Descargar el archivo PDF

5
LA ENSEAANZA DE LAS PROBAUILIDADES Y DE LA ESTADISTICA
AL NIVEL SECUNDARIO
Luis A. Santaló
l. PROBLEMAS GENERALES
En la mayor1a de lC>s pa1ses, la Estadistica no figura en los planes
de estudio del ciclo secundario de la ensenanza. Hay algunas excepcione s,
principalme nte de escuelas especiales (ensenanza comercial o técnica), en
las que esa ensenanza se ha introducido , pero de todas maneras se puede _
afirmar que la gran mayor1a de la población estudianti l, entre las edades
de 12 a 17 anos, no es introducida en las ideas ni en las técnicas de la
Estadhtica .
Sin embargo, hay tambi<!n consenso un~nime de que esta ensenanza debe introducirs e, no sólo en el nivel medio, si no incluso en los últimos
grados de la escuela primaria. la Estadistica , acampanada de unas nocio.nes de probabilida d, es una herramienta indispensab le para tomar parte
activa en el mundo de hoy y para ooder comprender el complejo andamiaje
de interrelaci ones y correlacion es que lo sustentan.
Por esto, ante la inminencia de que la Estadistica empiece a introducirse de manera gerieralizad a en la ensenanza n~dia, conviene meditar
mucho y recabar opiniones para que esta introducció n, que ya ha tardado
demasiado tiempo, se haga por lo menos de la manera mejor y m~s eficaz.
Hay varios problemas ury~ntes que son, a nuestro entender, de prim~
ra prioridad, a saber:
l. Formac i6n de profesores. llay que introducir o intensf ficar los
cursos de Estadtstica y Probabflida d en los institutos o escuelas enque
se forman los profesores de ensei\anza media. Hay que introducirl os en
Estadtstica y también en la metodolo9fa y did~ctica de su ensenanza. No
bastan cursos m~s o menos estándárd de Estadistica , si no se considera,
al mismo tiempo, la manera de hacer la transferenc ia de estos conocimie_ll
tos a niveles cada vez m~s inferiores de la ensenanza. Hay que aprender
la Estadtstica de nivel terciario, ~ero luego hay qu~ saber hacer la
transferenc ia al nivel secundario , lo que no es trivial ni fAcil: se necesita mucha experiment ación.
Para los profesores en actividad, que no estudiaron estadtstica durante su-formació n, es ·urgente organizar c'ursos de actualizaci ón eh l'ds·
que se les informe de esta disciplin~ y rle su dld~ctica .
•.
6
2. Pub1 1cac i0n de text os. Exis te
una gran illwn danc la de text os de
Esta dtst ica pará el nive l terc iari
o, pero son ¡.w~ctlcamente inex iste
ntes los text os para la escu ela med
ia, sobr e todo par·a los rrim eros
af\os
de la mism a, en los cual es debe
inici ar.-; e ;¡J alum no en los conc epto
s y
t~cnicas de la Esta dfst
lca. lfalw fa que alen tilr la pub lica
ción de text os,
para lueg o som eter los a la expe rime
ntac ión. Por trat arse de 1'! enc;e
i'anz a
de u·n 'tema nuev·o, para este cicl
o, conv iene expe rime ntar t(:Xt os
yco leccion~s de ejer cici os y lueg
o eval uar detenidam~nle esta s exp~
rien~ias,
de man era de ir obte nien do los cont
enid os que se plled en dar a ~ada
edad
y la form a m~s adec uada de ense f\arl
os.
3. La Esta dfst icn inte grad a o sr.pa
rada de Jil_~tatem,ili.C:~· Hay opiniQ_
nes dive rsas sobr e li! conv enie nciil
de sepa rar lil Cn5ef\anza de la Esta
dfs
tica de los cu.rs os re~ulares de
l-lilt emH ica (co1110 ~e hM:e con H
risi ta)o de su inte grac fOn cori esto s cut·s
os. 11 nues tro ente nde r, deh eda
inte grar se como part e' esen cial de la
ense f\anz a rle l;¡ r-tat: em:i tica. Con
ello g~
narf an ambas dfsc ipli Ms. Tánt o
para lo~ alum nos q11e luf'g o van a
Sf'g uir
estu dios ·ter ciar i?s, como pat·a aque
llos en que 1a ~.egunda ense f1an za
es
term inal , la cont fnua com para cfOn
d~l pens ilr prnb ahil istil ele
la EstJ df!
tica , con el pens ar dete rmin ista
di'! la r~ntern.Hir:il, es altil men le form
at.!_
va~ La vida de todo s los
d1as nece sita de los do~ y una buen
a ense nanz a
debe sabe r bbla ncea r y coor dina r
el uno con el otro .
Al dec ir que la Esta dist ica debe
form ilr pilrt e de los r:urs os de M<~­
tem4 t1ca , no nos refe 'rim os a que
en los p1·o~p-u111.1<; <1!': e~.lil üllim
.1 deba n
anad irse una, dos o m4s unld adr.s
de Esta díst ico, 'liH' el prof esor
dllr4
por sepa rado cuan do lleg ue el turn
o. Entendeonos r¡ue debe h,1r: etse una
ver
dade ra inte grac i6n y que, en tod,i\
opo rtun idad r¡t1e Sf' pres entr ?, el
prof esor de Mate m.H ica debe util izar
conc epto s y méto dos de la Esta dfst
ica,
como fuen te de ejer cici os y co111o
amp liaci ón cielo s conc epto s dete rmin
istas. Gr:~ffcos,,c.ambfos de esca la,
valo res med ios, intC I'po laci ones .y
·extrap olad one s, corr elac ione s, etcH
era, son idea s y pr~cticus muy útil
es
a la mate mAt ica mism a. El m~todo
de Monte Cari o, la sim ulic ión, ,el
us~
de tabl as de nOmeros al azar , son
útil es para reso lver prob lema s de
pura mate m<l tlca· y
pued en busc ar ejem plos al alcan~e
ele los alum nos de
los ~rimeros anos de la escu ela
med ia .
se
.La ense nanz a de 1 a Es tad1 s t f ca
debe f r un f du con 1a idea de proh
abi
1fda d, yunprobl~ma imp orta nte de
ln dfrJ .ktfc a i\Ct.u:~l cons lstr. en
cstu-=dfar las edad es.m tnfm as en que las
Idea s prob ahil ista s pued en ser asin
~
lada s por los alum nos. llay un tt·ab
ajo inic ial de Piag etei nhe lder (l95
1),
y posi blem ente haya otro s pos teri ores
, pero cree mos que debe rla estim ula_
¡:
se la expe rime ntac i6n en este terr
eno , por la imp orta ncia que van
adqu irien do las idea s prob abil ista s y
estaciístfca~ en todo s los
c:amros de la
7
técnica y de las clentias positivas y
h1~anas.
la ensenanza de la Estadfstlca ha preocupado desde hace varios anos
al 1 S 1 (Internationa l Statistics lnstltute) que ha organizado varias reu
niones al respecto, a saber: "New technlques of Statistical Teaching"
(Oisterwljk, llolanda, 1970), "ThP. Teaching of Statistics at the Secondary
School level" (Viena, 1973),."The Teaching of Statistics ip Schools" (Va!.
sovia, 1975). En el corriente ano se han tratado y discutido temas de ensenanza de. la Estar.lfstica, a todos los niveles, en la r-eunión 43 .del 1 S 1
celebrada en Buenos Ail"c!S del 30 df! noviembre al 11 de diciembre.{19 8l).
El Pt:Oximo
a~o tendr~
luc¡ar la importante "lnle1·naliona l Conference on
Teaching Statistlcs'1, tlniverslty of Sheffield, lnglate1·ra, del 8 al 13
de Agosto de 1982, en la cual deber-An cliscutir!:e los m~s importantes temas que tiene actualmente planteados la ensenanza de la Estadfstica en
todos los niveles.
I l. lAS OPINIONF.S DE PI/\r.F:l E IIIIIELOF.fL
La obra de Piaget-lnlteld er a que hemos hecho 1·eferencia es el 1 ibro
titulado "La Gcnese de l'idrle de llasard r.hez l'enfant" (Presses Unlvers.!.
taires de rrance, Parfs, 1951). Las conclusiones a que llegan los autores,
desp~és de realizar j a~alfzar m0ltlples experiencias, son las siguientes:
a) En un ~rl~er periodo, hasta lo~ 7-8 anos de ed~d. el nino no di!
t1ngue entre lo que es "ro~lble" que ocurra y lo que "necesariamen te" d.!!_
be o¿urrir. Su pensa~iento oscila entre lo previsible y lo imprevisible
y n6 hay para él nada previsible de manera segura, ni nada fortuttb ~·t~­
prev~sible. Como carece de un sistem~ de t·eferencia consistente en operaciones deductivas, no tiene conci~ncla del azar ni de la probabilidad.
b) A partir de los 7-8 anos, empieza a practicar operaciones ló~ico­
ari tméticas, y empieza a de~arroll arsr. en su pensamiento 1 a idea de azar.
El descubrimient o de la necesidad deducllvil u operacional, le permite CO.!!,
cebir, por antftesis, el car~cter no deducible de las transformacion es
fortuitas, y por tanto, empieza a diferenciar lo "necesario" de los simplemente "posible". Si un conjunto A es la unión de los conjuntos X e
Y. y un elemento x pertenece a fl , entonces pertenece a X 6 a Y • y
esta noción de distintas posib11id.:Hics implican lt~ idea de probabilidad.
Habrfa que experimentar cómo, vat·iando el tamano de X e Y, el nino va
intuitivament e midiendo la probabil idaJ de que el elemento pertenezca a
X
a Y.
o
e) Entre los 11-12 años, siempre según Piaget-lnheld er, el alumno
est! en condiciones de estructurar un sistema de probabilidad, englobando lo fortuito a la operación determinista, mediante la construcción de
sistemas combinatorios . Comprende que un caso aislado es intedeterminad o
e imprevisible, pero. que el conjunto de los casos posibles es determina
"'
8
do,ytr ati\ dP. relacio nar (a tr11v~s de 1'1 CO'llhin-'t.orf") el r.011jun
tn cf~
lo~ cnsos f~vorables con el.rle los posiblr .s. L~
irl~11 cf~ oroh.,.bllirl~rt
v11 ~nid11 al g~nesls de las operacinn~s cnmhin~tnri>~s. ~ tr"v~~
rl~ 1~
ruletil, rnon~das, dados, va condbiP .nrlo, P.,..oerinnntalM"!nt~. 1'1
lP.y de
los granrles nOmeros.
.
L11 introdu r.ci6n d~ la Proh11hilfd"'~ v rl~ 111 Est11rltstic11 en 111 e~
.
cuela IT'edf"' e~t~. tior t11nt.o, plen .. rn'!nt.e .fu~ ti fir:ildi'! c1esc!P. P.l puntn
d~
vis t11 efe l11s pos f hil id11des de 11nreno·1111.f<! rl'! 1nc; 111 umn0s ..
Il l. UN EJEMPLO.
tina t~cnfc11 que dehe introrlu c:irse P.n los r.ursns rlP. mi\t.P.m·
Hicll rle
la esr.r1ela medi11, es la de 111 simul11cfOn d~ los pr:~hlem'ls m~rliant
.e es
quem11s prohab fltstfco s, quP. lliP.fiO p•1eden r~snlvl'r~l"! rvpPrim~nt.almen
t.P.
cnn /lproxfmllcfftn suficie nte p11r11 l11s necesfd11cfns prAr:tir:11s. Vlm~s
~
con~i.d'!rl'r
.''r:"i ejt>rrtl)l.o.
· Do~ Jug11clores P y Q jUP.!Jiln" r.11r"' y c:r~r.", t.ir11nr!o .•ltern" dvll~n.tP. 1~ Mn'!d,ll, de 1MñP.r11 que 111 tir11r fl 9·'""· 1" p.:.rt.id11
sf 10111~ r:2
r11.y 111 t~rllf Q, 91\M 111 p11rtiJ11 si Slll" cr.r:11. ,lllP.(Jiln h11st11 Qll"!
11"0
dP. lo~ jugllcfo res !lllnll. lCu~l P.S 111 prob111Ji1 icl,1c1 de qw~ 9"'"1! el
QIJP. f""l
pfez11 primero ?
l11 solució n te~ric11, coi!Yl ver~mos 111 fiMl, P.S 2/3. Ello cnnfinn
il
el dicho pnpul;,r dP. que "qui'!n P"'9"' prlrnP.ro D'!!J'~ dos veces", pu~<:
l:t
probilhi 1 id:tli d<! g11nar P.l que juegl\ se!lundfl ~<: l/3 .Y lil rlP. gilnilr
P.l Q""!
jueg11 primP.ro es 2/3. o sei\, dos VPCP.S 1.1 ant.P.rio r. Si nfl se Sllht:!
reso_~
ver teftrica mente el problPm a, puene pror.edorsP. P.xp'!rimentillme~te.
Se
pue~e realiz11 r 111 experien cf11 un nGmero grande
d~ v'!ces (rflr P.jemplo
unas lOO veces) y cortsti'l tar 111 proporc ión de li\s p<~rt.irli\s en que
gi\fl/1
el que s11lP. primero y aqu~llas Pn qur. CJMlil ~~ ~r9trndo. Pr.ro t.i"rthl~~
puede res o 1verse, s f n neces i dac1 d<! monmlil i\ l 9"'li\, rn:- s im11l ;,c:f
ó, pnr
un11 t11bll\ de números al az;,r. Supong.:.mns Qll'! se i\Sign11n " P
los núm~
ros p;¡res y a Q los fmpilres , ele mllnP.r/1 que h"<:t" seguir lns
números
de la tabl11 p11ra tener result~dos expt>rfmt>nt11les, o sPa una sur.P.si6
rt
de juegos Mslmu.lado~" que permite n ll~>!]ilr ill rPsulta rlo, con suflciP.
nt.e
aproxim ación. li\ c:u11l ~epencfer~ ele la~ pl\rt.irlils juq11das .
Si no !:e
.
di~pone de una tabla de nlimeros ill il7.i\r, St> ptrerl~n tom'lr,
por ejemplo , las últfm11s cifrils de lo~ nOmP.rns dr> un11 gu1il tP.l"!f{in
ir.<t.
Estos números no ~on ltW.mP.n-f.e níUilC'.II.o.S nt. azrar.• oP.ro pllril dlculfl
s
aproxim ados .y.como ejercita r.ión paril comprenrlnr el m~toclo, puedon
tomarse· como tales. Para el proh 1r.ma i\n tP.:i or. tomemf)S 111 gu~ i'l
~ tel éfonos de la ciudad de Buenos Aire~ y empecemos, pnr ejem!Jl o,
con lil
Oltima cifra de cada uno de los núrnP.ros correspn nrlient.P .s a lil
lct.rll A.
Supongamos que empieza P, o sea, el ju!)ador que gana si sale cara,
a lo que hemos dicho corresponde un número par {incluido el cero).
Las partidas sucesivas son
7 - 4 - 3 - 6 - 7 - 3.
{gana Q )
2
(~aha
p)
o
{~ana
p )
4
( garia p )
(gana Q)
(gat1a P.)
(gana p )
(gil na p )
(gana p )
( g,b na p )
9 - 1
4
4
o
4
9 -
o- o
,,
etcl!tera
Procediendo hasta lOO partidas, el resultado es que P gana 72 i
Q gana 28. Por tanto la probabfll dad de ganar P es 0,72. C~mparando
con la probabili dad te6rica 2/3 = 0,666 ... se ve que la diferenci a
no e\.muy grande y seguramente disminuir ta si se siguieran mAs parti.das.
Se podr1a pedir tambl~n cuAl es el valor medio del número de jug!
das de cada partida. Por ejemplo, en el caso'ante rlor, la primera partida tiene 6 jugadas, la segunda, tercera y cuarta, tienen una sola,
la quinta tiene dos jugadas, etc~tera. Tomando la tabla de las lOO pa~
tldas considera das, resulta {experiment3lmente) que el valor medio del
nOmero de jugadas por partida es 1,8. El valor teórico es 2.
SolucUm teOrlca. La probabi 1 idad ~á ganar P (jugador que empieza) en la primera jugada es 1/2, en la tercera jugada es {l/2)3, en
la quinta jugada (1/2) 5 , . . . Por tanto, la probabili dad de ganar P
es
{1/2) + {1/2)3 + {1/2)5 + ... = 2/3
La esperanza
cada partida es
'1.(1/2)
matem~tica
+
o valor medio del número de jugadas por
2.{1/2)2 + 3.(1/2) 3 + 4.(1/2)" + ... = 2
la primera serie se suma fAcilmente pues es una serie geom~trica.
La segunda ya no est~ al alcance de los primeros a~os de escuela media,
pues es el valor, para x "' 1 , de la serie derivada de la geométrica
cuya razón es x/2.
..
'
.
'
lU
·.[1 uso de· las tabla s de nOmeros al azllr es 11Jllo
rtante desde el' .PU!!,
to de' vfsta 'dldA ctico . porque evita el uso en
clase de monedas. dados o
rulet as. cuyo uso en clase s numerosas puede origi
nar confusiOn.
IV. OTROS EJEMPLOS.
Del mismo estil o que el problema ante rior, propo
nemos los sigui entes :
1. Supongamos que la prob abili dad de nacer varOn
o mujer es la misma.
e Igual a 1/2. y que los padres siguen tenie ndo
hijos hasta tener una hija
mujer. Se pide: a) lCu&l es el valor medio del
número de hijos ?; b) lCu~l
ser& la relac iOn entre el número total de varon
es y el de mujeres?
SoluctOn: a) 2
b) 1 •
2. Se distr ibuy en al azar 9 carta s entre 9
sobre s. lCu&l es el valor
medio.del nOmero de carta s que van a parar en
el sobre corre cto?
Sol ud On: 1 •
J. Cada paqu et• de una marca de galle titas conti
ene una figu rita. las
.
'
cuale s se suponen distr ibuid as unifonmemente entre
todos los paqu etes. La
coleccfOn completa de las figur itas const a de 6.
Se pide el valor medio del
número de paquetes que hay que comprar para tener
la colecciOn completa.
SoluciOn: 14.7 • o sea. 15 paqu etes.
Se puede resol ver con una tabla de nOmeros al
azar, en la cual no se
tengan en cuenta. 1os números O. 7. 8, 9.
.
.
4·. A part ir del problema ante rior, si los paqu
etes de galle titas con
figur ita cues tan$ lO m!s que los que no conti
enen figur ita y la colec ción
completa de estas últim as se vende por separado
al preci o de $ 200, convte
ne mh comprar esta colecc10n o galle titas con
f1gur 1tas7
T/\RLA DE
8!Hll7 142114
45003 13484
34702 63!'134
4745A ~7074
7~01\.1. 61350
4696R
08751
44191
34398
74978
22146
87727
5:1203
06224
03005
]6006
920G2
55077
33fll0
0771:1
30:.JJ7
08737
08758
08759
400:1!.1
1!2337
37592
11025
10337
G-100:.1
64166
040\JJ
55746
92tH
47 '4G 00921. ~ &100
15H7 57873 71.1190
17:17.;.! 4lD90 R087J
64743 62267 19201
:; t713 :1!1974 li04112
08760
08761
0876208763
OR764
67592
93507
24432
39916
746:U
82517
52000
37281)
3183B
9B75o4
&911G
185·13
64342
27107
10209
.08765
08766
08767
0871\8
OIJ7fi9
91033
42576
00366
92709
910R8
56fl81
671\72
30015
67089
fl53!'>2
1fl619
91031i
03723
80il71
72514
3484fl
1\01!'18
42549
1:10·)1\ '22300
70212
HOlJ
2!>370
2!1946
?.f>364
(\8770
Oll171
63059 1'111.!
5:Jt;OO
~f•U.H
1:
011'172
00773
OH774
39lfl3 ZO!I:;:l
6H:l3 lO!lJ:.?
61753 71l!:\t\
·1 ¡;~. !n
9340:1
763711
00775
08776
06777
08770
08779
70J()9 llliJO
fl3237 15809
37:.5~ U026'J
<l2131 17117
:!!'089!) 7170:1
08754
08755
087~6
5!J511 :JU911
E\4521
73329
72811
001R<I
ll:I.JJ
56520
46R02
72346
808fl-t
2331\D
/\ZAR
/\L
087~0
087~2
087~3
<12239 6<1164
!>4872 30513
15361 06321
42320 09702
flR007 -13572
20308
36982
59697
00040
1lf>A2
98764
997j¡3
60262
4500!i
6fl635
OR298
7603o4
~Ofl95
37!l33
87083
31624
751127
:ll791
20525 17263 78039
353112 . 21\1!05 95505
G'l856 19!\r.4 12028
27826 15'\1.13 94875
74104 08R1R 00744
190IH
02161
76497
64696
7f>515
10200
31754
4:3950
1(1638
24159
6] 1 !i'' 11 ·;:,a
foflQJ'o
1 :,¡;~;o
51961
J:H72 25190
7 G92~>
~!19!!6
4530!}
en 1 1:1
O') {\(e!)
03fi25
601GB 76011
OO!i:J7 '/501G
0%::1 (l~fl07
OIOfl!) 1f.Ol!J
3Ci!>30 21914
5<Hf.5 65R4.5
92452 69721
Otl717 99108
o2ioR S7233
31035
86725
48222
27124
:t6BR2
20920
046ll
30832
33203
OAOA6
60113
41404
!19732
!17475
15714
.(5424
71030
34007
8-$24.4
31\209
85208
22524
64544.
88092
82307
b713:Z
229!'111
49921
85806
7?.R77
222!1!l
10GB3
G0607
597'-7
!191!\0
4ROG2
6R7R1
76960
86409
95489
16773
74220
37031
3P42R
823116
01936
57717
80336
41R7Q
1870-l
5)60,
34103
01348
IH343
174130
0545J 510!i \
718~1 7146<1
80203 200!)8
13507 80273
679?.6 !141·15
0:1()9!) G7027
72567 31126
8!1PA5 !SilR22
(i4G2P ll:i35
ll51!í R15:l6
94GGfl 2 !).¡ !l:l
2:iHl 77[J:J<l
45124 08271
911011 85057
!i-1150 47742
!\7:1:12 llli!l.''iO
!11\7-«8 2BlH
~05<\7 JRlll1
.9337 !19010
1185() H3fl5
34224 flUU
02010
07012
20f>52
021151\
74270
65577
4!lfll2
951167
342911
47931
08795
08798
0~797,
0871lft
0117911
QJJ,)H
99124
7611!15
022A5
78342
32313
3:13~>()
08735
08786
06787
08708 .
08789
6!1574
69038
7!1!)19
48019
1\4140
.13815
55flfll
:n1:12 :il:JHS
i :1 ::rl:l (i2:?115
087UJ
087il4
112<.co J:J079
110403
79830
74173
541148
5<1624
14:115
67706
01403 31206
20036 1!Hl60
61157!) 25711
U1!HB 15507
10~·18
291168 !>0491
llt4!>9
10016 56207
G:H74 770:10
70018 fi817R
f>2HH 71252
l)~,,J51
7~.12<!
01!l.1l 0511'15
O:i7l·l J(lfl!:7
llr.051 914.:15
~930il 01011
08790
08791
087112
08793
OQ7P4
OR03~
179!\-t
7 ~l)(J (¡ 31)771
0!) 1 1~~> ;ll •7:.!
0878\
5A~i;9
M618
76217
32191
36744
56629
07373 57683 63391
26203 . 42053 251\02
97917 :7.3758 ::4200
55489 56732 ~3907
552R5 70057 31117
!hl'i51 !l(•:J!)Ii
~Ul!lS
74914
7822()
55316
61316
30934
52854
•17·100
1\4244
37137
lOFilO
¡.¡ t::! [.(] 111
21641 ~·.:1211
!\921\!J '13.1 02
lJ !\1) l O!J7l:l
.o(•)!J:!7 29~:1.7
r.o-: :~ 7. ll63CIJ
045R2 27581
05729 04.427
~30!19 40080
13049 05127
56·1135 12948
06
70690
27459
59253
31749
OO~i
os no
08702
·,
NUI~EROS
ll29&ú
1::0110 'ili09J
lno:,¡ 71300
4ilú0l 03657
31 Ollü 96377
2'/851 05!l5(i
00100 2::0751
3!Jl;fjl) 20128
:1G77!l 134021
57794
62!14!\
1\HG:l
951>118
?.5777
..
7'1R18
5131i4
520:11
67!'>17
) •JJOr.
00864
R\J232
·1!'>531
5(;(\JJ
fi3fl70
7J2{;!) 1'5728
J 1'{59 13651
039~2
2BB11
!'178Gil
4354R
202R!'i
:lG:i:l5
~2579
4R!if>R 43159
20001 51\993
~Hlfl tlf\010.
l!i70l 177R3
637!i7 4f\!lS9
5448~
l33f>f,i
RAM2
5E\!\A3
200113
:un.Q~
.. ).9.2l3
..
'
'
..
OSR(lll
· oMo1
08P03
0!1!172
37781
23711
UIJ79
301l26
t\()6157
50882
R·U67
OR!IO~
05831)
08~0~
OIHH)6
ORB07
()11808
()111109
60461
32808
79865
4!H32
20609
3~.(32
2~01\6 fl1611
124f\2 29097
ft~ll?a POl20
•U2R7 141'>06
~2R3l 7.1\1\3
7!17.88 1561-4
711673 91)111'3
~ll7íl0 !11\019
19~77 63026
OP}Ilt¡ .-Po:m
f\21\2~ l'ili!\RO
fiO!Ht) 21l711J
27471 !17A!)l
n:t3~J 9!\.?.51
:?.n!l(l8 7741l3
114123
-«7!191
37778
33201
7-JI\21
7473!S
98004
06623
(\11.(63
41842
17290
OA489
748112
64366
27277
40:529
29994
71007
37153
1191118
54120
6:l5CR
R21fil'>
:IO-tR8
3::1046
1\9489
Pl!S07
f\58fl«
7fl83l'>
15P02
OR810
01\811
ORRJ2
08813
OMU
67914 4A343
561'>07 6931\6
M733 ~311:,).3
1Hil1~ ll2917
1-!HHl 31\702
25563
351184
311109
731170
11204.(
32880
O:l7R3
:111>01
4?.0:l9
fl731lA
90532
47449
1001!\
20227
7!Hilfl
257Fil
971!'15
11113
70Rq3
OIVI15
779-44
17243
OIJB17
(IIHI18
ClM19
4HM
03977
90241J
911989
7009
3~AC)7
742?.7
42149
57402
273112
U5M
1180!'1
Pfi51B
91034
-«!'lflBJ¡
81114
!18635
R2R72
77754
03429
.CJ7fl5
()8820
(lll821
ORI\22
08823
OM24
94674
58188
31472
45623
31498
M711
411271
8?.488
1(1670
'71227
84008
?.3AA3
49286
92732
•U079
3lP25
D7flfi2
78357
172(14
43992
6517!)
?.345!\
15761
fl:l420
OIHI25
0Ril26
OIIA27
(l!l826
ORA29
69372
93672
77!161
37074
72087
22346
l!'>69R
83701
17960
10173
107!\8
42525
3221}1
71'>211
41\396
0fl.830
OSA31
(161!32
08833
(11\834
55224 fl4672
69249 89070
01~67 71R21
:IH09 40660
S87RO 2R!\80
08835
08836
33758
fS8603
72131
22211
97948
0~1102
:l(\027 fl!\!'>63
7!H2A 04111\
l'>R~70 f;A054
P!\232 fll\57#1
:a~:n 02::1:\0
f\1338 382P4
8273A
37592
!'lf\244
3) !.'1:1
6517:l
78P:12 27ROA
9l!i98 11\11\7
1>1;349 P40AO
80?63 '!\:Jfl!S
07!130 9f\lf.IR
P!l2.C8 1131<41
00151 OU:J5
(lt>llgq 7RJ07
('11)73). ;fA06~
0!1110 OR!"I0!5
4 l\:lll5 0::17R~
~06R1
1\f\1:11\
41023 97!Ho1
4~28:\ R!l!l47
fl0ll!l6 3R700
2?.):'14 I\IJ7!\2
llARR 11:12~:}
1741!4
OA424
3:JR78
0!'1756
81;6112
l:\:'164
91753
f.5R74
54423
7}2R3
190!16
6HR3
49l!l:l
!14093
6"5:11
;11)041
f\(j227
!llñ27
551120
!Hl011)
36294
314813
87079
!\3163
03158
4465·1 6?.3(;5
24702 5lfl23
2()857 7flfl2fl
2~9J2 7f>IH9
:).2252 (lllo\30
71692
23!ifi2
1í711
5352.o&
0?.031)
08912
40:\flli
:\52<17
l656fi 17041
1101>4 61023
9!11145
1?.120 fVl03 2
2f'R!)/l
:lRO~O
!10142
29342
111661
81342
211R7l
4471i7
53323
113465
81621\
74407
R137J
12699
4fl7l'i2
114114
67232
05031!
1'9'1!\1
894110
02R22
fl4P71 ;\69fl.ñ
flJf\4:) 2?.8C)I}
4051~ :\31'39
6~01\6 37101>
ll7.A7!\ flll213
200!11\ 04117!)
0:11';57 0!'012
77690 fi2!i~7
1PJ!\O 532~1\
H727 07107
85100
74362
29532
31610
38790
33561
09959
87993
!\2577
fiiJ7o4R
!1843-31659
211501
3!1229
40179
115255
:HIOlO
66512
17801
25722
5:11;!)!')
4:l34R
Rl!i1H.35414
97SIA8 0?.00.(
[,'1967 91¡;23
:17252 5770!\
JI!H5 7111117
f'3:l77
311°31
535ti5
:lfl():lf\
1!\Jfl«
29273
05722
.f13R3
11757R
02187
lf;\>53
72Rl8
72?.<15
34177
351106
O:J!llS
?.3?.:l3
72035
]5073
95274
5:1'11>2
07051
17:>23
9A7)l
99lf'5 20lf;!i
51714 7:l73R
!I()Cl47
4!\671J
39346
OC)fl52
05002
2610R
21!\36
IJR71}4
088 .. 2
08843
08RH
0!1036 85363
299~6 1«265
1\1967 89047
-44622 08121
689U 21501\
Ot'~·U
o~~~~~~
0 11 ~47
0~A~8
0~R49
2~337 711021'1
!>4133 ~lf\2!l
75J.I;R !lfH64
3fl47l 7087!l
2PUO 1'2191
0~251)
flf.~77
!H22q
371'11
O'j'l54
7ROJ?.
l!\"-15
95.,A2
?.A2:Jil
ClA75A
402n:l
7BA4!5
737fl'l
fl54AI)
2P5R7
8Fi6!l7
11701
flRR1!'
PRC}:\l
!1'1401;
6712R
:11760
(lt\8lll
011637
011638
08fl39
OB840
OE!BH
).)JlJ
9P9115
~9356
2~3fi5
14049
fll7?.2
6:13 fl!l
fi38!1B
fiOflA~
(131!2A
511\~2
237R7 2R49R
!17!\~!'1
'
111107
6:1111
RI>ROR
11451
23~82
4~>9·!A
672PS
!l!lfiU flo\ R3 9
·U~72
41\?.57
P051lR :;lf)3 ,.~
2.fi!lM
~l;f~O
OOlfil
R1213 5~2fll)
OfilRIJ :l21111
O!l40J 4601'5
ORH7 8053'\
)~:lO:J
IHH~:Jí!
{IRR73
OP.fillll
AO!l?.IJ
R7RR7
331'i7R
!'11?.7~
6~!'!>1
497!\f\
3 P?.;tC)
60747
25771'
;1'171'1')
3fl~fll)
3A:Jf\5 fl71fl7
lfl2!\6 ~l!l;ll)
l!l!\.,3
()A !lAR
47l\01
(l6fl5-\
1ill!ll
11 1'!\:l
"OA23
ouno
23117
62fl9!l
lJ
'·'
GRUPOS DE TRANSPORMACIONES DEL PLANO VIA LOS NUMEROS COMPLEJOS
Enzo R. Gentile
O. I NTROOUCC 1ON
El objeto de esta expósfci6n es la determinación de ciertos grupos de transfo1~aciones del plano utilizandb 1• e~tructura adicional
dada por identificación del plano coordenado R1 con el cuerpo dé los
números complejos (Plano de Gauss). M~s precisamente determinaremos
e 1 g1tupo w.cLúleó ( (R 1 ) de R1 • es decir e 1 grupo de todas 1 as trans
formaciones de R1 que preservan la distancia eucltdea:
y
O sea,
fE E(R1
)
st y sOlo sf cualesquiera sean x.y en R1
d(x,y) • d{f(x), f(y))
Se suéle decir que una tal transfonmaci6n es "dgida". Las mismas
consideraciones permlt1r~n obtener un grupo m~s grande que el eucltdeo,
a saber e 1 glt.upo de t..úniU.,t.udu. lle R1 , Si m(R 1 ) • Una s hhi 1 1 tud es, por
definición, toda transformaci6n f de R con la propiedad que existe
r E R , r > O ta 1 que
d(f(x), f(y)) = r.d(x,y)
En ot_ros t~nminos, las similitudes son las composiciones de transforma
clones rtgidas y homoteclas.
Recordemos que (de acuerdo con el famoso Plt.og~ de ~g~n* de
Felh Klein, octubre de 1872) cada grupo G' de transforma~iones de R1
~a 1 uga r a una geome-Wa, e~ de el r, e 1 es tud 1o de 1as pro pi edades de
subconjuntos de R1 invariantes por G. 1\st E(R1 ), determinar6 la
geome.tlúa lwc..Ude.a. En eHa geometría podemos por ejemplo .analizar la
• Se refiere a la dlsertac16n Inaugural del matemático alemán Fellx
Kleln (18~9-1925) al Incorporarse como proresor en la Universidad· de
la ciudad de Erlangen (Alemania Federal), Su título: "V.erglelchende ·
Be t rach tunge n Ube r neue re geome t r lsche Fo rschungen", en octubre de 18 72.
El ''Programa" de Kleln consiste en clasificar cada ram.a de la geometrfa
como teorfa de !~variantes de un cierto grupo de transformaciones. Asf
la Ceom<!tda Eucl rdea es el•·estudio de los Invariantes del grupo de trans
formaciones del plano que preservan la distancia, la Geometlt.14 P~oyee- Uva, la Topolog.lá, etc. entran en este "programa".
,,
14
noc:i On de congruenct a de po lt gonos. Dos
po 1f gono s P y P' son cong~tur.~
.tu si exis te fE E(R 1 ) tal que f{P)
= P'. En part icul ar, podemos
anal izar triAn~ulos y obte ner los conocido
s crite rios de igualdad (o
mejor, cong ruen cias ). En cambio utili zand
o Slm{R 1 ) podemos obte ner
los conocidos crit erio s de semejanza.
Este punto de vist a, en nues tra opin ión,
revi ste gran im~ortancia
pues todo se logr a a trav~s de los núme
ros complejos y adem~s de eleme~
tal resu lta natu ral. ·
i. GRUPO DE TRANSFORMACIONES
Sea X un conj unto no vacf o; St 11 ama .t'latt
h 6Mmaci.6n sobr e X (o en
X, o de X) a toda apllc aciO n
f: X-+ X bi.tje cü.va . Por ejemplo ldx 6
Id ..O lx ~f.inida por ldx( x) " x , V
.x E X, es una tran sfor mac ión,
la -llamada trans form ació n i.dtU t.ttdd d. ·
Con
Si
Tran(X)
f,g
E
denotaremos la tota lida d de trans form acio
nes de X.
Tran(X) podemos defi nir la composlc!On
de f con g:
f.g : X _. X
{f.g )(x) •. f(g{ x))
Adem~s sien do cada
fE Tran{X)
macfOn Inve rsa f- 1 E Tran(X) por:
blye ctiv a
f- 1 (y) = x - f(x)
V
est~
X
E X.
defi nida la tran sfor
y
La composición de apli caci ones es asoc iativ
a y defi ne sobre Tran(X)
una estr uctu ra de grupo: e 1 gJUtpo de .tlt.a.•
u 6o1Un<l.ci.on e.6 de X. (Supondremos
al lect or fam iliar cori la defi nici ón y
propiedades b~slcas de grup os).
1.1. Ejemplds
1) Sea X " {1, 2, ... , n}. Entonces
Tran(X} se denomina el giLUpo
ld..mUJúCJJ de grado n y se denota
por Sn. Los elementos de Sn suel en
d~
nota rse por matr ices
2
·, '
f(2}
f E
Debajo de cada
es
s,
f E
~
i
f( f)
X estA su Imagen f(i) por f. Por ejemplo sf