Aplicación de los polinomios de Legendre Corrección de huellas

Universidad de Buenos Aires
Facultad De Ingenierı́a
7 de agosto de 2011
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Aplicación de los polinomios de
Legendre
Corrección de huellas dactilares
Autor:
Cuomo, Joaquı́n M.
Idea y Colaboración:
Lopez, Federico L.
61.18 - Ecuaciones Diferenciales
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenierı́a
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
.
Este trabajo no pretende ser original sino simplemente una compilación de información, por lo
tanto todos los contenidos son propiedad de los autores de las fuentes
(aquellos que figuren en la bibliografı́a).
2
Facultad de Ingenierı́a
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Índice
1. Identificación de personas mediante sus huellas dactilares
1.1. Contextualización histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Método de autentificación dactilar
4
4
5
2.1. Huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Modelo matemático en el procesamiento de imágenes
5
6
3.1. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1.1. Momentos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.2. Momentos de Zernike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.3. Momentos de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2. Breve desarrollo matemático de los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . 11
4. Aplicación de las técnicas de procesamiento de imágenes en la detección de
huellas dactilares
12
4.1. Detección de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2. Rotación de huellas dactilares utilizando momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. Generación de funciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5. Mediciones de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Desarrollo ingenieril en identificación criminal
5.1. Fluorescencia de rayos X para hallar huellas dactilares
18
. . . . . . . . . . . . . . 18
5.2. Nanotecnologı́a para hallar huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3. Bacterias para hallar huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bibliografı́a
19
3
Facultad de Ingenierı́a
1.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Identificación de personas mediante sus huellas
dactilares
Es muy común, ya en estos tiempos, la verificación de identidad personal por huellas dactilares por cuestiones de comodidad, rapidez y fiabilidad. En general, ésta técnica consta de
tres etapas, la obtención de la huella, su interpretación y la posterior codificación en formato
digital. La segunda etapa mencionada es, en general, de las más complejas y en los últimos años
se ha puesto mucho interés en este campo de investigación.
1.1.
Contextualización histórica
Ya en las antiguas Babilonia y Persia se usaban las impresiones dactilares para autenticar
registros en arcilla, pues ya se conocı́a su carácter único.
En 1883, el francés Alphonse Bertillon 1 propuso un método de identificación de personas
basado en el registro de las medidas de diversas partes del cuerpo. Su método, adoptado por la
policı́a de Francia y otras partes del mundo, tuvo un estrepitoso fracaso cuando se encontraron
dos personas diferentes que tenı́an el mismo conjunto de medidas.
El uso de los relieves dactilares fue por primera vez objeto de un estudio cientı́fico por el antropólogo inglés Francis Galton 2 , quien publicó sus resultados en el libro “Huellas dactilares”
(1892). Los mismos verificaron tanto la invariabilidad de las huellas digitales a lo largo de toda
la vida de un individuo, como su carácter distintivo aun para gemelos idénticos. Los estudios de
Galton estuvieron orientados a la determinación de las caracterı́sticas raciales hereditarias de
las personas (sobre las que las huellas digitales no podı́an dar información) y determinó algunas
caracterı́sticas de las huellas que todavı́a se usan hoy en dı́a para su clasificación. En base a
las mismas, Galton propuso usarlas para la identificación personal en reemplazo del inexacto
sistema Bertillon, entonces en uso.
Los 40 rasgos propuestos por Galton para la clasificación de las impresiones digitales fueron
analizados y mejorados por el investigador de la Policı́a de la provincia de Buenos Aires Juan
Vucetich 3 , a quien el Jefe de Policı́a de la Provincia de Buenos Aires Guillermo Núñez, le
habı́a encomendado sentar las bases de una identificación personal confiable.
Vucetich usó inicialmente 101 rasgos de las huellas para clasificarlas en cuatro grandes grupos. Logró luego simplificar el método basándolo en cuatro rasgos principales: arcos, presillas
internas, presillas externas y verticilos. En base a sus métodos, la policı́a bonaerense inició en
1891, por primera vez en el mundo, el registro dactiloscópico de las personas. En el año 1892
hizo por primera vez la identificación de una asesina, en base a las huellas dejadas por sus dedos
ensangrentados (en particular por su pulgar derecho) en la escena del crimen de sus dos hijos,
en la ciudad de Necochea (provincia de Buenos Aires). La misma, de nombre Francisca Rojas,
habı́a acusado de los asesinatos a su marido.
1
Alphonse Bertillon (1853-1914), trabajó como preceptor en Escocia y, a su regreso a Francia, trabajó para
la policı́a de Parı́s. Investigador e impulsor de métodos de individualización antropológica
2
Sir Francis Galton (1822-1911), fue un polı́mata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo,
estadı́stico, psicólogo británico con un amplio espectro de intereses.
3
Iván Vuccetic (isla de Hvar, actual Croacia, 1858 - Dolores, Argentina, 1925), nacionalizado argentino con
el nombre de Juan Vucetich, desarrolló y puso por primera vez en práctica un sistema eficaz de identificación
de personas por sus huellas digitales
4
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2.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Método de autentificación dactilar
La biometrı́a provee información sobre la verificación de la identidad de una persona, estos sistemas normalmente están basados en el estudio detallado de una o más caracterı́sticas
fisiológicas (huellas dactilares, geometrı́a de la mano, iris, geometrı́a facial) o patrones de comportamiento (voz, firma) únicos en cada individuo. Estos sistemas reconocen a las personas en
función de quienes son a través de sus propias caracterı́sticas y no de lo que traen consigo.
Para la correcta autenticación de huellas dactilares se deben realizar varios procedimientos
secuenciales como se ilustra en el diagrama de bloques de la figura 1. Como primera instancia,
se debe realizar la adquisición y digitalización de las huellas dactilares 4 . En la segunda fase
se realiza un pre procesamiento de la imagen el cual consiste en eliminar detalles que son innecesarios en la identificación biométrica y resaltar otras caracterı́sticas que son fundamentales
en el proceso de discriminación e identificación. En este ultimó punto es en el que se basa el
presente trabajo, donde se mostrará como se corrige la imagen mediante técnicas matemáticas.
Las imágenes pre procesadas son almacenadas en una base de datos para posteriormente utilizar un filtro y finalmente obtener la identificación de la huella. Esta etapa en la que se buscan
coincidencias se puede realizar mediante espectros, correlación, autocorrelación y co-ocurrencia.
Figura 1: Diagrama de bloques para la autentificación de las huellas dactilares
2.1.
Huellas dactilares
Se pueden observar tres tipos de caracterı́sticas en una imagen de huella digital, los patrones,
que son las caracterı́sticas macroscópicas de la huella (orientación de los surcos y patrones); las
minucias, que son los puntos donde un surco se bifurca o termina; y los poros, contornos, pliegues y detalles permanentes, objetos propios de cada huella obtenida. Mientras que las minucias
son los rasgos que se utilizan para individualizar cada persona, los flujos de los surcos (i.e., las
orientaciones) sirven para clasificar las huellas en diferentes tipos y facilitar la búsqueda en
bases de datos (usualmente enormes).
La creación y comparación contra estos perfiles no es tarea sencilla, dado que es prácticamente imposible ubicar el dedo siempre en la misma posición: la huella leı́da puede aparecer
rotada, corrida, con ruido, etc., haciendo muy complicado su reconocimiento. Una manera de
solucionar esto es buscando marcas de referencia en las huellas para luego poder alinearlas y
compararlas. A estas marcas se las denomina puntos singulares (PS) y se ubican en regiones
en donde el flujo de surcos es discontinuo. Para encontrar, entonces, los puntos singulares, se
recurre a la identificación de la orientación de los surcos, formando de esta forma una suerte de
mapa de la huella donde se encuentran todas las caracterı́sticas mencionadas. Desafortunadamente, sobre todo en imágenes de baja resolución, es difı́cil lograr ver estas orientaciones, por
lo que se recurre al suavizado y procesamiento de la imagen.
4
Esta parte del proceso es una de las más investigadas debido a la dificultad que muchas veces conlleva
recoger huellas de ciertas superficies o por haber tenido un deterioro o alteración adrede
5
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3.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Modelo matemático en el procesamiento de imágenes
Content Based Image Retrieval 5 (CBIR) es un área importante en el procesamiento de
imágenes debido a sus diversas aplicaciones en Internet, imágenes médicas y prevención del
delito.
La extracción de caracterı́sticas visuales como por ejemplo la textura, color y forma son
componentes importantes de CBIR. De estos, la forma es una de las principales. Para su extracción existen los descriptores de forma, que se pueden clasificar en dos categorı́as:
• Descriptores de forma basados en contornos (DFBC).
• Descriptores de forma basados en la región (DFBR).
Los descriptores de forma basados en contornos utilizan solamente la información de los
lı́mites e ignoran el contenido interior, mientras que los descriptores de forma basados en la
región utilizan pı́xeles interiores de la forma. Estos últimos se pueden aplicar a las formas más
generales, en tanto que los DFBR tienen limitaciones respecto a la extracción de formas complejas. Por lo tanto, los descriptores de forma basados en contornos son los que se prefieren
para representar el contenido de la forma de una imagen. Un descriptor eficiente debe ser afı́n,
robusto, compacto y fácil de obtener y compatibilizar. Como descriptores estadı́sticos [6] de los
DFBC se utilizan los momentos.
3.1.
Momentos
Los momentos son un concepto derivado de la fı́sica. En esta existen diversas definiciones
para momentos (momento de una fuerza o torque, momento angular, momento de inercia, momento magnetico, etc.), aunque siempre representan una magnitud que relaciona vectores y
un punto, una recta o un plano. Como contraparte, también existen diferentes definiciones de
momentos en matemática. En particular, las áreas dedicadas al procesamiento de imágenes
entienden por momento a aquellas funciones encargadas de extraer de una imagen cierta información, otorgando a sus pı́xeles cierto peso. Además estas funciones suelen presentar ciertas
propiedades y permiten realizar interpretaciones que no se derivan directamente de la imagen
y son útiles para el trabajo en este área.
Definición 1 Se define una imagen como una función continua f : R2 → C. En general, se
puede expresar una función de momentos cualquiera φpq del siguiente modo:
Z ∞Z ∞
φpq =
Ψpq (x, y)f (x, y)dxdy
(1)
−∞
−∞
donde φpq es la función encargada de realizar la ponderación de la imagen.
Los distintos tiops de momentos se pueden clasificar en tres grupos:
• Momentos ortogonales: obtienen esta categorı́a aquellos momentos cuya función describe
un conjunto de polinomios que conforman una base ortogonal completa. Existen varios
5
Traducción: Recuperación del contenido de la imagen base
6
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momentos de este tipo, entre los que se puede considerar los de Legendre
chev 7 y Zernike 8 .
6
, Tcheby-
• Momentos geométricos: dentro se incluyen los momentos regulares, momentos centrales,
momentos invariantes, etc. Al no ser ortogonales entre sı́ existe una redundancia en la
información devuelta por los momentos de diverso orden.
• Momentos complejos: presentan algunas ventajas frente a los momentos geométricos. Sin
embargo presentan una desventaja similar a la de los momentos geométricos, no son
ortogonales. Por esto se considera que la reconstrucción de una imagen a partir de los
momentos complejos de la misma es algo tedioso.
Los momentos que comunmente se utilizan para los descriptores de forma basados en contornos y regiones son:
• Momentos Invariantes (IM): es pobre en la representación de la forma de la imagen
debido a su no-ortogonalidad.
• Momentos de Zernike (ZM): tienen propiedades deseables como la invariancia a la
rotación, robustez al ruido, eficacia y la posibilidad de utilizar varios niveles para describir
varias formas de patrones (la invariancia de escala se puede lograr con una normalización
adecuada). Tiene una performance superior en ambos descriptores (DFBC y DFBR) pero
es computacionalmente complejo en comparación con Momentos de Legendre.
• Momentos de Legendre (LM): al igual que los de Zernike, son ortogonales, permitiendo representar una imagen con la mı́nima cantidad de redundancias.
Como se mencionó, parte importante en el procesamiento de imágenes es encontrar los ejes
coordenados adecuados para centrar las imágenes, siendo esta la principal y más importante
función de los descriptores estadı́sticos.
3.1.1.
Momentos Invariantes
Definición 2 Se define centro de masa o centroide a las coordenadas p(x, y) de un conjunto
de n pı́xeles donde:
N
N
1X
1X
xk
Y =
yk
(2)
X=
n k=1
n k=1
Definición 3 Se define momento central de orden (k, i):
N
µk,i
1X
=
(xk − X)k (yk − Y )i
n k=1
6
(3)
Adrien-Marie Legendre (Parı́s, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia, 10 de enero de 1833) fue un
matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadı́stica, la teorı́a de números, el álgebra abstracta
y el análisis matemático.
7
Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821 Rusia), creador de varias escuelas matemáticas: teorı́a de números, teorı́a
de probabilidades, teorı́a de aproximación de funciones, teorı́a de mecanismos y máquinas, etc.
8
Zernike, Frits (1888 - 1966), fı́sico holandés; se especializó en fı́sica matemática y mecánica racional. En el
campo de la óptica fı́sica inventó el microscopio de contraste de fase de gran utilidad en el estudio de las células
vivas.
7
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Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Definición 4 Se define momento de orden (p, q) de una imagen en escala de grises como:
mp,q =
XX
xp y q f (x, y)
(4)
p
q
siendo f (x, y) el nivel de gris del pixel representado por el punto de coordenadas (x, y).
El teorema de representación de los momentos dice que el conjunto infinito de momentos
determinan unı́vocamente f (x, y) y viceversa.
Los momentos centrales se usan para reconocer una imagen independientemente de su situación en un eje de coordenadas.
Definición 5 Se define momento centrado de orden (p, q):
µp,q =
XX
(x − X)p (y − Y )q f (x, y)
(5)
p
q
Se puede observar que son invariantes a las traslaciones, µ10 y µ01 son cero y los valores de
µ20 y µ02 aumentan cuanto mayor sea la componente horizontal y vertical de una figura respectivamente. A partir de los momentos centrales se pueden construir siete momentos en 2-D
invariantes a cambio de escala, simetrı́as y rotaciones. Sin embargo, el kernel no es ortogonal
por lo tanto existe redundancia en la imagen con la representación de estos momentos.
3.1.2.
Momentos de Zernike
Los Momentos de Zernike son momentos ortogonales y se pueden utilizar para representar
el contenido de la forma de una imagen con una mı́nima cantidad de redundancias en la información. Permite la reconstrucción exacta de la imagen y lo hace óptimamente (por el hecho
de no tener información extra). El Momento de Zernike complejo se deriva mediante la proyección de la función imagen en un polinomio ortogonal sobre el interior de un cı́rculo unitario.
Los detalles del mapeo exceden este trabajo por tanto no son detallados, aunque vale la pena
comentar que es una transformación a coordenadas polares de los polinomios de Zernike.
Definición 6 Se define momento de Zernike como:
Z Z
n+1 1 1 ∗
Vnm (x, y)f (x, y)dxdy
λp,q =
π
−1 −1
(6)
donde Vnm (x, y) es el polinomio de Zernike.
Una limitación importante al recuperar las imágenes en escala de grises es que los pı́xeles
que quedan fuera del cı́rculo unidad no se utilizan en el cálculo.
3.1.3.
Momentos de Legendre
Debido a que el uso de los momentos geométricos es muy costoso y sobre todo propenso a
grandes errores de cálculo, lo cual lo hace prácticamente inviable y poco fidedigno, y que los
momentos de Zernike tiene alta complejidad algorı́tmica, surge la utilización de los momentos
de Legendre en la manipulación de imágenes.
8
Facultad de Ingenierı́a
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Definición 7 Se define momento de Legendre de orden (p, q) como:
Z Z
(2p + 1)(2q + 1) 1 1
λp,q =
Pp (x)Pq (y)f (x, y)dxdy
4
−1 −1
(7)
siendo Pp (x) el polinomio de Legendre de orden p con x ∈ [−1, 1] obtenido mediante la formula
de Olindo Rodrigues 9 10 .
El problema que se plantea es cómo reconstruir una imagen si solo se dispone de un conjunto
finito de momentos. Los polinomios de Legendre Pp (x) son un conjunto completo ortogonal
establecido en el intervalo [−1, 1]
Z 1
2
Pp (x)Pq (x)dx =
δpq
(8)
2p + 1
−1
donde δpq es la delta de Kronecker
11
, tal que δpq = 1 si p = q y 0 en otro caso.
Entonces, como f (x, y) es continua sobre la imagen plana, se puede escribir la función de
imagen f (x, y) como una expansión de series infinitas truncada al momento de orden máximo
que se considere, y usando una versión discreta aproximada de los momentos de Legendre:
λp,q =
M
máx
X
p
X
λp−q,q Pp−q (x)Pq (y)
(9)
p=0 q=0
La cantidad de momentos utilizados en la reconstrucción de la imagen para un orden dado
es:
Ntotal =
(Mmáx + 1)(Mmáx + 2)
2
(10)
Las ventajas antes mencionadas son válidas siempre y cuando se utilice una función real de
la imagen analógica. En la práctica, los momentos de Legendre se calculan a partir de muestras,
es decir, se produce un conjunto de muestras f (xi , yj ) dentro de una matriz de (M, N ) pı́xeles.
M
λ̃p,q
N
(2p + 1)(2q + 1) X X
Pp (xi )Pq (yi )f (xi , yi )∆x∆y
=
4
i=1 j=1
(11)
donde ∆x y ∆y son intervalos de muestreo en direcciones rectangulares.
Para estimar el orden, un algoritmo podrı́a ser el método MEM (Maximum Entropy Principle):
9
ver [5] página 16.
Olindo Rodrigues (Burdeos, 1794-Parı́s, 1851). Economista y matemático francés. Seguidor de Saint-Simon,
a la muerte de éste fundó “El productor” (1825-1826) para difundir las ideas saint-simonianas. Como matemático
estudió las lı́neas de curvatura de una superficie (fórmula de Rodrigues, 1815) e introdujo la representación
esférica en la teorı́a de las superficies.
11
Leopold Kronecker (n. en Liegnitz actual Legnica en Polonia, 7 de diciembre de 1823 - Berlı́n, Alemania,
29 de diciembre de 1891). Matemático y lógico, Kronecker defendı́a que la aritmética y el análisis deben estar
fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy
conocida entre los matemáticos: “Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre”.
10
9
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Ecuaciones Diferenciales (61.18)
1. Inicializar N.
2. Dividir la imagen original en bloques de (k x l).
3. Repetir:
4. Aumentar N.
5. Evaluar en cada bloque los momentos de Legendre.
6. Estimar la función densidad de imagen de cada bloque.
7. Unir las estimaciones dentro de la imagen completa para el orden utilizado.
8. Evaluar la Entropı́a de Shannon hasta cumplir el error permitido
Para imágenes libres de ruido, la función de entropı́a aumenta monótonamente hasta un
cierto orden óptimo donde se recrea la máxima información de imagen, y luego se vuelve relativamente constante.
En cuanto al error que se produce en la reconstrucción de imágenes mediante este método
será mayor o menor, comparado con el de Zernike, dependiendo del tipo de imagen (forma,
color, ruido, etc).
Figura 2: Aplicación de los momentos de Legendre para mejorar la calidad de una imágen. (a)
imagen original, las imágenes reconstruidas a partir de (b)a (l) representan a órdenes de 10,
20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 y 110, respectivamente.
10
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3.2.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Breve desarrollo matemático de los polinomios de Legendre
Las ecuaciones diferenciales de Legendre, llamadas ası́ por el matemático francés AdrienMarie Legendre, se encuentran frecuentemente en Fı́sica. Particularmente aparecen cuando se
resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas mediante el método de separación de
variables.
(1 − x)2 y 0 − 2xy 0 + λy = 0
(12)
Como caso particular de las soluciones si λ = ν(ν + 1) con ν = n ∈ N una de dichas
soluciones es un Polinomio de Legendre de orden n. Y si ν = n ∈ N ∪ 0 resulta:
X N N + k x − 1 2
Pn (x) =
(13)
2
k
k
Un particularidad de las funciones de Legendre es que bajo ciertas condiciones son ortogonales. El teorema de Sturm-Liouville enuncia que dos soluciones de una Ecuación Diferencial que
cumpla con la Hipótesis 1 (tener la Forma Autoadjunta de Sturm-Liouville) y con la Hipótesis
2 (Condiciones de Contorno), son ortogonales.
Hipótesis 1
Hipótesis 2
(ry 0 )0 + (λp + q)y = 0
r, r0 , p, q : R → R
r0 , p, q ∈ R
p(x) ≥ 0
(λ1 , y1 ) ∈ S
(λ2 , y2 ) ∈ S : rW (y¯2 y1 )|ba = 0
La ecuación diferencial 12 satisface la H1 cuando: r = 1 − x2 , p = 1, q = 0 en cuanto que
la H2 la puede satisfacer de diferentes maneras.
Una expresión utilizada para generar los polinomios de Legendre es la de Olinde Rodriguez:
Demostración 1 Expresión de Olinde Rodriguez
(x2 − 1)n = [(x − 1)(x + 1)]n
= [z(z + 2)]n = z n (z + 2)n
n X
n k+n n−k
=
z 2
k
k=0
D
(n)
2
n
(x 1)
n X
n
=
(k + n)(k + n − 1)...(k + 1)z n 2n−k
k
k=0
n X
n n + k z k+n
n
= 2 n!
2
k
k
k=0
= 2n n!Pn (z)
D(n) (x2 1)n = 2n n!Pn (z) =⇒ Pn (z) =
11
1
2n n!
D(n) (x2 1)n
(14)
Facultad de Ingenierı́a
4.
4.1.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Aplicación de las técnicas de procesamiento de
imágenes en la detección de huellas dactilares
Detección de puntos singulares
La huella dactilar se compone de patrones de crestas y valles que forman la réplica de la
punta de los dedos humanos. La imagen adquirida representa un sistema de textura orientada y
tiene información estructural muy rica dentro de su dominio. El patrón de flujo es generalmente
extraı́do del estilo de los valles y las crestas detectadas. La topologı́a de la huella dactilar se
compone de un campo con orientación bastante suave, sin embargo, en algunas áreas la orientación aparece de manera discontinua. Estas regiones se llaman singularidades o puntos singulares.
La detección de estos puntos se realiza mediante la orientación, filtrado y derivación de los
pixeles obteniéndose resultados como los que muestra la Figura 3.
Figura 3: Proceso por el cual se detecta un punto singular
Las huellas dactilares no vienen en los mismos tamaños, tomas diferentes para el mismo
dedo puede generar distintos tamaño y orientaciones de la imagen de la huella. Puesto que
el área cerca del punto singular contiene información correcta y eficiente acerca de la huella
dactilar, poniendo el punto singular como centro, se extrae una sub-imagen. Además, esto reducirá el tiempo de cálculo y el tamaño de almacenamiento. Las imágenes deben estar alineadas
correctamente para garantizar una superposición de la región común de las dos imágenes de
huellas dactilares. Esto se logra mediante la rotación de la imagen con orientación cero en el
punto singular.
Figura 4: Dirección y posición de diferentes pixeles respecto al de interes
12
Facultad de Ingenierı́a
4.2.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Rotación de huellas dactilares utilizando momentos
Para la aproximación de una función discreta f (x, y), el método desarrollado propone usar
una combinación lineal de n funciones base. Entonces, para cada punto xi = (xi , yi ) se puede
aproximar la función de la siguiente manera:
f (x, y) ≈
n
X
aj φj (x, y)
(15)
j=0
Sea
Φ(xi ) = [φ0 (x) φ1 (x)
···
φn (x)]
(16)
el vector fila que contiene la serie de funciones base [φ0 (x) φ1 (x) · · · φn (x)] evaluadas
para una coordenada dada x = (x, y). Usando esta notación, se define la matriz V



V=

Φ(x1 )
Φ(x2 )
..
.


 
 
=
 
Φ(xi )
φ0 (x1 ) φ1 (x1 )
φ0 (x2 ) φ1 (x2 )
..
..
.
.
φ0 (xi ) φ1 (xi )
· · · φn (x1 )
· · · φn (x2 )
..
...
.
· · · φn (xi )





(17)
Donde el tamaño de dicha matriz está dado por la cantidad i de coordenadas (puntos de la
huella) y n funciones base. Además, se definen los vectores
a = [a1 , a2 , . . . , an ]T
(18)
f = [f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xi )]T
(19)
de parámetros, y
de funciones f (xk ) evaluadas en xk = (xk , yk ).
Para obtener f , se utiliza el método de cuadrados mı́nimos.En este caso, la mejor aproximación estará dada por los valores que minimicen a F :
F =
i
X
2
ωj Φ(xj )aT − f (xj )
(20)
j=1
donde a cada pı́xel x = (x, y) se le asigna un peso ω, dado que no todos los puntos tienen
el mismo valor al buscar una solución.
Como el número de puntos de la imagen es mucho más grande que el número de funciones
base, se utiliza la técnica de la inversa generalizada de Moore-Penrose (pseudoinversa) para
estimar una solución:
a = VT WV
−1
VT Wf
(21)
donde W = diag(ω1 , . . . , ωi ) es la matriz diagonal de pesos que contiene los pesos ωi de
cada coordenada.
13
Facultad de Ingenierı́a
4.3.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Generación de funciones base
Suavizar huellas dactilares y la orientación de las crestas implica una discrepancia. Suavizar
demasiado poco puede resultar en ruido en los campos de orientación, por otro lado, suavizar
en exceso daña las áreas de mucha curvatura, especialmente los puntos singulares (SP).
Se utilizan los Polinomios de Legendre como funciones base, ya que son ortogonales en el
intervalo [−1, 1], simples de generar y rápidos para evaluar computacionalmente. En efecto, cada
Polinomio de Legendre Pn (x) puede ser generado utilizando la fórmula de Olinde Rodrigues:
n 1 dn 2
φn (x) = n
x
−
1
2 n! dxn
Figura 5: Gráfico de algunos Polinomios de Legendre (Ver Tabla 1)
n Polinomio Pn de Legendre
0
1
1
x
2
3x2 −1
2
3
5x3 −3x
2
4
35x4 −30x2 +3
8
5
63x5 −70x3 +15x
8
Tabla 1: Seis primeros Polinomios de Legendre
14
(22)
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Ecuaciones Diferenciales (61.18)
La generalización a dos dimensiones puede hacerse utilizando el método de variables separables. Si consideramos los polinomios de Legendre φn−m (x) y φm (y), podemos computar la serie
de funciones base para el polinomio de k − ésimo orden:
φnm = φn−m (x)φn (y)
4.4.
n = 0, 1, 2, . . . , k
m = 0, 1, 2, . . . , n
(23)
Optimización
La optimización para la obtención de los parámetros finales de los datos vectoriales se realiza en dos pasos. En una primera parte los parámetros de los modelos son aproximados con la
solución de forma cerrada que se describe en la ecuación 21. En segundo paso, un refinamiento
no lineal permite obtener parámetros más exactos.
Sean a y b los parámetros deseados de la expansión de Legendre de los datos en senos y
cosenos, respectivamente. Entonces, la orientaciónción del campo puede ser calculada como se
describe:
Φ(xj )aT
1
O(xj ) = arctan
2
Φn (xj )bT
(24)
Se puede observar que a y b están acoplados e influyen en la orientación de forma no lineal,
por lo tanto, el conjunto de parámetros no se puede calcular de forma independiente entre
sı́. Además, la amplitud de cada polinomio puede cancelarse por la división, haciendo que las
pequeñas amplitudes sean más sensibles al ruido y errores de aproximación. Por otra parte, la
no linealidad de la función arco tangente propaga un posible error.
La verdadera medida para ajustar un modelo de orientación de crestas a la orientación de
las huellas dactilares debe ser directamente calculado utilizando el ángulo de orientación oponiéndose a su seno o su coseno (esta optimización sólo se puede llevar a cabo mediante una
técnica no lineal).
Aparece una relación de compromiso debido a que una optimización no lineal consume
demasiado tiempo; además, este método necesita un trato especial en los mı́nimos locales. Por
ello se pueden usar métodos hı́bridos que combinan métodos veloces con optimizaciones no
lineales (no se detallan dichos métodos porque exceden los objetivos del presente trabajo, para
más información ver [10]).
15
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4.5.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Mediciones de performance
En general, para medir la calidad de un algoritmo de detección de puntos singulares, las
dos cualidades de interés son la cantidad de detecciones correctas y la cantidad de detecciones
incorrectas. Desafortunadamente, no hay un estándar establecido para evaluar la calidad y
performance de los algoritmos para detectar PS. Se definen entonces algunas magnitudes para
evaluar estos parámetros 12 :
Recall =
VP
V P + FN
P recisión =
VP
V P + FP
(25)
(26)
RecallP recisión
(27)
Recall + P recisión
La primera cualidad de interés, la proporción de PS detectados, está dada por Recall. La
segunda cualidad de interés es el número de detecciones correctas relativas al total de detecciones correctas, y está dada por la P recisión. Por último, Compensación da una ponderación
de los dos parámetros anteriores, dándole ası́ igual importancia a ambos al momento de una
comparación.
Compensación = 2
Como se puede ver en la Figura 6 los resultados son bastante satisfactorios.
Figura 6: De izquierda a derecha: Imagen de una huella dactilar obtenida, orientación
extraı́da sin procesamiento previo, suavizado y aproximación obtenida utilizando los
polinomios de Legendre.
Se ve como la aproximación soluciona el problema de la mala calidad de la imagen en el
centro, donde peor quedaron registrados los surcos de la huella.
Comparando este método con otros ya existentes, se ve que su desempeño es superior en
muchos casos (ver Figura 7, 8, 9).
12
VP es “verdadero positivo”, FP es “falso positivo”, FN es “falso negativo”.
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Figura 7: Recall para diferentes métodos de aproximación. En el eje vertical se da el umbral
para obtener las medidas de performance mencionadas.
Figura 8: Precision para diferentes métodos de aproximación. En el eje vertical se da el
umbral para obtener las medidas de performance mencionadas.
Figura 9: Compensacion para diferentes métodos de aproximación. En el eje vertical se da el
umbral para obtener las medidas de performance mencionadas.
Los experimentos muestran que en comparación con otros métodos, este ha mejorado la
capacidad de orientación suavizando, especialmente en áreas de alta curvatura.
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5.
Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Desarrollo ingenieril en identificación criminal
Como se mencionó anteriormente la mayor dificultad reside en tomar buenas muestras con
lo que se ahorrarı́a parte del procesamiento digital (aunque no lo de ubicación de puntos singulares y las rotaciones ya que las huellas siguen siendo tomadas en cualquier posición y tamaño),
por lo que se ha dedicado un gran esfuerzo en mejorar este aspecto. A continuación se explican
brevemente alguno de estos avances que resultan de interés por ser muy recientes.
5.1.
Micro fluorescencia de rayos-X [7]
Micro fluorescencia de rayos-X desarrollada por C. Worley, consiste en detectar las sales
presentes en las huellas dactilares. Dichas sales son detectadas en función de su posición en la
superficie, de tal manera que puede obtenerse una imagen de la huella formada por los puntos
en los que las sales se han depositado, siguiendo los patrones dactilares.
El método tiene ventajas sobre otras alternativas, ya que no requiere el uso de sustancias
invasivas para hacerla visible por lo que permite posteriores análisis. Las huellas de niños son
especialmente difı́ciles de detectar porque carecen de la sustancia aceitosa segregada por las
glándulas sebáceas, que captura a los agentes de mejora del contraste. Por supuesto, no es
la panacea, ya que algunas huellas no contienen elementos quı́micos detectables en suficiente
cantidad.
5.2.
Nanotecnologı́a para hallar huellas dactilares imposibles [8]
Cientı́ficos australianos desarrollaron un método utilizando nanotecnologı́a para detectar
huellas de cualquier edad y en cualquier superficie, donde las técnicas tradicionales no lo lograban. Consiste en revelar restos de aminoácidos, moléculas que se encuentran habitualmente en
el sudor, gracias a la precisisión y ’discretización’ que aporta la nanotecnologı́a.
5.3.
Identificación individual a través de las bacterias dactilares [9]
El Profesor N. Fierer y otros colaboradores han desarrollado una nueva técnica forense de
identificación a partir de las comunidades bacterianas de la mano y su alto grado de variabilidad
interindividual. Las bacterias de los dedos que se depositan en los objetos al tocarlos permiten
relacionar el objeto con el usuario, puesto que una mano puede tener hasta 150 especies bacterianas, pero de ellas sólo un 13 % son compartidas por dos personas diferentes.
Las bacterias pueden ser fácilmente recuperadas de las superficies y la estructura de estas
comunidades se pueden utilizar para diferenciar los objetos manipulados por personas diferentes, puesto que se mantienen intactas a temperatura ambiente hasta 2 semanas.
La investigación arrojó un resultado de entre un 70 %-90 % de acierto y se espera que se
incremente a medida que la investigación avance.
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Ecuaciones Diferenciales (61.18)
Bibliografı́a
[1] Asenjo, Corpas Martosm, Fernández Martı́nez, Gutiérrez Segura; “Momentos”.
[2] El Fadili, Zenkouar, Qjidaa; “Lapped Block Image Analysis via the Method of Legendre
Moments”;2003.
[3] Cura, Ezequiel A.; “Análisis de los momentos complejos de Zernike como descriptores de
imágenes”;2010.
[4] Fierera, Christian L. Lauberb, Nick Zhoub, Daniel McDonaldc, Elizabeth K. Costelloc,
y Rob Knightc; “Forensic identification using skin bacterial communities”, articulo de la
National Academy of Sciences; 15 de Marzo del 2010.
[5] Ing. Sacerdoti, Juan; “Polinomios y Funciones de Legendre”; 2002.
[6] M.S. Khalil, “Fingerprint verification using statistical descriptors, Digital Signal Process”;2009.
[7] “Nueva tecnologı́a de detección de huellas dactilares”.
[8] “Nanotecnologı́a para hallar huellas dactilares imposibles”.
[9] “Nueva técnica de identificación forense por bacterias”.
[10] Ram Surinder, Bischof Horst, Birchbauer Josef; “Curvature Preserving Fingerprint Ridge
Orientation Smoothing using Legendre Polynomials”;
[11] Srinivasa R., Srinivasa K., Chandra M.; “Content Based Image Retrieval Using Excat
Legendre Moments And Support Vector Machine”; 2010.
[12] Wikipedia; “Fingerprints”.
[13] Zhou J. D., Shu H. Z., Luo L. M., Yu W. X.; Two new algorithms for efficient computation
of Legendre moments, Pattern Recognition, Vol.35, páginas 1143 a 1152; 2002.
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