15.053 5 de febrero de 2002 Esquema general Material necesario

15.053
z
5 de febrero de 2002
Introducción a la optimización
Esquema general
z
z
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Entregas: material de clase
z
Descripción del curso
Administración y logística del curso
¿Qué son las ciencias de la gestión?
Ejemplos de programación lineal
– Marketing MSR
– GTC
z
Entregas:
Programa e información general
Material de clase
Conjunto de tareas 1
1
2
La transparencia Nº 3 contiene información específica del MIT
Material necesario
z
z
Coursepack (Libro de lecturas recomendadas)
Incluye capítulos de
z
Sitio web: sloanspace.mit.edu
Otros recursos:
z
– Applied Mathematical Programming por Bradley,
Hax y Magnanti
– Operations Research por Winston
– Introduction to Linear Optimization por Bertsimas
y Tsitsiklis
– Network Flows por Ahuja, Magnanti y Orlin
4
Método del curso (continuación)
Sistema de evaluación
z
Trabajos en casa (27%)
z
– Semanales (10 en total)
– Plan de calificación no lineal
z
Exámenes parciales (25% cada uno)
– Contiene
• apuntes de clase
• hojas de cálculo
• lecturas
• trabajos (el trabajo 1 ya se encuentra allí)
• otros recursos
– Dos: uno en cada fin de trimestre
z
Examen final (25%)
– Durante la semana de los exámenes finales
– Último tercio de la asignatura + creación de modelos
z
Página web
En efecto, el total suma 102%
5
6
¿Qué es la investigación operativa?
¿Qué son las ciencias de la gestión?
Aprendizaje activo
z
z
z
z
Las clases se interrumpen cada cierto tiempo
para que los alumnos trabajen
individualmente o en parejas.
Elija a su compañero al comenzar el curso.
Los alumnos a los extremos del pasillo
podrán formar grupos de tres.
Durante la Segunda Guerra Mundial, el mando
británico consultó a científicos y técnicos sobre
distintas cuestiones militares:
– Despliegue de radares.
– Dirección de operaciones antisubmarinas, de minas,
bombardeos y traslado de tropas.
z El resultado se llamó Investigación de Operaciones
Militares, y más tarde Investigación Operativa (IO)
z
El MIT contribuyó a su puesta en marcha
– El profesor Morse (MIT) fue pionero en los EE.UU.
– Fundó el Centro OR del MIT y colaboró en la fundación de ORSA.
7
¿Qué son las ciencias de la gestión
(investigación operativa)?
8
Voces del pasado
z
z
Hoy en día: las ciencias de la gestión y la investigación
operativa suponen
“el empleo de modelos matemáticos para proporcionar pautas
que permitan a los gestores tomar decisiones efectivas
partiendo de la información de la que disponen, o para
hallar el modo de ampliar ésta, en caso de que sea insuficiente
para llegar a la decisión adecuada.”
z
Comparar con: ciencias de la decisión, análisis de
sistemas, investigación operativa, dinámica de sistemas,
análisis operacional, sistemas de ingeniería,
ingeniería de sistemas y otros conceptos.
No malgaste el tiempo o el dinero, empléelos
de la mejor forma posible.
– Benjamin Franklin
z
Obviamente, la mejor forma de eficiencia es la que
permite obtener la máxima ventaja del material
del que se dispone.
– Jawaharlal Nehru
z
Es muy posible que cualquier ciudadano medio sea
capaz de aumentar su eficacia en un cincuenta por
ciento sin riesgo para su salud.
– Walter Scott
9
La investigación operativa en la historia
z
1947
z
Década de 1970
– Época de desilusión y estancamiento. NPcompleto. Expectativas más realistas.
z
Década de 1980
– Gran expansión del uso de ordenadores personales.
Acceso cada vez más facil a datos. Se extiende la
disposición de los directivos al empleo de modelos.
Década de 1950
– Años muy interesantes: progresos matemáticos,
teoría de colas, programación matemática.
z
Comparar con: Inteligencia artificial (I.A.) en los 60.
z
La investigación operativa en la historia
z
– Proyecto Scoop (Scientific Computation of
Optimum Programs), en el que George Dantzig y
otros científicos desarrollan el método simplex
de programación lineal.
10
Década de 1960
– Crece el interés: más progreso, grandes proyectos.
Comparar con: Inteligencia artificial en los 80.
11
Década de 1990
– Uso creciente de sistemas de I.O.
Nuevos avances de la tecnología de I.O; p.ej:
ampliaciones de optimización y simulación a hojas de
cálculo, lenguajes de modelación, optimización a gran
escala. Mayor interconexión entre la I.A. y la I.O.
12
La investigación operativa en el año 2000
Optimización
z CIENTOS de oportunidades para el campo de la I.O.
z Datos, datos y más datos
– Datos de e-business (click stream, compras, otros
datos de transacciones, correo electrónico, etc.)
– El proyecto del genoma humano y su desarrollo
Tan eterna
como el tiempo
z Mayor automatización en la toma de decisiones
z
Necesidad de mayor coordinación para la
utilización de recursos (gestión de la cadena
de suministro)
13
Naturaleza de la optimización
Herón de Alejandría
FERM AT
b’
Ángulo de
c
incidencia
Ángulo de
Ángulo de
incidencia
Ángulo de
Ángulo de
incidencia
reflexión
refracción
b
a
1628-29
Siglo I A.C.
Cálculo
Algunos temas del presente curso
Máximo
z
z
z
Mínimo
La optimización está en todas partes
Modelos, modelos y más modelos
El objeto de los modelos no son los números,
sino la compresión de la realidad
– parafraseando a Richard Hamming
z
Algoritmos, algoritmos y más algoritmos
Ferm at,Newton,Euler,Lagrange,
G auss y otros
17
18
La optimización está en todas partes
z
z
La optimización está en todas partes
Cuanto más sepamos sobre un tema,
mejor podremos apreciar dónde aplicar
la optimización.
z
– fijar fechas de exámenes evitando coincidencias
– asignar a cada clase aulas y franjas horarias
teniendo en cuenta las restricciones
– calcular las tarifas de aparcamiento y las ayudas
para transporte público, para garantizar la máxima
imparcialidad y un acceso adecuado
– optimizar la financiación
Ejemplo: toma de decisiones personales
–
–
–
–
Algunas decisiones que toma el MIT
Hallar el camino más corto a casa (o a clase)
Asignación óptima del tiempo de trabajo personal
Control óptimo de ingresos y gastos
Elección de la asignatura principal
19
La optimización está en todas partes
z
20
Herramientas de optimización en el curso
Ejercicio: preséntese a su compañero y sugiera uno
o dos temas de conversación que le resulten
familiares (el trabajo durante el verano, la asignatura
principal, profesión de sus padres, etc.).
z
Realicen una sesión de "brainstorming" sobre
situaciones propicias para la optimización.
z
Escojan de la lista las dos o tres situaciones que les
resulten más atractivas y pónganlas en común.
z La optimización está en todas partes, pero no el
uso de las herramientas de optimización.
z Metas del curso: presentar diversas herramientas
para la optimización y explicar sus aplicaciones
en varios campos: fabricación, finanzas,
e-business, mercadotecnia y otros.
z El alumno sabrá qué herramientas pueden serle
de ayuda cuando se enfrentre (ineludiblemente)
a problemas de optimización en los negocios.
21
Tratamiento de problemas de gestión: el
marco de las ciencias de la gestión
22
La programación lineal (nuestra primera
herramienta, y quizás la más importante)
1. Determinar el problema que hay que resolver
z
2. Analizar el sistema y reunir datos
z
3. Formular un modelo matemático del problema y
de los problemas secundarios importantes
minimizar o maximizar un objetivo lineal
sujeto a igualdades y
desigualdades lineales
4. Comprobar el funcionamiento del modelo y emplearlo
para predicciones y análisis
maximizar
3x + 4y
5. Elegir una alternativa adecuada
sujeto a
5x + 8y ≤ 24
x, y ≥ 0
6. Presentar los resultados a la organización
7. Implementar y evaluar
23
24
Veamos una serie de posibles soluciones
y
Vocabulario
z Variables de decisión : p.ej., x e y.
5
– En general, hay cantidades que se pueden controlar para
mejorar el objetivo, que deberá ofrecer una descripción
completa del conjunto de decisiones a tomar.
3x + 4y = 12
Solución
óptima
z Restricciones :
3
4
3x + 4y = 6
p.ej., 5x + 8y ≤ 24 , x ≥ 0 , y ≥ 0
– Restricciones a los valores de las variables de decisión.
2
z
1
1
2
3
4
5
esto es, 3x + 4y
– Medida del valor que se usa para ordenar las alternativas
– Tiene por objeto maximizar o minimizar el objetivo
– ejemplos: maximizar el VAN, minimizar el coste
x
0
0
Función objetivo
25
26
MSR Marketing Inc.
Formulación como modelo matemático
adaptado de Frontline Systems
•Selección de un anuncio que llegue a 1,5 millones de personas
Trabajo en parejas
•Minimizar coste
¿Qué decisiones es preciso tomar?
Formúlense como “variables de decisión”.
z ¿Cuál es el objetivo? Formúlese desde el punto
de vista de las variables de decisión.
z ¿Cuáles son las restricciones? Formúlense desde
el punto de vista de las variables de decisión.
z Si dispone de tiempo, intente hallar la solución ideal.
z
•Fijar el número máximo de anuncios de cada tipo
TV
Audiencia
50.000
Coste/Impresión
500$
Nº máx anuncios
20
Radio
25.000
Correo
Prensa
20.000
15.000
200$
250$
125$
15
10
15
27
Datos para el problema de GTC
Gemstone Tool Company (GTC)
z
z
z
z
z
Empresa de propiedad privada
Mercado: herramientas para empresas y particulares
Sede en Seattle
Fábricas en EE.UU, Canadá y México.
Datos esenciales, con fines ilustrativos:
–
–
–
–
–
28
Planta de Winnipeg (Canadá)
Llaves inglesas (llaves) y alicates
Fabricadas en acero
Máquina de moldeo por inyección
Máquina de montaje
Llaves
Acero
Alicates Disponibles
1,0
15.000 tm
1,0
12.000 hrs
Máquina de moldeo
1,0
Máquina de montaje
0,4
0,5
8.000
10.000
0,40$
0,30$
Límite de demanda
Participación
($ por artículo)
29
1,5
5.000 hrs
Deseamos calcular el número de llaves inglesas y
alicates que hay que fabricar, dados el material bruto
disponible, las horas de máquina y la demanda. 30
Formulación del ejercicio de GTM
Trabajo en parejas
z Halle, junto a su compañero, el modo de formular
el problema de GTC como un programa lineal, SIN
CONSULTAR LOS APUNTES
z
z
Paso 1: calcular las variables de decisión
P = miles de alicates fabricados
W = miles de llaves inglesas fabricadas
Paso 2: calcular la función objetiva
P = número de alicates fabricados
W = número de llaves inglesas fabricadas
Maximizar Beneficio =
0,3 P + 0,4 W
31
Formulación (continuación)
Una fórmula algebraica (1)
Paso 3: Calcular las restricciones
z
Moldeo:
P+
W ≤ 12.000
z
0,5 P + 0.4 W ≤ 5.000
Montaje:
W ≤ 8.000
Demanda (llaves):
En la próxima clase se mostrará el modo de resolver el problema.
z
sujeto a
M = conjunto de procesos de fabricación
33
Otra fórmula algebraica
Maximizar
S = (alicates, llaves inglesas)
pj = beneficio por unidad del artículo j
dj = demanda máxima del artículo j
xj = número de unidades fabricadas del artículo j
– M = {moldeo y montaje}
– bi = capacidad del proceso i
– aij = cantidad de capacidad del proceso i usada en fabricar j
≤ 10.000
P
Demanda (alicates):
J = conjunto de artículos fabricados
–
–
–
–
P + 1,5 W ≤ 15.000
Acero:
z
32
34
Otra fórmula algebraica más
n
∑
j∈J
pjxj
∑
j∈J
aij x j ≤ bi for i ∈ M
z
z
Maximizar
sujeto a
∑p x
j
∑a x
j
j =1
n
j =1
La misma
fórmula sirve
aunque | J | = 10.000
y | M | = 100.
j
ij
≤ bi for i = 1 to m
x j ≤ d j for j ∈ J
x j ≤ d j for j = 1 to n
x j ≥ 0 for j ∈ J
x j ≥ 0 for j = 1 to n
35
36
Programas lineales
Un programa lineal puede tener un objetivo
y unas restricciones no lineales
Las funciones lineales presentan la siguiente forma:
z
z
f(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
= ∑ i=1 a n cixi
esto es, 3x1 + 4x2 - 3x4.
z
maximizar
sujeto a
Un programa matemático es lineal (PL) cuando tiene
por objetivo una función lineal y las restricciones son
igualdades o desigualdades lineales
esto es, 3x1 + 4x2 - 3x4 ≥ 7
z
f(x,y)= xy
x - y2/2 ≤ 10
3x – 4y ≥ 2
x ≥ 0, y ≥ 0
x1 - 2x5 = 7
z Normalmente, un PL tiene restricciones de no negatividad.
37
Un programa entero es un programa lineal
con las restricciones de que todas o algunas de
las variables son valores enteros.
z
Maximizar
3x1 + 4x2 - 3x3
3x1 + 2x2 - x3 ≥ 17
3x2 - x3 = 14
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 y
x1 , x2, x3 son números enteros
38
Fórmula algebráica con
restricciones de igualdad
n
z
∑c x
Max o min
j
j =1
z
sujeto a
n
∑a x
j =1
ij
j
j
= bi for i = 1 to m
x j ≥ 0 for j =1 to n
39
Principios de la programación lineal
40
Historias de éxitos (1)
Maximizar
4W + 3P
1.5W + P ≤ 15
….
Principio de proporcionalidad La participación de W
z La planificación óptima de su personal de vuelo permite
a American Airlines ahorrar un millón de dólares al año.
z Yellow Freight ahorra más de 17,3 millones de dólares al año
gracias al perfeccionamiento de sus rutas de envíos.
es proporcional a W.
Principio de aditividad La participación de P en la función
z La mejora de los repartos por carretera en Reynolds Metals
ha aumentado la puntualidad en las entregas, reduciendo los costes
objetiva es independiente de W.
Principio de divisibilidad Cada variable puede adoptar
de flete en 7 millones de dólares al año.
valores fraccionarios.
Principio de certidumbre Los coeficientes lineales y las
z GTE ahorra 30 millones al año por la expansión de su capacidad local.
restricciones de la función objetiva son conocidos (y no son
variables aleatorias).
41
42
Historias de éxitos (2)
Historias de éxitos (3)
z La optimización de las cadenas globales de suministro ahorra a
z La mejora de la planificación de producción en Sadia (Brasil) ha
ahorrado a la empresa 50 millones de dólares en tres años.
Digital Equipment más de 300 millines de dólares.
z Tras la reestructuración de su departamento de operaciones en
Norteamérica, Procter&Gamble ha disminuido sus plantas en un
20%, con un ahorro de 200 millones de dólares al año.
z La optimización de la producción en Harris Corporation supone un
aumento del 75 al 90% de la pluntualidad en las entregas.
z Tata Steel (India) ha optimizado sus respuestas a los apagones
eléctricos, obteniendo un ahorro de 73 millones de dólares.
z El óptimo control del tráfico en la autopista Hanshin, en Osaka
permite ahorrar al año 17 millones de horas de conducción.
z La mejor planificación de las unidades de generación termohidráulica
le supone a Southern Company un ahorro de 140 millones de dolares
z Optimizar la organización de las patrullas policiales permite al
departamento de policía de EE.UU. ahorrar 11 millones cada año.
z En Texaco, la mezcla de gasolinas da como resultado un ahorro
de 30 millones de dólares anuales.
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Resumen
z Respuesta a la pregunta: ¿qué son la Investigación
operativa y las ciencias de la gestión?, proporcionando
al estudiante cierta perspectiva histórica.
z
Vocabulario de la programación lineal
z Dos ejemplos:
1.
2.
MSR Marketing
Gemstone Tool Company
– Pequeño programa lineal (bidimensional) no demasiado fácil
z
Analizaremos este problema detalladamente en la próxima clase
45
44