parejas de ángulos

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE
IBARRA
1. Datos Informativos:
1.1 Carrera: Arquitectura
1.2 Nivel: Primero “D”
1.3 Nombre: Iveth Ortega
1.4 Materia: Lógica Matemática
1.5 Tema: PAREJAS DE ÁNGULOS
1.6 Fecha: 30 de septiembre del 2010-09-29
2. Objetivo: Identificar los tipos de ángulos junto con sus teoremas o principios
mediante una consulta la cual servirá para reforzar nuestros conocimientos.
3. Contenido:
PAREJAS DE ÁNGULOS
TIPOS DE ÁNGULOS:
Ángulos adyacentes: Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen
a la misma recta.
Ángulos consecutivos: Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
Ángulos opuestos por el vértice: Dos líneas que se intersectan generan ángulos
opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4
- Son ángulos congruentes:
<1 = <2 y <3 = <4
Ángulos complementarios: Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya
particularidad es que suman 90°.
El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.
Ángulos suplementarios: Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad
es que suman 180°.
El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1=5
2=6
3=7
4=8
Ángulos alternos entre paralelas.
1=7
2=8
3=5
4=6
Ángulos contrarios o conjugados.
Son
suplementarios
1
6
2
5
3
8
4
7
Ángulos colaterales.
1
8
2
7
3
6
4
5
TEOREMAS O PRINCIPIOS:
Los pares de ángulos adyacentes y opuestos por el vértice cumplen propiedades.
Teorema 1.
Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos
adyacentes son suplementarios.
El teorema anterior puede expresarse de la siguiente forma:
Si
son adyacentes, entonces
Lo que está dentro del primer paréntesis son las premisas del
teorema, que pueden ser más de una, estas son las condiciones que se dan. Lo que está
dentro del segundo paréntesis es la tesis, que es a lo que debemos llegar, tomando como
base las premisas.
Demostración:
Están en posición de suma, son consecutivos. Luego:
Pero,
Por lo tanto:
es llano, ya que OA y OB son semirrectas opuestas.
Como en la demostración no se asumió ninguna condición especial para los ángulos,
sólo la que se planteó en la premisa, entonces podemos asegurar que la propiedad se
cumple para todas las parejas de ángulos adyacentes.
Teorema 2:
Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos
opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.
El teorema anterior se puede escribir de la siguiente manera:
Si
son opuestos por el vértice, entonces
Demostración 1:
por adyacentes.
por adyacentes.
Luego,
entonces:
suma 1800 con
Ahora demostraremos la propiedad de los ángulos opuestos
por el vértice utilizando los movimientos, simetría central, que estudiaste en la
Secundaria Básica, ya que este es un recurso muy importante para resolver ejercicios y
problemas geométricos, el cual necesitas ir practicado.
Demostración 2:
Apliquemos una simetría central de centro O, al
La semirrecta OA se transforma en la semirrectas OB,
porque A, O y B están alineados. La semirrecta OC se
transforma en la semirrectas OD, porque C, O y D están
alineados.
Luego,
Por tanto,
se transforma en
AOD =
BOC
BOC
En ninguna de las dos demostraciones a los ángulos opuestos por el vértice se les ha
impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que el teorema es válido para
todas las parejas de ángulos opuestos por vértice.
Dos rectas cortadas por una secante determinan muchos ángulos, de los cuales
identificaremos en la figura siguiente
ocho de ellos, los que no se superponen.
Definición 14:
ángulos correspondientes, son las parejas de ángulos que
cumplen:
· vértice en distintos puntos de la secante.
· Los ángulos están situados al mismo lado de la secante.
· Uno está situado en la región interna y el otro en la externa.
Ejemplos de ángulos correspondientes:
Definición 15:
ángulos alternos, son las parejas de ángulos que cumplen:
· vértice en distintos puntos de la secante.
· Los ángulos están situados a distintos lados de la secante.
· Los ángulos están situados en la misma región.
Ejemplos de ángulos alternos:
Definición 16:
Ángulos conjugados, son las parejas de ángulos que cumplen:
· vértice en distintos puntos de la secante.
· Los ángulos están situados al mismo lado de la secante .
· Los ángulos están situados en la misma región.
Ejemplos de ángulos conjugados
Teorema 3:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF
en los puntos H e I, respectivamente; entonces las parejas de
ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.
En este teorema están bien claras las premisas y la tesis, a los
ángulos correspondientes no se les ha impuesto ninguna
condición especial, no recogidas en las premisas. Luego para
demostrar el teorema es suficiente con demostrar que un par de ángulos cumplen la
propiedad.
Demostración: Demostraremos que DIE = BHE Como los lados de los ángulos
están contenidos en rectas que son respectivamente paralelas (AB||CD y EF||EF),
entonces es conveniente demostrar la propiedad aplicando una traslación de vector
porque este movimiento conserva la dirección de las rectas. La imagen de I es H, pues la
traslación es de vector
La imagen de CD es AB, pues por un punto exterior a una
recta se puede trazar una única paralela (axioma de las paralelas). La imagen de la
semirrecta ID es HB, pues una recta y su imagen tienen la misma orientación. La
imagen de FE es ella misma, y con la misma orientación, pues
Está contenido en EF. La imagen de la semirrecta IE es HE. Luego, la imagen del
es BHE.
DIE
Por tanto
pues coinciden al al superponerlas. Por tanto, los ángulos
correspondientes entre paralelas tienen la misma amplitud.
Esta demostración constituye un ejemplo de cómo utilizar los movimientos, en especial
la traslación, en la solución
de ejercicios y problemas geométricos.
Teorema 4:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante EF en los puntos H e I,
respectivamente; entonces las
parejas de ángulos alternos tienen la misma amplitud.
Ahora tenemos que demostrar que
. A estos ángulos no se les ha
impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que demostrar la igualdad entre
ellos es equivalente a demostrar la igualdad entre las demás
parejas de ángulos alternos.
Demostración:
Por correspondiente entre paralelas.
Por opuesto por el vértice
Por propiedad transitiva de la igualdad entre
ángulos.
En la demostración de este teorema no fue necesario aplicar ningún movimiento, ya que
la propiedad de los ángulos correspondientes entre paralelas nos permitió establecer
relaciones entre ángulos con vértice en con los ángulos que tienen vértice en H; a partir
de aquí el problema se redujo a establecer relaciones entre ángulos con el vértice
común.
Teorema 5:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I,
respectivamente; entonces los
ángulos conjugados son suplementarios.
Tenemos que demostrar:
Como a los
no se les ha impuesto ninguna condición particular,
entonces comprobar que la relación se cumple para una pareja de ángulos
correspondientes nos permite asegurar que las otras tres parejas también la cumplen.
Demostración:
(1)
(2)
por correspondientes entre paralelas.
por adyacentes.
Luego, sustituyendo (1) en (2)se obtiene:
Por tanto, todas las parejas de ángulos correspondientes entre paralelas son
suplementarios.
A continuación enunciamos algunos teoremas, los cuales son de gran utilidad para la
solución de problemas geométricos y especialmente para probar el paralelismo entre
rectas.
Teorema 6:
Las rectas AB y CD son cortadas por la secante EF en los
puntos H e I, respectivamente, y un par de
ángulos correspondientes de los que determinan estas rectas
tienen la misma amplitud, AB es paralela a CD.
Este teorema se obtuvo a partir del teorema 3, intercambiando
una de las premisas por la tesis, por esta razón se denominan
teoremas recíprocos, es decir, el teorema 6 es el teorema
recíproco del teorema de los ángulos correspondientes entre
paralelas.
Tenemos que demostrar que: AB || CD
Demostración:
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
paralela a la recta CD.
Apliquemos una traslación de vector
y que la recta AB no es
al
El punto I se transforma en H.
La recta CD tiene como imagen una recta r, que pasa por H y es paralela a CD.
La imagen de EF es EF, y la imagen de la semirrecta IE es HE.
Luego;
Pero los ángulos
.
tienen un lado y el vértice común
Por tanto los lados HB y HB’ coinciden, porque por un punto exterior a una recta solo
se puede trazar una paralela a ella. .Luego AB || CD.
Este teorema es un recurso importante para demostrar paralelismo entre rectas, es decir,
si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de correspondientes,
entonces están formados por rectas paralelas.
Los teoremas siguientes se demuestran de forma análoga al teorema 6.
Te recomendamos que realices estas demostraciones como parte de tu estudio
independiente, de esta forma te vas familiarizando con el método de demostración.
Teorema 7:
Si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de alternos, entonces están
formados por rectas paralelas.
Teorema 8:
Si dos ángulos son suplementarios y están en posición de conjugados, entonces están
formados por rectas paralelas.
4. Conclusión:
Esta consulta es de gran importancia ya que con ella podemos apreciar temas ya
conocidos para poder reforzarlos y aplicarlos en los ejercicios propuestos.
Los tipos de ángulos ya son conocidos pero los teoremas no todos por lo que nos
ayudan a tener un mejor aprendizaje.
5. Bibliografía:
 http://eureka.rimed.cu/module/contenido/muestra_cont.php?tema=3&id_subtem
a=60&id=64&epig=3.1.4&Tip=epg&idMod=60
 http://www.geolay.com/angulo.htm