( ) r ( ) r

Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
Solución de Actividades de Lógica Proposicional
1. Transforma las siguientes sentencias de lenguaje natural al lenguaje formal de la
lógica proposicional.
a. Si voy a clase y entiendo el tema, entonces o estudio y apruebo o me
voy al cine.
p: voy a clase
q: entiendo el tema
( p ∧ q ) → (r ∧ s ) ∨ t
r: estudio
s: apruebo
t: voy al cine
b. Si me compro un abrigo nuevo y no es muy grueso tendré frío o si no
compro abrigo nuevo tendré frío.
p: compro abrigo
q: abrigo no es muy grueso
[ ( p ∧ q ) → r ] ∨ (¬ p → r )
r: tendré frío
c. Sólo si voy a clase y estudio, aprobaré el examen.
p: voy a clase
q: estudio
( p ∧ q) ↔ r
r: aprobaré examen
d. Si voy a clase y estudio aprobaré el examen.
p: voy a clase
q: estudio
( p ∧ q) → r
r: aprobaré examen
2. Escribe el siguiente argumento en forma simbólica:
Si Norma va a su reunión del martes por la mañana, entonces deberá levantarse
muy temprano ese día. Si va al concierto de rock el lunes por la noche, entonces
llegará a su casa después de las 11:00 p.m. Si Norma llega a su casa a esa hora y se
levanta temprano al día siguiente, entonces tendrá que ir a trabajar después de
dormir menos de siete horas. Por desgracia, Norma no puede trabajar con menos
de siete horas de descanso. Norma no deberá ir al concierto de rock o deberá faltar
a su reunión del martes por la mañana.
p: ir a reunión
q: levantarse temprano
( p → q ) ∧ (r → s ) ∧ [ (s ∧ q ) → t ] ∧ ¬ t ∧ (¬r ∨ ¬p )
r: ir al concierto
s: llegar tarde
t: trabajar sin dormir
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
1
Matemáticas Discretas
Tc1003
Lógica Matemática
3. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes implicaciones:
a. Si 3+4=12, entonces 3+2=6 F → F ⇔ V
b. Si 3+3=6, entonces 3+6=9
V→V ⇔ V
c. Si 3+3=6, entonces 3+4=9
V→F ⇔ F
d. Si Juan Álvarez fue el primer presidente de México, entonces 2+3 = 5 F → V
⇔V
4. Escribe las siguientes proposiciones como una implicación de la forma sientonces:
a.
La práctica diaria de su servicio es una condición suficiente para
que Daniela tenga una buena posibilidad de ganar el torneo de
tenis.
Si Daniela practica diariamente su servicio entonces tendrá una
buena posibilidad de ganar el torneo de tenis.
b.
Arregle mi aire acondicionado o no pagaré la renta
Si no arregla mi aire acondicionado entonces no pagaré la renta
c.
María puede subir a la moto de Luis sólo si usa el casco.
Si María usa casco entonces se puede subir a la moto con Luis.
5. Construye una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones; p,
q y r denotan proposiciones primitivas y decir si es tautología, contradicción o
contingencia:
a. [( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → q ) Tautología
b. ( p ∧ q ) → p Tautología
p q
p∧q
( p ∧ q) → p
0 0
0
1
0 1
0
1
1 0
0
1
1 1
1
1
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
2
Matemáticas Discretas
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Lógica Matemática
d.
[( p → q ) ∧ (q → r )] → ( p → r )
Tautología
6. Verifica que [ p → (q → r )] → [( p → q ) → ( p → r )] es una tautología
7. ¿Cuántas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición compuesta
( p ∧ ¬ q ) ↔ [(¬ r ∧ s ) → t ] donde p, q, r, s y t son proposiciones primitivas?
2 5 = 32
8. Determina todas las asignaciones de valores de verdad, si existen, para las
proposiciones primitivas p, q, r, s y t que hacen que todas las siguientes
proposiciones compuestas sean falsas:
a. [( p ∧ q ) ∧ r ] → (s ∨ t )
p = 1, q = 1, r = 1, s = 0, t = 0
b. [ p ∧ (q ∧ r )] → (s∀t )
p = 1, q = 1, r = 1, s = 0, t = 0
p = 1, q = 1, r = 1, s = 1, t = 1
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
3
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Lógica Matemática
9. Si la proposición q tiene el valor de verdad uno (1), determinar todas las
asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas p, r y s para las
que el valor de la proposición {q → [(¬ p ∨ r ) ∧ ¬ s ]} ∧ [¬ s → (¬ r ∧ q )] es igual a 1.
Hacer lo mismo para q igual a cero (0).
p
q
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
s
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
¬p
¬s
6
¬r
7
¬p∨r
8
¬r ∨ q
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
9
7 ∧6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
10
q →9
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
11
¬s →8
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10 ∧ 11
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
10. Sean p, q y r proposiciones primitivas. Usando las tablas de verdad, verificar la
equivalencia lógica:
a)
[ ( p ∨ q ) → r ] ⇔ [ ( p → r ) ∧ (q → r ) ]
p
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Ngj/v2008
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p∨q
( p ∨ q) → r
p→r
q→r
( p → r ) ∧ (q → r )
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
2.1 Lógica proposicional
4
Matemáticas Discretas
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Lógica Matemática
b) [ p → ( p ∨ r ) ] ⇔ [ ¬ r → ( p → q ) ]
Solución
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p∨r
0
1
0
1
1
1
1
1
p → (p ∨ r)
1
1
1
1
1
1
1
1
¬r
p→q
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
¬ r → ( p → q)
1
1
1
1
0
1
1
1
No es equivalencia
11. Si p y q son proposiciones primitivas, demostrar por medio de las leyes que
(¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ ( p ∧ q )) ⇔ ( p ∧ q )
(¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ ( p ∧ q )) ⇔ (¬ p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q ) ley IDEM potente
⇔ [(¬ p ∨ q ) ∧ p ] ∧ [(¬ p ∨ q ) ∧ q ] ley distributiva
⇔ [(¬ p ∨ q ) ∧ p ] ∧ q ley absorción
⇔ [(¬ p ∨ p ) ∧ (q ∧ p )] ∧ q ley distributiva
⇔ [T0 ∧ (q ∧ p )] ∧ q ley inversa
⇔ (q ∧ p ) ∧ q ley del neutro
⇔ (q ∧ p ) ley IDEM potente
12. Para las proposiciones primitivas p, q: Verificar que es una tautología por
medio de las reglas de sustitución y las leyes de la lógica.
a) ( p ∨ q ) → [q → q ]
( p ∨ q ) → [q → q ]
q → q ⇔ ¬ q ∨ q definición
⇔ T0
( p ∨ q ) → T0
( p ∨ q ) → T0
inversa
sustitución
⇔ ¬ ( p ∨ q ) ∨ T0
⇔ T0 do min ación
Ngj/v2008
2.1 Lógica proposicional
5
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b)
[ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ (s → t ) ]
↔
[ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ s] ∧ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ t ] ]
[ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ (s → t ) ] ↔ [ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ s ] ∧ [ [ ( p ∨ q ) → r ] ∨ t ] ]
u ⇔ ( p ∨ q) → r
[u ∨ (s → t )] ↔ [(u ∨ s ) ∧ u ∨ t ]
s →t ⇔ ¬ s∨t
[u ∨ (¬ s ∨ t )] ↔ [u ∨ (s ∧ t )]
u
0
0
0
0
1
1
1
1
s
0
0
1
1
0
0
1
1
t
0
1
0
1
0
1
0
1
¬s
¬ s∨t
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
u ∨ (¬ s ∨ t )
0
1
0
0
1
1
1
1
s∧t
0
0
0
1
0
0
0
1
u ∨ (s ∧ t )
0
0
0
1
1
1
1
1
u ∨ (¬ s ∨ t ) ↔ u ∨ (s ∧ t )
1
0
1
0
1
1
1
1
13. Escribir los pasos y las razones que establecen la equivalencia:
a) p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p
p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p ∨ p absorción
p ∨ [ p ∧ ( p ∨ q )] ⇔ p
idem potente
b) ¬( p ↑ q ) ⇔ (¬p ↓ ¬q )
¬ ( p ↑ q ) ⇔ ¬ [¬ ( p ∧ q )
⇔
]
p∧q
¬ p ↓ ¬ q ⇔ ¬ (¬ p ∨ ¬ q )
⇔ p∧q
∴ ¬ ( p ↑ q ) ⇔ (¬ p ↓ ¬ q )
definición de NAND
doble negación
definición de NOR
morgan
c) p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ⇔ p ∨ q ∨ r
p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ∨ ¬p ) ∧ ( p ∨ q ∨ ¬q ) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) distribuutiva
⇔ [ ( p ∨ ¬p ) ∨ q ] ∧ [ p ∨ (q ∨ ¬q )]∧ ( p ∨ q ∨ r ) asociativa
⇔ (T0 ∨ q ) ∧ ( p ∨ T0 ) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) inversa
⇔ T0 ∧ T0 ∧ ( p ∨ q ∨ r ) neutro
⇔ ( p ∨ q ∨ r ) neutro
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2.1 Lógica proposicional
6
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Lógica Matemática
d) [(¬p ∨ ¬q ) → ( p ∧ q ∧ r )] ⇔ p ∧ q
[(¬p ∨ ¬q ) → ( p ∧ q ∧ r )] ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )
p→q
definición
⇔ (¬¬p ∧ ¬¬q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) morgan
⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) doble negación
⇔ ( p ∧ q)
absorción
e) p ∧ [(¬q → (r ∧ r )) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ r ) ∨ (r ∧ ¬s ))]] ⇔ p
p ∧ [(¬q → (r ∧ r )) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ s ) ∨ (r ∧ ¬s ) ) ]]
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ s ) ∨ (r ∧ ¬s ) ) ] ]
idemptente
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ (r ∧ (s ∨ ¬s ) ) ] ] distributiva
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ (r ∧ T0 ) ] ] inversa
⇔ p ∧ [(¬q → r ) ∨ ¬[q ∨ r ] ] neutro
⇔ p ∧ [(¬¬q ∨ r ) ∨ ¬[q ∨ r ] ] definición de →
⇔ p ∧ [(q ∨ r ) ∨ ¬[q ∨ r
⇔ p ∧ T0
inversa
⇔ p
neutro
]]
doble negación
14. Después de hornear un pastel para sus dos sobrinos y sus dos sobrinas que
vienen a visitarla, la tía Natalia deja el pastel en la mesa de la cocina para que se
enfríe. Luego, ella va al centro comercial para cerrar su tienda durante el resto del
día. Al regresar, descubre que alguien se ha comida la cuarta parte del pastel (e
incluso tuvo el descaro de dejar el plato sucio al lado del pastel). Puesto que nadie
estuvo en casa ese día a excepción de los cuatro visitantes, la tía Natalia se pregunta
cuál de sus sobrinos se comería el pastel. Los cuatro “sospechosos” le dicen lo
siguiente:
CARLOS: Jimena se comió el trozo de pastel
DELIA: Yo no me lo comí
JIMENA: Toño se lo comió
TOÑO: Jimena mintió cuando dijo que yo me lo había comido
Si solo uno de estas proposiciones es verdadera y sólo uno de ellos cometió el
terrible crimen, ¿quién es el culpable al que la tía Natalia debe castigar?
Carlos
Delia
Jimena
Jimena se comió el trozo de
pastel
Yo no me lo comí
VoF
V
Toño se lo comió
F
F
V
F
V
V
VoF
V
V
F
F
F
VoF
VoF
VoF
F
VoF
V
F
F
V
F
Toño
Jimena mintió cuando dijo que yo
me lo había comido
V
F
F
VoF
V
V
V
F
Por lo tanto Delia es la culpable
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2.1 Lógica proposicional
7