Escuela Normal Superior N° 11

Escuela Normal Superior N° 11
MATEMÁTICA
PRESENTACION DEL MATERIAL
ESTIMADO ALUMNO
El material que encontraras a continuación contiene dos bloques temáticos, el
primero
presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos y el
segundo una selección de contenidos de Geometría (nociones del plano).
Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, que
conlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas
formas de comunicación y los problemas, la Matemática es mucho mas saber
hacer que meramente saber.
Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprender con
los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que te
ayudaran a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontraras
numerosos problemas con complejidad creciente.
Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y que resuelvas
los problemas de cada bloque.
La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo lo
que hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sino
tu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño.
BERNARDO STAMATEAS
MARCO TEÓRICO
SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de símbolos y reglas que se usan para representar los números.
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:
 Posicionales
 No posicionales
Sistemas de numeración no posicionales
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas…
como sean necesarios hasta completar el número. Como las numeraciones egipcias, sumeria (de
base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y
árabes.
El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo
diseñar algoritmos de uso general (por ej. Para sumar, restar, multiplicar, dividir)
Signos
Letras mayúsculas: I
V
X
L
C
D
M
Valores:
5
10
50
100
500
1000
1
Convenciones para la escritura, recuerda estas:
1. Toda letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a su valor: siendo X=
10, es XX= 20; XI= 11, etc.
2. Toda letra colocada a la izquierda de otra de mayor valor, le resta su valor: siendo X=10, es
IX= 9, etc.
3. No pueden repetirse más de tres veces consecutivas: I; X; C; M. Ej. III=3, XXX=30, CCC=300,
MMM=3000. V, L, D no pueden repetirse.
4. Una rayita superpuesta aumenta mil veces su valor, dos rayitas un millón de veces:
= 5000
=10.000
= 200.000.000; etc.
5. Los números se escriben por descomposición. Ej. 499 (=400+90+9) se escribe CDXCIX (CD=
400; XC= 90; IX=9). Luego, es incorrecto escribirlo así: ID (500-1=499)
Sistemas de numeración posicionales:
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos, la posición de una
cifra nos dice si son decenas, centenas… o en general la potencia de la base correspondiente. Es
decir, que el número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce
como base del sistema de numeración.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL O EN BASE DIEZ
Es oriundo de la India, fue divulgado en Europa por los árabes. De ahí que sus símbolos se
conozcan con el nombre de cifras indo-árabe.
Está compuesto por los símbolos denominados dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Nuestro Sistema de Numeración se llama DECIMAL, porque su base es 10, es decir, utilizamos 10
símbolos para representar todas las cantidades y es POSICIONAL, es decir que diez unidades
forman una unidad del orden inmediato superior.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO EN
CUALUIER BASE
Descomponer polinómicamente un número consiste en expresarlo como la suma de los valores
posicionales de sus cifras (utilizando las potencias sucesivas de la base). Por ej.
1269 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 6 x 10 + 9 = 1 x 103 + 2 x 102 + 6 x 101 + 9 x 100
Cabe señalar que la base de las potencias es la base del sistema y el exponente que le corresponde
a cada cifra es el número anterior a su valor de orden.
DIVISOR COMUN MAYOR Y MULTIPLO COMUN MINIMO
DCM
El DCM de varios números es el mayor número que los divide a todos exactamente.
Para hallar el DCM de varios números se descomponen éstos en sus factores primos y se determina
el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Hallar el DCM de 20, 30 y 50.
20 2
30 2
50 2
20 = 22 x 5
10 2
15 3
25 5
30 = 2 x 3 x 5
5 5
5 5
50 = 2 x 52
1
1
DCM = 2 x 5 = 10
5
1
5
Los números 20, 30 y 50 por ej. tienen varios divisores comunes: 1, 2, 5 y 10; el mayor es 10; lueg o
10 es el DCM de 20, 30 50.
MCM
El MCM de varios números es el menor número que los contiene a todos exactamente.
Para hallar el MCM de varios números se descomponen éstos es sus factores primos y se determina
el producto de sus factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces:
15 es divisible por 5 pus lo contiene exactamente 3 veces; y 15 es divisible por 3 pues lo contiene
exactamente 5 veces.
Un número divisible llámese múltiplo del divisor, y éste submúltiplo de aquél; 15 es múltiplo de 5 y
de 3, en tanto que éstos son submúltiplos de 15.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Números primos son los que únicamente son divisibles por sí mismos y por la unidad: 1, 2, 3, 5, etc.
Los números compuestos son divisibles además, por otros números: 4, 6, 8, etc. Se pueden
descomponer en un producto de factores primos; ej: 10 = 2 x 5
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
Se divide el número por su menor divisor primo: el cociente obtenido se divide también por su menor
divisor primo, y así se continúa hasta que el cociente sea 1. Ej: Sea descomponer 480 en sus
factores primos:
480
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
2
3
5
480 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5
480 = 25 x 3 x 5
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin
necesidad de realizar la división.
Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
 Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Ejemplos: 36, 94, 521342, 40…
 Criterio de divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es
múltiplo de 3. Ejemplos: 36, 2142, 42…
 Criterio de divisibilidad por 4: Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo
de 4. Ejemplos: 300, 508, 12018…
 Criterio de divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o
es 0. Ejemplos: 35, 2145, 40...
 Criterio de divisibilidad por 6: Cuando es divisible por dos y tres. Ejemplos: 12, 34002…
 Criterio de divisibilidad por 8: Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo
de 8. Ejemplos: 15000, 15408…
 Criterio de divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es
múltiplo de 9. Ejemplos: 495, 945, 53640...
 Criterio de divisibilidad por 11 : Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que
ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le
restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo
de 11. Ejemplos: 2343649, 9889, 18161902...
 Criterio de divisibilidad por 25: Cuando termina en 00, 25, 50 o 75. Ejemplos: 700, 625…
 Criterio de divisibilidad por 125: Cuando termina en 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 u
875. Ejemplos: 10000, 47875…
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a este
conjunto por extensión, será: lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entender
que se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que
al considerar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en el
conjunto IN, resulta ser una relación de orden.
Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y
se presentan ordenados en una sucesión. Algunas características de los naturales son:
 Se parte de un elemento especial: el cero.
 Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después del 12
sigue el numero 1, de partida.
 Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.
 No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En otras
palabras entre dos números naturales existe un número finito de números naturales.
Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada e
informal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente
manera:
 Tiene primer elemento: el cero.
 Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.
 Todo numero tiene antecesor y sucesor, menos el cero que solo tiene sucesor
Los números naturales se representan en una recta, a la que llamamos “recta numérica”.
Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural un
punto de una recta en la cual previamente se fijo una escala. Entre dos puntos naturales existen
infinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numérica
se irá completando con números de otra naturaleza.
OPERACIONES DEFINIDAS EN lN
Adición
Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales.
Los números que intervienen reciben los siguientes nombres: 372 + 421 = 793
SUMANDOS
SUMA
Propiedades fundamentales:
 Ley de composición interna: La suma de dos números naturales es otro número natural




a + b
Conmutativa: La suma no se altera si se cambia el orden de los sumandos
a + b = b + a
Asociativa: Dados 3 o más sumandos existen distintos caminos para encontrar la suma. Es
decir que la suma no cambia si se asocian los sumandos de diferentes maneras.
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro: El cero es el operador neutro de la suma. Si a un número se le suma cero
se obtiene el mismo número.
a + 0 = a
Iteración: El operador +1 (agregación de la unidad) permite obtener “el siguiente de”.
Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuela
primaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como validas y las verificaremos
con ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes.
Sustracción
Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia
b a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.
a
Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de numero natural c, si existe,
que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si es
a≥b entonces: abc cba
Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción:
372
-152
220
Minuendo
Sustraendo
Resta o diferencia
La sustracción:




No es asociativa
No es conmutativa 5 − 2 ≠ 2 − 5
Elemento neutro es el 0
El operador -1 permite obtener “el inmediato anterior de”
Multiplicación
Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son números
naturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es:
a x b = a + a + a +........
b veces el sumando a
La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0.
Los números que intervienen en la multiplicación se llaman: 372 x 2 = 744
FACTORES PRODUCTO
Propiedades fundamentales:
 Ley de composición interna: La multiplicación de dos números naturales es otro número





natural.
a · b
Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
a · b = b · a
Asociativa: Dados 3 o más factores existen distintos caminos para encontrar el producto.
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributiva respecto de la adición y sustracción: Se transforma en una adición de
productos parciales.
a · (b + c) = a · b + a · c
Elemento neutro: El uno es el operador neutro del producto. Si a un número se lo multiplica
por uno se obtiene el mimo número.
a · 1 = a
Elemento absorbente: El cero es el operador absorbente de la multiplicación.
División
Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, se
llama cociente a/b a un numero natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica
por el divisor.
Esto es: a/b c significa que a c b
Recordemos:
Dividendo
3251
8
051
406
3
Divisor
Cociente
Resto
El cociente a/b también es posible expresarlo a: b o
Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales.
La división:







No es asociativa.
No es conmutativa. 6 : 2 ≠ 2 : 6
Es distributiva respecto a la adición y la sustracción.
El uno es el operador neutro.
El cero, dividido por cualquier número, es cero. 0 : 5 = 0
El cero como divisor carece de sentido. No se puede dividir por cero.
No siempre la división es exacta, es posible la existencia de un resto.
División entera – división exacta
División exacta: es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero.
Ejemplo: 12:4 =3
División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menor
que el divisor.
Prioridades en las operaciones
1.
2.
3.
4.
Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
Calcular las potencias y raíces.
Efectuar los productos y cocientes.
Realizar las sumas y restas.
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
Para designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por
los enteros positivos (ℤ ), el cero y los enteros negativos (ℤ -).
+
Por extensión, este conjunto será:
ℤ= ℤ + U {0} U ℤ -
ℤ= {…;-3;-2;-1;0; 1;2; 3; 4; …}
Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos el
signo “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismo
ocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un numero es positivo el signo no se coloca.
Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo:
a x b con a b . Ejemplo: 6 x 4; dentro de los naturales 4 6 no tiene solución, sin embargo
en el conjunto de los enteros es 4 6 2
Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores al
nacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa;
temperaturas bajo cero etc.
Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operaciones
validas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características.
A las propiedades conocidas, se le agregan:
Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del numero y su opuesto es
cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4
es 4, entonces (-4) + 4 = 0
Características:





No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito.
No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o discreto.
Todo número tiene antecesor y sucesor.
Todo número tiene su opuesto.
El cero es negativo y positivo a la vez.
Recta numérica.
En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y los
números enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada.
Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero. La distancia que existe entre un
numero y el cero se llama modulo o valor absoluto. Por lo tanto los números opuestos tienen el
mismo modulo. Para expresar el modulo de un numero se utilizan las barras de valor absoluto. Ej: l 3
l = 3 y l –3 l = 3
El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.
Lectura y escritura de números enteros:
Lectura: Sea leer el número 54003005742834
Se separan períodos de 3 cifras de derecha a izquierda (por medio de puntos) y luego, también de
derecha a izquierda, a cada período de 6 cifras se coloca un numérico de orden según la serie
natural: 1, 2, 3…., etc.; los que indicarán respectivamente millones, billones, trillones, etc.
54.003.005.742.834
Lectura: Se lee el 1er período de la izquierda (que puede tener menos de 6 cifras, como en este
caso), agregando al final la palabra billones, que es la que indica el número 2; se lee luego el 2°
periodo, millones; y luego el último, unidades. A cada punto o espacio situado en el medio de cada
período de 6 cifras se leerá la palabra mil. El número se lee así:
Billones
54.
2
Mil Millones Mil
003.
005.
1
742.
Unidades
034
Escritura: Sea escribir: catorce trillones setenta y tres millones veinte metros.
Se escribe el primer período (14 trillones), seguido de un punto, y se trazan luego arcos para cada
período de 6 cifras hasta llegar a las unidades, dando así a 14 el valor de trillones; en cada arco s e
colocan los puntos para los períodos de 3 cifras. Luego se escriben los demás períodos en el lugar
que les corresponde, colocando ceros para llenar los lugares que carecen de unidades:
14.
Trillones
000.000.
000.073.
000.020 m
Billones
Millones
Unidades
OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
Adición
Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:
 Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus
módulos y al resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos. Ejemplos: 12 +
4 = 16 -12 + (-4) = -16
 Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo
del que tiene el sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplos: 15 + (-3) = 12 -15 + 3 = -12
 La adición en ℤ cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del
elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto.
Propiedades de la adición
 Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a
 Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros la suma final no varía si se
reemplazan varios sumandos por su suma ya efectuada.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
 Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento cero que sumado a cualquier
número entero, no altera la suma. a + 0= 0 + a = a
 Ley del elemento opuesto: Todo elemento del conjunto ℤ, admite un opuesto, tal que
sumado al número dado, da por resultado cero. a + (-a)= (-a) + a = 0
Sustracción
La sustracción no es más que un caso particular de la adición.
 Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.
a – b = a + (-b)
Ejemplos: 200 – (-150) = 200 + (+150) =350 - (+150) = 100 + (-150) = - 50
Multiplicación
Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos:
 Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado
es positivo.
 Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el
resultado es negativo.
+.+=+
+.-=-
-.-=+
-.+=-
La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del
elemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción.
Propiedades de la multiplicación
 Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a . b = b . a
 Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros el producto final no varía si se
reemplazan varios factores por su producto ya efectuado.
a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)
 Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento uno que multiplicado a
cualquier numero entero, no altera el producto. 1 . 0= 1 . a = a
 Ley del elemento absorbente: Existe en el conjunto Z, el elemento cero que multiplicado a
cualquier número entero, da por resultado cero. a . 0= 0. a = 0
 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta: El producto de
un numero entero por una suma algebraica, puede ser obtenido calculando la suma de los
productos de cada termino de la suma por el factor considerado.
d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c
(a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d
Suma algebraica
Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones.
Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo
“+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-”
Ejemplos:
-17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 =
(21 + 3 ) – (17 + 8 +12) =
24 - 37 = -7
Si un mismo número esta sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar.
Supresión de paréntesis
Recuerda:
Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos
que están encerrados en el.
a) 2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4
2 + 7 = 13 - 4
9=9
Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos los
términos que están encerrados en el.
b) 12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 4
12 - 7 = 1 + 4
5=5
Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando las
mismas reglas de supresión de paréntesis.
División
Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo que
corresponde según la regla de los signos de la multiplicación.
+:+=+
+:-=-
-:-=+
-.+=-
Operaciones combinadas
(+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 = Se separa en términos.
(-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 =
Se resuelven las operaciones indicadas entre paréntesis.
(-30) - (-3) - 3 + 4 =
Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
-30 + 3 - 3 + 4 =
Cuando dos términos son números opuestos, se pueden cancelar.
-30 + 4 = -26
Se resuelven las sumas y las restas.
Potencias de números enteros
Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de
los números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales se
cumple en el conjunto de los enteros.
Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ello
presentamos distintas situaciones.
1. Si a es un número estrictamente positivo, entonces a x a x a x.....x a , n veces, se escribe an
2. Si a es un número estrictamente negativo, entonces ax ax ax.....x a, n veces, se
escribe n a . La base es ay el exponente es n.
3. Si a es 0 y n>0, entonces: 0n 0 .
4. Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0 1
5. Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces a1 a
Regla de los signos:
si la base es positiva el resultado es positivo.
Si la base es negativa el resultado depende del exponente:
+par = +
- par = +
+impar = +
- impar = -
- si es par el resultado es positivo.
- si es impar el resultado es negativo.
Para tener en cuenta:
-22 ≠ (-2)2
Si una potencia tiene base negativa, esta
se debe encerrar entre paréntesis.
-4 ≠ +4
Las potencias gozan de las siguientes propiedades:
 Producto de potencia de igual base: el producto de dos potencias de igual base es otra
potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados.
 Cociente de potencia de igual base: el cociente de dos potencias es otra potencia de la
misma base, cuyo exponente es la diferencia de los exponentes dados.
 Propiedad distributiva: la potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la
división.
(a . b)n = an . bn
( )n = an / bn, si a es múltiplo de b
 Potencia de potencia: la potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es igual al producto de los exponentes dados.
(bn)m = bn.m
Radicación
Es la operación inversa de la potenciación.
Índice
=r
Raíz
Radicando
Gozan de las siguientes propiedades
 Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación y a la división: la radicación es
distributiva con respecto a la multiplicación y división de los radicando
 Raíz de raíz: la raíz de raíz es otra raíz de igual radicando, donde el índice es igual al producto
de los índices dados.
 Propiedad cancelativa de los índices: si dos raíces de igual índice son iguales, entonces sus
radicandos son iguales.
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS DECIMALES
Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntos
numéricos.
El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z ID Q
 IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; …
 Z es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …
 ID es el conjunto de los números decimales acepta dos formas de escritura, la posicional y la
fraccionaria… ; 0,4…
 Q es el conjunto de los racionales
A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0,
y 0,3 que
justifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma
es un número decimal?
¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la
coma.
Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enteros
a, b con b≠0.
Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se busco el
número x, tal que b • x = a
Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al resto cero.
Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID.
Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se pueden
obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nos
impide que los escribamos con coma. Así por ejemplo:
6 = 6,0 = 6,00 = 6,000………
OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NUMEROS DECIMALES
Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma d = n • 10p donde n y p son
números enteros.
Si p es positivo, el decimal d = n • 10p es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo:
200 es un entero pues 200 = 2 • 102, o –3 es un entero pues -3 = 3 • 100
Si p es negativo, el decimal d = n •10p es un decimal, por ejemplo:
Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma
decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, los
algoritmos desarrollados en Z , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente a
ID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la
multiplicación; por lo tanto todo lo que se sabe de Z, se aplica naturalmente a ID. También cabe
destacar la similitud entre IN y, por lo que lo aprendido en IN, se extiende a ID.
La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte del
numeral de un numero hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y un
valor relativo que depende de su posición.
Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos de
ellas:
Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1
Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100
Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:
 Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del orden
inmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del orden
inmediato inferior.
 Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del orden
inmediato inferior.
Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escritura
posicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue la
parte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del numero decimal.
¿Cuáles son las unidades de los diversos ordenes decimales?
Algunos son:
Escritura multiplicativa (mixta):
134,256 11003104120,150,0160,001
Escritura expandida
134,256 1102 3101 4100 2101 5102 6103
Los números decimales también admiten representación fraccionaria
con a, b enteros yb 0
OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES
Adición
La suma o adición en los, como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lo tanto
tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,
 es asociativa.
 el cero es elemento neutro para la adición,
 es conmutativa.
Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismas
propiedades que en este conjunto numérico.
Propiedades de la adición
Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que
cualquiera sean los decimales a y b,
a b a b
Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números uno
debajo del otro de manera que los diversos ordenes de unidades se correspondan, esto se consigue
haciendo que las comas de los distintos números queden en columna.
Por ejemplo:
Multiplicación
De igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porque
cumple con las mismas propiedades.
Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: se
multiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales como
tengan los factores. Por ejemplo: 0,312 3,6
La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en por lo que operamos de la misma
manera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicar
decimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar:
Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.
Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo.
Ejemplo: 0,312 3,6 0,32,5 7,5
Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación en
enteros.
Propiedades de la multiplicación
ORDEN – COMPARACION – VALOR ABSOLUTO
Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.
 Todo numero decimal tiene su lugar en la recta numérica.
 Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es
negativo su opuesto es positivo.
 0 es el único decimal que es igual a su opuesto.
 Recuerda que se llama “valor absoluto” o “modulo” de un numero a, y se expresa “| |” a la
distancia que existe de dicho numero al cero.
 El valor absoluto de cero es 0: | | =
Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con los
números enteros:
 Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será el
mayor. Ejemplo: 12,5 < 18,87 65,125 > 50, 235
 Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando
atención a las unidades de distinto orden.
Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50<18,87
 Cuando los números a comparar tienen diferente signo entonces
Si ab significa que baID, por el contrario si ab significa que abID
Ejemplo: 2,352,37. En efecto, 2,372,350,07 y 0,07ID3,6 2,1.
En efecto, 2,1 3,65,7 y 5,7ID
APROXIMACIONES
En diversas ocasiones y por diferentes motivos, es frecuente utilizar en vez del valor exacto una
aproximación de la cantidad. Existen dos formas de aproximación: por redondeo o por truncamiento.
Truncar es cortar la expresión en una determinada cantidad de decimales. (Omitimos las cifras
ubicadas a la derecha de la última que nos interesa). Ejemplo: 4,5825
Trunco a los centésimos 4,5825 4,58 Trunco a los décimos 4,5825 4,5
Redondear es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: además de
omitir las cifras ubicadas a la derecha de la ultima que nos interesa, a esta la aumentamos en uno si
la cifra siguiente es igual o mayor que cinco y la dejamos igual, si es igual o menor que cuatro.
Ejemplo: 4,5825
Redondeo a los centésimos 4,5825 4,58 (2<5, luego se deja como estaba)
Redondeo a los décimos 4,5825 4,6 (8>5, luego se suma 1 a la cifra de las decenas)
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES
Todo numero (positivo o negativo) que puede ser expresado como cociente de dos números enteros
a y b, siendo b≠0, y que satisfacen la ecuación b x a es un numero racional.
Resulta de esta definición que el número x es racional si: x =
significa b • a = x
Es decir, los números racionales admiten representación fraccionaria b/a con a, b enteros y
tal como vimos para los racionales decimales.
Entonces: ℚ
b ≠ 0,
= { ∈ ℚ, b ∈ ℚ, ≠ 0}
Todo número racional también puede darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma
decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una expresión o representación decimal.
El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q (de Quotient palabra inglesa que
en español significa cociente o razón).
Ten presente:
 a y b son números enteros y b 0.
 Puesto que para todo entero a, a a1 , se puede escribir a=
; entonces el número entero a
es un numero racional.
 25,4 10 254 por lo tanto 25,4 =
. Entonces como con todo número decimal puedo
proceder de la misma manera (multiplicándolo por una potencia de diez), los números
decimales son racionales.
 Todo número natural, entero o decimal es racional pero existen números racionales que no
son de ninguna de estas categorías de números. Es el caso de
por ejemplo, ya que no
podemos escribirlo bajo la forma de un número decimal, en efecto el resto de la división no es
cero.
 Todo número racional admite distintas escrituras: la posicional y la fraccionaria.
 La escritura
(que se lee “a sobre b”) se llama fracción de numerador a y denominador b”
DOS ESCRITURAS DISTINTAS PARA UN MISMO NÚMERO RACIONAL
La escritura decimal de los números racionales expresados como fracciones:
Para obtener la escritura posicional de un número decimal hay que dividir el numerador de la fracción
por el denominador hasta obtener resto cero; en el caso de no obtener resto cero, es un racional no
decimal. Por ejemplo:
La escritura fraccionaria de un número decimal:
Para expresar como fracción un número decimal (es decir aquellas con un numero finito de cifras
decimales) se coloca en el numerador el numero sin la coma y en el denominador la unidad seguida
de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
Como escribir un número racional no decimal con su escritura posicional, en escritura fraccionaria.
NUMERADOR: El número dado sin la coma menos la parte periódica.
DENOMINAOR: El número con tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal no periódica.
DENSIDAD
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier
par de números racionales existe otro número racional situado entre ellos. Por eso se dice que los
números racionales son densos en la recta de los números reales.
O sea, el conjunto Q es denso en el conjunto IR de los números reales, porque entre dos números
racionales existe otro racional.
OTROS CONCEPTOS
Recordemos algunos conceptos relacionados con la escritura fraccionaria:
o FRACCION DECIMAL: es toda fracción cuyo denominador es una potencia de diez o una
fracción equivalente a ella. Corresponde a la escritura fraccionaria de un número decimal.
Ejemplo:
ya que
=
=
o NUMERO MIXTO: toda fracción mayor que la unidad puede ser expresada como número
mixto. Ejemplo:
=2
o FRACCION IRREDUCIBLE: el numerador y el denominador son coprimos.
o FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes si representan al
mismo número racional. Para obtener fracciones equivalentes se puede multiplicar (o dividir, si
es posible) numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo:
= =
o FRACCION PROPIA: fracción menor que la unidad. (El numerador es menor que el
denominador). Ejemplo: ;
o FRACCION IMPROPIA: fracción mayor que la unidad. (El numerador es mayor que el
denominador). Ejemplo:
o FRACCION APARENTE: fracción que al dividir el numerador por el denominador se obtiene
un número entero. (El numerador es múltiplo del denominador). Ejemplo:
Comparación de números fraccionarios: Recordemos los más usados.
Operaciones con números racionales
Adición y Sustracción
La adición de números racionales prolonga la adición en ID, porque cumple con las mismas
propiedades.
La adición de números racionales cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa,
existencia del elemento neutro (0) y existencia del elemento opuesto (inverso aditivo).
MULTIPLICACIÓN
Las propiedades de la multiplicación: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro (0);
existencia del elemento absorbente y distributiva respecto de la adición y sustracción.
DIVISIÓN
El cociente entre dos números racionales es otro número racional que se obtiene multiplicando la
primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.
POTENCIACIÓN
Para elevar un número racional a un exponente positivo, lo escribimos como numero fraccionario y
aplicamos la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división. Para elevar un numero
racional distinto de cero, a un exponente negativo, invierto el numero fraccionario y la elevo al
opuesto del exponente (es decir al exponente positivo).
RADICACIÓN
Para calcular las raíces de un número fraccionario aplicamos la propiedad distributiva de la
radicación respecto de la división.
Respecto a los signos aplicamos las reglas de los signos ya vistas para el conjunto de los números
enteros.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
Potencia de exponente negativo
Potencia de otra potencia (los exponentes se multiplican)
Producto de potencias de igual base (los exponentes se suman).
Cociente de potencias de igual base (los exponentes se restan).
Distributiva respecto de la multiplicación.
Distributiva respecto de la división.
PROPIEDADES DE LA RADICACION
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:
Raíz de raíz (los índices se multiplican)
Distributiva respecto de la multiplicación.
Distributiva respecto de la división.
Simplificación de los índices (divido índice y exponente por el mismo número)
Eliminación del radical
Amplificación de índices (multiplico índice y exponente por el mismo número)
NOCIONES GEOMÉTRICAS
PUNTO, RECTA, PLANO
Punto, recta, plano y espacio son los objetos matemáticos que consideramos inicialmente. Se trata
de términos no definibles, son ideas o conceptos primitivos.
La matemática no se preocupa por definirlos, nos indica simplemente como se usan y cuales son sus
propiedades y relaciones.
El punto
Ya se dijo que es imposible establecer una definición de punto en el sentido geométrico. Sin
embargo, como estamos acostumbrados a asociar las cosas físicas con las ideas geométricas,
vinculamos la idea de punto con la de la punta del alfiler, de una aguja o de un lápiz.
Convendremos en representar los puntos por la marca que deja la punta del lápiz o de la tiza, por
una pequeña cruz o por un círculo pequeño, colocando junto a cada uno, una letra minúscula cursiva
o imprenta y así no tendremos dificultades para nombrarlos, sea al hablar o al escribir.
Ejemplo:
.a
xb
punto a
punto b
El plano
Los puntos del espacio están agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados
planos.
Si bien podemos afirmar que “Plano es un conjunto infinito de puntos”, no debemos interpretar
esto como una definición.
Podemos materializar un plano a través de una hoja de papel, la cara del pizarrón, el piso, dando la
idea de que continúa en toda dirección y sentido. El plano geométrico es ilimitado, es decir no tiene
borde o frontera
Cuando necesitamos representar un plano, dibujamos una porción de él con un borde o frontera
irregular.
Observamos que hemos designado al plano utilizando una letra griega.
Las letras griegas que utilizaremos frecuentemente:
alfa
epsilon
beta omega
gamma
pi
delta
Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la
Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la necesidad de
representar algunos puntos de un plano.
Gráficamente, la situación quedara expresada así:
Interpretamos que: b y c son dos puntos cualesquiera que pertenecen al plano .
Abreviadamente, es conveniente emplear estas expresiones:
En símbolos:
c  “ c pertenece a “ o “contiene a c “
b  “ b pertenece a “ “ o “ “contiene a b “
Si indicamos a b estamos significando que nos referimos al mismo punto.
a b se lee “a coincide con b”
En cambio si indicamos que los puntos c y d, no coinciden; anotaremos c ≠d.
LA RECTA
A su vez, podemos agrupar los puntos de cada plano o del espacio, en otros conjuntos parciales que
denominaremos RECTA.
Una materialización de una recta está dada por un rayo luminoso o el borde de una regla.
Pero, una recta geométrica se extiende sin límite en ambos sentidos. No comienza ni termina.
Si deslizamos la punta de un lápiz sobre el papel siguiendo el borde de una regla, podemos dibujar
trozos de recta.
Convengamos en designar las rectas generalmente con letras mayúsculas imprenta.
Las rectas son conjuntos infinitos de puntos.
Conclusión: hay infinitas rectas
Si en algunas ocasiones necesitamos representar algún punto de una recta visualizaremos la
situación así:
a y b son puntos de la recta R
A la recta R dibujada también podemos anotar Rab (se lee recta R que contiene a los puntos a y b)
POSTULADOS
Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se
aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación.
1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.
2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.
3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos.
El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.
4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.
5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a
ella.
6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al
mismo y la recta está incluida en él.
7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.
También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que
está incluida en el plano.
8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a
ella.
Segmento
Dados los puntos a y b de una recta R tal que “a“ es anterior o coincidente con “ b “ (a ≤ b)
En símbolos: Sean los puntos a y b de R: Seg. ab=ab x / xR a x b
Los puntos a y b son los extremos del segmento.
Los infinitos puntos que están entre “a” y “b”, distintos de “a” y “b”, son los puntos interiores del
seg. ab.
Puede ocurrir que a = b. A este segmento especial lo llamaremos segmento nulo.
En símbolo es: Seg. aa=aa
Segmentos colineales
Llamaremos segmentos colineales a los que estan incluidos en una misma recta.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos si y sólo si tienen un extremo común y ningún otro punto común.
Dados tres o más segmentos distintos tomados en un cierto orden, diremos que son consecutivos si
y solo si cada uno es consecutivo al anterior, excepto el primero, por su extremo libre.
Poligonal
Se llama poligonal a la FIGURA UNIÓN de segmentos consecutivos no colineales.
abbc cd poligonal abcd
Tipos de poligonales:
Figura convexa
Una figura es convexa si y solo si para TODO par de puntos distintos que pertenecen a ella el
segmento que ellos determinan está incluido en ella.
Una figura es cóncava si y solo si EXISTE al menos un par de puntos distintos que pertenecen a la
figura y el segmento que ellos determinan NO está incluido en la figura.
Semirrecta
Dado un punto “o”, que pertenece a una recta R y los puntos “a” y “b” de R, siendo “a” anterior a “o”
(a<o) y “b” posterior a “o” (o< b) llamaremos, SEMIRRECTA DE ORIGEN “o” QUE CONTIENE a “b”
(
)al conjunto formado por los puntos de R posteriores o coincidentes con “o” y SEMIRRECTA DE
ORIGEN “ o “ QUE CONTIENE A “a” (
)al conjunto formado por los puntos de R anteriores o
coincidentes con “o“.
Gráficamente:
Rectas secantes: oblicuas y perpendiculares
Si dos rectas tienen un punto en común se llaman secantes.
Las rectas secantes se clasifican en oblicuas y perpendiculares.
Rectas Oblicuas
Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas se
llaman oblicuas.
Rectas Perpendiculares
Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales, las rectas se
llaman perpendiculares y los ángulos se llaman rectos.
Rectas paralelas
Dos rectas que están en el mismo plano y no tienen ningún punto de intersección, se llaman
rectas paralelas.
RECTAS ALABEADAS
NO se cortan, no son paralelas, pero están en distintos planos.
Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas
paralelas.
Si se cortan, serán rectas secantes.
Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo
está limitado por dos lados y un vértice.
RELACIÓN DEALGUNOS ÁNGULOS RESPECTO A UN ÁNGULO RECTO
ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA
Polígono convexo
Dado tres o más puntos distintos que pertenecen a un mismo plano, tal que dos de ellos determinan
una recta que deja a los restantes en un mismo semiplano abierto, la intersección de esos
semiplanos cerrados es una figura llamada polígono convexo cuyos vértices son los puntos
considerados.
Los segmentos ab; bc; cd; de; ea;
son los lados del polígono.
La figura unión de los lados de un polígono es una POLIGONAL que llamaremos FRONTERA del
polígono.
Todos los puntos de un polígono convexo que no pertenecen a su frontera forman un conjunto
llamado región interior de mismo ( I )
Podemos definir a algunos POLIGONOS como la figura UNION de una poligonal simple cerrada y la
región interior que esta determina.
De acuerdo con este último concepto observamos que existen polígonos que son figuras cóncavas.
Clasificación de los polígonos convexos según el número de lados y ángulos
Número de ángulos
o lados
3
Nombre
Triángulo
4
Cuadrado- Cuadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octógono
Gráfico
9
Eneágono
10
Decágono
11
Undecágono
Clasificación de triángulos
SEGUN SUS LADOS:
ISOSCELES: es el que tiene al menos dos de sus lados congruentes.
ESCALENO: es el que tiene sus tres lados congruentes.
EQUILATEROS: tienen sus tres lados congruentes.
SEGUN SUS ANGULOS:
ACUTANGULO: Es el que tiene sus tres ángulos interiores agudos.
OBTUSANGULO: Es el que tiene un ángulo interior obtuso.
RECTANGULO: Es el que tiene un ángulo interior recto.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS:
TRAPECIO: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.
PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.
SEMIRROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados consecutivos congruentes.
ROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos dos pares de lados consecutivos congruentes.
RECTANGULO: cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes.
ROMBO: cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes.
CUADRADO: cuadrilátero con sus cuatro lados y cuatro ángulos congruentes.
PROPIEDADES DE LOS LADOS, ÁNGULOS Y DIAGONALES DE LOS
CUADRILÁTEROS
ROMBOIDE PARALELOGRAMO RECTANGULO ROMBO
Dos pares de
lados opuestos
congruentes
Lados
Consecutivos
congruentes
Un par de
ángulos
opuestos
congruentes
Dos pares de
ángulos
opuestos
congruentes
Diagonales que
se cortan
mutuamente en
partes
congruentes
Diagonales
congruentes
Diagonales
perpendiculares
Una diagonal es
bisectriz de un
par de ángulos
opuestos
Cada diagonal
es bisectriz de
un par de
ángulos
opuestos
x
x
x
x
CUADRADO
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
EJEMPLOS GRAFICOS DE ALGUNOS CUADRILATEROS
Mediatriz de un segmento
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a la recta del segmento en el punto medio de
este.
Gráficamente
Bisectriz de un ángulo
Bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior del ángulo que lo parte en dos ángulos congruentes.
Gráficamente:
Amplitudes de los ángulos en el sistema sexagesimal
Sistema Métrico Legal Argentino
La medición es una necesidad básica ya desde el comienzo de los tiempos. La humanidad necesita
medir diferentes cosas para saber por ejemplo cuantos días va a tardar en desplazarse de un lugar a
otro, cuantas semillas necesita para poder sembrar un terreno, etc.
Era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para medir: las longitudes de los
antebrazos, pies, manos o pulgadas. Y así, las distintas tribus, pueblos o naciones tomaron como
patrones los tamaños del cuerpo humano de sus respectivos reyes. El problema era que, por
ejemplo el rey de un lugar no tenía la misma talla de pie que el rey vecino y para colmo, cuando el
rey moría o era sucedido, cambiaba el tamaño de la unidad, pero no el nombre.
Eran variables de una ciudad a la vecina, lo que suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes,
ciudadanos y los funcionarios del fisco.
El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización de las unidades de medición, y de
sus múltiplos y submúltiplos. Fue el resultado de las muchas reformas aparecidas durante el periodo
de la Revolución Francesa, entre 1789 y 1799.
Ningún otro aspecto de la ciencia aplicada afecto tanto al curso de la actividad humana tan directa y
universalmente.
En 1863 nuestro país adopto por la ley No 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley No 845 del año
1877 lo declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohíbe el uso de otros sistemas.
A partir de 1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades, (conocido
como S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.L.A.)
Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del SISTEMA
INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al S.I. que se incorporan para satisfacer
requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación.
El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de uso
autorizado en Argentina.
Se parte de 7 unidades bases a saber:
Magnitud
Nombre de la unidad SI básica
Símbolo
Longitud
Metro
M
Masa
Kilogramo
Kg
Tiempo
Segundo
S
Intensidad de la Corriente
Eléctrica
Amperio
A
Temperatura
Termodinámica
Kelvin
K
Cantidad de sustancia
Mol
Mol
Intensidad luminosa
Candela
Cd
Magnitud
Nombre de la unidad SI básica
Símbolo
Superficie
Metro cuadrado
m2
Masa
Gramo
g
Volumen
Metro cubico
m3
Las unidades derivadas que veremos son:
Múltiplos y submúltiplos
Medidas de longitud
Km
Hm
dam
m
dc
cm
mm
Medidas de masa
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
dal
l
dl
cl
ml
Dam2
M2
Dc2
Cm2
Mm2
Medidas de capacidad
kl
hl
Medidas de superficie
Km2
Hm2
Medidas agrarias
Hm2
Dam2
M2
Hectárea
Área
Centiárea
De equivalencia entre capacidad, volumen y mas
Capacidad
Volumen
Masa
1kl
1m3
1t
1l
1dc3
1kg
1ml
1cm3
1g
Medidas de tiempo
1 día = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundo
Otras unidades son:
La semana: 7 días
El año común: 365 días
La década: 10 años
La quincena: 15 días
El año bisiesto: 366 días
El siglo: 100 años
El mes: 30 días
El lustro: 5 años
El milenio: 1000 años
PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Figura geométrica
Perímetro y área
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecio
Polígono
A = T
Polígono regular
Longitud de una circunferencia
Círculo
1
+ T
2
+ T
3
+ T
4