ARITMÉTICA 1 Números enteros

ARITMÉTICA
1 Números enteros
1. Operaciones con números enteros.
2. Ejercicios con paréntesis y corchetes.
3. Propiedades. Cálculo del mcd y mcm.
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Números enteros en PDF
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Números racionales en
PDF
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Potencias y raices en PDF
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Progresiones en PDF
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Polinomios en PDF
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Ecuaciones de primer
grado en PDF
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Ecuaciones de segundo
grado en PDF
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Sistemas de ecuaciones
lineales en PDF
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Función afin en PDF
2 Números racionales
1.
2.
3.
4.
Fracciones: conceptos básicos.
Suma, resta, producto y división de fracciones.
Decimales exactos y periódicos. Ejercicios.
Problemas y ejercicios de fracciones.
3 Potencias y radicales
1. Operaciones con potencias
2. Potencias y raices
4 Progresiones aritméticas y geométricas
1. Progresiones aritméticas. Término general. Ejemplos.
2. Progresiones geométricas. Ejemplos.
3. Ejercicios y problemas resueltos de progresiones.
ÁLGEBRA
5 Polinomios. Expresiones notables
1. Monomios. Operaciones con polinomios
2. Ejercicios resueltos de polinomios
3. Expresiones notables. Ejercicios resueltos.
6 Ecuaciones de primer grado
1. Ecuaciones de primer grado. Ejemplos
2. Problemas de ecuaciones de primer grado
7 Ecuaciones de segundo grado
1. Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos
2. Problemas y ecuaciones de segundo grado
8 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
1. Métodos de resolución: sustitución, reducción e igualación.
2. Ejercicios y problemas de aplicación con sistemas
FUNCIONES
9 Rectas: función afin y lineal
1. Función afín, lineal y constante. Ejemplos.
2. Rectas continuación. Ejercicios resueltos
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
10 Estadística
1. Estadística descriptiva.
2. Frecuencia absoluta y relativa. Tablas y gráficos.
3. Parámetros estadísticos. Media aritmética y desviación
típica
4. Ejemplos de variables discretas y continuas.
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Estadística en PDF
11 Probabilidad. Conceptos básicos.
1. Conceptos básicos. Ley de Laplace.
2. Unión de sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles.
3. Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e
independientes.
4. Uso de tablas y diagrama de Venn.
5. Ejercicios y problemas con solución.
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Probabilidad en PDF
Números enteros
Operaciones con números
enteros
1.1
Números enteros y valor absoluto
El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos,
enteros negativos y el cero . Los signos + y - que llevan los números
enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican
simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que
resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número
entre dos barras.
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el
signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos
signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende
que es +.
(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se
pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se
deja el signo del más grande en valor absoluto).
(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se
pone +10)
(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone 5)
(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone
+9)
Producto y Cociente de números enteros: regla de los
signos
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores
absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos
seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.




(+8) . (+3) = + 24
(-3) . (-2) = + 6
(+4) . ( -1) = - 4
(-2) . (+4) = - 8
Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla
de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.



(-15) : (-15) = +1
8 : 4 = +2
- 4 : (-2) = +2





10 : 2 = +5
10 : (-2) = - 5
(-8) : 4 = - 2
24 : (-4) = - 6
-6:3=-2
Operaciones con paréntesis ( ) y corchetes
[]
1.2
Prioridad de las operaciones. ¿Qué hacemos primero?
1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las
multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y
negativos los agrupamos y después los sumamos.
2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis si los
hay y después para quitar el paréntesis aplicamos la regla de los signos ,
signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego como
en el punto 1.
3. Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los
quitamos aplicando la regla de los signos . Después hacemos los corchetes y los
quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y divisiones y
por último las sumas.
Ejemplos explicados paso a paso
Ejercicios resueltos
Propiedades de los números enteros.
Divisibilidad 1.3
Números enteros: positivos, negativos y el cero.
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



Un número entero es un número natural precedido de un signo + o del signo - .
Los números enteros con el signo + se llaman números enteros positivos o
naturales.
Los números enteros con el signo - se llaman números enteros negativos.
Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones
(suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o
negativos.
Los enteros negativos se utilizan para expresar cantidades negativas.
Ejemplos
1. Para expresar una temperatura por debajo de cero grados (consideramos
positivo las temperaturas por encima de cero y negativo las que están por
debajo del cero).
2. La edad de los acontecimientos ocurridos antes de Cristo (consideramos
positivo los sucesos ocurridos desde el nacimiento de Cristo y negativos los
ocurridos antes de Cristo).
3. Si alguien nos presta dinero la cantidad se expresa con un número negativo,
nos prestan 5 € nosotros tendremos -5 €.
Representación gráfica de los números enteros
Trazamos una recta (abcisa) y la dividimos en partes iguales. Marcamos el origen O y
en ese punto situamos el cero. Los números situados a su derecha son los positivos y
los situados a su izquierda son los negativos.
Propiedades de la suma de números enteros
* Diferencia de números enteros: En realidad es una suma de números enteros de
distinto signo.Se restan y se deja el signo del más grande, el de mayor valor absoluto.
Propiedades del producto
Criterios de Divisibilidad



Por 2: cuando acaba en 0 o en cifra par. Como los números: 20, 4, 322.
Por 3: cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Como los
números: 12, 342, 81.
Por 5: cuando acaba en 0 o en 5. Como los números: 10, 25, 255, 325.
Usamos esto para descomponer en factores primos. Un número es primo cuando sólo
es divisible por el mismo y la unidad . Los divisores de un número lo forman sus
divisores positivos y negativos. El dos es un número primo divisible por +2, -2, +1 y -1.
Cuando un número sea divisible por dos números para descomponerlo en factores
empezamos por el factor más pequeño. El 12 es divisible por 2 y 3 empezaríamos
dividiendo por 2.
Máximo común divisor: m.c.d.
Para calcular el m.c.d. descomponemos en factores aplicando los criterios de
divisibilidad, ycogemos los factores comunes de menor exponente . Lo usamos
para simplificar.
Mínimo común múltiplo: m.c.m.
Descomponemos en factores y cogemos los factores comunes de mayor
exponente y los no comunes. Lo usamos para poder sumar fracciones de distinto
denominador. Las reducimos a común denominador y después las sumamos.
Números racionales
Números
racionales
2.1
Conjunto de números racionales
En el esquema inferior aparecen los distintos tipos de números racionales.
Comprenden a los enteros vistos en el tema anterior y aparecen los números
fraccionarios (fracciones). Cuando hablamos de números racionales hay que pensar
en el cociente de dos números. Este cociente nos puede dar un número entero como
8/4 = 2 o un número decimal 1/4 = 0,25. Aprenderemos a trabajar con los números
decimales.
Fracciones: conceptos básicos
Una fracción es una división. Los tipos de fracciones dependen de los valores que
pueden tomar el numerador y el denominador.
Fracciones equivalentes
Operaciones con
fracciones
2.2
Suma y resta de fracciones
1. Cuando tienen el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Después si podemos se simplifica.
2. Cuando tienen distinto denominador
Hay que reducir a común denominador.
1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los
denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no
comunes.
2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé
lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.
3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos
los numeradores y dejamos el mismo denominador.
4º Si podemos simplificamos.
* Para comparar fracciones de distinto denominador , primero debemos reducirlas a
común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.
Ejemplos
Multiplicación de fracciones
1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo
numerador.
2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo
denominador.
3º Después se simplifica.
Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número
tiene como denominador uno.
Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.
Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el
denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción x
su inversa da la unidad.
División de fracciones
1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la
segunda, el producto es el nuevo numerador.
2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la
segunda, el producto es el nuevo denominador.
3º Después si podemos se simplifica.
Ejemplos de multiplicación y división de fracciones
Fracciones generatrices de los números
decimales 2.3
Tipos de decimales
Vamos a aprender a pasar un número decimal a fracción. Para hacer esto, los cálculos
dependen del tipo de decimal que sea. Primero observaremos el tipo de decimal que
tenemos y luego aplicaremos las normas para pasarlo a fracción.
Ejemplos
Ejercicios resueltos de operaciones combinadas con
fracciones
Ejercicios y Problemas con
fracciones
2.4
Ejercicios de operaciones combinadas con soluciones
Problemas básicos de fracciones resueltos
1. Tenía ahorrados 18 €. Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero
de mi hucha. ¿Cuánto me ha costado el juguete?
Para resolver problemas hay que leer bien el enunciado hasta enterarnos de lo que
nos pide.
En este caso se trata de calcular la fracción de un número. Necesito los 4 / 9 de los 18
€ que tengo para el juguete.
4 / 9 de 18 = 8 € me ha costado el juguete.
Otra forma: Calcular lo que corresponde a 1 / 9 y multiplicar por 4.
1º
1 / 9 de 18 = 2 €
2º
2X4=8€
2. Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7 / 15 del
total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha
llevado cada uno?
1º Reducimos las fracciones a común denominador: m.c.m. (15, 12) = 60
7 / 15 = 28 / 60 y 5 / 12 = 25 / 60
El tercero se llevará en fracción : 60 / 60 - 53 / 60 = 7 / 60
2º Calculamos la fracción del número que le corresponde a cada uno.
El primero se llevará los 28 / 60 de 120 = 56 €
El segundo se llevará los 25 / 60 de 120 = 50 €
El tercero se llevará los 7 / 60 de 120 = 14 €
3º Podemos comprobar que lo tenemos bien sumando la cantidad que se lleva cada
uno.
Si observamos los resultados se lleva más el primero que es al que le corresponde
la mayor
fracción , después el segundo y por último el tercero que es el que se lleva la menor
fracción.
3. Hoy he perdido 18 cromos que son 3 / 11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos
tenía?
Podemos resolverlo calculando los cromos que le corresponden a 1 / 11 .
Dividimos 18 : 3 = 6 cromos.
Si a 1 / 11 le corresponden 6 cromos, a 11 / 11 que es la fracción total le
corresponderán
6 x 11 = 66 cromos.
4. El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene coche. Si el número total de
empleados es de 1200. ¿Cuántos empleados tienen coche?
Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción que tiene como denominador 100.
El 60% es en fracción 60 / 100 si la simplificamos nos da 3 / 5 . Luego los 3 / 5 de
trabajadores de esa empresa tienen coche.
Calculamos los 3 / 5 de 1200 = 720 trabajadores tienen coche.
Saldría el mismo resultado sin simplificar. Los 60 / 100 de 1200 = 720
Potencias y radicales
Operaciones con potencias: producto y
cociente
3.1
Potencias: definición, signo y operaciones
En este tema veremos la estructura de una potencia, las operaciones que se pueden
realizar, las potencias especiales (hay que fijarse bien en ellas). Ejemplos de cada
operación para comprender las cosas mejor.
Prioridad de las operaciones con potencias
Se hacen primero las potencias si las hay y luego se aplican las prioridades vistas en
el tema 1.2 recuerda:
Operaciones con paréntesis
Relación potencias y raices.
Ejercicios
3.2
Radicales
Aprenderemos cual es la estructura de un radical. Como se llaman cada una de sus
partes. Posibles soluciones de los radicales dependiendo de su índice y su exponente.
Relación entre los radicales y las potencias.
Ejercicios de potencias
Antes de hacer estos ejercicios repasa el punto anterior de este tema, propiedades de
las potencias.
Progresiones aritméticas y geométricas
Progresiones
aritméticas
Concepto de sucesión
Progresiones aritméticas. Término general
4.1
Interpolación de términos
La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos
hallados se llaman medios aritméticos.
Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números
estén en progresión aritmética.
Datos: a1 = 2
a5 = 14
n=5
progresión
2, a , b, c, 14
Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una
progresión aritmética.
a 5 = a1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d
» 14 = 2 + 4d
Sabiendo que d = 3 completamos la progresión »
» d=3
2, 5, 8, 11, 14
Suma de n término consecutivos
Progresiones
geométricas
Término general
4.2
Suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica
Suma de los infinitos términos de una progresión
geométrica decreciente
Ejercicios y problemas resueltos de
progresiones 4.3
Fórmulas
ÁLGEBRA
Polinomios. Expresiones notables
Operaciones con monomios y
polinomios
5.1
Operaciones con monomios
Operaciones con polinomios
Ejercicios resueltos de
polinomios
5.2
Los siguientes ejercicios son para practicar lo visto en el punto anterior operaciones con
polinomios. Intenta hacerlos para ver si te has enterado bien de todo.
resiones notables
5.3
rtancia de estas expresiones
rvamos las fórmulas del cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia de izquierda a derecha , para desarrollarlas
es multiplicar por sí mismo el factor (a+b) o el (a-b). Es una multiplicación de polinomios, pero como estos productos nos d
el mismo resultado en lugar de multiplicar podemos aplicar la definición para cada caso y el resultado es el mismo.
n nos pueden dar las expresiones desarrolladas y nosotros debemos saber qué expresión es. Esto sería leer las fórmulas d
a a izquierda y se llama factorizar.
esión suma por diferencia leída de izquierda a derecha es pasar de la forma factorizada al binomio sin factorizar.
amos conocer bien ésto ya que en cursos posteriores aparecerá mucho.
elve estos ejercicios:
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer
grado
6.1
Concepto
Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de
primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el
m.c.m ) y suprimimos los denominadores.
2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.
3. Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos
llevaran x y otros no.
4. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la
ecuación, los números al otro lado.
5. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la
solución.
6. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación.
Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.
Soluciones de una ecuación de primer grado
Un número real: Es cuando normalmente decimos que nos da solución.
x + 3 = 5 x + 11 ; x - 5 x = 11 - 3 ; - 4 x = 8 ; x = 8 / - 4 ; x = - 2
Todo número real: No importa el valor de x, nos da 0 x = 0
13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ; - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ; 0 = 0
Incompatible: Se anulan las x y nos da 0 x = número. No tiene solución.
6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ; 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ; 0 x = - 10
Ejercicios resueltos
Resuelve:
Problemas de ecuaciones de primer
grado
6.2
Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones
Leer y comprender el enunciado
Designar la incógnita
Plantear la ecuación
Resolver la ecuación
Discusión e interpretación de los resultados
Problema de edades
Problema de mezclas
Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de
7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60
litros de mezcla a 7 € el litro?
1. Planteamiento
Precio por litro en €
Clase A
Clase B
Mezcla
6
7,2
7
Número de litros
2. Ecuación
3. Solución
x
60 - x
6x + 7,2 (60 - x) = 7.60;
Clase A 10 litros
Problemas con soluciones
60
x = 10
Clase B 60 -10 = 50 litros
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo
grado
7.1
Ecuaciones de segundo grado: completas e incompletas
blemas y ecuaciones de segundo grado
elve las siguientes ecuaciones
7.2
emas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones lineales con 2
incógnitas 8.1
Métodos de resolución algebraica
Esta actividad te permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas. Coloca los coeficientes de ambas ecuaciones y comprueba las
soluciónes de x e y.
En esta actividad puedes ver graficamente la posición de las 2 rectas que
forman el sistema.
Ejercicios y problemas de sistemas
lineales
8.2
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
Esta actividad te permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Coloca los
coeficientes de ambas ecuaciones y comprueba las soluciónes de x e y.
Problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones
Ejemplo
Problemas con soluciones
FUNCIONES
Rectas: función afin y lineal
Rectas: funcion afín, lineal y constante
9.1
Funciónes: conceptos básicos
Función afín, lineal y constante
Ejemplo
Dadas las rectas a) y = 2x
b) y = 2x + 3 y c) y = 2
1. Observa en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen que
tienen.
2. Fíjate por que puntos pasan cada una de ellas.
3. Haz una tabla de valores y represéntalas.
Función afín
b) y = 2 x + 3
y=mx+n
pendiente m = 2
Tabla
x
-1
0
1
2
ordenada n = 3
Función lineal
a) y = 2 x
1
3
5
7
x
-1
0
1
2
y
-2
0
2
4
y=mx
pendiente m = 2
ordenada n = 0
Función constante
y
Tabla
y=n
pendiente m = 0
c) y = 3
ordenada n = 3
Rectas continuación. Ejercicios resueltos
9.2
Rectas crecientes, decrecientes y paralelas
Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos).
Rectas crecientes
Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando
los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores
de y . La pendiente de la recta m es positiva. Ejemplos: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3)
y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2
Crecientes: si m es positiva
Observa la recta a en la gráfica inferior
pendiente m = 3
a) y = 3x- 1
x
-1
0
1
2
y
-4
-1
2
5
Tabla
ordenada n = -1
Rectas decrecientes
Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van
disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa.
Ejemplos: 1) y = - 3x 2) y = - 4/3x +1
Decrecientes: si m es negativa
Observa la recta b en la gráfica inferior
pendiente m = -2
b) y = -2x + 2
x
-1
0
1
2
y
4
2
0
-2
Tabla
ordenada n = 2
Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma
pendiente.
Ejemplos: rectas 1) y = 3x y 2) y = 3x +1, rectas 3) y = -2x + 5 y 4) y = -2x -2.
Paralelas: Si tienen la misma m
c) y = 4x+1
d) y = 4x
m=4 n=1
m = 4 n =0
Observa las rectas c y d en la gráfica inferior
x
-1
0
1
2
y
-3
1
5
9
c
x
-1
0
1 2
y
-4
0
4 8
d
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
Ejercicios resueltos
1) Representa las siguientes rectas:
a) y = 3x +2
b) y = -x +2
c) y = 5x 3
d) y = 5x +3
e) y = -x +4
f) y = -2x - 1
2) Dibuja la gráfica de una función que pasa por el punto (2,6) y cuya
ordenada en el origen es 1. Ver figura .
3) Halla la ecuación de una recta paralela a la recta a) y = - 4x +3 y representalas.