resolucion hcd n° 67/00 - FaMAF - Universidad Nacional de Córdoba

Universidad Nacional de Córdoba
FACULTAD DE MATEMÁTICA ASTRONOMÍA Y FÍSICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
Facultad de Matemática, Astronomía y Física
PROGRAMA DE CURSO DE POSGRADO
TÍTULO: Teoría de Conjuntos
AÑO: 2016
CUATRIMESTRE: Primero
CARGA HORARIA: 60hs
No. DE CRÉDITOS: 3
CARRERA/S: Doctorado en Matemática
DOCENTE ENCARGADO: Pedro Sánchez Terraf
PROGRAMA
Unidad I: Teoría de conjuntos básica
Presentación axiomática de la Teoría de Conjuntos. Teoría de Zermelo-Fraenkel.
Axioma de Elección (AC). Representación de construcciones matemáticas usando
conjuntos. La categoría de los conjuntos parcialmente ordenados (posets).
Ordinales y cardinales. Aritmética cardinal. Cofinalidad. Teorema de König.
Equivalencias de AC: Teorema del buen orden y Lema de Zorn.
Relaciones bien fundadas. Inducción generalizada. Construcciones recursivas
sobre conjuntos bien fundados. La jerarquía acumulativa de conjuntos.
(*) Teorema de los sistemas Δ.
Unidad II: Repaso de lógica, absolutez y pruebas de consistencia.
Lenguajes y modelos. Relación de satisfacción. Teorema de completitud de la
lógica de primer orden. Teorema de Löwenheim-Skolem. Limitaciones de los
sistemas axiomáticos: Teorema de Incompletitud de Gödel y de Indefinibilidad de
Tarski.
Teorema de Colapso de Mostowski. Relativización. Absolutez de fórmulas para
modelos transitivos. Consistencia del axioma de Regularidad. Teorema de
Reflexión.
Unidad III: Cardinales característicos del continuo y el Axioma de Martin (MA).
Dominancia de sucesiones enteras. Cardinal de familias no acotadas. Familias casi
disjuntas maximales. Cardinales característicos � y �. Teorema de Solomon � ≥ �.
Anticadenas y conjuntos densos en posets. Condición de cadenas contables (ccc).
Filtros, Filtros genéricos. Axioma de Martin (MA). Aplicaciones de MA a los
cardinales característicos.
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(*) MA implica que el cardinal del continuo es regular.
Unidad IV: Cardinales grandes y ultrapotencias.
Subconjuntos cerrados y no acotados (club) de ordinales. Cardinales inaccesibles y
de Mahlo. Cardinales medibles.
Ultrafiltros, u.filtros σ-completos. Ultraproductos. Ultrapotencias del universo.
Incrustación elemental canónica, Teorema de Łoś.
(*) Puntos críticos de incrustaciones elementales.
Unidad V: Introducción al forzamiento.
Modelos transitivos contables. Nombres. La extensión genérica M[G]. Construcción
de nombres para operaciones conjuntísticas básicas. Definición de la relación de
forzamiento. Consistencia de ZFC + ¬CH.
BIBLIOGRAFÍA
Bibliografía Principal:
[1] F. Drake, “Set Theory: An Introduction to Large Cardinals”, North-Holland
Publishing Company (1974).
[2] T. Jech, “Set Theory”, Springer-Verlag (2006) edición del milenio (3ra).
[3] W. Just, M. Weese, “Discovering Modern Set Theory. I”, Grad. Studies in
Mathematics 8, American Mathematical Society (1996).
[4] W. Just, M. Weese, “Discovering Modern Set Theory. II”, Grad. Studies in
Mathematics 18, American Mathematical Society (1997).
[5] K. Kunen, “Set Theory”, College Publications (2011).
[6] J. Palumbo, Forcing and independence in set theory, Webpage (2009). UCLA
Logic Center Summer School for Undergraduates.
Bibliografía suplementaria:
[1] A.A. Fraenkel, “Abstract Set Theory”, North-Holland, Amsterdam (1961),
segunda edición.
[2] P. Halmos, “Naive Set Theory”, Springer (1960).
[3] A. Kanamori, “The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their
Beginnings”, Springer Berlin Heidelberg (2008).
[4] K. Kunen, “Set theory: An Introduction to Independence Proofs”, Elsevier
Science, Amsterdam, Lausanne, New York (1980).
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[5] Y. Moschovakis, “Notes on Set Theory”, Springer-Verlag (1994).
[6] I. Neeman, Topics in set theory, forcing, Webpage (2011). Course lecture notes
http://www.math.ucla.edu/~ineeman/223s.1.11s/223s-spring11-lecture-notes-6-5.pdf.
METODOLOGÍA DE TRABAJO
El cursado como especialidad comprende las Unidades I a la III, mientras que los
temas para la exposición de los alumnos (ver “EVALUACIÓN”) podrán estar ser
elegidos de entre las unidades restantes. En este caso, los temas señalados con
un asterisco serán opcionales. El formato de curso de posgrado involucra
además el desarrollo completo de al menos una Unidades de la IV a la VI, tarea
que será complementada con la resolución de guías especiales de ejercicios.
Se desarrollarán clases teóricas y prácticas destacando los conceptos principales.
También se prevé discutir los temas que sean propuestos por los alumnos, de
manera que ello no signifique relegar ningún punto especificado en cada trayecto.
Los alumnos trabajaran sobre guías prácticas y habrá horarios de consulta
disponibles para evacuar dudas.
EVALUACIÓN
FORMAS DE EVALUACIÓN
Los alumnos deberán resolver una lista de aproximadamente diez ejercicios y
exponer un tema en clase.
CONDICIONES PARA OBTENER LA REGULARIDAD Y PROMOCIÓN
Regularidad: Se requiere un 80% de asistencia a las clases teóricas.
No se incluye régimen de promoción.
CORRELATIVIDADES
Para cursar:
Tener aprobada Topología y Funciones Reales.
Para rendir:
Tener aprobadas Estructuras Algebraicas o bien Introducción a la Lógica (2do año
computación) ó Lógica (optativa).