Números Enteros. Propiedades

Números Enteros. Propiedades
Temas
1. Conocer y reconocer el conjunto de números naturales, el conjunto
de números enteros y el conjunto de los números racionales
2. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y sumas en los
conjuntos anteriores.
Conjunto de los números naturales y enteros
Denotaremos ℕ al conjunto de los números naturales
ℕ = {0,1,2,3,4, ⋯ }
Denotaremos ℤ al conjunto de los números enteros
ℤ = {⋯ , −2, −1,0,1,2, ⋯ }
Operaciones: Sobre el conjunto de los números enteros tenemos dos operaciones, una
de ellas es la suma+ y la otra es la multiplicación×
 Suma
La suma sobre los números enteros es: Asociativa, conmutativa, existen
inversos aditivos, existe neutro (0).
OBS
1. En general escribimos: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
2. Todo número negativo es menor a cualquier numero positivo o cero
3. En la suma de números entero el signo del resultado depende de los
participantes. A continuación se muestran algunos casos
I.
2 − 3 = −1 [Se mantiene el signo del entero mayor]
3 − 2 = 1 [Se mantiene el signo del entero mayor]
II.
−2 − 3 = −5 [Se mantiene el signo que tiene en común]
2 + 3 = 5 [Se mantiene el signo que tienen en comun]
 Producto
El producto sobre los números enteros es: Asociativo, conmutativo, los
únicos elementos que tienen inversos multiplicativos son 1 y −1, existe
neutro multiplicativo (1).
OBS
1. En general escribimos: 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
2. En el producto de números entero el signo del resultado depende de
los participantes, los cuales se muestran a continuación
I.
II.
III.
IV.
+
−
+
−
∙
∙
∙
∙
+= +
−= +
−= −
+= −
Es decir cuando se multiplican dos números enteros de igual signo el
resultado queda con signo positivo (+) y cuando se multiplican dos
números con signos opuestos el resultado queda con signo negativo (−)
Por ejemplo




2 ∙ 3=6
2 ∙ (−3) = −6
(−2) ∙ 3 = −6
(−2) ∙ (−3) = 6
3. Cualquier número multiplicado por cero (0) da como
resultado cero (0). Cualquier número multiplicado por uno
(1) da como resultado el mismo número
Potencia: bn = b ∙ b ⋯ b, donde “b” se multpilica n veces. Tener presente
siempre las reglas del producto de signos vistos antes y que 𝑏 0 = 1
Desarrollo problema
Primero desarrollaremos los paréntesis, luego de los paréntesis
desarrollaremos las multiplicaciones y las sumas [que no están en
paréntesis] en este mismo orden (primero multiplicación y luego suma)
Conjunto de los números racionales
Denotaremos ℚ al conjunto de los números racionales
ℚ = {𝑎⁄𝑏 ∶ 𝑎, 𝑏 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠, 𝑏 ≠ 0}
Operaciones: Sobre el conjunto de los números racionales tenemos dos operaciones,
una de ellas es la suma+ y la otra es la multiplicación×
 Suma
La suma sobre los números enteros es: Asociativa, conmutativa, existen
inversos aditivos, existe neutro (0).
𝑎⁄ + 𝑐⁄ = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐⁄
𝑏
𝑑
𝑏𝑑
OBS
1. En general escribimos: 𝑎⁄−𝑏 = − 𝑎⁄𝑏 = −𝑎⁄𝑏
2. 𝑎⁄𝑏 ≤ 𝑐⁄𝑏 si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
 Producto
El producto sobre los números enteros es: Asociativo, conmutativo, existen
inversos multiplicativos, existe neutro multiplicativo(1).
𝑎⁄ ∙ 𝑐⁄ = 𝑎𝑑⁄
𝑏
𝑑
𝑏𝑑