GEOMETRÍA ANALÍTICA

Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.- Vectores
1.1.- Vectores fijos en el plano
Llamaremos vector fijo a todo parordenado de puntos del plano. Si los puntos son A y B
convendremos en representar por AB el vector fijo que determinan; al punto A lo llamaremos
origen y al punto B extremo.
Gráficamente se representará por una flecha que empiece en A y acabe en B .
Definimos la dirección de un vector fijo como la de la recta en que está contenido. Por tanto, dos
vectores fijos tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Si
 
dos vectores fijos tienen la misma dirección escribiremos AB || CD .
El vector fijo nulo (vector fijo en el que coinciden origen y extremo) no tiene dirección definida.
Diremos que dos vectores fijos de la misma dirección tienen el mismo sentido cuando al unir sus
orígenes sus extremos pertenecen al mismo semiplano de los dos que se determinan. En caso
contrario diremos que tienen distinto sentido. Si dos vectores fijos tienen el mismo sentido
 
 
escribiremos AB  CD y si lo tienen distinto AB  CD . El vector fijo nulo no tiene sentido
definido.


Definimos el módulo del vector AB , y lo representaremos por AB , como la longitud del


segmento AB . Si dos vectores tienen el mismo módulo escribiremos AB  CD . Nótese que el
vector fijo nulo si tiene módulo y vale cero.
1.2.- Equipolencia de vectores fijos.
Concepto
de vector libre


Diremos que dos vectores fijos no nulos AB y CD son equipolentes si tienen la misma dirección,
 
el mismo módulo y el mismo sentido. Si dos vectores fijos son equipolentes escribiremos AB ~CD .
Es decir:
 
 AB || CD
  
 
AB ~CD   AB  CD

 
 AB  CD
Vectorialmente se tiene que dos vectores son equipolentes cuando al unir los orígenes y los
extremos de ambos vectores, se obtiene un paralelogramo.
Apuntillemos que todos los vectores fijos nulos son equipolentes entre sí.


El vector libre determinado por el vector fijo AB lo notaremos 
también
por
AB , y se define como

el conjunto de todos los vectores fijos que son equipolentes con AB :

  
AB  x : x ~ AB

Al vector fijo AB se le suele llamar representante de la clase.

Cipri

Departamento de Matemáticas
1
Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
1.3.- Operaciones con vectores
El conjunto de los vectores puede ser enriquecido con las siguientes dos operaciones:
- Suma de vectores libres.
- Producto de un número real por un vector libre.
Suma de vectores libres
Para sumar vectores libres basta tomar representantes con origen común y utilizar la regla del
paralelogramo.
u
u
u
v
v
v
La suma de vectores se puede definir también del siguiente modo: En el extremo del primer vector
se toma un representante del segundo; El vector cuyo origen es el del primer vector y cuyo extremo
es el del segundo vector es el vector suma de los dos.
v
u
u
u
v
v
Nótese que la suma de vectores libres es una operación interna.
Producto de un número real por un vector libre

El producto de un número real    por un vector libre x se define como otro vector, que

representaremos  x cuyas características son:
 
i)  x || x
 
 
x
ii)  x  x si   0 y  x  x si   0


 x,   0
iii)  x    x
 x,   0
2.- Introducción de coordenadas
Coordenadas de un vector 
Las coordenadas del vector AB son las coordenadas del punto extremo B  b1 , b2  menos las
coordenadas del punto origen A  a1 , a2  :

AB   b1  a1 , b2  a2 
Módulo de un vector


Si el vector u tiene por coordenadas  u1 , u2  , su módulo viene dado por: u   u12  u2 2
Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B
2
Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
Vectores equipolentes


Los vectores u   u1 , u2  y v   v1 , v2  son equipolentes cuando sus coordenadas son iguales, es
decir,
 
u1  v1
uv
u2  v2
Vectores paralelos


Los vectores u   u1 , u2  y v   v1 , v2  son paralelos cuando tienen la misma dirección, esto es,
cuando sus coordenadas son proporcionales:
 
u u
u v 1  2
v1 v2
Suma y resta de vectores


La suma y la resta de los vectores u   u1 , u2  y v   v1 , v2  vienen dadas por:
 
u  v   u1 , u2    v1 , v2    u1  v1 , u2  v2 
 
u  v   u1 , u2    v1 , v2    u1  v1 , u2  v2 
Producto de un número real por un vector

El producto del número real    por el vector u   u1 , u2  viene dado por:

 u    u1 , u2     u1 ,  u2 
Suma de un punto y de un vector

La suma del punto A  a1 , a2  y del vector u   u1 , u2  consiste en trasladar el punto A según el

vector u :

A  u   a1 , a2    v1 , v2    a1  v1 , a2  v2 
3.- La recta en el plano
Aa1,a2 

vv1,v2 
u2
u1
Llamaremos determinación lineal de una recta a la pareja

formada por un punto A de dicha recta y un vector v que
marque la dirección de esa recta.
En general, una ecuación de la recta es una relación entre las
coordenadas  x, y  de un punto genérico X del plano que nos
permita saber si ese punto está o no en la recta.
Ecuación vectorial de la recta
La primera forma de imponer dicha condición es a través de la Geometría Vectorial:


X  r sii    : AX   v Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si desarrollamos la ecuación vectorial se obtiene:

  

X  r sii    : AX   v  OX  OA   v 
 

 OX  OA   v   x, y    a1 , a2     v1 , v2  
Cipri
Departamento de Matemáticas
3
Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
 x  a1   v1 

 Ecuaciones paramétricas de la recta
 y  a2   v2 
Ecuación continua de la recta
Si en la ecuación paramétrica eliminamos el parámetro se tiene lo siguiente:
x  a1 

x  a1   v1 
v1 



y  a2   v2 
y  a2 

v2 
x  a1 y  a2

Ecuación continua de la recta
v1
v2
Ecuación punto-pendiente de la recta
Si en la ecuación continua se pasa v2 al otro miembro, resulta:
v2
 x  a1   y  a2 Ecuación punto-pendiente de la recta
v1
v
ya que 2 es la pendiente de la recta.
v1
Ecuación general o implícita de la recta
Si en la ecuación continua se efectúan operaciones se obtiene:
x  a1 y  a2

 v2  x  a1   v1  y  a2  
v1
v2
 v2 x  v2 a1  v1 y  v1a2  v2 x  v1 y  v1a2  v2 a1  0 
Ax  By  C  0 Ecuación general o implícita de la recta
donde A  v2 , B  v1 y C  v1a2  v2 a1 .

El vector director de una recta dada en forma general es el vector v    B, A  , siendo B y A los
coeficientes de y ý de x . Para sacar un punto basta dar un valor a x (o a y ) y calcular el que falta.
Ecuación explícita de la recta
Si en la ecuación general despejamos y , obtenemos:
Ax  By  C  0  y 
C
A
x 
B
B
y  mx  n Ecuación explícita de la recta
donde m  
A
C
y n .
B
B
v2 v2

v1 v1
y n recibe el nombre de ordenada en el origen, que da la coordenada y del punto de corte de la
recta con el eje OY.
4
Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B
Al coeficiente m se le llama pendiente de la recta y su valor es m  
Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
Ecuación canónica o segmentaria de la recta
A partir de la ecuación general Ax  By  C  0 , podemos escribir Ax  By  C . Si C  0
tenemos:
Ax By
x
y

1

 1 (si A  0  B)
C C
C C
A
B
Así:
x y
  1 Ecuación canónica o segmentaria de la recta
p n
donde p 
C
es la abscisa en el origen (coordenada x del punto de corte de la recta con el eje
A
OX).
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Para calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, basta tomar como punto uno de
ellos y como vector director el vector que determinan los dos puntos.
Ecuación punto-pendiente de la recta
Si r es la recta que pasa por el punto A  x0 , y0  con pendiente m, y P  x, y  es un punto cualquiera
sobre r, con x  x1 , entonces1
m
y  y0
(*)
x  x0
de donde se deduce que
y  y0  m  x  x0  Ecuación punto-pendiente de la recta
y  y0
, lo que nos lleva a dar la siguiente interpretación geométrica de
x  x0
la pendiente: la pendiente es la variación (positiva o negativa) que experimenta la coordenada y
cuando la coordenada x aumenta una unidad, y por tanto, tiene que ver con la inclinación de la
recta.
En (*) hemos visto que m 
Ecuaciones de los ejes
En rectas paralelas a los ejes alguno de los denominadores de la ecuación continua es cero, por lo
que dicha ecuación adquiere un carácter simbólico; para obtener en estos casos la ecuación general
basta igualar a cero el correspondiente numerador.
4.- Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Diremos que un punto P  x, y  es incidente con una recta r cuando P  r . Bastará ver para ello
si las coordenadas de P satisfacen alguna ecuación de la recta r .
Diremos que dos rectas son incidentes si tienen un punto común. En tal caso, se dice que las rectas
son secantes. Para comprobar si dos rectas son incidentes bastará resolver el sistema formado por
las dos ecuaciones de las rectas dadas para ver si tiene solución o no; si la tiene, la solución
representará a un punto que satisfará ambas ecuaciones y será por tanto el punto de intersección. Si
el sistema es incompatible, diremos que las rectas son estrictamente paralelas.
1


Ya que el vector director es v  AP   x  x0 , y  y0  .
Cipri
Departamento de Matemáticas
5
Resúmenes de Matemáticas para E.S.O.
I.E.S. “Ramón Giraldo”
No obstante, para comprobar si dos rectas son paralelas o no, no es necesario resolver el sistema. En
efecto, recurriendo a la geometría vectorial se tiene:
vr
r
vs
u2
s
u1
Si r es paralela a s los vectores directores han de ser proporcionales. Bastará pues sacar los
vectores de dirección y comprobar esa condición.
El procedimiento es particularmente sencillo si las rectas vienen dadas por su ecuación general.
Sean éstas:

r  Ax  By  C  0  v r    B, A 

s  A ' x  B ' y  C '  0  v s    B ', A '
B
A
A B



Si r || s 
B ' A '
A' B '
A B
Consecuentemente, si

las rectas será secantes.
A' B '
A B C
Si


las rectas estarán en el caso trivial de paralelismo: como las ecuaciones son
A' B ' C '
equivalentes, serán la misma recta.
Podemos entonces confeccionar el siguiente esquema:

A
A B
 A ' 
 
paralelas o coincidentes 
 A' B '
A 

 A '

A B
secantes
 
 A' B '
En general, tenemos la siguiente clasificación:
Posiciones
Vectores directores
Proporcionales
v2 u2
Paralelas

v1 u1
Proporcionales
v2 u2
Coincidentes

v1 u1
No proporcionales
v2 u2
Secantes

v1 u1
B C

coincidentes
B' C'
B
estrictamente paralelas
B'
Pendientes
Coeficientes ec.
Iguales
m  m'
A B C


A' B ' C '
Iguales
m  m'
A B C


A' B ' C '
Distintas
m  m'
A B

A' B '
Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B
6