SOLUCIÓNES BLOQUE 1 ARITMÉTICA A Ejercicio nº 1.

SOLUCIÓNES
BLOQUE 1 ARITMÉTICA A
Ejercicio nº 1.a Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:
1,3;
1
3
; 1,3;
32 ; 3 3
b Representa sobre la recta los números:
2,6;
3
5
; 4
Solución:
a) Naturales

32
Enteros

32
Racionales
 1,3;
Irracionales 
3
1
3
; 1,3;
32
3
b
Ejercicio nº 2.a Expresa en forma decimal:
8 35
;
45 20
b Pasa a forma de fracción irreducible los números:
b.1) 3,26

b.2) 3,2
Solución:
a Efectuamos la división en cada caso:
8
45
35
20
 0,17
 1,75
b
326 163

100 50
b.1) 3,26 
b.2) 10 N  32,222...
 N  3,222...
9 N  29

N
29
9
Ejercicio nº 3.a Efectúa y simplifica:
2
1  2 1 1
2
     : 
 5  5  3 2 5
b Calcula:
3
2 2
b.1)   :  
5 5
2
4
3 2
b.2)     
2 3
2
Solución:
2
1  2 1 1 4 1  2 5 
2
a)      :  
   
 5  5  3 2 5  25 5  3 2 
4 1  4 15 
4 1 19
4 19

   
 



25 5  6 6  25 5 6
25 30

24
150

95
150

71
150
b
3
1
4
5
2 2
2
b.1)   :      
2
5 5
5
2
2
2
2
4
16
3  2
 2  2
 2
b.2.)               
81
2 3
3 3
3
Ejercicio nº 4.En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando
2/5 del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba 1/3 más del camino, paró a
comprar pan. Sabiendo que le faltan 11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa
al trabajo?
Solución:
Lleva recorrido:
2 1 6
5 11
 


del camino
5 3 15 15 15
4
para llegar, que son 11,2 km; es decir:
15
4
11,2  15
de x  11,2  x 
 42 km
15
4
Le faltan
De su casa al trabajo hay 42 km de distancia.
Ejercicio nº 5.En unos zapatos de 65 € nos aplican un descuento del 15%. Calcula el precio que
pagamos por los zapatos.
Solución:
Si nos descuentas el 15%  pagamos el 85%
85% de 65  0,85 · 65  55,25
Pagamos por los zapatos 55,25 €.
Ejercicio nº 6.El precio de una cámara de fotos es de 145 € ya aplicado el 16% de IVA. ¿Cuánto
cuesta la cámara sin IVA?
Solución:
Precio con IVA  145 €
16% de IVA  I.V.  1,16
Precio inicial  1,16  145  Precio inicial 
El precio de la cámara sin IVA es de 125 €.
Ejercicio nº 7.-
145
 125
1,16
Halla la suma de los quince primeros términos de una progresión aritmética en la que
a5  9,7 y a9  17,7.
Solución:
a9  a5  4d  17,7  9,7  4d  8  4d  d  2
a1  a5  4d  9,7  8  1,7  a1  1,7
a15  a1  14d  1,7  28  29,7  a15  29,7
S15 
a1  a15   15  1,7  29,7  15  235,5
2
2
Ejercicio nº 8.Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética. Sabiendo que el menor
mide 2 cm y que el perímetro es de 15,2 cm, ¿cuánto miden los otros tres lados?
Solución:
Los lados del cuadrilátero miden:
a1  2, a2  2  d, a3  2  2d y a4  2  3d
Su suma el perímetro es igual a 15,2 cm; es decir:
2  2  d  2  2d  2  3d  15,2
8  6d  15,2  6d  7,2  d  1,2 cm
Por tanto, los lados miden:
a1  2 cm
a2  2  1,2  3,2 cm
a3  3,2  1,2  4,4 cm
a4  4,4  1,2  5,6 cm
Ejercicio nº 9.El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del 4% por siglo. Si inicialmente
partimos de 1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de 1 000 años?¿Y al cabo de
2 000 años?
Solución:
La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos
que a1  1 000 g y r  0,96 Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%.
 Al cabo de 1 000 años  10 siglos, habrá:
1 000 · 0,9610  664,83 g
 Al cabo de 2 000 años  20 siglos, habrá:
1 000 · 0,9620  442 g
Ejercicio nº 10.De los siguientes números, indica cuáles son naturales, enteros, racionales o
irracionales:
3
10;
6
25;
64;
105;
3
18;
3
1000;
5
54
Solución:
25  52  5
6
64  6 26  2
3
1000 
3
 10 
Naturales

Enteros

Racionales 
Irracionales 
3
3
 10
25,
6
64
25,
6
64,
3
25,
6
64,
3
10,
105,
1000
1000
3
18, 5 54
ÁLGEBRA OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.Efectúa y simplifica el resultado:
a) x 2  2 x  1 
3 2
 x  1   x  1  x  2
4
b) 3x 2x  3 2x  3  2x  1
2
Solución:
3 2
 x  1   x  1  x  2 
4
3
3
5
5
 2 x 3  x 2  x 2   x 2  2x  x  2  2x 3  x 2  x 
4
4
4
4
a) x 2  2x  1 
b) 3x  2x  3   2x  3    2x  1  3x  4x 2  9    4x 2  4x  1 
2
 12x3  27x  4x 2  4x  1  12x3  4x 2  31x  1
Ejercicio nº 2.Efectúa y simplifica:
a)
b)
x 2
x
1


x 1 x 1 x
 x  2
2
:
x 1
x 2
x 1
Solución:
a)
x2
x
1 x 2  2x
x2
x 1

 



x  1 x  1 x x  x  1 x  x  1 x  x  1

x 2  2x  x 2  x  1 3 x  1
 2
x  x  1
x x
 x  2
b)
x  2  x  2  x  1
:

 x2
x  1 x  1  x  1  x  2 
2
2
Ejercicio nº 3.Resuelve esta ecuación:
3  2 x  1
5

x 3
x
 7  x  8  104
 2  5 

3
15
15
3


x3
x
 7  x  8  104
 2  5 

3
15
15
3

Solución:
3  2 x  1
5
6 x  3 x  3 2x
7x  56 104


 10 

5
3
3
15
15
18x  9 5x  15 10x 150 7x  56 104





15
15
15
15
15
15
18x  9  5x  15  10x  150  7x  56  104
18x  5x  10x  7x  56  104  9  15  150
16x  16  x  1
Ejercicio nº 4.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a 2x2  5x  3  0
b 2x2  3x  0
c) x2  100  0
Solución:
a 2x2  5x  3  0
5  25  24 5  49 5  7 ƒ
x


4
4
4 ‚
x 3
x  1 2
b 2x2  3x  0
x 0
ƒ
x  2x  3   0
‚
2x  3  0  x  3 2
c) x2  100  0  x2  100. No tiene solución.
Ejercicio nº 5.Resuelve la siguiente ecuación:
 x  2
2
3

x  x  1
2

x
7
 3x  x  2 
3
3
Solución:
 x  2
3
2

x  x  1
2

x
7
 3x  x  2 
3
3
x 2  4x  4 x 2  x x
7

  3x 2  6x 
3
2
3
3
2x 2  8x  8 3x 2  3x 2x 18x 2 36x 14





6
6
6
6
6
6
2x2  8x  8  3x2  3x  2x  18x2  36x  14
2x2  3x2  18x2  8x  3x  2x  36x  8  14  0
13x2  29x  6  0
29  841  312 29  529 29  23 ƒ
x


‚
26
26
26
Ejercicio nº 6.Resuelve estos sistemas:
x  3 13
x2
a)  5 x  3 y  9

 2 x  6 y  2
b)  2 x  y  5

 4 x  2 y  8
Solución:
a) 5 x  3 y  9 
5 x  3 y  9   5 1  3 y   3 y  9  5  15 y  3 y  9  12 y  4 


2 x  6 y  2 
x  3y  1   x  1  3y
y 
4 1

12 3
1
 1 1  2
3
1
Solución : x  2 ; y 
3
x  1  3y  1  3 
b)
2
2x  y  5  
4 x  2y  10

4 x  2y  8   4 x  2y  8
Sumando:
0  18  No tiene solución.
Ejercicio nº 7.Resuelve:
 3  x  1 2  y  3 
4



2
3
3

3 x  2  y  5   x   26

3
3
Solución:
3  x  1
2  y  3
3 x  3 2y  6
4 
4
9 x  9  4 y  12  8 


 

2
3
3 
2
3
3 



x
26 
x
26 
9 x  6 y  30  x  26 
3 x  2y  10   
3x  2  y  5   
3
3 
3
3 

9 x  4 y  13   x  13  4 y 

13  4 y 4  6 y
9 





4  6y 
9
10
10 x  6 y  4   x 
10 
 130  40y  36  54y  94y  94  y  1
x
13  4y 13  4 9

 1
9
9
9
Solución: x  1 ; y  1
Ejercicio nº 8.En un triángulo, sabemos que el mediano de sus ángulos mide el doble que el pequeño.
Además, el mayor de ellos excede en 5 al mediano. ¿Cuánto miden sus ángulos?
Solución:
Llamamos x al ángulo pequeño; el mediano será 2x; y el mayor será 2x  5.
Por tanto:
x  2x  2x  5  180
175
5x  175  x 
 35
5
Los ángulos miden 35, 70 y 75.
Ejercicio nº 9.Una piscina dispone de dos desagües. Si abrimos solamente el primero, la piscina se
vacía en 3 horas; y, si abrimos los dos a la vez, se vacía en 2 horas. ¿Cuánto tardaría en
vaciarse si abriéramos solamente el segundo desagüe?
Solución:
1
de piscina en 1 hora.
3
1
 Segundo desagüe  x horas  vacía de piscina en 1 hora.
x
1
 Los dos a la vez  2 horas  vacía de piscina en 1 hora.
2
Por tanto:
 Primer desagüe
 3 horas  vacía
1 1 1
1 1 1
1 1
 

  

 6x
3 x 2
x 2 3
x 6
Si abriéramos solamente el segundo desagüe, la piscina se vaciaría en 6 horas.
Ejercicio nº 10.Resuelve la ecuación:
x 1 x 1 5


x
4
x2
Solución:
x 1 x 1 5
 2 
x
4
x
4x  x  1
4x 2

4  x  1
4x 2

5x 2
4x 2
4x 2  4x  4x  4  5x 2
x2  4  x   4
ƒ
‚
x2
x  2
Las dos soluciones son válidas.
FUNCIONES OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.Esta mañana, Elvira y sus padres fueron a casa de sus abuelos para pasar con ellos el
fin de semana. La siguiente gráfica corresponde al viaje:
a ¿A qué distancia está la casa de los abuelos y cuánto tardaron en llegar?
b) Tuvieron que realizar tres paradas ¿en qué momentos y a qué distancia de su casa?
c) En el primer lugar que pararon dejaron olvidada una maleta y tuvieron que volver a
recogerla. ¿Cuándo se dieron cuenta? ¿Cuánto tardaron en volver a por ella?
d) Describe el recorrido completo.
Solución:
a) Esta a 200 km de distancia y tardaron 5 horas en llegar.
b 1.a parada  Al cabo de 1 hora, a 100 km de distancia.
2.a parada  Entre las 2,5 h y las 3 h del viaje, a 150 km de distancia.
3.a parada  Entre las 3,5 h y las 4 h del viaje, a 100 km de distancia.
c Se dieron cuenta en t  3 h. Tardaron media hora en volver a por ella.
d Salieron de su casa. Al cabo de 1 hora, cuando llevaban 100 km recorridos, hicieron una
parada de media hora. Reanudaron la marcha y tardaron 1 h en llegar a un lugar, a 150 km
de distancia de su casa, donde descansaron durante media hora. Se dieron cuenta de que
les faltaba la maleta y volvieron a por ella, tardando media hora en llegar. Se quedaron otra
media hora parados. Salieron de nuevo hacia su destino y tardaron 1 hora en llegar.
Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica representa el caudal de agua de un río durante un cierto tiempo:
a ¿Durante cuánto tiempo se han tomado las medidas?
b Describe el crecimiento y el decrecimiento del caudal.
c ¿En qué momento el caudal es máximo? ¿Cuándo es mínimo?
Solución:
a Durante 1 año.
b Creciente  Desde enero hasta abril y desde agosto hasta finales de año.
Decreciente  Desde abril hasta agosto.
c El caudal es máximo en abril y mínimo en agosto.
Ejercicio nº 3.Representa las siguientes funciones:
3
a) y   x  2
2
b 3x  2y  1
c y  2
Solución:
a Pasa por 0, 2 y 2, 1.
3x  1
2
Pasa por 1, 1 y 1, 2.
b) y 
c Paralela al eje X.
Ejercicio nº 4.Halla la ecuación de cada una de estas rectas:
a Pasa por los puntos P1, 2 y Q1, 8.
b Es paralela a 4x  2y  1 y pasa por el punto A0, 4.
Solución:
a) m 
8   2 
1   1

8  2 10

5
1 1
2
Ecuación puntopendiente:
y  8  5  x  1 
y  5x  3
b Paralela a 4x  2y  1  Tienen la misma pendiente.
4x  1
4
1
1
4x  2y  1  y 
  x   2x 
 m  2
2
2
2
2
Por pasar por A(0, 4)  n  4
La ecuación será: y  2x  4
Ejercicio nº 5.Un depósito contenía inicialmente 20 litros de agua cuando abrimos un grifo que arroja
un caudal de 10 litros por minuto dejamos el grifo abierto durante 6 minutos.
a Halla la ecuación de la recta que nos da el contenido de agua del depósito en función
del tiempo, desde que abrimos el grifo hasta que lo cerramos.
b Represéntala gráficamente.
c ¿Cuánta agua había en el depósito al cabo de los 5 minutos?
Solución:
a y  20  10x x desde 0 hasta 6 minutos
b
c Si x  5 minutos: y  20  10 · 5  20  50  70 litros
Ejercicio nº 6.Un ciclista sale a hacer ejercicio y pedalea a 15 km/h. Media hora más tarde sale en su
busca un motorista a 60 km/h.
a) Representa las funciones que dan el espacio recorrido por cada uno en función del
tiempo y escribe sus expresiones analíticas.
b) ¿Cuánto tardará el motorista en alcanzar al ciclista?
Solución:
a) Espacio recorrido por el ciclista (y )

  y  15 x
en función del tiempo, en horas, transcurrido (x ). 
Espacio recorrido por el motorista (y )

1

  y  60  x  
en función del tiempo, en horas, transcurrido (x ). 
2


Representamos ambas funciones:
1

y  15x
y  60  x    y  60x  30
2

x 0 1
y 0 15
x 12 1
y 0 30
b) El encuentro se producirá cuando ambos hayan recorrido la misma distancia, en este caso,
a los 40 minutos de salir el ciclista.
GEOMETRÍA OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.Indica el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras:
Solución:
a) Bˆ  50 ; Aˆ  180  50  130 ; Cˆ  130
b) Xˆ  90  37  53 ; Yˆ  90
c)   35 ;   2  35  70
Ejercicio nº 2.Observa la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la
misma distancia de ambas rectas.
Solución:
El lugar geométrico obtenido es la bisectriz del ángulo Oˆ .
Ejercicio nº 3.Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas,
explica por qué:
a En un poliedro simple, la suma del número de caras, el de vértices y el de aristas es
siempre igual a 2.
b El cubo y el dodecaedro son poliedros duales.
c El tetraedro es dual de sí mismo.
d La siguiente figura es un poliedro regular pues todas sus caras son triángulos
equiláteros:
Solución:
a Falsa. En un poliedro simple, el número de caras, más el número de vértices, menos el
número de aristas es siempre igual a 2 fórmula de Euler.
b Falsa. Son duales el cubo y el octaedro. También lo son el dodecaedro y el icosaedro.
c Verdadera.
d Falsa. Aunque todas sus caras sean polígonos regulares idénticos, en algunos vértices
concurren tres caras y en otros, cuatro.
Ejercicio nº 4.a La siguiente figura es un ortoedro con dos dimensiones iguales. ¿Cuáles son sus
planos de simetría?
b Dibuja una semiesfera e identifica sus ejes de simetría.
Solución:
a El ortoedro con dos dimensiones iguales es un prisma cuadrangular regular. Tiene cuatro
planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases cuadrados. Y otro plano
paralelo a las dos bases por los puntos medios de las aristas laterales.
b
Este eje pasa por el centro de la esfera y es perpendicular a la base de la semiesfera. Es
de orden infinito.
Ejercicio nº 5.Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
82  a2  42  64  a2  16  a2  64  16
a2  48  a  48  6,93 cm
Ejercicio nº 6.Halla la generatriz de un tronco de cono de 15 cm de altura en el que la longitud de la
base mayor es de 50,24 cm, y la de la base menor, 18,84 cm.
Solución:
Hallamos el radio de la base mayor:
2R  50,24 cm  R 
50,24 50,24

 8 cm
2
6,28
Hallamos el radio de la base menor:
2r  18,84 cm  r 
18,84 18,84

 3 cm
2
6,28
Por tanto:
g  h 2   R  r   152   8  3   250  15,81cm
2
2
Ejercicio nº 7.Halla el área de la parte coloreada:
AB  10 cm
CD  16 cm
AC  BD  5 cm
Solución:
 Área del sector circular 
r 2   82  60

 33,51cm2  A1
360
360
 Área del triángulo equilátero 
B h
2
h  82  42  64  16  48  6,93 cm
Área del triángulo 
 Área del trapecio 
8  6,93
 27,72 cm2  A 2
2
B  b  H
2
H  52  32  25  9  16  4 cm
Área del trapecio 
16  10  4
2
 52 cm2  A3
 Área del círculo  R2    22  4  12,57 cm2  A 4
 Área total  A1  A2  A3  A4  33,51  27,72  52  12,57  45,22 cm2
Ejercicio nº 8.-
Halla el área total de un tronco de pirámide de 9 cm de altura cuyas bases son
cuadrados de lados 15 cm y 12 cm, respectivamente.
Solución:
 Área de la base menor  122  144 cm2  A 1
 Área de la base mayor  152  225 cm2  A 2
 Área de una cara lateral 
B  b H
2
Altura de una cara lateral:
H  92  1,52  81 2,25  83,25  9,12 cm
Área de una cara lateral 
15  12  9,12  123,12 cm2
2
 Área de las cuatro caras laterales  4 · 123,12  492,48 cm2  A3
 Área total  A1  A2  A3  144  225  492,48  861,48 cm2
Ejercicio nº 9.Halla el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos geométricos:
a El mayor cilindro inscrito en este prisma:
b
diámetro  7 m
Solución:
a  El radio de la base del cilindro coincide con la apotema de la base del prisma:
r 2  62  32  36  9  27
 La altura del cilindro coincide con la altura del prisma.
Volumen  r 2h    27  10  270  847,8 cm3
b  Radio de la esfera  7 : 2  3,5 m
Volumen 
4 3 4
R    3,53  179,50 m3
3
3
Ejercicio nº 10.Dibuja la figura, F, de vértices A3, 1, B1, 1, C1, 3 y D4, 3.
a) Obtén la figura, F , que resulta al aplicarle a F una traslación de vector t  7, 3 .
b Aplica a F ' una simetría cuyo eje sea el eje X.
Solución:
Ejercicio nº 11.a Describe un movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F2.
b Describe otro movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F3.
Solución:
a Simetría de eje e.
b) Traslación de vector t  2,  3 .
Hay otras soluciones.
Ejercicio nº 12.a Completa el siguiente friso e indica cuál es el motivo mínimo:
¿Cuál es la translación que transforma la figura en sí misma?
b Completa el siguiente rosetón e indica cuál es su orden de giro:
Solución:
a
La parte señalada, es el motivo mínimo.
Es invariante ante la traslación de vector u.
b
El orden de giro de este rosetón es 4.
ESTADÍSTICA Y AZAR OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.a Haz una tabla de frecuencias en la que se refleje el número de veces que aparece
repetida cada una de las vocales en esta frase:
"La felicidad no consiste en tener siempre lo que se quiere, sino en querer siempre lo
que se tiene".
b Representa gráficamente la distribución anterior.
Solución:
a
VOCAL
a
e
i
o
u
fi
2
20
8
5
4
39
b
Ejercicio nº 2.Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para
saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse o no en esa revista. Las
respuestas obtenidas se reflejan en esta tabla:
EDAD
10 - 13
13 - 16
16 - 19
19 - 22
22 - 25
25 - 28
N. DE LECTORES
110
248
115
20
4
3
a Calcula la media y la desviación típica.
b Calcula qué porcentaje de lectores tiene menos de 19 años. ¿Qué observas?

c En otra encuesta realizada, la edad media era de 30,4 años y la desviación típica, de
3,2. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara las dispersiones.
Solución:
a Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
2
Intervalo
xi
fi
fixi
fixi
10  13
11,5
110
1 265
14 547,5
13  16
14,5
248
3 596
52 142
16  19
17,5
115
2 012,5
35 218,75
19  22
20,5
20
410
8 405
22  25
23,5
4
94
2 209
25  28
26,5
3
79,5
2 106,75
500
7 457
114 629
Media:
x
fi xi 7 457

 14,914
n
500
Desviación típica:

fi xi 2
 x2 
n
114 629
 14,9142  6,83  2,61
500
b Por debajo de 19 años hay 110  248  115   473 lectores de 500. Luego:
473  100
 94,6
500
El 94,6% de los lectores tiene menos de 19 años. Por tanto, es una revista dedicada a
adolescentes.
c) C.V.1 
C.V.2 
1
2,61

 0,175
x1 14,914
2
3,2

 0,105
x2 30,4
La variación es algo mayor en el primer caso.
Ejercicio nº 3.En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul. Sacamos una bola y anotamos su color.
Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
TIPO DE SUCESO
SUCESO
Seguro
Sacar bola roja o azul.
Sacar bola azul.
Sacar bola verde.
Sacar bola roja.
Solución:
E  R, A
TIPO DE SUCESO
SUCESO
Seguro
Sacar bola roja o azul.
Posible
Sacar bola azul.
Imposible
Sacar bola verde.
Muy probable
Sacar bola roja.
Ejercicio nº 4.En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar.
Calcula la probabilidad de que:
a La bola extraída contenga un número de dos cifras.
b El número extraído sea menor que 10.
Solución:
a) PS 
90
 0,9
100
b) PS 
10
 0,1
100
Ejercicio nº 5.Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:
a ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 6?
b Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c Estima la probabilidad de obtener par con ese dado.
Solución:
a 171
b
CARA
FREC.
FRECUENCIAS RELATIVAS
1
175
175/1 000  0,175
2
166
166/1 000  0,166
3
171
171/1 000  0,171
4
160
160/1 000  0,160
5
157
157/1 000  0,157
6
171
171/1 000  0,171
c) P PAR   fr PAR  
166  160  171 497

 0,497
1000
1000
Ejercicio nº 6.Hemos preguntado a 1 600 personas por el número de viajes que realizan anualmente
por motivos laborales y las respuestas fueron:
N. DE VIAJES
0
1
2
3
4 o más
N. DE PERSONAS
224
320
768
192
96
a Haz una taba de frecuencias.
b Expresa el número de personas en porcentaje y representa gráficamente la
distribución. ¿Qué porcentaje viaja como mínimo 2 veces al año?
Solución:
a xi  n. de viajes
xi
0
1
2
3
4
fi
224
320
768
192
96
b) No viajan en todo el año 224 personas de 1600
1 viaje al año lo hacen 320 personas

2 viajes al año los realizan 768 personas
224  100
 14%
1600
320  100
 20%
1600


3 viajes al año los hacen 192 personas

768  100
 48%
1600
192  100
 12%
1600
96  100
 6%
1600
Representamos los resultados obtenidos en un diagrama de barras verticales:
4 viajes anuales o más los hacen 96 personas

Los que viajan como mínimo 2 veces al año son los que viajan 2, 3, 4 o más veces, es decir,
48%  12%  6%  66% de los encuestados.
DE LOS 5 BLOQUES SOL A
Ejercicio nº 1.a Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales
o irracionales:
4,375; 8,37;
7
12
34;  ; 
4
6
36;
b Representa los siguientes números sobre la recta:
4
;  3; 3,2
3
Solución:
a) Naturales

36
Enteros

36; 
Racionales
 4,375 ; 8,37 ;
Irracionales 
b
34
12
6
36 ; 
7
4
; 
12
6
Ejercicio nº 2.Expresa en notación científica y calcula:
11,3   0,003 
2
0,000125
Solución:
Expresamos los números en notación científica:
11,3  1,13 · 10
0,003  3 · 103
0,000125  1,25 · 104
Por tanto:
11,3   0,003 
2
0,000125


1,13  10  3  103
1,25  104

2

1,13  10  9  106 10,17  105

 8,136  101
1,25  104
1,25  104
Ejercicio nº 3.a Calcula y simplifica el resultado:
2,16 
2
3  5   1 





4  2   2 
1

4 
b Simplifica:
34  92
31
Solución:
a) Expresamos N  2,16 en forma de fracción:
100 N  216,666
10 N  21,666
90 N  195
 N
195 13

90
6
 Operamos y simplificamos:
2
13 3  5   1 
1  13 15  1 1  13 15 2 52 45 12
5
          





 



6 4  2   2  4  6
8  4 4  6
8 4 24 24 24
24
b)
34  92 34  34

 31  3
31
31
Ejercicio nº 4.El precio de un artículo, con IVA, era de 1 444,2 €.
a Si lo rebajan en un 8%, ¿cuál será su precio actual?
b Halla cuál era su precio sin IVA, antes de la rebaja, sabiendo que el IVA es el 16%.
Solución:
a 1 444,2 · 0,92  1 328,664  1 328,66 €
b 1 444,2 : 1,16  1 245 €
Ejercicio nº 5.En una progresión aritmética, a8  22 y a12  32. Halla la suma de los dieciseis primeros
términos.
Solución:
a12  a8  4d  32  22  4d  10  4d  d  2,5
a1  a8  7d  22  7 · 2,5  22  17,5  4,5  a1
a16  a1  15d  4,5  15 · 2,5  4,5  37,5  42
S16 
a1  a16   16  4,5  42  16

2
2
 372
Ejercicio nº 6.Opera y simplifica:
2x 2 3x  1  2x  1  2x  1 2x  1
2
Solución:


2x 2  3x  1   2x  1   2x  1  2x  1  6 x 3  2x 2  4 x 2  4 x  1  4 x 2  1 
2
 6 x  2x  4 x  4 x  1  4 x  1  6 x  2x  4 x  2
3
2
2
2
3
2
Ejercicio nº 7.Resuelve:
a)
3  x  1
4

2x  5 1 
1
3
  x    5x 
5
4
2
8
b) 2 x 2  3 x  3  5  2 x  2
c) 4 x  12  2 y 

3y  6  2 x 
Solución:
a)
3  x  1
4

2x  5 1 
1
3
  x    5x 
5
4
2
8
3 x  3 2x  5 x 1 5 x 3

  

4
5
4 8
1 8
30 x  30 16 x  40 10 x 5
200 x 15





40
40
40 40
40
40
30 x  30  16 x  40  10 x  5  200 x  15
30 x  16 x  10 x  200 x  30  40  5  15
176 x  0  x  0
b) 2x 2  3x  3  5  2x  2  2x 2  5x  0  x  2x  5   0 

ƒ
x1  0
‚ 2x  5  0  2x  5  x2  
5
2
c) 4 x  12  2y  4 x  2y  12  2 x  y  6


3 y  6  2 x  2 x  3 y   6   2 x  3 y   6
Sumando:
4x  12  2y  12  x 
Solución: x  3 ; y  0
2y  0  y  0
12
3  x 3
4
Ejercicio nº 8.En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades.
Halla la longitud de la base y la de la altura.
Solución:
Base  3 x  2  Área  x  3 x  2   120 cm2
 2
2
Altura  x
 3 x  2x  120  3 x  2x  120  0
x
40
2  4  1440 2  1444 2  38 ƒ x  
(no válida)


6
‚
6
6
6
x6
3 x  2  18  2  20
Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm.
Ejercicio nº 9.Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:
Solución:
a) xˆ  90 ;
yˆ  90  28  62
b) Aˆ  Bˆ  180  58  122 ; Cˆ  58
c)   27 ;   2  27  54
Ejercicio nº 10.Halla la altura de este tronco de cono:
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
h  152  92  225  81  144  12 cm
Ejercicio nº 11.a Halla el área de esta figura:
b Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide
18,84 cm.
Solución:
a
 Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:
x  52  42  25  16  9  3 cm
Base mayor  4  2x  4  6  10 cm
 Área del trapecio 
 b  b  h 10  4  4
2

2
 28 cm2  A 1
  r 2   52

 12,5  39,25 cm2  A 2
2
2
 Área total  A1  A2  28  39,25  67,25 cm2
 Área del semicírculo 
b
 Hallamos el radio de la base:
2r  18,84 cm  r 
18,84 18,84

 3 cm
2
6,28
 Hallamos la altura del cono:
h  162  r 2  256  9  247  15,72 cm
 Volumen 
1 2
1
r h     32  15,72  148,08 cm3
3
3
Ejercicio nº 12.a Obtén la figura transformada de F al aplicarle un giro de centro O0, 0 y ángulo
  90.
b Describe un movimiento que transforme F1 en F2:
Solución:
a
b Simetría cuyo eje es el eje Y.
Ejercicio nº 13.La siguiente gráfica muestra el peso de un chico desde que nace hasta que cumple
20 años:
a ¿Cuál es el dominio de definición?
b ¿Es una función continua o discontinua?
c ¿Cuál es el peso a los 3 años de edad?
d ¿A qué edad pesa 55 kg?
e Explica si es una función creciente o decreciente.
Solución:
a De 0 a 20 años.
b Es continua.
c 10 kg, aproximadamente.
d A los 15 años, aproximadamente.
e Es una función creciente porque al aumentar la edad, aumenta el peso.
Ejercicio nº 14.a Representa gráficamente la función 3x  4y  2, y comprueba si el punto 2,64; 2,48
pertenece o no a la recta.
b Observa la gráfica y escribe la ecuación correspondiente:
Solución:
a) 3x  4y  2  y 
3x  2
4
Pasa por 2, 1 y 2, 2:
Comprobamos si el punto 2,64; 2,48 cumple la ecuación de la recta:
3 · 2,64  4 · 2,48  7,92  9,92  2
Luego el punto si pertenece a la recta.
b Como no pasa por el origen, la ecuación de dicha recta será de la forma y  mx  n:
 El punto de corte con el eje Y es 0, 3  n  3
 Por cada unidad que se avanza en la x , se bajan 2 unidades en la y  m  2
La ecuación es y  2x  3.
Ejercicio nº 15.-
Un fontanero nos cobra por venir a nuestro domicilio 10 € más 8 € por cada hora de
trabajo.
a Halla la ecuación de la recta que relacione el coste, y, de una reparación en función
del tiempo que tarde en hacer el trabajo, x. Represéntala gráficamente.
b Si tarda tres horas y media en realizar el trabajo, ¿cuánto pagaremos?
Solución:
a y  10  8x
b Si x  3,5  y  10  8x  10  8 · 3,5  10  28  38
Pagaremos 38 €.
Ejercicio nº 16.a) En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos
dos bolas y sumamos los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60
veces, obteniendo los siguientes resultados:
SUMA
3
4
5
6
7
N. DE VECES
8
12
21
9
10
Halla la media y la desviación típica de esta distribución.
b Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha
sido 7 y la desviación típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en
el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.
Solución:
a)
2
xi
fi
fixi
fixi
3
8
24
72
4
12
48
192
5
21
105
525
6
9
54
324
7
10
70
490
60
301
1 603
Media:
x
fi xi 301

 5,02
n
60
Desviación típica:
fi xi
 x2 
n
2

1603
 5,022  1,52  1,23
60
1 1,23


 0,245 
x1 5,02

 La dispersión es mayor en el segundo caso.
2 2,43
C.V.2 

 0,347 

x2
7

b) C.V.1 
Ejercicio nº 17.En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola al azar y anotamos
su número.
a Escribe el espacio muestral.
b Describe los sucesos:
A  "obtener número par"
B  "obtener menos de 5"
C  "obtener un número de dos cifras"
Solución:
a E  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b A {2, 4, 6, 8, 10} ; B  {1, 2, 3, 4} ; C  {10}
Ejercicio nº 18.Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que:
a Sea un as.
b No sea un rey.
Solución:
4
1

 0,1
40 10
36 9
b) P NO REY 

 0,9
40 10
a) P  AS 