modulo octavo - institutoculturalciudadkennedy.edu.co

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RA
Instituto Cultural Ciudad Kennedy
Y
IN
“Pensamiento, Comunicación y emprendimiento; ejes fundamentales para el desarrollo integral y social”
S
ÁREA
Octavo .
PERÍODO uno
matemáticas
ASIGNATURA álgebra
DOCENTE Jose Ojeda
NOMBRE DEL ESTUDIANTE
ESTÁNDARES
 Utilizo números reales en
sus diferentes
representaciones y en
diversos contextos.
 Identifico relaciones entre
propiedades de las gráficas
y propiedades de las
ecuaciones algebraicas.
 Modelo situaciones de
variación con funciones
polinómicas.
EJES TEMATICOS
 Expresiones algebraicas
 Polinomios
 Multiplicación de
polinomios
 Multiplicación de un
polinomio por un monomio
 Multiplicación de
polinomios
INDICADORES DE
DESEMPEÑO
Identifica y establece
relaciones de
generalización a partir de
problemas donde se
emplean variables
EVIDENCIAS
Talleres, actividad
individual y grupal trabajo
en el cuaderno.
Identifica y aplica
propiedades de los
números reales en
situaciones de variación
Resolver problemas
donde se hace necesario
crear mecanismos de
generalización como
tablas de datos, en
cuaderno.
Solucionar situaciones
propias de la matemática
o de la vida real a partir
del uso de los conceptos
y propiedades de los
números reales.
Evaluación escrita
individual.
Talleres
Exposiciones.
No. de guías:
No. de clases por guía:
GUIA No. 1
Objetivo: emplear expresiones generalizadas para la representación de situaciones reales donde se hace necesario el
empleo de variables y constantes empleando las propiedades de los números reales.
Actividad de revisión de conocimientos previos:
1. En la mayoría de las oportunidades los números son vistos y utilizados en situaciones concretas:
a. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana utiliza los números racionales que no son enteros? Escriba algunos ejemplos.
b. ¿Qué operaciones puede realizar con números racionales de forma tal que el resultado sea siempre un número
racional? Anote algunos ejemplos.
c. ¿Qué operaciones con números racionales no siempre dan un número racional? Escriba algunos ejemplos.
2. Pedro, Juan y Luis son hermanos. Tienen entre los tres ahorrados $63. Juan tiene un peso más que Pedro y uno
menos que Luis. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada uno?
3. A que corresponde el área sombreada en cada una de las siguientes figuras:
1
a)
b)
c)
d)
4. a) Organice las siguientes cantidades de mayor a menor y de menor a mayor: -23, -33, 32, -34, 35, 0, 1, 1/2.
b) representa las anteriores cantidades por medio de una recta numérica.
c) que le garantiza que el orden establecido por usted es el adecuado.
5. Las siguientes son las temperaturas registradas en un día cualquiera del año en las siguientes ciudades: Bogotá 17
gados, quito 12 grados, california 8 grados bajo cero, Paris 3 grados bajo cero.
a) represente gráficamente las temperaturas registradas en las diferentes ciudades anteriormente mencionadas.
b) que puede decir de la temperatura de california con respecto a la temperatura registrada en la ciudad de Bogotá, en
cuál de las ciudades se encontrará haciendo más frío. ¿por qué?
c) organice las temperaturas de la más baja a la más alta y viceversa.
6. Teniendo
en
cuenta
que
el
área
del
rectángulo
es
base
por
altura.
a) ¿cuál será el área de la figura?
b) ¿cuál será el área de cada una de las partes de la figura y por qué?
7. Dados los polinomios:
a)
b)
c)
d)
e)
p( x)  5x 2  3x  2, r ( x)  x  1, q( x)  2x 3  1. Efectúa las siguientes operaciones:
p ( x)  q ( x) =
p ( x)  q ( x) =
p ( x)  q ( x) =
p ( x)  r ( x) =
r ( x)  q ( x ) =
p ( x)  r ( x) =
f)
8. Efectúa las operaciones de suma y resta de expresiones algebraicas: no debo olvidar que para poder sumar términos
algebraicamente se debe tener en cuenta las variables y el grado de estas (términos semejantes)
a) 5x2 – 3x2 – x2
b) –2x + 7x – 10x
c) –x3 – 2x3 + 3x3
d) x–
2x 1
 x
5 3
e) 3x–
2x x

5 2
f)
5 2
x2
x  x2 
3
2
9. Marcela, María y Marta son hermanas. Tienen ahorrado entre las tres $102. María tiene $15 menos que Marcela y $
12 más que Marta. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada una?
2
Fundamentación teórica
Expresiones Algebraicas.
Expresión algebraica es toda combinación de letras y números ligados por las operaciones aritméticas usuales (suma,
resta, producto, división, potenciación y radicación)
3abc, 5x ty  2 xy, 7 xy  z ,
2
3
x 2  3y
a  b3
, las anteriores son
expresiones algebraicas.
Adición y Sustracción
Recordamos que para sumar 3  1 necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, de igual denominador:
14 21
3 1
3
1
3  3  1  2 11





14 21 2  7 3  7
2 3 7
42 .
Monomios. Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que intervienen son la
multiplicación y la potenciación de exponente natural.(los coeficientes son números reales cualesquiera).Observa los
siguientes ejemplos
4x3 ,
3 2 3 2
ab , 2 ax , 3 x 3
2
Las operaciones que se admiten con los monomios son:
- Suma de monomios semejantes:
2x2 + 3x2 = 5x2
- Resta de monomios semejantes:
6x3 - 3x3 = 3x3
- Producto de monomios:
2x3 · 5x2 = 10x5
- Cociente de monomios:
6x5 : 3x2 = 2x3
- Potencia de un monomio:
(2x3)2 = 22x3·2 = 4x6
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.
Ejemplos: El doble de un número: 2x
La suma de dos números: x + y
Las expresiones: 2x, x + y: son expresiones a1gebraicas.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por
números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplo: Calcular el valor numérico de 2x2 + 3a para x = 2 y a = -1.
Para x = 2 y a = -1: 2·22 + 3· (-1) = 8 - 3 = 5.
Clase No.
Debemos tener en cuenta que un polinomio se clasifica dependiendo de la cantidad de términos que este tiene: 3
Es un polinomio que consta de un sólo monomio. P(x) = 2x²
1. Además un monomio es: es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que
intervienen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural.(los coeficientes son números reales
cualesquiera).
Sin embargo no son monomios:
2ax3 porque .....................................................................................................................
1
2
3a x  3ax porque ......................................................................................................
4 xy 2
porque ..................................................................................................................
7x3 z 4
2 x  3 porque ...................................................................................................................
x
2 z 3 porque ...................................................................................................................
y
2. Se debe tener en cuenta que un monomio tiene dos partes: La parte numérica, llamada coeficiente, y La parte
formada por las letras y sus exponentes, llamada parte literal. Los monomios 7 x 2 y 7 x 3 no son semejantes
pues, aunque la variable es la misma, el exponente no. Debemos tener en cuenta que para poder sumar
monomios estos deben ser semejantes:
4x 2  7 x 2  11x 2 y - 3x3  8x 3  - 3x3  8x 3 , no se agrupan porquelos términosno son semejantes.
Dados los monomios A  5x 2 ; B  3x; C  7 x 3 ; D  2x 2 . Efectúa las siguientes operaciones:
a) A + D
d) A · C
b) A· D
e) A – D
c) A + B
f) B · D
3. realizar las siguientes operaciones:
a)3x2 + 6x2 + 5x2 =
b) 7x3 + 2x3 +
d) 6z2y + 3yz2 +
1 3
x =
3
c) 6xy + 2xy + 3xy =
1
yz2 =
2
5 2 3
+
zy =
3
e)
3 2 3
1
z y + z2y3
4
2
f)
5
3
2
ab3 + ab3 + b3a =
7
4
9
4. Debem os tener en cuenta que al m om ento de m ultiplicar expres iones algebraicas los
coeficientes s e m ultiplican, y cuando se tiene la m ism a variable, los exponentes de estas s e
sum an com o se m uestra a c ontinuación: ax n · bx m = (a · b)x n + m ;
(5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

a)  5 x  y
b)
2
3
   54 x  y    6x  
4


4 2 2
x· x=
5
3
c)
5
6
xy· x2y =
4
7
1
f) 10x3y·(-6x3y)· yx3 =
2
e) –5x3·2x2 =
d)
7 2  2 2
ab ·    ab ·(-3)ab2 =
3
 3
 1 
g) -3x2·   x  =
 3 
5. Efectúa los siguientes cocientes de monomios:
a) 50x4 : 25x2 =
b) 36x3 : 6x2 =
2
2
c) -15x6 : 3x7 =
e) 25x6 : 10x2 =
d) 7x4 : 3x3 =
f) 15x2 : 6x =
3x y y 4 xy no son semejantes pues no tienen la misma parte literal, al sumarlos o restarlos
2
2
resulta una expresión algebraica que no se puede simplificar, lo que se llama un polinomio: 3x y  4 xy y 4
Los monomios
3x 2 y - 4xy 2 son dos polinomios.
Los polinomios que usamos más frecuentemente tienen una sola letra. P(x)= x  x  3 .Se dice que dependen
de una única variable ( “x” en este caso).
2
Este polinomio está formado por tres monomios; x ,  x, 3 , como el mayor grado de los términos que lo forman
es 2, se dice que este polinomio tiene grado 2 ó que es un polinomio de segundo grado.
2
3 3
x  1,
2
2
si un polinomio está formado por tres monomios se llama trinomio, . P(x)= x  x  1 ,
Si un polinomio está formado por dos monomios se llama binomio, P(x)=
si está formado por cuatro se llama cuatrinomio, y a partir de aquí diremos que es un polinomio de cinco términos ,de
seis, siete, etc....
Observa que los polinomios se suelen escribir ordenados, de mayor a menor, atendiendo al grado de los
términos que lo forman.
Por último, necesitarás saber que los polinomios pueden ser completos, P(x)= 3x  2 x  8 x  5 ó
3
2
incompletos, P(x)= x  4 x  7 (observa que le falta el término en “ x ”).
3
2
6. para sumar polinomios
5x
2
 

 2 x  3  7 x 3  x 2  5x  1  5x 2  2 x  3  7 x 3  x 2  5x  1 
7 x  5x  1x  2 x  5x  3  1  7 x 3  4 x 2  7 x  2
3
5x
2
2
2
 

 2 x  3  7 x 3  x 2  5x  1  5x 2  2 x  3  7 x 3  x 2  5x  1 
 7 x 3  5x 2  1x 2  2 x  5x  3  1  7 x 3  6 x 2  3x  4
RECUERDA: un signo
menos delante de un
paréntesis cambia el
signo de todos los
términos que se
encuentren dentro
del paréntesis
Observa que lo único que tienes que hacer es agrupar los
monomios semejantes y escribir el polinomio final ordenado.
Dados los polinomios: p( x)  5x 2  3x  2, r ( x)  x  1, q( x)  2x 3  1. Efectúa las siguientes operaciones:
a) p( x)  q( x) =
b) p( x)  q( x) =
c) p( x)  q( x) =
d) p( x)  r ( x) =
e) r ( x)  q( x) =
f) p( x)  r ( x) =
Trabajo individual
Trabajo extraclase
Si se tiene una pista de atletismo cuya distancia es desconocida, por tanto se puede representar por medio de “x”, se
encuentran dos atletas en los sentidos opuestos, además hay que tener en cuenta que la distancia de uno de ellos
recorre es la mitad de la del otro. Además la velocidad de cada uno de ellos se reduce a la mitad en cada unidad de
tiempo transcurrida.
1. Realice un gráfico a partir del cual se puedan ver los recorridos de los atletas.
2. En qué momento se producirá en encuentro de los atletas.
3. Si la velocidad de los atletas está dada en metros por segundo. ¿qué distancia habrá recorrido cada uno de ellos
en: 1, 2, 3, 4, 5,..n minutos? Utilice una tabla para representar las cantidades.
4. ¿en dónde va el atleta más lento cuando el otro ha llegado a la meta?
5. ¿Cuánto le falta por recorrer al atleta más lento, cuando al otro le hace falta recorrer ¼ de la distancia de la
pista? ¿Por qué?
6. Qué pasa si la velocidad con la que parte el atleta más rápido es el triple la velocidad del otro. Realice el mismo
proceso anterior.
5
Desarrollo de competencias
- Utiliza y comprende las operaciones fundamentales al momento de hacer empleo de expresiones algebraicas en
la modelación y resolución de problemas.
- Reconoce las propiedades de figuras geométricas empleando variables para establecer relaciones a partir de sus
lados reconociendo y justificando propiedades.
- Emplea mecanismos de solución de problemas de manera general acomodándolos a las representaciones que
más se facilitan.
Actividad de conexión interdisciplinar
1. ¿Qué edad tiene ahora Pedro si su edad dentro de 12 años será el triple de la edad que tenía hace 6 años?
2. El perro de Alex tiene hoy 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Alex tendrá el triple de la edad de su perro.
¿Cuál es la edad de Alex y la de su perro?
3. Mezclando 15 kg de arroz de 0.60 $/kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 0.78
$/kg. ¿Cuál será el precio de la segunda clase de arroz?
4. Se mezclan 30 Kg de café de 72 $/kg con cierta cantidad de café pluma superior de 96 $/kg resultando la mezcla
a 87 $/kg. ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?
5. Unos ladrones salen huyendo a 120 km/h por una carretera. La policía sale en su persecución media hora
después, a la 1 de la tarde, desde el mismo sitio a 140 km/h. ¿Cuándo atrapa la policía a los ladrones?
6. Resolver las siguientes ecuaciones para poder completar el crucigrama.
Verticales
1) 3x + 2 = 32
2) x/5 = 16
3) 2x + 8 = 440
5) 2x - 9 = x + 18
8) 9x + 9 = 900
9) ¼ x - 2 = 250
13) x/3 - 11 = x - 233
15) x + 5 = 2x - 80
Horizontales
3) 7x - 4 = 171
4) 8x - 920 = 7,080
6) ½ x + 8 = 88
7) 5x = 35,745
10) 4x - 4 = 3x + 6
11) 5/2 x + 40 = 500
12) x/9 - 43 = 1,000
14) x/7 - 5 = 0
16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8
Actividad de conexión con las TIC y enlaces
Teniendo en cuenta la siguiente dirección http://www.genmagic.net/mates5/expalgeb1c.swf busca diferentes tipos de
polinomios y realiza las operaciones indicadas, anotando mínimo 5 ejemplos y mostrando la respuesta
6
justificada.
Prueba tipo ICFES
Los puntos del uno al cuatro se responden con base en la siguiente expresión:
(9d3-4b2-8d-1)/(7x+y)
1. La expresión consta de
a. Dos términos
b. Cuatro términos
c. Seis términos
d. Ocho términos
2. Las variables de la expresión son
a. (x,y)
b. (d,b,x,y)
c. (d,x,b)
d. (y,x,b)
3. Las constantes de la expresión son
a. (7,1)
b. (9,4,8)
c. (9,4,8,1,7)
d. (9,4,8,7)
4. La expresión es un
a. Monomio
b. Binomio
c. Trinomio
d. Polinomio
5. El resultado de la expresión (x2y4z4)*(x2y5z8) es
a. X4y20z32
b. x4y9z12
c. 2x4+2y20+2z32
d. x2yz4
Las preguntas seis y siete se responden con base en el siguiente enunciado: Un número aumentado en 42 da -100
6. La ecuación correspondiente al enunciado es
a. x - 42 = 100
b. x + 42 = 100
c. x + 42 = -100
d. x - 42 = -100
7. El resultado de la ecuación es
a. 58
b. -58
c. 142
d. -142
7
Taller de repaso
1.
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:
a) La mitad de un número.
b) Añadir 5 unidades al doble de un número.
c) La suma de un número y el doble del mismo.
h
d) El área de un triángulo de base b y altura h.
b
e) La resta de un número par y su siguiente.
f) La suma de tres números consecutivos es 21, la suma de tres números pares consecutivos y la suma de tres
números impares consecutivos
g) Dos números pares consecutivos suman 10.
h) El producto de tres números consecutivos es 120.
i) El producto de dos números pares consecutivos es 48.
j) Unos pantalones y una camisa cuestan en total 12000 pesos. La camisa cuesta 6000 Pesos menos que los
pantalones.
k) Al aumentar el lado de un cuadrado en 2 cm su superficie aumenta en 24 cm 2.
l) La diferencia entre los cuadrados de un número y el número anterior a éste es 21.
m) La suma de dos números es 22 y su diferencia es 8.
13 cm
n) En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 cm
Y los catetos se diferencian en 7 cm. Expresar el teorema
de Pitágoras en función de cualquiera de los dos catetos.
ñ) Las dos cifras de un número suman 12. Si se invierte el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades.
o) De dos números sabemos que el cociente entre el mayor y el menor es 3 y el resto es 4, mientras que el cociente
entre ambos es exactamente igual a 2 al aumentarlos en 7 unidades cada uno.
2.
Expresa en lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas:
a) x/2
b) x2 + 2x
e) y/2 + y2
f) (x + y)·(x - y) g) x2 - y2
i) a2 + b3
x3  y 3
2
j)
c) n(n +1)
k)
d) a2 = b2 + c2
h) (x - y)2
x2  2
8
3. Halla el valor numérico del polinomio p(x) = x3 - x2 + x - 1 para x = 1, x = 2, x = -1, x = -2 y x = 0.
p(1) =
p(2) =
p(-1) =
p(-2) =
p(0) =
4. Siendo p(x) = 3x3 - x2 + 2x, q(x) = 3x3 + x2 - 3x - 4 y r(x) = 2x2 - 7x + 6, calcula:
a) p(x) - q(x) + r(x) =
c) p(x) - [q(x) + r(x)] =
b) p(x) + q(x) - r(x) =
d) r(x) - [p(x) - q(x)] =
5.
Dados los polinomios a(x) = -3x4 - 5x2 + 1, b(x) = x3 - 6x + 3, c(x) = 3x4 – 4x3 - 5x2 + 6 y d(x) = -x3 + 6x + 4, calcula:
a) [a(x) + b(x)] - [c(x) + d(x)] =
c) [c(x) - d(x)] - [a(x) - b(x)] =
b) [a(x) + d(x)] - [b(x) + c(x)] =
d) [d(x) - b(x)] + [a(x) - c(x)] =
6.
Siendo p(y) = 2y2 - 3y2 + 4y - 5, q(y) = -y3 + 2y2 - 2y + 4 y r(y) = y3 + y2 - 6y + 2, calcula:
a) p(y) + q(y) + r(y) =
d) p(y) – [q(y) - r(y)] =
b) p(y) + [q(y) - r(y)] =
e) q(y) - r(y) - p(y) =
c) p(y) - q(y) + r(y) =
f) q(y) – [r(y) + p(y)] =
7.
Dados p(t) = 2t2 - 3t + 4, q(t) = 5t3 - 2t2 + 4t - 6, r(t) = 3t3 – 5t + 8 y s(t) = 4t3 - 3t2 + 2t - 1, calcula :
a) [p(t) + q(t)] – [r(t) + s(t)] =
c) q(t) - p(t) + r(t) - s(t) =
b) p(t) - [q(t) - r(t)] - s(t) =
d) q(t) + [p(t) - r(t)] - s(t) =
Bibliografía
 Batanero, C., Font, V., Godino, J. (2003). Fundamentos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Documento recuperado de internet (disponible en red). En: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
 ROMERO, Isabel (1997). La introducción del número real en la enseñanza secundaria. Granada España. Editorial
Comares.
 http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena7/1quincena7.pdf
 http://www.tareasplus.com/ejercicios-resta-de-expresiones-algebraicas/
9