kosa andras y szigeti ferenc notas sobre teoria de

KOSA ANDRAS Y SZIGETI FERENC
NOTAS SOBRE
TEORIA DE CONTROL
OPTIMO
TEORIA DE CONTROL OPTIMO
POR
KOSA A N D W
Y
S Z I G E T I FERENC
DEPARTAMEMTO DE MTEMATICA
FACULTAD DE CIEWCIAS
UNIVERSIDAD DE IDS ANDES
MERIDA-VENEZUELA
1980
ESTAS NOTAS RESUMEN UN CURSO B E V E SOBRE TEORlA DE
CONTROL O P T I M O DlCTADAS EN EL DEPARTAMENTO DE MAT&
M a f I C A DE LA UMIVESIDAD DE LOS ANDES POR EL DOCTOR
FERENC SZIGETI, FROFESOR DE LA UNIVERSf DAD E ~ T V O S
LORAND DE BUDAPESTp DURANTE E L P R I M E R SEMESTRE BEL
~ F j o1980,
AGRADECEMOS A LOS PROFESQRES KOSA ANDRAS Y
SZIGETl
FERENC POR SU COLABORACION
AGRADECEMOS T A W I E N A L A SENORITA E L I D E RAMIHEZ Y6R
SU DEDlCAClON Y EXCELENTE TRABAJO DE D A C T I L O G R A F I A D O ,
-AGRADECIMIENTO
NOTACIONES
I . EL PRINClPIO DE
MAXIM0
DE PONTRIAGUIN.
11, CONTROLABILIDAD, OBSERVABILIDAD...,
1 t
s
1 e a
I
.., ... ..38
TEORIA DE CONTROL OPTIMO
INTMDUCCIOM
--
En e l c o n t r o l autombtico, l a Economfa y 10s problemas de
e s t a d f s t i c a matemstica, en g e n e r a l , en los problemas
de
f i p o i n v e r s o s u r g i e r o n rnuchos problemas de optimizacibn
10s cuales no han podido ser resueltos por medio de
rngtodos c l d s i c o s d e l C S l c u l o Variational.
problemas d e e s t a Sndole L.
10s
Para r e s o l v e r
Pontriaguin y s u escuela
-
cred una nueva t e o r z a , llamada "Teorfa de C o n t r o l Optirnd'.
E l esquema de 10s procesos considerados es el s i g u i e n t e :
hay una l e y de l a " n a t u r a l e z a " , con l a p o s i b i l i d a d de l a
"intervencibn kumana", es d e c i r , se pueden c o n t r o l a r 10s
procesos consfderados.
E v i d e n t m e n t e , una lntervencidn
humana en l a n a t u r a l e z a tiene c i e r l o s o b j e t i v o s ,
Estos
-
o b j e t i v o s pueden ser de c a r a e t e r cualitativo, par ejemplq
el o b j e t i v o de l a a c t i v i d a d h m a n a es t r a s f e r i r el s i s t e -
m a de una posicidn a o t r a posicibn deseada.
En general el o b j e t i v o prirnario de l a a c t i v i d a d hunana
tfene caracter cualitatfvs.
-
Pero, ademds tenemas tambign
o t r o t i p 0 de i n t e r & , por ejmplo: p r o d u c i r b i e n e s e n una
cantidad maximal, o con un precio mfnimo.
tivo secundario t i e n e un cardcter c u a l i t a t i v o ,
I
-
Lucgo, el obje
El teorema f u n d a m e n t a l e s el p r i n c i p i . 0 ds MSximo de P ~ n t r ia
-
g u 4 ~con e l cual. se pucden resalver, rnuchos d e i o a yr23ble
mas p l a n t e a d o s , por cjemplo:
a)
La estabilidad d e Pos reactores,
cj
Ida determinacidn del f u n c i o n a m i e n t o mds econ6rnico de Los
reactores, 10s processs controlados,
d)
La identificaeibn de l o s procesos m c d i a n t e f i l t r s c i b n ,
e)
L a d e t e m i n a c i d n d e l a forma de 10s e s t r a t o s , utilizan-
do 10s m&todss sfsmicos (es decir, e l problema i n v e r s o
de l a s x s r n l c a ) .
f)
L a determinaciCn de l a e s t r a t e g f a optimal e n un rnercado,
g)
La a u t o m a t i z a c i b n . optimal de s i s ternas i n d u s t r i a l e s
.
-
L a t c o r f a de c o n t r o l bptimo u t i l i z a de l a m a t e m 6 t i c a p r o f u n
d m c n t e : el a n b l i s i s , e l a n d i i s i s f u n c i o n a l , l a s ecuaciones
d i f ererxciales, la geometrfa convexa, l a t e o r f a de probabi li
-d a d , etc.
ASS,
l a teor%ade c o n t r o l 6 p t i m o ha Llegado a ser
tma rama muy i m p o r t a n t e de las matemdticas desde e l purrto de
vista prSctico y tebsico.
NOTACLONES
-
-
:=
Utilizado p a r a d e f i n i r c o n j u n t s s , funclones,etc,
~ o dos
s
puntos "apuntan" h a c i a el objeto que s e d e f i n e .
f: A
+
-
B
de f es
Denota una funcidn o a p l i c a c i 6 n ;el dominio
el rango de f es Rf:=
Df:= A,y
B.
W
-
El con junto de 10s nGmeros reales,
IR"
-
E l e s p a c i o de los vectores reales de dirnensidn
x
=
f o g
&
(
-
x
i
2
-
Norma de IR"
.
Funcidn cornpuesta de la
= f o (t, x,
u)
-
ecuaci6n
n.
funcidn
g
i f e r e n c i a l , donde
con f
t es
-
la f u n c i 6 n i d d n t i c a sobre e l dominio comGn de la t r a y e c
t o r i a x y el control u.
-
Transpuesta d e l a m a t r i z A.
EL PRINCIPIO DE MAXIM0 DE PONTRIAGUIM
I.
Considerernos un punto m a t e r i a l d e masa
1 q u e s e mueve
en una r e c t a ; supongarnos que se conoee que en 10s instanles
to y t r , e l p u n t o ocupa l a s posiciones xo y x l ,
y t i e n e velocidades
%
y fl
respectivamente:
S u p o n g m o s que l a ecuacidn d e l movimiento de este pun-
..
t o e s t d dada por . x = u, donde
u
e s una f u n c i d n que
"controls" o "regula" dicho movimiento.
que
u B TI
Supongarnos
y e s t d s u j e t a a l a condicidn
lul
5
1, en
-
t o n c e s debe ser una funci6n:
Resolviendo l a ecuacidn d i f e r e n c i a l
% = u
s e ve
que
hay una i n f i n i d a d de f u n c i o n e s que l a satisfaccn;
es
decir, existen s o l u c i o n e s u definidas sobre un cierto
interval*
[,:t
t\f] con val-ores en
[-1.11,
se o b t i e n e n f u n c i o n e s x , s a t j s f a c i t 5 n d o s e que
d e l a s que
2 = u
.
D e c o n s i d e r a c i o n e s de t i p 0 f z s i c o , se s a b e tambi&n que
e x i s t e n funcidnes
u
de d i c h o tdpo, t a l e s que l a s so-
l u c i o n e s de l a ecuacidn
P = u s a t i s f acen
tarnbiGn l a s
condiciones:
E l problema mds s e n c i l l o e n l a t e o r l a d e l c o n t r o l o p t i -
mal c o n s i s t e , p o r ejemplo, e n e n c o n t r a r l a funcidn
u
para l a c u a l e l funcional
toma
su valor m l n i m o ; a e s t e p,roblema, l o llamaremos:
Problema de l a rninimizaci6n d e l tiempo
del tiempo mfnimo.
a
problema
2.-
NOTACIONES Y DEFINICIONES.
2.1.
Demos dos ndmeros n a t u r a l e s arbitrarios n y r,
m
Sea U t R un c o n j u n t o a r b i t r a r i o no vacfo, con
mas d e un e l e m e n t o (generalrnente es un conjunto
compacto, un p o l i e d r o convexo, e t c ) .
d o s p u n t o s f i j o s y sea una fun-
Sean xo,xl E R"
cidn
f : R
con
n
> R"
XU-
f (x,u) = Ax
+
Bu, donde
A E IR
nxn
,B
nxk
C IEt
son m a t r i c e s .
En e l e jemplo dado e n (1), tenemos que:
DEFINICION:
de f u n c l o n e s de
siguiente:
CU
Sea
R
e l subconjunto de l a c l a s e
->
U , d e f i n i d o d e l a manera
U
es un interval0 compacto. y
(ii)
u
,
to: = m i n IjU
es continua a t r a z o s (en l o s p u n t o s
de
d i s c o n t i n u i d a d s e d e f i n e carno a l g u n o de Tos l f m-i
tes laterales)
A
.
una funcidn
u
que satisface las c o n d i c i o n e s
(i) y ( i i ) la llarnaremos CONTROL.
2.2.
Tomemos
u E CU
y consideremos el p r o b l m a
con
valor i n i c i a l :
x = Ax
+
u
x(t*)
By
= x
0
.
Consideremos l a f u n c i 6 n :
F ( t , y ) : = Ay
+
Bu(t)
entonces e l problema ( * )
DEFINICIONES:
entonces
xU
Si
xu
( t t ,:t[
ty
1)
es e q u i v a l e n t e a:
es l a soluci6n del problema (*I
es la T R A Y E C M R I A
4
correspondjente
a1
,
u; y a l a pareja ordenada (xU,u) se le llama
control
PROCESO
Sea
.
(xU,u) un proceso: entonces sabemos que:
Adembs, generalmente no oeurrc que:
DEFINICIONES:
U
Si' (x ,u) es un proceso ta.L yue:
e n t o n c e s diremos que
y al control
NOTACION:
u
u
( x ,u) es un PROCESO ADMISIBLE,
--
l o llamaremos un CONTROL ADMISEBLE.
--"
Denotaremos por
nu a la clase d e contsoLes
admisibles; o sea:
u 6C,/u
es admLsible
Sea
J
(luando
existe
e l f u n c i o n a l d e f i n i d o como s i g u e :
J
a l c a n z a e l mfnimo a b s o l u t o ; es d e c i r cuando
-
u E RU
J
t a l que:
(u) = min
u E
diremos q u e
u
J (u) ,
nu
es un CONTROL OPTIMAL
,y
a1 p r o c e s o
c o r r e s p o n d i e n t e PROCESO OPTIMAL.
DEFINICION.
Sea el s u b c o n j u n t o
1
C ]Itn
d a d o por
T
-
NOTACION.
E l slmbolo
xo ?-.'xl
g u i e r e decir q u e
es un c o n t r o l a d m i s s i b l e para 10s p u n t o s
o t r a s palabras,
inicial
xo
u
xo y xl;
u
en
" l l e v a " un p u n t o desde l a p o s i c i d n
hasta l a posicidn f i n a l x l .
Hemos d e f i n i d o
ET
corno e l c o n j u n t o d e puntos e n
d e s d e 10s c u a l e s se puede l l e g a r a1 o r i g e n d u r a n t e
R"
un
tiempo no mayor que
T; se puede d e m o s t r a r que cuando
se l l e g a a 1 origen en un tiempo - T * < T,
gar tambign e n e l tiempo
se puet5e lle
-.-
T:
LEMA I:
, y sea v el con
T
t r o l q u e l l e v a dicho p u n t s a1 origen d e manera que:
PFUXBA:
Sea
dado un punto en
Definamos el contra1
este control
trozos y
u
-b
U, como s i g u c :
es a d m i s i b l e , ya que
u
es continua a
0 6 U.
se t i e n e que l a tsayectoria despugs
Para e s t e
d e l instante
rencial:
u: [0,~]
-
T*
e s t d gobernada p o r l a ecuaciBn d i - f e
-
o sea, tenemos el s i g u i e n t e problema con valor i n i c i a l :
cuya s o l u c f d n es:
Este r e s u l t a d o significa que s i
t E [T*.T]
PRUEBA.
es e l c o n t r o l
u
y
el punto quedarL e n e l origen.
2
x 1 y xo
Sean 10s puntos t n i c i a l e s
0
en
1 ,
T
tenemos que demostrar que e l segment0 ,que une a e s t o s
dos puntos esta c o n t e n i d o e n
1
;
o sea, si elegido
T
A
€
[0,11
y
p:
debe p e r t e n e c e r a
I-A, el punto:
1 .
T
Como
x:
C.
1
(i = 1,2), e n t o n c e s e n v i r t u d del LEMA f
T
existen c o n t r o l e s ui:
tal que la trayectoria xi
i
va el p u n t o xo al o r i g e n .
POT atra parte,
xi =
correspondiente a
uj
lie-
xi
satisface 1-a ecuacidn diferencial:
Axi
+
Bui
1uego :
lo que e s correcto p l a n t e a r ya que
n i d a s sobre el misma intervalo.
x l y x2
-
estAn defi
Por otra parte:
es un control admisible, ya que es una funciCn continua
a. trozos
ya que
Llamando
U
y
es convexo.
x3: = Axl
+
yx2, se tiene que:
#
si
t: = 0 , entonces:
3
xo ; ademds:
l u e g o l a trayectoria parte del p u n t o
o sea, l a trayectoria llega al origen.
Hemos demostrado que p a r a cualquier p u n t o
mento que une a
2
con x 8
x:
, existe
un c o n t r o l
l l e v a e l punto a1 origen e n un tiempo
y de aquf se concluye q u e
1
x i del seg-
T;
u j que
luegat
e s eanvexo.
T
El siguiente lema dice que cuando s e trata de un punto
i n t e r i o r de
1 , desde
este punto s e puede P I - e g a r a 1
T
o r i g e n e n un tiempo manor que
desde un punto de
1
Ti y en c o n s e c u e n c i a , s i
no se puede llegar a1 orkgen duran
-
T
te un tiempo menor que
f r o n t e r a de
1,
T
T
dicho punto debe e s t a r en la
L m A 3:
que
Sea
xo
E
1 , entonces
T
T* < T , y un c o n t r o l
que l l e v a el punto
Y a que
PRUEBA:
d e f i n i d o en
T* C 'R
1
.
hay una v e c i n d a d de
T
e s t S totalmente contenida en
1
tal
[o,T*] t a , l
a1 o r i g e n e n e l tiempa
x,
xo E
u
existe un
.
T*,
x,
que
y hay un ~ o l i e d i ocon
T
v e x o q u e esta t o t a l m e n t e c o n t e n i d o e n e s t a v e e i n d a d y
t a l que c o n t i e n e a
x,
como p u n t o i n t e r i o r .
En l a f i g u r a se e x p l . i c a l o que o c u r r e cuando
1 C R2.
P a r a c a d a vsrtice d e l p o l i e d r o e x i s t e un c o n t r o l q u e 10
l l e v a a 1 o r i g e n d u r a n t e un tiempo
Sea
E
> o
quiente:
T ( p o r LEMA 1 ) .
" s u f i c i e n t e m e n t e pequefio" e n e l s e n t i d o si-
dado un p u n t o
x,
.
R"
q u e l o l l e v a a1 o r i g e n , e l n k e r o
y
( x , u ) un p r o c e s o
Ix(E)-
xOI es t a n pe
-
quefio como queramos; g r d f i c a m e n t e e s t o se ve corno:
T- t:
------'T-E
Esto se puede hacer con
todas las t r a y e c t o r i a s
que l l e v a n 10s vertices
del p o l i e d r o a 1 o r i g e n ,
como se i n d i c a e n l a f -i
T-
---
---
--Mu--
E
----
gura:
Esto s i g n i f i c a que hemos d i v i d i d o cada t r a y e c t o r i a
en
dos partes: la "parte pequefia" que exige un tietnpo i g u a l
a
E
para ser r e c o r r i d a y l a "parte grandee' fomadapor
1
puntos de
T- E
.
Hay un teorema geometric0 que dice:
"Dado un p o l i e d r o convexo
en
P
R ~ ,existe un
E
> 0
t a l que consideradas las bolas de centro e n cada v e r t i c e
y radio
E?
y e l i g i e n d o un punto e n cada una de e a t a s
bolas, Bstas. determinan un ' p o l i e d r o
0
si
a € P
se puede escoger
Entonces sea
E
> 0
Q
convexo; y ademds
0
de manera que
E
de manera que
x
0
a E Q
.
s e a un punto in-
,
t e r i o r del nuevo poliedro de v e r t i c e s contenidos en
F c
#
u
E s t o quiere d e c i r que exlste ura cont.ral
el p u n t o
x0
a1 o%i.qen en
tlrr
tiempa
T*:
-
ylze I.%eva
"-F
1
.
)i
tal
que
Sea
u
un c o n t r o l aclrnisible que lleva un punk0 desde
Is posicidn
x,
E Iksr"
it1
origen, sea
x
es necesasio que existc2 una f u n s i . 6 ~ 1 9
t i s f a g a l a e c u a c i 6 n diferencial l i n e a l :
t a l que para cada
i
-
C
U
C j.t.o
,
a ?
t '-l -I
la t r a p a c t o r i a
no n u l a ciue s a -
Sea
T: = t y
-
t,
,y
consideremas e l c o n j u n t o
1 . Asf,
rn
e l punto i n i c i a l
xo
es un punto f r o n t e r a de
1: ,
ya
rn
q u e s i f u e s e p u n t o i n t e r i o r se p o d r f a l l e g a r a1 o r i g e n
e n un tiempo menor que
que
u
We
x,
T
y e s t o c o n t r a d i c e e l hecho de
es un c o n t r o l o p t i m a l .
Por o t r a p a r t e , es c l a r o
no puede e s t a r f u e r a de
T
-
Se sabe de l a geometrfa, o d e l a n s l i s i s f u n c i o n a l q u e s i
s e tiene un c o n j u n t o convexo y se f i j a un punto en
la
f rontera, existe un h i p e r p l a n 0 ' ( h i p e r p l a n o de apoyo) que
lo "separaN, en el s e n t i d o de que todo e l c o r l j u n t o queda
a un l a d o d e l hiperplano.
-
En e l caso g e n e r a l este h i p e r
p l a n o no estS determinado unfvocamente; par ojemplo,
si
e n e l p l a n o e l c o n j u n t o convexo es un cuadrado y el punt o d e f a f r o n t e r a e s un v e r t i c e hay una i n f i . n i d a d de pPa
nos de apoyo.
En n u e s t r o c a s o ocurre l o siguiente:
Hiperplano
de apoyo
En l a figura antericr
plano por
n
es el vector normal al hiper-
xo, e l cual esfa dirigido hacia l a parte del
,
e s p a c i o que c o n t i e n e a
por l o t a n t o para cada
T
y €
1
Sea
5
se t i e n e que:
T
l a s o l u c i d n d e l s i g u i e n t e problema ccn valor hi
-
cial:
vamos a demostrar que para esta
$
se cumple ( 4 ) .
Razonando por reducci6n a1 absurdo, supongamos que exis
v* €
te
u
y un punto
tE
it:, tyl
para 10s c u a l e s
no
v a l e l a igualdad; en e s t e caso existe tambign qn i n t e r -
< $ ( t ),BV*
Para
u
y
>
v*
>
($(t) , ~ u ( t ) >
tenemos grbficamente:
t E PI'
'21
Construyamos un nuevo c o n t r o l
u*:
t
->
U?
como s i g u e :
este control
u*
es una f u n c i d n c o n t i n u a a t r o z o s .
Consideremos el siguiente problema:
fc = Ax
sea
x*
+
Bv*
,
x(ty) = 0 ;
l a s o l u c i 6 n de este problema, entonces:
Definamos ::x
cer a
= x*(to);
e s t e punto
x?
0
dehe pertene-
1 , porque
se puede llegar desde este p u n t o a1
T
o r i g e n durante un tiempo T , l u e g o e n v i r t u d de ( 5 ) :
Sea
x
una s o l u c i 6 n de (I), y
I) una s o l u c i 6 n c u a l q u ie
ra de ( 2 ) , e n t o n c e s :
pero:
luego:
Entonces para el control
Newton-Leibniz, se t i e n e :
u,
de acuerdo a La regla de
~ para el tcontra1 eu*:
y ~
Siendo
$
l a s o l u c i b n del. problema ( 6 ) y restando las
igualdades a n t e r i o r e s , se tiene:
En esta igualdad l a funcidn subintegral. es negativa por
la manera en que hemos definido
v * , Luego:
y esto es una contradf ccidn con ( 7 )
1
Por Lo tanto deber ser
.
Con este r a z o n a m i e n t o hmos d e m o s t r a d o q u e p a r a cada
asume s u mdximo, cuando
v: = u (t)
.
A 1 d e m o s t r a r e l p r i n c i p i o de Mdximo p a r a e l cass l i n e a l ,
consideramos que
U
-
es un p o l i e d x o convexo; f r e c u e n t e
mente s u c e d e q u e cuando e n un problema g e n e r a l . se t r a t a
d e l caso convexo, las c o n d i c i o n e s n e c e s a r i a s s o n t a m b i e n
c o n d i c i o n e s s u f i c i e n t e s ; por e j e m p l o , cuando se t f e n c u n a
f u n c i d n convexa de una v a r i a b l e y Ea d e r i v a d a de @sea e n
un p u n t o i n t e r i o r h e su d o m i n i o es i . g u a l a cero, e s t a con
-
-
d i c i d n es s u f i c i e n t e h a s t a p a r a un mfnimo a b s o l u t o , L u e
go es n a t u r a l e x a m i n a r este a s p e c t 0 e n l a c o n d i c i b n d e P o--r
t r i a g u i n : si un p r o c e s o s a t i s f a c e e l p r i n c i p i o de mbximo,
e s t e p r o c e s o es o p t i m a l a n o .
S e puede d e m o s t r a r que
en
e l problema d e l a mi.nimizaci6n d e l t i e m p o y en e l caso
-
n e a l l a c o n d i c i d n de Pontriaguin es casi s u f i c i e n t e ,
l
i
e
Eo
que h a c e f a l t a es a i i a d i r una c o n d i c i d n mds a 1 p o l i e d r o col
vex0 U.
Para p r e p a r a r e s t a c o n d i c f 6 n a d i c i o n a l haremos
-
consideraciones previas.
Sea
A
una a p l i c a c i d n l i n e a l de R" e n R"
(no haremos d i -
ferencia e n t r e l a aplicaci6n l i n e a l y la representacibn
#
matrical de l a aplicacibn) , entonces:
DEFINICION:
pie d e R":
aplicacidn
Sea
A
una m a t r i z
se d i c e que
A
S
nxn y
S
un subesgaciopro
-
es i n v a r i a n t e respecto
x
si para cada
Dada una a p l i c a c i 6 n l i n e a l
E S,
A:R"
se t i e n e que
-zR
n
y un
a
la
Ax C S .
n no nubo,
a t R
hay una c o n d i c i 6 n n e c e s a r i a y suficiente para que exista un
subespacio i n v a r i a n t e
S
respecto de
A
t a l yue a E S; es-
t a c o n d i c i d n es:
son linealmente dependientes.
V a m o s a consider& el caso l i n e a l donde:
f ( y , v ) = A y . + Bv,
y
i)
es un poliedro convexo que s a t i s f a c e dos condiciones:
U
U
c o n t i e n e a 1 oriyen, p e r o e l origen no es un v d r t i -
c'=, Y
ii)
Cualquier a r i s t a
w
de
U
es t a l que 10s v e c t o r e s :
son l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ; es decir, dada cualquier
arista
w
de
U
-
y para cualquier s u b e s p a c i o invariante S
respecto de
A,
se t i e n e que
Bw
$ S.
Guando s e cumple (ii) s e dice que
TEOMMA:
--.
Sea
.U t i e n e la t?OSICION
*-.
GE--
( x , u ) u n proceso que s a t i s f a c e el p r i n c i p i c ?
de mdximo, siendo:
dada por:
dondc
es un poliedro convexo en
U
R ~ ,que t i m e la posi-
c i d n general y que c o n t i e n e al origen pero Qste no es un
-
vgrtice; entonces (x,u) es urn proceso optima.1 p a r a el p r a b l ~
ma de la minimizacibh d e l tiempo.
A n t e s de dar una prueba de este tearema, veamos el s i g u i e n t e
lema:
LEm:
P
Sea
$1
una s o l u c i 6 n no t r i v i a l de
4 = -A T+
,
sea
Consideremos el c o n j u n t o :
entonces
S
es un subespacio i n v a r i a n t e respect-9 d e
f
A*
i) S es un subespacio:
Dados
xlr x2 f S
y
a , B E R, se t i e n e :
luego :
axl
ii)
+
Rx2 C
S
e s un subespacio_propio:
S
Razonarniento por reduccidn al absurdo: si fuese S = R
< $ (t)I Y > = 0
entonces ocurrirfa que
donde
$ ( t ) = 0 para algGn
no puede s e r , ya que
9
t
E [ T
'd
T
per0 &to
es s o l u c i d n de una e c u a c i 6 n
d i f e r e n c i a l lineal y s i en algtin punto de
cero, e n t o n c e s es cero e n t o d s e l i n t e r v a l 0
iii) S
,
de
y E R",
;
n
L T ~, T ~ ]es
8
t3
es invariante:
Sea
x E S , e n t o n c e s para cada
n e que
< $(t), x> = 0 , l u e g o :
<$ (t),x> = 0 ->
t C [ T ~ , T ~ ] se tie
-
PRUEBA DEL TEOICEMA: Razonarldo por reduecidn a1 nbuurdo, su
-
pongamos que
no es un proceso o p t i m a l , y e h t c r n c e s
(x,u)
existe un control
u
[to,qtal que -tl
ci6n i n i c i a l
yue es€a d e f i n i d o e n un inter-halo
< tl
tomarla como el o r i g e n .
I)
St
Sea
xl, que podmos
l a t r a y e c t a r i a correspon-
4
diente a
Sea
y l l e v a e l punto desde l a posi-
hasta l a posici6n final
xo
-
u.
l a f u n c i 6 n que aparece e n e l enunciado del princi-
pio d e mSximo, e l c u a l se cumple para el proceso ( x , u ) .
Calculemos
<+(fi) ,x
(TI)>
:
- --
en l o anterior se toma e n c u e n t a que X I ~
= 0,
~ y }gue
-
x(t0) = x(t0) =
X
0
-
En l a p d g i n a 17 dernostramos que:
entonces a n d l o g a m e n t e se we que:
De acuerdo a Pa r e g l a de Newton-Lelbnitz;
tencmos:
la funcidn subintegral es mayor que ,cero, ya que
face el p r i n c i p i o de rndxirna y
la f.unci6n
u
s a t is
<+,Bu > e s el mdximo para
v E U ) ; por lo tantcr:
<JI,Bv > (
Por otra parte t e n e m a s gue:
per0
c$,Bu >
debe ser mayor o i g u a l a cera, pya. quc'
<.$ft),By$ s
para cada
t
[TI,tl.]
f i j o en
<q(t),Bu(t)b
-2 <@(t) , ~ u ( t )>
>
O
y cada
para cada
v
G U, y
t C
coaro O t U:
ltl,tt:i;
-.
D e ( * ) y I**)se c a n c l u y e qu2:
-"
< l k J
p
x ( t t ) * >-
0.
demustrmos que 6 s t a es la f u n c i 6 n nuXa sobre e i S i ~ t e r ~ a l o
hemas v i s t o que:
(
Ahara hien, sea
dl
c j r i g e n , sea
u ' y u":
U1
w
tJt E IT', ,t.-J )
*-.
la c a x a def p o i i e d r o
una a s i s t a de
U1
f
1
U
q u e con+-iene
euyos v 8 r t i c e ~ ;
,5012
Para cada
t f i j o en
r--
jt. , t l J c o n s i d e r e n ~ o sla f u n c i i i n :
i
s e t i e n e que:
p s r a cada
t
fi jc e n
(TI,tl],
I* v a r i a n d n
v
en
Ijl;
por
Otra parte:
Es conocido q u e si. una f u n c i d n lineal asume en
a.13
p u n t o in.-
tcrior dc un poliedro su m6ximo, entonccs e s t a f u n c i d n
constante.
POI: lo t a n t . ~ ,a s m e lo,.;m i s r n a s v a l c ~ c sr.n
u" ; o s e a , para cada
t.r
El.tlI]
es
u' y
Por e l lema a n t e r i o r , Bw pestenece a algfin s u b e s g ~ a c i oi n va
r i a n t e r e s p e c t o de A , y e s t o c o n t r a d i c e que
U
p o s i e i 6 n general.
Considerenos de nuevo el e3ernplo i n t r s d u c t o r l o :
resolviendo:
La funcidn
+:
=
(91,$:7)
- dcbe
.
rnax
c [-1r11
( $ i t ) BV>, '
satisfacer:
-l
o sea:
max
v c [-lrl]
$2(t)Y
=
4(t) it)
< $ ( t ) ,rju(ti'
tlene
In
y f%acier& 10s cSirlculos correspondientes tenemos:
f (-ct+d)
max
v; = (-ct+d)u ( t )
.
v E [-1 ,I]
Hay c u a t r o posibilidades para la f u n c i O n
[t:,
q 3 t -
y u r a s son:
Sea.:
> -ct+d, que de acuerdo a las siguientes E i -
= ioj
R
no puede ser, porquc en e s t e ::.:as(>
$2
serfs la f u n c i 6 n identicamente i g u a l a
$ =
cero.
E n t o n c e s el
max
v [-I f1-J
es en cada caso:
t
I
(-ct+d)v)
,
Los p u n t o s de discontinuidad d e l c o n t r o l
u
s e llarrian
PUNTOS DE CONMUTACION.
El estudio de este probiema a trav6s deP p r i n c i p i o dcL m8-
ximo nos da, como s e ve,
rnss
i n f o m a c i 6 n q u e el e s t u d i ~rea
--
l i z a d o mediante Pa p r o g r m a c i 8 n dinSmica.
E n t o n c e s , ya sabemos que el c o n t r o l v a l e 1; o vale -I;
asme arnhs v a P o r e s pera co::
un solo punto de c o m n u t a c i 6 n
por l o t a n t o p a r a d e t e r m i n a r las trayectosias tenemos:
R e s o l v i e n d o ambos sistemas, obtenemos yuc:
1
2
x1 = 7 x 2
X1
-
+
- 1-2 x 22
8
, para
+ 8
o
el s i s t e m a (I); y
para el sistema (TI).
;
En eada caso hay s o l o una curva qlle llega a1 o r i g e n del
sistma de c o o r d e n a d a s ; uniendo e s t a s dos curvas tenemos:
L a uni6n d e e s t a s dos curvas d i v i d e en dos partes el p l a -
no; tomemos, por e j e m p l o , u n p u n t o
P
del plano que e s t 6
"por encima" de l a curva, y determinernos cud1 es l a t r a
y e c t o r i a 6ptima para llevar e s t e punto desde su p s s i e i 6 n
#
-
inicial hasta el. o r i g e n .
Por el. p u n t o
P
pasan: uaa s o l u c i 6 n del s i s t e m a CX! corres
-
porldiente al c o n t r o l
u
=
c o r r e s p o n d i e n t e al controL
P
y una soluci6rr d e l siszerna (13;;
u = -1, como se i n d i c a en la fi-
yura:
Lo q u e i n d i c a que la t r a y e c t u s i a 6ptihna correspoz:XJtinte a3
pt~:~l"Li?
ees:
De rnanera anbloga, sc v r q u e sf tomasos el p u n t o "por deba
jo" de l a curva, la t r a y e c t o r i a bptima c o r r e s p o n d i e n t e e s :
En resumen, hernos d e m o s t r a d ~qile el-igiendo un p u n t c a r b i t ra
ria e n
el plan0 hay solo una trayectoria yue satisface el
p r i ncipio de mbximo.
Torr~ando er. c u e n t a l a s c o n d i c i o n e s suf i c i entes, s e oh biene 2x1
--
rnediatamente, que esta t r a y e c t o r i a m i s m a es 6 p t i m a ~
EL
CASO GENERAL
Demos dos ntimeros n a t u r a l e s a r b i t r a r i o s
n y r.
Sea
U C IRm un c o n j u n t o o r b i t r a r i o no v a c z o , con m6s de
elemento.
o s wiq
'
Sean
D C IR
un c o n j u n t o a b i e r t o ,
un
y
f u n c i b n , c o n t i n u a , con sus d e r i v a d a s p a r c i a l e s con
-
tinuas respecto a
las
n + l variables
Como c o n t r o l e s , c o n s i d e r e m o s l a s f u n c i o n e s u: [tz,
t';l
-1
continuas a trozos.
un c o n t r o l
si
u
Tomando dos p u n t o s ( t o . x , ) r
-
U,
( t l , x l ) E Dr
se dice a d m i s i b l e r e s p e c t o a1 prohlerna
t," = to, t:
= tl y e l d i c h o problema de c o n t o r n o t i e n e
solucibn.
Ahora c o n s i d e r e m o s t a m b i e n una f u n c f o n a l de t i p 0
0
para minimizar. donde
g,
atg,
s
3,
son c o n t i n u a s sobre
D x U.
Denotando e l conjunto de 10s c o n t r o l e s a d m i s i b l e s
con
ii (xo ,xl), n u e s t r o problema esquematicamente es
J(X,U)
g o ( t , x , u ) .-->
=
f C t , x , u ) = A x + Bu, y ( t , x , u ) = 1 ,
En e l caso considerado
U
o b i e n , J ( x , u ) = tl
es e g u i v a l e n t e a
-
min!
tU
0
; la desi-gualdad
P o r a n a l o g k a con l a f f s i c a , denotemos con
H
-
l a siguien
t e funci6n:
E s t a f u n c i d n s e denomina f u n c i 6 n de Hamilton.
B e ve i n -
m e d i a t a m e n t e , q u e l a e c u a c i 6 n o r i g i n a l y l a e c u a c i 6 n aux i l i a r s e e x p r e s a n e n tgrminos d e la f u n c i d n d e H a m i l t o n
respectivamente:
Y e l p r i n c i p i o de mdximo d e m o s t r a d o para e l c a s o l i n e a l
toma l a s i g u i e n t e foma:
max
V €
u
~ ( x ( t ) v,
,
$(ti) = ~ ( x ( t,.) u ( t ) , $ ( t ) ) .
-
Con e s t a r e f o m u l a c i d n tenemos P a p o s i b l i d a d d e l a genera
l i z a c i d n d e l t e o r e m a d e principio de mdximo.
En e l c a s o
-
d e l problema ( A ) d e f i n a m o s l a f u n c i d n de Hamilton d e mane
ra s i m i l a r :
E l principio de Mdximo de P o n t r i a q u i n .
d
Sean
u
€
un
x
control optimal,
control
l a t r a y e c t o r i a correspondiente
x
u , es decir,
a1
es l a s o l ~ c i b nd e l prob1m.a d e
con torno
En este c a s o e x i s t e una s o l u c i d n no n u l a de l a e c u a c i 6 n
dif e r e n c i a l
t a l que, para todo
t
max
V €
OBSERVACION.
c
rt:
. I,
t';
se t i e n e
. H ( t , x ( t ) . v,$(t) ) = H(t,xEt) ,u(t),$ftl).
u
L a e c u a c i d n (1) no depende de l a v a r i a b l e
I).
11. CONTROLABILIDADl OBSERVABILIDAD
Todavfa no hemos examinado e l c o n j u n t o
IT
de Los p u n t o s
en 10s c u a l e s e l sistema es c o n t r o l a b l e a l c e r o .
Sj. un
I
,TI
, e n t o n c e s sobre [ O
no
T
e x i s t e un c o n t r o l a d m i s i b l e q u e l l e v a e l x, a1 cero. Ade
-
punto
x0
no p e r t e n e c e a l
1 ,T
> 0, e n t o n c e s el con
T
j u n t o de 10s c o n t r o l e s a d m i s i b l e s r e s p e c t o a l a s c o n d i
m a s s i xo
no p e r t e n e c e a 1
-
ciones d e c o n t o r n o
e s vacfo.
Por eso e l p r a b l e m a de l a c o n t r a b i l i d a d es un
problema muy i m p o r t a n t e del p u n t o de v i s t a de l a o p t i m i zacibn
.
C~nsideremose l s i s t e m a l i n e a l
lRnxn
Sea e l c o n j u n t o
B = JRn-
el es
-
donde
A €
pario
lRm. Luego, los c o n t r o l e s c o n s i d e r a d o s son t o d a s
U
l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s a t x o z v s d e f i n i d a s sobre un i n t er
vale compacto, con sus v a l o r e s e n
d i c e c o n t r o l a b l e a 1 cero scbre
e x i s t e un c o n t r o l a d m i s i b l e
lRm
.
E l s i s t e m a (1) se
[to,tQ d e l p u n t o
u: [t,,tl],
ci6n diferencial
#
xo, s i
t a l que l a ecua
-
-
t i m e solucibn.
El sisterna (1) s e dice totalmente c o n t r o
n
].able al cero sobre [to. tl'). si p a r a todo p u n t o xo E IR ,
el sistema (1) es controlable a1 cero sobre [to,tJ d e l
punto x
Sea
0
.
La matriz fundamental del sistema ( l ) donde
,
O:
[tort1]
es decir, l a a p l i c a c i d n
X
t
[tort,]
3
@
-+
JR
nxn
( t ,T), es una solucidn ma
-
t r i c i a l del sistema hprnogeneo
Se
sabe que l a s o l u c i 6 n d e l sistema (1) con la condicidn
j n i c i a l x(to) = x 0' s e expresa m e d i a n t e la fdrmula de Cau
-
es c o n s t a n t e , s c t i e n e
Cuando
A
Cuando
A y B
$ ( t .t 1 = exp A ( t - t o ) .
0
son f u n c i o n e s m a t r i c i a l e s , tienen l u g a r
I
fdrmulas similares, luego todos 10s resultadados se pueden generalizar fgcilmente para este caso.
Definamos una matriz W(to,tl) de la siguiente forma:
La controlabilidad total del sistema. (1) se caracteriza
mediante la ma.triz W(to,tl).
TEOREMA.
El sistema (1) es totalmente controlable al ce-
ro sobre
[to,tl]
si y solo si la matriz W(to,tl) es po-
sitiva definida.
DEMOSTIUCION.
Supongamos que
W (to,tl) es una rnatriz po-
sitiva definida.
Entonces es invertible. Sea x
punto cualquiera.
Tomemos el siguiente control
E
IRn un
definido como sigue:
Utilizando la fdrmula de Cauchy para el punto inicial y
para el control (51, se tiene
:
Por lo tanto,el sistema (1) es totalmente mntrolable a1
cero sobre el intervalo
[tortl]
.
-
Ahora supongamos que el sistema (1) es totalmente contro
lable al cero sebre el intervalo [to,tJ,
W(t 0rt I ) no es positiva definida.
un vector
x
no nu'lo, tal que
Par otra parte, tenemos
pero la matriz
Entonces debe existir
En virtud de la continuidad del integrando, se tiene
-
Tomando en cuenta el hecho que el sistema (1) es total
mente controlable sobre
punto
[to,tl]
x l = - $(tl,t,) -1x
obtenemos que para el
existe un control
tal que
P(tl,to)~l
+ jtl$(tltt) Buitldt
t
0
es decir,
Calculemos la noma de
x,
utilizando (7)
= 0
,
E s t o muestxa que l a m a t r i z W ( t o , t l )
es p o s i t i v a d e f i ni
da.
OBSERVACIONe
-
S i e l sistema (1) es t o t a l m e n t e controla
ble al c e r o , e n t o n c e s l a r n a t r i z W ( t 0 ,tl) e s p o s i t i v a
es i n v e r t i b l e .
definida, por lo tanto W(to.tl)
Si
es i n v e r t i b l e , e n t o n c e s , tomando e n c u e n t a l a
W(t0rtl)
p r i m e r a p a r t e d e l a p r u e b a d e l teorema s e o b t i e n e
contralabilidad d e l sistema.
la
A p a r t i r d e e s t o obtenemos
l a ' s i g u i e n t e ' afirmacibn:
" E l sistema (1) e s t o t a l m e n t e c o n t r o l a b l e a l c e r o s o b r e
[t ,tl] s i y s o l o s i l a m a t r i z W ( t o , t l )e s i n v e r t i b l e " .
0
Ahora, vamos a p r o b a r o t r a c o n d i c i d n n e c e s a r i a y s u f i
-
c i e n t e p a r a l a c o n t r o l a b i l i d a d t o t a l a 1 c e r o de8 siste-
TEOREMA.,
E l s i s t e m a ( 3 ) e s t o t a l r n e n t e c o n t r o l a b l e a1 ce
-
ro s o b r e [to,tl] s i y s o l o s i r l a c o n d i c i d n d e ~ a l m a n,
es d e c i r , l a s i g u i e n t e c ~ n d i c i b nde rango t i e n e l u g a r :
rango (B, AB
DEMOSTRACION.
a)
,..... ,A n-l. B)
mos que
W(toftl)
.
(8)
Supongarnos q u e (11 no es t o t a l m e n t e
c o n t r o l a b l e a1 c e r o s o b r e
rnatriz W ( t o , t l )
= n
bo,tl] .
En e s t e c a s o
no es p o s i t i v m e n t e d e f i n i d a .
es s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a .
4
la
P r o b a re
En efecto,
W (to,tl) es simetrica y se tiene
se anula, entonces e n virtud de l a continuidad y l a novegatividad de l a norma cuadrada
tambien se anula e n cada p u n t o d e l i n t e r v a l 0 [t,,tl]
Luego,
.
L a k-6sima d e r i v a d a de ( 9 ) respecto a t es
S u s t i t u y e n d a e n ( 1 0 ) t: = t l r s e t i e n e n
P o r l o t a n t o e l rango de la matriz
(B, AB,
....,A n- 1B )
f o m a d a de las matrices
k
A B (k = 0,.
., n-1)
,
menor
que
n , es d e c i r l a c o n d i c i b n de Kalman no t i e n e Zugar.
Ahora, supongarnos q u e e l
rango ( B , A B , . . .
Luego, existe un vector
, An-1
x # 0
, tal
R) < n.
que
U t i l i z a n d o e l teorema d e Cayley-Hamilton, existe un po-
linomio de g r a d o n, t a l que
2iT
es una r a l z d e l plinmio,
es d e c i r , d e b e n e x i s t i r c o n s t a n t e s
cob c ~ . . lC
. n-l
'
tales que
P o r l o t a n t o , obtenemos
U t i l i z a n d o (121, (13) y (14) por i n d u c c i e n se demuestra
que
T T k
B (A) x = O
(para t o d o k)
.
Luego, se t i e n e
k=O
Ahora, se demuestra facilmente' que la Eorma c u a d r s t i c a
se anula en x # 0.
En e f e c t o ,
Por lo tanto el sistem,a no es totalmente controlable a1
cero sobre el intervalo [to,t j
.
OBSERVACION.
1)
La condicidn de K a l m a n no depende del i n t e r v a l o
[to, tl]
,
entonces la c o n d i c i b n de Kalman tiene lu-
gar si y solo si, el sistema ( 1 ) es totalmente con
-
trolable al cero sobre un intervalo [to,tl]
cual
-
quiera.
2)
La sufici-enciadel principio de mbximo, se prueba
de manera similar en el caso, cuando el conjunto U
que contiene el cero
es un poliedro convexo
en
1
su interior y la condicidn de Kalman esta satisfecha pox el sistema.
E n t o n c e s tiene lugar e l s i g u i e n
te teorema.
-TEOREMA.
Supongamos
que el sSstema (1) es t o t a l m e n t e
controlable a1 cero, y el conjunto U
convex0
-
es un poliedro
que contiene el cera en su interior.
Luego
un proceso (x,u) e s 6ptim0, si verifica el principio
,
de
maxim0 de Pontriaguin.
La condicidn de la controlabilidad es una condicidn
#
-
c u a l i t a t i v a , p e r t e n e c i e n t e a l a t e o r f a d e sistemas.
En
-
-
t u n c e s , e l p r i n c i p i o d e mdximo c o n , s u c a r a ' c t e r c u a n t i t a
t i v o t i e n e t a n h i e n un c a r a ' c t e r c u a l i t a t i v o en la teorlta
de s i s t e m a s .
mora c o n s i d e r a n o s e l sistema (1) d e nuevo c o n
donde
C
es una m a t r i z de
una ob-
n x k.
-
E l sistema (1) con l a o b s e r v a c i d n (15) se dice totalmen
te o b s e r v a b l e s o b r e un i n t e r v a l 0 [to,tl] s i t o d o p a r
(u,y) de c o n t r o l y o b s e r v a c i d n d e t e r m i n a unfvocamente e l
estado i n i c i a l xo
.
D e otra manera e s t o es, si
entonces
x
0
OBSERVACION.
= xl
.
L a d e f i n g c i d n se puede r e d u c i r considerando
solamente un sistema c o n t r o l a d o con e l c o n t r o l n u l o , p e s t s
que la d e f i n i c i d n no depende esencialrnente del control.
E u e f e c t o , s i un estado i n l o i a i x
0'
corresponde unf-mca-
m m t e a una observac56n r e s y e c t i v a del sistema cont-.rola
d o con
u = 0, e n t ~ n c e se s t ~estado i n i c i a l x
0
tainl>.i&n
-
corresponde u n f v o c a e n t e n una obscrvacien rcspectiva
deX sistema c o n t r s l d d a con un c o n t r o l u cualquiz~a.Su-
pongamos 10 contraria, e s dlecir, se tienen (16) y (1'7).
E n t o n c e s la d i f e r e n c i a de ( 1 6 ) y (17) e s
0
-
Luego, la sbservacidn
cia1
xo
- x.
.
C! $(t,to) (xO-xI)
Q
corresponde a la corsdicidn i n-.i
Pero cl sistema c o n t r o l a d o con
es observable unfvocamente.
Por lo tanto,
u = 0
xo = x l .
La
afirmaci6n recfproca as i s m e d i a t a , es d e c i r , si para t o
do c o n t r o l
u , l a condiciSn inicial e s t a d e t e n n i n a d a
-
unfvocamente por l a observacibn entonces para el control
u = 0 t m b i 6 n l a c o n d i c i e n infcial queda d e t e r m i n a d a unfv o c m e n t e pos l a observacibn.
Jhora,definamos una m a k r i . ~ M( to,t , 1 d e la siguiente for
4
.
V m o s a ver coma se puede c a r a c t c r i z a r
del sistema (1) en t6rml.nos
dq
(18)
.
la observabi-lidad
-
TEOREMA- El sistema (1) con l a observacibn (15) e s t o t a l
mente observable sobre
M(to,tl)
Lto,tJ
si y solo si la m a t r i z
es i n v e r t i b l e .
DEMOSTRACLON.
-observable.
Supongamos que e l sistema e s totalmerite
-
En virtud de la f6rmula de Cauehy la sbser-
vecidn de l a t r a y e c t o r i a correspondiente a1 estado i n i
.cia1 xo, con c o n t r o l u
definida como s i g u e
-
0 . e s la funcidn
-
c i d xo
,
queda u n f v s c m e n t e d e t e m i n a d a por la &EZP-C~.&~
debe ser xo = 0.
61
M(to,tl)
Luego
no es singular.
M(t,,tl)
es una matriz i f i v e r t i b l e , e n t o n c e s l a ecua
-
'c.i.6n 619) se mresuelve un%vocamentc respecto de la observa
-.
c i 6 n y, finalmente
xo v i e n e dado p a r la fdrrnula
Ahora, cansideremas un s i s t m a aut6nomo con una obsesva
-
ci6n aut6nomaC es decir,
-PI3OPOSICTON.
sobre
10,tl] , entonces
el interval0
--DEMOSTi?A.CION.
bre
S i el sisterna ( 2 ) es totalmente obssrvab1.e
[O,tl],
[to,toftl]
es t u t a l m e n t e observable sobre
para cada
-
Si el sistema e s totalmente observable so-
e n t o n c e s s e g h e l teorema a n t e r i o r la natriz
e s invertible.
Sea
t0 C D3 un n€irriero cualquiera. mans
-.
funnando la integral mediante
I,ucgo, la rnatriz
&¶(to,to c ts] tambien es i n v e r t i b l e .
Consideremos nuevamente la matriz
M ( 0 , tl)
Tansfomando
la integral (21) med$ante
Tomando e n cuenta e s t a elti-ma integral se ve
queda d e f i n i d a por l a r n a t r i z
quc ella
W (0,tEl correspondiente
a1
Euego se tiene e l s i g u i e n t e :
--TEOREMA.
LO,
tl]
E l sistema ( 2 0 ) es totalmente observable sobre
s i y solo s i e l sistema ( 2 2 ) es t o t a l m e n t e c o n
trolable a cero sobre
LO,tJ , por
lo tanto, si y
solo
si, la siguiente c o n d i c i B n de Kalman tiene lugar
OBSERVACIONES :
1 . - La c o n d i c i 6 n 2 3 n o depende del nfamero tlr l u e g o , si
l a condici6n ( 2 3 ) d e Kalman estd. s a t i s f e c h a , e l sis-
tema (20) es totalmente observable para todo
sobre el interval0 [O,
. En
tJ
tl > O
este cnso diremos
que e l sistema es t o t a l m e n t e observable.
Ahora definamos el sistema conjugado d e l s i s t e r n a ( 2 0 )
de l a siguiente manera
SegGn las condiciones de ~alrnanel sistema (203
es
totalmente controlable a1 c e r o , si y solo si, el sis
tema conjugado ( 2 4 9
es totalmente o b s e r b a b l e . Ademas
e l sistema ( 20) e s totalmente observable si y- solo si
el sistema conjugado ( 2 4 ) es totalmente controlable
a l cero.
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