“Formula de interpolación de Lagrange”

“Formula de interpolación de Lagrange”
¿Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los
métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos es el de
usar un polinomio.
La interpolación polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que
pueden transformarse entre sí. Entre éstas se encuentran las series de potencias, la
interpolación de Lagrange y la interpolación de Newton hacia atrás y hacia delante.
Un polinomio de orden N que pasa a través de N + 1 puntos es único. Esto
significa que, independientemente de la fórmula de interpolación, todas las
interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente
idénticas.
Suponga que se dan N + 1 puntos como
Xo
X1
fo
f1
...
...
Xn
fn
Donde X0, X1, . . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en
orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio
de orden N que pasa a través de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de
potencias como
g(x) = a0 + a1x + a2x*2 + . . . + aNx*N
Donde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1
puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales:
f0 = a0 + a1xo + a2xo*2 + . . . + aNx0*N
f1 = a0 + a1x1 + a2x1*2 + . . . + aNx1*N
.
.
.
fN = a0 + a1xN + a2xN*2 + . . . + aNxN*N
Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones
simultáneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por
dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones
lineales; y segunda, la solución de la computadora quizá no sea precisa. (Realmente las
potencias de xi en la ecuación pueden ser números muy grandes, y si es así, el efecto de
los errores por redondeo será importante.) Por fortuna, existen mejores métodos para
determinar una interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre éstos
están la fórmula de interpolación de Lagrange y la fórmula de interpolación de Newton
hacia delante y hacia atrás.
Para presentar la idea básica que subyace en la fórmula de Lagrange, considere
el producto de factores dados por:
V0(x) = (x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)
Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La función V0 es un
polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0 (x)
entre V0 (x0), la función resultante
(x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)
V0(x) = (x0 – x1)(x0 – x2) . . .(x0 – xN)
toma el valor de uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN.
En forma análoga, podemos escribir Vi como
(x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)
Vi(x) = (xi – x0)(xi – x1) . . . (xi – xN)
donde el numerador no incluye (x – xi) denominador no incluye (xi – x). La
función Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero
en x = xj, j no pertenece a i. Así, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por
f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden
a lo más N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N.
La fórmula de interpolación de Lagrange de orden N así obtenida se escribe
como sigue (Conte / de Boor):
(x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)
g (x) = (x0 – x1)(x0 – x2) . . . (x0 – XN)
f0
+
(x – x0)(x – x2) . . . (x – xN)
f1
(x1 – x0)(x1 – x2) . . . (x1 – xN)
.
.
.
+ (x – x0)(x –x1) . . . (x – xN-1)
fN...........................Ec 1
(xN – x0)(xN – x1) . . . (xN – xN-1)
La Ec 1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la
ecuación lineal. Parece complicado, pero incluso la memorización no es difícil si se
entiende la estructura.
EJEMPLO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE APLICADO EN LA
INGENIERÍA QUÍMICA.
a) Las densidades del sodio para tres temperaturas están dados como sigue:
Temperatura
i
0
1
2
Densidad
Ti (x)
Pi (f)
94º C
205
371
929 kg/m3
902
860
Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange que se ajusta a los tres datos.
b)
Solución.
Determine la densidad para T = 251º C utilizando la interpolación de
Lagrange (al calcular el valor de g (x), no desarrolle la fórmula en una serie
de potencias).
a) Ya que el número de datos es tres, el orden de la fórmula de Lagrange es N
= 2. La interpolación es Lagrange queda:
(T – 205)(T – 371) X (929)
g (T) = (94 – 205)(94 – 371)
+ (T – 94)(T – 371) X (902)
(205 – 94)(205 – 371)
+ (T – 94)(T – 205) X (860)
(371 – 94)(371 – 205)
b) Sustituyendo T = 251 en la ecuación aterior, obtenemos
g(251) = 890.5 kg/ m3
(Comentarios: al evaluar g (x) por un valor dado x, no se debe desarrollar la fórmula de
interpolación de Lagramge en una serie de potencias, porqué no sólo es molesto sino
además se incrementa la posibilidad de cometer errores humanos.)
Eplicacion 2 del método
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE
LAGRANGE
Tenemos los datos :
El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:
Donde
los polinomios
se
correspondientes a la tabla de datos.
Como se debe satisfacer que
para toda
llaman
los
polinomios
de
, esto se cumple si
y
, esto se cumple si
y
Lagrange,
.
Como se debe satisfacer que
para toda
.
Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición
y
para toda
se cumple si
.
Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros,
analicemos detenidamente el polinomio
. De acuerdo al análisis anterior
vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para
y
Por lo tanto, planteamos
:
, para toda
como sigue:
Con esto se cumple la segunda condición sobre
. La constante c se
determinará para hacer que se cumpla la primera condición:
Por lo tanto el polinomio
queda definido como:
Análogamente se puede deducir que:
,
para
y formula expresada mas fácilmente es la siguiente:
EJEMPLO:
Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
i 0 1 2 3
f(xi) 1 -1 3 -2
x -2 0 2 4
Pn(x)=(L0(x)*1)+(L1(x)*-1)+(L2(x)*3)
L0=
L1=
L2=
L3=
L0=
=
L1=
=
L2=
L3=
=
=
P4(x)=
P4(x)=
P4(x)=
P4(x)=