SOLUCIÓNES BLOQUE 1 ARITMÉTICA A Ejercicio nº 1.a Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números: 1,3; 1 3 ; 1,3; 32 ; 3 3 b Representa sobre la recta los números: 2,6; 3 5 ; 4 Solución: a) Naturales 32 Enteros 32 Racionales 1,3; Irracionales 3 1 3 ; 1,3; 32 3 b Ejercicio nº 2.a Expresa en forma decimal: 8 35 ; 45 20 b Pasa a forma de fracción irreducible los números: b.1) 3,26 b.2) 3,2 Solución: a Efectuamos la división en cada caso: 8 45 35 20 0,17 1,75 b 326 163 100 50 b.1) 3,26 b.2) 10 N 32,222... N 3,222... 9 N 29 N 29 9 Ejercicio nº 3.a Efectúa y simplifica: 2 1 2 1 1 2 : 5 5 3 2 5 b Calcula: 3 2 2 b.1) : 5 5 2 4 3 2 b.2) 2 3 2 Solución: 2 1 2 1 1 4 1 2 5 2 a) : 5 5 3 2 5 25 5 3 2 4 1 4 15 4 1 19 4 19 25 5 6 6 25 5 6 25 30 24 150 95 150 71 150 b 3 1 4 5 2 2 2 b.1) : 2 5 5 5 2 2 2 2 4 16 3 2 2 2 2 b.2.) 81 2 3 3 3 3 Ejercicio nº 4.En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando 2/5 del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba 1/3 más del camino, paró a comprar pan. Sabiendo que le faltan 11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa al trabajo? Solución: Lleva recorrido: 2 1 6 5 11 del camino 5 3 15 15 15 4 para llegar, que son 11,2 km; es decir: 15 4 11,2 15 de x 11,2 x 42 km 15 4 Le faltan De su casa al trabajo hay 42 km de distancia. Ejercicio nº 5.En unos zapatos de 65 € nos aplican un descuento del 15%. Calcula el precio que pagamos por los zapatos. Solución: Si nos descuentas el 15% pagamos el 85% 85% de 65 0,85 · 65 55,25 Pagamos por los zapatos 55,25 €. Ejercicio nº 6.El precio de una cámara de fotos es de 145 € ya aplicado el 16% de IVA. ¿Cuánto cuesta la cámara sin IVA? Solución: Precio con IVA 145 € 16% de IVA I.V. 1,16 Precio inicial 1,16 145 Precio inicial El precio de la cámara sin IVA es de 125 €. Ejercicio nº 7.- 145 125 1,16 Halla la suma de los quince primeros términos de una progresión aritmética en la que a5 9,7 y a9 17,7. Solución: a9 a5 4d 17,7 9,7 4d 8 4d d 2 a1 a5 4d 9,7 8 1,7 a1 1,7 a15 a1 14d 1,7 28 29,7 a15 29,7 S15 a1 a15 15 1,7 29,7 15 235,5 2 2 Ejercicio nº 8.Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética. Sabiendo que el menor mide 2 cm y que el perímetro es de 15,2 cm, ¿cuánto miden los otros tres lados? Solución: Los lados del cuadrilátero miden: a1 2, a2 2 d, a3 2 2d y a4 2 3d Su suma el perímetro es igual a 15,2 cm; es decir: 2 2 d 2 2d 2 3d 15,2 8 6d 15,2 6d 7,2 d 1,2 cm Por tanto, los lados miden: a1 2 cm a2 2 1,2 3,2 cm a3 3,2 1,2 4,4 cm a4 4,4 1,2 5,6 cm Ejercicio nº 9.El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del 4% por siglo. Si inicialmente partimos de 1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de 1 000 años?¿Y al cabo de 2 000 años? Solución: La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos que a1 1 000 g y r 0,96 Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%. Al cabo de 1 000 años 10 siglos, habrá: 1 000 · 0,9610 664,83 g Al cabo de 2 000 años 20 siglos, habrá: 1 000 · 0,9620 442 g Ejercicio nº 10.De los siguientes números, indica cuáles son naturales, enteros, racionales o irracionales: 3 10; 6 25; 64; 105; 3 18; 3 1000; 5 54 Solución: 25 52 5 6 64 6 26 2 3 1000 3 10 Naturales Enteros Racionales Irracionales 3 3 10 25, 6 64 25, 6 64, 3 25, 6 64, 3 10, 105, 1000 1000 3 18, 5 54 ÁLGEBRA OPCIÓN A Ejercicio nº 1.Efectúa y simplifica el resultado: a) x 2 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 2 4 b) 3x 2x 3 2x 3 2x 1 2 Solución: 3 2 x 1 x 1 x 2 4 3 3 5 5 2 x 3 x 2 x 2 x 2 2x x 2 2x 3 x 2 x 4 4 4 4 a) x 2 2x 1 b) 3x 2x 3 2x 3 2x 1 3x 4x 2 9 4x 2 4x 1 2 12x3 27x 4x 2 4x 1 12x3 4x 2 31x 1 Ejercicio nº 2.Efectúa y simplifica: a) b) x 2 x 1 x 1 x 1 x x 2 2 : x 1 x 2 x 1 Solución: a) x2 x 1 x 2 2x x2 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 2x x 2 x 1 3 x 1 2 x x 1 x x x 2 b) x 2 x 2 x 1 : x2 x 1 x 1 x 1 x 2 2 2 Ejercicio nº 3.Resuelve esta ecuación: 3 2 x 1 5 x 3 x 7 x 8 104 2 5 3 15 15 3 x3 x 7 x 8 104 2 5 3 15 15 3 Solución: 3 2 x 1 5 6 x 3 x 3 2x 7x 56 104 10 5 3 3 15 15 18x 9 5x 15 10x 150 7x 56 104 15 15 15 15 15 15 18x 9 5x 15 10x 150 7x 56 104 18x 5x 10x 7x 56 104 9 15 150 16x 16 x 1 Ejercicio nº 4.Resuelve las siguientes ecuaciones: a 2x2 5x 3 0 b 2x2 3x 0 c) x2 100 0 Solución: a 2x2 5x 3 0 5 25 24 5 49 5 7 ƒ x 4 4 4 ‚ x 3 x 1 2 b 2x2 3x 0 x 0 ƒ x 2x 3 0 ‚ 2x 3 0 x 3 2 c) x2 100 0 x2 100. No tiene solución. Ejercicio nº 5.Resuelve la siguiente ecuación: x 2 2 3 x x 1 2 x 7 3x x 2 3 3 Solución: x 2 3 2 x x 1 2 x 7 3x x 2 3 3 x 2 4x 4 x 2 x x 7 3x 2 6x 3 2 3 3 2x 2 8x 8 3x 2 3x 2x 18x 2 36x 14 6 6 6 6 6 6 2x2 8x 8 3x2 3x 2x 18x2 36x 14 2x2 3x2 18x2 8x 3x 2x 36x 8 14 0 13x2 29x 6 0 29 841 312 29 529 29 23 ƒ x ‚ 26 26 26 Ejercicio nº 6.Resuelve estos sistemas: x 3 13 x2 a) 5 x 3 y 9 2 x 6 y 2 b) 2 x y 5 4 x 2 y 8 Solución: a) 5 x 3 y 9 5 x 3 y 9 5 1 3 y 3 y 9 5 15 y 3 y 9 12 y 4 2 x 6 y 2 x 3y 1 x 1 3y y 4 1 12 3 1 1 1 2 3 1 Solución : x 2 ; y 3 x 1 3y 1 3 b) 2 2x y 5 4 x 2y 10 4 x 2y 8 4 x 2y 8 Sumando: 0 18 No tiene solución. Ejercicio nº 7.Resuelve: 3 x 1 2 y 3 4 2 3 3 3 x 2 y 5 x 26 3 3 Solución: 3 x 1 2 y 3 3 x 3 2y 6 4 4 9 x 9 4 y 12 8 2 3 3 2 3 3 x 26 x 26 9 x 6 y 30 x 26 3 x 2y 10 3x 2 y 5 3 3 3 3 9 x 4 y 13 x 13 4 y 13 4 y 4 6 y 9 4 6y 9 10 10 x 6 y 4 x 10 130 40y 36 54y 94y 94 y 1 x 13 4y 13 4 9 1 9 9 9 Solución: x 1 ; y 1 Ejercicio nº 8.En un triángulo, sabemos que el mediano de sus ángulos mide el doble que el pequeño. Además, el mayor de ellos excede en 5 al mediano. ¿Cuánto miden sus ángulos? Solución: Llamamos x al ángulo pequeño; el mediano será 2x; y el mayor será 2x 5. Por tanto: x 2x 2x 5 180 175 5x 175 x 35 5 Los ángulos miden 35, 70 y 75. Ejercicio nº 9.Una piscina dispone de dos desagües. Si abrimos solamente el primero, la piscina se vacía en 3 horas; y, si abrimos los dos a la vez, se vacía en 2 horas. ¿Cuánto tardaría en vaciarse si abriéramos solamente el segundo desagüe? Solución: 1 de piscina en 1 hora. 3 1 Segundo desagüe x horas vacía de piscina en 1 hora. x 1 Los dos a la vez 2 horas vacía de piscina en 1 hora. 2 Por tanto: Primer desagüe 3 horas vacía 1 1 1 1 1 1 1 1 6x 3 x 2 x 2 3 x 6 Si abriéramos solamente el segundo desagüe, la piscina se vaciaría en 6 horas. Ejercicio nº 10.Resuelve la ecuación: x 1 x 1 5 x 4 x2 Solución: x 1 x 1 5 2 x 4 x 4x x 1 4x 2 4 x 1 4x 2 5x 2 4x 2 4x 2 4x 4x 4 5x 2 x2 4 x 4 ƒ ‚ x2 x 2 Las dos soluciones son válidas. FUNCIONES OPCIÓN A Ejercicio nº 1.Esta mañana, Elvira y sus padres fueron a casa de sus abuelos para pasar con ellos el fin de semana. La siguiente gráfica corresponde al viaje: a ¿A qué distancia está la casa de los abuelos y cuánto tardaron en llegar? b) Tuvieron que realizar tres paradas ¿en qué momentos y a qué distancia de su casa? c) En el primer lugar que pararon dejaron olvidada una maleta y tuvieron que volver a recogerla. ¿Cuándo se dieron cuenta? ¿Cuánto tardaron en volver a por ella? d) Describe el recorrido completo. Solución: a) Esta a 200 km de distancia y tardaron 5 horas en llegar. b 1.a parada Al cabo de 1 hora, a 100 km de distancia. 2.a parada Entre las 2,5 h y las 3 h del viaje, a 150 km de distancia. 3.a parada Entre las 3,5 h y las 4 h del viaje, a 100 km de distancia. c Se dieron cuenta en t 3 h. Tardaron media hora en volver a por ella. d Salieron de su casa. Al cabo de 1 hora, cuando llevaban 100 km recorridos, hicieron una parada de media hora. Reanudaron la marcha y tardaron 1 h en llegar a un lugar, a 150 km de distancia de su casa, donde descansaron durante media hora. Se dieron cuenta de que les faltaba la maleta y volvieron a por ella, tardando media hora en llegar. Se quedaron otra media hora parados. Salieron de nuevo hacia su destino y tardaron 1 hora en llegar. Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica representa el caudal de agua de un río durante un cierto tiempo: a ¿Durante cuánto tiempo se han tomado las medidas? b Describe el crecimiento y el decrecimiento del caudal. c ¿En qué momento el caudal es máximo? ¿Cuándo es mínimo? Solución: a Durante 1 año. b Creciente Desde enero hasta abril y desde agosto hasta finales de año. Decreciente Desde abril hasta agosto. c El caudal es máximo en abril y mínimo en agosto. Ejercicio nº 3.Representa las siguientes funciones: 3 a) y x 2 2 b 3x 2y 1 c y 2 Solución: a Pasa por 0, 2 y 2, 1. 3x 1 2 Pasa por 1, 1 y 1, 2. b) y c Paralela al eje X. Ejercicio nº 4.Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a Pasa por los puntos P1, 2 y Q1, 8. b Es paralela a 4x 2y 1 y pasa por el punto A0, 4. Solución: a) m 8 2 1 1 8 2 10 5 1 1 2 Ecuación puntopendiente: y 8 5 x 1 y 5x 3 b Paralela a 4x 2y 1 Tienen la misma pendiente. 4x 1 4 1 1 4x 2y 1 y x 2x m 2 2 2 2 2 Por pasar por A(0, 4) n 4 La ecuación será: y 2x 4 Ejercicio nº 5.Un depósito contenía inicialmente 20 litros de agua cuando abrimos un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto dejamos el grifo abierto durante 6 minutos. a Halla la ecuación de la recta que nos da el contenido de agua del depósito en función del tiempo, desde que abrimos el grifo hasta que lo cerramos. b Represéntala gráficamente. c ¿Cuánta agua había en el depósito al cabo de los 5 minutos? Solución: a y 20 10x x desde 0 hasta 6 minutos b c Si x 5 minutos: y 20 10 · 5 20 50 70 litros Ejercicio nº 6.Un ciclista sale a hacer ejercicio y pedalea a 15 km/h. Media hora más tarde sale en su busca un motorista a 60 km/h. a) Representa las funciones que dan el espacio recorrido por cada uno en función del tiempo y escribe sus expresiones analíticas. b) ¿Cuánto tardará el motorista en alcanzar al ciclista? Solución: a) Espacio recorrido por el ciclista (y ) y 15 x en función del tiempo, en horas, transcurrido (x ). Espacio recorrido por el motorista (y ) 1 y 60 x en función del tiempo, en horas, transcurrido (x ). 2 Representamos ambas funciones: 1 y 15x y 60 x y 60x 30 2 x 0 1 y 0 15 x 12 1 y 0 30 b) El encuentro se producirá cuando ambos hayan recorrido la misma distancia, en este caso, a los 40 minutos de salir el ciclista. GEOMETRÍA OPCIÓN A Ejercicio nº 1.Indica el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras: Solución: a) Bˆ 50 ; Aˆ 180 50 130 ; Cˆ 130 b) Xˆ 90 37 53 ; Yˆ 90 c) 35 ; 2 35 70 Ejercicio nº 2.Observa la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de ambas rectas. Solución: El lugar geométrico obtenido es la bisectriz del ángulo Oˆ . Ejercicio nº 3.Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué: a En un poliedro simple, la suma del número de caras, el de vértices y el de aristas es siempre igual a 2. b El cubo y el dodecaedro son poliedros duales. c El tetraedro es dual de sí mismo. d La siguiente figura es un poliedro regular pues todas sus caras son triángulos equiláteros: Solución: a Falsa. En un poliedro simple, el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es siempre igual a 2 fórmula de Euler. b Falsa. Son duales el cubo y el octaedro. También lo son el dodecaedro y el icosaedro. c Verdadera. d Falsa. Aunque todas sus caras sean polígonos regulares idénticos, en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro. Ejercicio nº 4.a La siguiente figura es un ortoedro con dos dimensiones iguales. ¿Cuáles son sus planos de simetría? b Dibuja una semiesfera e identifica sus ejes de simetría. Solución: a El ortoedro con dos dimensiones iguales es un prisma cuadrangular regular. Tiene cuatro planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases cuadrados. Y otro plano paralelo a las dos bases por los puntos medios de las aristas laterales. b Este eje pasa por el centro de la esfera y es perpendicular a la base de la semiesfera. Es de orden infinito. Ejercicio nº 5.Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras: 82 a2 42 64 a2 16 a2 64 16 a2 48 a 48 6,93 cm Ejercicio nº 6.Halla la generatriz de un tronco de cono de 15 cm de altura en el que la longitud de la base mayor es de 50,24 cm, y la de la base menor, 18,84 cm. Solución: Hallamos el radio de la base mayor: 2R 50,24 cm R 50,24 50,24 8 cm 2 6,28 Hallamos el radio de la base menor: 2r 18,84 cm r 18,84 18,84 3 cm 2 6,28 Por tanto: g h 2 R r 152 8 3 250 15,81cm 2 2 Ejercicio nº 7.Halla el área de la parte coloreada: AB 10 cm CD 16 cm AC BD 5 cm Solución: Área del sector circular r 2 82 60 33,51cm2 A1 360 360 Área del triángulo equilátero B h 2 h 82 42 64 16 48 6,93 cm Área del triángulo Área del trapecio 8 6,93 27,72 cm2 A 2 2 B b H 2 H 52 32 25 9 16 4 cm Área del trapecio 16 10 4 2 52 cm2 A3 Área del círculo R2 22 4 12,57 cm2 A 4 Área total A1 A2 A3 A4 33,51 27,72 52 12,57 45,22 cm2 Ejercicio nº 8.- Halla el área total de un tronco de pirámide de 9 cm de altura cuyas bases son cuadrados de lados 15 cm y 12 cm, respectivamente. Solución: Área de la base menor 122 144 cm2 A 1 Área de la base mayor 152 225 cm2 A 2 Área de una cara lateral B b H 2 Altura de una cara lateral: H 92 1,52 81 2,25 83,25 9,12 cm Área de una cara lateral 15 12 9,12 123,12 cm2 2 Área de las cuatro caras laterales 4 · 123,12 492,48 cm2 A3 Área total A1 A2 A3 144 225 492,48 861,48 cm2 Ejercicio nº 9.Halla el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos geométricos: a El mayor cilindro inscrito en este prisma: b diámetro 7 m Solución: a El radio de la base del cilindro coincide con la apotema de la base del prisma: r 2 62 32 36 9 27 La altura del cilindro coincide con la altura del prisma. Volumen r 2h 27 10 270 847,8 cm3 b Radio de la esfera 7 : 2 3,5 m Volumen 4 3 4 R 3,53 179,50 m3 3 3 Ejercicio nº 10.Dibuja la figura, F, de vértices A3, 1, B1, 1, C1, 3 y D4, 3. a) Obtén la figura, F , que resulta al aplicarle a F una traslación de vector t 7, 3 . b Aplica a F ' una simetría cuyo eje sea el eje X. Solución: Ejercicio nº 11.a Describe un movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F2. b Describe otro movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F3. Solución: a Simetría de eje e. b) Traslación de vector t 2, 3 . Hay otras soluciones. Ejercicio nº 12.a Completa el siguiente friso e indica cuál es el motivo mínimo: ¿Cuál es la translación que transforma la figura en sí misma? b Completa el siguiente rosetón e indica cuál es su orden de giro: Solución: a La parte señalada, es el motivo mínimo. Es invariante ante la traslación de vector u. b El orden de giro de este rosetón es 4. ESTADÍSTICA Y AZAR OPCIÓN A Ejercicio nº 1.a Haz una tabla de frecuencias en la que se refleje el número de veces que aparece repetida cada una de las vocales en esta frase: "La felicidad no consiste en tener siempre lo que se quiere, sino en querer siempre lo que se tiene". b Representa gráficamente la distribución anterior. Solución: a VOCAL a e i o u fi 2 20 8 5 4 39 b Ejercicio nº 2.Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse o no en esa revista. Las respuestas obtenidas se reflejan en esta tabla: EDAD 10 - 13 13 - 16 16 - 19 19 - 22 22 - 25 25 - 28 N. DE LECTORES 110 248 115 20 4 3 a Calcula la media y la desviación típica. b Calcula qué porcentaje de lectores tiene menos de 19 años. ¿Qué observas? c En otra encuesta realizada, la edad media era de 30,4 años y la desviación típica, de 3,2. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara las dispersiones. Solución: a Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla: 2 Intervalo xi fi fixi fixi 10 13 11,5 110 1 265 14 547,5 13 16 14,5 248 3 596 52 142 16 19 17,5 115 2 012,5 35 218,75 19 22 20,5 20 410 8 405 22 25 23,5 4 94 2 209 25 28 26,5 3 79,5 2 106,75 500 7 457 114 629 Media: x fi xi 7 457 14,914 n 500 Desviación típica: fi xi 2 x2 n 114 629 14,9142 6,83 2,61 500 b Por debajo de 19 años hay 110 248 115 473 lectores de 500. Luego: 473 100 94,6 500 El 94,6% de los lectores tiene menos de 19 años. Por tanto, es una revista dedicada a adolescentes. c) C.V.1 C.V.2 1 2,61 0,175 x1 14,914 2 3,2 0,105 x2 30,4 La variación es algo mayor en el primer caso. Ejercicio nº 3.En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul. Sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad: TIPO DE SUCESO SUCESO Seguro Sacar bola roja o azul. Sacar bola azul. Sacar bola verde. Sacar bola roja. Solución: E R, A TIPO DE SUCESO SUCESO Seguro Sacar bola roja o azul. Posible Sacar bola azul. Imposible Sacar bola verde. Muy probable Sacar bola roja. Ejercicio nº 4.En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a La bola extraída contenga un número de dos cifras. b El número extraído sea menor que 10. Solución: a) PS 90 0,9 100 b) PS 10 0,1 100 Ejercicio nº 5.Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla: a ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 6? b Calcula las frecuencias relativas de cada suceso. c Estima la probabilidad de obtener par con ese dado. Solución: a 171 b CARA FREC. FRECUENCIAS RELATIVAS 1 175 175/1 000 0,175 2 166 166/1 000 0,166 3 171 171/1 000 0,171 4 160 160/1 000 0,160 5 157 157/1 000 0,157 6 171 171/1 000 0,171 c) P PAR fr PAR 166 160 171 497 0,497 1000 1000 Ejercicio nº 6.Hemos preguntado a 1 600 personas por el número de viajes que realizan anualmente por motivos laborales y las respuestas fueron: N. DE VIAJES 0 1 2 3 4 o más N. DE PERSONAS 224 320 768 192 96 a Haz una taba de frecuencias. b Expresa el número de personas en porcentaje y representa gráficamente la distribución. ¿Qué porcentaje viaja como mínimo 2 veces al año? Solución: a xi n. de viajes xi 0 1 2 3 4 fi 224 320 768 192 96 b) No viajan en todo el año 224 personas de 1600 1 viaje al año lo hacen 320 personas 2 viajes al año los realizan 768 personas 224 100 14% 1600 320 100 20% 1600 3 viajes al año los hacen 192 personas 768 100 48% 1600 192 100 12% 1600 96 100 6% 1600 Representamos los resultados obtenidos en un diagrama de barras verticales: 4 viajes anuales o más los hacen 96 personas Los que viajan como mínimo 2 veces al año son los que viajan 2, 3, 4 o más veces, es decir, 48% 12% 6% 66% de los encuestados. DE LOS 5 BLOQUES SOL A Ejercicio nº 1.a Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales: 4,375; 8,37; 7 12 34; ; 4 6 36; b Representa los siguientes números sobre la recta: 4 ; 3; 3,2 3 Solución: a) Naturales 36 Enteros 36; Racionales 4,375 ; 8,37 ; Irracionales b 34 12 6 36 ; 7 4 ; 12 6 Ejercicio nº 2.Expresa en notación científica y calcula: 11,3 0,003 2 0,000125 Solución: Expresamos los números en notación científica: 11,3 1,13 · 10 0,003 3 · 103 0,000125 1,25 · 104 Por tanto: 11,3 0,003 2 0,000125 1,13 10 3 103 1,25 104 2 1,13 10 9 106 10,17 105 8,136 101 1,25 104 1,25 104 Ejercicio nº 3.a Calcula y simplifica el resultado: 2,16 2 3 5 1 4 2 2 1 4 b Simplifica: 34 92 31 Solución: a) Expresamos N 2,16 en forma de fracción: 100 N 216,666 10 N 21,666 90 N 195 N 195 13 90 6 Operamos y simplificamos: 2 13 3 5 1 1 13 15 1 1 13 15 2 52 45 12 5 6 4 2 2 4 6 8 4 4 6 8 4 24 24 24 24 b) 34 92 34 34 31 3 31 31 Ejercicio nº 4.El precio de un artículo, con IVA, era de 1 444,2 €. a Si lo rebajan en un 8%, ¿cuál será su precio actual? b Halla cuál era su precio sin IVA, antes de la rebaja, sabiendo que el IVA es el 16%. Solución: a 1 444,2 · 0,92 1 328,664 1 328,66 € b 1 444,2 : 1,16 1 245 € Ejercicio nº 5.En una progresión aritmética, a8 22 y a12 32. Halla la suma de los dieciseis primeros términos. Solución: a12 a8 4d 32 22 4d 10 4d d 2,5 a1 a8 7d 22 7 · 2,5 22 17,5 4,5 a1 a16 a1 15d 4,5 15 · 2,5 4,5 37,5 42 S16 a1 a16 16 4,5 42 16 2 2 372 Ejercicio nº 6.Opera y simplifica: 2x 2 3x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2 Solución: 2x 2 3x 1 2x 1 2x 1 2x 1 6 x 3 2x 2 4 x 2 4 x 1 4 x 2 1 2 6 x 2x 4 x 4 x 1 4 x 1 6 x 2x 4 x 2 3 2 2 2 3 2 Ejercicio nº 7.Resuelve: a) 3 x 1 4 2x 5 1 1 3 x 5x 5 4 2 8 b) 2 x 2 3 x 3 5 2 x 2 c) 4 x 12 2 y 3y 6 2 x Solución: a) 3 x 1 4 2x 5 1 1 3 x 5x 5 4 2 8 3 x 3 2x 5 x 1 5 x 3 4 5 4 8 1 8 30 x 30 16 x 40 10 x 5 200 x 15 40 40 40 40 40 40 30 x 30 16 x 40 10 x 5 200 x 15 30 x 16 x 10 x 200 x 30 40 5 15 176 x 0 x 0 b) 2x 2 3x 3 5 2x 2 2x 2 5x 0 x 2x 5 0 ƒ x1 0 ‚ 2x 5 0 2x 5 x2 5 2 c) 4 x 12 2y 4 x 2y 12 2 x y 6 3 y 6 2 x 2 x 3 y 6 2 x 3 y 6 Sumando: 4x 12 2y 12 x Solución: x 3 ; y 0 2y 0 y 0 12 3 x 3 4 Ejercicio nº 8.En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla la longitud de la base y la de la altura. Solución: Base 3 x 2 Área x 3 x 2 120 cm2 2 2 Altura x 3 x 2x 120 3 x 2x 120 0 x 40 2 4 1440 2 1444 2 38 ƒ x (no válida) 6 ‚ 6 6 6 x6 3 x 2 18 2 20 Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm. Ejercicio nº 9.Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura: Solución: a) xˆ 90 ; yˆ 90 28 62 b) Aˆ Bˆ 180 58 122 ; Cˆ 58 c) 27 ; 2 27 54 Ejercicio nº 10.Halla la altura de este tronco de cono: Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras: h 152 92 225 81 144 12 cm Ejercicio nº 11.a Halla el área de esta figura: b Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84 cm. Solución: a Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio: x 52 42 25 16 9 3 cm Base mayor 4 2x 4 6 10 cm Área del trapecio b b h 10 4 4 2 2 28 cm2 A 1 r 2 52 12,5 39,25 cm2 A 2 2 2 Área total A1 A2 28 39,25 67,25 cm2 Área del semicírculo b Hallamos el radio de la base: 2r 18,84 cm r 18,84 18,84 3 cm 2 6,28 Hallamos la altura del cono: h 162 r 2 256 9 247 15,72 cm Volumen 1 2 1 r h 32 15,72 148,08 cm3 3 3 Ejercicio nº 12.a Obtén la figura transformada de F al aplicarle un giro de centro O0, 0 y ángulo 90. b Describe un movimiento que transforme F1 en F2: Solución: a b Simetría cuyo eje es el eje Y. Ejercicio nº 13.La siguiente gráfica muestra el peso de un chico desde que nace hasta que cumple 20 años: a ¿Cuál es el dominio de definición? b ¿Es una función continua o discontinua? c ¿Cuál es el peso a los 3 años de edad? d ¿A qué edad pesa 55 kg? e Explica si es una función creciente o decreciente. Solución: a De 0 a 20 años. b Es continua. c 10 kg, aproximadamente. d A los 15 años, aproximadamente. e Es una función creciente porque al aumentar la edad, aumenta el peso. Ejercicio nº 14.a Representa gráficamente la función 3x 4y 2, y comprueba si el punto 2,64; 2,48 pertenece o no a la recta. b Observa la gráfica y escribe la ecuación correspondiente: Solución: a) 3x 4y 2 y 3x 2 4 Pasa por 2, 1 y 2, 2: Comprobamos si el punto 2,64; 2,48 cumple la ecuación de la recta: 3 · 2,64 4 · 2,48 7,92 9,92 2 Luego el punto si pertenece a la recta. b Como no pasa por el origen, la ecuación de dicha recta será de la forma y mx n: El punto de corte con el eje Y es 0, 3 n 3 Por cada unidad que se avanza en la x , se bajan 2 unidades en la y m 2 La ecuación es y 2x 3. Ejercicio nº 15.- Un fontanero nos cobra por venir a nuestro domicilio 10 € más 8 € por cada hora de trabajo. a Halla la ecuación de la recta que relacione el coste, y, de una reparación en función del tiempo que tarde en hacer el trabajo, x. Represéntala gráficamente. b Si tarda tres horas y media en realizar el trabajo, ¿cuánto pagaremos? Solución: a y 10 8x b Si x 3,5 y 10 8x 10 8 · 3,5 10 28 38 Pagaremos 38 €. Ejercicio nº 16.a) En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos dos bolas y sumamos los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60 veces, obteniendo los siguientes resultados: SUMA 3 4 5 6 7 N. DE VECES 8 12 21 9 10 Halla la media y la desviación típica de esta distribución. b Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha sido 7 y la desviación típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor. Solución: a) 2 xi fi fixi fixi 3 8 24 72 4 12 48 192 5 21 105 525 6 9 54 324 7 10 70 490 60 301 1 603 Media: x fi xi 301 5,02 n 60 Desviación típica: fi xi x2 n 2 1603 5,022 1,52 1,23 60 1 1,23 0,245 x1 5,02 La dispersión es mayor en el segundo caso. 2 2,43 C.V.2 0,347 x2 7 b) C.V.1 Ejercicio nº 17.En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola al azar y anotamos su número. a Escribe el espacio muestral. b Describe los sucesos: A "obtener número par" B "obtener menos de 5" C "obtener un número de dos cifras" Solución: a E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b A {2, 4, 6, 8, 10} ; B {1, 2, 3, 4} ; C {10} Ejercicio nº 18.Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que: a Sea un as. b No sea un rey. Solución: 4 1 0,1 40 10 36 9 b) P NO REY 0,9 40 10 a) P AS