TFM-Sobresaliente-10 - Universidad de Granada

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD DE GRANADA
SIGNIFICADOS DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA. ESTUDIO EXPLORATORIO
Trabajo de fin de master que presenta
ÁNGELO OTÁROLA SÁEZ
Dirigido por el doctor
D. ENRIQUE CASTRO MARTÍNEZ
GRANADA, 2014
A Marta, José, mis padres y a Thamara, mi hermana,
por su eterno amor, apoyo, enseñanzas y formación personal.
A todos y cada uno de mis profesores que influyeron en lo que soy hoy
cómo profesor. En especial a Valeria, mentora y formadora.
A mis amigos y familia, por su preocupación y apoyo en la distancia.
A la vida, por darme siempre más de lo que le pido.
AGRADECIMIENTO
En primer lugar, agradecer al Doctor D. Enrique Castro Martínez, por conducir mis ideas
y deseos de realizar un buen trabajo. Por la paciencia y el apoyo que me ha entregado
durante todo este tiempo. Y agradecer todo el conocimiento transmitido a mí persona, que
me han transmitido una gran base para desarrollarme como futuro investigador.
Al I.E.S Cartuja y al Colegio San José, por su amabilidad y disponibilidad para poder
llevar a cabo está investigación.
Y a los profesores del Máster en Didáctica de la Matemática que me han entregado una
cantidad de conocimiento invaluable para mi formación profesional.
INDICE DE CONTENIDOS
CAPÍTULO 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................... 1
1. DESDE INFORME PRUEBA PISA 2012 ............................................................... 1
2. DESDE EL ENFOQUE SEMÁNTICO ................................................................... 2
3. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................................. 5
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO ............................................................................ 7
1. CATEGORÍAS SEMÁNTICAS PARA LOS PROBLEMAS SIMPLES ................ 7
1.1 CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LA ESTRUCTURA ADITIVA ............... 7
1.1.1 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE CAMBIO ........................................... 7
1.1.2 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE COMBINAR ...................................... 9
1.1.3 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE COMPARACIÓN .............................. 9
1.1.4 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE IGUALACIÓN ................................ 11
1.2 CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LA ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
................................................................................................................................ 12
1.2.1 PROPORCIONALIDAD SIMPLE ........................................................... 12
1.2.2 COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA ................................................... 13
1.2.3 PRODUCTO CARTESIANO ................................................................... 14
2. ESQUEMAS DE REPRESENTACIÓN PARA LOS PROBLEMAS
COMPUESTOS DE DOS ETAPAS. ......................................................................... 15
2.1 NOCIÓN DE NODO ........................................................................................ 16
3. INVENCIÓN DE PROBLEMAS ........................................................................... 16
3.1 COMO HERRAMIENTA EVALUADORA ................................................... 18
3.2 MÉTODOS PARA LA INVENCIÓN DE PROBLEMAS .............................. 21
CAPÍTULO 3: METODOLOGÍA .............................................................................. 24
1. TIPO DE INVESTIGACIÓN ................................................................................. 24
2. SUJETOS DE ESTUDIO ....................................................................................... 25
3. INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS ................................................... 26
3.1 DISEÑO DEL INSTRUMENTO ..................................................................... 27
4. APLICACIÓN DEL INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS. ................ 30
CAPÍTULO 4: ANÁLISIS DE LOS DATOS Y RESULTADOS ............................ 32
1. ANÁLISIS DE LOS DATOS DEL CUESTIONARIO ........................................ 32
2. RESULTADOS POR ECUACIÓN ........................................................................ 39
2.1 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟑. ........................................ 39
2.2 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟑 + 𝒙 = 𝟏𝟖. ........................................ 42
2.3 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 + 𝒙 = 𝟏𝟐. ........................................ 45
2.4 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟐𝒙 = 𝟏𝟒. ............................................. 48
2.5 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟏𝟔. .......................................... 51
2.6 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝟖. ................................... 54
2.7 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟏 = 𝟏𝟓. ................................... 57
2.8 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟕𝟐. ................................... 59
2.9 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟏𝟓 + 𝟓𝒙 = 𝟕𝟓..................................... 62
2.10 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟐𝟒. ................................. 65
CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES FINALES ........................................................... 69
1. ENUNCIADOS VERBALES PARA LA ESTRUCTURA ADITIVA .................. 69
2. ENUNCIADOS VERBALES PARA LA ESTRUCTURA MULTIPLICACIÓN. 70
3. ENUNCIADOS VERBALES PARA LA COMBINACIÓN DE LAS
ESTRUCTURAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN. ........................................ 72
4. CONCLUSIONES GENERALES. ........................................................................ 74
5. LOGROS Y LIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. ...................................... 74
6. LINEAS DE CONTINUIDAD. .............................................................................. 75
REFERENCIAS ........................................................................................................... 76
INDICE ANEXOS
ANEXO I: CUESTIONARIO.
ANEXOS II: ENUNCIADOS INVENTADO POR LOS ESTUDIANTE.
ANEXOS III: TABLAS PARA
DESCRIPTORES PRIMARIOS.
LAS
CATEGORÍAS
SEMÁNTICAS
ANEXOS IV: DEFINICIONES UTILIZADAS EN LA INVESTIGACIÓN.
ANEXOS V: PROMEDIOS EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA.
ANEXOS VI: CONSTRUCCIÓN DEL INSTRUMENTO
ANEXOS VII: ELEMENTOS COMPLEMETARIOS DEL MARCO TEÒRICO.
Y
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Simbología para el esquema gráfico de Vergnaud de la categoría de cambio ... 8
Tabla 2: Distribución de las ecuaciones según las variables operaciones matemáticas
y los elementos operatorios y su ubicación. .................................................................. 29
Tabla 3: Designación simbólica de los sujetos según su procedencia y tipo de cuestionario
........................................................................................................................................ 32
Tabla 4: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 + 4 = 13 ............ 39
Tabla 5: Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 + 4 = 13 .............. 39
Tabla 6: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 + 4 = 13 ............. 40
Tabla 7: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 + 4 = 13 ......... 41
Tabla 8: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 3 + 𝑥 = 18 ............ 42
Tabla 9: Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 3 + 𝑥 = 18. ............. 42
Tabla 10: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 3 + 𝑥 = 18. .......... 43
Tabla 11: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 3 + 𝑥 = 18. ...... 45
Tabla 12: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12 .......... 45
Tabla 13: Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12 ............ 45
Tabla 14: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12........... 46
Tabla 15: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12 ....... 47
Tabla 16: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 2𝑥 = 14. ............. 48
Tabla 17: Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 2𝑥 = 14 ................ 48
Tabla 18: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 2𝑥 = 14 ............... 49
Tabla 19: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 2𝑥 = 14 ........... 50
Tabla 20: Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 ............. 51
Tabla 21: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 ............ 51
Tabla 22: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 ............ 52
Tabla 23: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 ........ 53
Tabla 24: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28 ... 54
Tabla 25: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28... 56
Tabla 26: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28..
........................................................................................................................................ 57
Tabla 27: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15 .. 57
Tabla 28: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15 .. 58
Tabla 29: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15.
........................................................................................................................................ 59
Tabla 30: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72 ..... 59
Tabla 31: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72 ..... 61
Tabla 32: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72 .. 62
Tabla 33: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75 ..... 62
Tabla 34: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75 ..... 63
Tabla 35: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75 .. 65
Tabla 36: Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24 ...... 65
Tabla 37: Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24...... 66
Tabla 38: Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24 ... 68
Tabla 39: Distribución del proceso de invención para las ecuaciones x + 4 = 13, 3 + x =
18 y x + x = 12 ................................................................................................................ 69
Tabla 40: Distribución de la invención de problemas simples de estructura aditiva
según sus categorías semánticas .................................................................................... 69
Tabla 41: Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y
no considerados en las categorías semánticas de la estructura aditiva ........................... 69
Tabla 42: Distribución del proceso de invención para las ecuaciones 2𝑥 = 14 y 𝑥 ∙ 𝑥 = 16
........................................................................................................................................ 70
Tabla 43: Distribución de la invención de problemas simples de estructura multiplicativa
según sus categorías semánticas. .................................................................................... 71
Tabla 44: Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y
no considerados en las categorías semánticas de la estructura multiplicativa ................ 71
Tabla 45: Distribución del proceso de invención para las ecuaciones 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28;
𝑥 ∙(𝑥 + 1) = 15; 15 + 5𝑥 = 75; 6𝑥 + 12 = 72 y 2𝑥 + 6𝑥 = 24 ........................................ 72
Tabla 46: Distribución del proceso de invención para los problemas compuestos ........ 72
Tabla 47: Distribución de los problemas compuestos para la estructura aditiva según
sus categorías semánticas ............................................................................................... 72
Tabla 48: Distribución de los problemas compuestos para la estructura multiplicación
según sus categorías semánticas ..................................................................................... 72
Tabla 49: Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y
no considerados en las categorías semánticas de la estructura aditiva y multiplicativa . 73
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Esquema gráfico de Vergnaud para la categoría de cambio. Ecuación
correspondiente: 7 + (-4) = 3 ............................................................................................ 8
Figura 2. Esquema gráfico de Carlos Maza en Castro (2001) para la categoría de cambio.
.......................................................................................................................................... 9
Figura 3. Esquema gráfico de Carlos Maza en Castro (2001). Ecuación correspondiente:
5 + x = 7 .......................................................................................................................... 10
Figura 4. Esquema gráfico para la ecuación 5 + x = 7. Categoría de igualación. .......... 12
Figura 5. Tabla de correspondencia para la proporcionalidad simple. ........................... 13
Figura 6. Esquemas gráficos de las subcategorías de los problemas de producto
cartesiano. ....................................................................................................................... 14
Figura 7. Esquemas compuestos de dos relaciones según Nesher y Hershkovitz (1991,
1994) ............................................................................................................................... 15
Figura 8. Componente latente ......................................................................................... 16
Figura 9. Ecuación del cuestionario A según las variables de operación y elementos... 30
Figura 10. Ecuación del cuestionario B según las variables de operación y elementos. 30
Figura 11. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
transcribir. ....................................................................................................................... 35
Figura 12. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
enunciado indefinido. ..................................................................................................... 35
Figura 13. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
plantear para otra ecuación o igualdad. .......................................................................... 36
Figura 14. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor sin pregunta....... 36
Figura 15. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor presencia de
expresiones algebraicas o ecuación. ............................................................................... 37
Figura 16. Definición y ejemplo para el descriptor agregar información. ..................... 37
Figura 17. Caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor expresiones
operacionales. ................................................................................................................. 38
Figura 18. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor desconexión
enunciado-pregunta. ....................................................................................................... 38
Figura 19. Problema inventado por sujeto A24 para la ecuación x+4=13. Categoría de
Igualación. ...................................................................................................................... 40
Figura 20. Esquema del enunciado inventado por sujeto A24 para la ecuación x + 4 = 13.
Categoría de igualación. ................................................................................................. 40
Figura 21. Problema inventado por sujeto A21 para la ecuación x + 4 = 13. Descriptor
primario transcribir la ecuación. ..................................................................................... 41
Figura 22. Problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 3 + x = 18. Categoría de
combinación. .................................................................................................................. 43
Figura 23. Esquema del problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 3 + x = 18.
Categoría de combinación. ............................................................................................. 43
Figura 24. Esquema del enunciado inventado por sujeto B17 para la ecuación 3 + x =
18. Descriptor primario planteamiento para otra ecuación o igualdad. ........................ 44
Figura 25. Problema inventado por sujeto A9 para la ecuación x + x = 12. Categoría de
cambio. ........................................................................................................................... 46
Figura 26. Esquema del problema inventado por sujeto A9 para la ecuación x + x =
12. Categoría de cambio. ............................................................................................... 46
Figura 27. Enunciado inventado por sujeto A24 para la ecuación x + x = 12.
Descriptor primario enunciado indefinido. ..................................................................... 47
Figura 28. Problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 2x = 14. Categoría
proporcionalidad simple. Tipo división cuotitiva. .......................................................... 49
Figura 29. Esquema del problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 2x=14.
Categoría proporcionalidad simple. Tipo división cuotitiva. ......................................... 49
Figura 30. Enunciado inventado por sujeto B14 para la ecuación 2x = 14. Descriptor
primario planteamiento para otra ecuación o igualdad. .................................................. 50
Figura 31. Problema inventado por sujeto B8 para la ecuación x ∙ x = 16. Categoría
producto cartesiano. Tipo división. ................................................................................ 52
Figura 32. Enunciado inventado por sujeto B17 para la ecuación x ∙ x = 16. Descriptor
primario planteamiento para otra ecuación o igualdad; y el descriptor secundario agrega
expresión algebraica o ecuación. .................................................................................... 53
Figura 33. Enunciado inventado por sujeto B5 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16. Descriptor
primario transcripción. Descriptor secundario sin pregunta. .......................................... 54
Figura 34. Problema inventado por sujeto A2 para la ecuación x ∙ x + 3 = 28. Categoría
producto cartesiano. Tipo división. ................................................................................ 55
Figura 35. Esquema compuesto de dos relaciones para los problemas inventados por los
sujetos A2 y A15 para la ecuación x ∙ x + 3 = 28. ...................................................... 55
Figura 36. Enunciado inventado por sujeto B39 para la ecuación x ∙ (x + 1) = 15.
Descriptor primario transcripción. Descriptores secundarios planteamiento para otra
ecuación o igualdad y expresión operacional. ................................................................ 58
Figura 37. Problema inventado por sujeto B1 para la ecuación 6x + 12 = 72. Categoría
aditiva de combinación. Categoría multiplicativa de proporcionalidad simple. ............ 60
Figura 38. Esquema compuesto de dos relaciones para el problema inventado por el sujeto
B1 en la ecuación 6x +12=72. ........................................................................................ 60
Figura 39. Problema inventado por sujeto A6 para la ecuación 15 + 5x=75. Categoría
aditiva de combinación. Categoría multiplicativa de producto cartesiano. (Versión
resumida, para versión completa ver Anexo II) ............................................................. 63
Figura 40. Esquema compuesto de dos relaciones para el problema inventado por el sujeto
A6 en la ecuación 15 +5x=75. ........................................................................................ 63
Figura 41. Problema inventado por sujeto A7 para la ecuación 2x+6x=24. Categoría
aditiva de comparación. Categoría multiplicativa de proporcionalidad simple. ............ 66
CAPÍTULO 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1. DESDE INFORME PRUEBA PISA 2012
El último antecedente que se posee respecto a las evaluaciones PISA se remonta a la
realizada en mayo del año 2012. Para la investigación que nos atañe hemos considerado
los resultados entregados en la competencia de resolución de problemas en el informe
español PISA 2012 “Resolución de problemas de la vida real”, el que ha sido entregado
en abril del 2014. Ésta evaluación sobre resolución de problemas en ordenador, utiliza
situaciones que los estudiantes pueden enfrentar en la vida real, alejadas de un centro
escolar. El objetivo de la evaluación es medir las habilidades y destrezas de los estudiantes
para resolver problemas novedosos. La prueba intenta que los problemas propuestos no
requieran ningún conocimiento experto para su resolución, pues mide los procesos
cognitivos esenciales para la resolución de problemas. (Ministerio de Educación, 2014)
El rendimiento medio obtenido de los alumnos españoles es 477 puntos, lo cual es
considerado significativamente por debajo de la media de la OCDE que es de 500 puntos.
La puntación media obtenido corresponde al nivel 2 de competencias establecidos en la
prueba, lo cual significa que un alumno promedio español de 15 años puede explorar un
problema en un entorno desconocido, que no le sea familiar y ser capaz de comprender
una parte del mismo. También combinan la anticipación y la planificación en una
situación novedosa, por ejemplo, serían capaces de comprar el billete más barato
combinando metro/autobús y tren en una ciudad en la que nunca han estado. El nivel 2
puede considerarse como el nivel básico de aptitud, en el cual los estudiantes comienzan
a demostrar las competencias en resolución de problemas y se involucran en un problema
cotidiano, progresan hacia una solución y en ocasiones la alcanzan.
Según los datos, el porcentaje de estudiantes rezagados en la competencia de resolución
de problemas es del 28,5%. La cifra corresponde a estudiantes que han sido considerados
en el nivel 1 y en el nivel menor que 1. Además, solo el 7,8% de los alumnos logra estar
entre los estudiantes excelentes. Considerando esto, la prueba PISA 2012 “Resolución de
problemas de la vida real”, viene a poner de manifiesto la importancia que tiene la
resolución de problemas para expresar como se desenvuelven los estudiantes en tareas y
situaciones cotidianas, aparte de darle un lugar destacado a esta competencia. Sumado a
esto propone un gran desafío para la mejora de los resultados, por lo que los estudios
1
Ángelo Otárola Sáez
investigativos relacionados con la resolución de problemas aportan para estar a la altura
de estos retos educativos.
2. DESDE EL ENFOQUE SEMÁNTICO
En los inicios de los años ochenta se comienza a usar un enfoque cognitivo que pretende
analizar el conocimiento verbal que poseen los niños y poder determinar así el
conocimiento que poseen al respecto, esto es lo que se denomina enfoque semántico.
Es en la misma época que el estudio de los problemas aritméticos de enunciado verbal se
encontraba siendo estudiado por diversos investigadores que tomaron el enfoque
semántico para desarrollar sus investigaciones. Bajo esta línea de investigación se
encuentran autores como Carpenter, Hiebert y Moser (1981), Nesher, Greeno y Riley
(1982), Vergnaud (1982), entre otros. Autores que trabajaron la estructura aditiva y que
desarrollaron categorías semánticas similares para el análisis de los problemas
aritméticos.
El análisis que se realiza a los significados de los problemas aritméticos es relevante para
comprender los métodos utilizados por los estudiantes en sus procesos resolutorios y a su
vez la comprensión de situaciones problemáticas cotidianas fuera del aula. Nesher y
Katriel (1977) plantean tres categorías para la clasificación de los problemas aditivos, al
igual que lo hace Heller y Greeno (1979), coincidiendo en que la clasificación estaría
constituida por las categorías de cambio, combinación y comparación. Tres años más
tarde Carpenter y Moser (1982) agrega una nueva categoría denominada igualación. En
paralelo a estos trabajos Vergnaud (1982) plantea seis categorías semánticas que son
denominadas de forma distintas a las planteadas, ya que se establecen en base a las
relaciones entre las magnitudes involucradas y sus medidas.
Hay un número considerables de investigaciones que intentan establecer la dificultad que
existe en los problemas aditivos considerando las categorías semánticas y la posición del
dato que se desconoce. Investigadores como Bermejo y Rodríguez (1987), Carpenter y
Moser (1983), De Corte y Verschaffel (1985), Kintsch y Greeno (1985), Puig y Cerdan
(1988). Riley, Green y Heller (1983) consideran que el orden de dificultad de las
categorías semánticas para la estructura aditiva son cambio, combinación y comparación.
Además analizan la influencia de la posición de la cantidad desconocida, siendo así que
en los problemas de cambio en donde la cantidad final se desconoce resultan más fáciles
de resolver, mientras que los más difíciles son aquellos en donde la cantidad desconocida
2
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
es la inicial. Para los problemas de combinación, se aprecia mayor dificultad cuando se
pregunta por una de las partes que cuando se hace a la cantidad total. Y los problemas
que generan mayor dificultad para la categoría de comparación, son aquellos en que la
cantidad desconocida es el referente. Complementando esta información Caballero
(2005) determina que el orden de dificultad para las categorías, de menor a mayor, son
las categorías de cambio, combinación, igualación y comparación.
Para los problemas multiplicativos existe una mayor diversidad de clasificaciones, por lo
que no se encuentran tan establecidas como para los problemas aditivos, pero si se puede
apreciar un acuerdo en las categorías básicas. Autores que se han interesado en esto son:
Caballero (2005), Castro (1991, 1994, 2001), Fishbein, Deri, Nello y Merino (1985),
Huinker (1989), Luke (1988), Peled y Nesher (1988), Puig y Cerdan (1988), Schwarz
(1981, 1988) entre otros.
Vergaud (1983) clasifica los problemas multiplicativos en las categorías: isomorfismo de
medidas, producto de medidas y proporción múltiple. Pero en 1991 estima conveniente
acotar la clasificación que estableció ocho años atrás a dos grupos de problemas:
isomorfismo de medidas y producto de medidas. Con respecto al primero de ellos divide
los problemas en multiplicación, división para la búsqueda del valor unitario y división
para la búsqueda de la cantidad de unidades. A cada una de estas clasificaciones las
subdivide en 6 subclases según el tipo de valor numérico que está involucrado. Y respecto
a la segunda categoría, el producto de medida, lo subdivide en 2 grupos: multiplicación y
división. Cabe destacar que Vergnoud no incluye la categoría de comparación, la cual si
forma parte de otras clasificaciones.
Una clasificación de similares características es la que hacen Bell, Creer, Grimison y
Mangan (1989), la cual está compuesta por dos categorías: problemas simétricos y no
simétricos. Estos autores ponen especial atención en los problemas no simétricos
determinando siete sub-categorías.
Enfatizando en los aspectos semánticos de los problemas, Nesher (1988) establece
categorías para los problemas multiplicativos, las cuales son: Mapping rule o regla de
correspondencia,
problemas
de
comparación
multiplicativa
y problemas
de
multiplicación cartesiana. Es importante hacer referencia que Nesher se diferencia de las
dos clasificaciones anteriores para los problemas multiplicativos porque agregar la
categoría de comparación.
3
Ángelo Otárola Sáez
No podemos dejar de nombrar autores como Hendrickson (1986) quien clasifica los
problemas multiplicativos en cuatro categorías: cambio, comparación, razón y selección.
Carpenter, T., Fennema, E., Franke, M., Levi, L., & Empson, S. (1999) clasifica los
problemas en tres categorías: problemas de agrupamiento y partición, problemas
simétricos y problemas no simétricos. Y Castro (2001) quien propone clasificarlos como:
problemas de proporcionalidad simple, producto cartesiano y comparación.
Respecto a la dificultad de los problemas multiplicativos Castro (1994) determina tres
ideas. Primero, que no hay un acuerdo sobre qué categoría es más fácil, Nesher (1988)
dice que es la categoría de comparación, Hart (1981) y Brekke (1991) la adición repetida.
Lo segundo es que se establece que el tipo de número es un variable importante que
influye en la dificultad de este tipo de problemas, ya sea un número natural o un número
decimal. Y la tercera, es que no hay un acuerdo si la dificultad de un problema se debe al
tipo o a la enseñanza que se da a los estudiantes. Sobre dichos problemas, algunos autores
afirman que la categoría de comparación es la que genera mayor dificultad entre los
estudiantes, entre ellos se encuentran: De Corte y Verschaffel (1996), Fishbein, Deri,
Nello y Merino (1985), Mulligan y Mitchelmore (1997).
Pero los problemas de estructura aditiva y multiplicativa, por si solos, no representan la
totalidad de los problemas aritméticos. Estas dos estructuras se delimitan a los simples,
que se caracterizan por que los contiene solo una relación entre dos datos numéricos para
obtener un resultado y que para su desarrollo se necesita solo una operación aritmética.
Pero también existen aquellos que intervienen en más de una relación en el enunciado del
problema, a éstos se le denomina problemas compuestos y para resolverlos se necesita
utilizar al menos dos operaciones distintas o una misma operación varias veces. (Castro
et al., 1998)
Estos problemas compuestos son estudiados por autores como: Castro y Frias (2013),
Nesher (1999), Nesher y Hershkovitz (1991, 1994), Nesher, Hershkovitz y Novotna
(2003), Shallin (1985). Una de las forma de análisis de los problemas compuestos se hace
en base a esquemas que consideran a los problemas como una constitución de dos
esquemas simples. Estas ideas consideran que la definición del problema compuesto no
está basada en las cuatro operaciones aritméticas, sino más bien en los esquemas simples
que se conforman por tres cantidades. Así, los tres esquemas posibles para los aritméticos
de dos etapas son: jerárquico, compartir el todo y compartir una parte.
4
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
3. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
En términos generales, los problemas simples y compuestos han sido estudiados en
España con estudiantes que no superan los doce años de edad. Debido a lo anterior es que
no se conoce con claridad cuanto del conocimiento adquirido en base a los problemas
simples y compuesto se mantiene en cursos superiores de secundaria.
Considerando los antecedentes anteriores, para este trabajo investigativo se ha realizado
un estudio con estudiantes de tercer año de educación secundaria obligatoria, por medio
de un instrumento que pretende determinar los significados que le otorgan a las
operaciones algebraicas de adición y multiplicación. Su realización se ha adecuado a los
contenidos matemáticos que han tratado los estudiantes, fuera de un contexto evaluativo
y sin conocimiento previo de los sujetos. Considerando su finalidad, la presente
investigación, es un estudio exploratorio y descriptivo, que aspira a analizar la capacidad
para dotar de significado las operaciones algebraicas de adición y multiplicación que
ponen de manifiesto un grupo de alumnos de secundaria a través de la invención de
problemas.
Para la construcción del instrumento, se tuvo en consideración la presencia de las
operaciones algebraicas, es decir, si se encuentra determinada operación algebraica o si
están ambas. Además se tomó en cuenta a los elementos que constituyen los procesos
operatorios y su ubicación, que para esta investigación han sido las expresiones
algebraicas y escalares.
El objetivo general que persigue esta investigación es el siguiente:
“Explorar y describir los significados de las operaciones algebraicas de adición y
multiplicación que ponen de manifiesto un grupo de estudiantes de la educación
secundaria obligatoria, a través de la invención de problemas”
Este objetivo general se concreta en los siguientes objetivos específicos:
1. Delimitar los tipos de operaciones algebraicas que se estudiarán en la presente
investigación.
2. Distinguir entre enunciados contextualizados y no contextualizados, inventados
por un grupo de estudiantes de la educación secundaria obligatoria.
5
Ángelo Otárola Sáez
3. Distinguir los significados de las operaciones algebraicas de adición y
multiplicación, que le otorgan a los enunciados contextualizados inventados por
estudiantes de la educación secundaria obligatoria.
6
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO
1. CATEGORÍAS
SIMPLES
SEMÁNTICAS
PARA
LOS
PROBLEMAS
Puig (1988) plantea que los problemas aritméticos se clasifican según el número de etapas
necesarias para su resolución, Se puede distinguir entre problemas de una etapa, cuando
se necesita solo una operación para resolverla y aquellos de más de una etapa, si las
operaciones necesarias para su resolución son más de una. Cuando estamos en presencia
del primer caso, se denominan problemas simples.
1.1 CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LA ESTRUCTURA ADITIVA
Heller y Greeno (1978) realizan un trabajo sobre el procesamiento semántico de los
problemas verbales, distinguiendo tres esquemas que representan estructurales
alternativas de información cuantitativa relativas a problemas aditivos y de sustracción.
Este trabajo se relaciona con lo realizado por Nasher y Katriel (1977), en donde se utiliza
esta clasificación, aunque con nombres distintos, para estas categorías. Las categorías
plateadas son las de cambio, combinación y comparación.
1.1.1 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE CAMBIO
Los problemas verbales, que son parte de esta categoría, se caracterizan por tener
relaciones aditivas en contextos de secuencias temporales de sucesos, por lo que se puede
diferenciar tres momentos diferentes. En primer lugar, se tiene una cantidad inicial,
posteriormente se hace una acción que implica un cambio de valor, bien sea de aumento
o disminución, y una cantidad final resultante. Dependiendo del tipo de acción que se
realice, así como la identidad de la cantidad desconocida, permiten discernir la operación
matemática necesaria para la resolución del problema en cuestión.
Si consideramos que la acción a la cual se es sometida la cantidad inicial y que se debe
tener conocimiento de dos de las cantidades que están contenidas en el enunciado del
problema (datos numéricos), mientras que la otra cantidad es el objeto de pregunta del
problema (la incógnita), se pueden tener seis problemas de cambio. Para apreciar cómo
se conforman estas seis posibilidades ver Anexo VII, apartado 1.
Vergnaud (1991) plantea una clasificación para relaciones aditivas. En este sentido, en la
estructura aditiva, se plantea seis grandes categorías. En un contexto comparativo Castro
y Rico (1992) plantean una equivalencia entre varias de estas categorías con las que tiene
7
Ángelo Otárola Sáez
la clasificación semántica. Estableciendo que la categoría de cambio es equivalente a la
categoría Estado – Transformación – Estado. En el mismo trabajo de Vergnaud, se le
entrega una gran importancia a los diagramas y esquemas para la compresión de los
problemas en toda su esencia. Para esto, crea un sistema simbólico que permite apreciar
el tipo de problema a tratar de forma simplificada, debido a que el lenguaje natural no
posee todo el simbolismo necesario para los tratamientos de información necesaria en los
planteamientos de problemas. Así:
“El lenguaje natural es el medio esencial de representación y de
identificación de las categorías matemáticas, pero no posee, tanto como
los diagramas, las fórmulas y las ecuaciones, el iconismo indispensable
para la selección y el tratamiento de las informaciones y las relaciones
pertinentes” (Vergnaud, 1990, pp. 20)
Por esta razón, es que se hace necesario que las categorías semánticas tengan un lenguaje
simbólico tratado como esquemas. En el caso específico de la categoría de cambio,
planteamos el esquema utilizado por Vergnaud, que esta descrito en base al siguiente
ejemplo.
Ejemplo 1: Paul tenía 7 bolas antes de jugar. Él tiene ganado 4 bolas. Él tiene ahora 11.
7 y 11 son unos números naturales; +4 es un número entero.
Figura 1: Esquema gráfico de Vergnaud para la categoría de cambio. Ecuación
correspondiente: 7 + (-4) = 3
Donde los esquemas y representaciones son los siguientes:
Tabla 1
Simbología para el esquema gráfico de Vergnaud de la categoría de cambio.
Símbolo
Nombre
Definición
El rectángulo
Un número natural
8
MARCO TEÓRICO
Un círculo
Un número entero
La flecha
horizontal
Una transformación o de la
relación, es decir, la composición
de
elementos
de
diferente
naturaleza
1.1.2 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE COMBINAR
Se caracteriza por ser una relación estática existente entre un conjunto total y dos
subconjuntos disjuntos cuya unión sea el conjunto total. Son estáticas cuanto no cambian
con el transcurso del tiempo, tal como se apreciaba en los problemas de cambio. Así la
pregunta puede estar enfocada al todo o acerca de una de las partes, con lo que hay dos
tipos de problemas que combinar: el primero donde se conoce el tamaño de los dos
subconjuntos y se pide el tamaño de la unión, y el segundo donde se conoce uno de los
subconjuntos y su unión y se pide el tamaño del otro subconjunto.
Esta categoría coincide con la que Vergnaud denomina “composición de dos medidas” o
también conocida como Parte – Parte – Todo.
El esquema gráfico que utilizaremos para la categoría de la estructura semántica de
combinar es obtenido de Castro (2001), en desmedro del esquema de Vergnaud, esto
considerando que tiene una idea gráfica más clara sobre lo que plantea esta categoría.
Figura 2. Esquema gráfico de Carlos Maza en Castro (2001) para la categoría de
cambio.
1.1.3 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE COMPARACIÓN
En esta categoría se considera un relación estática de los elementos involucrados, al igual
que en los problemas de combinación, por lo que no hay implícita una acción. Ésta
comparación se lleva a cabo entre dos cantidades que se dan simultáneamente y no
corresponden a dos conjuntos incluidos en un todo (con lo que se diferencian de los de
combinación).
9
Ángelo Otárola Sáez
Puig (1988), respecto a las cantidades presentes en el problema, las denominan cantidades
de referencia, cantidad comparada y diferencia; la cantidad comparada aparece a la
izquierda de expresiones como “más que” o “menos que” y la cantidad de referencia a
su derecha. Considerando que el sentido de la comparación puede ser más o menos y que
se puede preguntar por cualquiera de las tres cantidades, el número de problemas de
comparación posibles son seis. (Ver Anexo VII, apartado 1)
Esta categoría es equivalente con la categoría de Vergnaud denominada “relación estática
entre medida”.
El esquema gráfico que utilizaremos para la categoría de la estructura semántica de
comparación también ha sido extraído de Castro (2001), por los mismos argumentos
entregado en la categoría anterior. Para este caso utilizaremos un ejemplo donde la
diferencia es la cantidad desconocida:
Pedro tiene siete lápices y Carmen tiene cinco lápices. ¿Cuántos lápices tiene pedro más
que María?
Figura 3. Esquema gráfico de Carlos Maza en Castro (2001). Ecuación correspondiente:
5+x=7
Como ya habíamos dicho anteriormente, los problemas de este tipo comparten con los de
combinar su carácter estático, pero en estos últimos las relaciones se establece entre
conjuntos, mientras que en esta categoría, se establece entre cantidades, de manera que
aquellos que eran relaciones de inclusión entre conjuntos, pasan a ser relaciones entre
cantidades. Con respecto a las expresiones “menos que” y “más que”, estas aparecen en
un contexto de “tener”. En otras situaciones como edades, precios, distancias, etc.,
provoca que sea más complicado pues hay parejas de palabras que expresan las relaciones
de comparación en sentidos opuestos, las cueles pueden añadirse al esquema básico “más
que” o “menos que”. Por ejemplo, cuando se tratan problemas de edades se pueden
apreciar expresiones como: “más joven que”, “menos joven que”, “más viejo” o “menos
viejo que”. Situación que provocaría duplicar la cantidad de problemas en esta categoría,
pero estas cuatro posibilidades pueden formar dos parejas que son equivalente, donde
10
MARCO TEÓRICO
“más joven que” equivale a “menos viejo que” y “menos joven que” equivale a “más
viejo que”. (Puig, 1988)
1.1.4 ESTRUCTURA SEMÁNTICA DE IGUALACIÓN
Las tres categorías presentadas anteriormente, son consideradas como categorías básicas
y algunos autores, como Carpenter y Moser (1983), agregan una cuarta categoría, los
problemas de igualación. Los problemas que son considerados como igualación se
caracterizan porque hay en ellos una comparación entre las cantidades que aparecen
establecidas, por medio del comparativo de igualdad “tantos como” (Puig, 1988). Aunque
esta categoría se considerada como una categoría híbrida de las de cambio y de
comparación, donde los problemas demandan la acción que hay que realizar sobre una
cantidad para hacerla igual a otra.
Debido a que la estructura básica para este tipo de problemas es la de comparación, están
presente, en esta clasificación, los tres tipos de cantidades de la clasificación anterior, que
son: referente, comparado y diferencia. Por supuesto la incógnita puede ser cualquiera de
ellos, pero hay otro aspecto que se debe tomar en consideración y es el sentido de cambio.
Este sentido de cambio puede ser en más o en menos, según el tipo de relación que exista
entre las cantidades de referencia y comparada, por lo que surgen seis tipos de problemas
de igualación. (Ver Anexo VII, apartado 1)
El esquema gráfico que proponemos en esta categoría, mantiene el lenguaje de los
esquemas anteriores. Debido a que la categoría de igualación tiene como base la
comparación entre elementos, por lo que se mantendrá el esquema de esta categoría, pero
para diferenciarlo del anterior, se utilizará en este caso de forma vertical. Como ya
habíamos dicho antes, esta categoría se caracteriza por tener una acción de cambio. Por
lo cual, se ha decido agregar una flecha hacia el sentido de cambio que propone el
problema. Con esto se hace un guiño a la simbología utilizada en la categoría de cambio
donde es este símbolo el que representa a la acción.
Pedro tiene siete lápices y Carmen tiene cinco lápices. ¿Cuántos lápices hay que dar a
Carmen para que tenga los mismos que Pedro?
11
Ángelo Otárola Sáez
Figura 4. Esquema gráfico para la ecuación 5 + x = 7. Categoría de igualación.
1.2 CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LA ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA
Dentro de la estructura multiplicativa existen diversas clasificaciones, las cuales
presentan más o menos diferencias entre ellas, pero hemos descrito aquella que es la más
usada y que genera mayor aceptación. La estructura multiplicativa tiene menos
divergencia de interpretaciones para el desarrollo de una clasificación de los problemas.
Las categorías semánticas de la estructura multiplicativa de Nesher (1988) tienen una
concordancia alta con lo planteado con Vergnaud (1991).
Los problemas simples de estructura multiplicativa pueden contextualizarse en
situaciones de proporcionalidad simple, comparación y producto cartesiano, por lo que se
puede encontrar problemas de distinta dificultad. Por supuesto, en cada una de las
situaciones hay que distinguir entre problemas, según cuál sea la cantidad desconocida y
la relación que subyace entre éstas.
1.2.1 PROPORCIONALIDAD SIMPLE
Nesher llama a esta categoría regla de correspondencia, Bell la denomina como problemas
de razón y Vergnaud isomorfismo de medida. Pero utilizaremos la denominación
entregada por Castro (2001), puesto que al denominarla como proporcionalidad simple
es un lenguaje más compresible por una comunidad no tan especializada y que entrega la
posibilidad de tener una noción a que tipos de problemas se hace referencia al momento
de observar el nombre de ésta categoría.
Este tipo de problemas involucran una proporcionalidad simple directa entre dos espacios
de medida. En los enunciados que plantea, se puede apreciar que aparece una proporción
y otra que expresa la regla de correspondencia entre los espacios de medida. Se puede
encontrar en los enunciados expresiones como: “cada” o “por”. Lo que da lugar a distintas
formulaciones. Los problemas que se pueden apreciar son de repartos iguales (personas
y objetos), precios constantes (bienes y costros), movimiento uniforme (espacio y
12
MARCO TEÓRICO
velocidad), densidades constantes a lo largo de una línea (árboles y distancias), en una
superficie o en un volumen, entre otros.
Para una representación más cómoda de los problemas de esta categoría, utilizaremos lo
propuesto por Vergnaud quien hace uso de las tablas de correspondencia:
𝑀1
𝑀2
𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥’
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥 ′ )
Figura 5. Tabla de correspondencia para la proporcionalidad simple.
Para esta clasificación se considera los problemas de regla de tres, que aunque son
problemas de más de una etapa, tienen desde el punto de vista de Vergnaud, la misma
estructura. Además se incluyen una sub-categoría de multiplicación y dos de división.
(Ver Anexo VII, Apartado 2)
1.2.2 COMPARACIÓN MULTIPLICATIVA
Los problemas de comparación multiplicativa se caracterizan porque hay una función
escalar que se utiliza para hacer una comparación entre dos cantidades extensivas del
mismo tipo de magnitud. En los enunciados más típicos aparece una proposición que es
una descripción existencial, como en el isomorfismo de medida, y otra que expresa la
regla de asociación para comparar la cantidad. Los enunciados se caracterizan por tener
expresiones que hacen referencia a términos comparativos, frases como: “veces más que”,
“veces menos que” y “tantas veces como”.
En este tipo de problemas intervienen una cantidad referente, una cantidad comparada y
un escalar. Por lo que se pueden encontrar tres tipos de problemas:
-
Problemas de referido o comparado desconocido.
-
Problemas de referente desconocido.
-
Problemas de escalar desconocido.
Considerando la variable anterior junto con la de tipo de enunciado, surgen 9
formulaciones distintas de problemas de comparación de multiplicar o dividir.
El esquema propuesto para esta categoría más tres ejemplos se pueden ver en Anexo VII,
apartado 2.1.
13
Ángelo Otárola Sáez
1.2.3 PRODUCTO CARTESIANO
Este tipo de problemas involucra tres magnitudes 𝑀1 , 𝑀2 y 𝑀3 de tal manera que uno de
ellos es el producto cartesiano de las otras dos: 𝑀1 ∙ 𝑀2 = 𝑀3
Este producto permite representar una serie de problemas relacionados con volúmenes o
trabajo, áreas, productos cartesianos de conjuntos discretos conjuntos discretos, algunos
conceptos físicos, también los problemas combinatorios, entre otros.
Debido a que en este caso la multiplicación es semánticamente conmutativa y según el
tipo de operación involucrada se puede apreciar dos tipos de problemas según Vergnaud
(1991).
Multiplicación: encontrar la medida-producto cuando se conocen las medidas
elementales.
División: Encontrar una de las dos medidas elementales cuando se conoce la otra y la
medida del producto.
Para la representación de esta categoría hemos elegido una representación cartesiana ya
que según Castro (1991):
“Su forma general es una relación ternaria entre tres cantidades una de las
cuales está definida como un par ordenado cuyas componentes son las
otras dos cantidades. Por ello la forma más natural de representar esta
relación ternaria es mediante una representación cartesiana.” (Castro,
1991, pp. 92)
Así, los dos esquemas serían:
Multiplicación
División
Figura 6. Esquemas gráficos de las subcategorías de los problemas de producto
cartesiano.
14
MARCO TEÓRICO
2. ESQUEMAS DE REPRESENTACIÓN PARA LOS PROBLEMAS
COMPUESTOS DE DOS ETAPAS.
Existen un gran número de problemas aritméticos que pueden ser catalogados en la
estructura aditiva o multiplicativa, a estos los llamamos problemas simples. Estos
problemas intervienen una sola relación ternaria, donde Nesher y Hershkovitz (1991)
distinguen tres componentes:

Dos componentes completas que suministran información numérica en forma
de datos.

Una componente en forma de pregunta.
Pero no todos los problemas aritméticos escolares forman parte de estas estructuras.
Generalmente se pueden hallar problemas que tienen una combinación de operaciones
que no necesariamente pertenecen a solo una de estas estructuras lo que se denomina
problemas complejos. Los problemas que en sus procesos resolutorios poseen una
combinación de estas dos estructuras, como mínimo, deben ser resueltos en dos pasos.
Para esto es necesario hacer una caracterización de los problemas de dos etapas,
considerando las relaciones y esquemas internos.
Nesher y Hershkovitz plantean que la combinación de dos estructuras da lugar a esquemas
de dos pasos y lo que conecta a estos dos esquemas simples es una componente latente
(L). Considerando esto, distinguen tres esquemas compuestos de dos relaciones.
Figura 7. Esquemas compuestos de dos relaciones según Nesher y Hershkovitz (1991,
1994)
Para los tres esquemas compuestos Jerárquicos (J) de dos pasos planteados por Nesher y
Hershlovirtz hay tres componentes que son considerados, un componente implícito que
cumple una función de conector entre las estructuras simples, y un componente
desconocido el cual es lo que se debe hallar.
15
Ángelo Otárola Sáez
2.1 NOCIÓN DE NODO
Bajo la idea de Nesher y Hershlovirtz, para esquematizar los problemas compuestos de
dos pasos, existe un elemento que es relevante en el esquema, debido a que cumple un rol
de conector entres dos esquemas simples, ese rol lo cumple el componente latente, es un
elemento que forma parte de los dos esquemas simples.
Figura 8. Componente latente
Para este caso se dice que hay presencia de un nexo o nodo entre las dos estructuras
simples y debido a la presencia de éste en ambos se logra formar un esquema compuesto.
Así, en un problema compuesto existe una cantidad que interviene simultáneamente en
las dos estructuras simples. Por lo tanto, la única cantidad que conecta estas dos
estructuras, es la cantidad latente. Pero cabe destacar que el nodo no implica ser una
cantidad latente y tampoco que esta sea la única cantidad que cumpla esa condición.
Además, este nexo tiene la posibilidad de ser un dato explícito en el enunciado. Y otra
característica que tiene los elementos considerados bajo la condición de nodo en los
problemas de dos estructuras es que pueden ser conectadas por dos nodos.
Para los problemas de dos nodos y sus respectivos esquemas, ver Anexo VII, apartado 3.
3. INVENCIÓN DE PROBLEMAS
Existen diversos significados que se le otorgan a la invención de problemas dados por
varios autores. Por ejemplo, Kilpatrick (1987) lo denomina como formulación de
problemas, mientras que Brown y Walter (1990) se refieren a este como plantear
problemas, y por otro lado Silver (1994) lo considera como generación de problemas.
Es por esta diversidad de términos, que hemos decidido remitirnos a la Real Academia de
la Lengua Española, específicamente en su diccionario de la edición 22º, además del
diccionario de uso español de Marta Moliner, para determinar las diferencias que existen
entre los conceptos que se remiten a la invención de problemas:
-
Enunciar: exponer el conjunto de datos de un problema.
16
MARCO TEÓRICO
-
Formular: dar forma a algo valiéndose del lenguaje hablado o escrito.
-
Inventar: encontrar una manera de hacer una cosa nueva, desconocida antes, o una
nueva manera de hacer algo.
-
Plantear: proponer, suscitar o exponer un problema matemático, un tema, una
dificultad o una duda.
-
Proponer: hacer una propuesta.
Existen diferencias entre cada una de las definiciones, a pesar de que son muy similares
entre sí. Para esta investigación se ha decidido utilizar la expresión de inventar,
considerando que es una expresión más cotidiana, en desmedro de otras que pueden
generar confusión entre los estudiantes o que estén más cerca de una jerga especialidad.
Pero para el desarrollo del presente trabajo de fin de master, se hará uso de las otras
definiciones, como sinónimos para no redundar con el uso de solo una expresión verbal
que es la más pertinente.
Compartimos la visión que tiene Koichu y Kontorovich (2012) en la recopilación
bibliográfica de Fernandez (2013), quienes considera a la invención de un problema
matemático como el proceso mediante el cual los estudiantes construyen sus propias
interpretaciones de situaciones concretas y las formulan como problemas matemáticos
con significado.
El inventar problemas no es una acción sencilla, se considera como actividad que
involucra mucho conocimiento y niveles altos de relación entre los conceptos. Esto
porque implica la construcción del conocimiento matemático aplicándolo en forma
adecuada. Con respecto a esto E. Castro expresa que:
“Se considera que cuando un individuo inventa un problema ha alcanzado
niveles de reflexión complejos, por tanto ha llegado a una etapa de
razonamiento que hace posible la construcción de conocimiento
matemático. Este hecho hace que la formulación de problemas aporte
grandes beneficios a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.”
(Castro, 2011, pp. 1)
Justamente, como se refiere la autora, la invención de problemas genera grandes
beneficios a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Esta misma investigadora
destaca seis beneficios. Primero, permite un incremento del conocimiento matemático,
17
Ángelo Otárola Sáez
respecto a esto se refieren autores como Davidson y Pearson (1988), quienes plantean que
la invención de problemas permite leer y examinar los datos involucrados y pensar
críticamente. Un segundo beneficio es que ayuda a la motivación del estudiantado, en esta
postura se encuentran autores como Akay y Boz (2010) quienes proponen usar como una
herramienta que aumenta la motivación de los alumnos. Otro aspecto positivo que se le
asocia a la invención de problemas es que permite disminuir los niveles de ansiedad que
les provoca las matemáticas a los estudiantes, Moses, Bjork y Goldenberg (1990) sostiene
que esta actividad reduce el miedo y preocupación que tiene los estudiantes hacia la
matemática. Silver, Mamona-Downs, Leung y Kenney (1996) comparten la idea de que
la invención de problemas disminuye los errores matemáticos habituales que comenten
los alumnos, ya que se debe seleccionar la información a utilizar, considerándolo como
otro beneficio que otorga esta actividad. El quinto factor positivo es el de la creatividad
que ponen de manifiesto en la invención de problemas los estudiantes. Ellerton (1986),
en un estudio que sea realiza con dos grupos de estudiantes entre 11 y 13 años, a los que
les propone inventar problemas, difíciles de resolver para otro estudiante de su edad,
aprecia una relación entre la habilidad de proponer problemas y los niveles de creatividad
de los alumnos. Y el sexto beneficio que se le adjunta a la invención de problemas es una
función evaluadora, permitiendo conocer las habilidades y conocimientos matemáticos
que tienen los estudiantes.
Para este trabajo nos remitiremos al último beneficio el cual es considerar la invención
de problemas como una herramienta evaluadora del conocimiento de los estudiantes y sus
formas de razonar.
3.1 COMO HERRAMIENTA EVALUADORA
Existe una multiplicidad de investigaciones que han utilizado la invención de problemas
como una herramienta evaluadora del conocimiento o habilidades que poseen los
estudiantes de diversos niveles educativos. Cobo, Fernández y Rico (1986), hacen un
trabajo pensado en evaluar el uso que hacen los estudiantes de los números en un contexto
de invención de problemas. Respecto a la invención de problemas, la investigación se
caracterizó por que los planteamientos debían estar en un contexto real, que fuera alejado
del contexto escolar, propuesto por ellos y que permitieran la identificación de las
diferentes estrategias que usaban los estudiantes.
18
MARCO TEÓRICO
También con alumnos, Cázares,
Castro
y
Rico
(1998), desde situaciones
semiestructuras de compraventa analizan los problemas inventados, determinando cuatro
niveles de desarrollo evolutivo de la competencia aditiva: ausencia de enunciado,
enunciado simple de estructura aditiva, enunciados de problemas de estructura
multiplicativa y operatividad de los problemas aritméticos escolares.
Con el fin de indagar en los procesos del pensamiento aritmético de estudiantes de
educación primaria, Ayllón (2012) hace uso de la invención de problemas. Bajo una
situación semiestructurada estudia las concepciones de problemas, también analizando
los tipos de enunciados planteados en base a la coherencia que tienen, la estructura
operatoria y el número de etapas.
Al igual que la autora anterior, Luque (2004) utiliza la invención de problemas como una
herramienta evaluadora del conocimiento, en cual analiza la compresión de las fracciones
y sus operaciones con estudiantes de secundaria, en este trabajo se les solicitaba a los
estudiantes que los problemas se restringieran a la estructura aditiva.
Fernandez (2013) también investiga con estudiantes de secundaria en su memoria de
tercer ciclo, indagando sobre los significados que le dan los alumnos al simbolismo
algebraico, en base a un instrumento que constaba de una serie de ecuaciones y sistemas
de ecuaciones, y a partir de estas los estudiantes debían inventar problemas. El estudio
permitió caracterizar las tareas que fueron más difíciles para los estudiantes y la capacidad
de dotar significado a expresiones simbólicas.
Trabajando con ciento veinte estudiantes de secundaria con talento matemático, Kwek y
Lye (2008), describen como un grupo de docentes investigadores implementan tareas de
invención con los sujetos. El desempeño de los escolares fue analizado a la luz de la
complejidad de los problemas planteados. Los resultados iniciales mostraron que el
estudio realizado con el uso de la invención de problemas, no solo entrega la oportunidad
a los estudiantes de demostrar que ellos saben, sino que además, pueden hacer con su
conocimiento matemático; asimismo permite al profesor observar patrones en el
aprendizaje y pensamiento matemático de los estudiantes, siendo una excelente
herramienta para evaluar estos aspectos.
También con estudiantes con talento matemático, Espinoza (2011), propone en su trabajo
investigativo que los alumnos inventen problemas aritméticos a partir de dos situaciones,
19
Ángelo Otárola Sáez
la primera era por medio de una imagen y la segunda era una situación expresada en forma
escrita. Además se les solicita a los estudiantes que el problema aritmético inventado sea
difícil de resolver desde la apreciación de los alumnos. Así, la invención de problema es
utilizada como una herramienta evaluadora de las capacidades que tienen los estudiantes
considerados con talento matemático.
Igualmente usando la invención como herramienta evaluadora, Leung y Silver (1997),
realizan una prueba basada en la invención de problemas para apreciar el comportamiento
de sesenta y tres futuros profesores de primaria. A partir de los resultados se analizaron
su conocimiento matemático y creatividad verbal. De los resultados obtenidos se destaca
que los problemas aditivos inventados estaban significativamente conectados al
conocimiento matemático, pero no a la creatividad.
Ayllón (2004), también hace un estudio con futuros profesores de primaria en una tarea
en la que se les solicitaba inventar tres problemas aritméticos, en que los datos de un
problema debían acotarse al conjunto de los números naturales, en otro al de los enteros
y el último al de los racionales. Esta actividad le permitió obtener información acerca de
los conceptos numéricos, las capacidades sobre la aritmética y el sentido numérico que
tenían los sujetos. Respecto a las producciones inventadas, los maestros planteaban
problemas aditivos y multiplicativos, tanto de una etapa como dos etapas, pero hay mayor
preferencia por los problemas aditivos que se resuelven en más de una etapa.
En un proyecto evaluativo que busca ayudar a los profesores de aula en la implementación
de una evaluación integral de la instrucción, Lin (2004) plantea diseñar tareas sobre la
invención de problemas para entender el aprendizaje matemático de los estudiantes,
estableciendo cuatro categorías de tareas generadas por los profesores: frases numéricas,
representaciones pictóricas, lenguaje matemático y recopilaciones de soluciones por parte
de los estudiantes en clase.
Cada uno de los trabajos considera la invención de problemas como una herramienta
efectiva para evaluar distintos aspectos del conocimiento y habilidades de determinados
sujetos. Pero su aplicación debe tener en consideración ciertas cuestiones para que sea
llevado a cabo de manera adecuada y cumpla con los objetivos trazados.
20
MARCO TEÓRICO
3.2 MÉTODOS PARA LA INVENCIÓN DE PROBLEMAS
Al realizar una actividad de invención de problemas se debe tomar en cuenta los posibles
métodos para su aplicación y las implicancias de los mismos. Por método, compartimos
la idea que plantea Castro, expresada en su recopilación bibliográfica sobre la invención
de problemas y sus ámbitos investigativos:
“Entendemos aquí por métodos a las diferentes formas de enfrentar a los
estudiantes a la tarea de proponer problemas. Por lo general se persiguen
que sean formas eficaces para el desempeño de la misma. A veces el
método consiste en proponer problemas cambiando el ámbito, las
condiciones asignadas, las variables concernientes o la estructura de
un problema dado. Otras veces, partiendo de representaciones dadas,
historias presentadas, situaciones de la vida real, operaciones
proporcionadas o alguna exigencia determinada.” (Castro, 2011, pp. 1)
Uno de esos métodos es a partir de la vida real, al respecto Kochen, Brade y Brade (1976)
diseñan un modelo con el que desean explicar cómo las matemáticas son aplicables
cuando los sujetos se deben desenvolver en situaciones cotidianas y para aquellas
circunstancias, se solicita la formulación de un problema. El modelo está constituido por
tres partes:

Cuando el sujeto se enfrenta ante una situación cotidiana que le genere un
conflicto, esto lo incita a crear un enunciado que puede ser representado de forma
escrita u oral, y/o evidenciado a través de un comportamiento.

La persona convierte la situación en un problema matemático mediante sus
conocimientos.

Para que le sea más sencillo encontrar la solución, se divide en subproblemas,
haciendo la resolución inmediata de esta manera.
Este modelo permite salir de las situaciones problemáticas que se limitan al aula,
permitiendo generar situaciones idóneas para la aplicación de la matemática. Para este
tipo de escenario, en el cuál se deben proponer tareas de problemas a partir de una
situación cotidiana, Moses, Bjork y Goldenberg (1990) destacan que las actividades
propuestas deben estar en un contexto matemático familiar, además entregan algunas
recomendaciones para ser consideradas en las actividades como: la clase de información
que proporciona el problema, qué tipo de información permanece desconocida (y
21
Ángelo Otárola Sáez
requerida) y qué tipo de restricciones están implicadas en la respuesta. Todo esto forma
parte de uno de los cuatro principios planteado por los autores, el segundo de estos
principios propone que los estudiantes se deben sentirse en confianza para la invención
de problemas en un ambiente que sea adecuado para generar esta situación. Otro
principio, es que el profesor se debe encargar de animar a los estudiantes a plantear nuevos
problemas, y el cuarto principio es que el profesor sea quien propicie en el alumnado la
idea de dominio de un contenido.
Cázares (2000) plantea dos posibles aproximaciones a la invención de problemas: La
primera son los problemas inventados a partir del contacto que tiene el individuo con su
medio. La invención se realiza antes de cualquier procedimiento de resolución. Y la
segunda, es realizarlo dentro del proceso de resolución de un problema. Otro aspecto a
destacar de este autor es la estrategia utilizada para llevar a cabo la invención de
problemas de los catorce estudiantes de primaria que formaban parte de su estudio, a los
cuáles se presentaron varias tarjetas con diferentes ilustraciones relacionadas con el
contexto de los sujetos y después de una selección de alguna de las tarjetas debían
enunciar los problemas.
Para determinar el momento adecuado para la aplicación del proceso invención de
problemas se puede tomar como referencia la resolución de problemas, considerando esta
idea, Silver (1995), plantea que los problemas se pueden enunciar anteriormente a la
solución, en momento de la solución y después de la solución de un problema dado. Por
otro lado, Brown y Walter (1993), plantean la formulación de problemas en dos partes,
una llamada aceptación y la otra exigencia del problema dado. En ésta última etapa se
pueden generar nuevos problemas, a partir de los que han sido planteados. Desde de estas
ideas se genera la estrategia que denominan “what if not?” que consiste en cambiar las
condiciones y restricciones de un problema para poder plantear nuevos problemas en
forma sistemática. Justamente English (1997) hace uso de la estrategia “What if not?” en
un estudio con niños de primaria en el cual expresa que los estudiantes necesitan una base
de conocimiento que les dé la posibilidad de enfrentarse a las actividades cognitivas que
implica la invención de problemas, por lo que propone que un estudiante debe
comprender qué es un problema, reconocer su estructura e identificar estructuras similares
que le permitan inventar.
22
MARCO TEÓRICO
Para estudiar el conocimiento y las habilidades matemáticas de los estudiantes, Stoyanova
(1998), determina tres categorías de experiencia para el planteamiento de problemas. Una
de ella es a partir de situaciones libres en que los estudiantes no tienen restricción para
formular, la segunda toman como base para la invención situaciones semi-estructurada,
se debe enunciar problemas con alguna similitud a otros dados o se le da alguna exigencia
y la última categoría donde se considera que los problemas se reformulan o se cambia
alguna condición de un problema dado.
Otra clasificación es la que presenta Santos (2001), quien pone su atención en los
profesores y entrega cuatro estrategias para comenzar a generar problemas con los
estudiantes:

Estrategia espontánea: desde una situación que sea significativa para los alumnos
se dará inicio a un debate sobre ésta, lo que dará paso a un proceso de
problematización.

Estrategia de tema generativo: se le da la posibilidad a los estudiantes que
seleccionen un tema que sea de su interés y desde ésta investigan acerca de los
datos que se relacionan con la temática.

Estrategia de incentivo: es el profesor quien determina la temática a tratar, y
posteriormente, se debe motivar a los estudiantes para que realicen preguntas que
estén relacionadas con el tema.

Estrategias de analogía: comenzando de un problema conocido, los estudiantes
deben presentar problemas que tengan características similares respecto al
problema inicial.
Y una clasificación en base a la información que se les entrega a los estudiantes cuando
se les da una tarea de invención de problema, es la que entregan Christou, Mousoulides,
Pittalis, PittaPantazi y Sriraman (2005), la que consta de cinco categorías:

Solamente se requiere que el estudiante proponga problemas (Situación libre).

Que proponga un problema que responda a una respuesta dada.

Que la formulación de un problema a partir de una información específica.

Proponer problemas teniendo en consideración una situación.

Inventar problemas que se pueden resolver con un cálculo dado.
23
CAPÍTULO 3: METODOLOGÍA
1. TIPO DE INVESTIGACIÓN
Los significados que le dan a las operaciones aritméticas de adición y multiplicación han
sido largos y fuertemente estudiados desde la década de los ochenta, como queda de
manifiesto en el primer capítulo de esta memoria. Se lograron establecer categorías de
análisis bajo el enfoque semántico, incluso proponiendo categorías semánticas que son
más fáciles o difíciles que otras.
Buena parte de estos estudios, en lo que concierne a España, han sido realizados con
estudiantes de primaria. Por lo que esta etapa básica de conocimiento aritmético ha
logrado un nivel alto de estudio, mientras que en los cursos de secundaria, los estudiantes
deben continuar enfrentándose a los problemas pero que, en una nueva etapa, involucra
un conocimiento algebraico. Considerando el conocimiento que tenían en primaria,
pretendemos explorar y describir cuáles son los significados que le otorgan a las
operaciones algebraicas de adición y multiplicación en la educación secundaria, como ya
hacíamos referencia en el apartado 1.3.
Considerando a Hernandez, Fernandez y Baptista (2008), la investigación que se presenta
es un estudio exploratorio, ya que se examina un problema de investigación poco
estudiado y dada la revisión de la literatura consultada, involucra aspectos que no han
sido abordados con anterioridad. Para el marco teórico se consideró las categorías
semánticas para los problemas simples y compuestos, además de los aspectos más
relevantes acerca de la invención de problemas, considerando los objetivos trazados. Esta
investigación se ha diseñado con la intención de recoger información acerca de los
significados otorgados a las operaciones algebraicas de adición y multiplicación por un
grupo de estudiantes de secundaria, que se basan en datos y evidencias de carácter
empírico, que permitirá concluir acerca de cuáles son los significados de las operaciones
adición y multiplicación que conservar los estudiantes en secundaria.
La investigación es descriptiva (Hernandez et al., 2008), ya que se pretende describir
como los estudiantes le dan significados a las operaciones algebraicas de adición y
multiplicación. La muestra es intencional, debido a la disponibilidad existente, por lo que
no se pretende generalizar los resultados, sino que ahondar acerca de un contexto
específico. Con respecto al instrumento de recogida de datos, se ha considerado
24
METODOLOGÍA
experiencias de problemas que involucran las operaciones aritméticas de adición y
multiplicación; y que para su construcción se realizó entre el investigador y el tutor Dr.
Enrique Castro. Y respecto a los resultados, se han analizado en base a las categorías
semánticas de cada una de las operaciones involucradas.
2. SUJETOS DE ESTUDIO
En esta investigación se ha considerado una muestra de estudiantes que forman parte del
sistema educativo español pertenecen 3º año de la educación secundaria obligatoria. De
los estudiantes de la muestra, cincuenta y ocho pertenecen al “Instituto de Enseñanza
Secundaria Cartuja de Granada” y veinte forman parte del “Colegio Concertado San
José”, ambos establecimientos educacionales se ubican en el Barrio de Cartuja, Distrito
Norte, Granada; durante el curso 2013/2014.
Los cincuenta y ocho estudiantes pertenecientes al I.E.S Cartuja forman parte de los 3
cursos de 3º ESO que tiene el instituto y fueron los estudiantes que asistieron el día
asignado por el director del establecimiento, sin previo conocimiento de los escolares.
Mientras que de los veinte alumnos que forman parte del Colegio Concertado San José
pertenecen a los dos cursos de 3ª ESO que aporta el establecimiento y fueron los alumnos
que puso a disposición la directora del establecimiento en el día designado para llevar a
cabo la recogida de datos.
Los niveles económicos de las familias pertenecientes a este barrio, en el cual se ubican
los dos centros educativos, son de nivel bajo, al igual que los niveles socio-culturales.
Siendo, en términos generales, las características que predominan en esta muestra, aunque
esto no es objeto de estudio, si se deja registro de éstas.
En base a la información entregada por los profesores responsables de las asignaturas, los
estudiantes han recibido la instrucción necesaria respecto a las ecuaciones de primer
grado con niveles de dificultad altos. Además, los profesores manifestaron que todos los
contenidos necesarios para desarrollar el cuestionario diseñado para esta investigación
habían sido tratados durante cursos anteriores y el que se estaba cursando, y que ya fueron
evaluados por esos contenidos. Por lo que las condiciones para la aplicación son
consideradas como adecuadas para los objetivos trazados.
Teniendo como finalidad conocer el rendimiento de los estudiantes en la asignatura de
matemática, se les solicito a los directores las calificaciones de los estudiantes. Las notas
25
Ángelo Otárola Sáez
de los estudiantes del I.E.S Cartuja fueron enviadas a principios de junio, por lo que la
información corresponde a dos de las tres calificaciones totales del curso anual, así que a
partir de ella se obtuvo un promedio. Las notas de los alumnos del Colegio Concertado
San José fueron enviadas a finales de julio, teniendo los promedios del curso 2013/2014.
Con toda esta información, la muestra tiene un rendimiento heterogéneo en la asignatura
de matemáticas (Ver Anexo V) y el promedio de las calificaciones de los estudiantes fue
de 4,86; por lo que se ha considerado como un grupo de nivel medio.
3. INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS
El tópico que se desea en este estudio quedó determinado por nuestro objetivo general de
investigación. De este objetivo hay dos aspectos importantes que influyen directamente
con el diseño del instrumento de recogida de datos. El primero respecto a las operaciones
algebraicas seleccionadas para este estudio y el segundo en relación al uso de la invención
de problemas como herramienta evaluadora.
La gama de operaciones algebraicas que tenía en un inicio esta investigación,
considerando que los sujetos son estudiantes de secundaria, se acota a la adición,
sustracción, multiplicación y división. Como se ha hecho referencia en el apartado 3 del
capítulo 1, los investigadores han analizados estas operaciones desde un enfoque
semántico y en donde prevalecen como operaciones aritméticas. Considerando que esta
es una investigación de carácter exploratorio, se ha decido no ahondar en las operaciones
de sustracción y división. Primero, porque se tiene una base más amplia en la revisión
bibliográfica respecto a las operaciones aritméticas de adición y multiplicación. Y
segundo, porque la inclusión de estas operaciones implicaría realizar una profundización
en todos los aspectos que atañen al estudio, lo que provocaría una extensión temporal
mayor a los que conciernen a este trabajo de fin de máster.
Consideramos que la invención de problemas es una excelente herramienta para la
evaluación de los significados de las operaciones algebraicas de adición y multiplicación,
debido a esto, hemos decido utilizarla como una herramienta de recogida de información.
Respecto al rol que cumple la invención de problemas en esta investigación, destacamos
que no es central, ya que este lo cumplen los significados de las operaciones algebraicas
seleccionadas, pero no por eso no tiene una función importante en nuestra investigación.
La hemos incluido en este estudio por la cantidad de bondades que posee y que han sido
26
METODOLOGÍA
detalla en todo el apartado 2 de la presente memoria. Al respecto, Castro (2011), enumera
seis beneficios que posee la invención de problemas:

Incremento del conocimiento matemático de los estudiantes.

Aporta positivamente con la motivación de los estudiantes.

Ayuda positivamente con la ansiedad que les produce a los estudiantes las
matemáticas.

Disminuye los errores matemáticos.

Ayuda positivamente con la creatividad.

Función evaluadora para el profesorado.
En referencia al segundo punto, permitirá contribuir en el control del efecto de motivación
(León y Montero, 1997), considerando las características de la muestra. Además, coopera
con la disminución de los niveles de ansiedad (León y Montero, 1997) frente a
instrumentos evaluativos de contenido matemático. Y respecto al último punto, referente
a la posibilidad de utilizar la invención de problemas para evaluar determinadas
capacidades que tienen los estudiantes, el cual se utilizará para esta investigación.
Asimismo, como habíamos destacado al final del capítulo 2, Christou y otros (2005),
plantean que una categorización para la invención de problemas con estudiantes en
función de la información que se entrega en la actividad, de esa clasificación se ha
considerado la última categoría para la construcción del cuestionario, la cual plantea:
inventar problemas que se puedan resolver con un cálculo dado.
A continuación se presentan los aspectos principales que se ha tenido en consideración
para la construcción del instrumento, detallando las variables de tareas consideradas, el
tipo de ecuaciones presentadas, formato de presentación del instrumento, entre otras
ideas.
3.1 DISEÑO DEL INSTRUMENTO
El instrumento de recogida de datos se constituye de un cuestionario semi-abierto para la
invención de problemas, que consta de diez ecuaciones con una incógnita, las cuales serán
base para la invención de problemas.
En la parte superior del instrumento (Ver Anexo I) se le han entregado las instrucciones:
“En cada uno de los apartados siguientes escribe el enunciado de un problema inventado
por ti y que pueda resolverse con el planteamiento de la ecuación indicados. Es muy
27
Ángelo Otárola Sáez
importante que el problema que creaste se corresponda con la ecuación que se te
presenta en el apartado correspondiente. Posteriormente resuelve el problema y escribe
la respuesta. Recuerda hacerlo de forma ordenada y clara en el espacio asignado.”
La resolución del problema en esta investigación cumple un rol complementario y
permitirá analizar la relación que existe entre los sujetos que han inventado problemas
con un significado específico de la/las operación/es algebraicas correspondiente a cada
apartado del cuestionario, y la resolución correcta de la ecuación.
Las ecuaciones que conformaron el cuestionario serían:
𝑥 + 4 = 13
𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28
3 + 𝑥 = 18
𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15
2𝑥 = 14
15 + 5𝑥 = 75
𝑥 + 𝑥 = 12
6𝑥 + 12 = 72
𝑥 ∙ 𝑥 = 16
2𝑥 + 6𝑥 = 24
Para apreciar con más detalle la construcción y composición del cuestionario ver Anexo
VI apartado 1.
Las variables que han sido consideradas para la investigación son las siguientes:
1. Operación matemática: Con el deseo de determinar los significados de las operaciones
algebraicas de adición y multiplicación, la aparición de las operaciones nombradas es
uno de los elementos que ido marcando el proceso de construcción del instrumento
de recogida de datos, existiendo ecuaciones que se encuentran con esta operación.
Además en la operación algebraica de multiplicación, su aparición en las ecuaciones
se puede encontrar con diferentes productos. El contraste que exista entre su aparición
o ausencia dará luces de los significados que tenga para los estudiantes y poder
realizar la comparación con otras variables. Finalmente, se ha considerado la
combinación de ambas operaciones estableciendo nuevas relaciones entre los
elementos.
Los niveles de la variable son: Adición, Multiplicación
y
Adición/Multiplicación.
2. Elementos operatorios y su ubicación: Consideramos la ubicación de los elementos
operatorios se encontrarán en una primera posición, en un miembro de la igualdad, o
28
METODOLOGÍA
en una posición secundaria. Para el caso Expresión Algebraica/Escalar no se ha
tomado en consideración. debido a su nulo uso algebraico por acuerdo matemático,
por lo que no se ha tenido en cuenta como un nivel para la variable en esta operación.
Se ha establecido que los niveles son: ubicación primaria y ubicación secundaria. Los
sumandos y los productos en las operaciones respectivas no han sido puestos al azar,
por lo que permitirán apreciar la existencia de diferencia entre los significados según
estas variables. Los niveles que existen en esta variable, donde la ubicación de los
términos tiene importancia y tampoco han sido al azar, son escalar/expresión
algebraica, expresión algebraica/ expresión algebraica y expresión algebraica /escalar.
Considerando las variables, las ecuaciones que cumplen con cada uno de los niveles, se
presentan en la tabla 2.
Tabla 2
Distribución de las ecuaciones según las variables operaciones matemáticas y los
elementos operatorios y su ubicación.
Adición
Multiplicación
Adición
Multiplicación
Exp.
3 + 𝑥 = 18
2𝑥 = 14
Exp. Algebraica / Exp.
Algebraica
𝑥 + 𝑥 = 12
𝑥 ∙ 𝑥 = 16
Exp.
Algebraica
Escalar
𝑥 + 4 = 13
------------------
Escalar
/
Algebraica
/
6𝑥 + 12 = 72
𝑥(𝑥 + 1) = 15
2𝑥 + 6𝑥 = 24
15 + 5𝑥 = 75
/
𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28
Posteriormente, se consideraron varios aspectos para la composición de los dos
cuestionarios. Para profundizar en éstos, ver Anexo VI apartado 2.
El orden establecido para las ecuaciones en los cuestionarios es el siguiente:
Ecuación
Operación
Elementos
Apartado a
𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟐𝟒
Adición / Multiplicación
Exp. algebraica / Exp. algebraica
Apartado b
𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟑
Adición
Exp. Algebraica / Escalar
Apartado c
𝒙 + 𝒙 = 𝟏𝟐
Adición
Exp. Algebraica / Exp. Algebraica
29
Ángelo Otárola Sáez
Apartado d
𝟏𝟓 + 𝟓𝒙 = 𝟕𝟓
Adición/ Multiplicación
Escalar / Exp. algebraica
Apartado e
𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝟖
Adición/ Multiplicación
Exp. Algebraica / Escalar
Figura 9. Ecuación del cuestionario A según las variables de operación y elementos.
Ecuación
Operación
Elementos
Apartado a
𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟏𝟔
Multiplicación
Exp. Algebraica / Exp. Algebraica
Apartado b
𝟑 + 𝒙 = 𝟏𝟖
Adición
Escalar / Exp. algebraica
Apartado c
𝟐𝒙 = 𝟏𝟒
Multiplicación
Escalar / Exp. algebraica
Apartado d
𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟕𝟐
Adición/ Multiplicación
Exp. Algebraica / Escalar
Apartado e
𝒙(𝒙 + 𝟏) = 𝟏𝟓
Adición/ Multiplicación
Exp. Algebraica / Exp. Algebraica
Figura 10. Ecuación del cuestionario B según las variables de operación y elementos.
4. APLICACIÓN DEL INSTRUMENTO DE RECOGIDA DE DATOS.
El cuestionario está constituido por 4 hojas que no están impresas por el reverso del folio.
El cuestionario completo se puede revisar en el Anexo I. En la primera página del
cuestionario, tiene una hoja con instrucciones previas al inicio del desarrollo del
instrumento que es leído en voz alta por el investigador mientras los estudiantes siguen la
lectura en sus propios documentos, esta dice lo siguiente:
“Hola, soy Ángelo Otárola, profesor de matemática. Actualmente me encuentro
realizando un Máster en Didáctica Matemática en la Universidad de Granada, en el que
se investiga sobre la educación matemática, cómo se puede aprender y enseñar mejor las
Matemáticas. Estoy realizando un trabajo de investigación y necesito vuestra
colaboración, que consiste en responder a un cuestionario. En este cuestionario se han
incluido una serie de ecuaciones algebraicas y lo que se os pide que hagáis es inventar
en cada apartado un problema que se resuelva utilizando la ecuación correspondiente
incluida en ese apartado. Podéis inventar el problema que vosotros queráis y debéis
escribir el enunciado del problema. Una vez redactado el problema debéis resolverlo.
Debéis contestar al cuestionario de forma ordenada y clara en el espacio asignado. Si en
alguno no sabéis lo que poner podéis saltároslo y continuar con otro, para luego volver
a aquel que os haya generado dificultad. Es importante que la trabajéis individualmente
y en silencio.
30
METODOLOGÍA
Antes de empezar: Si tenéis alguna duda, podéis levantaros la mano y me dirigiré a
aclarar vuestra duda. Si no es así, espero que la actividad sea de vuestro agrado. Tenéis
50 minutos para responder.”
En la siguiente página, en la parte superior, a los estudiantes se les solicita su
identificación: nombre y apellido, fecha de nacimiento, colegio, curso, grupo y fecha.
Posteriormente, se encontrarían las ecuaciones correspondientes al cuestionario con el
espacio para el desarrollo de la actividad para cada apartado.
El instrumento fue aplicado en cuatro instancias y en todas se utilizó el mismo
procedimiento para la aplicación del cuestionario.

Se les solicita a todos los estudiantes que se sienten en formación de examen.

Se hace entrega del cuestionario de forma aleatoria, pero de tal manera que dos
estudiantes cercanos no tuviesen el mismo cuestionario.

Antes de dar inicio con el cuestionario se hace lectura del instrumento y se aclarar
dudas respecto al mismo.

Al finalizar el tiempo asignado se retiran los cuestionarios y se agradece la
colaboración por parte de los estudiantes.
Respecto a la implementación, en el I.E.S Cartuja se aplicó los días 22 y 24 de abril de
2014. Durante la aplicación del cuestionario estuvo presente la profesora de la asignatura
de matemática de los estudiantes consultados, la que no tuvo relevancia en el desarrollo
del proceso y solo el investigador aclaró las dudas que hicieron los estudiantes,
información que fue muy limitada y remitida a aspectos generales del instrumento, para
evitar efectos, por parte del investigador, en los resultados. También se hizo esto en el
Colegio Concertado San José, en el que el instrumento fue implementado el día 25 de
abril del 2014.
31
CAPÍTULO 4: ANÁLISIS DE LOS DATOS Y
RESULTADOS
En este capítulo presentaremos como hemos analizado los datos obtenidos a partir del
cuestionario que fue descrito anteriormente. Como primera instancia se presentará el
análisis de los datos que se han obtenido del instrumento de recogida de datos y el detalle
de los resultados. Este último se hará por cada ecuación que conformó el cuestionario.
1. ANÁLISIS DE LOS DATOS DEL CUESTIONARIO
A continuación mostraremos los criterios que se han considerado para el análisis que
fueron obtenidos del instrumento de recogida de datos. Se presentaran los análisis de los
enunciados que han sido inventados por los alumnos y que son extraídos sin
modificaciones del cuestionario, lo que significa que contienen detalles en la redacción y
errores ortográficos que son presentados de la misma forma que el estudiante los comete.
Cómo han sido designados los sujetos, se presenta en la tabla 3.
Tabla 3
Designación simbólica de los sujetos según su procedencia y tipo de cuestionario.
Procedencia
Asignación
Cuestionario A
Asignación Cuestionario
B
Sujetos del 3ºA Colegio Cartuja
A1 al A8
B1 al B8
Sujetos del 3ºB Colegio Cartuja
A19 al A29
B19 al B29
Sujetos del 3ºC Colegio Cartuja
A9 al A18
B9 al B18
Sujetos del 3ºA y 3ºB Colegio San José B30 al B39
B30 al B39
Los estudiantes han sido agrupados por el curso de procedencia, pero su asignación ha
sido aleatoria ya que el cuestionario fue entregado al azar, por lo que el hecho de que un
sujeto haya tenido el cuestionario A o B, se debe solo al azar. También, dentro de la
misma procedencia los estudiantes son asignados aleatoriamente, sin considerar ningún
aspecto previo.
El seleccionar al azar puede provocar que los dos grupos de estudiantes que respondan
no sean equivalentes en rendimiento en la asignatura de matemática. Como detallábamos
en el capítulo anterior, se solicitaron las calificaciones de los sujetos a los directores. En
32
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
el Anexo V se pueden ver los promedios de las calificaciones de los estudiantes. Respecto
a los estudiantes que respondieron el cuestionario A tienen un promedio de 4,87; y el
grupo de estudiantes que respondieron el cuestionario B tienen un promedio de 4,85. Se
pueden consideran como dos grupos de similares características y con un rendimiento en
la asignatura de matemática prácticamente equivalente.
Luego de un estudio previo de todos los enunciados planteados por los estudiantes, se
determinó que el análisis se llevará a cabo, en una primera instancia, analizando aquellos
enunciados que son contextualizados. Posteriormente, de aquellos enunciados
contextualizados, se determina si se está en presencia de un problema de enunciado
verbal, correspondiendo con la ecuación que se le ha propuesto, y que, dependiendo del
tipo de problema que sea (Simple o compuesto), se realiza un análisis para definir la
categoría semántica en la que se encuentra o el esquema correspondiente con sus
estructuras internas, según sea el caso. Este proceso se hace con respecto a las
definiciones entregadas en capítulo 2.
Luego de este análisis, aquellos enunciados no contextualizados y los que no son
considerados como problemas de enunciados verbales, se pretende describir que es lo que
está haciendo el estudiante en su enunciado. Para hacer el análisis de estos enunciados,
luego de realizar un análisis previo de todos los enunciados planteados y considerando
experiencias previas, se ha estimado conveniente definir una serie de descriptores que
cumplen esta función y que precisaremos a continuación. Estos descriptores pueden tener
un rol primario o secundario, según sea el enunciado que se plantea. Así, tomando en
consideración el objetivo trazado para este trabajo de fin de master, se han definido los
descriptores y su rol primario o secundario, colocando la atención en describir en su
máxima expresión los enunciados que han propuesto los alumnos, dejando de lado
aspectos resolutorios y su relación con el enunciado.
Definición de un descriptor primario: expresa como el estudiante está planteando su
enunciado. Este rol lo puede cumplir a cabalidad o prácticamente en su totalidad, si es el
segundo caso, se adjuntará un descriptor secundario o más. Todo enunciado que no tiene
una clasificación semántica o esquema compuesto de dos relaciones debe poseer algún
descriptor primario que permita describir lo que el estudiante inventa.
Definición de un descriptor secundario: expresa situaciones puntuales que el descriptor
primario es incapaz de definir por sí solo, complementando lo descrito por el descriptor
33
Ángelo Otárola Sáez
primario y así detallar, adecuadamente, lo que el alumno enuncia. Debe ir acompañado
de un descriptor primario para expresar que ocurre en el planteamiento, puesto que por sí
solo es incapaz de explicar lo que ocurre en el enunciado.
Destacamos que un enunciado debe tener al menos uno y no más de un descriptor
primario, mientras que no es necesario que tenga un descriptor secundario, pero si es
preciso, puede tener uno o más de uno.
Definición del descriptor
1) Transcribir: Proceso que realiza el estudiante al inventar un enunciado que consta
en intentar reescribir la ecuación matemática en lenguaje verbal. Muy similar a una
paráfrasis, llevando a cabo una explicación o interpretación amplificativa de la
ecuación para ilustrarla.
Caracterización
de
los
enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
En el enunciado, al tener como Sujeto B17 para la ecuación 2𝑥 = 14:
referencia la ecuación, utiliza un “Fátima quiere comprarse 2 camisetas
lenguaje verbal que es propio del que multiplicando por un número es 14
usado en la sala de clases para ¿Cuál es ese número?”
inventar el enunciado, en desmedro
de un lenguaje contextualizado a
situaciones
apreciar
reales.
Se
expresiones
puede
como
“sumando”, “multiplicando”, “si
se suma”, “si se multiplica”, “al
sumar”,
“al
multiplicar”,
“Desconocido”, etc.
Consideración
-
Ejemplo
Se adjunta el descriptor a pesar si el Sujeto B27 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16:
estudiante agrega sujetos ficticios y “Si multiplicamos el dinero de Estela por
le da etiquetas a las incógnitas.
34
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
el mío da 16€, ¿Cuánto tenemos
ahorrado cada una?”
Figura 11. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
transcribir.
Definición del descriptor
2) Enunciado indefinido: Planteamiento que no logra una relación total, en el proceso
de invención, entre la ecuación y el enunciado. En el enunciado se establecen relaciones
inadecuadas entre los elementos implicados en la ecuación y los del enunciado
inventado, por lo que no hay una coherencia interna al mismo.
Caracterización
de
los
enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
Se
expresiones “Tengo 16 canicas, hay de dos tipos y son
aprecian
las mismas si las multiplicas ¿Cuánto
contradictorias.
tengo?”
Consideración
-
Ejemplo
Todo enunciado que tenga una Sujeto B18 para la ecuación 3 + 𝑥 = 18.
ausencia de una operación de “En una frutería ahí una caja con tres
adición,
relación
multiplicación
de
o
igualdad
una manzanas rojas y en otro ahí un montón
entre de
manzanas
amarillas.
¿Cuántas
expresiones que debe conformar la manzanas amarillas hay en la segunda
ecuación,
se
le
cataloga
este caja?”
descriptor.
Figura 12. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
enunciado indefinido.
Definición del descriptor
3) Planteamiento para otra ecuación o igualdad: proponer un enunciado que no se
relaciona con la ecuación solicitada, sino más bien con otra ecuación, con una igualdad
de términos numéricos o una operatoria entre elementos.
35
Ángelo Otárola Sáez
Caracterización
de
los
enunciado Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
Del enunciado se puede determinar una Sujeto A30 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 =
ecuación o igualdad diferente a la pedida.
28: “Tiri y Ana tienen la misma edad, si
le sumas la edad de María que tiene 5
años nos da la edad de Juana que tiene
28.”
Consideración
-
Ejemplo
Expresiones de cálculo simple son Sujeto B13 para la ecuación 2𝑥 = 14:
consideradas como una ecuación o “Alicia tiene 7 caramelos y Angel el
expresión.
doble que ella. ¿Cuantos caramelos tiene
ángel?”.
La
resolución
de
este
planteamiento se representa con la
ecuación 2 ∙ 7 = 𝑥
Figura 13. Definición, caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor
plantear para otra ecuación o igualdad.
Definición del descriptor
4) Sin pregunta: En el enunciado no existe ningún indicio, ya sea una frase o palabra,
que haga referencia de la búsqueda de un elemento desconocido que esté relacionado
con alguna incógnita.
Caracterización
de
los
enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
No hay uso de expresiones como Sujeto B5 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16:
averigua,
encuentra,
halla
o “Tenemos un objeto desconocido que
expresiones similares. Tampoco multiplicándolo
una pregunta.
por
otro
objeto
desconocido el resultado sale 16”
Figura 14. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor sin pregunta.
36
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Definición del descriptor
5) Presencia de expresión/es algebraica/s o ecuación: en el enunciado se puede
encontrar expresiones algebraicas en forma explícita, o la ecuación completa que se le
ha entregado al estudiante para inventar.
Caracterización 1 de los enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
Se aprecian expresiones algebraicas Sujeto B25 para la ecuación 𝑥(𝑥 + 1) =
sin darle un sentido en el contexto 15: “Para sacar 15 coches tengo que
inventado.
tener 𝑥 2 de gasolina y 𝑥 de aceite,
¿Cuánto necesita de cada?”
Caracterización 2 de los enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
Se puede encontrar la ecuación en el Sujeto B11 para la ecuación 3 + 𝑥 = 18:
enunciado.
-
“En la ecuación 3 + 𝑥 = 18 qué valor
El estudiante puede solicitar la tiene la incógnita x”
resolución de la ecuación.
Figura 15. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor presencia de
expresiones algebraicas o ecuación.
Definición del descriptor
6) Agregar información: añadir información en el enunciado que es ajena a la
ecuación propuesta para la invención del problema.
Ejemplo
Sujeto A33 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28: “La edad de Antonio multiplicada por sí
misma, y sumándole 13, da la edad de su padre, que es 49.”
Figura 16. Definición y ejemplo para el descriptor agregar información.
Definición del descriptor
37
Ángelo Otárola Sáez
7) Expresión/es operacional/es: en el enunciado el estudiante agrega expresión/es
operacional/es, que se manifiestan en forma verbal.
Caracterización
de
los
enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
- Considera todos aquellos que no son una Sujeto B39 para la ecuación 2𝑥 = 14:
“Pedro y José tienen el mismo número de
transcripción.
- Agregan expresiones verbales como
“suma”, “multiplicación” o expresiones
caramelos y la suma de los dos es 14
¿Cuántos tienen cada uno?
operacionales similares.
- No se consideran cuando se usan con
problemas relacionados con edades.
Figura 17. Caracterización, consideración y ejemplos para el descriptor expresiones
operacionales.
Definición del descriptor
8) Desconexión enunciado-pregunta: el enunciado previo a la pregunta que realiza el
estudiante no se relaciona con lo preguntado. Generando una inconexión.
Caracterización
de
los
enunciados Ejemplo
inventados adjuntos al descriptor
-
Generalmente,
no
se
puede Sujeto A37 para la ecuación 15 +
responder a la pregunta planteada, 5𝑥 = 75: “Si hay 15 cajas de manzanas
puesto que con los datos entregados y 5 sandias ¿Cuánto pesan en total?”
no se logra dar una solución.
Figura 18. Definición, caracterización y ejemplos para el descriptor desconexión
enunciado-pregunta.
Complementando la información que nos entregan los descriptores se hace un desglose
de los resultados generales por individuo, mostrando características generales de lo que
el estudiante está haciendo. En en los enunciados destacados mostraremos parte de lo que
inventa el estudiante y en otros casos, se presentarán imágenes de los enunciados
inventados.
38
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Hay una situación puntual que será tratado y tendrá notación especial. Nos referimos a
aquellos enunciados que son de cálculo numérico los cuales se caracterizan por tener una
operatoria entre elementos, donde se pregunta por una cantidad total o se enuncia para la
búsqueda ésta. Por ejemplo el sujeto B15 plantea para la ecuación 3 + 𝑥 = 15 el siguiente
enunciados: “Hoy he ganado 3€ y durante los próximos 5 días ganarse 15€ más. 3€ cada
día que pase. ¿Cuanto tendré después de esos 5 días”. Para este caso su estructura
sintáctica se traduce de la siguiente forma 3 + 3 ∙ 5 = 𝑥, estableciendo una ecuación, pero
aclarando que el estudiante no ha hecho referencia a una igualdad, si ocurre esa situación
se aclarará en los resultados.
2. RESULTADOS POR ECUACIÓN
2.1 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟑.
Para la ecuación 𝑥 + 4 = 13 los sujetos que no han realizado enunciado contextualizado
son A4, A35 y A37.
Tabla 4
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 + 4 = 13.
Frecuencia
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
Total
17
17
5
39
Son cinco los estudiantes que no realizan ningún planteamiento que son los sujetos A5,
A14, A19, A27 y A28, quedando un total de 34 planteamientos que han sido codificados.
De este grupo la presencia de las categorías semánticas ocurre en diecisiete enunciados y
en el resto hay diversos descriptores que explican la razón por la cual no han sido
considerados dentro de las categorías semánticas.
Tabla 5
Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 + 4 = 13.
Frecuencia
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
8
7
1
1
Para la categoría de cambio, son ocho los estudiantes que hacen problemas relacionados
con ésta. Dónde los sujetos A1, A6, A7, A10, A33 y A38, plantean, considerando como
incógnita, la cantidad inicial, mientras tanto que los sujetos A8 y A36, lo hacen para la
cantidad de cambio. Los sujetos que han planteado problemas considerados en la
39
Ángelo Otárola Sáez
categoría de combinación son A2, A9, A18, A22, A30, A34 y A39. Respecto a la
categoría de combinación, debido a las características de la ecuación, no hay presencia de
problemas donde se desconoce el tamaño de los subconjuntos, por lo que todos los
enunciados se desconocen una de éstos subconjuntos. Para la categoría de igualación solo
el sujeto A24 hace un planteamiento relacionado con ésta categoría, lo que se puede
apreciar en la figura 19.
Figura 19. Problema inventado por sujeto A24 para la ecuación x+4=13. Categoría de
Igualación.
Su representación esquemática se presenta en la figura 20.
?
13
4
Figura 20. Esquema del enunciado inventado por sujeto A24 para la ecuación x + 4 =
13. Categoría de igualación.
Implícitamente en el problema existe una comparación entre la cantidad referente que son
los 13 € y el comparado que es la cantidad que posee, la que es 4 €. Todo esto debido a
que el problema pregunta por cuanto me tienen que dar, es decir, está solicitación es una
acción para alcanzar el valor del referente y estaría preguntando por la diferencia.
En la categoría de comparación solo el estudiante A13 tiene un problema, relacionado
con precios de objetos, muy similar al anterior ejemplo presentado, pero donde hay una
relación estática que lo diferencia de éste.
De todos los sujetos que han que han sido considerado en alguna de las categorías, los
sujetos A1, A8 y A36, no han resuelto la ecuación 𝑥 + 4 = 13 de forma correcta. El resto
de los estudiantes tiene una resolución correcta.
Tabla 6
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 + 4 = 13.
40
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Descriptor Primario
Frecuencia
Transcribir la ecuación
8
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
5
Enunciado indefinido
4
Un descriptor primario que se puede encontrar en esta ecuación es el de transcribir la
ecuación planteada a lenguaje verbal. Éste descriptor es el que más presencia tiene entre
los diecisiete enunciados que no han sido considerados en las categorías semánticas. Los
sujetos que hacen esto son A4, A32, A35 y A37. Además los sujetos A12, A16, A17 y
A21 (Ver figura 21) le dan un contexto, pero implícitamente hay una acción de transcribir
la ecuación, lo que nos da un total de ocho enunciados que cumplen con esta
característica.
Figura 21. Problema inventado por sujeto A21 para la ecuación 𝑥 + 4 = 13.
Descriptor primario transcribir la ecuación.
El otro descriptor primario que tiene mayor frecuencia, es aquel, detalla aquellos
enunciados indefinidos, donde se encuentra los estudiantes A3, A12 y A25. El estudiante
A29 también presenta el descriptor primario enunciado indefinido, ya que no relaciona
cantidades conocidas y desconocidas, que en su enunciado establece una relación de
mayor y menor entre el valor 4 y la incógnita, pero establece que 4 debe ser el valor
mayor, y por la estructura de la ecuación esto no puede ser posible.
El descriptor primario denominado planteamiento para otra ecuación o igualdad, lo
presenta el alumno A20, ya que enuncia en base a la ecuación 13 – 4 = 𝑥. A23 se
resuelve con la ecuación 200 − 291 = 𝑥. En la misma situación se encuentra al sujeto
A26 que cambia la operación de adición por una división, lo que se puede constatar en
el enunciado con la frase “13 estanterías divididas por x”. Y los sujetos A15 y A31
enuncian una ecuación de primer grado con dos incógnitas: 𝑥 + 𝑦 = 13.
Tabla 7
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 + 4 = 13.
41
Ángelo Otárola Sáez
Descriptor Secundario
Presencia
ecuación
de
expresiones
Frecuencia
algebraicas
o
8
Agregar información
2
Sin pregunta
1
De los descriptores secundarios, el que destaca en esta ecuación es el denominado agregar
expresiones algebraicas en el enunciado. El sujeto A1 y A12 tienen la expresión “x”,
situación que también llevan a cabo los estudiantes A11, A22, A25, A26 y A33 pero en
otro contexto, mientras el sujeto A32 hace referencia a la misma expresión pero lo hace
en la pregunta del enunciando “¿Qué número es x?”.
El descriptor llamado agregar información se le ha adjuntado al sujeto A23, puesto que
establece una relación entre el valor 291 y 200. El sujeto A32 en su planteamiento tiene
“… en total tendría 10 manzanas”. Finalmente, el descriptor secundario sin pregunta
ocurre con el sujeto A8.
2.2 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟑 + 𝒙 = 𝟏𝟖.
En el caso de la ecuación 3 + 𝑥 = 13, los alumnos que no hicieron enunciado
contextualizado son B11 y B31.
Tabla 8
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 3 + 𝑥 = 18.
Frecuencia
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
Total
26
10
3
39
Los sujetos no han inventado enunciado son B2, B20 y B24, por lo que son treinta y seis
los enunciados que han sido analizados. Al estudiar estos enunciados, son veintiséis los
que se han considerado en alguna de las categorías semánticas, mientras que la diferencia
se les ha adjuntado algún descriptor primario.
Tabla 9
Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 3 + 𝑥 = 18.
Frecuencia
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
11
15
0
0
42
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
La categoría de cambio alcanza once de los enunciados considerados en las categorías
semánticas. Los sujetos B8 y B37 inventan problemas donde la incógnita hace referencia
a la cantidad inicial, por otro lado, los sujetos B7, B14, B16, B21, B22, B27, B29, B30 y
B35 lo hacen para la cantidad de cambio. Para la categoría de combinación, al igual que
en la ecuación anterior, todas las preguntas van dirigidas hacia uno de los subconjuntos,
donde la parte complementaria la definen como número 3 y el conjunto total lo hacen con
el número 18.
La categoría de combinación se presenta en quince casos. Los estudiantes considerados
en esta categoría son B1, B3, B4, B6, B9, B10, B12, B13, B19, B23, B25, B26, B28, B33
y B34.
Figura 22. Problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 3 + 𝑥 = 18. Categoría
de combinación.
Su representación esquemática es la siguiente:
x
3
18
Figura 23. Esquema del problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 3 + x = 18.
Categoría de combinación.
Todos los sujetos que han inventado problemas considerados en alguna categoría
semántica han resuelto correctamente la ecuación, excepto el estudiante B22 que no tiene
ningún desarrollo.
Tabla 10
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 3 + 𝑥 = 18.
Descriptor primario
Frecuencia
43
Ángelo Otárola Sáez
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
4
Transcribir la ecuación
3
Sin pregunta
1
Enunciado indefinido
1
Agrega expresión algebraica o ecuación
1
De los cinco descriptores primarios, el de mayor frecuencia es el denominado
planteamiento para otra ecuación o igualdad. Uno de los sujetos que fue considerado con
èste es B15, quién hace un planteamiento para la ecuación 3 + 15 = 𝑥. También el
sujeto B17, B36 y B38 enuncian en base al segundo paso de resolución de la ecuación,
que es 𝑥 = 18 – 3.
Figura 24. Esquema del enunciado inventado por sujeto B17 para la ecuación 3 + 𝑥 =
18. Descriptor primario planteamiento para otra ecuación o igualdad.
El segundo descriptor consiste en transcribir la ecuación, situación que ocurre con tres
sujetos. En este caso, los estudiantes que parafrasean la ecuación son B31, B32 y B39.
El tercer descriptor primario se le denomina sin pregunta, el cual se le ha adjuntado al
estudiante B5 que realiza un planteamiento acorde a lo solicitado, pero no hace una
pregunta, lo que provoca que la invención carezca de sentido.
El sujeto B11 coloca la ecuación directamente en su enunciado y pregunta por la
incógnita, por lo que se le ha adjuntado el descriptor primario agrega expresión algebraica
o ecuación.
El último descriptor primario es el denominado enunciado indefinido. En este caso el
estudiante B18 inventa un enunciado que no es posible de resolver, ya que se representa
por la expresión algebraica 3 + x, la que no presenta ninguna igualdad y en el enunciado
no se hace referencia de esto, además que el número 18 no está presente en el enunciado.
44
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Todos los sujetos que han inventados problemas que han sido considerados en alguna de
las categoría, tienen correcta la resolución de la ecuación 3 + 𝑥 = 18, excepto el
estudiante A22.
Tabla 11
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 3 + 𝑥 = 18.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
2
Expresiones operacionales
1
El descriptor secundario, presencia de expresión algebraica o ecuación, ocurre con los
sujetos B11 y B38, quiénes para este caso específico colocan la ecuación en el enunciado
inventado.
Y el descriptor secundario, agregar información, se le ha adjuntado al sujeto B15 quién
añade el valor “5 días” en el enunciado.
2.3 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 + 𝒙 = 𝟏𝟐.
En la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12, los estudiantes que no hicieron enunciados contextualizados
son A4, A13, A16, A27, A33, A35 y A37.
Tabla 12
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
Frecuencia
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
Total
8
26
5
39
Los sujetos que no han inventado problemas son A3, A5, A14, A19 y A28, por lo que son
treinta y cuatro enunciados que se han analizado. Con respecto a este grupo, son ocho los
que son considerados en alguna de las categorías semánticas. Complementando esta
cantidad, los descriptores primarios en esta ecuación son veintiséis, con lo que nos da la
cantidad total de sujetos que respondieron el cuestionario A.
Tabla 13
Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
45
Ángelo Otárola Sáez
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
1
7
0
0
Frecuencia
De aquellos problemas que han sido considerados en alguna de las categorías, solo uno
forma parte de la categoría de cambio, que se ha planteado en un contexto de distancia
entre dos puntos, problema que es planteado por el alumno A9 (Ver figura 25). La
categoría con mayor casos es la de combinación, donde la frecuencia de invención es de
7, de los sujetos que han enunciado son A10, A12, A15, A20, A22, A30 y A38. Mientras
que para las categorías de combinación e igualación no hay ningún problema que sea
considerado en estas categorías.
Figura 25. Problema inventado por sujeto A9 para la ecuación x + x = 12. Categoría de
cambio.
Su representación esquemática es la siguiente:
Figura 26. Esquema del problema inventado por sujeto A9 para la ecuación 𝑥 + 𝑥 =
12. Categoría de cambio.
Todos los problemas inventados por los sujetos y que son considerados dentro de alguna
de las categorías semánticas han resuelto de forma correcta la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
Tabla 14
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
Descriptor primario
Frecuencia
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
15
Enunciado indefinido
6
Transcripción
5
46
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
El descriptor que explica la mayor cantidad de enunciados que no han logrado ser
considerado en alguna de las categorías semánticas, ha sido el de crear un planteamiento
para otra ecuación o igualdad. Al desglosar este dato, se aprecia que son once estudiantes
que en sus enunciados hacen referencia a la ecuación x + y = 12, la cual tiene infinitas
soluciones. Los alumnos que presentan este descriptor son A1, A8, A11, A17, A18, A31,
A33, A34, A35, A36 y A39.
En el mismo descriptor planteamiento para otra ecuación o igualdad hay tres enunciados
que se caracterizan por tener un cambio de estructura operacional, situación que ocurre
con los estudiantes A2, A6, y A7. Por ejemplo, el sujeto A2, realiza un planteamiento que
no corresponde a la estructura aditiva a la cual pertenece la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12, lo
que queda en evidencia cuando expresa “Rosa ha gastado 12 € en 2 libros idénticos” lo
que no responde a las condiciones de la ecuación solicitada.
Enunciado indefinido es el segundo descriptor primario con más frecuencia donde hay
seis casos que se presenta esta condición, que son los sujetos A4, A24 (Ver figura 27),
A25,
A26,
A27
y
A29.
Figura 27. Enunciado inventado por sujeto A24 para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
Descriptor primario enunciado indefinido.
En este ejemplo, se puede apreciar que el estudiante coloca los elementos involucrados
como es la incógnita y 12, pero agrega otra incógnita, por lo que no aprecia que la
expresión debe ser x + x, la incógnita no puede tener dos valores distintos y no dar paso
algún tipo de otra expresión con dos variables. Además no hay ningún elemento verbal
que de indicios de operación aritmética. Cabe decir que la expresión “la solución es 12”
no podemos establecer a cuál de los dos números incógnitos que se plantearon en el
enunciado se refiere. Finalmente, el estudiante no establece una igualdad entre elementos,
por lo que no está la posibilidad de formar una ecuación.
Son cinco los casos de transcripción de la ecuación, los sujetos A13, A16, A21, A32 y
A37, quienes lo hacen en un contexto de números.
Tabla 15
47
Ángelo Otárola Sáez
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 + 𝑥 = 12.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Presencia de expresiones algebraicas
2
Agregar información
2
El sujeto A11 agrega una expresión algebraica en la pregunta del enunciado “¿qué cifras
corresponden a las x?”. Situación que se repite con el sujeto A26 quien pregunta por x.
El segundo descriptor secundario ocurre en el enunciado inventado por el estudiante A23
que agrega los valores 130 y 122. Y el otro sujeto que agrega un dato numérico es el A32
que en su planteamiento utiliza el valor 18.
2.4 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟐𝒙 = 𝟏𝟒.
En el caso de la ecuación 2𝑥 = 14, los estudiantes que no han inventado enunciados
contextualizados son los alumnos B21 y B25.
Tabla 16
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 2𝑥 = 14.
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
Total
9
23
7
39
Frecuencia
Hay siete estudiantes que no han planteado ningún problema, lo que da un total de treinta
y dos enunciados que han sido considerados en alguna de las categorías semánticas o
tienen algún descriptor primario. El grupo de estudiantes sin enunciado está conformado
por los sujetos B2, B9, B15, B20, B24, B29 y B36.
Tabla 17
Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 2𝑥 = 14.
Proporcionalidad simple Producto cartesiano
Frecuencia
9
0
Comparación
0
Todos los problemas inventados por los alumnos forman parte de la categoría semántica
de proporcionalidad simple. De estos enunciados, son siete los que cumple con ser del
tipo división partitiva, los que han sido creados por los estudiantes B3, B6, B7, B8, B12,
B23 y B34. Los otros dos problemas son del tipo división cuotitiva y que los inventaron
los alumnos B4 y B27.
48
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Figura 28. Problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 2𝑥 = 14. Categoría
proporcionalidad simple. Tipo división cuotitiva.
𝑀1
𝑀2
1
2
𝒙
14
Figura 29. Esquema del problema inventado por sujeto B4 para la ecuación 2x=14.
Categoría proporcionalidad simple. Tipo división cuotitiva.
Todos los problemas planteados por los estudiantes y que son considerados en alguna
categoría, han resuelto correctamente la ecuación 2𝑥 = 14.
Tabla 18
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 2𝑥 = 14.
Descriptor primario
Frecuencia
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
12
Transcripción
7
Enunciado indefinido
4
El descriptor planteamiento para otra ecuación o igualdad tiene la mayor cantidad de
casos para la ecuación 2𝑥 = 14. Los estudiantes B1, B11 y B38 quiénes hacen un
planteamiento que se resuelve con el segundo paso de resolución de la ecuación solicitada
que es 𝑥 =
14
2
. A diferencia de los casos anteriores, el sujeto B13 inventa un enunciado
que se resuelve con la expresión 𝑥 = 2 ∙ 7. Por otro lado se puede apreciar enunciados
que propone una división en partes no iguales, situación que ocurre con los alumnos B10,
B14(Ver figura 30), B16, B26, B31 y B34.
49
Ángelo Otárola Sáez
Figura 30. Enunciado inventado por sujeto B14 para la ecuación 2𝑥 = 14. Descriptor
primario planteamiento para otra ecuación o igualdad.
Continuando con el mismo descriptor para la ecuación 2𝑥 = 14, destacamos casos en los
que ocurre un cambio de estructura operacional. Uno de los sujetos considerados con este
descriptor es B22, quién plantea un enunciado que es resuelto con la ecuación 2 + x = 14,
cambiando a la estructura aditiva, con respecto a la ecuación original. B39 también hace
un cambio de estructura operacional donde su planteamiento se resuelve con la ecuación
x + x = 14.
Nuevamente la transcripción vuelve a ser un descriptor con alta presencia. Los sujetos
que han realizado esto son B17, B21, B25, B28, B32 y B35. El sujeto B17 lo hace en un
contexto de compra de camisetas, B28 y B35 de edades, mientras que los sujetos B21,
B25 y B32 lo hacen buscando un número.
Los estudiantes B5, B18, B19 y B37 establecen relaciones inadecuadas entre los
elementos involucrados en su invención, por lo que han sido considerados con el
descriptor enunciado indefinido. El sujeto B5, en su enunciado, no hay presencia de una
igualdad entre expresiones. Los estudiante B18 y B19 no tiene al número 14 entre sus
elemento, y no se aprecia la operación de multiplicación ni una relación de igualdad entre
los elementos que son parte del enunciado. El alumno B37, simplemente inventa un
enunciado donde no aparece ningún elemento de la ecuación planteada.
Finalmente, al sujeto B30 se le ha adjuntado el descriptor primario presencia de
expresiones algebraicas o ecuación, ya que solicita la resolución de la ecuación.
Tabla 19
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 2𝑥 = 14.
Descriptor Secundario
Frecuencia
50
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
1
Expresiones operacionales
1
El estudiante B5 en sus enunciados coloca, explícitamente, la ecuación 2x = 14 en la
pregunta, por esta razón se complementa la idea ya entregada de este sujeto y se le
agregado el descriptor secundario presencia de expresiones algebraicas o ecuación.
Finalmente, para el sujeto B39, en su enunciado agrega la expresión “suma” en el
enunciado que ha inventado, lo que se agrega a la explicación anteriormente entregada
respecto a este estudiante.
2.5 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟏𝟔.
Los sujetos que no han realizado enunciados contextualizados en esta ecuación son B5,
B6, B14, B16, B25, B30, B31 y B39.
Tabla 20
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Frecuencia
Categorías
semánticas
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
2
29
8
39
Para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16, los sujetos que no han inventado un problema son B2, B3,
B9, B10, B11, B20, B24 y B29. Por lo que son treinta y un estudiantes que han enunciados
problemas, donde solo dos han sido considerado en alguna de las categorías semánticas.
Tabla 21
Frecuencia de las categorías semánticas para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Proporcionalidad simple Producto cartesiano
Frecuencia
0
2
Comparación
0
De los dos problemas inventados, ambos son de producto cartesiano. En categoría
semántica tiene la posibilidad de que los problemas sean del tipo multiplicativo o de
división, pero si consideramos como está conformada la ecuación, los problemas solo
pueden ser división. El primer caso es de la estudiante B8 (Ver figura 31), quien busca el
número de caramelos del mismo número de niños que en total tienen 16 caramelos, lo
que describe el producto cartesiano de conjuntos discretos, con el esquema 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
51
Ángelo Otárola Sáez
El otro caso se presenta con el sujeto B12, quién lo plantea para una región cuadrada de
superficie 16 𝑚2 .
Figura 31. Problema inventado por sujeto B8 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16. Categoría
producto cartesiano. Tipo división.
De los dos estudiantes que han inventados problemas simples, ambos sujetos han
respondido incorrectamente la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Tabla 22
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Descriptor primario
Frecuencia
Transcripción
16
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
6
Enunciado indefinido
6
Desconexión enunciado-pregunta
1
Debido a la baja cantidad de respuestas que tienen las categorías semánticas, la cantidad
de enunciados que tienen un descriptor primario es alto. De estos casos destaca el
descriptor transcripción que tiene dieciséis casos. Los estudiantes que parte de este grupo
son B5, B6, B7, B13, B14, B16, B19, B25, B27, B28, B30, B31, B32, B33, B35 y B40.
Por ejemplo, el estudiante B13 expresa en su enunciado “Enrique tiene x chapas azules
iguales y otras x verdes… si las multiplicas obtiene 16”.
Para el descriptor enunciado indefinido, el sujeto B18 no conecta los elementos y no
genera una igualdad entre las expresiones que están presenten, se puede deducir una
incógnita y una segunda expresión algebraica x + 4, pero no existe una relación de
igualdad entre ellas. También se les ha adjuntado el mismo descriptor a los sujetos B21,
B22, B26, B37 y B38.
El descriptor primario, planteamiento para otra ecuación o igualdad, está presente en seis
casos. Parte de este grupo está el alumno B4, quien en su enunciado plantea se resuelve
52
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
con la ecuación 4x = 16. Mientras que B15, a partir de su enunciado, se puede determinar
la igualdad 2 ∙ 8 = 16. También destacamos casos en que ocurre un cambio de estructura
operacional. Uno de los sujetos con este descriptor es el estudiante B1, quién en parte de
su enunciado inventado expresa “Entre los caramelos que tenían Laura y Marta daba 16
caramelos”. De esta expresión se puede establecer que no corresponde a expresiones que
son propias de los problemas de la estructura multiplicativa y que más bien, se relaciona
con la estructura aditiva. Con situaciones similares tenemos a los sujetos B17 (Ver figura
32), B23 y B34.
Figura 32. Enunciado inventado por sujeto B17 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16. Descriptor
primario planteamiento para otra ecuación o igualdad; y el descriptor secundario agrega
expresión algebraica o ecuación.
B36 plantea “En una clase de baile hay 16 alumnas que ban a actuar en Sevilla de ellas
bailaran sevillanas ¿Cuántas bailarán flamenco en cordoba?, como en el enunciado
entrega datos que no se relacionan con la pregunta se le adjunta el descriptor primario
desconexión enunciado-pregunta.
Tabla 23
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Descriptor Secundario
Planteamiento
igualdad
para
otra
ecuación
Frecuencia
o
5
Agrega expresión algebraica o ecuación
5
Sin pregunta
4
Agregar información
3
De los descriptores secundarios, uno de los dos descriptores que tiene mayor frecuencia
es el planteamiento para otra ecuación. En el enunciado inventado por B5, B7, B25, B27
y B35 plantean en base a la expresión 𝑥 ∙ 𝑦 = 16, ya que no expresan que los términos
desconocidos deben ser iguales.
53
Ángelo Otárola Sáez
Hay cinco casos en que en el enunciado hay presencia de alguna expresión algebraica o
ecuación. B13, B17 y B39 tienen la expresión “x” en sus enunciados. El estudiante B18
agrega la expresión 𝑥 2 y B38 tiene la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16 en su pregunta.
El tercer descriptor secundario, agrega información, que en el caso de B1, utiliza los casos
específicos 2 y 8. El sujeto B4, en su enunciado añade la expresión 4. Y el sujeto B37,
tiene valores como 20, 10 y 14, los cuales no tienen ninguna relación con la presenta
ecuación.
En los planteamientos de los sujetos B5 (Ver figura 33), B13, B14 y B31 no existe ningún
indicio, frase o palabra que permite determinar que se está preguntando sobre algún
elemento, de lo que han plateado o alguna incógnita que los estudiantes hayan establecido
en su enunciado, por lo que se les adjunta el descriptor secundario sin pregunta.
Figura 33. Enunciado inventado por sujeto B5 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 = 16. Descriptor
primario transcripción. Descriptor secundario sin pregunta.
2.6 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝟖.
Los estudiantes que no plantean enunciados contextualizados para esta ecuación son A9,
A32, A35, A36, A37 y A38.
Tabla 24
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
Frecuencia
Problemas
Compuestos
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
2
21
16
39
En la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28, tenemos una de las más frecuencias de alumnos que no
han inventado ningún enunciado. Los sujetos que se encuentran en esta situación son A3,
A4, A5, A6, A10, A13, A14, A17, A18, A19, A22, A25, A27, A28, A34 y A39.
54
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
De los dos problemas compuestos enunciados destacamos el realizado por el sujeto A2.
Figura 34. Problema inventado por sujeto A2 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
Categoría producto cartesiano. Tipo división.
Este problema relacionado con la medida del área de una piscina, al ser un problema que
involucra dos operaciones matemáticas, es de dos etapas. Para la categoría semántica en
la estructura aditiva, considerando que cuando se obtenga la cantidad latente el estudiante
propone un aumento de 3 para finalmente obtener 28, y así, teniendo una cantidad inicial,
de cambio y final, podemos establecer que estamos en presencia de la categoría de
cambio. Además, debido a que se pide encontrar las medidas elementales, en este caso
sabiendo que ambas son del mismo valor, cuando se conoce el valor del producto, se
puede establecer que para la estructura multiplicativa forma parte de la categoría
semántica producto cartesiano. Respecto a la cantidad latente, considerando las
características de la ecuación, debe ser 25.
El segundo caso de problemas compuestos, es creado por el estudiante A15, quien plantea
un problema en contexto de áreas de superficies geométricas. Este problema también ha
sido considerado con la categoría de cambio para la estructura aditiva y para la
multiplicativa tiene la categoría de producto cartesiano. El esquema para ambos casos es
jerárquico (Ver figura 35).
Figura 35. Esquema compuesto de dos relaciones para los problemas inventados por los
sujetos A2 y A15 para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
55
Ángelo Otárola Sáez
Los dos sujetos que han inventado problemas compuestos han resuelto correctamente la
ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
Tabla 25
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
Descriptor primario
Frecuencia
Transcripción
12
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
7
Enunciado indefinido
2
Los sujetos A1, A13, A16 y A33 se les ha considerado el descriptor primario de
transcripción, por ejemplo, el estudiante A1, realiza ésta acción con respecto a la
ecuación, pero envuelto en un contexto de cantidad de discos que tienen unos sujetos
ficticios. Incluso en parte del enunciado expresa “Resuelva la ecuación para poder saber
cuántos son los discos…”. Son varios los sujetos que han realizado una transcripción en
que preguntan por un número, A7 hace esto, de hecho en parte de su enunciado expresa
“… un determinado número multiplicado por sí mismo más 3 obtiene el restado 28. ¿Qué
número es?”. Situación similar expresan los sujetos A9, A21, A32, A35, A36, A37 y
A38.
Con siete casos en que se realiza un planteamiento para otra ecuación o igualdad. Uno de
éstos es el estudiante A11, el cual plantea “Jorge, Marcos, Pablo, coleccionan estampas
de fútbol, entre los tres suman en total 28…”, que se puede representar con la ecuación x
+ y + z = 28. El alumno A12 y A29 inventan un enunciado que se resuelve con la ecuación
2x + 3 = 28. El enunciado de A20 se plantea en base a la ecuación x + y = 25, mientras
que A24 realiza un enunciado que se puede resolver con la ecuación 3 + x = 28. A30
plantea para la ecuación x + x + 3 = 28. Y con el mismo descriptor tenemos a sujeto A23
que su enunciado se resuelve con el planteamiento 123 − 98 = 𝑥.
Enunciado indefinido es el tercer descriptor, en el cual tenemos al estudiante A8. Este
sujeto expresa en su planteamiento “En casa de mi abuelo tengo 28 pintalabios. Mi
abuela me trajo 3 más y mi madre otros y me abuelo otros” esto genera la expresión
algebraica 28 + 3 + 𝑥 + 𝑦, pero en el enunciado no hay ninguna expresión verbal que
haga referencia de una igualdad. El sujeto A31, en su pregunta no se puede determinar si
se refiere a adición o multiplicación.
56
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Tabla 26
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Agrega expresión algebraica o ecuación
3
Agregar información
2
Sin pregunta
1
Planteamiento
igualdad
para
otra
ecuación
o
1
Para el descriptor secundario agrega expresión algebraica o ecuación tenemos al sujeto
A1, A11 y A26 quienes agregan “x” en su enunciado. Y el descriptor agrega información
está presente en el sujeto A23, el cual agrega los valores 123 y 98. Y el otro sujeto es A33
que agrega los valores 13 y 49. El sujeto A33 plantea un enunciado en donde no hace una
pregunta y no deja claro sobre que sujeto ficticio inventado se desea determinar la edad.
Y el sujeto A31, en parte de su enunciado se puede deducir la ecuación 𝑥 ∙ 𝑦 = 3𝑥, por lo
que se le adjunta el descriptor secundario planteamiento para otra ecuación o igualdad.
2.7 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝒙 ∙ (𝒙 + 𝟏) = 𝟏𝟓.
Los sujetos B6, B8, B21, B31 y B37 no plantean enunciados contextualizados.
Tabla 27
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15.
Frecuencia
Problemas
Compuestos
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
0
19
20
39
En la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15 se presenta la más alta frecuencia de estudiantes que no
inventan ningún enunciado para ésta ecuación. Los sujetos que forman parte de éste grupo
son B1, B2, B3, B4, B9, B10, B11, B13, B14, B15, B17, B18, B20, B22, B23, B24, B26,
B28, B29 y B34.
Cabe destacar que esta ha sido la única pregunta en la que no se ha presentado ningún
enunciado considerado como un enunciado compuesto. Por lo cual no se ha analizado las
categorías semánticas de adición y multiplicación, además del esquema compuesto de dos
relaciones.
57
Ángelo Otárola Sáez
Tabla 28
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15.
Descriptor primario
Frecuencia
Transcripción
9
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
6
Enunciado indefinido
4
El sujeto B6 hace una transcripción de la ecuación, ya que plantea “Multiplicando un
número por su siguiente da 15. Averígualo”. El estudiante B7 enuncia “… un número
por otro sumado 1 y le ha salido 15” por lo que se le catalogado el descriptor primario
transcripción. El enunciado de B8 dice “Si a x le sumas 1 y lo multiplicas por x te da 15.
¿Cuánto vale x?”. En situaciones similares se encuentran los sujetos B21, B27, B31, B32,
B33 y B37.
Figura 36. Enunciado inventado por sujeto B39 para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15.
Descriptor primario transcripción. Descriptores secundarios planteamiento para otra
ecuación o igualdad y expresión operacional.
El planteamiento para otra ecuación o igualdad, es una situación que ocurre con los
sujetos, B16, B19, B30, B35, B38, B39. En el enunciado inventado por el sujeto B16 su
planteamiento se representa con la igualdad 1 + 14 = 15. El alumno B19, B35 y B39
inventan su enunciado en base a la ecuación 𝑥 + 𝑥 + 1 = 15. El enunciado inventado por
B30, se puede deducir la expresión 2 + 1 + 5 = 𝑥. Mientras que en parte de lo que
inventa el sujeto B38 tiene “En una clase hay 15 alumnos. 10 se reparten en 2 grupos y
luego se suma 1 más…” lo que no corresponde a la ecuación solicitada.
El enunciado inventado por el sujeto B5 ha sido catalogado como enunciado indefinido,
debido a que solo se expresa el número 5 en el enunciado y no se aprecia ninguna
expresión que haga referencia a una cantidad que corresponda a una incógnita. El
estudiante B12 plantea en base a la expresión 𝑥 + 𝑥 + 1. B25 plantea los términos 𝑥 2 y
58
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
𝑥 en la ecuación y el valor 𝑥, pero no se puede apreciar alguna operación entre los
elementos, ni tampoco una igualdad. En el enunciado del sujeto B36 existen expresiones
que hacen referencia a incógnitas, pero no podemos determinar las respuestas debido a
los datos que entrega, por lo que nos imposibilita de plantear una ecuación.
Tabla 29
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 𝑥 ∙ (𝑥 + 1) = 15.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Presencia de expresiones algebraicas
4
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
4
Expresión operacional
2
Sin pregunta
2
Como ya se había hecho mención con el descriptor primario de B8, este sujeto agrega
expresión algebraicas explícitamente, en este caso 𝑥, al igual que lo hizo el sujeto B37.
El estudiante B25 agregó expresiones como 𝑥 2 y 𝑥 al inventar el enunciado. El estudiante
B33 se le calificó con este descriptor debido a que agregó las expresiones “𝑥€” y “𝑥€ +
1€”.
El descriptor secundario, planteamiento para otra ecuación o igualdad, tiene cuatro casos,
donde todos tienen al descriptor primario transcripción. B7 plantea para la ecuación
𝑥(𝑦 + 1) = 15. El estudiante B21 plantea en su enunciado “Un número multiplicado por
otro más uno es igual a 15”, situación similar que el sujeto B27. El B39 inventa en base
a la ecuación 𝑥 + 𝑥 + 1 = 15 y se le ha adjuntado también el descriptor secundario
agrega expresión operacional. Este último descriptor secundario también se puede a
presenciar con el sujeto B38. Finalmente, el descriptor sin pregunta ocurre con los sujetos
B8 y B29.
2.8 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟕𝟐.
Los estudiantes que no plantean enunciados contextualizados son B6, B11, B14, B21 y
B31.
Tabla 30
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72.
59
Ángelo Otárola Sáez
Problemas
Compuestos
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
6
21
12
39
Frecuencia
En la ecuación 6𝑥 + 12 = 72 los sujetos que no han inventado ningún enunciado son
B2, B3, B9, B10, B13, B20, B22, B24, B28, B29, B32 y B36.
Para los problemas compuestos, los seis enunciados tienen una estructura jerárquica, pero
las categorías para la estructura aditiva que componen los problemas varía. Los
estudiantes que son considerados en la categoría de cambio son B1, B16, B27, B39 y para
la categoría de combinación son B8 y B23. Lo que respecta a la estructura multiplicativa,
todos alumnos nombrados hicieron problemas relacionados con la categoría semántica de
proporcionalidad simple.
El estudiante B1, inventa un problema en que se desea determinar la cantidad de años de
un sujeto ficticio al que se le da una cantidad fija de “gominolas” por año. B8 busca una
cantidad de galletas, mientras que el alumno B16 platea “Lola trabaja en una tienda por
6€ el día, y tenía ya 12€ ahorrados. ¿Cuántos días debe trabajar Lola para que tenga
72€ con los 12€ incluidos?”. B23 busca la cantidad de bolígrafos que hay por estuche,
mientras que B27 lo hace para un contexto de compra de zapatillas. Y el estudiante B39
busca la cantidad de fotos que tiene un grupo de estudiantes.
Figura 37. Problema inventado por sujeto B1 para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72. Categoría
aditiva de combinación. Categoría multiplicativa de proporcionalidad simple.
Figura 38. Esquema compuesto de dos relaciones para el problema inventado por el
sujeto B1 en la ecuación 6x +12=72.
60
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Los 6 sujetos que han inventado problemas compuestos han resuelto la ecuación 6𝑥 +
12 = 72 correctamente.
Tabla 31
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72.
Descriptor primario
Frecuencia
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
9
Transcripción
7
Enunciado indefinido
3
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
2
El estudiante B15, inventa un planteamiento que se resuelve con la ecuación 6 + 60 +
12 = 𝑥, por lo que se le ha considerado el descriptor primario planteamiento para otra
ecuación o igualdad. El sujeto B18 busca la cantidad total que hay entre 6 cremas y 12
pintauñas, inventando en base a la ecuación 6 + 12 = 𝑥.
Continuando con el descriptor primario planteamiento para otra ecuación o igualdad, se
dan una serie de casos en que los estudiantes no han especificado que la expresión
algebraica 6𝑥 debe estar constituida por seis partes iguales, situación que ocurre con los
sujetos B4, B12, B19, B26 B33 y B34. Por ejemplo, el estudiante B19, desea determinar
la cantidad de “chuches” que hay en seis bolsas, pero en su planteamiento no dice que
cada bolsa debe tener la misma cantidad “chuches”.
Los alumnos que se les asignado el descriptor primario transcripción y que han inventado
preguntando por un número que cumpla con las condiciones específicas de la ecuación
son B6, B7, B14, B21 y B31. Un ejemplo de lo que hacen estos sujetos tenemos el
enunciado inventado por el sujeto B6: “Tengo un número que multiplicado por 6 y a su
vez le su vez le sumo 12, da 72. ¿Cuál es el número?”. Además de estos casos, tenemos
los sujetos B25 que transcribe en búsqueda de una cantidad de gramos de trigo y B37 lo
hace determinando una cantidad de estuches.
El descriptor primario, enunciado indefinido, es el tercero que se presenta en la ecuación
6𝑥 + 12 = 72. Se les ha adjuntado a los estudiantes B5, B17 y B35. A modo de ejemplo,
B35 no logra que su planteamiento sea resuelto con la ecuación solicitada, ya que su
enunciado representa la desigualdad 72 + 12 ≠ 72, lo que se puede deducir de lo
61
Ángelo Otárola Sáez
siguiente: “Tengo seis veces más canicas que mi amigo y mi amigo tiene 12. En total
tenemos 72 ¿Cuántas canicas tengo?”
El último descriptor primario es presencia de expresiones algebraicas o ecuación. Los dos
casos ocurren con B11 y B38, quienes tiene la ecuación en su enunciado.
Tabla 32
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 6𝑥 + 12 = 72.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Agrega información
2
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
2
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
1
El descriptor secundario agrega información se puede apreciar con el sujeto B15, quién
agrega el número 10 en su enunciado. Y el sujeto B37 agrega en su enunciado la expresión
4 ∙ 9. A este mismo estudiante se le ha adjuntado el descriptor presencia de expresiones
algebraicas o ecuación, ya que en su enunciado tiene la expresión algebraica 6𝑥 y al sujeto
B33 se le agrega este descriptor porque tiene “x”. Y el alumno B31 hace un enunciado
que se resuelve con la ecuación 𝑥 ∙ 10 + 12 = 72, por lo que se le ha considerado el
descriptor secundario planteamiento para otra ecuación o igualdad.
2.9 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟏𝟓 + 𝟓𝒙 = 𝟕𝟓.
Los sujetos A13, A33, A35 y A36 no realizan enunciados contextualizados.
Tabla 33
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75.
Frecuencia
Problemas
Compuestos
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
7
22
10
39
Para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75 los estudiantes que no tienen ningún enunciado son A4,
A5, A14, A17, A19, A22, A24, A25, A27, A28.
Los problemas compuestos planteados por los estudiantes, todos se caracterizan porque
tienen una estructura jerárquica, pero las partes que los componen son diferentes entre
algunos problemas inventados. Los sujetos A2, A9 y A30 lo plantean para la estructura
62
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
adictiva bajo la categoría de cambio, mientras que para la estructura multiplicativa lo
hacen para la categoría de proporcionalidad simple. Otra caso de invención que forma
parte de los problemas compuestos propuestos para esta ecuación, es que la estructura
aditiva sea de combinación y la multiplicativa tenga la categoría de proporcionalidad
simple, que ocurre con los sujetos A7, A10, A18.
El último de los problemas complejos inventados, pertenece al sujeto A6, quien plantea
un problema para la categoría aditiva de combinación y para la categoría multiplicativa
producto cartesiano. Y esto lo hace en un contexto de conjunto de coches.
Figura 39. Problema inventado por sujeto A6 para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75.
Categoría aditiva de combinación. Categoría multiplicativa de producto cartesiano.
(Versión resumida, para versión completa ver Anexo II)
Figura 40. Esquema compuesto de dos relaciones para el problema inventado por el
sujeto A6 en la ecuación 15 + 5𝑥 = 75.
Todos los sujetos que han inventado problemas compuestos han resuelto correctamente
la ecuación 15 + 5𝑥 = 75, con excepción del sujeto A18.
Tabla 34
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75.
Descriptor primario
Frecuencia
Transcripción
8
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
7
63
Ángelo Otárola Sáez
Enunciado indefinido
4
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
2
Desconexión enunciado-pregunta
1
Los estudiantes A12, A15, A16, A26, A33. A34, A35 y A36 se les adjunto el descriptor
transcripción. Un ejemplo de esto es el enunciado del alumno A12: “Si tengo una
cantidad x de videojuegos, y esta multiplicada por 5 y sumándole 15 es igual a 75.
¿Cuántos videojuegos tengo?”.
El enunciado inventado por el estudiante A8 se puede resolver con la ecuación 15 + 𝑥 +
5 = 15, la cual es diferente de la que se le pedía, por lo que se le asigna el descriptor
planteamiento para otra ecuación o igualdad. Con el mismo descriptor tenemos al sujeto
A20, quien plantea un enunciado que se resuelve con la ecuación 75 − 15 − 5 = 𝑥,
mientras que A31 lo hace en base a la ecuación 15 + 𝑥 = 75 , A32 para la ecuación
(15 + 𝑥) ∙ 𝑥 = 15, A39 con 4𝑥 + 15 = 75 y el sujeto A23 para 1500 − 1445 = 𝑥. Con
el mismo descriptor, el estudiante A38, no aclara que la incógnita debe ser sumada en 5
parte iguales, por lo que el enunciado se expresa con la siguiente ecuación 15 + 𝑢 + 𝑣 +
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 75.
Con el mismo número de casos, que en el anterior, tenemos al descriptor primario,
enunciado indefinido, el que está presente en cuatro casos. El primero de ellos es el
alumno A3 y en su enunciado se encuentran nombrados todos los elementos que
conforman la ecuación, pero no establece una relación entre los dos elementos. Con los
sujetos A11 y A21 ocurre una situación inusual, puesto que no plantean adecuadamente
la expresión algebraica 5𝑥, por ejemplo, A11 en parte de su enunciado tiene “… y el
padre el quíntuplo” y no expresa con respecto a qué valor. Y A29 inventa un enunciado
en el que no se hace referencia a las operaciones de adición ni de multiplicación.
El descriptor, presencia de expresiones algebraicas o ecuación, toma un rol primario en
dos casos. El primero es con el sujeto A1 que realiza un planteamiento adecuado,
relacionando de buena manera los elementos involucrados y estableciendo una igualdad
entre expresiones, elementos necesarios para conformar la ecuación. Pero al final de su
enunciado expresa “… recaudado 15€ de los bronceadores 5x. Resuelve la ecuación”. Y
el estudiante A13 plantea “Encuentra el valor de x en esta incognita 15 + 5𝑥 = 75”
donde su planteamiento gira entorno a la presencia de la ecuación.
64
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Y finalmente el sujeto A37 plantea “Si hay 15 cajas de manzanas y 5 sandias ¿Cuánto
pesan en total?”, enunciado en el que no existe una conexión entre lo que se pregunta y
el enunciado previo a ésta. Así se le adjunta el descriptor desconexión enunciadopregunta.
Tabla 35
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 15 + 5𝑥 = 75.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Desconexión enunciado-pregunta
Presencia
ecuación
de
expresiones
7
algebraicas
o
Agregar información
5
1
Los sujetos que tienen el descriptor secundario desconexión enunciado-pregunta por qué
no existe una conexión con el enunciado que proponen y la pregunta que han planteado.
Los sujetos que están bajo esta situación son A3, A8, A15, A31, A32 y A34. De estos
casos destacamos al sujeto A32 quien plantea “David tiene 15 tazos y su tía le regala x y
ese número lo multiplicas por 5 y en total tendría 75. ¿Por qué número hay que
multiplicar?”, donde la pregunta no especifica los elementos que se deben multiplicar.
Respecto al descriptor secundario presencia de expresiones algebraicas o ecuación, se
presenta con cinco sujetos. A1 y A29, agregan la expresión “5x”, A12 tiene en su
enunciado “Si tengo la mitad x de videojuegos…”, el estudiante A26 y A32 agregan “x”
en parte de sus enunciados.
El alumno A23 tiene en su enunciado los valores 1500 y 1445, por lo que se le adjunta el
descriptor primario agregar información.
2.10 RESULTADOS DE LA ECUACIÓN 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟐𝟒.
Los sujetos que no han inventado enunciados contextualizados son A21, A33, A35 y A36.
Tabla 36
Frecuencia de la invención de problemas para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24 .
Problemas
Compuestos
Descriptores
primarios
Sin enunciado
Total
65
Ángelo Otárola Sáez
Frecuencia
7
22
10
39
En la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24 los estudiantes que no han inventado problema son los
sujetos A4, A5, A11, A14, A18, A19, A23, A25, A27 y A28.
Hay tres tipos de problemas compuestos inventados por los estudiantes. El primer tipo de
problema son aquellos que tiene una estructura aditiva bajo la categoría de cambio y para
la estructura multiplicativa la categoría de proporcionalidad simple. En estos casos se
encuentra el estudiante A6, A9 y A34. El segundo tipo, son aquellos problemas
considerados en la categoría de combinación y en la categoría de proporcionalidad simple.
En esta situación está A10, A15 y A30. Y el último tipo de problema compuesto, es
considerado en la categoría aditiva de combinación y en la categoría multiplicativa de
comparación. Éste problema es inventado por el sujeto A7 (Ver figura 41).
Figura 41. Problema inventado por sujeto A7 para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24.
Categoría aditiva de combinación. Categoría multiplicativa de comparación.
2
x
2x
6
6x
24
Figura 42. Esquema compuesto de tres relaciones propuesto para el problema inventado
por el sujeto A7 en la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24.
De los siete problemas inventados, solo dos sujetos han resuelto correcta la ecuación 2𝑥 +
6𝑥 = 24, los estudiantes A7 y A15. El alumno A6 responde incorrectamente la ecuación
y los estudiantes A9, A10, A30 y A34 no tienen ningún desarrollo.
Tabla 37
Frecuencia de los descriptores primarios para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24.
66
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
Descriptor primario
Frecuencia
Enunciado indefinido
7
Transcripción
7
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
5
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
2
Sin pregunta
1
Los alumnos a los que se les ha agregado el descriptor primario enunciado indefinido son
A3, A13, A20, A24, A29, A38 y A39. Como ejemplo, el enunciado del sujeto A20 está
dividido en dos partes. En la primera plantea “En una urbanización pequeña viven 24
personas. De vacaciones de verano se van 6 personas y luego se van 2 personas”, y de
esto se obtiene la desigualdad 2 + 6 ≠ 24. Y en la segunda parte tiene “En la
urbanización está la parte alta y baja se queda la misma gente en las dos partes ¿Cuántas
personas hay en las dos partes”, por lo que si quedaban dieciocho personas, éstas se
dividen dos partes. Por todo lo anterior, su enunciado no se relaciona con la ecuación
solicitada.
El segundo descriptor primario en ésta ecuación es el de transcribir, el que se presenta
con ocho casos. Entre ellos están A16, A17 y A12, éste último enuncia: “Tengo 2 cheques
una cantidad de dinero x, y otros 6, también con una cantidad x les da la misma cantidad.
Si ambos suman 24€ ¿Cuál es el valor de cada cheque?”. El sujeto A21 inventó lo
siguiente: “Un número multiplicado por dos más el mismo número da en total 24 ¿Cuál
es el número?”, y los sujetos A33, A35 y A36 tiene un enunciado similar y buscan el
valor de un número que cumpla con las condiciones de la ecuación.
El descriptor, planteamiento para otra ecuación o igualdad, nos presenta dos casos en que
los estudiantes plantean de forma adecuada el enunciado, pero no especifica que la
incógnita representa la misma cantidad en todos los casos. Ésta situación la podemos
apreciar con el sujeto A2 y A37. Por otro lado, el sujeto A22 plantea un enunciado
relacionado con el recorrido de un sujeto, dado por la ecuación 2 + 3 + 6 + 2 = 𝑥. Y los
enunciados de los alumnos A26 y A31 se relaciona con la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 𝑥.
El cuarto descriptor es presencia de expresiones algebraica, el qué se le ha adjuntado al
sujeto A1, ya que tiene las expresiones “2𝑥” y “6𝑥”. Y el segundo caso que tiene éste
67
Ángelo Otárola Sáez
descriptor, es el sujeto A32, quien inventa lo siguiente "Resuelve este sistema 2𝑥 + 6𝑥 =
24”
El descriptor, sin pregunta, se le adjunto al estudiante A8, quien relaciona bien las
cantidades involucradas, incluso se puede generar una ecuación a partir de lo que enuncia.
Pero cuando debe preguntar por el elemento desconocido que corresponde a la incógnita,
no lo hace.
Tabla 38
Frecuencia de los descriptores secundarios para la ecuación 2𝑥 + 6𝑥 = 24.
Descriptor Secundario
Frecuencia
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
7
Agrega información
1
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
1
Enunciado indefinido
1
La presencia de expresiones algebraicas en los enunciados inventados se puede detectar
siete sujetos. El estudiante A1 y A3 tienen en su enunciado las expresiones algebraicas
2𝑥 y 6𝑥. Los alumnos A12, A17, A26, A29 y A32 tienen la 𝑥 en su enunciado. Por
ejemplo, A17 tiene en parte de su enunciado “Pepe tiene 𝑥 cds”.
A33 agrega el número 48 en su enunciado, por lo que se le ha adjuntado el descriptor
primario agrega información. El descriptor, planteamiento para otra ecuación o igualdad,
se le adjunta al enunciado del estudiante A16, pues su enunciado se resuelve con la
ecuación 2𝑥 + 12𝑥 = 24. . Finalmente, el sujeto A35 inventa el siguiente enunciado: “El
doble de un número, y le sumas otro número multiplicado por sus y que de 24”. De esto
no se puede deducir la expresión 6𝑥 de su enunciado, por lo que se adjunta el descriptor
secundario enunciado indefinido.
68
CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES FINALES
En este capítulo presentamos las conclusiones que hemos obtenido a partir de los análisis
realizados en el apartado anterior. Considerando el objetivo trazado para esta
investigación, hemos dividido las conclusiones en cuatro apartados principales: estructura
aditiva, estructura multiplicativa, combinación de la estructura aditiva y multiplicativa,
para finalizar con la presentación de las conclusiones generales. Además, hemos incluido
los logros, limitaciones y las líneas de continuidad de la investigación.
1. ENUNCIADOS VERBALES PARA LA ESTRUCTURA ADITIVA
Las siguientes tablas presentadas están en términos porcentuales y consideran un total de
117 situaciones para el proceso de invención de problemas en la estructura aditiva, de los
cuales 51 son problemas simples y 53 se le ha adjuntado un descriptor primario.
Tabla 39
Distribución del proceso de invención para las ecuaciones x + 4 = 13, 3 + x = 18 y x +
x = 12.
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
44%
45%
11%
Porcentaje
Tabla 40
Distribución de la invención de problemas simples de estructura aditiva según sus
categorías semánticas.
Porcentaje
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
40%
56%
2%
2%
Tabla 41
Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y no
considerados en las categorías semánticas de la estructura aditiva.
Descriptor Primario
Porcentaje
69
Ángelo Otárola Sáez
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
45%
Transcribir la ecuación
30%
Enunciado indefinido
21%
Sin pregunta
2%
Agrega expresión algebraica o ecuación
2%
A partir de los resultados obtenidos del proceso de invención de problemas de las
ecuaciones que involucraban la estructura aditiva por parte de estudiantes de secundaria
se puede concluir que:

Existe una fuerte tendencia a relacionar la operación algebraica de adición con los
problemas cambio y combinación.

Los alumnos en secundaria no asocian la operación algebraica de adición con los
problemas de comparación e igualación.

Los estudiantes no tienen familiaridad con los problemas de comparación e
igualación. Justamente como lo plantea Caballero (2005) quién considera esta
categoría como la que genera mayores dificultades.

En los estudiantes que no logran inventar problemas simples de estructura aditiva
según la información otorgada, hay una tendencia a inventar enunciados con
características diferentes a las que se solicitan o a inventar enunciados
reescribiendo la ecuación en lenguaje verbal.
2. ENUNCIADOS VERBALES
MULTIPLICACIÓN.
PARA
LA
ESTRUCTURA
El siguientes tablas, presentadas a continuación, están en términos porcentuales y
consideran un total de 78 situaciones para el proceso de invención de problemas en la
estructura multiplicativa, de los cuales 11 son problemas simples y 52 se le ha adjuntado
un descriptor primario.
Tabla 42
Distribución del proceso de invención para las ecuaciones 2𝑥 = 14 y 𝑥 ∙ 𝑥 = 16.
Porcentaje
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
14%
67%
15%
70
CONCLUSIONES FINALES
Tabla 43
Distribución de la invención de problemas simples de estructura multiplicativa según sus
categorías semánticas.
Proporcionalidad
simple
Producto cartesiano
Comparación
82%
18%
0
Frecuencia
Tabla 44
Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y no
considerados en las categorías semánticas de la estructura multiplicativa.
Descriptor Primario
Frecuencia
Transcribir la ecuación
44%
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
35%
Enunciado indefinido
10%
Sin pregunta
2%
A partir de los resultados obtenidos del proceso de invención de problemas de las
ecuaciones que involucraban la estructura multiplicativa, por parte de estudiantes de
secundaria, se puede concluir que:

De los estudiantes que plantean problemas simples de estructura multiplicativa,
existe una tendencia a relacionar la operación algebraica de multiplicación con los
problemas de proporcionalidad simple y levemente con los problemas de producto
cartesiano.

Los alumnos en secundaria no asocian la operación algebraica de multiplicación
con los problemas de comparación.

Los estudiantes no tienen familiaridad con los problemas de comparación.
Justamente como lo plantean autores como De Corte y Verschaffel (1996),
Fishbein, Deri, Nello y Merino (1985), Mulligan y Mitchelmore (1997) quiénes
consideran está categoría como la que genera mayores dificultades.

En los estudiantes que no logran inventar problemas simples de estructura
multiplicativa se aprecia una tendencia a inventar enunciados reescribiendo la
71
Ángelo Otárola Sáez
ecuación en lenguaje verbal o inventar enunciados con características diferentes a
las que se solicitan.
3. ENUNCIADOS VERBALES PARA LA COMBINACIÓN DE LAS
ESTRUCTURAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.
Las siguientes tablas, presentadas a continuación, están en términos porcentuales y
consideran un total de 195 situaciones para el proceso de invención de problemas para la
combinación de las estructuras de adición y multiplicación, de los cuales 22 son
problemas simples y 105 se le ha adjuntado un descriptor primario.
Tabla 45
Distribución del proceso de invención para las ecuaciones 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 = 28; 𝑥 ∙
(𝑥 + 1) = 15; 15 + 5𝑥 = 75; 6𝑥 + 12 = 72 y 2𝑥 + 6𝑥 = 24.
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
11%
54%
35%
Porcentaje
Tabla 46
Distribución del proceso de invención para los problemas compuestos.
Problemas simples
Descriptores primarios
Sin enunciado
11%
54%
35%
Porcentaje
Tabla 47
Distribución de los problemas compuestos para la estructura aditiva según sus
categorías semánticas.
Cambio
Combinación
Comparación
Igualación
54%
46%
0%
0%
Frecuencia
Tabla 48
Distribución de los problemas compuestos para la estructura multiplicación según sus
categorías semánticas.
72
CONCLUSIONES FINALES
Proporcionalidad
simple
Producto cartesiano
Comparación
86%
14%
0
Frecuencia
Tabla 49
Distribución de los descriptores primarios en los enunciados inventados y no
considerados en las categorías semánticas de la estructura aditiva y multiplicativa.
Descriptor Primario
Frecuencia
Transcripción
41%
Planteamiento para otra ecuación o igualdad
32%
Enunciado indefinido
19%
Presencia de expresiones algebraicas o ecuación
6%
Desconexión enunciado-pregunta
1%
Agregar información
1%
A partir de los resultados obtenidos del proceso de invención de problemas de las
ecuaciones que involucraban la combinación de las estructuras aditiva y multiplicativa
por parte de estudiantes de secundaria, se puede concluir que:

De los estudiantes que plantean problemas compuestos de combinación de las
estructuras aditiva y multiplicativa, existe una tendencia a relacionar la operación
algebraica de adición con los problemas de cambio y combinación; mientras que
para la operación algebraica de multiplicación la asocian con los problemas de
proporcionalidad simple y muy levemente con los problemas de producto
cartesiano.

Los alumnos no relacionan la operación algebraica de adición con los problemas
de comparación e igualación; en tanto que la operación algebraica de
multiplicación no la asocian con los problemas de comparación.

De los estudiantes que plantean problemas compuestos de dos etapas, todos
inventan problemas con la estructura jerárquica.

Conectar las estructuras de adición y multiplicación resulta ser una acción muy
compleja para los estudiantes.
73
Ángelo Otárola Sáez

En los estudiantes que no logran inventar problemas compuestos de combinación
de las estructuras aditiva y multiplicativa, se aprecia una tendencia a inventar
enunciados reescribiendo la ecuación en lenguaje verbal o inventar enunciados
con características diferentes a las que se solicitan.
4. CONCLUSIONES GENERALES.
Considerando los apartados 1, 2 y 3 del presente capítulo hemos determinado las
siguientes conclusiones:

De los conocimientos previos que, supuestamente, le han otorgado los estudiantes
a las operaciones aritméticas de adición y multiplicación, los recuperan
parcialmente en cursos superiores de secundaria.

Los significados otorgados por los estudiantes a las operaciones algebraicas de
adición y multiplicación se asocian con los problemas de las categorías semánticas
más sencillas.

A los estudiantes les sugieren las operaciones algebraicas de adición y
multiplicación una reformulación de carácter matemático.
5. LOGROS Y LIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN.
Uno de los logros más destacables de está indagación de los significados de las
operaciones algebraicas de adición y multiplicación por estudiantes de 3º año de la
Educación Secundaria Obligatoria es mostrar que los conocimientos que poseían los
estudiantes en primaria respecto a las estas operaciones se conservan solo los más
sencillos. Esto se puede deber a un proceso de olvido o a una falta de instrucción
entregada por el profesorado a los estudiantes, respecto a los significados que generan
mayores dificultades, entre los escolares. Lo que no se puede determinar con esta
investigación.
Otro logro de la investigación es diseñar una estrategia para el tratamiento de la
información de los enunciados inventados por los estudiantes que no logran dar
significado a las operaciones de adición y multiplicación, que no había sido utilizado en
investigaciones previas relacionadas con la invención de problemas y que se ataño a una
función descriptiva.
Sumar a esto las bondades presentadas por la invención de problemas como herramienta
evaluadora, que fue base de la construcción del instrumento de recogida de información
74
CONCLUSIONES FINALES
y que permitió obtener una amplia cantidad de datos acerca de las cuestiones que eran
objeto de estudio.
Una limitación que se presentó durante el estudio fue la realización de una serie de
entrevistas con los sujetos para indagar más profundamente acerca de los significados que
le atribuyeron a las operaciones algebraicas de adición y multiplicación. Ésta no se llevó
a cabo debido a que el tiempo de análisis de los cuestionarios fue muy extenso, teniendo
que acotar los datos al cuestionario diseñado. Estas condiciones temporales son propias
de un trabajo de fin de máster y están previstas con fechas específicas, pero sentimos que
no impidió cumplir con los objetivos trazados desde un principio de la investigación.
6. LINEAS DE CONTINUIDAD.
El presente trabajo deja varias líneas de investigación abierta para futuras investigaciones.
Considerando que la investigación se limitó a las operaciones algebraicas de adición y
multiplicación, luego de a ver realizado este primer estudio exploratorio, nos parece
pertinente extender este trabajo a las operaciones algebraicas de sustracción y división
involucrando magnitudes escalares y expresiones algebraicas de similares características,
que daría la posibilidad de contrastar los resultados con el presente Trabajo de Fin de
Máster.
Una segunda línea de investigación posible es ampliar los sujetos de estudio a todos los
niveles de la Educación Secundaria Obligatoria, analizando si los significados de las
operaciones de adición y multiplicación, que no se conservan en secundaria, se deben a
un proceso de olvido de los estudiantes, o más bien a una falta de instrucción por parte
del profesorado.
La presente investigación tuvo en consideración dos variables para la construcción del
instrumento de recogida de datos. Sería pertinente investigar con respecto a otras
variables para la construcción de las ecuaciones y el instrumento en sí, que muestre los
significados de las operaciones algebraicas de adición y multiplicación en un contexto
más amplio que diera una visión más general de los mismos.
75
REFERENCIAS
Akay, H., & Boz, N. (2010). The Effect of Problem Posing Oriented Analyses-II Course
on the Attitudes toward Mathematics and Mathematics Self-Efficacy of
Elementary
Prospective Mathematics Teachers. Australian Journal of Teacher
Education, 35(1), 59-75.
Ayllón, M. F., & Castro, E. (2002). Invención de problemas por profesores de primaria
en formación. Jornadas: Investigación en el aula de matemáticas. Resolución de
Problemas, 139-145.
Ayllón Mª. F. (2004). Invención de problemas con números naturales, enteros
negativos y racionales. Tarea para profesores de educación primaria en formación.
Memoria de Investigación Tutelada. Dto. Didáctica de la Matemática.
Universidad de Granada.
Ayllón ̧ M. (2012). Invención-Resolución de problemas por alumnos de educación
primaria. Tesis Doctoral. Universidad de Granada.
Bell, A., Creer, B., Grimison, L. y Mangan, C. (1989). Children’s performance on
multiplative word problems: Elements of a descriptive theory. Journal for
research in mathematics education, 20(5), 434-449.
Bermejo, V., & Rodríguez, P. (1987). Estructura semántica y estrategias infantiles en la
solución de problemas verbales de adición. Infancia y aprendizaje, 10(39-40), 7181.
Brekke, G. (1991). Multiplicative structures at ages seven to eleven: studies of children's
conceptual development and diagnostic teaching experiments (Doctoral
dissertation,
University of Nottingham).
Brown, S., Walter, Y. (1990). The art of problem posing (2nd ED). Hillsdale, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates, Publisher.
Brown, S., Walter, Y. (1993). Problem posing. New Jersey: Lawrence Erlbaum
Associates.
Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1982). The development of addition and subtraction
problem-solving skills. Addition and subtraction: A cognitive perspective, 9-24.
76
Carpenter, T. P., y Moser, J. M. (1983). The acquisition of addition and subtraction
concepts. The acquisition of mathematical concepts and processes, 7-44.
Carpenter, T. P., Hiebert, J., y Moser, J. M. (1981). Problem structure and first-grade
children's initial solution processes for simple addition and subtraction problems.
Journal for Research in Mathematics Education, 27-39.
Carpenter, T. P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L., & Empson, S. B. (1999).Children's
Mathematics: Cognitively Guided Instruction. Heinemann, 361 Hanover Street,
Portsmouth, NH 03801-3912.
Castro, E. [Encarnación] (2011). La invención de problemas y sus ámbitos de
investigación. Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia
de la Matemática
y Educación Matemática, 1-15.
Castro, E. [Enrique] (1991). Estudio sobre resolución de problemas aritméticos de
comparación multiplicativa. Memoria de tercer ciclo. Granada.
Castro, E. (1994). Niveles de compresión en problemas verbales de comparación
multiplicativa. Tesis doctoral, Universidad de Granada, España.
Castro, E. (2001) (Ed.). Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid:
Síntesis.
Castro, E., & Frías, A. (2004). Influencia del número de conexiones en la representación
simbólica de problemas aritméticos de dos pasos.
Castro, E., & Frías, A. (2013). Two-step arithmetic word problems. Montana
Mathematics Enthusiast, 10.
Castro, E., & Rico, L.(1992). Enfoques de investigación en problemas verbales
aritméticos aditivos. Enseñanza de las ciencias, 10(3), 224-253.
Castro, E., Castro, E., Romero, L., Gutiérrez, J., Tortosa, A., Alex, I. S., ... y Fernández,
F. (1998). Problemas aritméticos compuestos de dos relaciones. En Primer
Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática:
primer encuentro, 12 y 13 de septiembre de 1997, Zamora (pp. 64-77). Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
Cazares, J. (2000). La invención de problemas en escolares de primaria. Un estudio
evolutivo. Memoria de Investigación de 3º ciclo. Dto. Didáctica de la
matemática. Universidad de Granada.
Cazares, J.; Castro E. y Rico, L. (1998). La invención de problemas en escolares
de primaria. Un estudio evolutivo. Aula, 10, 19-39.
77
Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M., Pitta-Pantazi, D., & Sriraman, B. (2005). An
empirical taxonomy of problem posing processes. ZDM, 37(3), 149-158.
Clement, J. (1982). Algebra word problem solutions: Thought processes underlying a
common misconception. Journal for Research in Mathematics Education , 13 ,
16–30.
Cobo, F., Fernández, G. y Rico, L. (1986). Las situaciones reales de los problemas
aritméticos. En Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática
Thales (Eds.), Actas de las II Jornadas Andaluzas de Profesores de
Matemáticas (pp. 249-257). Almería: Editor.
Davison, D. M., & Pearce, D. L. (1988). Using Writing Activities to Reinforce
Mathematics Instruction. Arithmetic teacher, 35(8), 42-45.
De Corte, E., & Verschaffel, L. (1985). Beginning first graders' initial representation of
arithmetic word problems. The Journal of Mathematical Behavior.
De Corte, E., & Verschaffel, L. (1996). An empirical test of the impact of primitive
intuitive models of operations on solving word problems with a multiplicative
structure. Learning and instruction, 6(3), 219-242.
English, L. D. (1997). The development of fifth-grade children's problem-posing abilities.
Educational Studies in Mathematics, 34(3), 183-217.
Espinoza, J. (2011). Invención de problemas aritméticos por estudiantes con talento
matemático: Un estudio exploratorio. Memoria de Investigación Tutelada. Dto.
Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
Fernandez, E.
(2013).
Invención
de
problemas por estudiantes de secundaria:
evaluación de su conocimiento sobre simbolismo algebraico. Memoria de
Investigación Tutelada. Dto. Didáctica de la Matemática. Universidad de
Granada.
Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models
in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for research in
mathematics education, 3-17.
García, A., Sevilla F. y Valenzuela, J. (1986). Invención y enunciado de preguntas que
originan problemas matemáticos. En Sociedad Andaluza de Educación
Matemática
Thales (Ed), Actas de las II Jornadas Andaluzas de Profesores de
Matemática (pp. 278-287). Almeria: Editor.
78
Hart, K. M., Brown, M. L., Kuchemann, D. E., Kerslake, D., Ruddock, G., & McCartney,
M. (1981). Children's understanding of mathematics: 11-16. London: John
Murray.
Heller, J. I., & Greeno, J. G. (1978). Semantic processing in arithmetic word problem
solving. In Midwestern Psychological Association Convention, Chicago.
Heller, J. I., & Greeno, J. G. (1979). Information processing analyses of mathematical
problem solving. In Testing, teaching, and learning: Report of a conference on
research on testing. Washington, DC: US Department of Health, Education, and
Welfare, National Institute of Education.
Hendrickson, A. D. (1986). Verbal Multiplication and Division Problems: Some
Difficulties and Some Solutions. Arithmetic Teacher, 33(8), 26-33.
Hernández, R., Fernández, C. y Baptistias, P. (2008). Metodología de la investigación.
Mexico: McGraw- Hill.
Huinker, D. M. (1989). Multiplication and Division Word Problems: Improving Students'
Understanding. Arithmetic Teacher, 37(2), 8-12.
Kilpatrick, J. (1987). Problem formulating: Where do good problems come from.
Cognitive science and mathematics education, 123-147.
Kintsch, W., & Greeno, J. G. (1985). Understanding and solving word arithmetic
problems. Psychological review, 92(1), 109.
Kochen, M.; Badre, A. Y Badre, B. (1976): On recognizing and formulating
mathematical
problems».
Instruccional
Sciencie. Amsterdam:
Elsevier
Scientific Publishing Company, 5, pp. 115-131.
Kontorovich, I., Koichu, B., Leikin, R., & Berman, A. (2012). An exploratory framework
for handling the complexity of mathematical problem posing in small groups. The
Journal of Mathematical Behavior, 31(1), 149-161.
Kwek y Lye (2008). Using problem-posing as an assessment tool. Paper presented at the
10° Asia Pacific conference on Giftedness Singapore, Singapur.
Leung, S. S., & Silver, E. A. (1997). The role of task format, mathematics knowledge,
and creative thinking on the arithmetic problem posing of prospective elementary
school teachers. Mathematics Education Research Journal, 9(1), 5-24.
Lin, P. J. (2004). Supporting teachers on designing problem-posing tasks as a tool of
assessment to understand students' mathematical learning. In Proceeding of the
79
28th
annual meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education (Vol. 3, pp. 257-264).
León, O. y Montero, I.(1997): Diseño de investigaciones: introducción a la lógica de la
investigación en psicología y educación. Madrid: McGrawHill.
Luke, C. (1988). The repeated addition model of multiplication and children's
performance on mathematical word problems. The Journal of Mathematical
Behavior.
Luque, A. (2004). La invención de problemas en los que intervienen fracciones por
estudiantes del tercer curso de secundaria. Memoria de tercer ciclo. Granada:
Universidad de Granada.
Ministerio de Educación, Cultura y Deportes (2014). PISA 2012 Resolución de
problemas en la vida real. Informe español. Madrid: Instituto Nacional de
Evaluación Educativa.
Moliner, M (1986) Diccionario de uso español. Madrid: Editorial Gredos.
Moses, B.; Bjork, E. & Goldenberg, E. R (1990): Beyond problem solving: problema
posing. En T. J. Cooney y C. R. Hirsch (ed.): Teacbing and Learning Mathematics
in the 1990s. Yearbook: National Council of Teachers of Mathematics, pp.83-91
Mulligan, J. T., & Mitchelmore, M. C. (1997). Young children's intuitive models of
multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 309330.
Nesher, P. (1988). Multiplicative school word problems: Theoretical approaches and
empirical findings. Number concepts and operations in the middle grades, 2, 1940.
Nesher, P. (1999). El papel de los esquemas en la resolución de problemas de enunciado
verbal. Suma. Revista sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, 31,
19-26.
Nesher, P. & Hershkovitz, S. (1991). Two-step problems, research findings. En F.
Furinghetti (Ed.), Proceedings of the fifteenth International Conference for the
Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 65-71). Assisi: Program
Committee of the 15th PME Conference.
Nesher, P., & Hershkovitz, S. (1994). The role of schemes in two-step problems: Analysis
and research findings. Educational Studies in mathematics, 26(1), 1-23.
80
Nesher, P., Hershkovitz, S., & Novotna, J. (2003). Situation model, text base and what
else? Factors affecting problem solving. Educational Studies in Mathematics,
52(2), 151-176.
Nesher, P., & Katriel, T. (1977). A semantic analysis of addition and subtraction word
problems in arithmetic. Educational Studies in Mathematics, 8(3), 251-269.
Nesher, P., Greeno, J. G., & Riley, M. S. (1982). The development of semantic categories
for addition and subtraction. Educational Studies in Mathematics, 13(4), 373-394.
Peled, I., & Nesher, P. (1988). What children tell us about multiplication word problems.
The Journal of Mathematical Behavior.
Puig, L., & Pérez, F. C. (1988). Problemas aritméticos escolares. Síntesis
Real Academia Española (2001): Diccionario de lengua española (22ºed.). Madrid:
España.
Riley, M. S., Greeno, J. G., & Heller, J. 1.(1983). Development of children's problemsolving ability in arithmetic. The development of mathematical thinking, 153-196.
Santos, M.C. (2001). Problem posing and problematization in learning and teaching
mathematics. Adult Education and Development 57, 107-121
Shalin, V. L., & Bee, N. V. (1985). Structural Differences Between Two-Step Word
Problems.
Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the learning of mathematics,
19-28.
Silver, E. A. (1995). The Nature and Use of Open Problems in Mathematics Education:
Mathematical and Pedagogical Perspectives. Zentralblatt fur Didaktik der
Mathematik/International Reviews on Mathematical Education, 27(2), 67-72.
Silver, E. A., Mamona-Downs, J., Leung, S. S., & Kenney, P. A. (1996). Posing
mathematical problems: An exploratory study. Journal for research in
mathematics Education, 293-309.
Stoyanova, E. (1998). Problem Posing in Mathematics Classrooms, in A. McIntosh y
N. Ellerton (Eds).
perspective,
Research en Mathematics Education: a contemporary
164-185. Cowan University: MASTEC.
Vergnaud, G. (1982). A classification of cognitive tasks and operations of thought
involved in addition and subtraction problems. Addition and subtraction: A
cognitive perspective, 39-59
Vergnaud, G. (1990). La teoría de los campos conceptuales. Recherches en didactique
des mathématiques, 10(2), 3.
81
Vergnaud, G. (1991). El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza
de las matemáticas en la escuela primaria. Trillas.
82