Instituto Profesional y Técnico de Veraguas Grupo: Sección

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno o la Alumna: _______________________________
Grupo: 10º ______
Sección: Bachiller Industrial y Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
Tel.: 958-5804
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4
Ecuaciones Algebraicas
4.0 ÁREA: Álgebra
4.1 OBJETIVOS

Resuelven ecuaciones de primer grado haciendo uso de procedimientos algebraicos.
4.2 INTRODUCCIÓN
Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palabra igual ya que es
fundamental para todo lo sé que realiza en Matemática. Pero describir tal palabra puede no ser tan
sencillo como parece. Cuando se escribe:
1 3
3
 27   3  1 no significa que el símbolo de la
4
4
izquierda coincide con el de la derecha. En cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo
representan al mismo número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual
en Matemática.
A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo “=”.
x 2  9  x  3x  3 y
Cuando se escribe:
x2  9  0
Se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente. En el primer caso, se está haciendo
una afirmación. Se afirma que no importa qué número representa x , la expresión de la izquierda y la
expresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número.
Este no puede ser el
significado que debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la cual es:
¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la igualdad x 2  9  0 representen al
mismo número?
Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variable, se llama identidad. Aquella
que es válida sólo para algunos valores, recibe el nombre de ecuación condicional. Otra gran
diferencia entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
1
ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Ambas son operaciones muy importantes en
Matemática.
4.3 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN
Definición 1: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una
de las expresiones involucra variables (letras).
Ejemplos 1: a) 2x  3x  5
2
b) 4 x  x  7  2 x
8x
c) 5 
y
Definición 2: resolver una ecuación lineal es encontrar o hallar el
Si x  a  b
x  b a
Si x  a  b
x  b a
valor de la incógnita (que por lo general es x ) para el cual se cumple
Si
o se satisface la igualdad.
x 
Regla práctica para resolver una ecuación: cuando se resuelve una
ecuación se trasladan los términos de un miembro a otro, se traslada
siempre con la operación opuesta; es decir, si está sumando pasa
xa  b
Si
restando; y si ésta multiplicando pasa dividiendo y viceversa.
b
a
x
 b
a
x  ba
4.3.1 ECUACIONES SIMPLES
Definición 3: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple
para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene solo una variable o incógnita con
exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
En una ecuación, a la expresión algebraica de lado izquierdo del signo igual ( = ) se le llama primer
miembro y la del lado derecho, segundo miembro.
4.3.2 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Definición 4: Sean a ; b y c constantes reales con a  0 . Se llama ecuación lineal o ecuación de
primer grado con una incógnita a toda igualdad que consiste en encontrar el valor de la variable o
incógnita, y la ecuación presenta la siguiente forma general: ax  b  c ; a  0
Ejemplos 2: 1)  3x  2  0
2)
2
x  2  0
5
3) x  3
Definición 5: Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo conjunto solución,
decimos que son ecuaciones equivalentes entre sí.
Ejemplo 3: El conjunto solución de 2 x  3  13 es S   5 
El conjunto solución de 4 x  6  26 es S   5 
Como 2 x  3  13 y 4 x  6  26 tienen el mismo conjunto solución, entonces son ecuaciones
equivalentes entre sí.
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2
4.3.3 ECUACIONES CON COEFICIENTE FRACCIONARIO
Definición 6: Son ecuaciones algebraicas en donde aparecen números fraccionarios, porque las
variables aparecen multiplicadas por fracciones, y se resuelven multiplicando ambos miembros de la
ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
20 
3

5
Ejemplo 4: 12  x  4   12  x 

6 
4

6
36
60
240
x  48 
x
Se eliminan los paréntesis efectuando
4
6
6
9 x  48  10x  40
Las fracciones resultantes siempre pueden convertirse en enteros
9 x  10x  40  48
Trasladando los términos
 x 8
Simplificando la expresión
x 8
8
S
Multiplicando por  1 a ambos lados
La solución
4.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para
modificar ecuaciones:
1. Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no
varían.
2. Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero,
no varían sus soluciones.
Ejemplo 5: 7 x  4  3x  8
7 x  4  4  3x  8  4
Sumando 4 a ambos lados
7 x  3x  12
Simplificando la expresión
4 x  12
Restando 3 x al miembro izquierdo
x3
Dividiendo entre 4 a ambos lados
S
 3
La solución
Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución de la ecuación.
La
verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza
sustituyendo dicho valor en la ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una
identidad; así, en el ejemplo anterior, haciendo x  3 en la ecuación dada, resulta:
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3
7 x  4  3x  8
7 3  4  3 3  8
21  4  9  8
17  17 Lo cual es cierto
4.5 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES SENCILLAS
1) 5 y  6 y  81  7 y  102  65y
11y  81  72y  102
11y  81 81  72y  102 81
11y  72y  183
11y  72y  183
Sumando 81 a ambos lados
Agrupando términos semejantes
Restando 72y a ambos lados
 61y  183
Agrupando términos semejantes
Dividiendo entre  61 a ambos lado
y  3
S
Agrupando términos semejantes
  3
La solución
2) 5  3x   4 x  6  8x  11  3x  6
5  3x  4 x  6  8x  11  3x  6
x  1  5x  17
x  1  1  5x  17  1
x  5x  18
 4 x  18
x
9
2
 9
S  
 2
Eliminando los paréntesis
Agrupando términos semejantes
Sumando 1 a ambos lados
Restando 5 x a ambos lados
Agrupando términos semejantes
Dividiendo entre  4 a ambos lado
La solución
3) 2 x  5  7  4 2  3x  1
2 x  10  7  8  12x  1
2 x  12x  8  1  10  7
14x  12
x 
12
14
Eliminando los paréntesis
Agrupando términos semejantes
Sumando 1 a ambos lados
Dividiendo entre 14 a ambos lado
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4
x 
6
7
Simplificando entre 2
 6
S  
7
La solución
4.6 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
Para resolver ecuaciones fraccionarias o ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros
de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
1)
x 1
x2
x3
x5


 
2
3
4
5
El mínimo común múltiplo de 2, 3, 4 y 5 es 60 .
 x  1
 x  2
 x  3
 x  5
60
  60
  60
   60
 Multiplicando por 60 ambos miembros de la ecuación
 2 
 3 
 4 
 5 
30x  1  20x  2  15x  23   12x  5
30x  30  20x  40  15x  45   12x  60
 5x  55   12x  60
7 x  55  60
7x  5
x
5
7
 5
S  
7
Eliminando los paréntesis
Agrupando términos semejantes
Sumando 12 x a ambos lados
Restando 55 a ambos lados
Dividiendo entre 7 a ambos lado
La solución
4.7 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces
mayor que la edad del hijo?
Solución: Años 
 x
35  x  3  5  x 
35  x  15  3x
 3x  x  15  35
 2 x   20
 20
x
2
x  10
Respuesta: Al cabo de 10 años.
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5
2. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
Solución: 2 x 
x
 54
2
 x
2 2 x   2    2 54
2
4 x  x  108
3 x  108
108
3
x  36
x
Respuesta: El número es 36.
3. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro
mide 30 cm?
Solución: Altura 
 x
Base 
 2 x
Utilizando la fórmula del perímetro de un rectángulo.
p  2  x  2  2x
30  2  x  2  2 x
30  2 x  4 x
30  2 x  4 x
Respuesta: Altura 
 5 cm
Base 
 10cm
30  6 x  x  5
4. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de
hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96
personas?
Solución: Hombres 
 x
Mujeres 
 2 x
Niños 
 3 x  2 x  33x  9 x
x  2 x  9 x  96
12x  96
96
x
12
x8
Respuesta: Hombres 
 8
Mujeres 
 2 8  16
Niños 
 98  72
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6
5. Se han consumido
lleno hasta sus
Solución: x 
7
de un bidón de aceite (galón). Reponemos 38 litros y el galón ha quedado
8
3
partes. Calcula la capacidad del galón.
5
7
1
x x
8
8
1
3
x  38  x
8
5
1 
3 
40 x   4038  40 x 
8 
5 
5 x  1520  24x
1520  19x
x  80
Respuesta: La capacidad del galón es de 80 litros.
6. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos
hay?
Solución: Cerdos 
 x
Pavos 
 35  x
4 x  2 35  x   116
4 x  70  2 x  116
4 x  2 x  116  70
2 x  46
46
2
x  23
x
Respuesta: Cerdos 
 23
Pavos 
 35  23  12
7. Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de
las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
Solución: Unidades 
 x
Decenas 
 x  1
Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos descomponerlo, de este modo:
6  10  5
Nuestro número de dos cifras es: x  1  10  x
Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x  x  1  2 x  1 , tendremos:
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7
x  1  10  x  6 2 x  1
10x  10  x  12x  6
10x  x  12x  6  10
 x 4
x4
Unidades 
 4
Decenas 
 4  1  5
Número

 54
Respuesta: El número es 54.
8. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A
mide 40° más que B.
Solución: C 
 x
B 
 x  40º
A 
 x  40º  40º  x  80º
Luego:
x  x  40º  x  80º  180º
3x  120º  180º
3x  180º  120º
3x  60º
x  20º
Respuesta:
C  20º
B 
 x  40º  20º  40º  60º
A 
 x  80º  20º  80º  100º
PRACTICA
I. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
1) 12x  12  16x  8
4) 4 
10 x  1
16 x  3
 4x 
6
4
7) 3x  8  x   3  2 x  1  x 
10)
3x x

 28
5
3
2) 2x  5  3  x  4
5) x  1 
x3 3

4
5
8) 7 x  1  4 x  20
11)
4x  2
 x3
2
3) x  {5  3x  [5x  x  6]}   3
6)
3x
5x
2
 1
4
6
9) 10x  14  4  100
12)
3x  1 3  2 x

4
3
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8
13)
x x  1 5  2x


3
2
4
14)
5x  4
 x2
3
x 2x
15) 2  5  9
II. Resuelve los siguientes problemas de aplicación
1) Un padre tiene 36 años y su hijo 8. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre dos veces mayor que la edad del hijo?
2) Si al triple de un número se le suma su mitad resulta 105. ¿Cuál es el número?
3) La base de un rectángulo es triple que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro
mide 48 cm?
4) En una reunión hay doble número de mujeres que de niños y triple número de hombres que
de niños y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen
108 personas?
5) Una granja tiene vacas y gallinas, en total hay 38 cabezas y 120 patas. ¿Cuántos vacas y
gallinas hay?
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
9