FACTORIZACION Ejemplo 1 Solución

FACTORIZACION
Ejemplo 1
Resolvamos (3m-2n+5p)(3m-2n-5p)
Solución
Agrupemos los dos primeros términos de cada paréntesis para obtener una suma por diferencia:
(3m-2n+5p) (3m-2n-5p) = [(3m-2n)+5p][(3m-2n)-5p] = (3m-2n)2-(5p)2 = 9m2 - 12mn + 4n2 - 25p2
Ejemplo 2
Efectuemos (7x-3y)(49x2+21xy+9y2)
Solución:
Tenemos el producto de un binomio por su trinomio cuadrado imperfecto. Por lo tanto:
(7x-3y)(49x2+21xy+9y2) = (7x)3-(3y)3 = 343x3-27y3
Ejemplo 3
Los factores de x2 - 4 en Z son (x+2) y (x-2) ya que los coeficientes de estos polinomios son números
enteros y, además, x2-4 = (x+2) (x-2).
Ejemplo 4
Los factores de
8 3
x -1
27
2
4
2
en Q son x-1 y x2+ x+1 porque los coeficientes ce estos polinomios son
números racionales y, además,
3
9
3
8 3
2
4 2 2
x
-1
=
(
x-1)(
x +3x+1)
27
3
9
Ejemplo 5
El polinomio 3x2 - 25 es primo en Q ya que sus factores son √3x+5 y √3x-5, pero los coeficientes de
estos polinomios no son números racionales.
Ejemplo 6
Factoricemos el polinomio 1-x2+2xy-y2.
Solución:
El polinomio 1-x2+2xy-y2, se factoriza así: 1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2) agrupamos los tres últimos
términos en un paréntesis precedido del signo (-)
 1- x2+2xy-y2 = 1-(x-y)2 el paréntesis contiene un trinomio cuadrado perfecto
 1- x2+2xy-y2 = [1-(x-y)] (1+(x-y ) ) diferencia de cuadrados
 1 -x2+2xy-y2 = (1-x+y) (1+x-y) quitamos paréntesis internos
Ejemplo 7
Factoricemos el polinomio xa2 -xb2 + a3 - b3.
Solución:
El polinomio xa2-xb2+a3-b3 se factoriza así:
xa2-xb2+a3-b3=(xa2-xb2)+(a3-b3) agrupación de términos
 xa2-xb2+a3-b3=x(a2-b2)+(a3-b3) factor común x
xa2-xb2+a3-b3=x(a+b)(a-b)+(a-b)(a2+ab+b2) aplicamos diferencia de cuadrados y diferencia de
cubos
xa2-xb2+a3-b3=(a-b)[x(a+b)+a2+ab+b 2 ) factor común (a-b)
xa2-xb2+a3-b3=(a-b)[ax+bx+a2+ab+b2] suprimimos el paréntesis internos.
Ejemplo 8
Factoricemos en Z el polinomio X7-3x6+2x5
Solución
En los enteros, el polinomio x7-3x6+2x5 se factoriza así:
X7-3x6+2x5=X5(x2-3x+2) factor común x5
 x7-3x6+2x5=x5(x-2)(x-1)  x2-3x+2 es un trinomio de la forma x2+bx+c
Ejemplo 9
Factoricemos en Z el polinomio 5x2+29x+20.
Solución
Este trinomio es de la forma ax2n+bxn+c y podemos factorizarlo de tres maneras:
PRIMERA MANERA:
Paso1: Multiplicamos y dividimos por 5 (que es el coeficiente de x2) el trinomio dado:
52 𝑥 2 +29(5𝑥)+100
5(5𝑥2+29𝑥+20)
5x2+29x+20 =
=
=
5
5
Paso2: Hagamos un cambio de variable. Sea y=5x. Por lo tanto:
5x2+29x+20 =
𝑦 2 +29𝑦+100
5
Paso3: Devolvamos el cambio de variable:
=
5𝑥 2 +29(5𝑥)+100
5
(𝑦+25)(𝑦+4)
5
(5𝑥+25)(5𝑥+4)
5
Paso4: Como el factor (5x+25) tiene factor común 5, entonces:
5(𝑥+5)(5𝑥+4)
5
5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4) Por lo tanto: 5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4)
SEGUNDA MANERA:
La gran mayoría de los trinomios con coeficientes enteros de la forma x2n+bxn+ c o ax2n+bxn+c no
tiene factores con coeficientes enteros y por lo tanto son primos en Z En efecto, si a, b y c, los
elegimos al azar en el conjunto Z, la probabilidad de que el polinomio no tenga factores con
coeficientes enteros es mucho más grande que la probabilidad de que los tenga. Entonces vale la
pena saber si un polinomio en Z es primo antes de comenzar a buscar sus factores. Con este fin,
describiremos un método llamado PRUEBA CON ac PARA LA FACTORIZACIÓN, que no sólo nos
indica si es posible factorizar con coeficientes enteros los polinomios, sino que también nos ofrece
una forma directa de factorizar tales trinomios en Z, cuando es posible. La prueba consiste en lo
siguiente:
Paso1: Realicemos la prueba ac para la factorización: ac = (5)(20)= 100
Paso2: Encontremos dos factores de 100 que sumados den 29. Estos factores son 25 y 4. Luego
escribimos el término 29x como la suma de 25x y 4x, así: 5x2 + 29x +20 = 5x2 + 25x + 4x +20
Paso3: Agrupamos convenientemente y factorizamos:
5x2+29x+20=5x2+25x+4x+20=(5x2+25x)+(4x+20)=5x(x+5)+4(x+5)=(x+5)(5x+4)
Luego,5x2+29x+20= (x+5) (5x+4)
TERCERA MANERA:
La tercera manera de factorizar trinomios de la forma ax2n+bxn+c, constituye un método general
para factorizar tales trinomios y se denomina COMPLETACIÓN A UN TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO. Este método se fundamenta en las siguientes propiedades:
1. Un trinomio de la forma ax2n+bxn+c es factorizable en R si y sólo si la expresión b2-4ac es positiva
o cero; en caso contrario, el trinomio no es factorizable en los reales.
2. Si un trinomio ax2n+bxn+c es CUADRADO PERFECTO y el coeficiente de x2n es a= 1. entonces el
tercer término (c) es igual al CUADRADO DE LA MITAD DEL COEFICIENTE DE xn; es decir 𝑐 =
𝑏 2
(2 )
Teniendo en cuenta estas propiedades, la factorización del trinomio 5x2+29x+20 la realizamos así
Paso 1: Necesitamos que el coeficiente de x2 sea 1. Con este fin, sacamos factor común 5:
20
5x2+29x+20 = 5(x2+ 5 x+4)
𝟐𝟗
Paso 2: Completemos el trinomio del paréntesis al cuadrado perfecto, sumando (y restando) ( 𝟏𝟎
)
20
20
𝟐
𝟐
𝟐𝟗
𝟐𝟗
5(x2+ 5 x+4) =5(x2+ 5 x+( 𝟏𝟎
) +4-( ) )
𝟏𝟎
4−

841
100
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Paso 3:
𝟐𝟗
2
𝟒𝟒𝟏
5[(𝑥 2 + 𝟏𝟎 ) − 𝟏𝟎𝟎]

DIFERENCIA DE CUADRADOS
29
21
29
21
50
8
4
5[(𝒙 + 10 + 10 ) (𝒙 + 10 − 10 )] = 5[(𝒙 + 10 ) (𝒙 + 10)] = 5(x+5)(x+5) = (x+5)(5x+4)
2
Luego, 5x + 29x +20 = (x+5) (5x*4)
𝟐
Observemos que las tres maneras de factorizar este trinomio conducen a la misma respuesta.
Ejemplo 10
Factoricemos en Q el polinomio a9-a6-64a3+64
Solución
Agrupando los dos primeros términos en un paréntesis precedido del signo (+) y los otros dos en un
paréntesis precedido del signo (-), tenemos: a9-a6-64a3+64 = (a9-a6)-(64a3-64) = a6(a3-1)-64(a3-1)
= (a3-1)(a6-64)
Como el primer factor es una diferencia de cubos y el segundo es una diferencia de cuadrados,
entonces: a9-a6-64a3+64 = (a-1)(a2+a+1)(a3+8)(a3-8)
El tercer y cuarto factores son una suma y una diferencia de cubos. Por lo tanto:
a9-a6-64a3+64 = (a-1)(a2+a+1)(a+2)(a2-2a+4)(a-2)(a2+2a+4)
Ejemplo 11
Hallemos los posibles ceros enteros del polinomio P(x) = 2x3+x2-3x+6 y, si existen, factoricémoslo.
Solución
Los posibles ceros enteros son los divisores del término independiente del polinomio:+1,±2,±3 y ±6.
Verifiquemos:
* Para x = -1: 2(-1)3+(-1)2-3(-1)+6 = - 2 + 1 + 3 + 6 = 8 ≠ 0
* Para x = 1: 2(1)3+1 2 - 3(1)+6=2 + 1 - 3 + 6 = 6 ≠ 0
* Para x = -2: 2(-2)3+(-2)2-3(-2)+6 = - 1 6 + 4 + 6 + 6 = 0
* Para x = 2: 2(2)3+22-3(2)+6=16+4-6+6=20≠0
* Para x = -3: 2(-3)3+(-3)2-3(-3)+6=-54+9+9+6=-30≠0
* Para x = 3 : 2(3)3+32-3(3)+6=54+9-9+6=60≠0
* Para x = -6: 2(-6)3+(-6)2-3(-6)+6=-432+36+18+6=-372≠0
* Para x = 6: 2(6)3+62-3(6)+6=432+36-18+6=456≠0
Sólo encontramos un cero entero: x=-2. Por lo tanto (x+2) es un factor P(x) = 2x3 + x2 - 3x + 6; es
decir: P(x) = 2x3+x2-3x+6 = (x+2)*C(x)
Para encontrar C(x), que debe ser un polinomio de segundo grado (¿por qué?), recurrimos al método
de la división sintética:
2
1
3
6
-2
-4
6
-6
2
3
3
0
Luego, P(x) =(x+2) (2x2 - 3x + 3)
Pregunta: ¿Tiene el polinomio 2x2-3x+3 ceros que no sean enteros? ¿Por qué?