Teor´ıa de la Computabilidad

Teorı́a de la Computabilidad
Recuperatorio
24 de junio de 2010
1.
a) Probar que si A ≤m B y B es c.e. entonces A es c.e.
Respuesta. Supongamos que x ∈ A sii f (x) ∈ B. Si B es c.e. entonces x ∈ B sii
(∃y) R(x, y), con R computable. Luego x ∈ A sii f (x) ∈ B sii (∃y) R(f (x), y). Como
λx, y.R(f (x), y) es computable, A es c.e.
b) ¿Es cierto el mismo enunciado pero cambiando ≤m por ≤T ? Justifique.
Respuesta. No. Tomar K y K.
2. Un conjunto X es d.c.e si X = A \ B, donde A y B son c.e. Para n ≥ 0, sea
Cn = {e : #We = n}.
a) Probar que para cualquier n, Cn es d.c.e.
Respuesta. Sea An = {e : #We ≥ n} y Bn = {e : #We > n}. Claramente An y Bn
son c.e. y An \ Bn = Cn
b) Probar que C0 no es c.e. Ayuda: observar que C0 = K1 , probar que K ≤1 K1 y usar
el ejercicio 1.a. Para probar K ≤1 K1 , considerar
(
1 si x ∈ K
g(x, y) =
↑ sino
Respuesta. Por el Teorema del Parámetro, existe una función 1-1 computable f tal
que ϕf (x) (y) = g(x, y).
x ∈ K ⇒ ϕf (x) = λy.1 ⇒ Wf (x) = N 6= ∅
x∈
/ K ⇒ ϕf (x) = λy. ↑ ⇒ Wf (x) = ∅
Entonces x ∈ K sii f (x) ∈ K1 .
c) Probar que para todo n, Cn no es c.e. Ayuda: probar que K ≤1 Cn para n > 0,
modificando la función g del ı́tem anterior.
Respuesta. Definir la función parcial computable
(
1 si x ∈ K o y ∈ {0, . . . , n − 1}
g(x, y) =
↑ sino
Por el Teorema del Parámetro, existe una función 1-1 computable f tal que ϕf (x) (y) =
g(x, y).
x ∈ K ⇒ dom ϕf (x) = N ⇒ #Wf (x) 6= n ⇒ f (x) ∈
/ Cn
x∈
/ K ⇒ dom ϕf (x) = {0, . . . , n − 1} ⇒ #Wf (x) = n ⇒ f (x) ∈ Cn
3. Probar que {hx, yi : Wx ⊆ Wy } es Π2 . Ayuda: usar que si y no aparece en ϕ y x no
aparece en ψ entonces (∀x) ϕ ∨ (∃y) ψ es equivalente a (∀x)(∃y) [ϕ ∨ ψ].
Respuesta.
Wx ⊆ Wy
sii
sii
sii
sii
(∀z) [z ∈ Wx ⇒ z ∈ Wy ]
(∀z) [z ∈
/ Wx ∨ z ∈ Wy ]
(∀z) [(∀s) z ∈
/ Wx,s ∨ (∃t) z ∈ Wy,t ]
(∀z)(∀s)(∃t) [z ∈
/ Wx,s ∨ z ∈ Wy,t ]