Teorema de GREEN

Teorema de Green
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre
una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y
una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema
de Green se llama así por el científico británico George Green y es un
caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada,
diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada
por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una
región abierta que contiene D,
A veces la notación
se utiliza para establecer que la integral de línea está
calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la
curva cerrada C.
Relación con el teorema de la divergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía
bidimensional del teorema de Stokes:
donde
es el vector normal
saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha
de la ecuación. Como
es un vector apuntando
tangencialmente a través de una curva, y la curva C está
orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido
de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector
normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la
derecha, el cual podría ser
vector es
. El módulo de este
. Por lo tanto
Tomando los componentes de
convierte en
.
, el lado derecho se
que por medio del teorema de Green resulta:
Ejemplo 1
Utilice el Teorema de Green para evaluar la Integral de Línea a lo
largo de la curva dada.
, donde C es la frontera de la región
limitada por la parábola
Primero graficamos la región y que deseamos integrar y describimos
su dominio.
Luego se procede a determinar las derivadas parciales.
y
Ahora aplicando el Teorema de Green:
Nótese que la integral obtenida por medio del Teorama De Green es
mas sencilla.
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