 4 y z = 0.
11. Halla el volumen limitado por la superficie z = x2 + y 2 y el plano z = 4.
12
12. Halla el volumen limitado por la superficie z =
z = 0.
p
x2 + y 2 , el cilindro x2 + y 2 = 4 y el plano
13. Calcula el volumen limitado por las superficies z = x2 + y 2 y z = 2 − x2 − y 2 .
14. Halla el volumen dentro de las superficies z = x2 + y 2 y x2 + y 2 + z 2 = 2.
RRR
2
15. Halla
W (1 − z )dx dy dz, donde W es la pirámide con vértice superior en (0, 0, 1) y
vértices de la base en (0, 0), (1, 0), (0, 1) y (1, 1).
16. Halla el volumen del ‘cono de helado’ definido por las desigualdades x2 + y 2 ≤ 51 z 2 , 0 ≤
p
z ≤ 5 + 5 − x2 − y 2 .
17. Evalúa
Z Z Z
W
(x2
dx dy dz
,
+ y 2 + z 2 )3/2
donde W es el sólido acotado por las esferas x2 + y 2 + z 2 = 4 y x2 + y 2 + z 2 = 1.
Z Z Z
18. Halla
D
dxdydz siendo el recinto D = {(x, y, z)/0 ≤ z ≤
x2
4
+
y2
9
≤ 1}.
Z Z Z
19. Se considera
D
f (x, y, z)dx dy dz siendo
D = {(x, y, z)/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2 − x}
Escribe las seis integrales iteradas asociadas al recinto D.
Z
20. Halla
γ
¯ donde γ es la curva que recorre el cuadrado unidad en el plano xy
f¯(x, y, z) · dl,
en sentido antihorario y f¯(x, y, z) = (y, z cos(yz) + x, y cos(yz)).
Z
21. Calcula
γ
xdx + ydy + zdz a lo largo del arco de hélice γ de ecuaciones paramétricas:
x(t) = 4 cos t, y(t) = 4sent, z(t) = 3t, para 0 ≤ t ≤ 2π.
22. Calcula la integral de lı́nea de la forma diferencial rdr + r2 dθ a lo largo de la curva γ de
ecuación r = senθ, 0 ≤ θ ≤ π.
23. Calcula las integrales de trayectoria de la función escalar f (x, y, z) = x + y + z a lo largo
de las curvas de los dos ejercicios anteriores.
24. Calcula la longitud de arco de las curvas:
1√
x(x − 3), x ∈ [0, 3].
3
(b) f (x) = 50(ex/100 + e−x/100 ), x ∈ [0, 40].
(a) f (x) =
(c) r = Keaθ , θ ∈ [0, 2π].
(d) r2 = a2 cos 2θ, θ ∈ [0, 2π].
(e) r = asen2θ, θ ∈ [0, 2π].
(f) (x(t), y(t)) = (r cos t, rsent), 0 ≤ t ≤ 2π.
(g) (x(t), y(t)) = (cos t, sen2 t), 0 ≤ t ≤ 2π.
13
µ ¶
θ
, 0 ≤ θ ≤ 3π.
3
(h) r = asen3
25. Calcula el área limitada por la curva dada en polares: r2 = a2 cos 2θ.
26. Calcula el área engendrada por la siguiente curva dada en paramétricas:
(
x(t) = r(t − sent)
y(t) = r(1 − cos t)
t ∈ [0, 2π]
27. Dibuja las curvas siguientes y halla el área que encierran:
(a) r2 = 4sen2θ, θ ∈ [0, 2π].
(b) r = 2 + senθ, θ ∈ [0, 2π].
28. Si hacemos rodar una circunferencia sobre una recta y seguimos a uno de los puntos de la
circunferencia, originaremos una curva plana llamada cicloide. Una posible parametrización
es la siguiente:
x(θ) = R (θ − sin θ) , y (θ) = R(1 − cos θ)
siendo R el radio de la circunferencia. Con estos datos, y siempre para θ ∈ (0, 2π), se pide
(a) Dibuja la cicloide.
(b) Halla la longitud de la cicloide.
(c) Demuestra que la tangente a la cicloide pasa por el punto más alto de la circunferencia
y que forma con el eje x un ángulo de 12 (π − θ) radianes.
29. Supongamos que la curva X(t) = [x (t) , y (t)] con t ∈ [a, b] representa la gráfica de una
función no negativa en un intervalo [x (a) = c, x (b) = d] . ¿Cuál es el área que encierra por
debajo? ¿Y la longitud de arco? Aplı́calo a X (t) = [t, t2 ] con t ∈ [0, 1].
30. Calcula la superficie de revolución engendrada por la función f (x) = x3 en [0, 1] al girar
alrededor del eje OX. Calcula también el volumen de revolución.
31. Calcula la superficie de revolución engendrada por la curva: y 2 − 2 ln y = 4x desde y = 1
hasta y = 2 al girar en torno al eje OY . Calcula también el volumen de revolución.
32. Calcula el área de la superficie S del paraboloide z = x2 + y 2 , para valores de z entre 0 y
4.
33. Calcula el área de la semiesfera de radio 2.
34. Calcula
RR
Z Z
35. Halla
S
S (x
2
+ y 2 )dS, siendo S la superficie del cono z 2 = 3(x2 + y 2 ), con 0 ≤ z ≤ 3.
¯ donde S es la superficie de ecuaciones paramétricas x(u, v) = cos u cos v, y(u, v) =
f¯·dS,
1
π
π
senu cos v, z(u, v) = senv, para 0 ≤ u ≤ , 0 ≤ v ≤ .
2
2
2
Z Z
36. Sea S la semiesfera
x2
+
y2
+
z2
− 4 = 0, z ≥ 0. Halla
14
S
(x2 + y 2 )dS.
37. Verifica el teorema de Green para la circunferencia con centro en (0, 0) y radio 2 y las
funciones:
a) P (x, y) = xy 2 , Q(x, y) = −yx2 b) P (x, y) = Q(x, y) = xy
38. Verifica el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =
campo vectorial f¯(x, y, z) = (x, y, z).
39. Halla
RR
¯
p
1 − x2 − y 2 , z ≥ 0 y el
¯ donde S es el elipsoide x2 + y 2 + 2z 2 = 10 y f¯ = (senxy)ı̄ + ex j̄ − yz k̄.
S (∇ × f ) · dS
RR
2
2
2
¯ ¯
¯
40. Halla
S (∇ × f ) · dS donde S es la semiesfera x + y + z = 1, x ≥ 1 y f (x, y, z) =
3
3
(x , −y , 0).
R
¯ para cada una de las siguientes regiones:
41. Sea f¯ = yı̄ + z j̄ + xz k̄. Evalua ∂Ω f¯ · dS
a)
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1
b)
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0
c)
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1, x ≤ 0
RR
2
2
¯ ¯
¯
42. Evalua la integral de superficie
S f · dS, donde f (x, y, z) = ı̄ + j̄ + z(x + y )k̄ y ∂S es
la superficie del cilindro x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
15