MÓDULO DE ESTADÍSTICA - Tecnológico David Ausubel

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
E INFORMÁTICA
ESTADÍSTICA
GUIA DIDÁCTICA
AUTOR DEL MÓDULO
M.Sc. Ing. VICENTE VINICIO NICOLALDE MORETA
3 er. NIVEL
QUITO - ECUADOR
1
PRESENTACIÓN
En el proceso formativo de los Tecnólogos, tanto en Informática, como en
Administración de Empresas, con especialidad en Contabilidad y Auditoría,
es necesario el conocimiento teórico práctico de la Disciplina de Estadística,
debido a que el proceso administrativo inicia y termina con el análisis de
información, la misma que debe ser recopilada, ordenada, analizada y
presentada en forma sistemática para tomar decisiones.
Es muy importante que el nuevo Tecnólogo en estas ramas del
conocimiento a nivel superior llegue a dominar la base conceptual sobre
Estadística, mediante la aplicación en la resolución de ejercicios y
problemas de manejo de datos, convirtiéndole en una valiosa herramienta
dentro de la planificación, organización y control, pues esta disciplina le
permitirá definir las desviaciones que pueden generarse dentro de los
procesos y determinar con certeza los correctivos, mediante una acertada
toma de decisiones.
"Sólo una cosa convierte en imposible un sueño: el miedo a fracasar" (Paulo
Coelho).
“Lo que tenemos que aprender a hacer, lo aprendemos haciéndolo”.
(Aristóteles)
"No esperes por el momento preciso. Empieza ahora. Hazlo ahora. Si esperas
por el momento adecuado, nunca dejarás de esperar" (Jasmine Gillman)
2
ÍNDICE
TEMA
PAG.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
INTRODUCCIÓN
EPÍTOME
CONTENIDOS
COMPETENCIA GENERAL
6
6
7
8
9
11
CAPITULO I COMPETENCIA ESPECÍFICA
12
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
1- LA ESTADÍSTICA
1.1- DEFINICIÓN
1.2- RESEÑA HISTÓRICA
1.3- CLASES DE ESTADÍSTICA
1.4- POBLACIÓN Y MUESTREO;
ESTADÍSTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA
1.5- FUENTES DE INFORMACIÓN
1.6- ELEMENTOS MATEMÁTICOS IMPORTANTES EN LA
ESTADÍSTICA.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
12
CAPITULO II COMPETENCIA ESPECÍFICA
18
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
2- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
2.1- LA FILA DE DATOS
2.2- ORDENACIONES
2.3- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
18
18
18
18
18
27
CAPITULO III COMPETENCIA ESPECÍFICA
29
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
3- REPRESENTACION GRAFICA
3.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA
3.2- GRAFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO
3.3- GRAFICO CIRCULAR
3.4- GRAFICOS DE BARRAS
3.5- GRAFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS
3.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA
29
29
29
29
30
31
32
33
12
12
12
13
13
14
17
3
3.7- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS
3.8- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS
3.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
33
33
35
37
CAPITULO IV COMPETENCIA ESPECÍFICA
39
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
4- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
4.1- DEFINICIÓN Y CLASES DE PROMEDIOS
4.2- LA MEDIA ARITMÉTICA
4.3- ANÁLISIS CON VARIABLE DISCRETA
4.4- MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
4.5- ANÁLISIS CON VARIABLE CONTÍNUA
4.6- PROPIEDADES
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
39
39
39
40
40
41
41
43
46
CAPITULO V COMPETENCIA ESPECÍFICA
47
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
5- OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
5.1- LA MEDIANA
5.2- CUARTILES
5.3- DECILES
5.4- PERCENTILES
5.5- LA MODA
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
47
47
47
50
51
51
52
53
CAPITULO VI COMPETENCIA ESPECÍFICA
55
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
6- ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
6.1- LA MEDIA ARMÓNICA
6.2- LA MEDIA GEOMÉTRICA
6.3- LA MEDIA CUADRÁTICA
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
55
55
55
56
57
59
CAPITULO VII COMPETENCIA ESPECÍFICA
61
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
7- ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
7.1- LA DISPERSIÓN Y SU MEDIDA
7.2- DESVIACIÓN MEDIA
7.3- DESVIACIÓN ESTÁNDAR
61
61
61
64
64
4
7.4- LA VARIANZA
7.5- EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
68
68
72
CAPITULO VIII COMPETENCIA ESPECÍFICA
74
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
8- ANÁLISIS DE VARIABLES TIPO UNO
8.1- LA COVARIACIÓN
8.2- ANÁLISIS GRÁFICO DE LA COVARIACIÓN
8.3- LA REGRESIÓN
8.4- CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
74
74
74
75
77
80
83
CAPÍTULO IX COMPETENCIA ESPECÍFICA
85
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
9- CLASIFICACIÓN DE LOS ÍNDICES
9.1- ÍNDICE SIMPLE DE PRECIOS
9.2- ÍNDICE SIMPLE DE CANTIDAD
9.3- PRINCIPALES ÍNDICES UTILIZADOS EN LA
ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
85
85
85
86
BIBLIOGRAFÍA
91
87
89
5
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Dominar la base conceptual referente a estadística, fuentes de información y
elementos matemáticos.
Dominar la base conceptual y analítica sobre la distribución de frecuencias; la
representación gráfica, tipos de curvas de frecuencias; las medidas de
tendencia central; estadígrafos de posición; estadígrafos de dispersión; el
análisis de variables tipo uno; aplicar y resolver ejercicios.
Dominar la base conceptual y analítica sobre los Índices de precios y cantidad
y aplicar en forma práctica.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
Domina la base conceptual referente a estadística, fuentes de información y
elementos matemáticos.
Domina la base conceptual y analítica sobre la distribución de frecuencias; la
representación gráfica, tipos de curvas de frecuencias; las medidas de
tendencia central; estadígrafos de posición; estadígrafos de dispersión; el
análisis de variables tipo uno; aplica y resuelve ejercicios.
Domina la base conceptual y analítica sobre los Índices de precios y cantidad y
su aplicación práctica.
6
INTRODUCCIÓN
La estadística es una técnica auxiliar de las ciencias administrativas, esta
permite determinar y medir matemáticamente las variables que intervienen
dentro de las actividades administrativas y sus aplicaciones informáticas.
Se convierte en una herramienta fundamental dentro de la planificación y la
organización, pues la estadística permite definir las desviaciones que pueden
generarse dentro de los procesos y determinar con certeza los correctivos que
se pueden tomar, a fin de evitar mayores problemas o eliminarlos.
Esta técnica está presente en los estudios de mercado de las empresas, en los
informes contables, informes económicos, en el desarrollo de nuevos
proyectos, informes empresariales, en definitiva en toda actividad de carácter
administrativo.
Es importante que los tecnólogos conozcan y apliquen los conceptos básicos
de Estadística, tales como la distribución de frecuencias, su representación
gráfica, las medidas de tendencia central, de dispersión, el análisis de variables
tipo uno y los Índices de precios y cantidad.
7
EPÍTOME
CONCEPTOS,
ELEMENTOS MATEMÁTICOS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ESTADÍSTICA
ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
ANÁLISIS DE VARIABLES TIPO
UNO
ÍNDICES: DE PRECIOS Y
CANTIDAD
8
CONTENIDO
CAPITULO I
1- LA ESTADÍSTICA
1.1. DEFINICIÓN
1.2. RESEÑA HISTÓRICA
1.3. CLASES DE ESTADÍSTICA
1.4. POBLACIÓN Y MUESTREO;
ESTADÍSTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA
1.5. FUENTES DE INFORMACIÓN
1.5.1. El Censo
1.5.2. La Muestra
1.5.3. La Encuesta
1.6. ELEMENTOS MATEMÁTICOS IMPORTANTES EN LA ESTADÍSTICA.
1.6.1. Variables
1.6.2. El redondeo de datos
1.6.3. La notación científica
1.6.4. El operador sumatorio ∑
CAPITULO II
2- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
2.1- LA FILA DE DATOS
2.2- ORDENACIONES
2.3- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
2.3.1- Ejemplo con Variable Discreta.
2.3.1.1- Datos originales
2.3.1.2- Frecuencia absoluta Ni.
2.3.1.3- Frecuencia absoluta acumulada descendente N’i.
2.3.1.4- Frecuencia relativa simple hi
2.3.1.5- Frecuencia relativa acumulada ascendente Hi
2.3.1.6- Frecuencia relativa acumulada descendente H’i
2.3.2- Ejemplo con variable continua
2.3.2.1- Frecuencia absoluta simple ni
2.3.2.2- Frecuencia absoluta Ni
2.3.2.3- Frecuencia absoluta acumulada descendente N’i
2.3.2.4- Frecuencia relativa simple hi
2.3.2.5- Frecuencia relativa acumulada ascendente Hi
2.3.2.6- Frecuencia relativa acumulada descendente H’i
9
CAPITULO III
3- REPRESENTACION GRAFICA
3.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA
3.2- GRAFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO
3.3- GRAFICO CIRCULAR
3.4- GRAFICOS DE BARRAS
3.5- GRAFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS
3.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA
3.7- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS
3.8- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS
3.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS
CAPITULO IV
4- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
4.1- DEFINICIÓN Y CLASES DE PROMEDIOS
4.2- LA MEDIA ARITMÉTICA
4.3- ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON VARIABLE DISCRETA
4.4- MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
4.5- ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON VARIABLE CONTINUA
4.6- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
CAPITULO V
5- OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
5.1- LA MEDIANA
5.1.1- Cálculo para datos originales
5.1.2- Cálculo para datos agrupados
5.2- CUARTILES
5.3- DECILES
5.4- PERCENTILES
5.5- LA MODA
5.5.1- Moda por observación
5.5.2- Moda bimodal
5.5.3- Moda en datos agrupados
CAPITULO VI
6- ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
6.1- LA MEDIA ARMÓNICA
6.3- LA MEDIA GEOMÉTRICA
6.4- LA MEDIA CUADRÁTICA
10
CAPITULO VII
7- ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
7.1- LA DISPERSIÓN Y SU MEDIDA
7.2- DESVIACIÓN MEDIA
7.3- DESVIACIÓN ESTÁNDAR
7.4- LA VARIANZA
7.5- EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CAPITULO VIII
8- ANÁLISIS DE VARIABLES TIPO UNO
8.1- LA COVARIACIÓN
8.2- ANÁLISIS GRÁFICO DE LA COVARIACIÓN
8.3- LA REGRESIÓN
8.4- LA REGRESIÓN LINEAL
8.5- CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
CAPÍTULO IX
9- CLASIFICACIÓN DE LOS ÍNDICES
9.1- ÍNDICE SIMPLE DE PRECIOS
9.2- ÍNDICE SIMPLE DE CANTIDAD
9.3- PRINCIPALES ÍNDICES UTILIZADOS EN LA ADMINISTRACIÓN Y LA
ECONOMÍA
9.3.1- Índice de precios al consumidor
9.3.2- Usos del IPC
COMPETENCIA GENERAL.- los estudiantes dominan los procesos cognitivos
y analíticos de la Estadística, sus conceptos, Distribución de frecuencias,
Representación gráfica, Medidas de tendencia central, de dispersión e Índices
y su aplicación.
11
CAPITULO I
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual referente a estadística, fuentes de información y
elementos matemáticos.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad introductoria técnica, se recomienda a los y las
estudiantes que se familiaricen con los conceptos básicos de Estadística, su
clasificación, sus usos y aplicaciones; además deben llegar a conocer y
dominar el manejo de algunos elementos matemáticos, los más utilizados en
esta asignatura. Al conocer estos elementos y conceptos podrán poner en
práctica con ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la
metodología de enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
1- LA ESTADÍSTICA
1.1- DEFINICIÓN
La estadística es una parte del conocimiento científico. La estadística estudia
los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para
sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en dichos
análisis.
La estadística sirve para describir y entender los fenómenos económicos,
sociales, políticos, incluso fenómenos naturales que acontecen en el desarrollo
del mundo.
Así la estadística se encamina a recolectar información, tabular la información,
clasificar la información y graficar la misma.
1.2- RESEÑA HISTÓRICA
La palabra estadística nació en el imperio Romano, la utilizaban los reyes para
elaborar encuestas y sondeos del número de habitantes en las ciudades para
poder cobrar los impuestos. Se la utilizó en este sentido por el Estado hasta la
revolución industrial, actualmente todas las actividades humanas, consciente o
inconscientemente utilizan la estadística.
1.3- CLASES DE ESTADÍSTICA
12
a) Por las observaciones
b) Por la materia de Estudio
c) Por el número de caracteres
d) Por las observaciones
1.4- POBLACIÓN
DESCRIPTIVA
Y
MUESTREO;
- Primarias
- Derivadas
Demográficas, de transportes, sanitarias,
agropecuarias, económicas, educativas, de
comercio
exterior,
de
precios,
de
accidentes de trabajo, etc.
- De variables
- De atributos
- Mixtas
- Distribuciones de Frecuencias
- Estadísticas Geográficas
- Estadísticas Sectoriales
- Estadísticas Temporales
ESTADÍSTICA
INDUCTIVA
Y
Cuando se recogen datos relativos a las características de un grupo de
individuos u objetos, sean alturas, pesos, de los estudiantes de un colegio, o
universidad o pernos defectuosos producidos en una fábrica, suele ser
imposible o nada práctico observar todo el grupo, por ser este muy grande,
llegando a ser casi imposible su verificación de uno en uno. En vez de
examinar el grupo entero llamado universo o población, se opta por tomar una
parte del universo el cual toma el nombre de muestra.
Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo una población finita puede
ser todos los estudiantes matriculados en la Universidad Central del Ecuador
en un año determinado. Mientras que una población infinita puede ser los
posibles resultados de cara o cruz al lanzar sucesivamente una moneda al aire.
Si una muestra es representativa de una población, de ella se pueden extraer
importantes conclusiones que serán aplicadas a la muestra mediante el análisis
de la muestra. La fase de la estadística que trata con las condiciones bajo las
cuales tal diferencia es válida se llama estadística inductiva o inferencia
estadística. Ya que dicha inferencia no es del todo exacta, el leguaje de las
probabilidades aparecerá al establecer nuestras conclusiones.
La parte de la estadística que solo se dedica a describir y analizar un grupo de
datos, sin extraer conclusiones sobre un grupo mayor se llama estadística
descriptiva o deductiva.
1.5- FUENTES DE INFORMACIÓN
Las fuentes de información son las formas de dónde y cómo podemos obtener
datos ya sean cualitativos y cuantitativos.
Las principales fuentes de información para una investigación estadística son:
- El censo
- La muestra
13
-
La encuesta
1.5.1- EL CENSO
Es la enumeración total de todos y cada uno de los elementos del universo,
población o masa estadística.
1.5.2- LA MUESTRA
Es una enumeración parcial de algunos de los elementos del universo,
población o masa estadística, la cual es previamente seleccionada y contiene
las características más comunes del universo y que lo representa; la cual es
sometida a ciertos criterios para ser definida.
1.5.3- LA ENCUESTA
Es la forma más directa de obtener información estadística o datos, es utilizada
por el censo o por la muestra. La encuesta puede ser verbal o escrita, pero en
los dos casos debe estar previamente elaborada con los objetivos de la
investigación.
1.6- ELEMENTOS MATEMÁTICOS IMPORTANTES EN LA ESTADÍSTICA.
1.6.1- VARIABLES
Una se la representa con un símbolo, tal como X, Y, H, A o B, que puede tomar
un conjunto prefijado de valores, llamado Dominio de esa variable. Si la
variable puede tomar un solo valor, se llama constante. Una variable que puede
tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es una variable
continua; en caso contrario diremos que la variable es discreta.
Por ejemplo el número huevos H que puede poner una gallina en una semana
puede ser 5, 6, 7, …. Pero no puede poner 5,7 o 6,34, por lo tanto es una
variable discreta.
Entonces diremos: variables discretas son aquellas que presentan un valor
bien determinado entre las cuales no cabe ningún otro valor, es decir son
aquellas que pueden tomar un valor, o un número limitado de valores dentro
de un rango o intervalo los cuales pueden ser expresados solo en números
enteros y no en decimales o fracciones.
En cambio la altura de una persona puede ser 1.65 cm., o 1.78 cm.,
dependiendo de la precisión de la medida, es una variable continua. Entonces
diremos que se denomina variable continua a toda medida que expresa un
número, es decir, son aquellas que pueden tomar un número ilimitado de
valores, dentro de un rango o intervalo que puede ser expresado de cualquier
forma, ya sea en valores enteros o decimales.
14
1.6.2- EL REDONDEO DE DATOS
El resultado de redondear un número como 64.6 en unidades es 65 pues este
es más próximo que 64. Analógicamente si queremos redondear 4.2689 en
centésimas o sea con 2 decimales nos da 4.27, pero si queremos redondear
3.4325 en centésimas nos da 3.43 pues es el más próximo en lugar de 3.44 .
Para determinar el redondeo se debe tomar como referencia el valor de 5,
dando que si un el valor que le preside por ejemplo en 4.2689 su tercer valor
es 8 ≥ 5 entonces el segundo valor sube de 6 a 7; en el ejemplo 3.4325 como
el tercer valor es 2≤5 entonces el segundo número se mantiene en 3.
1.6.3- LA NOTACIÓN CIENTÍFICA
Al escribir números, especialmente los que poseen muchos ceros antes o
después de punto decimal, interesa emplear la notación científica mediante
potencias de 10.
Ejemplo.
10¹=10,
10²=10x10=100
5
10 =10x10x10x10x10=100,000
8
10 =10x10x10x10x10x10x10x10=100,000,000
10º=1
-1
10 =0.1 o sea .1
-2
10 =0.01 o sea .01
-5
10 =0.00001 o sea .00001
Entonces
864,000,000=8.64x10
8
0.00003416=3.416x10
-5
8
Nótese que al multiplicar un número por 10 , por ejemplo, el punto decimal se
-6
mueve 8 posiciones a la derecha, y la multiplicar por 10
se mueve seis
posiciones a la izquierda.
A menudo escribimos 0.1253 en vez de .1253 para recalcar el hecho de que no
se ha omitido accidentalmente un entero no nulo delante del punto decimal. Sin
embargo, ese cero puede omitirse cuando no exista riesgo de confusión, por
ejemplo, en tablas.
1.6.4- EL OPERADOR SUMATORIO ∑
Es un símbolo convencional matemático que indica que tenemos que sumar,
desde que la variable toma el valor de 1 hasta que la variable toma el valor de
n.
n
Xi

X
1

X
2

X
3

.........
Xn

i

1
15
1.6.4.1- PROPIEDADES DEL OPERADOR SUMATORIO
1.-La sumatoria de una constante es ∑K
∑k=k+k+k+k+k+………+k
n veces
∑k = n veces la misma constante
∑k = nk
2.-Sumatoria de una constante con una variable.
∑kXi=Kx1+kx2+kx3+…………..+kxn
∑kXi=k(x1+x2+x3+…………xn)
∑kXi=k∑Xi
Esto es igual a la constante por la sumatoria de la parte variable.
3.-La sumatoria de una suma de variables
∑(Xi+Yi+Zi) = x1+y1+z1+x2+y2+z2+…………………+xn+yn+zn
(x1+x2+…….+xn)+(y1+y2+………..yn)+(z1+z2+………zn)
∑Xi+∑Yi+∑Zi
La sumatoria de variables siempre será igual a la sumatoria de cada una de las
variables
PARA RECORDAR:
La estadística estudia los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar
datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables
basadas en dichos análisis.
Una población puede ser finita o infinita.
La fase de la estadística que trata con las condiciones bajo las cuales tal
diferencia es valida se llama estadística inductiva o inferencia estadística.
La parte de la estadística que solo se dedica a describir y analizar un grupo de
dado, sin extraer conclusiones sobre un grupo mayor se llama estadística
descriptiva o deductiva.
Las fuentes de información son las formas de donde y como podemos obtener
datos ya sean cualitativos y cuantitativos.
La variable puede tomar un solo valor, se llama constante.
Una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice
que es una variable continua; en caso contrario diremos que la variable es
discreta.
El operador sumatorio ∑ es un símbolo convencional matemático que indica
que tenemos que sumar, desde que la variable toma el valor de 1 hasta que la
n
Xi

X
1

X
2

X
3

.........
Xn

i

1
16
variable toma el valor de n.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- De 2 ejemplos de población o universo
2- De 2 ejemplos de muestra
3- Realice un ejemplo de una encuesta para obtener información de ingresos y
gastos de una familia
4- De 5 ejemplo de variables discretas
5- De 5 ejemplos de variables continuas
6- Realice un cuadro sinóptico de cómo se clasifica la estadística
Realice los siguientes ejercicios:
1- Redondeo
a) 2.35616 con dos decimales
b) 4.5621 con dos decimales
c) 15’536,351
en
millones
cerrados
d) 24.564
en
enteros(sin
decimales)
e) 54.799988 con 3 decimales
2- Notación científica. Expresar los siguientes números sin usar la potencia de
10
4
a) 132.5x10
b)
-5
418.72x10
c)
-7
280x10
d)
5
0.0001850x10
e)
6
730x10
3- Realice la sumatoria de:
Ingresos mensuales de los obreros de la empresa EUROTEL en 1998
345, 462, 689, 345, 645, 278, 356 y 435
17
CAPITULO II
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre la distribución de frecuencias;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de la distribución de frecuencias, sus usos y
aplicaciones; además deben llegar a conocer y dominar el manejo de
frecuencias absolutas y relativas. Al conocer estos elementos y conceptos
podrán poner en práctica con ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas.
Se utilizará la metodología de enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
2- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
2.1- LA FILA DE DATOS
Una fila de datos son datos recogidos los cuales no han sido organizados
numéricamente, por ejemplo la altura de 100 estudiantes por letra alfabética.
2.2- ORDENACIONES
Una ordenación es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o
decreciente. La diferencia entre el mayor y el menor se llama rango de ese
conjunto de datos. Así si la mayor altura de entre los 100 estudiantes era de
160 cm., y la menor 150 cm., el rango es 160 – 150 = 10 cm.
2.3- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
2.3.1- EJEMPLO CON VARIABLE DISCRETA.
Número de miembros por familia de los estudiantes del tercer curso.
Donde:
n = número total de observaciones, o tamaño de la muestra
n = 10
2.3.1.1- DATOS ORIGINALES
Son Aquellos que se toman directamente del campo de investigación y
generalmente se representan con xi.
18
xi1
xi2
xi3
xi4
xi5
5
4
5
6
7
xi6
xi7
xi8
xi9
xi10
2
13
6
6
5
Partiendo de los datos originales se ordenan estos
2
4
5
5
5
6
6
6
7
13
Los datos agrupados son los mismos datos originales que se los clasifica en
orden y se los presenta en forma ascendente o descendente, en la tabla de
frecuencias.
m: numero de filas, intervalos o líneas de la tabla de frecuencias.
yi: valor distinto de la variable xi
ni: número de veces que se repite el valor de una variable
m
1
2
3
4
5
6
yi
2
4
5
6
7
13
TOTAL
ni
1
1
3
3
1
1
10
∑ni = n = 10
∑hi = 1
Interpretación de ni
Ejemplo en la fila m3 tenemos:
ni3: Significa que 3 estudiantes tienen 5 miembros en su familia
Ejemplo en la fila m6 tenemos
ni6: Significa que 1 estudiante tiene 13 miembros en su familia
2.3.1.2- LA FRECUENCIA ABSOLUTA Ni.
Esta nos indica el número de observaciones con valores a lo mucho o valores a
lo máximo que puede tomar la variable
El número de observaciones menores o igual a la variable, entonces:
19
Ni1 = ni1
Ni2 = ni1+ni2
Ni3 = ni1+ni2+ni3
Así tenemos:
Ni3 = 1+1+3
Ni3 = 5
m
1
2
3
4
5
6
TOTA
L
yi
2
4
5
6
7
13
ni
1
1
3
3
1
1
Ni
1
2
5
8
9
10
Interpretación de Ni:
Ni3: Cinco estudiantes tienen a lo máximo 5 miembros en su familia
Ni6: Diez estudiantes tienen a lo máximo 13 miembros en su familia.
2.3.1.3- LA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA DESCENDENTE N’i.
Nos indica el número de observaciones con valores por lo menos o como
mínimo igual a la variable. O nos indica el número de observaciones mayores o
iguales a la variable.
N’i1 = ni1+ni2+ni3+ni4+ni5+ni6
N’i2 = ni1+ni2+ni3+ni4+ni5
Ni’3 = ni1+ni2+ni3+ni4
Así tenemos:
Ni’3 = 1+1+3+3
Ni’3 = 8
m
1
2
3
4
5
6
Yi
2
4
5
6
7
13
ni
1
1
3
3
1
1
Ni
1
2
5
8
9
10
N'i
10
9
8
5
2
1
Interpretación de N’i:
N’i3: 8 estudiantes tienen como mínimo 5 miembros en su familia
N’i5: 2 estudiantes tienen como mínimo 7 miembros en su familia
20
2.3.1.4- FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE hi
La Frecuencia relativa simple nos indica la proporción o porcentaje de
observaciones con valores iguales a la variable. Su fórmula de cálculo es:
hi 
ni
n
Ejemplo:
hi1 = 1/10 = 0.10
hi3 = 3/10 = 0.30
M
1
2
3
4
5
6
yi
2
4
5
6
7
13
ni
1
1
3
3
1
1
Ni
1
2
5
8
9
10
N'i
10
9
8
5
2
1
TOTAL
hi
0.1
0.1
0.3
0.3
0.1
0.1
1
Interpretación:
hi4: El 30% de los estudiantes del tercer curso, tienen 6 miembros en su familia
hi2: el 10% de los estudiantes del tercer curso, tienen 4 miembros en su familia.
2.3.1.5- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ASCENDENTE Hi
Nos indica la proporción de observaciones que con valores a lo mucho o
iguales a la variable; o también a lo máximo o igual a la variable. Su fórmula es:
Hi 
M
1
2
3
4
5
6
yi
2
4
5
6
7
13
ni
1
1
3
3
1
1
Ni
n
Ni
1
2
5
8
9
10
TOTAL
N'i
10
9
8
5
2
1
hi
0.1
0.1
0.3
0.3
0.1
0.1
1
Hi
0.1
0.2
0.5
0.8
0.9
1
Ejemplos:
Hi6 = 10/10 = 1
Hi3 = 5/10 = 0.50
Interpretación:
21
Para su interpretación los resultados obtenidos se deben multiplicar por 100,
así tenemos:
Hi6: el 100% de los estudiantes del tercer curso, tendrán a lo mucho 13
miembros en su familia.
Hi3: el 50% de los estudiantes del tercer curso, tendrán a lo mucho 5 miembros
en su familia.
2.3.1.6- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DESCENDENTE H’i
Nos indica la proporción de observaciones con valores por lo menos o como
mínimo iguales a la variable; o nos indica el porcentaje de observaciones con
valores mayores o iguales a la variable. Su fórmula es:
Ejemplos:
H'i 
N'i
n
H’i3 = 8/10 = 0.80
H’i5 = 2/10 = 0.20
M
1
2
3
4
5
6
yi
2
4
5
6
7
13
ni
1
1
3
3
1
1
TOTAL
Ni
1
2
5
8
9
10
N'i
10
9
8
5
2
1
hi
0.1
0.1
0.3
0.3
0.1
0.1
1
Hi
0.1
0.2
0.5
0.8
0.9
1
H'i
1
0.9
0.8
0.5
0.2
0.1
Interpretación:
Para interpretar los resultados obtenidos se deben multiplicar por cien, así
tenemos:
H’i3: El 80% de los estudiantes del tercer curso tienen por lo menos 5
miembros en su familia.
H’i5: El 20% de los estudiantes del tercer curso tienen por lo menos 7
miembros en su familia.
2.3.1.7- EJERCICIO DEMOSTRATIVO
De 20 encuestas realizadas en el mercado Iñaquito a las vendedoras de este
lugar sobre el número de hijos que poseen se obtuvieron los siguientes datos:
Xi = 4, 4, 2, 2, 5, 10, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 1, 9, 10.
Se pide: Obtener las frecuencias absolutas y relativas ascendentes y
descendentes e interpretar los datos obtenidos de las filas 2 y 5.
Desarrollo
Xi:
22
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
m
1
3
3
4
4
4
4
5
9
10
10
Yi ni
1 3
2 5
Ni
3
8
N'i
20
18
hi
Hi
0.15 0.15
0.25 0.40
H'i
1.00
0.90
3
4
5
12
16
17
17
16
12
0.20 0.60
0.20 0.80
0.05 0.85
0.85
0.80
0.60
5
6
9 1 18
7
10 2 20
TOTAL
20
8
3
0.05 0.90
0.10 1.00
1
0.40
0.15
2
3
4
4
4
1
Interpretación de la variable ni:
ni2: Cinco vendedoras del mercado Iñaquito tienen 2 hijos
ni5: Una vendedora del mercado Iñaquito tiene 5 hijos
Interpretación de la frecuencia absoluta Ni:
Ni2: Ocho vendedoras del mercado Iñaquito tiene como máximo 2 hijos
Ni5: Diecisiete vendedoras del mercado Iñaquito tienen como máximo 5 hijos
Interpretación de la frecuencia acumulativa descendente N’i
N’i2: Dieciocho vendedoras del mercado Iñaquito tiene como mínimo 2 hijos
N’i5: Doce vendedoras del mercado Iñaquito tienen como mínimo 5 hijos
Interpretación de la frecuencia relativa simple hi:
hi2: El 25% de las vendedoras del mercado Iñaquito tienen 2 hijos
hi5: El 5% de la vendedora del mercado Iñaquito tiene 5 hijos
Interpretación de la frecuencia relativa acumulada ascendente Hi:
Hi2: El 40% de las vendedoras del mercado Iñaquito tiene a lo mucho 2 hijos
Hi5: El 85% de las vendedoras del mercado Iñaquito tienen a lo mucho 5 hijos
Interpretación de la frecuencia relativa acumulada descendente H’i
H’i2: El 90% de las vendedoras del mercado Iñaquito tiene como mínimo 2 hijos
H’i5: El 60% de las vendedoras del mercado Iñaquito tienen como mínimo 5
hijos
2.3.2- EJEMPLO DE VARIABLE CONTINUA
Se realizó la medición de la estatura de 20 estudiantes del aula de cuarto curso
especialización contabilidad obteniendo los siguientes datos en metros:
Xi:
23
1.56
1.68
1.50
1.76
1.68
1.72
1.80
1.78
1.53
1.88
1.54
1.53
1.80
1.80
1.60
1.66
1.65
1.70
1.52
1.80
1.56
1.60
1.65
1.66
1.68
1.68
1.70
1.72
1.76
1.78
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
n = 20
Ordenar
1.50
1.52
1.53
1.53
1.54
Límite máximo: Es el máximo valor observado de la variable
Límite mínimo: es el mínimo valor observado de la variable
Lím. máximo: 1.80
Lím. mínimo: 1.50
Rango de amplitud: se obtiene de la diferencia entre le límite máximo menos el
límite mínimo y lo representamos con la letra r
r = lím. max. – lím. Mín
r = 1.80 – 1.50
r = 0.30
Para establecer el número de intervalos que darán origen al número de filas
realizamos:
r = 0.30 0.30 es divisible para 2, 3, , 6, 10, 15; mientras trabajemos con un
mayor número de filas menor será el margen de dispersión datos y error en los
cálculos.
m=5
m
1
2
3
4
5
yi'-1 -- yi'
1.50 -- 1.56
1.56 -- 1.62
1.62 -- 1.68
1.68 -- 1.74
1.74 -- 1.80
yi
1.53
1.59
1.65
1.71
1.77
ni
6
2
4
2
6
20
Ni
6
8
12
14
20
N'i
20
14
12
8
6
Hi
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
1
Generalidades:
yi'-1 = Límite inferior de cada intervalo.
yi’ = Límite superior de cada intervalo
24
C = Campo de amplitud o intervalo de clase
C
r
m
yi
'1yi
'
yi
2
0.30/5 = 0.06
yi = Punto medio o marca de clase
(1.50+1.56)/2 = 1.53
Donde:
yi
'1xiyi
'
yi
'1xiyi
2.3.2.1- FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE ni
Es el número de observaciones con valores comprendidos entre el límite
superior e inferior de cada intervalo. Su interpretación es similar al caso de la
variable discreta, por ejemplo:
ni1: Significa que 6 estudiantes tienen una estatura comprendida entre 1.50 a
1.56 m.
ni3: Significa que 4 estudiantes tienen una estatura comprendida entre 1.62 a
1.68 m.
2.3.2.2- FRECUENCIA ABSOLUTA Ni
Es un número de valores a lo mucho o igual al límite superior de cada intervalo,
o número de observaciones menores o iguales al límite superior de cada
intervalo
Ni5: Veinte estudiantes a lo mucho tiene una estatura de 1.80 m.
Ni2: Ocho estudiantes tienen a lo mucho una estatura de 1.62 m.
2.3.2.3- FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA DESCENDENTE N’i
Nos indica el número de observaciones con valores por lo menos igual al límite
inferior de cada intervalo. O el número de observaciones con valores mayores
o iguales al límite inferior de cada intervalo. Su interpretación es similar a la
variable discreta, así tenemos:
N’i2: Catorce estudiantes tienen por lo menos una estatura de 1.56 m.
N’i4: Ocho estudiantes tienen por lo menos una estatura de 1.68 m.
25
2.3.2.4- FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE hi
Nos indica la proporción o porcentaje de observaciones comprendidos entre le
hi 
ni
n
límite inferior y superior de cada intervalo.
m
1
2
3
4
5
yi'-1 -- yi'
1.50 -- 1.56
1.56 -- 1.62
1.62 -- 1.68
1.68 -- 1.74
1.74 -- 1.80
yi
1.53
1.59
1.65
1.71
1.77
ni
6
2
4
2
6
20
Ni
6
8
12
14
20
N'i
20
14
12
8
6
hi
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
1
Hi
0.3
0.4
0.6
0.7
1
H'i
1
0.7
0.6
0.4
0.3
Su interpretación es similar a la variable discreta, por ejemplo:
hi3: El 20% de los estudiantes poseen una estatura entre 1.62 y 1.68 m. de
altura
2.3.2.5- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ASCENDENTE Hi
Indica la proporción de observaciones con valores a lo mucho o iguales al límite
superior de cada intervalo. O el porcentaje de observaciones, con valores
menores o iguales al límite superior de cada intervalo.
Para su interpretación es necesario que los valores obtenidos de la formula se
multipliquen por 100.
Hi4: El 70% de estudiantes a lo máximo o a lo mucho miden 1.74 m.
Hi2: el 40% de estudiantes a lo máximo o a lo mucho miden 1.62 m.
2.3.2.6- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DESCENDENTE H’i
Indica la proporción de observaciones con valores a lo menos o iguales al límite
inferior de cada intervalo, o nos indica que el porcentaje de las observaciones
con valores mayores o iguales al límite inferior de cada intervalo.
Y se interpreta:
Para su interpretación es necesario que los valores obtenidos de la formula se
multipliquen por 100.
H'i 
N'i
n
H’i1 = El 100% de los estudiantes miden por lo menos 1,50 m. de estatura.
H’i4 = El 40% de los estudiantes miden por lo menos 1,68 m. de estatura
26
PARA RECORDAR:
Una fila de datos son valores recogidos los cuales no han sido organizados
numéricamente, por ejemplo la altura de 100 estudiantes por letra alfabética.
Una ordenación es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o
decreciente.
Son Aquellos que se toman directamente del campo de investigación y
generalmente se representan con xi.
La frecuencia absoluta Ni nos indica el número de observaciones con valores a
lo mucho o valores a lo máximo que puede tomar la variable
La frecuencia absoluta acumulada descendente N’i indica el número de
observaciones con valores por lo menos o como mínimo igual a la variable.
La Frecuencia relativa simple nos indica la proporción o porcentaje de
observaciones con valores iguales a la variable.
ni
hi 
n
La frecuencia relativa acumulada ascendente Hi, indica la proporción de
observaciones que con valore a lo mucho o iguales a la variable; o también a lo
máximo o igual a la variable.
Hi 
Ni
n
La frecuencia relativa acumulada descendente H’i indica la proporción de
observaciones con valores por lo menos o como mínimo iguales a la variable.
H'i 
N'i
n
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
a- Qué nos indica la frecuencia absoluta Ni?
b- Qué nos indica la frecuencia relativa simple hi?
c- Qué nos indica la frecuencia relativa acumulada descendente H’i?
Realice los siguientes ejercicios
d- En el siguiente cuadro se expone de a cuerdo a una muestra, el número de
pelotas de tenis que producen en un día 20 obreros de una fabrica. Realice
la tabla de frecuencias e interprete todas.
320
330
350
325
350
330
310
320
325
310
315
325
350
315
325
350
330
310
360
320
27
e- La tabla adjunta muestra los diámetros de 60 bolas de cojinete
manufacturadas por una fábrica. Construir una distribución de frecuencias
con intervalos de clase apropiados e interpretar 3 de cada frecuencia.
1.738
1.735
1.736
1.739
1.728
1.733
1.738
1.735
1.736
1.735
1.729
1.731
1.735
1.735
1.738
1.730
1.739
1.727
1.744
1.735
1.743
1.726
1.724
1.745
1.725
1.732
1.727
1.734
1.732
1.729
1.740
1.737
1.733
1.736
1.733
1.730
1.735
1.732
1.737
1.734
1.736
1.728
1.742
1.742
1.734
1.739
1.735
1.736
1.731
1.730
1.741
1.737
1.736
1.740
1.732
1.734
1.732
1.741
1.746
1.740
28
CAPITULO III
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre la representación gráfica,
distribución de frecuencias relativas, tipos de curvas de frecuencias; aplica y
resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de la representación gráfica, distribución de
frecuencias relativas y tipos de curvas de frecuencias, sus usos y aplicaciones.
Al conocer estos elementos y conceptos podrán poner en práctica con
ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la metodología de
enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
3- REPRESENTACIÓN GRÁFICA
3.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación gráfica de los datos contenidos en un cuadro estadístico,
tiene como finalidad ofrecer una visión de conjunto del fenómeno sometido a
investigación, el cual es más rápidamente perceptible que la observación
directa de los datos numéricos. Así la representación gráfica es unos medios
eficaz para el análisis de las estadísticas ya que las magnitudes y las
regularidades se aprecian y recuerdan con más facilidad cuando se examinan
gráficamente.
Sin embargo la representación gráfica no es más que un medio auxilia, de la
investigación estadística, pues está es fundamentalmente numérica.
La representación gráfica puede hacerse utilizando un sistema geométrico de
representación, en cuyo caso tiene las propiedades de rigurosidad y precisión,
o bien puede utilizarse símbolos alusivos al tema de estudio, como por ejemplo
árboles, casas, automóviles, figuras humanas, etc.
Mediante este último sistema de representación, no persigue una rigurosa
exactitud, sino lograr efectos impresionistas en las personas de poca
preparación en el campo de la estadística.
3.2- GRÁFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO
Como es conocido el Sistema Cartesiano esta formado por un par de ejes, uno
vertical y otro horizontal que se cortan en un ángulo recto. El eje horizontal
29
toma el nombre de las abscisas, y le vertical de eje de las ordenas; el punto de
intersección es el origen
Ambos ejes están graduados de acuerdo a una escala que pueden ser
diferente para los dos ejes.
Aquí se pueden trazar los conocidos gráficos de siluetas.
BALANZA COMERCIAL
SALDO
2000
1500
SALDO
Balanza
Comercial
AÑO
SALDO
1990
1500
1991
800
1992
-215
1993
530
1994
-156
1995
-256
1996
-562
1997
-324
1998
315
1999
-50
1000
500
0
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
-500
-1000
AÑO
3.3- GRÁFICO CIRCULAR
Como su nombre lo indica constituye en representar los datos de una
investigación estadística en el interior de un círculo o pastel.
POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA
Situación
Población
Grados
Empleados
20%
73
Subempleados
35%
128
Desocupados
45%
164
TOTAL
100%
365
30
Población Económicamente Activa
20%
45%
35%
Empleados
Subempleados
Desocupados
3.4- GRÁFICOS DE BARRAS
Se dibuja en un par de ejes cartesianos; en el de las abscisas se toman los
valores distintos de la variable y en el de la ordenada, las frecuencias. Cada
valor de la variable, con su correspondiente frecuencia, constituye una pareja
de números, a la que corresponde en el plano un punto. Habrá pues, tantos
puntos como valores distintos que tome la variable. Para dar mayor visibilidad
al gráfico, es costumbre materializar las ordenadas de cada punto mediante
una línea gruesa o Barra. De aquí que esta representación se llame gráfico o
diagrama de barras.
INDICE DE DELINCUENCIA
Guayaquil
11%
Quito
8%
Ambato
5%
Cuenca
3%
IN D IC E D E D E LIN C UE N C IA
12%
10%
8%
6%
C I U D A D ES
4%
2%
0%
Guayaquil
Quit o
Ambat o
Cuenca
31
3.5- GRÁFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS
De una muestra tomada en la provincia de los ríos, sobre la producción de
arroz en quintales por hectáreas, durante el mes de diciembre de 1991 se
obtuvieron los siguientes datos:
Yi:
115.5
100.0
50.0
58.0
Lím.Máx
Lím.Mín
r = 350-50
r = 300
m=4
C = r/m
C = 75
126.0
138.0
153.0
191.0
245.0
287.0
293.0
306.0
342.0
278.0
215.0
165.0
300
2
3
44
5
6
10
12
60
350
50
==>
==>
300/4
M
yi'-1 -- yi'
yi
ni Ni N'i hi
Hi
H'i
1
50 – 125 87.5 6 6 20 0.30 0.30 1.00
2
125 – 200 162.5 5 11 14 0.25 0.55 0.70
3
200 – 275 237.5 3 14 9 0.15 0.70 0.45
4
275 – 350 312.5 6 20 6 0.30 1.00 0.30
TOTAL
20
1.00
32
3.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones
gráficas de las distribuciones de frecuencias.
Un histograma o histograma de frecuencias, consiste en un conjunto de
rectángulos con:
a) Base en el eje X horizontal, centros en la marca de clase y longitudes
iguales a los tamaños de los intervalos de clase.
b) Área proporcional a las frecuencias de clase.
Si los intervalos de clase tienen todos la misma anchura, las alturas de los
rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase. En caso contrario,
deben ajustarse las alturas.
Un polígono de frecuencias es un gráfico de trozos de la frecuencia de clase
con relación a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos
medios de las partes superiores de los rectángulos del histograma.
3.7- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS
La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia
total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. La
suma de frecuencias relativas sabemos que suman 1 o 100.
La representación gráfica de distribución de frecuencias relativas se puede
obtener del histograma o polígono de frecuencias sin más que cambiar la
escala vertical de frecuencias a frecuencias relativas o histograma de
porcentajes, y polígonos de frecuencias relativas o polígono de porcentajes,
respectivamente.
3.8- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS
La frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase
superior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta
ese intervalo de clase inclusive.
33
Una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se llama una distribución
de frecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o brevemente
una distribución acumulada.
Un gráfico que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de
las fronteras de clase superior respecto a dicha frontera se llama polígono de
frecuencias acumuladas u ojiva.
yi'-1 -yi'
50 – 125
125 –
200
200 –
275
275 –
350
Hi
0.30
0.55
Ni
50 -- 125
125 -- 200
200 -- 275
275 -- 350
25
20
0.70
15
1.00
10
5
qq
0
50 -- 125
125 -- 200
200 -- 275
275 -- 350
HI
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
qq
34
Estas son las ojivas ascendentes y descendentes.
H'i
50 -- 125
125 -- 200
200 -- 275
275 -- 350
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
qq
0.00
N'i
50 -- 125
125 -- 200
200 -- 275
275 -- 350
25
20
15
10
5
qq
0
3.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS
Las curvas de frecuencias que aparecen, en la práctica adoptan formas
características como son:
1- Las curvas de frecuencias simétricas o en forma de campana, se
caracterizan porque las observaciones equidistantes del máximo central
tienen la misma frecuencia. Ejemplo importante es la curva normal.
2- En las curvas de frecuencia poco asimétricas, o sesgadas, la cola de la
curva a un lado del máximo central es más larga que al otro lado. Si la cola
mayor está a la derecha, la curva se dice asimétrica a la derecha o
35
asimétrica positiva. En caso contrario, se dice asimétrica a la izquierda o
asimétrica negativa.
3- En una curva en forma de J o de J invertida, hay un máximo y un extremo
4- Una curva de frecuencia en forma de U tiene máximo en ambos extremos.
5- Una curva de frecuencia bimodal tiene dos máximos.
6- Una curva de frecuencia multimodal tiene más de dos máximos.
36
PARA RECORDAR:
La representación gráfica es un medio eficaz para el análisis de las
estadísticas.
La representación gráfica puede hacerse utilizando un sistema geométrico de
representación, en cuyo caso tiene las propiedades de rigurosidad y precisión,
o bien puede utilizarse símbolos alusivos al tema de estudio, como por ejemplo
árboles, casas, automóviles, figuras humanas, etc.
El Sistema Cartesiano esta formado por un par de ejes, uno vertical y otro
horizontal que se cortan en un ángulo recto.
El gráfico circular como su nombre lo indica constituye en representar los datos
de una investigación estadística en el interior de un círculo o pastel.
El gráfico de barras se dibuja en un par de ejes cartesianos; en el de las
abscisas se toman los valores distintos de la variable y en el de la ordenada,
las frecuencias.
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones
gráficas de las distribuciones de frecuencias.
Un polígono de frecuencias es un gráfico de trozos de la frecuencia de clase
con relación a la marca de clase.
La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia
total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje.
Un gráfico que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de
las fronteras de clase superior respecto a dicha frontera se llama polígono de
frecuencias acumuladas u ojiva.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
Realice los siguientes ejercicios
a- Realice el gráfico de barras en función de los siguientes datos:
Pies Perforados por Petroproducción en 1998
Cuyabeno
Cononaco
Shushufindi
Sacha
Lago Agrio
Sacha II
8.000
10.820
9.445
10.028
10.140
9.980
b- Realice el gráfico de pastel o circular en base a los siguientes datos
Materia Prima Total Procesada en el País en diciembre de 1998 en barriles
37
Refinería Esmeraldas
Refinería la Libertad
Refinería Amazonas
Refinería Lago
2’692.956
1’040.714
628.335
4’362.005
c- En la siguiente tabla se muestra la distribución de cargas máximas en
toneladas cortas (1 tonelada corta = 2000 Lb), que soportan los cables
producidos por cierta fabrica.
Realice la distribución de frecuencias acumuladas y ojivas ascendentes y
descendentes.
Carga Máxima (Toneladas Cortas) Número de Cables
Y’i-1 ------------- Y’i
ni
9.5
10.5
7
10.5
11.5
5
11.5
12.5
12
12.5
13.5
17
13.5
14.5
14
14.5
16.5
6
16.5
17.5
3
17.5
18.5
4
68
38
CAPITULO IV
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre las medidas de tendencia central;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos y aplicaciones prácticas de las medidas de
tendencia central. Al conocer estos conceptos podrán poner en práctica con
ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la metodología de
enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
4- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
4.1- DEFINICIÓN Y CLASES DE PROMEDIOS Al obtener una población de
tamaño N, la distribución de frecuencias de una variable, lo que se persigue es
reducir o condensar en pocas cifras el conjunto de observaciones relativas a
dicha variable.
Pero con extremada frecuencia, el proceso de reducción hay que continuarlo
hasta su grado máximo, o sea, hasta sustituir todos los valores observados por
uno solo, que se llama promedio. Cuando se actúa así se logra por una parte
una visión más clara del “nivel” que alcanza la variable y por otra, mayor
facilidad al hacer comparaciones.
Por ejemplo, la estatura media del soldado ecuatoriano y la estatura media de
los oficiales del ejército y la marina.
La noción del promedio lleva implícita la idea de variación, ya que no tiene
sentido promediar un carácter invariable. Pero el número singular –promedioque a de sustituir al número de observaciones de la población a de cumplir la
condición de ser representativo de dicho conjunto, para lo cual a de reflejar la
tendencia de las observaciones. De aquí que los promedios también se los
denomina Medidas de Tendencia Central. El carácter representativo del
promedio exige que su valor esté comprendido, al menos, entre los valores
extremos observados de la variable.
Las principales son:
- Media Aritmética
- Mediana
- Moda
- Media Geométrica
- Media Armónica
39
4.2- LA MEDIA ARITMÉTICA
Es en número que se obtiene al dividir la suma de todas las observaciones
para el número de ellas.
La media aritmética es un valor de la variable, posiblemente no observable, que
viene dado en la misma unidad de medida que la variable.
La media aritmética es un estadígrafo de tendencia central que nos proporciona
un promedio con respecto al total de los datos de una investigación estadística,
su símbolo es
__
__
ó:
yMyi
x
La X o Ā se utiliza para datos originales y la siguiente para datos agrupados Y
oĒ
4.2.1- ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON VARIABLE DISCRETA
La media aritmética, o simplemente media, de un conjunto de N números X1,
N

x



.....

X

x
x
x
x



x
N
N N
__
1
2

1
Nj
3
j
Así por ejemplo, la media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es:
Ā = (8+3+5+12+10)/5 ) = 38/5 = 7.6
Ahora bien, si los números X1, X2, ….., Xk ocurren k1, k2, ….., k veces,
respectivamente (o sea con frecuencia f1, f2, ….., fk ), la media aritmética es:
k
j

x

1

2

....

k
X
X


x
x
x



X



1

2

....

k



 N
j 


1
2
k
j

1
k
j
j

1
Donde N = es la frecuencia total o sea, el número total de casos.
40
Por ejemplo, si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencia 3, 2, 4, y 1 respectivamente,
su media aritmética es:
Ā = [(3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2)] / [3 + 2 +4 +1]
Ā = (15 + 16 + 24 + 2) / 10 = 5.7
Ejercicio:
Los presentes datos son una muestra de las edades que poseen 10
estudiantes del Colegio CENTEBAD:
X1: 24
X2: 18
X3: 16
X4: 22
X5: 19
X6: 18
X7: 22
X8: 17
X9: 22
X10: 20
Xi
X
N
Ā= (24+18+16+22+19+18+22+17+22+20)/10 = 198/10 = 19.8
La edad promedio de los estudiantes del Colegio CENTEBAD es de 19.8 años.
4.2.2- MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces asociamos con los números X1, X2, …., Xk ciertos factores peso W1,
W2, ….., Wk, dependientes de la relevancia asignada a cada número. En tal
caso,


...

WX
w
x
w
x
w
x
1
1
2
2
k
k
X




...

W

w
w
w
1
2
k
Se llama la media aritmética ponderada con peso w1, w2, …., wk.
Por ejemplo si el examen final de un curso cuenta 3 veces más que una
evaluación parcial, y un estudiante tiene calificación 85 en el examen final y 70
y 90 en los dos parciales, la calificación media es:
Ā = [(1)(10)+(1)(90)+(3)(85)]/(1+1+3)=415/5)=83
4.2.3- ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA CON VARIABLE CONTINUA
Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los
valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a
la marca de clase, o punto medio, del intervalo. Las formulas antes enunciadas
son válidas para tales datos agrupados si interpretamos Xj como la marca de
clase, nj como su correspondiente frecuencia de clase, A como cualquier marca
de clase conjeturada y dj = Xj - A como la desviación de Xj respecto de A.
41
Si todos los intervalos de clase tienen idéntica anchura c, las desviaciones dj =
k



ju
j


u

j
1




xA


c
 N A
 N








Xj – A pueden expresarse
como cuj, donde uj puede ser 0, ± 1, ±2, ±3, …., se obtiene la formula:
Que es equivalente a la ecuación X = A + cū. Esto se conoce como método de
compilación para calcular la media. Es un método muy breve y debe usarse
siempre para datos agrupados con intervalos de clase de anchuras iguales.
Nótese que en método de compilación los valores de la variable u de acuerdo
con X = A + cu.
Ejercicio.
El nivel de ingresos mensual
curso de estadística es:
Xi:
320
180
150
350
300
en dólares de las familias de los estudiantes del
200
200
200
300
350
250
300
800
110
450
380
450
200
250
300
a) Media Aritmética de datos originales:
Ā = (∑xi)/N = 6040/20 = 302
El ingreso promedio mensual de las familias de los estudiantes del curso de
estadística es de 302 dólares.
b) Media Aritmética de datos agrupados
Lím. máx.: 800
Lím. mín.: 110
320
180
150
350
300
200
200
200
300
350
250
300
800
110
450
380
450
200
250
300
42
Lim, Máx.:
Lim, Mín.:
r=
C = r/m
800
110
690
C = 690/4
m
1
2
3
4
TOTAL
Divisb.
==>
2
3
4
5
10
m=4
172.5
yi'-1 -- yi'
110
282.5
282.5
455
455
627.5
627.5
800
yi
196.25
368.75
541.25
713.75
ni
9
10
0
1
20
Yi.ni
1766.25
3687.5
0
713.75
6167.5
yi
.ni
y
n
==>
6167.5/20 =
308.375
El ingreso promedio mensual de las familias de los estudiantes del curso de
Estadística clasificados en 4 grupos es de $ 308.375 dólares al mes.
Cabe mencionar que mientras mayor sea el número de intervalos el resultado
de los datos agrupados se va acercarse al resultado de los datos originales.
En la variable continua no siempre la media aritmética de datos originales
coincide con la media aritmética de datos agrupados, porque al trasladar los
datos originales a la tabla de frecuencias se pierde alguna información de
acuerdo a los intervalos que se hayan escogido.
4.2.4- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1) La media aritmética es el centro de gravedad de los datos y lo expresamos
con:
∑(Xi - Ā) = 0
∑(Xi-Ā)=Zi
∑Zi.ni = 0
Por ejemplo en el ejercicio del ingreso de las familias los datos eran:
43
320
180
150
350
300
200
200
200
300
350
250
300
800
110
450
380
450
200
250
300
Y la media aritmética es 302, las desviaciones son entonces:
Ā
Xi
320
180
150
350
300
380
450
200
250
300
200
200
200
300
350
250
300
800
110
450
6040
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
302
(Xi – Ā)
18
-122
-152
48
-2
78
148
-102
-52
-2
-102
-102
-102
-2
48
-52
-2
498
-192
148
0
La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es nula, o
cero.
2) La media aritmética de los valores de una variable, no varían sino todas las
frecuencias de su distribución se multiplican o dividen por un mismo número.
Esta propiedad sirve para calcular la media aritmética con las frecuencias
relativas simple o con porcentajes. El resultado es el mismo:
En el ejemplo del ingreso de las familias en datos agrupados la media
aritmética es de 308.375 dólares.
M
1
2
3
4
yi'-1 -- yi'
110
282.5
282.5
455
455
627.5
627.5
800
yi
196.25
368.75
541.25
713.75
ni
hi
9
10
0
1
20
0.45
0.50
0.00
0.05
1
yi.hi
88.3125
184.375
0
35.6875
308.375
PARA RECORDAR:
44
La noción del promedio lleva implícita la idea de variación, ya que no tiene
sentido promediar un carácter invariable. Pero el número singular –promedioque a de sustituir al número de observaciones de la población a de cumplir la
condición de ser representativo de dicho conjunto, para lo cual a de reflejar la
tendencia de las observaciones.
La media aritmética es un estadígrafo de tendencia central que nos proporciona
un promedio con respecto al total de los datos de una investigación estadística,
su símbolo es x
__
ó:
y
 M  yi 
La media aritmética, o simplemente media, de un conjunto de N números X1,
N

x
j



.....

X


1
x
x
x
2x
3
N j



x
N
N N
__
1
Ahora bien, si los números X1, X2, ….., Xk ocurren f1, f2, ….., fk veces,
respectivamente (o sea con frecuencia f1, f2, ….., fk ), la media aritmética es:
k
j

x

j
1

2

....

k
X
X


x
x
x



1
1
2
k j
X



k
N
1

2

....

k





j


j

1
La ecuación de la media aritmética ponderada es:


...

WX
w
x
w
x
w
x
1
1
2
2
k
k 
X




...

W

w
w
w
1
2
k
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
Realice los siguientes ejercicios:
a- Calcular la media aritmética de los ingresos mensuales de los ecuatorianos
del área artesanal de la provincia de Imbabura.
136, 98, 110, 142, 122, 117, 93, 90, 125, 129, 149, 132, 134, 140, 105
b- El examen final de grado de sexto curso vale 4 veces más que un aporte y
un examen trimestral vale 2 veces más que un aporte, un estudiante obtiene
la nota de 75 en el examen final, 68 en los exámenes trimestrales y 95 en
los aportes. Cuál es la calificación media?
c- La siguiente tabla muestra la distribución de los diámetros de los remaches
salidos en una fábrica. Calcular el diámetro medio.
45
Diámetro (m.m)
Y’i-1 --------- Y’i
247
250
253
256
259
262
265
268
271
274
277
280
250
253
256
259
262
265
268
271
274
277
280
282
Frecuencia
s
ni
2
6
8
15
42
68
49
25
18
12
4
1
46
CAPITULO V
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre los estadígrafos de posición;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de los estadígrafos de posición, sus usos y
aplicaciones; además deben llegar a conocer y dominar el manejo de los
estadígrafos de posición, el cálculo de datos originales y datos agrupados. Al
conocer estos elementos y conceptos podrán poner en práctica con ejercicios,
ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la metodología de enseñanza
aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
5- ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
5.1- LA MEDIANA
Si todos los valores de la variable se ordenan en sentido creciente o
decreciente, la mediana es el valor que ocupa el lugar central, o sea, el que
deja a un lado y al otro el mismo número de observaciones.
La mediana es un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor
central o la media de los dos valores centrales.
La mediana es un estadígrafo de tendencia central que nos marca una posición
tal que nos asegura que supera no más del 50% de los datos de una
investigación estadística y a la vez es superado por no más del 50% de las
observaciones.
Me es el símbolo de la mediana
5.1.1- CÁLCULO PARA DATOS ORIGINALES
Primer Caso: cuando el número de datos n es impar; por ejemplo, notas
obtenidas por los estudiantes del aula 5° contabilidad.
47
6, 7, 8, 10, 10, 10, 10, 8, 7, 8, 6, 8
a- Ordenar los datos en forma ascendente
1 2 3 4 5 6
7
8
9 10,
6 7 7 8 8 8 8 10 10 10, 10
11
b- Ubicamos el número de orden que le corresponde a la mediana
aplicando la formula:
n + 1
2
(11+1) / 2 Me = 12/2 en n
Me = 8
Me=6 en n
entonces la mediana es 8;
El 50% de los estudiantes del aula 5° obtendrán una nota de 6 a 8, en el
primer quimestre y el 50% restante de estudiantes obtendrán una nota de 8
a 10 puntos.
Segundo Caso: Cuando el número de datos n es par
En el mismo ejemplo anterior:
8, 10, 10, 10, 8, 5, 8, 9, 5, 10, 8, 7, 5, 7, 10, 9
a- Ordenamos en forma ascendente
1
2
3
4 5 6
7
5 5 5 7 7 8 8
8
9 10
8 8 9 9
11
12 13 14
10 10 10 10 10
15
16
b- Ubicamos mediante la fórmula:
n + 1
2
(16+1) / 2 Me = 17/2 en n
Me=8,5 en n; tomamos los valores
intercalados que son 8 y 8 y dividimos para 2
Me = 8 + 8 = 8
2
El 50% de los estudiantes del aula 5° contabilidad obtendrán una nota
de 5 a 8 en el primer quimestre, mientras que el 50% restante obtendrán
notas de 8 a 10
5.1.2- CÁLCULO PARA DATOS AGRUPADOS
En este tipo de distribución no puede observarse exactamente la mediana
porque se desconocen las observaciones singulares de la variable. Pero una
aproximación se puede obtener mediante la siguiente fórmula:
n
 j
1
2N
Me


C
y
'i1
nj
48
Donde:
Me= Mediana
Y’i-1= frontera inferior de la clase de la mediana
C= Anchura del intervalo de clase de la mediana
n= número de datos, o frontera total
Nj= Frecuencia simple acumulada
Nj > n/2
nj= Observaciones hasta Nj
Nj-1 = Frecuencia simple acumulada anterior a Nj
Ejemplo de acuerdo al ejercicio anterior:
En base a las siguientes datos que corresponden a los salarios semanales de
un grupo de trabajo medidas en dólares (sector industrial textil) de la ciudad de
Quito. Calcular e interpretar la media aritmética y comprobar las propiedades
de la misma, si suponemos que existe un decreto ejecutivo por el cual se sube
todos los salarios semanales en un dólar a nivel general, y adicionalmente por
efectos de negociación de contratos colectivos al sector industrial textil se
duplican sus salarios semanales, con el objeto de aumentar la productividad
para competir en el mercado andino, los datos que se obtuvieron son:
M
1
2
3
4
5
Yi'-1 -- yi'
4
10
10 16
16 22
22 28
28 34
Yi
7
13
19
25
31
Ni
25
20
15
10
10
80
Ni
25
45
60
70
80
N'i
80
55
35
20
10
Hi
0.313
0.250
0.188
0.125
0.125
1
Zi
-9
-3
3
9
15
Zi.ni
-225
-60
45
90
150
Ui
-2
-1
0
1
2
Ui.ni
-50
-20
/
10
20
-40
Yi.ni
175
260
285
250
310
Yi.hi
2.1875
3.2500
3.5625
3.1250
3.8750
Z'i
-12
-6
0
6
12
1280
n
 j
1
2N
Me


C
y
'i1
nj
Nj > 80/2
Nj > 40
45 > 40
Me = 10 + 6x 40-25
20
Me = 10 + 6x 15
20
Me = 10 + 6x0,75
Me = 10+4.5
Me = 14,5
El 50% de los trabajadores del sector textil de quito tienen un salario por hora
de 4 a 14.5 dólares y el 50% restante ganan de 14.5 a 34 dólares.
49
Z'i.ni
-300
-120
420
60
120
Ā = Ot – K
Ā = 19-3
Ā = 16
El salario promedio de los trabajadores del sector industrial textil de Quito es de
16 dólares.
Como una aplicación de la mediana aparecen los cuartiles, deciles y los
percentiles
Estos estadígrafos de orden dividen a los datos de una investigación
estadística en tantas partes iguales de acuerdo al objetivo de percilavos.
5.2- LOS CUARTILES
Aquellos dividen a los datos de la investigación en 4 partes iguales conteniendo
cada parte el 25% de los datos.
Su fórmula es:
mn
 j
1
4 N
Qm


C
y
'i1
nj
Ejemplo: calcular el cuartil 3, Q3
Nj>3n/4
Nj>3.80/4
Nj>60
3
n

N
j
1
4
Q
3

C
y
'i1
nj
Q3 = 22 +6. 60 - 60
10
Q3 = 22 +6. 0
10
Q3 = 22
El 75% de los trabajadores textiles de Quito, ganan de 4 a 22 dólares mientras
que el 25% restante ganan de 22 a 34 dólares.
50
5.3- LOS DECILES
Son estadígrafos de orden que dividen a los datos de la investigación
estadística en 10 partes iguales, las cuales contienen el 10% de los datos.
Su fórmula es:
mn

N
j
1
10
Dm


C
y
'i1
nj
Ejemplo: cálculo del decil 6, D6
Nj > 6n/10
Nj >6.80/10
Nj > 48
60 > 48
6
n

N
j
1
10
D
6


C
y
'i1
nj
D6 = 16 + 6. 48-45
15
D6 = 16 + 1,2
D6 = 17.2
El 60% de los trabajadores textiles ganan de 4 a 17.2 dólares mensuales y el
40% restante ganan de 17.2 dólares a 34 dólares mensuales.
5.4- LOS PERCENTILES
Aquí los valores se dividen en 100 partes iguales, por lo que se los llama
también Centiles y se denotan por P1, P2, P3, ….., P99. El quinto decil y el
cincuentavo percentil coinciden en la mediana.
El 25° y el 75° percentiles coinciden con el primer y tercer cuartil.
Su formula es:
mn

N
j

1
100
Pm


C
y
'i
1
nj
51
Calcular el percentil 35
Nj > (35n)/100
Nj > (35.80)/100
Nj > 2800/100
Nj > 28
45 > 28
P35= 10+6x 28-25
20
P35=10+6x3/20
P35=10+0.9
P35=10.9
El 35% de los trabajadores de la industria textil ganan entre 4 y 10.9 dólares
mientras que el 65% ganan entre 10.9 y 34 dólares.
5.5- LA MODA
Es un estadígrafo de tendencia central o de posición que nos indica el valor
más observado en una investigación estadística.
5.5.1- MODA POR OBSERVACIÓN
Ejemplo: Notas de los alumnos de cuarto contabilidad.
9, 5, 7, 8, 8, 8, 7, 8, 8, 8
Por simple observación la moda es 8. La mayoría de los estudiantes obtendrán
una nota de 8 sobre 10 es estadística en el primer Quimestre.
5.5.2- MODA BIMODAL
Ejemplo: Notas de los alumnos de cuarto contabilidad.
7, 9, 5, 7, 8, 8, 8, 7, 8, 8, 8, 7, 7, 7
La mayoría de los estudiantes sacarán notas de 7 y 8 en estadística.
5.5.3- MODA EN DATOS AGRUPADOS
No puede observarse con exactitud, por desconocerse los valores realmente
observados de la variable. Con la siguiente formula podemos obtener un valor
más o menos aproximado.
Pero no deben ser utilizados cuando los intervalos tienen la misma amplitud.
En este caso la línea i del cuadro es aquella la mayor frecuencia; ni-1 y ni+1
i

1
Mo

C
. n
Y
'i1
i
n
i

1n
1
son las frecuencias anteriores y posteriores Y’i-1; el límite inferior del intervalo
correspondiente a la línea i y C la amplitud que es igual a todos los intervalos.
52
Ejemplo. El salario por hora de 160 obreros clasificados y tabulados son:
Y'i-1 – Y’i
4
8
12
16
20
24
28
32
ni
3
12
40
47
32
13
9
4
160
8
12
16
20
24
28
35
36
Ni
3
15
15
102
134
147
156
160
Como se puede apreciar la mayor frecuencia es 47, luego:
Que indica que la mayoría de los trabajadores perciben un salario de 17.78
dólares
32
Mo

16

4
.

17
.
78
40

32
La moda es un estadígrafo de tendencia central o de posición que nos indica el
valor más observado en una
La fórmula para calcular moda en datos agrupados es:
i

1
Mo

C
. n
Y
'i1
i
n
i

1n
1
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- Realice los siguientes ejercicios:
a- Calcule la mediana de:
16, 18, 17, 11, 18, 11, 10, 18, 17, 19, 11, 14, 13, 11, 17
b- Calcule la mediana de:
235, 239, 237, 233, 231, 239, 235, 237, 239, 240, 239, 236
c- De la siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de las notas
obtenidas en una prueba de matemáticas, hallas los cuartiles de la
distribución e interpretar sus significados:
53
Grado
Y’i-1 ---- Y’i
30
40
50
60
70
80
90
Número de estudiantes
40
50
60
70
80
90
100
3
6
11
21
43
32
9
125
d- Hallar los deciles e interpretar cada una de ellos, en base a la siguiente
tabla, que representa los números de errores milimétricos en los tornillos de
⅜ producidos por diferentes máquinas.
Errores milimétricos
Y’i-1 ------ Y’i
0.207
0.214
0.214
0.221
0.221
0.228
0.228
0.235
0.235
0.242
0.242
0.249
0.249
0.256
Observaciones
5
4
16
14
11
8
7
e- Encontrar la moda e interpretar, de las siguientes medidas de pantalones
que se venden en un centro comercial.
34, 32, 28, 34, 36, 40, 38, 32, 34, 36, 34, 32, 38, 34, 32, 38, 28, 34, 32, 34
54
CAPITULO VI
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre otros estadígrafos de posición;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de otros estadígrafos de posición, tales como
la Media Armónica, la Media Geométrica y la Media Cuadrática. Al conocer
estos conceptos podrán poner en práctica con ejercicios, ejemplos, y resolución
de problemas. Se utilizará la metodología de enseñanza aprendizaje de
aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
6- OTROS ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
6.1- LA MEDIA ARMÓNICA
La media armónica que la representamos con la H, de un conjunto de números
X1, X2, X3, ….., Xn es el reciproco de la media Aritmética Ā de los recíprocos
de esos números:
1
n
H n

1
1 1


X
nj1 X
j
En la práctica es más fácil recordar que:
1

1 1
H
 X 
n
n X
Por ejemplo la media armónica de los números 2, 4 y 8 es:
3
3
H


3
.43
111 7

2 48 8
Otro ejemplo puede ser:
Durante 4 años sucesivos, una familia compró el gas para su calefacción a
$0.80, $0.90, $1.05, $1.25 por cilindro respectivamente. Hallar el costo medio
del gas en ese período?
4
H


0
.
975
1 1 1 1
 
0
.
80
.
9
1
.
05
1
.
25
55
Que al comparar con la media aritmética en el supuesto caso que la familia
gasta cada año la misma cantidad de dinero en gas, digamos unos $ 1000
entonces:
Costo medio =
Costo total
=
$ 4000
= 0.975
Cantidad total adquirida
1250+1111+925+800
6.2- MEDIA GEOMÉTRICA
Se define a la media geométrica, de una distribución de datos como la raíz
enésima del producto de los n valores de la distribución.
La media geométrica G de un conjunto N números positivos X1, X2, X3, …, Xn
es la raíz N-ésima del producto de esos números:
n
G

....
x
x
1
2x
3 x
n
Esta se utiliza para datos originales, mientras que para datos agrupados
podemos usar:

n
n
n
k
1
2
n
G

.
....
X
k
1X
2 X
El cálculo de la G se hace recurriendo al empleo de logaritmos y no es
aplicable cuando la variable toma valores negativos.
Hallar la media geométrica de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.
7
7
G

(
3
)(
5
)(
6
)(
6
)(
7
)(
10
)(
12
)

453
,
600
Log G= 1/7 .Log 453,600 = 1/7 . (5.6567) = 0,8081 y G=6,43 (a la centésima).
Alternativamente, puede usarse una calculadora.
Otro método podría ser:
Log G=1/7(log 3+log 5+log 6+log 6+log 7+log 10+log 12)
Log G=1/7(0.4771+0.6990+0.7782+0.7782+0.8451+1.000+1.0792)
Log G=0.8081
G=6.43
Para datos agrupados su cálculo se haría de la siguiente forma de acuerdo al
ejercicio anterior
56
M Yi'-1 -- Yi Ni Ni N'i Hi
yi'
1 4
10 7 25 25 80 0.3
13
2 10 16 13 20 45 55 0.2
50
3 16 22 19 15 60 35 0.1
88
4 22 28 25 10 70 20 0.1
25
5 28 34 31 10 80 10 0.1
25
80
1

n
n
n
k
1
2
n
G

.
....
X
k
1X
2 X




252015 1010
80.
G

.
.
.
(
19
)
(
25
)
(
31
)
7
13
80










G

1
.
3410686
64
e

1
1
.
900496
88
e

22
1
.
5181
87
e

19
9
.
536
63
e

13
8
.
19
0
e

1
80
G

3
.
0243990003
86
e

91
G= 13.91579391835
Otra forma seria
Log G=1/80.(log1.341068619664e+24 + log1.900496377488e+22 +
log1.518112702987e+19 + log9.536743164063e+13 +
log8.196282869808e+14
Log G=1.143507988573
G=13.91579391835
6.3- MEDIA CUADRÁTICA
A veces la variable toma valores positivos y negativos como ocurre por
ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en
obtener un promedio que no recoja los efectos del signo; en el caso de los
errores por ejemplo, se puede desear un error medio prescindiendo del signo.
Este problema se resuelve, entre otros procedimientos, mediante la llamada
media cuadrática que la representa remos por C. Consiste en elevar al
cuadrado todas las observaciones para que desaparezcan los signos
57
negativos, luego obtener su media aritmética y extraer finalmente la raíz
cuadrada y regresamos a la unidad de medida original.
La formula de la media cuadrática para el caso de datos originales es:
2
2

....

X
X
X
1X
n
i
C


n
n
2
2
2
Y la formula de la media cuadrática para el caso de datos agrupados es:
2


....
n
n
n
X
X
n
X
1
2
k
1
2 X
k 
i
i
C


n
n
2
2
2
Por ejemplo la media cuadrática del conjunto 1, 3, 4, 5 y 7 es:
C=




3
5
7
1
4

20

4
.
47
2 2 2 2 2
5
O por ejemplo en el caso de nuestro ejercicio de datos agrupados tenemos:
m
1
2
3
4
5
Yi'-1 -- yi'
4
10
10
16
16
22
22
28
28
34
Yi
7
13
19
25
31
ni
25
20
15
10
10
80
Ni
25
45
60
70
80
N'i
80
55
35
20
10
Hi
0.313
0.25
0.188
0.125
0.125
1
Yi2
49
169
361
625
961
2165
Yi2.ni
1225
3380
5415
6250
9610
25880
2
25880

ni

Yi
C



323
.
5

17
.
986
n
80
58
PARA RECORDAR:
LA MEDIA ARMÓNICA es el conjunto de números X1, X2, X3, ….., Xn es el
reciproco de la media Aritmética Ā de los recíprocos de esos números, su
1
n
H n

1
1 1
fórmula es:


X
nj1 X
j
LA MEDIA GEOMÉTRICA Se define a la media geométrica, de una
distribución de datos como la raíz enésima del producto de los n valores de la
distribución. Sus formulas son:
n

Para datos originales G
xxx....
x
Para datos agrupados
1 2 3
n

n
n
n
k
1
2
n
G

.
....
X
X
X
k
1 2
MEDIA CUADRÁTICA Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones
para que desaparezcan los signos negativos, luego obtener su media aritmética
y extraer finalmente la raíz cuadrada y regresamos a la unidad de medida
original.
Y la formula de la media cuadrática para el caso de datos agrupados es:


....

X
X
X
X
C


2
2
2
1
2
n
n
2
i
n
O por ejemplo en el caso de nuestro ejercicio de datos agrupados tenemos:


....

n
n
n
X
X
X
n
X
C


2
2
2
1
1
2
2
kk
n
2
ii
n
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- Calcular la media armónica de la velocidad alcanzada en un circuito de
carreras por 3 automóviles cuya velocidad respectiva es:
V1 = 150 Km/h.
V2 = 175 Km/h.
V3 = 185 Km/h.
2- Calcular la media armónica de la variación de potencia de 6 motores
P1 = 10 HP
59
P2 = 15 HP
P3 = 14 HP
P4 = 11 HP
P5 = 17 HP
P6 = 21 HP
3- Hallar la media geométrica ponderada de una distribución de datos
obtenida al anotar el número de veces que un dado ha encontrado una de
las 6 posiciones posibles en 30 lanzamientos.
Valores
Posibles
1
2
3
4
5
6
N°
Efectivo
s
4
5
6
3
7
5
4- Los pesos de una muestra de paquetes de que se cargan en un avión de
carga pesados en Kilos son 10, 16, 25, 18, 13, 21, 9, 22, 19, 12. Determine
la media geométrica, la mediana y la moda.
5- La siguiente tabla indica una muestra del número de pedidos de cajas de
tabaco por los establecimientos comerciales de la ciudad de Quito. Calcule
la media aritmética, la moda y la media geométrica
Cajas Pedido
s
2-7
10
7-12
5
12-17
9
17-22
5
22-27
3
6- De una nuestra de consumidores de tabaco se obtuvieron los siguientes
datos de consumo diario por unidades. Calcule la Moda e interprete y la
media cuadrática.
Cajas
5-11
11-17
17-23
23-29
17-22
22-27
Pedido
s
15
11
9
8
4
6
7- Calcule la media cuadrática de 5, 2, 6, 9, 7, 4
60
CAPITULO VII
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre los estadígrafos de dispersión;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de los estadígrafos de dispersión, sus usos y
aplicaciones. Al conocer estos conceptos podrán poner en práctica con
ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la metodología de
enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases.
7- ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN.
7.1- LA DISPERSIÓN Y SU MEDIDA
Un promedio resume todos los valores observados en uno solo que los
representa; su utilidad depende por tanto, de su representatividad del conjunto
de observaciones.
Si los valores observados de la variable están muy concentrados alrededor del
promedio, este es muy representativo; pero si estos valores están muy
dispersos con relación al promedio, será muy poco representativo. En
consecuencia, el significado de un promedio gana mucho si viene acompañado
de una media de la concentración o dispersión de las observaciones en torno a
él.
Las palabras “concentración” y “dispersión” se refieren a los aspectos
contrarios del mismo fenómeno.
El problema lo plantearemos con el siguiente ejemplo: supongamos dos
familias de dos personas cada una; el consumo diario de calorías de las
personas de la primera familia es de 1500 y 4500 y el de las personas de la
segunda familia es de 2900 y 3100. El consumo medio de calorías de ambas
familias diariamente es 3000, cabe concluir entonces que las dos tienen el
mismo nivel calórico. Esto es verdad, además, en la segunda familia el
promedio Ā en este caso, es más representativo que en la primera. Pero esta
última conclusión puede sacarse porque se dispone de las observaciones
primarias porque éstas son pocas y puede deducirse con facilidad la
característica de dispersión.
Otro ejemplo puede ser el siguiente chiste: “Si yo me como dos pollos y tu no te
comes ninguno, la estadística demuestra que cada uno hemos comido un
61
pollo”. Aquí se ha prescindido de la idea de dispersión y se razona
exclusivamente con el promedio, porque estos solamente dan un valor central
de la variable y prescinden de la magnitud de su variabilidad o dispersión.
Puede observase que se ha hablado de la dispersión como algo ligado a un
promedio, como una medida para conocer su representatividad. Sin embargo,
la dispersión existe con independencia de los promedios.
Los caracteres –atributos o variables- no suelen permanecer constantes,
estables al pasar de un elemento de población a otro.
No todas las personas tienen la misma estatura, ni los mismos ingresos, ni el
mismo lugar de nacimiento, etc. Si no existiera esta variabilidad, la estadística
se reduciría a muy poca cosa, esta variabilidad es su esencia ya que esta
técnica persigue conocer las regularidades existentes en dicha variabilidad.
La existencia de la variabilidad en los valores de una variable es la que origina
las distribuciones de frecuencias, cuyas representaciones gráficas suelen
expresar más perceptiblemente que los números, la concentración o dispersión
de las observaciones.
Un gráfico bien leído proporciona una idea bastante completa de la dispersión,
pero para ser bien leído no hay olvidar lo dicho a propósito de las escalas,
porque una misma distribución puede tener una representación gráfica muy
concentrada o muy dispersa, aparentemente, si se utilizan escalas diferentes.
Un ejemplo lo tenemos en los siguientes gráficos:
OBREROS CLASIFICADOS POR
SUS SALARIOS
Paga por hora
No. de obreros
Variable
Frecuencia
4-8
3
8 – 12
12
12 - 16
40
16 - 20
47
20 - 24
32
24 - 28
13
28 - 32
9
32 - 36
4
TOTAL
160
62
60
40
20
0
4-8
20 - 24
8 - 12
24 - 28
12 - 16
28 - 32
16 - 20
32 - 36
En este primer gráfico se tiene la sensación de que los datos están muy
dispersos mientras que en el siguiente que los datos están muy concentrados;
no obstante como se puede observar comparando las escalas, corresponden a
una misma distribución.
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
4-8
8 - 12
12 - 16
24 - 28
28 - 32
32 - 36
16 - 20
20 - 24
Cundo se quiere saber la dispersión de una variable, lo que se intenta es
obtener una medida y un número, que indique el mayor o menor grado de
dispersión.
Las medidas más conocidas son la desviación estándar y recorrido que vienen
expresadas en la misma unidad que la variable; también es frecuente el uso del
coeficiente de variación, que viene expresado como porcentaje. La más usada
es la primera medida.
63
7.2- DESVIACIÓN MEDIA
La desviación o desviación promedio, de un conjunto de n números X1, X2, ….,
Xn es abreviada por MD y se define como:
n

X

x
X

X

j

1
j
MD



X

X
n
n
Donde X o Ā es la media aritmética de los números y │Xj - X │ ex el valor
absoluto de la desviación de Xj respecto de X . ( El valor absoluto de un
número es el número sin signo y se denota con dos barras verticales; así
│-4 │= 4, │ +3 │=3, │6 │= 6 y │ -0.56 │= 0.56
Por ejemplo; hallar la desviación media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11
Primero extremos la media aritmética:
X =(2+3+6+8+11)/5 = 6
y posterior mente la desviación media:
DM = │ 2-6 │+│ 3-6 │+│ 6-6 │+│ 8-6 │+│ 11-6 │ = │ -4 │+│ -3 │+│ 0 │+│ 2
│+│ 5 │
5
5
DM = (4+3+0+2+5)/5 = 2.8
7.3- DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La medida numérica de la dispersión la podemos obtener a partir de las
diferencias de cada valor de la variable con respecto a su media aritmética o
con respecto a otro promedio.
Simbólicamente estas diferencias se llaman desviaciones y se expresan así:
xi - X
Como hay n observaciones, habrá n desviaciones como la anterior. Pues bien
si los valores de la variable están muy concentrados alrededor de X ,
entonces las desviaciones xi - X serán pequeñas, y si están muy dispersos,
las desviaciones serán grandes. Luego, un promedio de tales desviaciones da
un solo número que es expresivo del grado de concentración o dispersión de
las observaciones; si hay concentración, el promedio será un número pequeño,
y si hay dispersión, el promedio será un número grande.
Hay que elegir un promedio para aplicarlo a las n desviaciones; este podría ser
la media aritmética, pero en este caso no es aplicable.
Para obtener la media aritmética de n números – ahora son las n desviaciones
Xi - X -, hay que sumarlos y dividirlos por n, pero la suma de las desviaciones
64
con respecto a la media aritmética, como ya dijimos, es siempre igual a cero,
porque se compensan las desviaciones positivas con las negativas.
Por tanto la desviación media de todas las desviaciones Xi- X no puede ser
una medida de la dispersión porque siempre es igual a cero.
El promedio ideal, sin duda, es la media cuadrática, que hay que aplicar ahora,
no a los valores X, sino a las desviaciones Xi - X . Esta media cuadrática se
denomina desviación estándar y es representada por la letra S. Su fórmula es:
(
Xi

X
)

S

2
N
Hay que recordar que la raíz cuadrada de un número es otro número que
puede tomarse como signo positivo o negativo, en este caso se usa el signo
positivo.
S varía desde cero en adelante.
Cuando S= 0; todos los valores de Xi son iguales.
A medida que S es mayor, la dispersión también es mayor.
La desviación estándar es una medida de dispersión de los valores de la
variable con respecto a la media aritmética.
Para datos originales podemos aplicar directamente la formula anterior, pero es
mejor utilizar la siguiente fórmula:
2

 Xi

Xi
S 


N 
2
 N
Por ejemplo:
La edad de 5 personas que conforman una familia son:
8, 26, 23, 19, 44. años
Xi
Xi2
8
64
19 361
23 529
26 676
44 1936
120 3566
65
2
3566
120


S


137
.
2

11
.
71
5 
5

La desviación estándar viene dada por la misma unidad de medida que la
variable.
Para datos agrupados se utiliza otra formula donde aparecen los valores
distintos de la variable. Por tanto cada Xi y cada X12, se multiplican por las
frecuencias correspondientes, que es la que indica el número de veces que se
repite ese valor distinto:
2
.
ni

Xi
.
ni


Xi
S



N 
2
 N
Por ejemplo: Hallar la desviación estándar de la muestra de producción de
zapatos de 50 personas que trabajan en una pequeña fábrica artesanal, cuyas
frecuencias se expresan en el siguiente cuadro:
Xi
1
2
3
4
Total
ni Xi.ni Xi2 Xi2 . ni
16 16 1
16
20 40 4
80
9 27 9
81
5 20 16
80
50 103 30
257
Pares de zapatos
2
257
103

0
S
 

0
.
95
  .8964
50
50


Para datos agrupados y en intervalos, como para la media aritmética, no pude
obtenerse exactamente la desviación estándar por no conocerse los valores de
la variable realmente observados; una aproximación se obtiene transformando
cada intervalo por una marca de clase correspondiente y se calcula como en el
caso anterior. Por ejemplo, el salario por hora de 160 obreros se clasifica de la
siguiente forma:
66
m Yi-1
1
4
2
8
3 12
4 16
5 20
6 24
7 28
8 32
Yi' ni Yi Yi.ni Yi2
8
3 6
18
36
12 12 10 120 100
16 40 14 560 196
20 47 18 846 324
24 32 22 704 484
28 13 26 338 676
32
9 30 270 900
36
4 34 136 1156
160
2992 3872
Yi2.ni
108
1200
7840
15228
15488
8788
8100
4624
61376
2
61376
2992
 33
S



5
.
83
  .91
160
160


dólares
7.3.1- PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Si la variable se distribuye normalmente, entonces el intervalo construido
sumado y restado a la media aritmética 1.96 veces a la desviación estándar
contiene el 95% de las observaciones. Simbólicamente este intervalo se
expresa así:
X - 1.96S; X + 1.96S
Así mismo, si el intervalo se construye sumando y restando a la media
aritmética 2.58 veces, la desviación estándar dentro de dicho intervalo está el
99% de las observaciones. Simbólicamente el intervalo será:
X - 2.58S; X + 2.59S
Esto se aplica para las distribuciones normales, pero también sirve para las
campaniformes simétricas y moderadamente asimétricas, en este caso es
mejor aplicar a los intervalos, los enteros convirtiendo 1.96 en 2 y 2.58 en 3, así
tenemos:
X ± 2S
X ± 3S
Cualquiera de los intervalos, es a su vez, otra medida de dispersión, dada
ahora, por su intervalo y no por su valor singular. Si ese intervalo es muy
pequeño, las observaciones están muy concentradas; si es muy grande es que
están muy dispersas.
67
La fundamental utilidad de estos intervalos radica en que se aplican a las
estimaciones estadísticas hechas por muestreo.
7.4- LA VARIANZA
La varianza es el conjunto de datos se define como el cuadrado de la
desviación típica o estándar y viene dada en consecuencia por S 2 cuando se
habla de poblaciones y de σ2 cuando se trata de muestras, en las ecuaciones
antes indicadas, por tanto es una medida de dispersión. Por no tener la raíz
cuadrada facilita las deducciones y las operaciones algebraicas, pero en
cambio la unidad en que viene expresada es el cuadrado de la unidad de la
variable.
La varianza es siempre positiva y mayor o igual a la desviación típica.
2
.ni
 .niXi
S  Xi


N
 N 
2
2
(XiX)

2
2
S
N
m Yi-1 Yi' ni Yi Yi.ni
1
4 8 3 6 18
2
8 12 12 10 120
3 12 16 40 14 560
4 16 20 47 18 846
5
20 24 32 22 704
6
7
8
24 28 13 26 338
28 32 9 30 270
32 36 4 34 136
16
0
299
2
Yi2 Yi2.ni
36 108
100 1200
196 7840
324 1522
8
484 1548
8
676 8788
900 8100
115 4624
6
387 6137
2
6
S
2

 Xi
2
.ni
N
Xi .ni 



 N 
S
2

61376 

160
S
2

61376

160
S
S
2
 383 . 6  349 . 69
2
 33 . 91

2992 

160


2
2
18 .7 2
7.5- COEFICIENTE DE VARIACION
Frecuentemente, se presenta el problema de comparar las dispersiones de dos
o más distribuciones. Por ejemplo, si se desea saber si la variabilidad de la
temperatura de un lugar es mayor o menor que de otro; si los salarios varían
más en un grupo de obreros que en otro, etc.
68
En todos estos casos de comparación de dispersiones, se puede efectuar
utilizando la desviación estándar. Si las variables comparadas tienen sus
medias aritméticas iguales o aproximadamente similares y si dichas variables
vienen expresadas en la misma unidad de medida. Si estas circunstancias no
ocurren, que suele ser lo habitual la comparación debe hacerse mediante el
coeficiente de variación cuya fórmula es:
V = (S/ X ).100
Que no es sino la desviación estándar expresada como porcentaje de la media
aritmética. V no se expresa en unidades de la variable.
Ejemplo: de los siguientes cuadros
a- Edad de cinco personas
Años
8
26
23
19
44
b- familias distribuidas por sus personas activas
Personas
activas
Variable
1
2
3
4
Total
No. de familias
Frecuencia
16
20
9
5
50
c- Obreros clasificados por su salario
Paga por Hora
Variable
4–8
8 – 12
12 - 16
16 – 20
20 – 24
24 – 28
28 – 32
32 – 36
Total
No. de Obreros
Frecuencia
3
12
40
47
32
13
9
4
160
69
Cuyos resultados son:
Cuadro
a
b
c
X
24
2.06
18.70
S
Unidad
11.71 Años
0.95 Personas
5.83 Dólares
Tomando la desviación estándar, para comparar la dispersión de las tres
distribuciones, no se llega a ninguna conclusión correcta.
Lo que al calcular el coeficiente de dispersión se tiene:
Va= (11.71/24)x100 = 48.79
Vb= (0.95/2.06)x100 = 46.17
Vc= (5.83/18.70)x100 = 31.18
Puede decirse entonces, que la distribución del cuadro c tiene la menor
dispersión porque su coeficiente de variación es menor.
Este coeficiente de variación depende de S y de X .
Si X = 0; el coeficiente de variación es infinito
V no tiene sentido cuando X = 0 o aproximado a cero
PARA RECORDAR:
Si los valores observados de la variable están muy concentrados alrededor del
promedio, este es muy representativo; pero si estos valores están muy
dispersos con relación al promedio, será muy poco representativo. La
dispersión existe con independencia de los promedios. La existencia de la
variabilidad en los valores de una variable es la que origina las distribuciones
de frecuencias, cuyas representaciones gráficas suelen expresar más
perceptiblemente que los números, la concentración o dispersión de las
observaciones.
n
La fórmula para la desviación media es:

X

x
X

X

j

1
j
MD



X

X
n
n
DESVIACIÓN ESTANDAR
La medida numérica de la dispersión la podemos obtener a partir de las
diferencias de cada valor de la variable con respecto a su media aritmética o
con respecto a otro promedio. La desviación media de todas las desviaciones
Xi- X no puede ser una medida de la dispersión porque siempre es igual a cero.
70
Sus formulas son:
S

(
Xi

X
)

2

Xi
 
Xi
S 


N 
2
2
y
 N
N
Cuando S= 0; todos los valores de Xi son iguales.
A medida que S es mayor, la dispersión también es mayor.
La desviación estándar es una medida de dispersión de los valores de la
variable con respecto a la media aritmética.
La desviación estándar viene dada por la misma unidad de medida que la
variable.
LA VARIANZA es el conjunto de datos que se define como el cuadrado de la
desviación típica, sus formulas son:
2
Xi.niXi.ni

S


N
 N 
2
2
2
2
S
(XiX)

N
COEFICIENTE DE VARIACION
Frecuentemente, se presenta el problema de comparar las dispersiones de dos
o más distribuciones. Si las variables comparadas tienen sus medias
aritméticas iguales o aproximadamente similares y si dichas variables vienen
expresadas en la misma unidad de medida. V no se expresa en unidades de la
variable.
Este coeficiente de variación depende de S y de X .
Su formula es:
V = (S/ X ).100
71
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- Hallar la desviación media de 4, 6, 9, 3, 7. 16, 22, 5, 11, 17, 14
2- La siguiente tabla nos indica las medidas de las longitudes de los cordones
de zapatos arrojadas por una muestra de 70 pares. Hallar la desviación
media.
Longitud en
centímetros
20-23
23-26
26-29
29-32
32-35
35-38
38-41
41-44
No de
observaciones
12
9
6
11
15
7
6
4
3- Hallar la desviación media de los errores en milímetros arrojados en las
dimensiones de clavos producidos por una máquina. La muestra
corresponde a 30 observaciones.
n:
1.2
1.3
0.9
1.11
1.23
1.96
1.5
1.7
0.92
0.56
1.42
1.73
1.6
1.45
1.8
0.93
1.29
0.77
1.9
1.5
1.37
1.27
0.92
1.82
1.5
1.25
1.21
1.76
0.17
0.64
4- Determinar la variación estándar de los tabacos consumidos por unidades
en un día por 8 fumadores: 16, 14, 15, 5, 23, 9, 11, 20
5- El siguiente cuadro indica el nivel de salarios mensuales que perciben 40
trabajadores de la Constructora Andrade y Pérez Cía. Determinar la media
aritmética y la desviación estándar.
Sueldos en
Dólares
197-210
210-223
223-236
236-249
249-262
262-275
275-288
288-301
N° de
trabajadores
16
12
19
22
31
35
10
8
72
6- De una muestra de 30 observaciones sobre el consumo de energía eléctrica
en Kw/h., por las plantas industriales dedicadas a la producción de muebles
se obtuvieron los siguientes datos:
81.3 66.5 98.4 22.5 39.2 51.5 25.3 72.5 87.8 51.7 21.6 78.9 37.5 64.8 76.1
21.6 26.5 62.9 67.4 36.8 49.2 27.7 61.7 91.8 42.1 57.6 44.2 54.1 29.7 53.8
Hallar la desviación estándar
7- Determinar la varianza del consumo de gasolina por litros diarios de 8
camiones de transporte de una compañía: 11, 18, 19, 13, 15, 29, 21, 27
8- De una muestra de 40 observaciones sobre el desgaste de brocas de
perforación en milímetros por una planta de perforación de pozos petroleros
se obtuvieron los siguientes datos:
71.5
46.5
61.6
51.5
67.5
48.7
36.5
25.3
78.4
72.6
42.9
78.5
47.5
46.2
67.4
87.8
29.2
65.2
36.8
51.6
31.6
44.1
57.6
49.2
71.9
58.1
42.2
37.7
57.5
42.9
54.1
51.7
64.2
61.6
29.7
91.8
71.1
53.8
53.8
52.1
Hallar la varianza
9- La primera tabla indica el consumo de carne en libras por 10 familias
compuestas de 5 miembros y la segunda tabla indica el número de
personas que trabajan en una muestra de 15 familias
Tabla 1
1.5 1.8
2
3.5
1
1.4
2.5 2.2
2.8 3
2
1
4
5
1
Tabla
2
4
3
1
2
2
2
3
2
4
3
Determinar los coeficientes de variación y realizar la comparación entre ellos.
73
CAPITULO VIII
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre el análisis de variables tipo uno;
aplica y resuelve ejercicios.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos y elementos del análisis de Variables tipo
uno, sus usos y aplicaciones. Al conocer estos elementos y conceptos podrán
poner en práctica con ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se
utilizará la metodología de enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases
8- ANÁLISIS DE VARIABLES TIPO UNO
8.1- LA COVARIACIÓN
Muchos de los fenómenos o problemas a investigar presentan dos y más
variables las cuales precisan ser determinadas para ver cómo influyen entre sí.
Para comenzar el estudio nos referiremos a 2 variables X y Y.
Muchas variables se mueven con sincronización o variación conjunta más o
menos intensa, a esta forma de comportarse la variable se la llama covariación.
La covariación puede presentarse de las siguientes formas:
a- Dependencia causal o unilateral, que es cuando una variable X influye en
otra variable Y, pero no influye Y en X.
Un ejemplo puede ser el que la altitud influye en el rendimiento de los
jugadores de fútbol; pero el rendimiento de los jugadores no influye en la
altitud.
En este tipo de dependencia la variable X se denomina independiente,
explicativa o variable causa y Y se denomina variable dependiente,
explicada o variable efecto.
En el ejemplo anterior la altitud seria la variable independiente y el
rendimiento de los jugadores la variable dependiente.
b- Interdependencia, donde la influencia de X y Y es reciproca y se producen
en las dos direcciones. Esta relación se la conoce como bilateral o
interdependencia.
74
Un ejemplo es la demanda de un bien en el mercado y el precio del mismo
en el mercado; si el precio es menor o mayor la demanda sube o baja y si la
demanda es baja se reducen los precios y si la demanda sube se
incrementan los precios.
c- Dependencia indirecta, donde 2 variables X y Y pueden mostrar una
covariación por medio de una tercera variable Z que influye en ellas. Si Z es
la tercera variable, esta influye aumentando o reduciendo a X y Y, variando
X y Y en el mismo sentido pero no hay dependencia o interdependencia
entre X y Y.
Por ejemplo en el siguiente cuadro se presenta la tasa de natalidad y el
consumo de proteínas animales, la dependencia es indirecta con la tercera
variable que es el nivel de vida, medible por el nivel del ingreso por
habitante.
NATALIDAD Y CONSUMO DE PROTEÍNAS
Países
Tasa de
Consumo diario
natalidad
de proteínas
Ecuador
30.9
53.6
Argentina
20.3
105.7
Bolivia
34.4
57.5
EE.UU.
17.0
61.4
Cuba
17.4
77.4
d- Concordancia, que indica que si X y Y son variables independientes, pueda
que en sus variaciones haya alguna concordancia, Así por ejemplo en la
elección de Mis Ecuador se compara el puntaje asignado por dos jueces a
las 5 finalistas del concurso
Concursantes
A
B
C
D
E
Juez 1
4
2
3
5
4
Juez 2
3
1
3
4
2
Es interesante si existe o no concordancia entre en las decisiones de los
jueces dadas por separado.
e- Covariación casual, se produce cuando hay una variación sincronizada
entre dos variables de la que pueda deducirse una asociación o
dependencia entre ellas; esta covariación puede ser accidental o casual.
8.2- ANÁLISIS GRÁFICO DE COVARIACIÓN
En el siguiente cuadro se indica el nivel de consumo e ingresos de las familias
de las ciudades de Quito, Guayaquil, Cuenca, Ambato y Loja. Como es
conocido el nivel de consumo depende del ingreso, donde el Consumo es Y y
el Ingreso X dando:
75
CONSUMO
CONSUMO E INGRESO
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170
INGRESO
CIUDADES
Quito
Guayaquil
Cuenca
Ambato
Loja
INGRESO CONSUMO
136
96
154
110
99
77
115
88
96
84
Luego entre X y Y hay dependencia causal unilateral.
Como es conocida la variable dependiente Y en el eje de las ordenadas y la
variable independiente X en el eje de las abscisas.
El diagrama que se obtuvo se conoce como diagrama de dispersión o nube de
puntos. Este diagrama es un indicador de la dependencia entre las dos
variables, de la observación se deduce que conforme aumenta el ingreso
aumenta el consumo, luego hay cierta dependencia.
Es muy importante el método gráfico de análisis de covariación, el cual no solo
sirve para descubrir la relación entre 2 variables, si no también para ver sus
características; además, es fácil y eficaz por lo que se lo utiliza frecuentemente.
76
A- En el gráfico a la nube expresa clara relación lineal o forma de línea recta,
la relación es positiva o directa o que cada variable aumenta; y los puntos
están concentrados.
B- En el gráfico b hay relación lineal, inversa o negativa con gran dispersión.
C- No hay relación, porque las variaciones de X no reflejan variaciones
sistemáticas en Y, y a lo contrario.
D- En el gráfico b la relación no es lineal, es una relación curvilínea o no lineal.
A más del análisis del método gráfico, la covariación de 2 variables puede ser
estudiada mediante las técnicas llamadas Regresión y Correlación.
8.3- LA REGRESIÓN
Cuando se establece la dependencia de una variable como Y, respecto de otra
independiente como X, entonces la relación toma el nombre de regresión. Un
ejemplo es el caso de el nivel de ventas de un bien depende de su precio en el
mercado, o el peso de los pollos de una granja dependen del volumen de
alimentos suministrados.
La variable dependiente suele variar en forma directa o inversa en relación a la
variable independiente. La regresión tiende a ser lineal, pues utiliza
herramientas matemáticas.
8.3.1- LA REGRESIÓN LINEAL
Cuando existe una tendencia de los valores históricos a formar una línea recta
se puede aplicar una ecuación matemática para determinar su regresión.
Y = a + bX
Mediante esta ecuación se buscaran encontrar los valores que pueden asumir
las variables y los parámetros a y b, donde a es el coeficiente de posición y b el
coeficiente de regresión.
El método más utilizado para resolver este tipo de problemas es el de los
mínimos cuadrados que parte de la ecuación lineal, así tenemos:
Y = a+bX
de donde aplicando el operador sumatorio tenemos:
∑Y = ∑a+∑bX
∑Y = na + b∑X
que es la primera ecuación del sistema de
ecuaciones
77
y para la segunda ecuación tenemos:
Y = a+bX
De donde tomamos la variable X y la multiplicamos por los elementos de la
ecuación
X(Y = a + bX)
XY = aX + bX2
Aplicando el operador sumatorio tenemos:
∑XY = ∑aX + ∑bX2
∑XY = a∑X + b∑X2
que es la segunda ecuación del sistema de
ecuaciones
∑Y = na + b∑X
∑XY = a∑X + b∑X2
Ejemplo: Tomado en el supuesto caso de que el PIB de Ecuador depende del
volumen de producción de petróleo, tenemos:
n
AÑO
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
PRODUCCIÓN PETROLERA Y EL PIB
X
Y
X.Y
PROD.MILL
PIB EN
ONES
MILLONES
DE
DE S/. DE
BARRILES
1975
102
176195
17971890
104
181531
18879224
109
190638
20779542
117
197436
23100012
125
201447
25180875
138
210150
29000700
141
215074
30325434
140
219335
30706900
142
226749
32198358
137
227678
31191886
1255
2046233 259334821
X2
10404
10816
11881
13689
15625
19044
19881
19600
20164
18769
159873
2046233 = 10a + 1255b
259334821 = 1255a + 159873b
Multiplicando por -125.5 en la primera ecuación tenemos
78
2046233 = 10a + 1255b
(-125.5)
259334821 = 1255a + 159873b ( 1 )
2046233
10
1255
259334821 1255 159873
-256802241.5 -1255
259334821 1255
2532579.5
0
-125.5
1
-157502.5
159873
2370.5
2532579.5 = 2370.5b
b = 2532579.5
2370.5
b=
1068.3735
Para a será:
2046233
2046233
= 10a
= 10a
+ 1255b
+ 1255 ( 1068.3735)
2046233=
2046233=
10a
10a
+
+
1255 (1068.37355)
1340808.805
Despejando a será:
705424.1949 = 10a
a=
705424.19
10
a=
70542.419
Quedando la ecuación
Y = 70542.419 + 1068.3735X
Esta ecuación nos permitirá realizar proyecciones del PIB si creciere la
producción petrolera.
Así por ejemplo, si deseamos saber cuál sería el PIB si la producción petrolera
subiese a 170 (millones de barriles) reemplazamos en la fórmula.
79
Y= 70542.419 + 1068.3735(170)
Y= 70542.419 + 181623.495
Y= 252165.914
Es decir, con una producción de 170 millones de barriles de petróleo el PIB se
ubicaría en aproximadamente 252165.914 millones de sucres deflacionados a
1975.
8.4- CORRELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES
Se denomina correlación al grado de relación o interdependencia que existen
entre dos variables. De este modo se dice que dos variable están muy
relacionadas y se puede expresar mediante formulas matemáticas. Por
ejemplo, cuando se considera como dos variables el radio r de una serie de
circunferencias y longitudes, L, de la circunferencia correspondiente, se
observa una correlación total entre ambas variables que pueden expresarse
mediante la formula:
L = 2∏r
Por el contrario, variables como el peso de los individuos y el consumo diario
de tabaco por individuo, no parecen a simple vista estar correlacionados. Se
dice entonces que no hay correlación entre las dos variables. Cuando se
estudia la correlación entre dos variables se habla de una relación lineal la cual
se presenta mediante una línea recta.
Cuando se estudia en cambio la relación entre 3 o más variables se habla de
correlación múltiple y su representación gráfica puede ser un círculo, parábola,
etc.
80
En el caso de la correlación lineal como indicamos intervienen tan solo dos
variables X y Y, siendo una independiente y otra dependiente, la medida del
grado de relación o correlación r entre las variables está determinada por la
formula:
N
XY

X
.
Y



r

2
2
2
2




N

.
N



X
Y


X
Y










La ventaja del coeficiente de correlación es que se trata de un coeficiente
adimensional, por lo que no depende de las unidades en que estén expresadas
las dos variables correlacionadas, siendo únicamente función de las dos
variables en cuestión.
El coeficiente de correlación tiende a ubicarse en el intervalo de –1 ≤ 0 ≤ 1,
cuando r este más próximo a –1 ó +1 mayor correlación habrá, inversamente
proporcional en el primer caso y directamente proporcional en el segundo caso.
Mientras si por el contrario r tiende aproximarse a cero 0 menor será la
correlación existente o no existirá ninguna.
Ejemplo: La siguiente tabla nos indica el tiempo de entrega en base a la
distancia existente por camión.
Embarq
ue
Muestre
ado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL
ES
Distancia
T.
Entrega
Días Y
Millas X
725.00
215.00
1020.00
550.00
480.00
922.00
1230.00
324.00
670.00
1271.00
7407.00
3.50
1.50
4.00
2.00
1.00
3.00
4.50
1.50
3.50
6.00
30.50
X.Y
2537.50
322.50
4080.00
1100.00
480.00
2766.00
5535.00
486.00
2345.00
7626.00
27278.00
X2
Y2
525625.00 12.25
46225.00
2.25
1040400.00 16.00
302500.00
4.00
230400.00
1.00
850084.00
9.00
1512900.00 20.25
104976.00
2.25
448900.00 12.25
1615441.00 36.00
6677451.00 115.25
N
XY

X
.
Y



r

2
2
2
2




N

.
N



X
Y


X
Y










81
r=
0.91089865
Este nos indica que existe un 91.09% de dependencia del tiempo de entrega en
relación a la distancia de ubicación de los camiones. Es decir, interpretando
nos quedaría: El tiempo de entrega de cargas por parte de los camiones
depende en un 91.09 % de la distancia en que se encuentren los camiones,
mientras que el 8.91% depende de otros factores.
PARA RECORDAR:
La Covariación: Se refieren a la relación entre 2 variables X y Y, ó más.
Muchas variables se mueven con sincronización o variación conjunta más o
menos intensa, a esta forma de comportarse la variable se la llama covariación.
En este tipo de dependencia la variable X se denomina independiente,
explicativa o variable causa y Y se denomina variable dependiente, explicada o
variable efecto.
A más del análisis del método gráfico, la covariación de 2 variables puede ser
estudiada mediante las técnicas llamadas Regresión y Correlación.
La variable dependiente suele variar en forma directa o inversa en relación a la
variable independiente. La regresión tiende ha ser lineal, pues utiliza
herramientas matemáticas.
El método más utilizado para resolver este tipo de problemas es el de los
mínimos cuadrados que parte de la ecuación lineal, así tenemos:
Y = a+bX
∑Y = na + b∑X
que es la primera ecuación del sistema de ecuaciones
2
∑XY = a∑X + b∑X que es la segunda ecuación del sistema de ecuaciones
CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES Se denomina correlación al grado
de relación o interdependencia que existen entre dos variables. Se dice
entonces que no hay correlación entre las dos variables. Cuando se estudia la
correlación entre dos variables se habla de una relación lineal la cual se
presenta mediante una línea recta.
Cuando se estudia en cambio la relación entre 3 o más variables se habla de
correlación múltiple y su representación gráfica puede ser un circulo, parábola,
82
etc. La medida del grado de relación o correlación r entre las variables esta
determinada por la formula:
N
XY

X
.
Y



r

2
2
2
2




N

.
N



X
X
YY










La ventaja del coeficiente de correlación es que se trata de un coeficiente
adimensional, por lo que no depende de las unidades en que estén expresadas
las dos variables correlacionadas, siendo únicamente función de las dos
variables en cuestión.
El coeficiente de correlación tiende a ubicarse en el intervalo de –1 ≤ 0 ≤ 1,
cuando r este más próximo a –1 ó +1 mayor correlación habrá, inversamente
proporcional en el primer caso y directamente proporcional en el segundo caso.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- En el siguiente cuadro se presentan los años de uso de 10 camiones y
volumen de gases tóxicos que emiten sus motores.
Años de
uso
4
7
2
16
5
9
8
14
3
12
Volumen de gas
Tóxico
25
60
18
83
47
72
64
81
22
80
Determinar el coeficiente de correlación e interpretar, calcular la ecuación
lineal a través del método de los mínimos cuadrados
Y calcular cual sería el volumen de gases tóxicos para un camión con 18
años de uso.
2- El siguiente cuadro nos indica el nivel crecimiento de ventas en función de
los gastos de publicidad, por parte de una empresa de servicios de seguros.
83
Ventas de Seguros
Generales
25.000
27.000
31.000
46.000
25.000
26.000
18.000
49.000
33.000
22.000
Gastos en
publicidad
5.000
6.300
9.600
12.000
4.000
5.500
7.500
10.000
9.000
6.000
Determinar el coeficiente de correlación y calcular la ecuación lineal para
estimar cual sería el nivel de ventas con una inversión en publicidad de
15.000,oo dólares.
84
CAPITULO IX
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre los Índices de precios y cantidad y
su aplicación práctica.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad técnica, se recomienda a los y las estudiantes que
se familiaricen con los conceptos de los Índices de precios y cantidad, sus usos
y aplicaciones. Al conocer estos elementos y conceptos podrán poner en
práctica con ejercicios, ejemplos, y resolución de problemas. Se utilizará la
metodología de enseñanza aprendizaje de aprender haciendo.
Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos
impartidos en clases
9- CLASIFICACIÓN DE LOS ÍNDICES
9.1- ÍNDICE SIMPLE DE PRECIOS
Son de gran utilidad los números índices cuando se emplean para resumir en
una sola serie las fluctuaciones de una o un conjunto de variables que se
relacionan entre sí. Por ejemplo se puede estar interesado en conocer las
fluctuaciones del precio de la naranja, en cuyo caso puede aplicarse la técnica
que se expondrán en esta sección de “números índices” a la correspondiente
serie de precios. Pero en si el interés recae no en conocer la marcha del precio
de la naranja, sino como varían los precios de los cítricos, o los precios de los
productos agrícolas, o a todos los precios al por mayor, o al por menor,
mediante una sola serie que representa ala conjunto de mercaderías.
A los índices de una sola variable se los conoce como índices simples o
elementales, pero cuando se trabaja con varias variables se los llama índices
compuestos o complejos.
Veamos un ejemplo de cómo extraes índices simples. En el siguiente cuadro se
indican los precios del café, cacao y arroz en el mercado de cuenca.
Año
1997
1998
1999
2000
2001
Cacao
3,78
4,59
6,50
4,55
3,80
Café
3,05
3,25
3,85
5,82
4,25
Arroz
1,39
1,80
1,89
1,52
1,50
La obtención de índices simples es una operación fácil. Las tres series del
siguiente cuadro permiten conocer la evolución relativa a los precios y realizar
comparaciones:
85
Año
1997
1998
1999
2000
2001
Cacao
100.00
121.43
171.96
120.37
100.53
Café
100.00
106.56
126.23
190.82
139.34
Arroz
100.00
129.50
135.97
109.35
107.91
Para ello se toma se toma como base el precio Po de 1997, convirtiendo se los
siguientes en P1, P2, P3, P4.
La interpretación de estos índices dirá por ejemplo, para el precio del cacao en
P3: El precio del cacao para el 2000 creció en un 20,37% con respecto al precio
de 1997.
Si los precios representados por P, la serie de precios se escribirán así:
P0
* 100
P0
P3
* 100
P0
P1
* 100
P0
P4
* 100
P0
P2
* 100
P0
En general para el precio correspondiente al tiempo t, el índice simple será
Pt
P0
Donde se ha suprimido el factor 100, porque cuando se expresan lo índices es
costumbre indicar en porcentajes, por lo que se puede suprimir dicho factor de
las formulas.
Nótese que el cociente Pt/P0 es la expresión simbólica del índice elemental o
simple del precio en el tiempo t con respecto al tiempo 0.
9.2- ÍNDICE SIMPLE DE CANTIDAD
La misma figura se adoptará para otra variable, así si queremos obtener el las
variaciones relativas de la cantidad producida de un bien q su formula será:
qt
q0
86
Que expresa el índice de variación de la cantidad en el tiempo t, con respecto a
la cantidad del tiempo 0.
Años
1994
1995
1996
1997
1998
Cantidades
Total
Índice de Cantidad
Banano
Camarón Flores
Banano Camarón Flores
36.00
40.20 41.90 118.10
1.00
1.00
1.00
50.30
39.90
8.70 98.90
1.40
0.99
0.21
43.20
28.20 55.60 127.00
1.20
0.70
1.33
38.20
55.60 38.50 132.30
1.06
1.38
0.92
40.20
38.80 50.50 129.50
1.12
0.97
1.21
Ahora procedamos a calcular una sola serie de índices de precios, donde se
trata de reducir o concentrar las tres series de los dos cuadros anteriores, en
una sola serie; lo cual se consigue mediante un promedio como la medía
aritmética.
9.3- PRINCIPALES ÍNDICES UTILIZADOS EN LA ADMINISTRACIÓN Y LA
ECONOMÍA
Existen índices muy importantes que son considerados como indicadores de la
situación económica y financiera de un país los cuales indican períodos de
inflación, deflación, estancamiento o desarrollo económico.
Los principales son:
1- Índices de precios al consumidor IPC
2- Índices de precios al por mayor IPM
3- Índices de producción industrial IPI
4- Índice promedio industrial IPmI
De estos el más importante es el Índice de Precios al Consumidor.
9.3.1- ÍNDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR
Llamado también índice de Costo de Vida y es un número que nos indica en
forma aproximada los cambios relativos de los precios de los bienes y servicios
de la canasta familiar básica de las familias de ingresos medios y bajos de las
principales ciudades del país, tanto de la costa como de la sierra con más de
10.000 habitantes.
La institución responsable de llevar la investigación de este índice es el Instituto
Nacional de Estadísticas y Censos INEC, la cual considera una canasta familiar
de unos 400 bienes y servicios la cual se descompone en 4 grandes grupos:
abcd-
Alimentos
Indumentaria o vestido
Vivienda
Misceláneos
87
Las ciudades que se toman como muestras de investigación son:
a- Costa:
1- Babahoyo
2- Esmeraldas
3- Guayaquil
4- Machala
5- Portoviejo
b- Sierra:
1- Ambato
2- Cuenca
3- Latacunga
4- Quito
5- Loja
6- Riobamba
Para calcular este índice el INEC utiliza la fórmula de Laspeyres, con la
investigación empírica realizada el INEC publica mensual, trimestral, semestral
y anualmente el IPC con el apoyo del Banco Central del Ecuador.
9.3.2- USOS DEL IPC
El IPC sirve de base en el cálculo de varios indicadores como son:
1- Sirve para determinar el Poder Adquisitivo de la moneda nacional
1
PA


100
IPC
2- Sirve para determinar el salario real SR de los trabajadores:
Salario
Nominal
o
Moneta
SR


100
IPC
SR

PA

Salario
Nominal
3- Sirve para deflacionar series cronológicas
Serie
Nominal
oMonetario
Serie
Re
al


100
IPC
Serie
Re
al

PA

Serie
Nominal
88
Fecha
Jul-86
Ene-87
Dic-87
Ene-88
Jul-88
Sep-88
May-89
Dic-89
Dic-90
May-91
Feb-92
IPC
PA
478.30
548.50
713.80
736.90
982.80
1116.20
1670.60
1998.80
3057.30
3707.80
4916.30
0.20900
0.18200
0.14000
0.13500
0.10170
0.08950
0.05980
0.05003
0.03340
0.02697
0.02034
SALARIO SALARIO
NOMINAL
REAL
10000.00
2090.33
13000.00
2187.78
14500.00
2030.00
14500.00
1967.67
19000.00
1932.30
19000.00
1700.50
22000.00
1315.60
27000.00
1350.85
32000.00
1046.65
44000.00
1186.68
44000.00
894.96
VENTAS
100000.00
110000.00
150000.00
150000.00
160000.00
175000.00
200000.00
230000.00
300000.00
320000.00
350000.00
SERIE REAL
DE VENTAS
20900.00
20053.00
21000.00
20357.00
16272.00
15662.50
11820.00
11506.90
10020.00
8630.40
7119.00
1
 
100
JULIO
86 IPC
1
PA


100

0
,209
JULIO
86 478
.3
PA
Por cada sucre gastado por una familia en 1986 en bienes y servicios apenas
21 centavos tienen poder adquisitivo.
PA
JULIO
PA
JULIO
1
 100
87 IPC
1
=
 100= 0,182
87 548.5
=
Por cada sucre gastado por una familia en 1987 en bienes y servicios apenas
18 centavos tienen poder adquisitivo.
SR
= Salario Nominal  PA
86
= 10000 0.209= 2090.33
86
JULIO
R
JULIO
Un trabajador que percibía en 1986 la cantidad de 10000 sucres en realidad
percibe apenas 2090.33 sucres
De esta forma se van obteniendo los demás índices para los siguientes años.
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE:
1- La siguiente tabla muestra los precios medios al por mayor de los
huevos en EE.UU. durante 1978 y 1985. Hallar la relación de precios:
a- Para 1984 con 1978 como base
89
b- Para todos los años con 1978 como base
Años
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
Precio medio
Centavos por
docena
60.3
66.2
62.8
69.0
66.8
72.7
78.6
63.4
2- El siguiente cuadro recoge las relaciones de precios de un artículo con
1977 – 1979 = 100. Determinar las relaciones de precios con:
a- 1980 = 100
b- 1983-1984 = 100
años
1980
1981
1982
1983
1984
1985
Gastos en
publicidad
127
134
118
125
137
141
90
BIBLIOGRAFÍA
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml#MEDICIO
N
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-3-est.htm
Carpeta Estadística. Aprenda Fácil. Grupo Patria Cultural.
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distrinorma
l.htm
http://server2.southlink.com.ar/vap/MEDIDAS.htm
http://pdf.rincondelvago.com/metodo-de-minimos-cuadrados-ordinarios.html
http://guajiros.udea.edu.co/descriptivaa/articulos/curso%20de%20EstadIstica%
20Basica.pdf
91