pareja de ángulos

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
1. DATOS INFORMATIVOS
1.1. ESCUELA: ARQUITECTURA
1.2. NOMBRE: Estefanía Gaibor
1.3. NIVEL: Primero “C”
1.4. FECHA: 21-09-2010
1.5. TEMA: PAREJAS DE ÁNGULOS
2. OBJETIVO:
Conocer las diferentes parejas de ángulos que se pueden formar mediante cortes o ángulos que
siguen para la posterior resolución de problemas propuestos, además conocer los teoremas de
este tema en particular con los mismos fines antes mencionados.
3. CONTENIDO:
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Ángulos
consecutivos
Son ángulos que tienen un lado
común y los otros dos
pertenecen a la misma recta.
Son ángulos que tienen un lado
común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
- Dos líneas que se intersectan
generan ángulos opuestos por el
vértice. - Son ángulos no
Ángulos opuestos adyacentes. <1, <2, <3 y <4
por el vértice
- Son ángulos congruentes:
<1 = < 2 y <3 = <4
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que
Ángulos
suman 90°.
complementarios
El <BAC es adyacente al <DAC y
viceversa.
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que
Ángulos
suplementarios
suman 180°.
El <BAC es adyacente al <DAC y
viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
1=5
2=6
Ángulos correspondientes entre paralelas.
3=7
4=8
Ángulos alternos entre paralelas.
1=7
2=8
3=5
4=6
Ángulos contrarios o conjugados.
Son
suplementarios
Ángulos colaterales.
1
6
2
5
3
8
4
7
1
8
2
7
3
6
4
5
Teorema 1:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF en los
puntos H e I, respectivamente; entonces las parejas de ángulos
correspondientes tienen la misma amplitud.
En este teorema están bien claras las premisas y la tesis, a los
ángulos correspondientes no se les ha impuesto ninguna condición
especial, no recogidas en las premisas. Luego para demostrar el
teorema es suficiente con demostrar que un par de ángulos cumplen
la propiedad.
Demostración:
DIE =
BHEComo los lados de los ángulos están contenidos en rectas que
son respectivamente paralelas (AB||CD y EF||EF), entonces es conveniente demostrar la
Demostraremos que
propiedad aplicando una traslación de vector
porque este movimiento conserva la dirección
de las rectas. La imagen de I es H, pues la traslación es de vector
La imagen de CD es AB,
pues por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela (axioma de las
paralelas). La imagen de la semirrecta ID es HB, pues una recta y su imagen tienen la misma
orientación. La imagen de FE es ella misma, y con la misma orientación, pues
está contenido en EF. La imagen de la semirrecta IE es HE. Luego, la imagen del
BHE.
DIE es
Por tanto
pues coinciden al al superponerlas. Por tanto, los ángulos
correspondientes entre paralelas tienen la misma amplitud.
Esta demostración constituye un ejemplo de cómo utilizar los movimientos, en especial la
traslación, en la solución de ejercicios y problemas geométricos.
Teorema 2:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante EF en los
puntos H e I, respectivamente; entonces las parejas de ángulos
alternos tienen la misma amplitud.
Ahora tenemos que demostrar que
. A estos ángulos no
se les ha impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que
demostrar la igualdad entre ellos es equivalente a demostrar la
igualdad entre las demás parejas de ángulos alternos.
Demostración:
por correspondiente entre paralelas.
por opuesto por el vértice
por propiedad transitiva de la igualdad entre ángulos.
En la demostración de este teorema no fue necesario aplicar ningún movimiento, ya que la
propiedad de los ángulos correspondientes entre paralelas nos permitió establecer relaciones
entre ángulos con vértice en con los ángulos que tienen vértice en H; a partir de aquí el
problema se redujo a establecer relaciones entre ángulos con el vértice común.
Teorema 3:
Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I,
respectivamente; entonces los ángulos conjugados son suplementarios.
Tenemos que demostrar:
Como a los
no se les ha impuesto ninguna condición particular, entonces
comprobar que la relación se cumple para una pareja de ángulos correspondientes nos permite
asegurar que las otras tres parejas también la cumplen.
Demostración:
(1)
(2)
por correspondientes entre paralelas.
por adyacentes.
Luego, sustituyendo (1) en (2) se obtiene:
Por tanto, todas las parejas de ángulos correspondientes entre paralelas son suplementarios.
Teorema 4:
Las rectas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I,
respectivamente, y un par de ángulos correspondientes de los que
determinan estas rectas tienen la misma amplitud, AB es paralela a
CD.
Este teorema se obtuvo a partir del teorema 3, intercambiando una de
las premisas por la tesis, por esta razón se denominan teoremas
recíprocos, es decir, el teorema 6 es el teorema recíproco del teorema
de los ángulos correspondientes entre paralelas.
Tenemos que demostrar que: AB || CD
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
a la recta CD.
Apliquemos una traslación de vector
y que la recta AB no es paralela
al
El punto I se transforma en H.
La recta CD tiene como imagen una recta r, que pasa por H y es paralela a CD.
La imagen de EF es EF, y la imagen de la semirrecta IE es HE.
Luego
Pero los ángulos
.
tienen un lado y el vértice común
Por tanto los lados HB y HB’ coinciden, porque por un punto exterior a una recta solo se puede
trazar una paralela a ella. .Luego AB || CD.
Este teorema es un recurso importante para demostrar paralelismo entre rectas, es decir, si dos
ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de correspondientes, entonces están
formados por rectas paralelas.
Los teoremas siguientes se demuestran de forma análoga al teorema 4.
Teorema 5:
Si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de alternos, entonces están
formados por rectas paralelas.
Teorema 6:
Si dos ángulos son suplementarios y están en posición de conjugados, entonces están formados
por rectas paralelas.