tema 7 – geometría analítica

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 7 – GEOMETRÍA ANALÍTICA
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.7.1 Concepto y propiedades de los vectores
O.7.2 Operaciones con vectores: suma, resta, producto escalar ángulo entre vectores
O.7.3 Ecuaciones de la recta: paramétrica, continua, vectorial. Transformación entre ellas.
O.7.4 Posiciones relativas de dos rectas.
O.7.5 Ecuación de la circunferencia.
O.7.6 Posiciones relativas entre rectas y circunferencias
1 Vectores (Página 136)
Def. Vector: Es un segmento orientado. Sus elementos son:
Dirección: la recta en la que está contenido
Sentido: uno de los dos polos de la dirección hacia el que apunta el vector. Se indica con
una fecha.
Módulo: o intensidad es la longitud del vector, tiene relación con la intensidad de la
magnitud que representa.
Punto de aplicación: punto del espacio donde se aplica el vector.
Tipos de Vectores
Vectores equipolentes: Son los que tienen igual sentido y módulo y direcciones
paralelas.
Vector deslizante: Es aquel cuyo punto de aplicación puede moverse libremente a lo
largo de su dirección
Vector libre: Es un vector que representa a una familia de vectores equipolentes. Se
indica con las coordenadas cartesianas de su extremo supuesto su origen en el origen de
coordenadas.
Las coordenadas del vector de origen el punto A (a1,a2) y de extremo el punto B (b 1,b2)
son
⃗
AB= (b1− a 1,b 2− a 2)
2. Operaciones con vectores libres (Página 138)
Suma analítica: La suma o resta de dos vectores se obtiene sumando o restando las
coordenadas respectivas de los vectores sumandos.
Suma vectorial: para sumar dos vectores vectorialmente se sitúa uno a continuación del
otro. El vector resultante va desde el origen del primero al extremo del segundo. Para
restar dos vectores se suma al minuendo el vector opuesto del sustraendo.
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Apuntes de Área
Para multiplicar un vector por un escalar se multiplican las coordenadas del vector por
el escalar. El resultado es un vector de la misma dirección y sentido y con el módulo igual
al vector original multiplicado por el escalar.

 
Combinación lineal de vectores:Un vector
 wescombinación lineal de uy v si existen
números reales a y b tales que w = a· u + b·, v en ese caso u, v y w son linealmente
dependientes.
Descomponer un vector
que
.

 
w en otros dos u y v



w = a· u + b· v
es encontrar los escalares a y b tales
El módulo de un vector se calcula utilizando pitágoras entre sus dos componentes:
u =
u12 + u22
Las coordenadas del punto medio M de un segmento AB se calcular como:
M
(a 1+ b1) (a 2+ b2)
,
2
2
(
)

El producto escalar de dos vectores u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v 2 ) es un número k que se
calcula multiplicando las coordenadas de los dos vectores y sumando el resultado.
 
k  u  v  u1·v1  u2 ·v 2
también puede calcularse como

k =| u | v  cos(u,v)
El ángulo que forman dos vectores se puede calcular despejando el coseno de la fórmula
del producto escalar.
 
 (u  v ) 
α = arcos   
 u  v  
Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar vale cero.
Distancia entre dos puntos del plano.
La distancia entre dos puntos A y B del plano es el módulo del vector AB. Se expresa
d(AB).
División de segmentos en partes iguales
Para dividir un segmento en partes iguales se utiliza el teorema de tales dividiendo sus
coordenadas.
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3 Ecuaciones de la recta (Página 142)



 Ecuación vectorial: p = a + t  u
 Ecuaciones paramétricas: Se obtienen separando la ecuación vectorial en
componente
x = a1 + t·v1
y = a2 + t·v2
 Ecuación continua: Se despeja el parámetro t de las paramétricas y se igualan los
resultados x  a
ya
1
v1
=
2
v2
 Ecuación general: A·x + B·y + C=0
 Ecuación punto pendiente:
y-a2 = m (x-a1)
 Ecuación explícita: y = m·x + n siendo m la pendiente de la recta y n la ordenada
en el origen.
 Ecuación segmentaria: Siendo p y q los puntos de corte de la recta con los ejes de
coordenadas.
x y
+ =1
p q
 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Siendo (a1,a2) y (b1,b2) los dos
puntos por los que pasa la recta.
x  a1
y  a2
=
a1  b1 a2  b2
4. Posiciones relativas de dos rectas (página 144)
Haz de rectas que pasan por un punto: se utiliza la ecuación continua y se modifica el
vector.
Haz de rectas paralelas: Se utiliza la ecuación explícita modificando la ordenada en el
origen.
Rectas perpendiculares: Se utiliza la ecuación general de la recta, cambiando los
coeficientes A y B por –B y A respectivamente.
Def. Rectas secantes: tienen sólo un punto en común
Def. Rectas paralelas: no tienen ningún punto en común
Def. Rectas coincidentes: tienen infinitos puntos en común
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Para calcular la posición de dos rectas se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas que se forma con las ecuaciones de las dos rectas. La posición depende de
que el sistema tenga una solución, ninguna o infinitas.
5. Ecuaciones de la circunferencia
 Ecuación centro radio: (x-a1)2 + (y-a2)2 = r2
 Ecuación general de la circunferencia: A·x2 + B·y2+ C·x + D·y + E = 0
Posiciones relativas de dos circunferencias.
Dos líneas son secantes: cuando tienen dos puntos en común
Dos líneas son tangentes: cuando tienen sólo un punto en común
Dos líneas son exteriores: cuando no tienen ningún punto en común
Para calcular la posición relativa de dos circunferencias se resuelve el sistema de
segundo grado de dos ecuaciones con dos incógnitas que se forma con sus ecuaciones.
La posición depende de que el sistema tenga una solución (circunferencias tangentes),
dos soluciones (circunferencias secantes), o no tenga ninguna (no se cortan)
Posiciones relativas de rectas y circunferencias
Para calcular la posición de una recta y una circunferencia se resuelve el sistema de
segundo grado de dos ecuaciones con dos incógnitas que se forma con las ecuaciones de
la recta y la circunferencia. La posición depende de que el sistema tenga una solución,
dos soluciones, o no tenga ninguna.
6. Cónicas
Def. Parábola: es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo llamado
foco, F, y de una recta fija llamada directriz.
 Eje de simetría es la recta perpendicular a la
directriz trazada desde el foco.
 Vértice es el punto de corte del eje de simetría
con la parábola.
 Parámetro es la distancia existente entre el
foco y la directriz (p)
 Radio vector es el segmento que une un punto
cualquiera de la parábola con el foco.
(x-vx)2=2p(y-vy)2
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Apuntes de Área
Def. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante.
 Distancia focal es la distancia
existente entre los focos (2c)
 Ejes de simetría, son dos, horizontal
y vertical
 Centro es el punto conde se cortan
los ejes (O)
 Vértices: son los puntos de corte de
los ejes con la elipse.
 Eje mayor o focal (2a) y eje menor o
secundario (2b).
 Radios vectores son los segmentos
que unen un punto cualquiera de la
elipse con los focos.
 Excentricidad es la razón entre la semidistancia focal y el semieje mayor e=c/a
x2/a2 + y2/b2 = 1
a2=c2+b2
Def. Hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constantes.







Distancia focal es la distancia existente
entre los focos (2c)
Ejes de simetría horizontal y vertical.
Centro es el punto de intersección de
los ejes
Vértices son los puntos de corte del eje
principal con la hipérbola
Eje mayor o focal (2a) y menor o
secundario (2c)
Radios vectores son los segmentos que
unen un punto cualquiera de la
hipérbola con los focos.
Asíntotas son las diagonales que pasan
por el origen de coordenadas.
 y=bx/a, y=-b/ax
 Excentricidad es la razón entre la semidistancia focal y el semieje mayor
e=c/a
X2/a2 – y2/b2 = 1
c2=a2+b2
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