Universidad Nacional Abierta Cálculo III (Cód. 751)

Segunda Prueba Parcial
Lapso 2015-2
751 – 1/3
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Cálculo III (Cód. 751)
Cód. Carrera: 508
Fecha: 20-02-2016
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 5 al 8
OBJ 5 PTA 1
Encuentre un campo vectorial,
F⃗ (x, y, z) = M (x, y, z) ⃗i + N (x, y, z) ⃗j + P (x, y, z) ⃗k,
que cumpla las siguientes condiciones,
(i)
rot(F⃗ ) = 2y ⃗i + ⃗j − 3x2 ⃗k.
(ii) F⃗ es perpendicular al eje y.
(iii) Las componentes de F⃗ no dependen de la variable z.
(iv) F⃗ (1, 1, 1) = 3⃗i.
SOLUCIÓN:
OBJ 6 PTA 2
Calcule la integral de linea,
I
(2x − y) dx − yz 2 dy − y 2 z dz,
C+
donde C + es la curva de intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y el plano x − z = 0, orientada en
sentido positivo.
SOLUCIÓN: Sea F⃗ (x, y, z) = (2x − y, −yz 2 , −y 2 z) y C es la curva de intersección de la esfera x2 +
y 2 + z 2 = 4 y el plano y + 2z = 0,
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4 y x − z = 0}.
Una parametrización de C orientada en sentido positivo viene dada por,
)
(√
√
⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =
2 cos(t), 2 sen(t), 2 cos(t) con t ∈ [0, 2π].
Entonces,
I
I 2π
⃗
F · d⃗r =
F⃗ (⃗r(t)) · ⃗r ′ (t) dt
C+
0
∫ 2π (
) (√
)
√
√
√
2 sen(t), −2 cos(t), 2 sen(t) dt
=2
sen(t) − 2 cos(t), 2 cos2 (t) sen(t), 2 2 cos(t) sen2 (t) ·
0
∫ 2π √
2 sen2 (t) − 2 sen(t) cos(t) − 4 cos3 (t) sen(t) + 4 cos(t) sen3 (t) dt
=2
0
t=2π
(
)
√
t − sen(t) cos(t)
2
4
4
=2 2
+ 2 cos (t) + 2 cos (t) + 2 sen (t) 2
t=0
√
= 2 2π.
Especialista: Prof. Federico J. Hernández Maggi
Área de Matemática
Validadora: Profa. Carla De Pinho Gomes
Evaluadora: Profa. Florymar Robles
Segunda Prueba Parcial
Lapso 2015-2
751 – 2/3
OBJ 7 PTA 3 Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas y 3 − ax2 = 0,
y 3 − bx2 = 0, xy 2 − c = 0 y xy 2 − d = 0 donde 0 < a < b y 0 < c < d.
SOLUCIÓN: Sea D la región del primer cuadrante limitada por las curvas y 3 − ax2 = 0, y 3 − bx2 = 0,
xy 2 − c = 0 y xy 2 − d = 0 donde 0 < a < b y 0 < c < d,
D = {(x, y) ∈ R2 : y 3 − ax2 = 0, y 3 − bx2 = 0, xy 2 − c = 0 y xy 2 − d = 0}.
Entonces, realizando el cambio de variables
u=
tenemos que,
y3
x2
y
v = xy 2
D′ = {(u, v) ∈ R2 : 0 < a ≤ u ≤ b, 0 < c ≤ v ≤ d}.
Como
∂(u, v) −2y 3 /x3 3y 2 /x2
∂(x, y) = y2
2xy
3
/
= 7 y y = 7 u8/7 v 2/7 = 1 ∂(x, y) ,
∂(u, v) x2
entonces
∫∫
∫∫
dA =
D
∫ b∫ d
)(
)
∂(x, y) 7 ( −1/7
−1/7
9/7
9/7
−8/7 −2/7
du dv = 1
b
−
a
d
−
c
.
u
v
dv
du
=
−
7 a c
9
D ′ ∂(u, v)
OBJ 8 PTA 4 La temperatura en el punto (x, y, z) dentro de una sustancia con conductividad κ = 3
está dada por f (x, y, z) = 5x2 + 5y 2 . Encuentre el flujo de calor,
∫∫
⃗
−κ∇f · dS,
S
que entra a través de la superficie S = {(x, y, z) : y 2 + z 2 = x2 , 0 ≤ x ≤ 3}.
SOLUCIÓN:
FIN DEL MODELO.
Especialista: Prof. Federico J. Hernández Maggi
Área de Matemática
Validadora: Profa. Carla De Pinho Gomes
Evaluadora: Profa. Florymar Robles