93 - amontes

Ejercicio 93 Geometrı́a proyectiva
(1096-421)
En el plano proyectivo, sean `, p, q rectas que concurren en un punto O, y A, D puntos en `; B, E en p
y C, F en q, con
BC ∩ EF = U, CA ∩ F D = V, AB ∩ DE = W.
Sea r una recta que no contiene a ninguno de los puntos anteriores, y r interesecta a las rectas U V W, `, p, q
en X, Y, Z, R, respectivamente. Entonces se tiene la siguiente relación entre razones dobles:
(W U V X) =
1 − (ADY O) (BEZO) − (CF RO)
.
1 − (CF RO) (BEZO) − (ADY O)
SOLUCIÓN:
Usando coordenadas:
Tomando como puntos base los puntos O y Y , se tiene:
¯
¯ 1 1
¯
¯ 0 b
(BCOY ) = ¯¯
¯ 1 1
¯ 0 c
¯ ¯
¯ ¯ 0
¯ ¯
¯ ¯ 1
¯:¯
¯ ¯ 0
¯ ¯
¯ ¯ 1
1
b
1
c
¯
¯
¯
¯
b
¯= .
¯
c
¯
¯
Análogamente (BAOY ) = b/a y, tomando los puntos bases O y Z, (EF OZ) = e/f y (EDOZ) = e/d.
Ecuación de las rectas: AE ≡ aex0 + ax1 + ex2 , AF ≡ af x0 + ax1 + f x2 , BD ≡ bdx0 + bx1 + dx2 , AF ≡
af x0 + ax1 + f x2 , CD ≡ cdx0 + cx1 + dx2 , CE ≡ cex0 + cx1 + ex2 . Por lo que
U = BF ∩ CE
V = AF ∩ CD
(−be + cf, ef (b − c), bc(e − f )) (−ad + cf, df (a − c), ac(d − f ))
W = AE ∩ BD
(−ad + be, de(a − b), ab(d − e)).
Los puntos U, V y W están alineados, por le torema de Pappus, o bien observando sus coordenadas, en las que se
ve claramente la dependencia lineal de ellas. El punto X = lUV tiene por coordenadas (0, −ade + bde + adf − cdf −
bef + cef, −abd + acd + abe − bce − acf + bcf ).
Tomando en la recta U V los puntos base U (1, 0) y V (0, 1), tenemos que W (−ad, be) y X(ad − cf, −be + cf ), con
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lo que
¯
¯
¯ 0 −ad ¯
¯
¯
¯ 1 be ¯
¯ :
(W U V X) == ¯¯
¯
¯ 0 1 ¯
¯ 1 0 ¯
¯
¯
¯ ad − cf −ad ¯
¯
¯
¯ cf − be
be ¯
ad(be − cf
¯
¯
¯ ad − cf 1 ¯ = −cf (ad − be) .
¯
¯
¯ cd − be 0 ¯
Como, por otra parte,
1−
1 − (BCOY ) (EF OZ)
=
1 − (BAOY ) (EDOZ)
1−
b e
cf
b e
ad
=
ad(de − cf )
,
cf (be − ad)
se verifica la fórmula anunciada.
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