ejercicios resueltos

Métodos Numérico I
Facultad Nacional de Ingeniería
EJERCICIOS RESUELTOS
MAT – 1105
“A”
MÉTODOS NUMERICOS I
DOCENTE: Ing. Freddy Zambrana Rodríguez
AUXILIAR: Univ. Jhonny Nina Gutiérrez
FECHA DE EMICION: 18 enero 2 010
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1. Resolver los siguientes Sistemas de ecuaciones por los Métodos Gauss, Gauss-Jordan.
− 5 x1 + 5 x 2 + 3 x3 =1
a ) 5 x1 + 6 x 2 + x3 = 2
3 x1 + x 2 + 7 x3 = 3
Método de Gauss
 − 5 + 5 + 3 M1  (*1)


5 + 6 + 1 M2
 3 + 1 + 7 M3 


 − 5 + 5 + 3 M1 (3 / 5)  − 5 + 5 + 3 M1 




 0 + 11 + 4 M3 
 0 + 11 + 4 M3 
 3 + 1 + 7 M3 
 0 + 4 + 8,8 M3,6 




− 5 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 1
+ 11x2 + 4 x3 = 2
+ 7,345 x3 = 2,509
⇒
 − 5 + 5 + 3 M1 


 0 + 11 + 4 M3 
 0 + 0 + 7,34 M 2,50 


x3 = 0,3415
x 2 = 0,1485
x1 = 0,1534
Método de Gauss-Jordan
− 5 + 5 + 3 M 1



 0 + 11 + 4 M 3

 0 + 0 + 7,345 M 2,509 


− 5 + 5 + 3 M 1

 0 + 11 + 0 M 1,633
 0 + 0 + 7,345 M 2,509






= 0.767
 − 5 + 0 + 0 M − 0,767  − 5 x1


+ 11x 2
= 1,633 ⇒
 0 + 11 + 0 M 1,633 
 0 + 0 + 7,345 M 2,509 
+ 7,345 x3 = 7,509


 − 5 + 5 + 0 M − 0,024

 0 + 11 + 0 M 1,633
 0 + 0 + 7,345 M 2,509

x3 = 0,3415
x 2 = 0,1485
x1 = 0,1534





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2 x1 − 3 x 2 + x3 = 1
b) 3 x1 + 1x 2 − x3 = 2
 2 − 3 + 1M 1 


3 + 1 −1 M 2
 1− 1 −1 M 1 


x1 − x2 − x3 = 1
Método de Gauss
 2 − 3 +1 M 1 


 0 + 5,5 − 2,5 M 0,5 
 0 + 0,5 − 1,5 M 0,5 


x + 2y − z = 4
c)
 1 + 2 −1 M 4 


2 x + 1y − z = 8  2 + 1 + 1 M 8 
− y = 2 z − x 1 + 1 − 2 M0 
 1+ 2 0 M 6 


0−3 0 M −6
0 0 − 2 M − 4


 1+ 2 −1 M 4 


 0−3+3M 0 
 0 − 1 − 1 M − 40 


x1 = 0,5714
 1+ 2 −1 M 4 


 0−3+3M 0 
0 0 − 2 M − 4


x=2
− 3 y = −6 ; − 2 z = −4
y =2 ; z = 2
 1 + 1 + 1 M6 


1 + 2 − 1M 2 
 2 − 1 + 3M 9 


x + 2y − z = 2
2 x − y + 3z = 9
x3 = − 0,357
x 2 = − 0,071
− x3 = 1
 1 0 0 M2 


0−3 0 M −6 ⇒
0 0 − 2 M − 4


x + y + z =6
d)
2 x1 − 3 x 2 + x3 =1
+ 1x 2 − x3 = 2 ⇒
 2 − 3 +1 M 1 


 0 + 5,5 − 2,5 M 0,5 
 0 + 0 − 1,272M 0,454 


 1 + 1 + 1 M6 


 0 + 1 − 2M − 4 
 0 − 3 + 1M − 3 


 1 + 1 + 1 M6 


 0 + 1 − 2M − 4 
 0 0 − 5 M − 15 


x =1
y =2
x + y + z =6
+ y − 2 z = −4 ⇒
z =3
− 5 = −15
2. Utilizar el método de Reducción de Crout para obtener una descomposición LU de la matriz A de
los problemas:
a)
 2,510 − 0,142 0,754
A = − 1,210 3,440 0,231
 2,510 − 0,142 0,754
 a11
⇒ a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
 L11 U 12
⇒  L21 L22
 L31 L32
U11 = U 22 = U 33 = 1
Calculo 1º Columna L
L11 = 2,510; L21 = − 1,210; L31 = 2,510
Calculo de la primera fila de U.
a
− 0,142
U 12 = 12 =
= −0,05657
2,510
L11
a13 0,754
=
= 0,30039
L11 2,510
Calculo 2º columna de L
L22 = a 22 − L21 * U 12 = 3,440 − (−1,210)(−0,05657) = 3,37155
U 22 =
L32 = a 32 − L31 * U 12 = −0,142 − (2,510)(−0,05657) = 9,3 * 10 − 6
Calculo de la segunda fila de U.
U
23
=
a 23 − L 21 * U
L 22
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
13
=
U 13 
U 23 
L33 
0 , 231 − ( − 1 , 210 )( 0 , 30039
3 , 37155
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)
= 0 ,1763
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Calculo 3º columna de L
L33 = a 33 − L31 * U 13 − L32 * U 23 = 0,754 − ( 2,510)(0,30039) − ( −9,3 * 10 −6 )(0,1763) = 2,2739
Matriz LU
− 0,05657 0,30039
 2,510
− 1,210
3,37155
0,1763 

 2,510 − 0,0000093 2,2739 
b)
 3,142 − 2,458 0,7542 
A = − 1,154 5,258 − 0,4385
 2,374 − 7,518 − 3,246 
 a11
⇒ a 21
a 31
a12
a 22
a 32
 L11 U 12
⇒  L21 L22
 L31 L32
a13 
a 23 
a 33 
U 13 
U 23 
L33 
U11 = U 22 = U 33 = 1
Calculo 1º Columna L
L11 = 3,142; L21 = − 1,154; L31 = 2,374
Calculo de la primera fila de U.
a
− 2,458
= −0,7823
U 12 = 12 =
3,142
L11
a13 0,7542
=
= 0,24003
3,142
L11
Calculo 2º columna de L
L22 = a 22 − L21 * U 12 = 5,258 − (−1,154)(−0,7823) = 4,3552
U 22 =
L32 = a 32 − L31 * U 12 = −7,518 − (2,374)( −0,7823) = −5.6608
Calculo de la segunda fila de U.
U
23
=
a 23 − L 21 * U
L 22
13
=
− 0 , 4385
− ( − 1 ,154 )( 0 , 24003
4 , 3552
)
= − 0 , 03708
Calculo 3º columna de L
L33 = a 33 − L31 * U 13 − L32 * U 23 = −3,246 − ( 2,374)(0,24003) − ( −5,6008)( −0,03708) = −4,0257
Matriz LU
 3,142 − 0,7823 0,24003 
− 1,154 4,3552 − 0,03708


 2,374 − 5,6608 − 4,0257 
3. Para el Sistema resolver por descomposición de LU.
1 1 − 1
 1


A = 2 − 2 1  ;b = 6
1 0
0
3 
 a11

⇒  a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 b1 
 L11 U 12


a 23 b2  ⇒  L21 L22
L
a 33 b3 
 31 L32
Primera fila U: U11 = U 22 = U 33 = 1
Primera Columna L:
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
Ax = b
L11 =1; L21 = 2; L31 = 1
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U 13 U 14 

U 23 U 24 
L33 U 34 
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Primera fila de U:
1
−1
1
= 1; U 13 =
= −1; U 14 = = 1
1
1
1
Segunda Columna L:
U 12 =
L22 = − 2 − 2(1) = −4 ; L32 = 0 − 1(1) = −1
Segunda Fila de U:
1 − (2)(−1)
3
6 − (2)(1)
4
= − = −0,75; U 24 =
= − = −1
−4
4
4
−4
Tercera Columna de L:
L33 = 3 − (1)(−1) − (−1)(−3 / 4) = 3,25
U 23 =
Tercera fila de U:
0 − 1(1) − (−1)(−1)
2
=−
= −0,6153
3,25
3,25
Matriz LU: 1 1
−1
1



2 − 4 − 0,75 − 1 
1 − 1 3,25 − 0,6153
 1


Como: U11 = U 22 = U 33 = 1 tenemos U = 0
0

U 34 =
x1 + x 2 − x3 =1
⇒ x1 = − x 2 + x3 + 1
+ x 2 − 0,75 x3 = − 1
;
−1
1
1 − 0,75
0
1



− 0,6153
1
−1
x3 = − 0,6153
⇒
x 2 = − 1,4614
x1 =1,8461
4.Se tiene un numero positivo de tres cifras, la suma, de sus tres cifrases 22, el numero de centenas
menos el numero de decenas es uno y el numero de decenas menos el numero de unidades es menos
tres, ¿Cuál es el numero?
n0 = x y z
x + y + z = 22
x - y = 1
y - z = -3
1 22   1 1 1 22 
1 22   1 1
1 22   1 1
1 1

 
 
 

1 −1 0 1  ≈ 0 − 2 −1 0  ≈ 0 1 −1 − 3  ≈ 0 1 −1 − 3 
 0 1 − 1 − 3   0 1 − 1 0   0 − 2 − 1 − 21  0 0 − 3 − 27 

 
 
 

x + y + z = 22
x - y = -3
- 3z = -27
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
z =9
⇒
y =6
x =7
El numero es 769
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5. Resuelva el siguiente Sistema de Ecuaciones lineales:
2
k
j =0
0
∑  ∫
x j dx  x j = k ; k = 1, 2 ,3

 x 0 dx  x +  1x 1 dx  x +  1x 2 dx  x = 1
 ∫0
 0  ∫0
 1  ∫0
 2
1
 2 x 0 dx  x +  2 x 1 dx  x +  2 x 2 dx  x = 2
 ∫0
 0  ∫0
 1  ∫0
 2
 3 x 0 dx  x +  3 x 1 dx  x +  3 x 2 dx  x = 3
 ∫0
 0  ∫0
 1  ∫0
 2
1
1
x1 + x 2 = 1
2
3
8
2 x 0 + 2 x1 + x 2 = 2
3
9
3 x 0 + x1 + 9 x 2 = 3
2
x0 +
Gauss.
 1 0,5 0,333 1   1 0,5 0,333 1   1 0,5 0,333 1 

 
 

 2 2 2,667 2  ≈  0 1 2,001 0  ≈  0 1 2,001 0 
 3 4,5
9 3   0 3 8,001 0   0 0 1,998 0 

x1 + 0.5 x 2 + 0,333x3 = 1
x 2 + 2,001x3 = 0
x3 = 0
⇒
x2 = 0
x1 =1
1,998x 3 = 0
6. Sea el Sistema de Ecuaciones
3
1
10

A =  5 − 10 3  ;b =
 1
3 10
 14 
 − 5
 
 14 
0 
; x = 0 
0 
0
 a11

⇒  a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 b1 
 L11 U 12


a 23 b2  ⇒  L21 L22
L
a33 b3 
 31 L32
U 13 U 14 

U 23 U 24 
L33 U 34 
Resuelva el Sistema A x = b mediante el método de Jacobi y Gauss-Seidel y compare las
soluciones y deduzca cual converge más rápidamente, con una tolerancia de error = 0,0001
10 x1 + 3 x 2 + 1x3 =14
5 x1 − 10 x 2 + 3 x3 = −5
x1 + 3 x 2 + 10 x3 =14
Método Jacobi.
− 3 x 2 − 1x3 + 14
10
5 + 5 x1 + 3 x3
x2 =
10
14 − x1 − 3 x 2
x3 =
10
x1 =
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
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1º Iteración x0=[0,0,0]t ^ error=0,0001
14 − 3(0) − (0)
x1 ' =
= 1,4
10
5 + 5(0) + (0)
x2 ' =
= 0,5
10
14 − 0 − 3(0)
x3 ' =
= 1,4
10
( x10 − x11 ) 2 + ( x 20 − x 12 ) 2 + ( x 30 − x31 ) 2 < ε
error
(0 − 1,4) 2 + (0 − 0,5) 2 + (0 − 1,4) 2 < ε
2,042057 < ε
2º Iteración x1 = [1.4,0.5,1.4]t
^ error=0,0001
14 − 3(0,5) − (1,4)
= 1,11
10
5 + 5(1,4) + 3(1,4)
2
x2 =
= 1,62
10
14 − 1,4 − 3(0,5)
2
x3 =
= 1,11
10
x1 =
2
error
( x11 − x12 ) 2 + ( x 12 − x 22 ) 2 + ( x 31 − x 32 ) 2 < ε
(1, 4 − 1,11) 2 + (0,5 − 1,62 ) 2 + (1,4 − 1,11) 2 < ε
1,192727 < ε
Tabulando
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
no
cumple
x1i
x1i
x1i
0
1,4
1,11
0,803
0,9033
0,96695
0,936513
0,9242807
0,932808
0,9348917
0,9326367
0,932362
0,932930
0,932939
0,932802
0,932814
0,932845
0
0,5
1,62
1,388
1,1424
1,22264
1,27356
1,249210
1,239424
1,246247
1,247913
1,246709
1,245889
1,246344
1,246351
1,246242
1,246251
0
1,4
1,11
0,803
0,9033
0,96695
0,936513
0,9242807
0,932808
0,9348917
0,9326367
0,932362
0,932930
0,932939
0,932802
0,932814
0,932845
Pág. 6/11
Error
0
2,042
1,1927
0,4922
0,2836
0,1205
0,0666
0,0298
0,0155
0,0074
0,0035
0,0018
0,00083
0,00045
0,00019
0,00011
0,000045< Error
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Método de Gauss-Seidel.
14 − 3 x 2 − x3
10
5 + 5 x1 + 3 x3
x2 =
10
14 − x1 − 3 x 2
x3 =
10
x0 = [0,0,0]t error=0,0001
x1 =
1º Iteración
14 − 3(0) − (0)
= 1,4
10
5 + 5(1,4) + (0)
x2 ' =
= 1,2
10
14 − 1,4 − 3(1,2)
x3 ' =
= 0,9
10
x1 ' =
( x10 − x11 ) 2 + ( x 20 − x 12 ) 2 + ( x30 − x31 ) 2 < ε
error
(0 − 1, 4) 2 + (0 − 1,2) 2 + (0 − 0,9) 2 < ε
2,051828 < ε
2º Iteración
x1 = [1.4,1.2,0.9]t
^ error=0,0001
14 − 3(1,2) − (0,9)
= 0,95
10
5 + 5(0,9) + 3(0,9)
2
x2 =
= 1,245
10
14 − 0,9 − 3(1,2)
2
x3 =
= 0,9315
10
x1 =
2
( x11 − x12 ) 2 + ( x 12 − x 22 ) 2 + ( x31 − x32 ) 2 < ε
error
(1,4 − 0,95) 2 + (1,2 − 1, 245) 2 + (0,9 − 0,9315 ) 2 < ε
0,45334 < ε
no
cumple
Tabulando
i
0
1
2
3
4
5
x1i
x1i
0
1,4
0,95
0,9333
0,9328
0,93283
0
1,2
1,245
1,2461
1,24628
1,246263
x1i
0
0,9
0,9315
0,932827
0,932825
0,932837
Error
0
2,0518
0,4533
0,0167
0,00049
0,000056< Error
La solución por el método de Gauss-Seidel es:
(x1 = 0,93283; x2 = 1,246263; x3=0,932837) en 5 iteraciones
método de Jacobi es (x1 = 0,932845; x2 = 1,246251; x3=0,932845) en 16 iteraciones.
En conclusión el método de Gauss Seidel comienza mucho mas rápido.
Aux. Jhonny-Nina-Gutiérrez
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