FUNCIONES, CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD £ en x =

FUNCIONES, CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD
𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) =
𝐱 𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟓
𝐬𝐢 𝐱 < −𝟏
𝐱𝟐 − 𝟏
𝐱– 𝟏
𝐬𝐢 − 𝟏 < 𝐱  𝟐
𝐱𝟐− 𝟒
𝟐 + 𝟐𝐱 +𝟐
𝐱
{𝟐
𝐬𝐢 𝐱 > 𝟐
en x = - 1 y en x = 2
𝐞𝐱 + 𝐚
𝐬𝐢 𝐱  𝟎
𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐚 𝐲 𝐛 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐟(𝐱) = {𝐚𝐱 𝟐 + 𝟐 𝐬𝐢 𝟎 < 𝐱  𝟏 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧
𝐛 / 𝟐𝐱
𝐬𝐢 𝐱 > 1
la recta real. Estudiar su derivabilidad en todo R.
Calcular la ecuación de la tangente a la curva 𝒚 = 𝟓 · 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟖𝒙 que sea paralela
al eje OX
Consideremos la función |𝒙𝟐 − 𝟒| . Razonar en que puntos, la función no es
derivable. Representar la función. Calcular la ecuación de la recta tangente a la
curva en los puntos en la que la función no es derivable.
𝐂𝐨𝐧𝐭𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐜𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝐚) 𝐒𝐢 𝐮𝐧𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧
𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨, ¿ 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 𝐝𝐢𝐜𝐡𝐨 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨? . 𝐛) 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐲 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚 −
− 𝟒𝐱 + 𝟓
𝐬𝐢 𝐱  𝟏
𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) = {
𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐱 = 𝟏
− 𝟐𝐱 𝟐 + 𝟑 𝐬𝐢 𝟏 < 𝑥
(PAU).
𝐱𝟓 – 𝐱𝟖
𝐚) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐟(𝐱).
𝟏 – 𝐱𝟔
b) ¿Es alguno evitable?. c) Estudiar si f(x) tiene alguna asindota vertical
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐟(𝐱) =
𝐱𝟐 + 𝟏
𝐬𝐢 𝐱 < 1 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐧 𝐱 = −𝟏 𝐲 𝐞𝐧
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐟(𝐱) = { 𝐱 𝟐
𝐱– 𝟑
𝐬𝐢 𝐱  𝟏
𝐱 = 𝟏
𝟐𝐱 · (𝐱 − 𝟑)
𝐱  (𝟎, 𝟑)
𝟐
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) = { 𝟑𝐱 − 𝟗
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢 −
𝟐
𝐱=𝟑
𝟑
𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐱 = 𝟎 𝐲 𝐱 = 𝟑 𝐲 𝐞𝐧 𝐞𝐥 (𝟎, 𝟑). Estudiar la derivabilidad en di𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐲 𝐞𝐧 𝐝𝐢𝐜𝐡𝐨 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨.
𝐱– 𝟑
𝐬𝐢 𝐱  𝟎
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧: 𝐟(𝐱) = {− 𝐚𝐱 + 𝐛
𝐬𝐢 𝟎 < 𝐱  𝟏 𝐚) 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚 𝐚 𝐲 𝐛
𝟓
𝐬𝐢 𝐱 > 𝟏
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚. 𝐛) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚𝐧 , 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚 𝐥𝐚
𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝.
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 ∶ 𝐟(𝐱) = 𝐱 𝟑 – 𝟑𝐱 + 𝟏 , ¿ 𝐬𝐞 𝐚𝐧𝐮𝐥𝐚 𝐞𝐧 𝐚𝐥𝐠ú𝐧 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐑?.
𝐄𝐧 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐚𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨, 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚 𝐮𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨 𝐜𝐞𝐫𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐚𝐦𝐩𝐥𝐢𝐭𝐮𝐝 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐝𝐞
𝐝𝐨𝐬 𝐝é𝐜𝐢𝐦𝐚𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐬𝐞 𝐚𝐧𝐮𝐥𝐚.
𝟓
𝐃𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐫 𝐲 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐢𝐳𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝐚) 𝐟(𝐱) = √
𝐛) 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐭𝐚𝐠 𝐱 . 𝐋𝐧(𝐱 – 𝟐) 𝐞𝐧 𝐱 =
𝟏 − 𝐱
𝐞𝐧 𝐱 = 𝟏 ;
𝐱 + 𝟏

;
𝟒
𝟏
𝐜) 𝐟(𝐱) 𝐋𝐧 [𝐬𝐞𝐧 ( )] + √𝐱 𝟐 − 𝟏 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 ; 𝐝) 𝐟(𝐱) = 𝐱 · 𝐋𝐧(𝐱 − 𝟏) 𝐞𝐧 𝐱 = 𝟐
𝐱
Demuestra que la ecuación x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x - 1 = 0 tiene una raíz
positiva.
(PAU).
Determina una función poli nómica de segundo grado sabiendo que pasa por el
unto (3,5) y que la tangente en el punto (-1,1) vale 1.
𝐄𝐥 𝐞𝐬𝐩𝐚𝐜𝐢𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐫𝐞𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞 𝐮𝐧 𝐨𝐛𝐣𝐞𝐭𝐨 𝐞𝐧 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 𝐯𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫 −
𝐭𝟐
𝐬𝐢 𝟎  𝐭 < 𝟑
𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫: 𝐞(𝐭) = { 𝐭 + 𝐚
𝐬𝐢 𝟑  𝐭  𝟔 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐚 𝐲 𝐛 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞(𝐭)
𝟐
− 𝐭 + 𝐛𝐭 𝐬𝐢 𝐭 > 𝟔
𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐭 = 𝟑 𝐲 𝐞𝐧 𝐭 = 𝟔 . ¿ 𝐄𝐬 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐝𝐢𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐭?.
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐚 𝐲 𝐛 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫:
𝐚𝐱 + 𝟓
𝐬í 𝐱  𝟏
𝒇(𝒙) = {
𝐬𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐱  
𝐚√𝐱 + 𝐛/𝟓 𝐬í 𝐱 > 𝟏
𝐃𝐢𝐛𝐮𝐣𝐚 𝐥𝐚 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐡𝐚𝐬𝐭𝐚 𝐞𝐥 𝐱 = 𝟏 𝐲 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐮é𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐱 = 𝟏
(PAU).
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐚 𝐚𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐭𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐁𝐨𝐥𝐳𝐚𝐧𝐨 𝐚 𝐥𝐚
𝟐
𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) = {𝐱 – 𝟐 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨 [−𝟏, 𝟏]. 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚𝐫 𝐥𝐚
𝟑𝐱 + 𝐚 𝐬𝐢 𝐱  𝟎
𝐥𝐚 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐞 𝐟(𝐱)𝐲 𝐞𝐧𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐱 𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐫𝐞𝐝𝐢𝐜𝐞 𝐞𝐥 𝐭𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚. Para ese
𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐚 , ¿ 𝐞𝐬 𝐟(𝐱) 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 (−𝟏, 𝟏)?
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬, 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐢𝐳á𝐧𝐝𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐜𝐚𝐝𝐚 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫

𝐝𝐞 𝐱 𝐢𝐧𝐝𝐢𝐜𝐚𝐝𝐨. 𝐚) 𝐲 = (𝐬𝐞𝐧 𝐱)𝐱 𝐞𝐧 𝐱 = ; 𝐛) 𝐲 = 𝟓 · 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝟖𝐱 𝐞𝐧 𝐱 = 𝟎
𝟐
𝒙
+
𝟑
√
𝒄) 𝒚 =
𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 ; 𝒅) 𝒚 = (𝐥𝐧 𝒙 + 𝒙)𝟑 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏
𝒙+𝟑
𝐱𝟐 + 𝟑
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐚 𝐲 𝐛 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐟(𝐱) = {𝐚𝐱 + 𝐛
𝐱𝟑 – 𝟏
continua en R.
𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎
𝐬𝐢 𝟎  𝐱  𝟐 𝒔ea
𝐬𝐢 𝟐 < 𝐱
(PAU).
La función f(x) = 2 sen x + 5 , ¿toma el valor 6 en el intervalo (0, /2)?. En caso
afirmativo determina el valor x = c, tal que f (c) = 6.
Probar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación ex + x = 0 tiene
alguna solución real en el [-1, 1]. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la
curva y = ex + x , que sea paralela a la recta 2y – 4x + 3 = 0, c) Asegurar que solo
existe una solución real en el intervalo (-1,1).
𝐞𝐱 – 𝟏 𝐬𝐢 𝐱  𝟎
contestar razonadamente, a las siguientes
𝐱 𝟐 + 𝐱 𝐬𝐢 𝐱 > 𝟎
preguntas: a) ¿Es continua en el punto x = 0? b) ¿Es derivable en el punto x = 0?.
c) ¿Alcanza algún extremo, relativo o absoluto?
𝐒𝐞𝐚 𝐟(𝐱) = {
𝐬𝐞𝐧 𝐱
+ 𝟐 𝐬𝐢 𝐱  𝟎
𝐒𝐞𝐚 𝐟(𝐱) = { 𝐱
𝐚) ¿ 𝐇𝐚𝐲 𝐚𝐥𝐠ú𝐧 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐤 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐥
𝐤
𝐬𝐢 𝐱 = 𝟎
𝐥𝐚 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐱 = 𝟎? . 𝐛) ¿ 𝐇𝐚𝐲 𝐚𝐥𝐠ú𝐧 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐤 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐥 𝐥𝐚 𝐟(𝐱)
𝐬𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 𝐱 = 𝟎?.
𝐱 𝟐 + 𝟑𝐱 + 𝟏
𝐬𝐢 𝐱  − 𝟏
𝐱
𝐒𝐞𝐚 𝐟(𝐱) = {
𝐚) 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐟(𝐱)
𝟐𝐱
𝐬𝐢 𝐱 < − 𝟏
𝐱−𝟏
𝐞𝐧 𝐑. 𝐛) 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐧 𝐱 = −𝟏; 𝐜) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐚𝐬𝐢𝐧𝐝𝐨𝐭𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚
𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐞 𝐟 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐲 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐮é𝐬 𝐝𝐞 𝐱 = −𝟏. 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐟(𝐱)
𝐞𝐧 𝐱 = 𝟎
𝐱 · (𝐱 – 𝟐) 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟐
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) = { 𝟑
𝐚) 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐬𝐮
𝐬𝐢 𝐱  𝟐
√𝒙 − 𝟐
𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐲 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝. 𝐛)𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚 𝐥𝐚
𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 abcisa x = 1 y en el punto de abcisa x = 3.
𝐒𝐞 𝐡𝐚 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐬𝐭𝐢𝐠𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐥 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 (𝐓, 𝐞𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬)𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐭𝐚𝐫𝐝𝐚 𝐞𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚𝐫 𝐜𝐢𝐞𝐫𝐭𝐚
𝐩𝐫𝐮𝐞𝐛𝐚 𝐝𝐞 𝐚𝐭𝐥𝐞𝐭𝐢𝐬𝐦𝐨 𝐞𝐧 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 𝐝𝐞 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞𝐧𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐝𝐞 −
𝐩𝐨𝐫𝐭𝐢𝐬𝐭𝐚𝐬 (𝐱, 𝐞𝐧 𝐝í𝐚𝐬), 𝐨𝐛𝐭𝐞𝐧𝐢é𝐧𝐝𝐨𝐬𝐞 𝐪𝐮𝐞:
𝟑𝟎𝟎
𝐬𝐢 𝟎  𝐱  𝟑𝟎
𝒙 + 𝟑𝟎
𝒇(𝒙) =
𝐚) 𝐉𝐮𝐬𝐭𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱)
𝟏𝟏𝟐𝟓
+ 𝟐 𝐬𝐢 𝐱 > 𝟑𝟎
{(𝐱 – 𝟓) · (𝐱 – 𝟏𝟓)
𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐬𝐮 𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨. 𝐛)¿ 𝐒𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐞 𝐚𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐦𝐚𝐬
𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞𝐧𝐞 𝐮𝐧 𝐝𝐞𝐩𝐨𝐫𝐭𝐢𝐬𝐭𝐚, 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐬𝐞𝐫á 𝐞𝐥 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐮𝐞𝐛𝐚?
¿ 𝐚𝐥𝐠ú𝐧 𝐝𝐞𝐩𝐨𝐫𝐭𝐢𝐬𝐭𝐚 𝐭𝐚𝐫𝐝𝐚𝐫𝐚 𝐦𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝟏𝟎 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐮𝐞𝐛𝐚? , 𝐜) 𝐏𝐨𝐫
𝐦𝐮𝐜𝐡𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞𝐧𝐞 𝐮𝐧 𝐝𝐞𝐩𝐨𝐫𝐭𝐢𝐬𝐭𝐚, ¿ 𝐬𝐞𝐫á 𝐜𝐚𝐩𝐚𝐳 𝐝𝐞 𝐡𝐚𝐜𝐞𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐮𝐞𝐛𝐚 𝐞𝐧 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐬
𝐝𝐞 𝟏 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨? , ¿ 𝐲 𝐞𝐧 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝟐?.
(𝐏𝐀𝐔).
¿Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x) = 1 / cos x en el intervalo [0, ]?. Razona la respuesta
(PAU).
¿Se puede asegurar que la función f(x) = x3 – 3sen x + 4 toma el valor cero en
algún punto del intervalo [-2,2]?. Razona la respuesta.
(PAU).
𝐔𝐧𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟(𝐱) 𝐯𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐝𝐚 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐞. 𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐬𝐮 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐝𝐚𝐝 .
𝐱– 𝟏
𝐬𝐢 𝐱 < 𝟏
𝟏
𝐬𝐢 𝐱 = 𝟏 (𝐏𝐀𝐔).
𝒇(𝒙) = {
𝟐
− (𝐱 – 𝟏)𝟐 + 𝟏 𝐬𝐢 𝟏 < 𝐱
TEOREMAS DE DERIVABILIDAD.
Hipótesis y tesis del teorema de Rolle. ¿Verifica el teorema de Rolle en el
intervalo (-2,0) la función
sen x x > 0
f(x) = x2
-2 < x  0 ¿Si lo verifica, calcular el xo?.
2x
x  -2
(2 – x)3
si x  1
Sea f(x) =
Razonar si f(x) verifica los teoremas de
x2
si x > 1
Rolle y de Lagrange en el [ -1,2 ],
enunciándolos previamente. Si se verifican, calcular el xo.
x2 + nx si x < -2
Sea f(x) =
a) Hallar m y n para que se cumplan las
+ m si x  2
hipótesis del teorema del valor medio en el
intervalo [-4,2]. Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza dicho
teorema.
x3

Sea f(x) = x7 - 3x6 + 2.sen ( -- . x ). ¿Es cierto que la función f se anula para
2
algún x comprendido entre 3 y 4?.
¿Es cierto que la función f´ se anula para algún x comprendido entre 3 y 4?.
Enunciar los teoremas en los que se basan las respuestas.
Calcular m,n y b para que la función
m.x2 + n.x + 5 si x < 1
f(x) =
cumpla el teorema de Rolle en el intervalo [-2,b]
3x + 1
si x  1
a.x - 3
; x<4
Dada la función f(x) =
- x2 + 10x - b
; x4
calcular a y b para que se cumplan las hipótesis del teorema de Lagrange en [2,6].
Hallar los xo que lo verifican.
Demostrar que la ecuación x18 – 5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raíces
reales en [0,1]. Enunciar el teorema o teoremas en los que te basas.
b) Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = 0 en el punto de abcisa
x = 0 (1)
3 - a.x2 si x  1
Dada la función f(x) =
2 / a.x si x > 1
a) ¿Para qué valores del parámetro a verifica el teorema de Lagrange en el
intervalo [0,2]?. b) Calcular los valores de xo que lo verifica.
* Calcular a y b para que f(x) verifique el teorema de Lagrange en [0, 2]
ex + a
si x  0
2
f(x) = ax + 2 si 0 < x  1
b / 2x
si x > 1
b) Calcular el o los valores que verifican el teorema.
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en los valores finitos que
verifican el teorema ( x = 3/2)
3
x–2
x -1
Sea f(x) =
a) ¿Se cumple el teorema de Lagrange en [-2,0]?
x·(x – 2) x < -1
b) Hallar la ecuación de la tangente a la curva en el punto de abcisa x = 3
a) Estudiar si la ecuación Ln x + x = 0 posee una o mas de una solución real
en el intervalo [1/2 , 3/2], enunciando previamente el o los teoremas en que te
basas. b) Calcular la ecuación de la tangente a la curva y = x + Ln x que sea
paralela a la recta 2x – y + 2 = 0
a) Estudiar si la ecuación ex - x = 0 posee una o mas de una solución real en el
[-1,1] , enunciando previamente el o los teoremas en que te basas.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = ex – x que sea paralela a
la recta bisectriz del 2º y 4º cuadrante.
x2 + 5x + a
; 1x2
Dada la función f(x) =
bx + 2
; x4
Enunciar el teorema de Lagrange. Calcular a y b para que se cumplan las hipótesis
de Lagrange en [2,6]. (1,75). Hallar los xo que lo verifican.
1
Dada la función y = ----------------------- a) ¿Verifica el teorema de Rolle en
2 + sen x – cos x
[ -π , π ]?. b) Si lo verifica, calcular el o los xo que lo verifican.
LIMITES. REGLA DE L´HOPITALL.
* Calcular
x2 + x 2x + 3
lim --------------x-->
x2
lim { (x3 + 7)½ - (x3)½ }
x-->
1 - cos (x-1)
lim --------------x->1
(Ln x)2
1
c) lim ( -- )
x1
x
* Calcular a) lim [ Ln(x+1) – Ln x ] b) lim (1 – cos x)2x
x
x0
1 + sen x - ex
* Calcular a) lim ---------------x->0
(arctg x)2
c)
tg (x / 2)
 x
b) lim ( 1 + 5. tg -- )
x->
5
lim ( 3x + 1 -  9x2 + 2x – 1)
x 
1
1
ex - e-x – 2x
* Calcular a) lim ------ - ------ b) lim ---------------x 1 Ln x
x0
x–1
x – sen x
2
c) lim 1 + ---x
x2
* Calcular a) lim sen x · Ln(sen x) b) lim tg 2x · cotg (x + /4)
x0
x/4
2 2x
c) lim ( 1 + -- )
x
x
Ln ( cos 3x )
4 + x -  4 - x
* a) lim ---------------- b) lim ---------------------x0 Ln (cos 2x )
x0
4x
x
* a) lim -------------x->  L x3 + 2x
x
4
b) lim ( 1 + -------- )
x-> 
2x – 1
c) lim ( cos 2x ) 3 / x2
x-> 0
3x + 1
* Calcular a) lim x.(  x2 + 1 - x )
x->-
x3.sen
x
b) lim -------------x->0
(1 - cos x)3
* Calcular a) lim (1 - 3x)1-cosx
b)
x->0
c)
Ln x
lim -------- d)
x->1
x - x
x->1
1 / x2
* Calcular a) lim ( --------)
x->0
x
b) lim
Determina el valor de a para el que:
ax
= e
x-1
----------3x - 1
1
2
lim ( -------- - ----------- )
x->1
2x – 2
4·ex – 4e
tg x
x+3
lim -------x 
x
lim
(PAU).
x->0
(cosec x)sen x
MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS
* Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8
dm3. Averiguar las dimensiones de la caja para que la superficie exterior sea
mínima.
* La función f(x) = x3 + a.x2 + b.x + c, tiene un punto de derivada nula en (1,1) y
que es un punto de inflexión . Razónese el valor de a, b y c. Calcular los posibles
máximos y mínimos.
Un triángulo isósceles de perímetro 10 m, gira alrededor de la altura relativa al
y
h
x
lado no igual, engendrando un cono. Hallar los lados del
triángulo, para que el cono tenga volumen máximo.
Se sabe que V =   x2h
x
* Sea un circulo de radio  2. Hallar las dimensiones del mayor rectángulo
inscrito en él . Calcular el área de dicho rectángulo
* Sea f(x) = ax3 + bx2 + cx + d . a) Calcular a,b,c y d para que f(1) = 0, posea
tangente de pendiente 2 en x = 0, y tenga 2 extremos relativos en x = 1 y en x = 2.
b) son máximos o mínimos los extremos relativos.
* Dividir un segmento de 60 cm en dos partes no iguales, de forma que la suma
de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellos sea mínima.
* Sea un circulo de radio  2. Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en él (1,5). Calcular el área de dicho rectángulo (0,5).
* Se desea construir un deposito en forma de cilindro cuyo volumen sea 2 m3.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la superficie total sea mínima?.
¿Cuánto aluminio necesitaremos?.
* Se considera un triángulo isósceles de base 10 cm y altura 6 cm.
Se inscribe un rectángulo de base 2x, sobre la base del triángulo.
Calcular la base y la altura del rectángulo inscrito para que su
área sea máxima
6
y
x/2
10
ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION.
1
* Se considera la función f(x) = -------- . Dibujar la gráfica calculando previa4 – x2
mente dominio, asindotas, máximos y
mínimos, puntos de inflexión e intervalos de monotonía. Hallar su máximo y su
mínimo absolutos en el [ -1, 1 ].
* Calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función y = x2.ex
así como sus intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.
b) Hallar las primitivas de la función.
* Sea la función f(x) = 2x + sen 2x. a) Determinar si tiene asindotas de algún
tipo. b) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos en el
[-, ] c) Calcular los PI e intervalos de curvatura.
* Dada la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x a) Dibujar su gráfica, calculando
previamente lo necesario para dibujarla. b) Calcular la ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto de abscisa x = 1
* Estudiar la monotonía de f(x) = x2. Ln x . Obtener los máximos y mínimos
relativos y los posibles puntos de inflexión, si existen.
ex
* Representar gráficamente f(x) = -----1-x
posibles puntos de inflexión.
hallando dominio, máximos, mínimos
asindotas, cortes con los ejes y
x3
* Dada la función y = --------- . Representarla gráficamente
(1 + x)2
* Estudiar y representar la y = x·e3x , calculando cortes con ejes, asindotas,
intervalos de monotonía y curvatura.
ex
* Dada la función y = --- , calcular asindotas, máximos y mínimos e intervalos
x
de monotonía.
x
* Dada la función y = ------- Hallar dominio, cortes con los ejes, asindotas,
1 + x2
máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen, y calcular los intervalos de
monotonía. Dibujar la curva.
* Estudiar la existencia de máximos y mínimos locales de la función
Ln x
f(x) = ------ así como sus intervalos de monotonía. Calcular sus asindotas
x
* Estudiar la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión
x3
de f(x) = ----- así como sus asindotas, máximos y mínimos y cortes con los ejes.
x-1
Dibujar la gráfica.
1
* Sea f(x) = --------- a) ecuación de la recta tangente en el punto de inflexión de
x2 + 3
abcisa positiva. b) Dibujar la gráfica , c) Hallar las
primitivas de f(x).
1
* Representar gráficamente f(x) = ------------- estudiando todo lo que consix2 + x – 2 deres necesario.
Hallar las primitivas de f(x).
sen x
* Dada la función f(x) = ------------ , a) Calcular los puntos del intervalo
2 – cos x
[- 2,2] en donde la función alcanza sus
valores máximos y mínimos,b) Hallar la ecuación de la tangente a la curva en el
punto de abcisa x = 0 c) Calcular la primitiva de f(x) entre los valores 0 y /3.
* Sea la función f(x) = ex - x a) Determinar si tiene asindotas de algún tipo.
b) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos . c) ¿Posee puntos
de inflexión? d) Dibujar la gráfica.
- 4x
* Dibujar la gráfica de y = ------------ calculando cortes con ejes, asindotas,
( 1 + x2 )2 máximos y mínimos y puntos de inflexión.
x2
* Dada la f(x) = L ------- a) Hallar el punto (a, f(a)) para que la tangente a la
x–1
grafica en ese punto sea paralela al eje OX.
b) Calcular los máximos y mínimos relativos de la función.
4
y = - x + ---- estudiando dominio, cortes con los ejes,
x2
asindotas, máximos, mínimos y P.I, si existen.
Dibujar a grafica
Dada la función y = x · e-2x Hallar asindotas, máximos o mínimos y P.I ,
estudian-do la monotonia y la curvatura.
x2
Dada y = --- · Ln x Calcular cortes ejes, asindotas, máximos y mínimos e
2
intervalos de curvatura.
Dibujar la curva y = Ln (1 + x2), calculando dominio, cortes, asindotas, máximos y
mínimos y puntos de inflexión, si existen, y hallar los intervalos de monotonía.