Visualización, semiosis e intuición en la enseñanza de las funciones en matemáticas

VISUALIZACIÓN, SEMIOSIS E INTUICIÓN EN LA
ENSEÑANZA DE LAS FUNCIONES EN MATEMÁTICAS
INTRODUCCIÓN
Debido a que el tema de estudio está enfocado hacia la Visualización, se ha creído conveniente y −sobre todo
necesario− elaborar un artículo que hable de esta teoría del pensamiento.
De este modo, aquí encontraremos algunos puntos de vista sobre la Visualización como un proceso del
pensamiento matemático, primero revisando algunas posturas de teóricos sobre este menester, para después
acercarnos a la idea de pensamiento matemático.
En un segundo momento, estudiaremos la Teoría de Semiosis; esto, porque las representaciones están
fuertemente ligadas con la Visualización; así, basados en los estudios de R. Duval abordaremos tres
actividades cognitivas ligadas a la Semiosis: a) La formación de una representación identificable; b) El
tratamiento de una representación, y c) La Conversión de una representación, explicando brevemente a qué se
refiere cada una. Además de que reflexionaremos en la afirmación de: No puede haber noesis sin semiosis.
Para un tercer momento, se explica de forma muy breve la Teoría de Intuición en las matemáticas y ciencias,
desarrollada por Efraim Fischbein. Encontraremos descritas las propiedades de la Intuición, relacionándolas
con hechos reales que con regularidad acontecen en el aula, reflexionando sobre nuestras prácticas
pedagógicas y los procesos de aprendizaje de los contenidos matemáticos.
Nos daremos cuenta cómo la intuición ha sido relegada en los salones de clase, debido a que la gran mayoría
de profesores cree erróneos e incluso inútiles los procesos intuitivos que los estudiantes pueden aportar ante
una situación problemática, considerando los procesos formales −que él explica− como únicos y válidos en
los aprendizajes.
1. LA VISUALIZACIÓN COMO UN PROCESO
DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
1.1. ¿Qué se entiende por Visualización?
A continuación se presenta un par de definiciones que presentan dos teóricos mexicanos con lo que concierne
a visualización.
Por un lado, Hitt (2002, p. viii), destaca que:
La visualización matemática tiene que ver con el entendimiento de un enunciado y la puesta en marcha de una
actividad, que si bien no llevará a la respuesta correcta sí puede conducir al resolutor a profundizar en la
situación que se está tratando. Una de las características de esta visualización es el vínculo entre
representaciones para la búsqueda de la solución a un problema determinado.
Mientras que Cantoral y colaboradores (2000, p. 146), escriben que:
... se entiende por visualización la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y
reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas áreas del
conocimiento matemático y, más generalmente, científico.
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De los dos párrafos anteriores, se destacan posturas que convergen, si no textualmente, sí en las ideas, pues
Hitt habla de un vínculo entre representaciones, mientras que Cantoral señala una habilidad para representar,
además de considerar a la visualización como un proceso que es empleado en la matemática (y demás
ciencias).
Por otra parte, reconoce Cantoral que la visualización, es un aspecto que está siendo descuidado en la
enseñanza. −Aseverando que− si queremos lograr que nuestros alumnos aprendan matemáticas,
inevitablemente tienen que visualizar. Pero la visualización no se entrena en la escuela y debe ser entrenada,
es decir, es una habilidad que tiene que ser desarrollada a lo largo de la vida de un estudiante.
Como se observa, se hace un llamado a los profesores de matemáticas para incorporar, promover y desarrollar
el proceso de visualización en la escuela con los estudiantes.
Cabe apuntar que, se debe hacer una diferenciación entre ver y visualizar, de tal suerte que el ver se reduce a
una capacidad fisiológica, mientras que la visualización es un proceso cognoscitivo −propio del ser
humano− que está vinculado con la cultura del sujeto: historia, ideología, tradiciones, costumbres, valores,
etc.
1.2. Pensamiento matemático
El Dr. Ricardo Cantoral y coautores con su obra Desarrollo del pensamiento matemático tienen el objetivo de
profundizar en el conocimiento del pensamiento matemático, a fin de favorecer decisiones relativas a la
elaboración y análisis de situaciones didácticas en el campo de la matemática escolar.
¿Qué entendemos por pensamiento matemático?
Se refiere a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Los
investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente un contenido
específico, en nuestro caso, las matemáticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de
comprensión de los conceptos y procesos propiamente matemáticos (p. 18).
Cantoral y coautores describen tres formas distintas de interpretarse el pensamiento matemático (p. 19), a
saber:
• ...reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de su conocimiento y sobre la
naturaleza del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas.
• ...parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan
en la resolución de tareas.
• ...se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.
Quiere decir que todos tenemos la potencialidad para lograr un pensamiento matemático en la medida que
nuestra experiencia vaya desarrollándose, sólo que este pensamiento depende de nosotros; y más aún, en el
papel de profesores debemos promover en nuestros alumnos un pensamiento matemático a través nuestras
prácticas pedagógicas que deberán ser cada vez más innovadoras.
Ahora bien, se ha reconocido que el pensamiento matemático en un sentido moderno incluye por un lado,
pensamientos sobre tópicos matemáticos, y por otros procesos avanzados del pensamiento como abstracción,
justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis (p. 20).
2. REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA
2.1. ¿Qué es la Semiología?
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La semiología es la ciencia que estudia los sistemas de signos: lenguas, códigos, señalizaciones, etc.
Ferdinand de Saussure la concibió "como la ciencia que estudia la vida de los signos en el seno de la vida
social".
Actualmente, no hay consensos, ni autor que se atribuya o tome la iniciativa de plasmarla en una especie de
manual.
Se propone que la semiología sea el continente de todos los estudios derivados del análisis de los signos.
(Wikipedia, 2004).
La descripción anterior de la Semiología, orienta nuestra atención a los signos. Del mismo modo,
Raymond Duval (1999−a) habla de la semiosis, sólo que relacionada con las representaciones,
escribiendo que:
Las representaciones semióticas, es decir, aquellas producciones constituidas por el empleo de signos
(enunciado en lenguaje natural, fórmula algebraica, gráfico, figura geométrica...) no parecen ser más
que el medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales; es decir,
para hacerlas visibles o accesibles a los otros. Las representaciones semióticas estarían, pues,
subordinadas por entero a las representaciones mentales y no cumplirían más que funciones de
comunicación. (p. 14).
Sin embargo, el mismo Duval advierte que, las representaciones mentales cubren al conjunto de
imágenes y, globalmente, a las concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una
situación y sobre lo que está asociado. (Duval, 1999−b). De este modo, estaremos de acuerdo en afirmar
que Las representaciones no solamente son necesarias para fines de comunicación, sino que son
igualmente esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento. (Duval, 1999−b).
Por otra parte, debemos dirigir nuestra atención a la noesis, que es considerada como la aprehensión
conceptual de un objeto, pero la interrogante es ¿cómo el pensamiento humano puede apropiarse de un
objeto y conceptualizarlo? Tendremos que pensar en algo que ayude a interiorizar el objeto; esta
operación descansará en una representación que, parece ser ese algo que facilite la interiorización de tal
objeto.
Con lo anterior, concluimos que no puede haber noesis sin semiosis; es decir, no puede haber aprensión
conceptual de un objeto sin algún representante de éste; además de que tal objeto no debe ser
confundido con sus representaciones de varios registros.
Pensemos en algún signo, por ejemplo 1, éste es un ente abstracto, y lo distinguimos como un número y, de
hecho, todos los números son entes abstractos; sin embargo hay una representación semiótica para referirnos
de él, y esta representación es interiorizada (codificada) a través de la noesis, lo cual provoca interiorizar ese
signo como el número uno.
2.2. Tres actividades cognitivas ligadas a la Semiosis
− La formación de una representación identificable
Para conseguir la formación de una representación identificable, debemos llevar a cabo una selección de
rasgos y de datos en el contenido por representar; tal selección depende de unidades y reglas de formación que
son propias del registro semiótico en el cual se produce la representación.
Dicha formación respetará las reglas del registro y éstas asegurarán en primer lugar, las condiciones de
identificación y de reconocimiento de la representación y, en segundo lugar, la posibilidad de su utilización
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para los parámetros. Son reglas de conformidad, no son reglas de producción efectiva de un sujeto. (Duval,
1999−b, p. 177).
− El tratamiento de una representación
Cuando nos referimos al Tratamiento de una representación, debemos pensar en una transformación que se
lleva a cabo dentro del mismo registro donde ha sido formada dicha representación. El tratamiento es una
transformación interna a un registro.
Naturalmente, existen reglas de tratamiento propias de cada registro. Su naturaleza y su número varían
considerablemente de un registro a otro (Duval, 1999−b, p. 178). Así, en el caso del lenguaje algebraico,
tenemos por ejemplo, , [un binomio elevado al cuadrado] el cual está en un registro como una expresión
algebraica. La expresión puede verse como un producto de binomios siguiendo con el mismo registro:
expresión algebraica; o bien con la ley distributiva permaneciendo con expresiones algebraicas: en el mismo
registro de representación, provocando transformaciones de tratamiento.
− La Conversión de una representación
Al hablar de Conversión de una representación, nos referimos a la transformación de dicha representación a
una representación de otro registro. La conversión es una transformación externa al registro de partida.
Con el lenguaje gráfico podemos considerar el ejemplo de la función , vemos que es una expresión algebraica
que al ser transformada a otro registro puede representar una Parábola en los ejes coordenados, o bien,
también podemos transformarla a un registro de tabulación, donde nos daremos cuenta que el contradominio
es el cuadrado de cada elemento del dominio; o bien, si la transformamos a una representación de parejas
ordenadas, observaremos que las ordenadas son el cuadrado de las abscisas. Así, notamos que a pesar de que
los registros de representación sean diferentes, la idea de que allí hay una función (o relación) no se abandona.
Por lo tanto: La conversión es una actividad cognitiva diferente e independiente de la del tratamiento
(Duval, 1999−b, p. 178).
Sin embargo, el pasar de un registro de representación a otro (conversión) o representar un objeto en un
mismo sistema representación (tratamiento) no es tan evidente para los alumnos. Por ejemplo, en el caso de la
conversión de representaciones, si deseamos bosquejar la gráfica de la función , al alumno le cuesta trabajo
entender que gráficamente esa expresión es una recta que pasa por y tiene pendiente positiva .
Vemos entonces que los problemas que enfrentan los alumnos para realizar el tratamiento y la conversión de
representaciones, es una dificultad a la que Duval llama fenómeno de no−congruencia, el cual se da entre las
representaciones de un mismo objeto que provienen de sistemas semióticos diferentes y el pasaje entre ellas
no es inmediato. (Cfr. Duval, 1999−a).
De acuerdo con Duval, cuando los pasajes de una representación a otra se dan de manera espontánea, son
congruentes y deben cumplir con tres condiciones:
• Correspondencia semántica entre las unidades significantes que las constituyen.
• Igual orden posible de aprehensión de estas unidades en las dos representaciones, y
• Convertir una unidad significante en la representación de partida de una sola unidad significante en la
representación de llegada.
Pero cuando no se cumple alguna de las tres condiciones, entonces diremos que las representaciones no son
congruentes entre ellas y el pasar de una a la otra no es espontáneo.
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Igualmente puede ocurrir que dos representaciones sean congruentes en un sentido de conversión y no
congruentes en la conversión inversa. Por ejemplo y la representación gráfica cartesiana de dos cuadrantes
determinados respectivamente por los semi−ejes y positivos, y negativos, son congruentes si se pasa de la
escritura algebraica al gráfico, pero ya no lo son en el plano inverso. (Duval, 1999−a, p. 16).
Antes de continuar, merece atención destacar algo que es importante. Como ya hemos visto, las
transformaciones de tratamiento y de conversión son independientes; sin embargo, la última puede
confundirse con un par de actividades que están cercanas a ella: la codificación y la interpretación.
Duval (1999−b, p. 179) asegura, por un lado que, la interpretación requiere un cambio de marco teórico, o de
un cambio de contexto. Este cambio no implica un cambio de registro, sino que con frecuencia moviliza
analogías; y por otro que, la codificación es la trascripción de una representación en otro sistema semiótico
distinto de aquél donde está dada.
3. INTUICIÓN
Reconociendo a la matemática como una ciencia pura, que ha sido creada por el hombre a través de la historia
y que no ha sido «diseñada» −desde su estructura− para la enseñanza, podemos creer que su fundamento ha
sido riguroso, esto porque las fórmulas, axiomas, teoremas, conceptos, etc., son en nuestra visión sólidos,
llegando a creer, incluso, que la matemática está acabada, sin saber que aún hay problemas que no se han
podido resolver.
Esta visión sólida, que se hace rígida con argumentos de que la matemática es exacta, invita a pensar que su
evolución se ha basado en procesos formales, escondiendo los obstáculos por los que ha atravesado esta
ciencia. En otras palabras, pensamos muy a menudo que, todo el edifico matemático ha sido creado sin
dificultades y, que todo lo que está construido −en matemáticas− carece de intuición.
Sin embargo, si pensamos por ejemplo, en el Teorema de Pitágoras, sabemos que éste ya era utilizado en
China cientos de años antes de que Pitágoras (580−500 a.n.e.) naciera; así, debemos imaginar cómo es que
Pitágoras generaliza las operaciones que se venían dando. Seguramente, su intuición logró hacerlo, y ésta lo
llevó a proponer la fórmula que hoy conocemos: (el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma del
cuadrado de los catetos, para todo triángulo rectángulo).
Ahora bien, surge obligadamente una pregunta, ¿Qué se entiende por intuición? Algunos consideran la
intuición como algo despreciable para las ciencias, por ser de carácter inmediato; mientras que otros la
conciben cómo la fuente fundamental de cierto conocimiento; otros creen que representa un método particular
de atrapar la verdad, la esencia de la realidad [...] en nuestra interpretación [... la] intuición es una cognición
caracterizada por las siguientes propiedades (Fischbein, 2004):
La autoevidencia y la inmediatez. Una cognición intuitiva parece de manera subjetiva al individuo como
directamente aceptable, sin necesidad de una justificación intrínseca [...]
La certeza intrínseca. Aun cuando la autoevidencia y la certidumbre están altamente relacionados no son
reducibles una a la otra. [...] La alta intuitividad implica la combinación de un fuerte sentimiento de evidencia
con un elevado nivel de confianza.
La perseverancia. Las intuiciones son adquisiciones estables, resistentes a interpretaciones alternativas.
La coercitividad. Las intuiciones ejercen un efecto coercitivo sobre las estrategias de razonamiento del
individuo y sobre su selección de hipótesis y soluciones. [...] Las actitudes erróneas cognitivas inmaduras
pueden sobrevivir en el individuo aun después de que él haya sido abastecido de representaciones y
soluciones adecuadas.
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El status de la teoría. Una intuición es una teoría, nunca una mera habilidad o percepción. Expresa una
propiedad general percibida a través de una experiencia particular.
La extrapolaridad. Es a través de la intuición que extrapolamos de manera indirecta, a partir de una cantidad
limitada de información, a datos que están más allá de nuestra percepción directa (por ejemplo, de lo finito a
lo infinito). [...]
La globalidad. Una intuición es una cognición estructurada que ofrece una visión unitaria, global, en contraste
con el pensamiento lógico el cual es explícito, analítico y discursivo. [..]
La implicitez. Aun cuando aparentemente autoevidentes, las intuiciones están basadas en complejos
mecanismos de selección, globalización e inferencia. [...]
La función conductual cognitiva de las intuiciones. [...] la intuición es análogo de la percepción en el papel
simbólico. [..]
Estas características aportadas por Fischbein nos dan luz con lo que respecta a las formas de proceder de un
sujeto ante una situación. Específicamente, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, nos podemos dar
cuenta de los procesos intuitivos que desarrolla el estudiante cuando resuelve un problema, al mismo tiempo
que podemos diferenciarlos de los procesos formales desarrollados ante tal situación problemática.
Y como ya se mencionó en la coercitividad, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, vemos a un gran
número de alumnos que cometen errores en sus procesos, por ejemplo en la expresión , los alumnos
regularmente contestan que y cuando se explica que tanto con operaciones algebraicas (multiplicación en este
caso), como con una representación geométrica formado por un cuadrado con lado , los alumnos lo aceptan, se
convencen.
Con el ejemplo del cuadrado del binomio, vemos que la intuición de los alumnos dicta lo que ellos responden,
pero cuando aparecen algoritmos matemáticos, es decir, procesos «formales» como la multiplicación
algebraica, los alumnos desechan su intuición; sin embargo y a pesar de que los procesos hayan sido
formalizados en el aula, habrá alumnos que después, al enfrentarse otra vez ante esta situación, recuperen su
idea inicial: .
Lo anterior suele pasar con regularidad en los exámenes, (o quizás sea porque es cuando tenemos mayor
oportunidad de ver los procesos que los alumnos realizan) creando en el profesor cierta incertidumbre,
provocando dudas en su enseñanza. Esta posible desilusión en el profesor, provoca muchas veces un severo
rigor en la enseñanza y el aprendizaje, ocupándose menos de los procesos intuitivos de sus estudiantes, por
considerarlos no válidos e incluso inútiles. A esto, Fischbein pone atención y declara un vacío entre los
procesos intuitivos y formales, afirmando que tal vacío puede ser ocupado, a través de la solución de
problemas.
Ahora bien, revisando el enfoque de la enseñanza de las matemáticas, nos damos cuenta que su propuesta está
basada en la solución de problemas, tal como lo advierte Fischbein, sólo que no aparecen propuestas de cómo
dirigir la intuición hacia los procesos formales, no así, declara la importancia de reconocer y analizar los
distintos aspectos que componen un problema, elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas, reconocer
situaciones análogas, escoger y adaptar la estrategia adecuada, comunicar las estrategias, procedimientos y
resultados y desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo (Cfr. SEP, 1993, p. 37).
Conferencia dictada por el Dr. Ricardo Cantoral Uriza: Visualización y pensamiento matemático; estrategias
de enseñanza en 2002.
Todas las citas de este apartado 6.1.2. son tomadas de: CANTORAL, y otros. (2000).
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