4º B ESO Matemáticas:Tema 9 Teoría de Funciones

TEMA 9: FUNCIONES
9.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN
 Una función real de variable real, f, es una correspondencia que asocia a
cada elemento, de un determinado conjunto de números reales, un único
número real que se designa y = f(x) . Una función se puede expresar
mediante una fórmula, una tabla de valores o una gráfica
 Variable independiente, X, es la variable cuyo valor se fija previamente (X
es el conjunto original)
 Variable dependiente, Y, es aquella cuyo valor se deduce del de la variable
independiente (Y es el conjunto imagen)
 Dominio de la función es el conjunto de todos los valores que toma la
variable independiente (originales). Se representa por D(f).
Para averiguar el dominio de una función depende de la forma en la que venga
expresada
a) Gráfica: En el eje X, desde - ∞ hasta ∞, se va viendo qué valores de la X
están relacionados con alguno de la Y
i)
ii)
b) Fórmula: para ver el dominio nos fijamos en el tipo de función:
i) F. Polinómica: el dominio son todos los números reales
 f (x) = x5 – 4x2 + 3
 f (x) = 1 – 3x2 + x
ii) F. Racional: 𝑓 (𝑥 ) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, el dominio son todos los números reales
menos los que anulan el denominador
 f (x) =
 f (x)=
3𝑥
𝑥−2
𝑥+5
𝑥 2 −1
iii) F. raíz cuadrada: f(x) = +√P(x) , el dominio serán los números reales
que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero
 f(x) = + √3𝑥 − 6
 f(x) = + √10 + 2𝑥
iv)
F. raíz cuadrada en el denominador f(x) =
𝑃(𝑥)
√𝑄(𝑥)
, el dominio será el
conjunto de números reales que hacen que el radicando sea mayor
estricto que 0
 f(x) =
 f(x) =
4−𝑥
√𝑥+1
3
√2−𝑥
 Recorrido o imagen: es el conjunto de todos los valores que toma la
variable dependiente (imágenes). Se representa por R(f) ó Im (f)
 Escribe el recorrido de las siguientes funciones:
i)
ii)
9.2 TASA DE VARIACIÓN
La tasa de variación de la función f en un intervalo [a, b] es el aumento o
disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable
independiente del valor a al valor b
Viene dada por la expresión
Tv [a, b] = f(b) – f(a)
 Calcula la tasa de variación de f(x) = 3x – 2 en los intervalos [– 3, 4]
y en [0, 5]
 Calcula la tasa de variación de variación de la siguiente función en los
intervalos [ – 2, 0], [1, 1’5] y [3, 4]
9.3 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, X,
también aumenta la dependiente, Y.
Una función es creciente en un intervalo [a, b] si la tasa de variación en dicho
intervalo es positiva
Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, X,
disminuye la dependiente, Y.
Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si la tasa de variación en dicho
intervalo es negativa
(Para escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento se hace en la variable
X)
 ¿Es creciente f(x) = 5 – x en el intervalo [1, 4]?
 Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes
funciones :
a)
b)
9.4 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS
Una función tiene un máximo en un punto x = x0 si a la derecha del punto la
función crece y a la izquierda decrece
Un máximo es relativo en x = x0 si hay algún valor de la función que sea mayor
que f(x0)
Un máximo es absoluto en x = x0 si f(x0) es mayor o igual que el valor de la
función en cualquier otro punto del dominio de dicha función
Una función tiene un mínimo en un punto x = x0 si a la derecha del punto la
función decrece y a la izquierda crece
Un mínimo es relativo en x = x0 si hay algún valor de la función que sea menor
que f(x0)
Un mínimo es absoluto en x = x0 si f(x0) es menor o igual que el valor de la
función en cualquier otro punto del dominio de dicha función
Para indicar que un punto de la función es máximo o mínimo se escribe su
coordenada de abscisas o la coordenada del punto
 Escribe los máximos y mínimos de la siguiente gráfica, indicando si son
absolutos o relativos
9.5 FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función f es periódica de periodo T si, para todo x del dominio se verifica que
:
f(x + T) = f(x)
 ¿Son periódicas las siguientes funciones? En caso afirmativo indica el
periodo
a)
b)
9.6 FUNCIONES ACOTADAS
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real m tal que para
todo x es f(x) ≥ m
El número m se llama cota inferior
Una función f está acotada superiormente si existe un número real M tal que
para todo x es f(x) ≤ M
El número M se llama cota superior
Una función f está acotada si lo está superior e inferiormente
9.7 FUNCIONES SIMÉTRICAS
 SIMETRÍA PAR (Respecto al eje de ordenadas)
Una función f tiene simetría par cuando para todo x del dominio se
verifica:
f(x) = f(– x)
 SIMETRÍA IMPAR (Respecto al origen de coordenadas)
Una función f tiene simetría impar cuando para todo x del dominio se
verifica::
f(x) = – f(– x)
 Estudia la simetría de las siguientes funciones:
a)
b)
 Estudia la simetría de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3x2 + 1
b) f(x) = 2x3 – x2
c) f(x) = x + 4x3
9.7 OPERACIONES CON FUNCIONES
 SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
La suma de dos funciones f y g es otra función (f + g)(x) que a cada x del
dominio común le corresponde el valor f(x) + g(x)
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
La diferencia de dos funciones f y g es otra función (f – g)(x) que a cada x del
dominio común le corresponde el valor f(x) – g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
 Sean las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = 3x2 – x + 2, calcula las siguientes
expresiones y los dominios de las dos primeras:
a) (f + g)(x) =
b) (f – g)(x) =
c) (f + g)(1) =
d) (f – g)(2) =
 PRODUCTO DE UNA FUNCIÓN POR UN NÚMERO REAL
El producto de un número real k por una función f es otra función (k·f)(x) que
asocia a cada x, k veces el valor de f(x)
(k·f) (x) = k·f(x)
 Sean las funciones f(x) =
3𝑥
𝑥−1
y g(x) = x2 – 6x, calcula las siguientes
expresiones y los dominios de las dos primeras:
a) (2·f)(x) =
b) (3·g)(x) =
c) (2·f)(4) =
d) (3·g)( –3) =
 PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES
El producto de dos funciones f y g es otra función (f·g)(x) que a cada x del
dominio común de ambas le hace corresponder el valor f(x)· g(x)
(f ·g)(x) = f(x) · g(x)
El cociente de dos funciones f y g es otra función (f : g)(x) = (
𝐟
𝐠
) (x)
que a
cada x del dominio común, con g(x) ≠ 0 de ambas le hace corresponde el valor
f(x) : g(x)
𝒇
𝒇(𝒙)
𝒈
𝒈(𝒙)
( )(x) =
, con g(x)≠ 0
 Dadas las funciones f(x) = 3x y g(x) = x2 – 1, calcula las siguientes
expresiones y los dominios de las dos primeras:
a) (f ·g)(x) =
𝑓
b) ( )(x) =
𝑔
c) (f ·g)( – 2) =
𝑓
d) ( )(4) =
𝑔
9.8 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La composición de una función f con otra función g es la función (g ο f)(x) (Se
lee f compuesto con g), que lleva directamente del dominio de f al recorrido de g.
La composición es igual al valor de g calculado en el valor f(x) y se define:
(g ο f) (x) = g (f(x))
La composición de funciones no es conmutativa, es decir, (g ο f) (x) ≠ (f ο g) (x)
 Sean las funciones f(x) = 2x – 1 y g(x) = x2, halla todas las expresiones y
sus dominios:
a) (g ο f) (x) =
b) (f ο g) (x) =
c) (f ο f) (x) =
d) (g ο g) (x) =
 Sean las funciones f(x) = 4 – x y g(x) = 3x2 + 1, halla todas las expresiones
y sus dominios:
a) (g ο f) (x) =
b) (f ο g) (x) =
c) (f ο f) (x) =
d) (g ο g) (x) =
9.9 FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA
Dos funciones f y g son recíprocas o inversas si se verifica:
(f ο g) (x) = (g ο f) (x) = i(x)
Donde i(x) es la función identidad i(x) = x
La función inversa de f(s) se denota f –1 (x)
Las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del
primer cuadrante
Cómo calcular la función inversa o recíproca a una función dada:
- Intercambiamos los nombres de las variables, es decir, donde está la variable
x ponemos la variable y, y viceversa
- Despejamos la variable y
- f –1 (x) = y
 Halla la función recíproca de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3x + 1
b) g(x) = + √1 − 𝑥
9.10 REPASO DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
 FUNCIONES LINEALES
Hay tres tipos de funciones lineales;
- F. Afines: f(x) = mx +n
- F. De proporcionalidad directa f(x) = mx
- F. Constantes: f(x) = n
Donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen
Para representar estas funciones basta con hacer una tabla de valores con tres
números. Su gráfica es siempre una línea recta
 Representa las siguientes funciones lineales
a) f(x) = 3x – 2
b) f(x) = 2x
c) f(x) = – 4
 FUNCIONES CUADRÁTICAS
Son de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a es el coeficiente cuadrático, b es el
coeficiente lineal y c es el término independiente. Su representación es una
parábola con las ramas hacia ∞ ó – ∞.
Para representarlas necesitamos:
- Vértice: V(xv , yv), donde la abscisa xv =
−b
2a
y la ordenada yv = f(xv)
- Puntos de corte:
Eje OX: la y = 0, por lo que tenemos que resolver la ecuación de segundo
grado 0 = ax2 + bx + c, y los puntos de corte serán (x1, 0) y (x2, 0). Puede
haber dos puntos de corte, uno o ninguno, depende de las soluciones de la
ecuación
Eje OY: la x = 0, por lo que calculamos el valor f(0), y el punto de corte será
el punto (0, c)
- Tabla de valores: hacemos una tabla de valores tomando tres valores a la
derecha de la abscisa del vértice y otros tres a la izquierda
 Representa la función f(x) = x2 – 2x – 3
 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma f(x) =
k
x−a
Su gráfica es una hipérbola infinita.
Para representar esta función:
- Necesitamos saber en qué punto x está la asíntota vertical, para ello
igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación
- Hacemos una tabla de valores con tres valores a la derecha de la asíntota y
tres a la izquierda
 Representa las siguientes funciones:
3
a) f(x) =
x
b) f(x) =
2
x+1
 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
La función f(x) es definida a trozos cuando viene dada por una fórmula distinta
para cada parte de su dominio. Por ejemplo:
x2 − 1
si x ≤ −1
2
f(x) = {
x
si − 1 < x ≤ 1
2x + 1
si x > 1
Para representar una función a trozos representamos cada parte de manera
independiente teniendo en cuenta el dominio que le corresponde a cada trozo
 Representa las siguientes funciones:
a) f(x) = {
2−x
si x < −1
2
x − 1 si x ≥ −1
2x + 3
si x < −3
b) { 1
si − 3 ≤ x < 2
1−x
si x ≥ 2
c) f(x) = |2x − 4|