Lógica Matemática Por César W. Jiménez Graña Procedimientos
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Lógica Matemática
Lógica Matemática
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Por César W. Jiménez Graña
Procedimientos deductivos
Deducción natural: procedimiento por el que aplicando unas reglas de
inferencia se concluye una cláusula o literal que se supone consecuencia.
Resolución: procedimiento con consistencia y completitud que por refutación
de cláusulas expresadas en FNC (Forma Normal Conjuntiva), se pretende
averiguar si existe un conjunto vacio que muestra que un conjunto de cláusulas
es insatisfacible y por tanto se puede demostrar la consecuencia de la cláusula
a estudiar.
Tablas semánticas: tablas analíticas o tableaux.
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Símbolos y signos
∧
∨
⟶
⟷
⊥, ⊤
¬
Conjunción (0, 0, 0, 1)
Disyuncion (0, 1, 1, 1)
Condicional (1, 1, 0, 1)
Bicondicional (1, 0, 0, 1)
Constantes (⊥ = 0, ⊤ = 1)
Negación (¬⊤ = ⊥)
A: Alfabeto (A*, L, X) (*conjunto de expresiones)
Alfabeto griego: denota fórmula o conjunto de fórmulas (Θ, Ф. Las letras
mayúsculas Θ se refieren a conjunto de fórmulas mientras que las minúsculas Ф lo
hacen a fórmulas simples).
Form: conjunto infinito más pequeño que incluye todas las fórmulas que
pueden formarse con las letras proposicionales y las conectivas binarias. Este está
contenido en otros.
Form ⊂ 𝔛
𝔛:
Es el conjunto de todas las fórmulas que pueden formarse con
los componentes de conjunto Form.
σ:
Sigma. Símbolo de la sustitución uniforme. ()σ; σ(Pn).
⤳, v : Asignación. Valor concreto de verdad v {0, 1} que se le da a cada
proposición de una fórmula o conjunto de fórmulas.
Las constantes siempre valen lo mismo: ⊥ = 0, ⊤ = 1.
Se denota como v Ξ vAtom : Form_Atom ⟼ {0, 1}
I:
Interpretación. Todas las asignaciones o valores de verdad que
puede tomar una fórmula.
V : Form ⟼ {0, 1}
E:
I:
⊨:
Ξ:
Sii :
v:
FND:
Eliminación de fórmulas.
Introducción de fórmulas.
Formula válida v(Ф) = 1, o consecuencia lógica.
Fórmula equivalente v(Ф) = v(ψ).
Si y sólo si…
Asignación o interpretación de un valor de verdad v = {0, 1}
Forma Normal Disyuntiva. Disyunción de cláusulas conjuntivas.
{Θ ∨ Ψ}; Θ = {Ф1 ∧ Ф ∧… ∧ Ф}, Ψ = { ψ1 ∧ ψ2∧… ∧ ψn}
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FNC: Forma Normal Conjuntiva. Conjunción de cláusulas Disyuntivas.
{Θ ∧ Ψ}; Θ = {Ф1 ∨ Ф ∨… ∨ Ф}, Ψ = { ψ1 ∨ ψ2∨… ∨ ψn}
FC:
CH:
Forma clausulada. Simplificación gramática de fórmulas.
Cláusula de Horm.
Deducción natural.
Conjunciones:
∧I
Introducción de la conjunción
∧Ed, i Eliminación de la conjunción. Derecha e izquierda
Disyunciones:
∨Id,i
∨E
Introducción de disyunción. Derecha e izquierda
Eliminación de disyunción
Condicionales
⟶I
⟶E
Introducción del condicional
Eliminación del condicional
L:
Literal
c
L:
Literal complementado
{}; ⬚: Conjunto vacio
En las tablas semánticas
α:
β:
Alfa. Forma conjuntiva
Beta. Forma disyuntiva
Símbolos y signos en LPPO
Símbolos comunes A
Var: {x1, x2,… ,xn} Variables
{∧, ∨, ⟶, ⟷, ⊥, ⊤ }: Conectivas
{∀, ∃}: Cuantificadores: universal y existencial
{≈}: Símbolo de igualdad
Símbolos propios S
C = {C1, C2,.. ,Cn}
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Cons. Constantes
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F = {F1, F2,.. , Fn}
R = { R 1, R 2,.. , R n}
Func. Funciones
Relac. Relaciones
A:
Conjunto de símbolos comunes
S:
Conjunto de símbolos propios
AS:
Alfabeto resultante de un lenguaje
L(S) ó L(R, F, C):
Elección de S determinada de un lenguaje
Term: Conjunto de todos los términos
Atom: Conjunto de todas las formas atómicas
Form: Conjunto de todas las fórmulas
U:
Universo o conjunto determinado
I:
Interpretación RI
A:
Asignación XA Ξ A(x)
< U, I>:
Conjunto de estructuras
ФI,A: Valor de verdad que obtiene una fórmula
γ:
Gamma. Regla de expansión de universales ∀x
δ:
Delta. Regla de expansión de existenciales ∃x
ФPRENEXSKO:
Fórmula prenexada y skolemizada. ФPRENEXSKO Ξ FC
*:
Los símbolos deductivos aplicados a LPPO tienen los mismos
procedimientos que los empleados en LP, pero incorporan nuevas reglas de
expansión, de inferencia, además de la unificación.
Conceptos, acrónimos y demás
A. alfabeto de un lenguaje, del que emanan los demás subconjuntos que
forman lenguajes.
A ⊂ A; L ⊂ A; L ⊂ A
Form. Es el conjunto de todas las expresiones que se pueden formar con el
alfabeto A y que se designa como el conjunto X.
Metalenguaje empleado. Se utiliza el alfabeto griego
-Mayúsculas. Conjunto de fórmulas
Θ = {Ф1 ∨ Ф ∨… ∨ Ф}
-Minúsculas. Fórmula simple
Ф, ψ…
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Sobre la estructura inductiva del lenguaje, se pueden llevar a cabo:
Demostraciones inductivas. Demostrar que un conjunto verifica las
propiedades base.
Definición recursiva. Definir del todo a la base.
Sustitución uniforme. (Ψ)σ ⟹ (χ)
*¬Ξ
Semántica
Satisfacción
Insatisfacción
Consecuencia
Equivalencia
Validez
Independencia
Asignación V(x)
Conectivas
Interpretación
Tautología
Contradicción
Contingencia
Validez de una asignación
Invalidez de una asignación
Generación de una fórmula a partir de otra que tiene, por
lo menos, tantas asignación ciertas como la premisa. Toda
fórmula es consecuencia de una insatisfacibilidad
Transformación de una fórmula con exactamente
los mismos valores de verdad. Correspondería con la
equivalencia de la igualdad de una operación aritmética
Fórmula cierta para cualquier interpretación (tautología).
Una fórmula Ф es válida sii ¬Ф es insatisfacible
Las líneas que simultáneamente hacen verdadera al
antecedente, no confirman “todas” las interpretaciones
del supuesto consecuente. Unas si y otras no, o todas no.
Algunas no.
v = valor, vatom : Form ⟼ {0, 1}
∧ ∨ ⟶ ⟷
Por extensión de la asignación. Todas las asignaciones
posibles de una fórmula.
Toda la interpretación de una fórmula es verdadera
Toda la interpretación de una fórmula es falsa
Algunas asignaciones de la interpretación de una fórmula
son verdaderas y otras falsas
Conceptos semánticos
Satisfacibilidad
Insatisfacibilidad
Procedimientos de decisión.
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-Extensivo. Estudio de toda la interpretación de una fórmula. Tablas de
verdad.
-Intensivo. Estudio sintáctico-semántico.
Validez. Certeza de una formula
Ф ⟼ válida sii ¬Ф es insatisfacible
Sustitución uniforme. Preserva la validez. Cambio de un literal por cualquier
literal en uno y otro lado de la igualdad.
ФΞψ
(Ф)σ Ξ (ψ)σ
Reemplazo (Sustitución). Sustitución de un literal por una fórmula equivalente,
por lo que la validez de la fórmula sustituida sigue siendo cierta e igual que la fórmula
inicial. No se altera la validez.
Consecuencia. Una premisa hipótesis o fórmula o fórmulas iniciales, tienen
como consecuencia una fórmula, consecuencia de la fórmula hipótesis y por tanto
coincide en las interpretaciones ciertas de la hipótesis y quizás alguna más.
Cuatro maneras de verificar la consecuencia.
-
Apreciando la certeza en la tabla de verdad.
Que cumpla como tautología la relación v : (v sat Ф)⟶ (v sat ψ)
Que la relación Ф y ¬ψ sea insatisfacible Ф ∧ ¬ψ insatisfacible
La condicional de la conjunción de todas las fórmulas premisas con
la fórmula consecuente con estudiar debe ser una tautología.
Ω = φ1 ∧ φ2… ∧ φn ⟶ ψ
Iv(Ω) = 1
Propiedades de la consecuencia
Reflexiva
Ф⊨Φ
Transitiva
Φ ⊨ ψ; ψ ⊨ χ; Φ ⊨ χ
Monotonía Θ = {φ1, φ2,… φn} si Θ ⊨ Ψ y Θ ⊂ Ω ⟹ Ω ⊨ Ψ
Cualquier fórmula es consecuencia de un conjunto de fórmulas Θ insatisfacible
Consecuencia, validez y satisfacibilidad
La conjunción de todos los literales o conjunto de fórmulas hipótesis,
determinan la consecuencia de la fórmula consecuente con estudiar (si las
interpretaciones válidas coinciden es consecuencia), y si el condicional entre hipótesis
y consecuente es válida, es tautología, entonces las fórmulas son consecuencia.
v(φ1 ∧ φ2… ∧ φn) ≤ (Ψ) ⟹ Θ ⊨ Ψ
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φ1 ∧ φ2… ∧ φn ⟶ Ψ ⟹ (v = 1) ⟹ Θ ⊨ Ψ
De consecuencia a insatisfacibilidad
Θ = {φ1, φ2,… φn} ⊨ Ψ ⟹ φ1 ∧ φ2… ∧ φn ∧ ¬Ψ ⟹ v(Θ) = 0
De insatisfacibilidad a consecuencia
Θ = {φ1, φ2,… φn, ¬Ψ} ⟹ v(Θ) = 0, insatisfacible
{φ1, φ2,… φn} ⊨ Ψ
Equivalencia. Dos fórmulas son equivalentes si:
Θ ⊨ Ψ y Ψ ⊨ Θ ó v(Θ) = v(Ψ)
Propiedades
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
ΦΞΦ
Φ Ξ ψ; ψ Ξ Φ
Φ Ξ ψ; ψ Ξ χ; Φ Ξ χ
Conjunto completos de conectivas Conectivas 22^2
Un conjunto completo es aquel que permita escribir cualquier fórmula
empleando nada más las conectivas que pertenezcan al conjunto completo
concretamente empleado.
Formas Normales
Conjuntos completos
FN Disyuntiva
Φ ∨ Φ ∨…
FN Conjuntiva
Φ ∧ Φ ∧…
F Clausulada
(Θ1, Θ2,… ,Θk)1 ∧ (Θ1, Θ2,… ,Θk)2 ∧ (Θ1, Θ2,… ,Θk)ñ
{{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{
φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,...
,{ φ1, φ2,… φn }m}k}1,
{{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{
φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,...
,{ φ1, φ2,… φn }m}k}2,…
, {{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{
φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,...
,{ φ1, φ2,… φn }m}k}ñ
Sistemas deductivos
Sistemas que se usan para demostraciones a partir de unos axiomas y de unas
reglas de inferencia.
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Deducción natural
-
-
-
Conjunciones
o Introducción
o Eliminación
Disyunciones
o Introducción
o Eliminación
Sin más
Sin más
Sin más
Debe hacerse una suposición para cada literal de
la disyunción eliminada
Condicionales
o Introducción Se introduce según la veracidad de la premisa y la
deducción que se ha podido alcanzar en el ámbito
de la caja de suposición.
o Eliminación Eliminación mediante suposiciones.
Literal l
Es una suposición
Literal complementado lc
Tanto la resolución como las tablas semánticas o tableaux son estrategias
deductivas por refutación.
Notación uniforme
Forma de una fórmula en la que sus componentes están, o han sido
transformadas en FNC ó FND.
Consistencia
Garantiza que todo lo que se va obteniendo es consecuencia de lo anterior.
Completitud
Se preserva la consecuencia en todas y cada una de las emanaciones que
puedan hacerse de las premisas.
LPPO Conceptos
A:
Símbolos comunes
S:
Símbolos propios
Cada elección de S determina un lenguaje y se denota por L(S) o L(R, F, C).
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Lenguaje. Elección de un alfabeto al que se restringen los términos y fórmulas,
y las constantes, funciones y relaciones requeridas en su definición.
Término
Fórmula atómica. Es una expresión de la forma R(t1, t2,… tn). R, relación n-aria.
t1, t2,… tn son términos (Atom)
Fórmula.
Principio de inducción estructural. Todos los términos de un LPPO tienen la
propiedad P, ya que al obtener fórmulas recursivamente, estos y sus componentes por
consistencia poseen las propiedades de sus entidades superiores.
Análisis sintáctico único
Variables libres. Son todas aquellas variables que no pertenecen al ámbito del
cuantificador (∀xΦ), (∃xΦ). Si pertenecen se dicen ligados, sino no ligados.
Sentencia. Es una fórmula sin variables libres. Se usa para generalizar un
concepto, idea, abstracción,…
Soporte finito de la sustitución. Una determinada sustitución sólo puede
sustituirse por un conjunto concreto y finito de variables o términos.
Composición de funciones. Sea σ1 y σ2, la composición T(σ1σ2) es otra
composición sobre los términos, definida como
t T = t(σ1σ2) = t(σ1)[σ2] = ((tσ1(σ2)
t: término, T es una composición
T es una sustitución sucesiva de las sustituciones simultáneas σ1 y σ2
Notación. Indicación en fórmulas metalenguaje de manera directa
Φ(x, y)
Interpretación I en LPPO. Construcción de una estructura de un mundo o
universo, es decir, designación que se hace para cada predicado (relación), función o
constante, o sea designación de los valores de los símbolos propios de un lenguaje en
particular L(R, F, C) ⟼ U.
Asignación. Valor que se le da a las variables procedentes de este universo
estructurado, valores sobre una interpretación XAó A(x).
Particularización. Sustitución de una variable a la que se le puede asignar
cualquier valor del universo, por una constante que tiene un solo valor.
Deducción natural. Reglas de inferencia
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Cuantificadores ∀x, ∃x
∀xI Sustitución de todas las constantes a por una var (x) cuantificada
∀xE Sustitución de todas las var (x) por un término (Const, var, f())
∃xI Sustitución de todas las var (x) por una constante
∃xE
Tablas semánticas.
Parámetros. Constantes auxiliares (términos cerrados) que sirven para la
sustitución de variables en la expresión γ y δ de fórmulas.
Reglas de expansión de un tableau en LPPO
Cuantificadores
o γ ∀x Un nodo. Sustitución de var por un parámetro de LPAR
o δ ∃x Un nodo. Sustitución de var por un parámetro de LPAR
o Demás reglas de inferencia en lógica de proposiciones α y β
Forma prenexa de los cuantificadores.
Fórmulas equivalentes
ΦPRENEX Fórmula prenexa
ΦPRENEXSko Fórmula prenexa skolemizada
Unificadores. Procedimiento de igualación de términos (argumentos de
predicados) de dos predicados, mediante la instanciación para posibilitar la resolución.
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Lógica matemática
Capitulo 1 Lógica de proposiciones
Existen diversas concepciones y grados de este saber, pero en este documento
sólo se va a tratar la lógica de preposiciones de primer orden, pudiendo ser este orden
de n y empezando por la lógica proposicional en la que no existe una sintaxis
propiamente dicha.
1.1 Sintaxis
Desglose de términos y conceptos de lógica proposicional:
Def. 1.1 Alfabeto: conjunto de símbolos usados.
Def. 1.2 Expresión: secuencia finita de símbolos, aunque la representación de
este pueda realizarse con infinitos símbolos de un conjunto finito que los
define.
La representación de una expresión mediante un lenguaje L puede ser:
a, o aa, o aaa, o aaa…
Def. 1.3 Lenguaje: conjunto de expresiones.
*Sobre el alfabeto A, u lenguaje es cualquier subconjunto de A *
A* ⊂ A ⇒ L ⊂A*
Un subconjunto L de A * también es un lenguaje de A
Un lenguaje de lógica debe servir para inferenciar proposiciones sobre el
mundo en que vivimos.
El alfabeto de lógica de proposiciones consta de:
Infinitas letras preposicionales. P0, P1, P2, Pn ó p, q, r, s…
Símbolos lógicos
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Constantes ⊥, ┬
Conectivas monarias ¬ (NO)
Conectivas binarias ∧, ∨, ⟶, ⟷ (y, o, entonces, ssi) Este conjunto es
completo, pues sólo con estas puede formarse cualquier expresión.
*El lenguaje de lógica de proposiciones, que incluye las infinitas fórmulas o
expresiones bien formadas, lo denotaremos como el conjunto:
Form
Una inferencia cualquiera puede representarse, bien con fórmulas
(expresiones), bien con tablas (gráficas), o bien con tablas de verdad en la que se
observan todas las posibles interpretaciones de una expresión.
((p∧ t) ∨ (¬p))
((p∧ t) ∨ (¬p))
p∧ t
p
∨
∧
¬p
t
p
p
¬
t
p
Def. 1.4 Fórmulas atómicas: Son expresiones compuestas por un único carácter
(proposición), bien una letra preposicional, bien una constante ⊥, ┬. Así, el conjunto
de fórmulas del lenguaje preposicional puede definirse como el conjunto X. Es decir,
Form es el conjunto infinito de fórmulas que se forman con las conectivas y el alfabeto
A, y es el menor conjunto que puede formarse del conjunto X.
Metalenguaje:
Es un lenguaje superior empleado para hablar de otro. Con este se forman
abreviaturas de fórmulas del lenguaje que pueden incluir sus propiedades y relaciones.
*Se emplean letras griegas mayúsculas para denotar conjunto de fórmulas y
minúsculas para fórmulas simples o literales.
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Estructura inductiva del lenguaje
En esto se basa el estudio de las premisas matemáticas. Nos dice que a partir
de fórmulas dadas se pueden obtener nuevas fórmulas equivalentes utilizando
sistemas de generación con sus conectivas.
De ahí que en aritmética se igualen expresiones que resultan operación de lo
anterior.
*Las demostraciones y definiciones se realizan por métodos inductivos y
recursivos respectivamente.
Principio multifuncional
Toda fórmula atómica pertenece a X y tiene la propiedad P ().
S1,2
1. φ Є X
2. φ tiene P()
Si la expresión φ Є X y tiene la propiedad P(), entonces ¬φ también
la tiene.
Si las expresiones φ y Ω Є X tienen la propiedad P(), entonces
(φ ∧ Ω) (φ ∨ Ω) (φ ⟶ Ω) (φ ⟷ Ω) también la tienen.
Def. 1.5 Principio de inducción estructural
Todo conjunto P que satisface las expresiones S2 corrobora que el conjunto P
contiene a Form. Form⊂ P, así que por inducción se demuestra que cumple las
propiedades P.
Teorema 1.1 Análisis sintáctico único
Muestra la jerarquía que debe tener una expresión con sus conectivas y
paréntesis para una expresión metalingüística y sus sustituciones.
La descomposición de una fórmula no atómica en sus componentes produce
sus subfórmulas inmediatas separados por su conectiva principal.
Una fórmula sólo puede pertenecer a las siguientes categorías:
φ es una fórmula atómica
φ es de la forma ¬φ, para una Ψ fórmula única
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φ es de la forma (φ * ψ)con una determinada conectiva
Definiciones recursivas
Son definiciones que se realizan teniendo en cuenta su propia estructura, de
fuera a dentro.
Teorema 1.2 Principio de recursión estructural
Garantiza que para una determinada elección de funciones previas la función
resultante es única y está bien definida.
Derivación de conceptos sintácticos
Rango
Proporciona la longitud (Nº) de la mayor rama del árbol sintáctico de la
fórmula.
Rango: Form ⟼ N
Teorema 1.3 Principio de inducción completa
Todas las fórmulas menores con rango menor que ψ, tienen la propiedad P(),
entonces todas las fórmulas cumplen la propiedad P(), es decir, si una parte del
conjunto S ⊂ χ, entonces todo el conjunto χ cumple P().
Arboles sintácticos
Se define recursivamente como la relación que tienen sus fórmulas y que
producen la fórmula nexa.
árbol(Ψ) ⇒ Ψ= (ψ * χ)
(Ψ * χ)
árbol(Ψ)
árbol(χ)
………
Def. 1.6 Subfórmula: dada una fórmula Ψ, el conjunto de sus subfórmulas se
define recursivamente
Subform (ψ)
{Ψ} ∪ Subform (Ω) ∪ subform (Θ)
; Ψ = (ψ * χ)
{Ψ} Subform (Ω)
; Ψ = (¬ψ)
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{Ψ}
; Ψ atómica
Subform: Form ⟼ P (Form)
Es una función del conjunto de fórmulas en el conjunto de subconjunto de
fórmulas.
Ψ = {(p ∧ r) ⟶ (q∨ (¬t))}
Subform (Ø) = {(p ∧ r) ⟶ (q∨ (¬t)), (p ∧ r), (q∨ (¬t)),p,r,q,¬t,t}
*Es la unidad más pequeña de una fórmula.
Sustitución uniforme
Permite escribir una fórmula a partir de otra.
(p ⟶ q) ⇒ (ψ ⟶ φ)*
* Fórmula general
σ 1 = {p/ψ}
σ = σ1 σ2
* Y se sustituye ψ por una fórmula concreta
σ2 = {q/φ}
(p ⟶ q) σ = (ψ ⟶ φ)*
(p ⟶ q) σ = (ψ ⟶ φ) σ
La sustitución es simultánea para todos los σi
Una función (Θ )σ: Form ⟼ Form puede definirse recursivamente como
(Ψ)σ
((Ψ) σ *(Θ)σ)
; Θ = (Ψ * φ)
((Ψ) σ)
; Θ = (¬Ψ)
σatom(Ψ)
; Θ atómica
De σatom se requiere que
σatom(⊥) = ⊥
*Las sustituciones de las constantes dadas
σatom(┬) = ┬
siempre resultan de la misma condición.
Eliminar paréntesis
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Los paréntesis siguen una jerarquía y sólo deben y pueden eliminarse aquellos
que no produzcan ambigüedades.
Los conectores binarios pueden precederse, Notación Prefija
Jerarquías:
-Negaciones
-Conjunciones y disyunciones
-Condicionales y bicondicionales
1.2 Semántica
Representación de declaraciones
Los sistemas lógicos se utilizan para representar declaraciones sobre el mundo
y operar sobre ellos (Sobre el lenguaje natural). Cada declaración enuncia un estado de
las cosas, pero una exclamación o una pregunta no lo hacen. De una expresión
declarativa se puede juzgar cuan cierta es.
La lógica de proposiciones trata de captar la dependencia entre las
declaraciones expuestas para determinar el valor de verdad que subyace. Cada
conectiva tiene una dependencia distinta para los literales que relaciona, que precisa
qué valor de verdad tiene la expresión compuesta para cada combinación de valores
de las componentes; para cada interpretación.
Si una declaración es más o menos verdadera (por ejemplo un 80%) entramos
en el ámbito de la lógica polivalente o borrosa.
Plantea miento sobre la veracidad y consecuencia de las cosas.
Satisfacibilidad: si hay alguna interpretación del enunciado que la hace
verdadera se dice que es satisfacible, sino insatisfacible, por tanto, es el
estudio de sus valores de verdad.
Consecuencia: si un predicado emana verdadero de unas interpretaciones
verdaderas.
Equivalencia: Toda interpretación que hace a una declaración verdadera y que
también lo hace para otra. Son expresiones diferentes que expresan lo mismo.
Validez: construcción de expresiones que sean verdaderas en toda
interpretación.
Lógica Matemática
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Independencia: no se confirman las interpretaciones del antecedente en el
consecuente.
Asignación - VAtom : Form ⟼ {0,1}
Es una función en el conjunto de fórmulas atómicas en el conjunto de valores
de verdad, es decir la correspondencia de un valor 0 ó 1 a cada fórmula atómica.
*Las constantes tienen valores fijos de verdad:
⊥=0
┬=1
VAtom (Px) = {0,1}
Una asignación completa produce una combinación de todos los valores de
verdad para todas las proposiciones. Una tabla de verdad. En general paran variables
existen 2n asignaciones.
Semántica de conectivas
Cada conectiva se distingue por la función que la representa, para
determinados valores de las proposiciones la conectiva los liga con un valor imagen.
Conectivas binarias:
p
0
0
1
1
∧ ( , ⋂, AND)
∨ (+, ∪, OR)
⟶ ()
⟷ (⨁, XOR)
q p∧q
0
0
1
0
0
0
1
1
p∨q p⟶q
0
1
1
1
1
0
1
1
Lógica Matemática
Conjunción
Disyunción
Condicional, Tiene un antecedente y un consecuente. P ⟶ q
Bicondicional
p⟷ q
1
0
0
1
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Interpretación
Cualquier fórmula debe poder evaluarse. La correspondencia v : Form ⟶ {0,1}
para cada una de las proposiciones en un enunciado es la interpretación. Debe
verificar ciertas restricciones.
1. V(┬) = 1
C(⊥) = 0
2. V(┬𝛹) = V ┬ (𝛹)
3. V(Ψ * Θ) = v (Ψ) * v (Θ) Para todas las operaciones binarias
Realizando un árbol sintáctico en el que se han asignado valores se obtiene el
valor de verdad de cada subfórmula obtenida en cada nodo.
(p∧q) V (¬⊥) 1
0
1
(p∧q)
¬
0
1
p
q
0
⊥
El principio de recursión estructural garantiza que la función obtenida es única
y está bien formada.
Interpretación por extensión de una asignación
Para un alfabeto una asignación v debe facilitar el valor de verdad de todas las
proposiciones del alfabeto, es decir, cada proposición del enunciado para una
asignación v {0,1} tiene un valor, dando sus conectivas el valor del enunciado.
Tabla de verdad
Asignación completa, expresa todas las interpretaciones, que permite ver el
comportamiento global de la fórmula Ψ.
Se dice que un tipo de asignación es intensiva y otra extensiva.
Tipos de interpretaciones
Tautología: Fórmula verdadera para toda interpretación.
Contradicción: Fórmula falsa para toda interpretación.
Lógica Matemática
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Contingente: Ni una ni otra.
1.3 Conceptos semánticos básicos
Satisfacibilidad.
Potencialidad de ser satisfecho. Una interpretación satisface una o varias
fórmulas cuando se evalúan como verdaderas en esa interpretación.
Satisfacción.
Una interpretación satisface una fórmula o conjunto de fórmulas v(Ψ) = 1 ; Θ
={φ1 φ2 φ3 φk}, v(Θ) = 1.
En una tabla de verdad si cualquier línea de una fórmula o conjunto de
fórmulas se satisface para esa misma interpretación se evalúan como cierto, 1. Cuando
se satisface se dice que es un modelo de esa fórmula o fórmulas.
Formalmente se dice, que una fórmula es satisfacible si existe alguna (aún sólo
una) interpretación vI, tal que, v (Ψ) = 1, o un conjunto de fórmulas Ψ.
Para una determinada interpretación de un conjunto de fórmulas (Tabla. 1.2)
se satisface simultáneamente X líneas. Si se elimina una de las fórmulas se satisfará un
Nº igual o mayor de interpretaciones conjuntas. Si se añade lo será igual o menor.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
Ψ
Θ
χ
p ⟶ (q v r) (p ∧ q) v r r⟶(r v p)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
V
V(ζ) = 1
V
V
ζ=Ψ∧ Θ∧χ
ζ=1
V
Satisfacible.
V
Tabla 1.2
Lógica Matemática
Página 20
Sea Θ = {φ1, φ2,… φk} Satisfacible.
Si se elimina φk, entonces φE es satisfacible.
(E, eliminado)
Si se añade una tautología φI es satisfacible.
(I, introducido)
Si se añade una contradicción, entonces φI es insatisfacible.
Sea Θ = {φ1, φ2,… φk} Insatisfacible.
Si se añade cualquier fórmula, ΘI resulta siempre insatisfacible.
Si se elimina de entre sus fórmulas una tautología, ΘE siempre es insatisfacible.
Si se elimina una fórmula cualquiera ΘE puede resultar satisfacible.
No se puede asegurar nada si a la primera se le añade una satisfacción, o a la
segunda se le quita una fórmula cualquiera.
Procedimiento de decisión
Es el más costoso porque se debe recorrer todas las interpretaciones de la tabla
de verdad, pero una vez obtenida una satisfacción se sabe que la fórmula es
satisfacible, ahora para averiguar la insatisfacibilidad se deben recorrer todas las
interpretaciones.
En lógica de proposiciones las interpretaciones I son finitas I = 2 I, sin embargo
en lógica de preposiciones se pierde esta propiedad. Existen infinitas interpretaciones I
para una fórmula. La satisfacibilidad se obtiene mediante la conjunción de todas las
fórmulas del conjunto.
Θ = {φ1, φ2, φ3,… φn} φ1 ∧ φ2 ∧ φ3 ∧… φn v(φn) = 1 satisfacible
Θ = {φ1, φ2, φ3,… φn} φ1 ∧ φ2 ∧ φ3 ∧… φn v(φn) = 0 Insatisfacible
Validez
Una fórmula válida es aquella que es verdadera para cualquier interpretación I
de alguna asignación v(φ). La satisfacibilidad divide en dos al conjunto de fórmulas:
Insatisfacible Contradicción
Satisfacible Tautología o contingencia
Procedimiento de decisión
Puede realizarse por dos caminos:
Lógica Matemática
Página 21
Extensivo: estudio de todas las asignaciones posibles de cada interpretación de
fórmulas, tabla de verdad.
Intensivo: requiere recorrer las interpretaciones hasta encontrar una
satisfacción que haga a la fórmula satisfacible.
Una fórmula es válida ssi ¬ψ es insatisfacible. Así cualquier método de decisión
de la insatisfacibilidad permite decidir la insatisfacibilidad o viceversa.
Preservación por sustitución
Si una fórmula ψ es válida, entonces su instancia por sustitución (sustitución
uniforme) es una fórmula válida para cualquier sustitución σ.
Consecuencia
Si se obtiene por consecuencia lógica ψ ⊨ χ, se puede decir que la
interpretación de χ es satisfacible en las mismas interpretaciones en que lo es ψ, y
quizá alguna más.
Ψ; ψ ⊨ χ
{(¬p v q); (p v r)}
⊨
Premisas o hipótesis
(q v r)
Consecuencia lógica
La consecuencia puede tener más líneas verdaderas pero debe ser cierta en las
mismas líneas comunes de las hipótesis.
Def. consecuencia: una fórmula Ψ es consecuencia lógica de Θ = {φ1, φ2,… φn}
si toda interpretación que satisface Ψ también satisface a Θ, Ψ ⊨ Θ.
En todas las líneas en que la fórmula Θ coinciden en ser verdaderas, también lo
es para Ψ. La consecuencia debe ser cierta en las líneas verdaderas comunes a la
hipótesis.
Definición semiformal.
Si Θ ⊨ Ψ si;
∀ Iv : {(v satisface Θ)
⟶ (v satisface Ψ)}
Es decir, es consecuencia lógica si la tabla de verdad corrobora la satisfacción, o
bien, si se cumple el condicional Tabla 1.2.
Lógica Matemática
Página 22
¬p
1
1
1
1
0
0
0
0
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
¬p v q p v r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Tabla 1.2
⟶
1
1
1
1
0
0
1
1
⊨
qvr
0
1
1
1
0
1
1
1
Satisface
todas
las
líneas
comunes, y alguna más, por tanto
es
consecuencia
lógica
Consecuencia de un conjunto insatisfacible
Para cualquier fórmula Θ o conjunto de fórmulas insatisfacible, cualquier
fórmula χ es consecuencia lógica de la primera o premisa.
Θv = 0 ⊨ χ
∀ Iv : {(v sat Θ) ⟶ (v sat χ)}, no haría falso ningún antecedente y por tanto
ningún antecedente sería falso.
Absolutamente cualquier fórmula verifica que es consecuencia lógica de un
conjunto de fórmulas insatisfacibles. Incluye tanto su fórmula como su negación.
{p, ¬q} ⊨ p v q Ξ {p, ¬p} ⊨ ¬(p v q)
Si la hipótesis es satisfacible esto nunca ocurre.
Θ ⊨ Ψ y Θ ⊨ ¬Ψ ssi Θ es insatisfacible
Consecuencia, validez y satisfacibilidad
Una fórmula Ψ es válida ssi ¬Ψ es insatisfacible. Existe una dependencia formal
entre estos dos conceptos y el de consecuencia.
Si Θ ⊨ Ψ, no puede dejar de ser cierto:
Θ ↦ Ψ ⟹ es valido
Θ = {φ1, φ2,… φn}
φ1 ∧ φ2 ∧… φn = r
Lógica Matemática
⟼
Tautología, es valido
Página 23
Consecuencia y validez. La fórmula condicional con la conjunción de de todas
las hipótesis como antecedente, y la consecuencia como antecedente resulta siempre
tautología.
Φ1 ∧ Φ2 ∧ …Φn ⟶ ψ es tautología
Consecuencia y satisfacibilidad. Existe una dependencia formal entre ellos.
Si {φ1, φ2,… φn} ⊨ ψ, entonces {φ1, φ2,… φn, ¬ψ} es insatisfacible.
Y viceversa.
O sea: φ1 ∧ φ2 ∧… φn ∧ ¬ψ es insatisfacible, entonces {φ1, φ2,… φn, ¬ψ}
es insatisfacible.
*Si la conjunción del conjunto de fórmulas es insatisfacible, también la
conjunción con la consecuencia negada es insatisfacible.
φ1 ∧ φ2 ∧… φn ∧ ¬ψ es insatisfacible, ⟼ {φ1, φ2,… φn, ¬ψ}
De consecuencia a insatisfacibilidad.
Teniendo Θ = {φ1, φ2,… φn} ⊨ ψ, se sabe que lo que hace cierto Θ también lo
hace ψ, así que si lo negamos ¬ψ se hace falsa en todas ellas, luego {φ1, φ2,… φn, ¬ψ}
es insatisfacible.
La consecuencia negada siempre es insatisfacible para un conjunto de hipótesis
satisfacible
De insatisfacibilidad a consecuencia.
Si existe un conjunto de fórmulas Θ y son insatisfacibles (no existe ninguna
interpretación común que las satisfaga a todas) se puede decir que para cualquiera de
ellas negada se obtiene una consecuencia lógica, tabla 1.3.
Θ = {φ1, φ2,… φn}
φ1 φ2 φ3
1
1
0
0
0
1
1
1
Insat. φ1 ∧ φ2 ∧ φ3
0
0
0
1
0
0
0
0
¬ φ3
1
1
1
0
φ1 ∧ φ2 ∧ ¬ φ3
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
r
{φ1, φ2} ⊨ φ3
1
0
0
0
Para ¬φ3 el conjunto de
fórmulas es consecuencia
Tabla 1.3
Lógica Matemática
Página 24
Si un conjunto es insatisfacible y suprimo una φj el conjunto resultante puede
ser satisfacible o no. Así pues, se puede decir que si el conjunto resultante es
satisfacible tras eliminar φ3 es consecuencia lógica de las otras 2
Un resultado equivalente:
¬{φ1, φ2,… φn, ¬ψ} es válido sii {φ1,… φn} ⊨ ψ
Que es similar a ,
φ1 ∧ φ2 ∧… φn ⟶ ψ es válida sii {φ1,… φn} ⊨ ψ
Equivalencia
Dos fórmulas son equivalentes si ψ ⊨ φ y φ ⊨ ψ, lo que quiere decir que la
veracidad de la consecuencia debe verificar las mismas interpretaciones y sólo estas.
V(ψ) = v(φ) para toda interpretación v.
Propiedades
Reflexiva ψ Ξ φ (ψ ⊨ φ)
Simétrica ψ Ξ φ, entonces φ Ξ ψ
Transitiva si ψ Ξ φ y ψ Ξ χ, entonces φ Ξ χ
La equivalencia representa una manera distinta de expresar lo mismo.
Sobre una fórmula con dos letras sólo hay 16 clases de equivalencia, tabla 1.4.
p q
0
0
1
1
0
1
0
1
𝜋⊥
0
0
0
0
↓
←
0
0
0
1
0
0
1
0
𝜋¬p → 𝜋¬q
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
⨁
↑
0
0
1
1
1
1
0
1
Tabla 1.4
∧
⟷ 𝜋q
⟶ 𝜋p
←
∨
𝜋┬
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Conjuntos completos de conectivas
Existen determinadas conectivas binarias con las que se puede representar
cualquier fórmula usando estas únicamente.
∧ ∨ ⟶ ⟷
↑
↓
; AND, OR, NOT (n electrónica digital ED)
; NAND (en ED)
;NOR (en ED)
Calculo de equivalencias, tabla 1.5.
Lógica Matemática
Página 25
┬
Invers
o
Equivalencias básicas de la lógica de proposiciones
¬¬p Ξ p
¬⊥Ξ⊤
p∧⊤Ξp
p∧⊥Ξ⊥
p∧pΞp
p∧qΞq∧p
p ∧ (q ∧ r) Ξ (p ∧ q) ∧ r
p ∧ (p ∨ q) Ξ p
p ∧ (q ∨ r) Ξ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
doble negación
p ∧ r Ξ ¬(¬p ∨ ¬r)
Idempotencia
Conmutativa
Asociativa
Absorción
Distributiva
¬⊤Ξ⊥
p∨⊥ Ξ p
p∨⊤Ξ⊤
p∨pΞp
p ∨ q Ξ q ∨p
p ∨ (q ∨ r) Ξ(p ∨ 𝑞) ∨ r
p ∨ (p ∨ q) Ξ p
P ∨ (q ∧ r) Ξ (𝑝 ∨ q)∧ (p ∨ 𝑟)
p ∨ q Ξ ¬(¬p ∧ ¬q)
De Morgan
p ⟷ q Ξ (p⟶q)∧ (q⟶p)
p ⟷ q Ξ (p∧q) v (¬p∧¬q)
p ⟶ q Ξ (¬p v q)
p ⟶ q Ξ ¬q ⟶ p¬
Tabla 1.5
Sustitución y reemplazo
Dadas dos fórmulas, son equivalente sii la operación de su Bicondicional es una
tautología.
Θ y Ψ ⟼ Θ ⊨ Ψ sii Θ ⟷ Ψ es tautología
Teorema 1.XXXXXX. si tenemos dos fórmulas equivalentes, si se produce la
misma sustitución uniforme σ en ambas, las fórmulas resultantes también son
equivalentes.
Θ Ξ Ψ ⟼ Θσ Ξ Ψσ
Si Θ ⟷ Ψ
es válido, también lo será su instancia por sustitución
σ
σ
σ
(Θ ⟷ Ψ) = Θ ⟷ Ψ .
Θ ⟷ Ψ ⟼ Θσ ⟷ Ψσ
Θ ⊨ Ψ ⟼ Θσ ⟷ Ψσ
*la tabla de lenguajes también es válida para los metalenguajes.
Ejemplo:
p ⟶ q Ξ ¬p v q
σ(p) = (t ∧ s); σ(q) = (p v r)
(t ∧ s) ⟶ (p v r) Ξ ¬(t ∧ s) v (p v r)
La sustitución uniforme requiere que cada operación de la subfórmula que se
quiere sustituir se cambie en uno y otro lado de la equivalencia Θ Ξ Ψ para que las dos
fórmulas resultantes sean equivalentes.
Lógica Matemática
Página 26
Existe otro tipo de sustitución en el que no es necesario cambiar cada aparición
de la fórmula que quiera sustituirse. Esto es el reemplazo. Aquí sólo hay una fórmula,
no dos equivalentes. La sustitución de reemplazo es una sustitución de la subfórmula
que se desee (no necesariamente de todas sus apariciones) por otra que sea
equivalente a esta, es decir, se busca una equivalencia para poder ser sustituida.
En la sustitución uniforme, la fórmula sustituida no tiene porque ser
equivalente. Lo que se busca es una igualdad entre las dos fórmulas sustituidas.
En el reemplazo se preserva la igualdad Ø = Øσ (reemplazo) porque el elemento
sustituyente es igual o equivalente al sustituido, por lo que no requiere que la
sustitución se realice en todas las apariciones del sustituido.
*En un circuito de computación cualquier reemplazo de parte de un
circuito por una expresión equivalente produce un circuito con las mismas
entradas y salidas.
Ejemplo:
χ = (p ⟶ q) ⟶ ((p ⟶ q) v p)
(p ⟶ q) Ξ (¬q ⟶ ¬p)
ζ = (¬q ⟶ ¬p)⟶ ((¬q ⟶ ¬p) v p)
*Se verifica que χ = ζ, es un reemplazo de dos expresiones que tienen
exactamente el mismo valor y por tanto pueden usarse
indiferentemente según convenga para resolver la expresión.
Formas Normales
Forma normal disyuntiva ( ∧ ) v ( ∧ ); en ED suma de productos
Teniendo una tabla de verdad, la manera de encontrar una fórmula equivalente
con las interpretaciones dadas (o sea todas Iv por extensión) es unir mediante
conjunciones las letras que dan una interpretación válida y mediante disyunciones las
fórmulas obtenidas. Tablas 1.6.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
Ψ
1
0
1
0
Lógica Matemática
V
¬p ∧
¬q
p ∧ ¬q
Página 27
Ξ
(¬p ∧ ¬q) v (p ∧ ¬q)
Tabla 1.6
*Todas las fórmulas pueden ser reescritas en esta forma, salvo las
contradicciones. Para poder expresar contradicciones es preciso relajar la completitud,
permitiendo incluso que algunas letras falten o se repitan.
Def. Forma normal disyuntiva FND. Es de la forma Ψ1 ∨ Ψ2 …∨ Ψk, donde cada
Ψk es una conjunción de literales Ψk = ψ1 ∧ ψ2… ∧ ψk.
Es una forma de representar una fórmula equivalente según los valores que se
obtienen en la tabla de verdad.
Una FND es una contradicción sii cada una de sus conjunciones incluye una
letra negada y otra no negada.
Forma normal conjuntiva FNC ( v ) ∧ ( v ) ; en ED producto de sumas
Para pasar de FND a FNC o viceversa se usa el teorema de De Morgan. Toda
expresión es expresable en esta forma salvo tautologías
Def. Forma normal conjuntiva FNC. Es de la forma Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk, donde cada
Ψk es una conjunción de literales Ψk = ψ1 ∨ ψ2… ∨ ψk.
Una FNC es una tautología sii cada una de sus disyunciones incluye una letra
negada y otra no negada.
Forma clausulada FC
En FNC (o FND)una cláusula es cada una de las disyunciones (conjunciones) ψk .
Como la conjunción (disyunción) es conmutativa el orden en que aparecen es
irrelevante, y por tanto, tanto en FNC como en FND se pueden escribir en un conjunto
de cláusulas.
Forma clausulada
FNC Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk
Ξ {(Ψ1), (Ψ2),… (Ψk)}
FND Ψ1 ∨ Ψ2…∨ Ψk
Y dentro de cada cláusula las subfórmulas también pueden escribirse de forma
clausulada, es decir, un conjunto de conjunto de literales.
Lógica Matemática
Página 28
FNC Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk
Ξ {(Ψ1), (Ψ2),… (Ψk)} Ξ
Ξ {( ψ11 ∨ ψ21… ∨ ψk1), (ψ12∨ ψ22… ∨ ψk2),… (ψ1k ∨ ψ2k… ∨ ψkk)}
FND Ψ1 ∨ Ψ2…∨ Ψk
Esta es la forma clausulada más clausulada posible.
Ejemplo:
p ⟶ (s ∧ q) Ξ (FNC) (¬p ∨ s) ∧ (¬p ∨ q)
En FC {(¬p, s), (¬p, q)}
En el transcurso de operaciones hasta llegar a la fórmula necesitada se ha
obtenido primero una expresión , tras la que obtenemos una segunda y tercera, y así
tantas transformaciones como necesitemos. La transitividad de la equivalencia que la
primera es equivalente a la última.
Equivalencia, consecuencia, validez y satisfacibilidad. La equivalencia tiene
conexiones formales con el resto de conceptos semánticos expuestos.
ΨΞΘ
Sii Ψ ⊨ Θ y Θ ⊨ Ψ
Sii (Ψ ⟶ Θ) es una tautología y (Θ ⟶ Ψ)
Sii (Ψ ⟷ Θ) es una tautología
Sii (¬Ψ ⟷ Θ) es insatisfacible
1.4 Sistemas deductivos
En general un sistema deductivo consta de un conjunto de fórmulas
denominadas axiomas y de un conjunto de reglas de inferencia. El juego formal
consiste en un conjunto finitos de pasos, de aplicaciones a esas reglas, para desarrollar
la demostración o regla. Cada paso, cada fórmula obtenida tiene la peculiaridad de ser
consecuencia de las anteriores, o bien, tener una relación de insatisfacibilidad.
El conjunto de fórmulas de la demostración debe ser consecuente, consistente
y coherente.
Si el sistema es completo cada relación de consecuencia puede llegar a
explicarse como derivación o demostración.
1.4 Deducción natural
Lógica Matemática
Página 29
Sistema de tipo Gentzer. Consta de varias reglas de inferencia y de ningún
axioma. Se pueden hacer suposiciones adicionales, cuando se cierran aportan algo al
flujo argumental principal.
Conjunciones
Introducción a la conducción.
Si tenemos unas hipótesis que se suponen ciertas, la conjunción de estas
forman una fórmula que es consecuencia de ellas, tabla 1.7.
p
q
p∧q
(p ⟶ q)
(r ∨ ¬p)
(p ⟶ q)∧ (r ∨ ¬p)
Tabla 1.7
Ψ
Θ
Ψ∧Θ
Se garantiza que la conjunción es consecuencia de las fórmulas previas.
Eliminación de la conjunción. Partiendo de una única fórmula previa
p∧q
póq
(p ⟶ q)∧ (r ∨ ¬p)
(p ⟶ q) ó (r ∨ ¬p)
Tabla 1.8
Ψ∧Θ
ΨóΘ
se obtiene una consecuencia de una de las fórmulas previas.
*Conclusión. En un conjunto de fórmulas conjuntivas se puede obtener una
consecuencia (deducción) a partir de cualquiera de las subfórmulas que la componga.
La conjunción es la suma de las líneas (interpretaciones) ciertas en cada una de las
fórmulas conjuntivas, así, que si cojo una cualquiera, esta tendrá el mismo Nº de o
más de interpretaciones ciertas. Igualmente si un conjunto de fórmulas se unen por
conjunción, la fórmula obtenida tendrá las mismas líneas que hacen ciertas a todas las
fórmulas conjuntivas a la vez.
A partir de este punto se describe una alternativa sintáctica basada en el
cálculo. *Respetar estrictamente la forma de generación pues puede conducir a
errores fácilmente.
Tres reglas:
Introducción de la conjunción I∧
Eliminación a la derecha E∧d
Eliminación a la izquierda E∧I
Ψ
Lógica Matemática
Θ
ΨΘ
Ψ∧Θ
Ψ∧Θ
Θ
Ψ∧Θ
Ψ
I∧
E∧d
E∧I
Tabla 1.10
Ψ∧Θ
Página 30
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
¬p
1
1
1
1
0
0
0
0
p⟶q
1
1
1
1
0
0
1
1
r v ¬p
1
1
1
1
0
1
0
1
Tabla 1.11
(p ⟶ q) ∧ (r v ¬p)
1
1
1
1
0
0
0
1
Ψ∧Θ⊨χ
χ⊨Ψ∧Θ
Por esta regla de la conjunción en que si partimos por un conjunto de fórmulas
unidas mediante conjunciones se obtienen consecuencias lógicas (*no equivalencias*)
eliminando e introduciendo fórmulas y conjunciones respectivamente se puede
deducir que de unas premisas se obtienen consecuencias procedentes de estas.
Este proceso puede hacerse en árbol, si bien los números permiten linealizar la
deducción.
Ejemplo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p∧q∧r
p ∧ (q ∧ r)
p
q∧r
r
p∧r
Premisa
I()
2 E∧d
3 E∧I
4 E∧I
3,5 I∧
p∧q∧r
2
3
p ∧ (q ∧ r)
q∧r
p
5
6
6
p∧r
Se introduce un nuevo símbolo ⊢ , deducción natural. La diferencia con ⊨ es de
carácter semántico, en este se obtiene trabajando con los valores de verdad, mientras
que con ⊢ es de carácter sintáctico, se llega a ella trabajando con las reglas de
inferencia que se han propuesto en el lenguaje aunque si bien, están relacionadas ⊢ ∼
⊨.
Cada regla introducida E∧I, E∧d y I∧ es correcta, consistente y coherente, puesto que
toda fórmula deducida ⊢ es además consecuencia ⊨ de las premisas de la regla.
⊢ ≡ ⊨.
Disyunciones
Introducción de disyunciones. La fórmula se puede introducir disyuntivamente
tanto por la derecha como por la izquierda I∨d I∨i. es indiferente (conmutativa). Se
puede introducir porque si se admite la primera también debe admitirse la segunda.
Lógica Matemática
4
Página 31
r
Ψ
ΨvΘ
Ivd
Ψ
ΘvΨ
Ivi
Tabla 1.12
Ivd
Ivi
(p ⟶ q)
(p ⟶ q) v (r ⟷ s)
(r ⟷ s) v (p ⟶ q)
Eliminación de la disyunción. La eliminación de la disyunción es algo más
complicada, no corresponde a su eliminación más directa. Se definen reglas diferentes
para la introducción y eliminación en la disyunción.
Si en una disyunción damos por cierta bien la primera subfórmula, bien la
segunda, cada una por separado puede llevarnos a fórmulas con valores distintos y no
consecuencias o deducciones. Para eliminar una disyunción deben estudiarse cada una
de las fórmulas por separado y verificar que dan el mismo resultado.
ΨvΘ
Ψ
.
.
χ
Θ
.
.
χ
χ
Ev
Pasos para llegar a la deducción a partir de un conjunto de fórmulas
conjuntivas:
1. Se abre todo lo posible la fórmula aprovechando las conectivas conjuntivas
que pueden deducirse sin más, puesto que sólo son ciertas para las premisas
simultáneamente ciertas.
2. Una vez se haya llegado a fórmulas disyuntivas se hacen tantas suposiciones
como fórmulas estén conectadas disyuntivamente, ya que, debe verificarse la
certeza para cada una de ellas. Se nos presentan tantos caminos como
literales haya. (p v q) dos caminos v(p) = 1, v(q) = 1.
Si por cada uno de los caminos que puedan presentarse se llega a la misma
fórmula, se puede afirmar que esta fórmula común puede deducirse de la fórmula
premisa. Si un camino no es cierto el otro si lo será y viceversa, y esto garantiza que la
fórmula deducida es cierta.
Se dice que las suposiciones se encierran en cajas de suposición.
Ejemplos
Condicionales
Eliminación del condicional E⟶. también llamado Modus Ponens.
Lógica Matemática
Página 32
p⟶ q
q
E⟶
Cuando el condicional se supone verdadero sólo se descarta una de
sus cuatro líneas de su tabla de verdad. Si a esta premisa se añade que otra
afirma que p es verdadero , necesariamente q debe serlo
Introducción del condicional I⟶. No puede aplicarse tan directamente.
Corresponde a la fórmula:
Ψ
.
.
Χ
Ψ⟶χ
I⟶
Si en un argumento se presume cierta una hipótesis
adicional Ψ, lo que se deduce en el ámbito de la caja también es
cierto. Se garantiza verdadero en tanto que Ψ lo sea, incluso
cerrando el ámbito de la caja introduciendo la implicación.
Es decir, las deducciones que se realizan dentro del ámbito de la caja de
suposición de un condicional sigue siendo cierto fuera de ella si se admite como
verdadera la premisa, siempre y cuando el consecuente de la deducción de la última
fórmula efectiva derivada en la caja.
Ejemplo.
Negación
Restan cuatro reglas para completar la descripción del sistema.
Introducción de la negación I¬. Si de una suposición adicional se deriva una
contradicción, puede cerrarse el ámbito de aquella y concluir la suposición de la
negación.
Eliminación de la negación E¬. Dadas dos fórmulas donde una es la negación de
la otra, se puede concluir la contradicción.
Ψ ¬Ψ
⊥
E¬
Ψ
.
.
¬
¬Ψ
I¬
Eliminación de la contradicción. De una contradicción se puede concluir
cualquier fórmula.
Lógica Matemática
Página 33
Eliminación de la doble negación. De una fórmula doblemente negada se
puede derivar dicha fórmula.
⊥
Ψ
¬¬Ψ
Ψ
E⊥
E¬¬
En cualquier ámbito abierto puede utilizarse una fórmula anterior, siempre que
pertenezca a este o a uno que le englobe. Anidamiento de los demás.
Recapitulación. Reglas de sistemas deductivos.
Conjunciones
Introducción I∧
Eliminación E∧
Sin más
Disyunciones
Introducción Iv
Eliminación Ev
Deben abrirse tantas suposiciones como literales
disjuntos haya y llegar a una conclusión común
para llegar a esta.
Condicionales
Introducción I⟶
Eliminación E⟶
Debe deducirse dentro de una caja a partir de
una suposición, y lo que se derive de esta se
puede dar como cierta si la premisa es cierta.
Negaciones
Introducción I¬
Eliminación E¬
I¬. si de la suposición se deriva una contradicción
puede cerrarse y concluir su negación.
E¬. se puede concluir una contradicción de una
fórmula y su negación.
Contradicción. De una contradicción se puede concluir cualquier fórmula.
Doble negación. De una fórmula doblemente negada se puede derivar
dicha fórmula. ¬¬Ψ ⊢ Ψ
Existen 10 reglas de inferencia en el sistema deductivo natural.
Reglas de derivación
La derivación, la deducción, se puede producir en cualquier punto de un
argumento, no necesariamente tiene que ser de sus premisas. Las posibilidades de
Lógica Matemática
Página 34
deducción de una expresión a otra son sólo posibles entre las relaciones que existen
entre las jerarquías de anidamiento.
1.4.2 Resolución
Estrategia deductiva por refutación. Decidir si una fórmula o conjunto de
fórmulas es consecuencia de otra u otras se reduce a comprobar si Θ y ¬Ψ pueden ser
simultáneamente verdaderas.
Ψ1, … ψn ⊨ Ψ sii Θ U ¬Ψ = { Ψ1, … ψn , ¬Ψ} es insatisfacible
Para comprobar que una fórmula es ⊨ de otra niéguela e incorpórela
conjuntivamente, si es insatisfacible es ⊨.
Si la fórmula a comprobar es muy compleja resulta difícil constatar la ⊨ por
este camino: si Θ U Ψ era insatisfacible, en algún momento del cálculo se evidencia.
Procedimiento. Se añaden sucesivamente nuevas fórmulas menos complejas
que no alteran la satisfacibilidad. Si la premisa es insatisfacible este procedimiento
termina produciendo una cláusula vacía Θ ⟼ Ø y sólo aparece sii Θ U ¬Ψ es
insatisfacible.
Requisitos formales. El cálculo mencionado sólo se define sobre fórmulas en
FNC. Las premisas como la consecuencia deben escribirse en esta forma,
transformándola mediante equivalencias.
A partir de esta FNC las fórmulas pueden escribirse en FC, que es las forma que
se maneja en este procedimiento.
La transformación a FC ya ha sido expuesta.
Def. Literal l. Un literal es una fórmula atómica. La doble negación no es un
literal, ¬¬p ⊨ p.
A cada l le corresponde un literal complementario lc, (l) p ⟶ ¬pc ¬p.
Def. Satisfacibilidad de cláusulas.
1. La cláusula vacía Ø ó {}es insatisfacible.
2. La cláusula C = {l1,… ln}, (l1 v …v ln) es satisfacible si alguna de ellas es
satisfacible.
3. Un conjunto de cláusulas {C1,… Cn} es satisfacible si hay una interpretación
común que satisfaga a todas simultáneamente. V(∑𝑛𝑖=0 Ci) = 1
Lógica Matemática
Página 35
Principio de resolución
Sean X e Y cláusulas tales que X ∈ l y Y ∈ lc. se denomina resolución a la regla:
X
Y
c
{X U Y} – {l , l }
Las cláusulas se resuelven sobre l. A la cláusula resultante se la denomina
resolvente.
Teorema 1.4. El principio de resolución preserva la satisfacibilidad. Una misma
asignación satisface tanto a la premisa como al resolvente.
El resolvente tiene la misma satisfacibilidad, tanto para la primera resolución
como para las resoluciones sucesivas.
Una resolución sobre cada una de los literales produciría una cláusula vacía
C = Ø, {} que no satisface tanto a las premisas como al resolvente. Es un uso incorrecto
de las reglas de resolución.
En una derivación pueden usarse tanto los literales premisas como las
obtenidas, los resolventes.
Teorema 1.5. Un conjunto no vacio de clausulas es insatisfacible sii existe a
partir del mismo una derivación por resolución de la cláusula vacía.
Consistencia y completitud de la resolución
La consistencia garantiza la corrección de las reglas: todo lo que se obtiene es
consecuencia de lo anterior.
Completitud. De un conjunto de consecuencias, de resolventes, puede
encontrarse una derivación por la que se obtenga la premisa.
La mención a la cláusula vacía es específica de este sistema, pues se utiliza la
insatisfacibilidad para obtener indirectamente el concepto de consecuencia.
Un literal puede usarse más de una vez en la resolución.
Ejemplo:
Θ = {p v q, p ⟶ r, q ⟶ r}
(p v q) v (¬p v r) v (¬q v r)
⟹
Θ = {p v q, ¬p v r, ¬q v r} Ξ Θ U {¬Ψ}
Es insatisfacible. Existe
la cláusula vacía ⬚.
qvr
Lógica Matemática
Página 36
r
¬r
⬚
Def. Cláusula de Horn CH
Es una cláusula con a lo sumo un literal positivo.
Facilita la representación legible e intuitiva de ciertos sistemas y además facilita
el cálculo computacional.
Ejemplo de CH
1. {¬p, ¬q, ¬r, s} ⟹ (p ∧ q ∧ r) ⟶ s
2. {¬p, ¬q} ⟹ (p ∧ q) ⟶ ⊥
3. {s}
1. {¬p, q}
2. {¬p, r}
3. {¬s}
4. {¬t}
5. {¬q, s, t }
6. {¬s, q }
7. {¬t, q}
8. {p}
9. {q}
(8,1)
10. {r}
(8,2)
11. {s, t} (9,5)
12. {t}
(11,3)
13. { }
(12,4)
Los del primer grupo se conocen como
reglas.
Los del segundo son equivalentes a un
condicional.
El último es un hecho
Una derivación de la cláusula vacía.
1.4.3 tablas semánticas
También llamadas tablas analíticas o Tableaux (Tableau en singular). Al igual
que la resolución también son estrategias deductivas por refutación.
Los tableaux proporcionan un medio sintáctico de investigar la satisfacibilidad
de un conjunto de fórmulas. Todo lo mencionado en las resolución sobre la
consecuencia y la satisfacibilidad es aplicable a las tablas analíticas.
Se usa el mismo principio que en la resolución para ver si existe consecuencia
entre el conjunto. Niegue el presunto consecuente e introdúzcala en el conjunto de las
premisas, si es insatisfacible es consecuencia.
Constatación sintáctica de la insatisfacibilidad
Lógica Matemática
Página 37
De nuevo como en la resolución si el conjunto de partida Θ U {¬Ψ} es
insatisfacible, en algún momento del cálculo se evidencia claramente.
Procedimiento. La fórmula del conjunto inicial se estructura como árbol (muy
lineal). Existen dos reglas e inferencia que añaden nodos linealmente o por bifurcación
e indicadores sintácticos que explicitan la satisfacibilidad. Cada ampliación de árbol no
altera la satisfacibilidad.
*si el conjunto de partida, las premisas, eran satisfacibles todo el arbolo lo
será, si por el contrario, eran insatisfacibles en algún momento de cálculo se
constatará (sintácticamente).
Notación uniforme
Ya se da por sabido que cualquier fórmula con cualquiera de las 16 conectivas
existentes pueden escribirse con otras conectivas que conformen un conjunto
completo de conectivas. Es decir, cualquier fórmula puede transformarse en otra
equivalente usando únicamente conjunciones o disyunciones es decir FNC o FND.
α
x∧ y
¬(x ∧ y)
¬(x ⟶ y)
¬(x ← y)
¬(x ↑ y)
x↓y
x↛y
x↚y
α1 α2
x
¬x
x
¬x
x
¬x
x
¬x
y
¬y
¬y
y
y
¬y
¬y
y
β
¬(x ∧ y)
xvy
x⟶y
x←y
x↑y
¬(x ↓ y)
¬(x ↛ y)
¬(x ↚ y)
Tabla 1.13 Notación uniforme
β1 β2
¬x
x
¬x
x
¬x
x
¬x
x
¬y
y
y
¬y
¬y
y
y
¬y
Cada fórmula α es equivalente a la conjunción de sus componentes x1 x2,… xn. Y
cada fórmula β es equivalente a la disyunción de sus componentes. Tanto en α como
en β las componentes son subfórmulas de la fórmula principal.
Llamemos A, a un árbol sintáctico, esta sólo incluye las tres primeras líneas de
la tabla 1.13, aunque se podía haber incluido cualquiera de las 16 conectivas binarias.
Recursivamente, cualquier fórmula y todas sus subfórmulas es de uno de estos dos
tipos α ó β.
Ni el Bicondicional ni la negación (la disyunción exclusiva) se pueden escribir
como una conjunción o disyunción de sus subfórmulas, por lo que no se consideran
conectivas primarias del lenguaje sino abreviaturas.
Lógica Matemática
Página 38
Tableaux
Un tableau es un árbol sintáctico donde se aprecia con claridad si alguna
proposición de la fórmula inicial unida conjuntivamente se contradice, se insatisface,
con lo que, al ser una fórmula conjuntiva se aprecia, que en global no es satisfacible.
Al tener un conjunto de fórmulas en FNC o transformadas a esta forma, con
que sólo una de ellas se contradiga con otra en el árbol, todo el conjunto es
insatisfacible.
Un tableau no es más que un mero procedimiento, una manera de suavizar lo
que debe apreciarse, ya que su único fin es el de facilitar la observación de alguna
fórmula, subfórmula o proposición que se contradiga.
Def. Tableau de un conjunto de fórmulas. Con el conjunto inicial de fórmulas
Θ = {Φ1, Φ2,… Φn} se forma el tableau inicial A. aplicando a A cualquiera de las reglas
de expansión de tableaux resulta otro tableau A´ al que pertenece el conjunto de
fórmulas creado Θ U Φ.
Reglas de expansión de un tableau proposicional
Conectivas monarias
¬¬x/x ¬⊤/⊥ ¬⊥/⊤
Conectivas binarias
α/α1 β/(β1 ⎜β2)
Los literales no pueden expandirse. En un árbol se escoge una rama y se
expande en el terminal de esa rama con alguna de las fórmulas expansibles que
pertenezcan a esa rama.
Def. Tableau cerrado. Un tableau se dice que está cerrado si en el extremo de
todas las ramas existe un literal, una fórmulas atómica o si ocurre la fórmula ⊥. Es
decir, cuando ninguna de sus ramas puede seguir expandiéndose, están cerradas
atómicamente.
El sistema descrito es consistente y completo en los mismos términos que en la
resolución. Un conjunto es insatisfacible sii existe un tableau cerrado del mismo.
Una fórmula puede extenderse tantas veces como ramas haya o se precise. No
se puede expandir en una misma rama una misma fórmula más de una vez.
No es necesario expandir completamente el árbol para comprobar su
insatisfacibilidad, pues en determinadas situaciones se ve claramente sin necesidad de
volver a expandir una fórmula en otras ramas.
Lógica Matemática
Página 39
Capitulo 2 Lógica de predicados de primer orden
A diferencia de la lógica de proposiciones, ahora existen infinitas
interpretaciones para cualquier fórmula de este lenguaje, por lo que es imposible
abordar su validez por procesos de decisión que requieran un recorrido exhaustivo de
sus valores (intensivo).
Los sistemas deductivos se convierten en la única herramienta con la que
trabajar, siempre que se demuestren correctos y completos.
Los sistemas más utilizados son, sobre todo la resolución, pues es más fácil de
implementar en un sistema de computación, aunque los tableaux se están
imponiendo.
Metodología. Trabaje con lenguajes progresivamente más complejos. Primero
sólo cuantificadores y predicados monádicos, después diádicos, etc. Posteriormente el
uso de funciones y por último la igualdad.
2.1 La sintaxis
Lenguajes de primer orden.
Def. 2.1 Alfabeto. Todas utilizan un conjunto común de símbolos, además de
símbolos propios de lenguaje.
Símbolos comunes A
Variables
Conectivas
Cuantificadores
Símbolos de puntuación
Símbolo de igualdad
Símbolos propios S
Constantes
Funciones
Relaciones
Var = {x1, x2,… xn}
{∧, ∨, ⟶, ⟷, ⊤ ,⊥, ¬}
{∀, ∃, ∄}
Paréntesis (); comas ( , )
{≈}
A + S = AS
C = {C1, C2,… Cn}
F = {f1, f2,… fn}
R = {r1, r2,… rn}
Cada elección de S determina un lenguaje L(S); L(R,F,C).
Los R, F, C son independiente del lenguaje, pueden o no pertenecer a él.
Lógica Matemática
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Toda función y toda relación tiene asignado un Nº n. Una función o relación
n-ádicas o n-arias se aplica sobre un n-upla de términos: R(t1, t2,… tn).
Representaciones
Constantes:
Variables:
Funciones:
Relaciones(predicados):
{a, b, c, d,…}
{u, v, w, x,…}
{f, g, h,…}
Letras mayúsculas
Lenguajes
Los términos y funciones serán expresiones sobre este alfabeto y las R, F, C
deben pertenecer también a este.
Def. 2.2 Términos. Es una expresión obtenida por aplicación de las siguientes
reglas:
1. Cada constante es un término.
2. Cada variable es un término.
3. Si f es una función n-aria y t1, t2,… tn son términos, entonces f(t1, t2,… tn)
es un término.
El conjunto de todos los términos se denota como Term.
Def. 2.3 Fórmula atómica. Es de la forma R(t1, t2,… tn). R es un símbolo
relacional n-ario y t1, t2,… tn son términos.
Al conjunto de fórmulas atómicas se le denotan Atom.
Def. 2.4 Fórmula. Expresión obtenida de las reglas:
1.
2.
3.
4.
Toda Atom es una fórmula.
Si Φ es una fórmula entonces (¬Φ) también lo es.
Si Φ y ψ son fórmulas entonces (Φ * ψ) también lo es.
Si Φ es una fórmula y x una variable, entonces ∀xΦ y ∃xΦ también son
fórmulas.
El conjunto de todas las fórmulas se denota por Form.
(∀x(R(x,c) ⟶ P(f(y))))
(R(x,c) ) ⟶ P(f(y)))
R(x,c)
x
Lógica Matemática
P(f(y))
c
f(y)
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Árbol sintáctico de una fórmula de primer orden
Los términos son los sujetos citados en nuestras frases formales. No se dice si
son V o F, sólo se dirán quienes son.
2.1.2 Inducción y recursión
Este es un concepto ya expuesto con anterioridad. En los lenguajes de
predicados de primer orden LPPO existen dos conjuntos inductivos. El de términos y el
de fórmulas.
Def. 2.5 Principio de inducción estructural. Para demostrar que todos los
términos de un LPPO tienen la propiedad P basta demostrar que:
1. Toda var. tiene la propiedad P.
2. Toda const. De A tiene la propiedad P.
3. Si los términos t1, t2,… tn tienen la propiedad P y f es una función n-aria
del lenguaje A, tal que, f(t1, t2,… tn) entonces esta tiene la propiedad P.
Para demostrar que todas las fórmulas de un LPPO tienen la propiedad P basta
demostrar que:
1.
2.
3.
4.
Toda Atom. Tiene la propiedad P.
Si Φ ⟹ p, entonces (¬Φ) también.
Si (Φ y ψ) ⟹ p, entonces (Φ * ψ) también.
Si Φ ⟹ p, entonces ∀, ∃ y x una variable, entonces
también.
∀xΦ y ∃xΦ,
Siempre existe una unicidad en la descomposición sintáctica de un término o
una fórmula.
Teorema 2.5 1. Análisis sintáctico único. Cada termino pertenece a una y sólo
una de las siguientes categorías.
Variable, var
Constante de As
Función n-aria de As unívocamente determinados.
2. Cada fórmula pertenece a una y sólo una de las siguientes categorías.
Φ es atómica
Φ es de la forma ¬ψ para una ψ
Φ es de la forma (Φ *ψ)…
Lógica Matemática
Página 42
Φ es de la forma ∀xΦ o ∃xΦ, para cuantificadores, var y Form
determinados.
Esto garantiza que para un término o una fórmula existe un único árbol
sintáctico; y para cada árbol sintáctico existe un único termino o fórmula.
2.1.3 Subfórmulas
Def. 2.6 Subfórmulas. Para una fórmula Φ, recursivamente se define el conjunto de
todas sus subfórmulas como:
Subform(Φ) =
{Φ}
{Φ} U Subform(ψ)
{Φ} U Subform(ψ) U Subform(ψ)
{Φ} U Subform(ψ)
∀
{Φ} U Subform(ψ)
∃
,Φ ⊂ Atom
,Φ = {ψ}
,Φ = (ψ * χ)
,Φ = ∀xψ
,Φ = ∃xψ
Las subfórmulas de una fórmula son todas las que aparecen en su árbol
sintáctico incluida ella misma.
Para ser fórmula debe inscribirse a una relación R(x), R(x) es una fórmula de x;
f(x) son términos.
La función numsubf : Form ⟼ N cálcula el Nº de subfórmulas de una fórmula
dada.
numSubf(Φ) =
1.
1. numSubf(Φ)
1. numSubf(Φ) + numSubf(ψ)
, Φ atómica
,Φ = (¬ψ) ⎜ ( ∀xψ) ⎜ ( ∃xψ)
, Φ = (Φ * ψ)
2.1.4 Eliminación de paréntesis
Sigue las mismas restricciones que la proposicional, pero siempre se podrán
eliminar usando el sentido común.
2.1.5 Variables libres
Definición que produce todas las variables de una función dada. Se estudian las
fórmulas y las subfórmulas hasta llegar a los términos. Las variables son las que hayan
aparecido en sus términos.
Lógica Matemática
Página 43
Vart : Term ⟼ P(Var) /// Var que aparece en un término.
Vart =
∅
,t=c
{x}
,t=x
Var (t1) U… U Var (tn) , t = f(t1,… tn)
Var : Form ⟼ P(Var) /// Var que aparece en una fórmula.
Vart =
Vart(t1) U Vart(t2)
Vart(t1) U … Vart(tn)
Vart(ψ)
Vart(ψ) U Var(χ)
, Φ = t1 ≈ t2
, Φ = R(t1, t2,… tn)
, Φ = (¬ψ) ⎜(∀xΦ) ⎜(∃xΦ)
, Φ =(ψ * χ)
Ámbito del cuantificador (∀xΦ), (∃xΦ).
Si Φ está ligado a ∀ ó ∃, se dice que es del ámbito del cuantificador. Los
ámbitos no se solapan, se anidan o son disjuntos ∀(∃x), (∀P(x)) v (∃P(y)).
Apariciones libres y ligadas.
Todas las apariciones de una variable x en el ámbito de un cuantificador,
(∀xΦ), (∃xΦ) se denominan ligadas, sino la Var esta no ligada y se denomina libre.
Una Var puede tener apariciones libres o ligadas en una fórmula, pero se dice
que es libre sii todas las apariciones de esta Var son libres.
Def. 2.7 Definición formal de la función que define el conjunto de las variables
libres.
Libres Φ
Var(t1) U Var(t2)
Var(t1) U … Var(tn)
libre (ψ)
libre(ψ) * libre(χ)
libre(ψ) – (χ)
, Φ = t1 ≈ t2
, Φ = R(t1, t2,… tn)
, Φ = (¬ψ)
, Φ =(ψ * χ)
, Φ = (∀xΦ) ⎜(∃xΦ)
Def. 2.8 Sentencia. Fórmula sin variables libres, es decir, todas las variables
están ligadas, en el ámbito de un cuantificador.
2.1.6 Sustituciones
Cualquier fórmula tiene una estructura de árbol donde las fórmulas se
desarrollan en sus subfórmulas y a su vez en otras hasta alcanzar sus fórmulas
atómicas, que es en general un predicado n-ario aplicado a n términos. Estos términos
Lógica Matemática
Página 44
admiten así mismo un desarrollo de árbol, que puede constar de variables, constantes
o una fórmula k-aria aplicada a k-términos, que puede estar formado por el conjunto
de Term.
Las sustituciones pueden realizarse sobre fórmulas completas o sobre términos.
Sustituciones de variables.
Una sustitución σv es una función σv: Var ⟼ Term del conjunto de variables en
el conjunto de términos, es decir, Var sobre el conjunto de términos Term de un
lenguaje concreto L(C, F, R).
Cuando el Nº de Var de un lenguaje dado As sea finito, se dirá que la sustitución
tiene un soporte finito.
Sustitución en términos.
Dado un término de entrada, al aplicar una sustitución σv se obtiene un único
término de salida.
Se puede aplicar cada función σv (de Var en Term) a otra función σt (de
Term en Term).
*Notación xσt = xσv(x)
xσv es la imagen sustituida
La sustitución se realiza simultáneamente sobre cada una de las apariciones de
la variable a término.
Composición de sustituciones.
En este caso se realiza primero una sustitución y luego la otra, y otras de
manera secuencial. Una está dentro de otra.
tσ = σt
Sustitución
tT = t[σ1 σ2] = t(σ1)[ σ2] = ((tσ1)(σ2)) = ((tσ1)σ2)
Composición de sustituciones
T se refiere a una única sustitución contraída por dos previas.
Proposición. Sean σ1 y σ2dos sustituciones con soporte finito, entonces la
sustitución compuesta σ1σ2 tiene soporte finito.
Proposición. La composición de sustituciones es asociativa. En general no es
conmutativa.
(σ1 σ2) σ3 = σ1 (σ2 σ3)
Lógica Matemática
Asociativa
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σ1 σ2 = σ2 σ1
Conmutativa
Sustitución en fórmulas.
Una vez aprendido el funcionamiento de las sustituciones, ahora limitaremos su
uso para obtener un buen funcionamiento de estas “funciones”.
1. Sólo sustituiremos las apariciones libres de las variables.
2. Las apariciones de las variables en la fórmula sustituida deben también
resultar libres, fuera del ámbito de los cuantificadores.
Las sustituciones con las restricciones mencionadas, producen nuevas fórmulas
que son tan satisfacibles como la primera.
Esta es la estrategia utilizada en sistemas deductivos, como la resolución o lo
tableaux. Mediante relación vía insatisfacibilidad que producen ⊨.
Def. 2.9 Sea σt, se puede extender una fórmula recursivamente a una función σ
de fórmulas en fórmulas.
1. (Q(t1, t2,… tn))σ = Q(t1Qt, t2Qt,… tnQt)
2.
3.
4.
5.
⊤σ= ⊤; ⊥σ = ⊥
(¬χ)σ = ¬(χσ)
(χ * ψ)σ = (χσt * ψσt)
(∀xΦ) =∀x(xσx) ; (∃xΦ) = ∃x(xσx)
, Para toda conectiva binaria
, σx no modifica la variable x
Ejemplo
σ = [x/f(y),y/b]
(∀x(Qx ⟶ Rxy))σ Ξ ∀x((Qx ⟶ Rxy)σ) Ξ ∀x ((Qx)σx ⟶
(Rxy)σx) Ξ ∀x(Qx ⟶ Rxb)
(Qx ⟶ ∀xRxy)σ Ξ (Qx)σ ⟶ (∀xRxy)σ Ξ (Qx)σx ⟶ ∀x(Rxy)σx Ξ
Ξ (Qf(y)) ⟶ ∀x(Rxb)
(∀x(Qx ⟶ ∀yRxy))σ Ξ ∀x((Qx ⟶ ∀yRxy)σx) Ξ ∀x((Qx)σx ⟶
∀y(Rxy)σxy) Ξ ∀x(Qx ⟶ ∀yRxy)
Notación.
En una fórmula Ф se representarán apariciones libres de alguna variable,
mediante su indicación directa, junto a la fórmula de metalenguaje.
Ф(x,y)
Las apariciones de x que estuvieran ligadas por el cuantificador, resultan
apariciones libres en la subfórmula Ф expresada mediante metalenguaje. Así una
Lógica Matemática
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fórmula como ∀xФ ó ∃xФ y una sustitución σ, si modificaran las apariciones de x en la
subfórmula Ф.
Def. 2.9 Sustitución libre de una fórmula. Tanto la variable sustituida como la
sustituyente deben estar fuera del ámbito de un cuantificador, aunque este no se
refiera a la variable sustituida, es decir, toda variable sustituida debe estar fuera del
ámbito de un cuantificador, aún cuando no se refiera a ella.
2.2 Semántica
En lógica de proposiciones basta una asignación del conjunto de los valores de
verdad v {0,1} en el conjunto de las letras preposicionales para decidir su valor de
verdad, es decir, basta una interpretación para comprobar si la interpretación de una
fórmula se satisface.
La interpretación en LPPO.
Los LPPO tienen un alfabeto A más expresivo. La interpretación de las fórmulas
se hace sobre una estructura de un mundo o universo. Descripción coloquial.
1. Escoger un conjunto U cualquiera (el universo).
2. Por cada predicado (relación) n-ádico se debe escoger un subconjunto
de n-tuplos de elementos de U.
P(x) un subconjunto de U
R(x,y) dos subconjuntos de U
3. Por cada símbolo constante en la fórmula debe escoger un elemento de
U.
4. Por cada término funcional f(t1, t2,… tn) con t1, t2,… tn términos debe
escogerse una función sobre U con el mismo Nº de argumentos (t1, t2,…
tn en el caso de f), n en el caso de f.
Estructura.
Cualquier sentencia se puede interpretar sobre una estructura adecuada a esta
fórmula. Para un caso concreto es preciso establecer una correspondencia entre
variables y elementos de U, que denominaremos asignación.
Relaciones y funciones sobre un universo.
Sea U un conjunto no vacio. El conjunto Un es el conjunto de todas las n-tuplas
de U. una relación n-aria R sobre U es un subconjunto de Un.
Ejemplo
Lógica Matemática
Página 47
U = (a, b, c) , entonces
U2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
Una relación R puede contener el conjunto vacio R = ∅.
Existen 23x3 relaciones Rk binarias sobre un conjunto de tres elementos.
Una función f : Un ⟼ U hace corresponder a cada n-tupla de su dominio
Un un elemento de U. en general, las funciones n-arias son especiales
relaciones (n+n)-ariasExisten 33 funciones diferentes sobre un U de tres elementos y tres
elecciones del representante de la constante. Es decir, existen 27 * 24 +1
interpretaciones distintas sobre U3.
2.1 Interpretaciones.
Para una fórmula Ф y una estructura adecuada se dice que se interpreta cuando
se le asigna a un símbolo propio alguna correlación con el universo perteneciente a esa
estructura.
Def. 2.11 Estructura. Una estructura adecuada al lenguaje L(R, F, C) es un par
<U, I>.
1. U es un conjunto no vacio denominado dominio o universo.
2. I es una función que hace corresponder sobre cada símbolo propio de
S = R U F U C.
i. A cada R ∈ S n-aria, una relación n-aria sobre U.
ii. A cada F ∈ S n-aria, una función n-aria sobre U.
iii. A cada C ∈ S un elemento de U.
Para decidir el valor de verdad de una expresión sobre una estructura es
preciso designar un universo y unos valores de R, F, C sobre este.
Las fórmulas del alfabeto As pueden interpretarse sobre un Nº finito de
estructuras.
Asignaciones
una asignación sobre una estructura <U, I> es una función A : Var ⟼ U. a cada
x un elemento de U.
Notación: XA elemento de U imagen de x; A(x) función.
Lógica Matemática
Página 48
A cada uno de los términos del lenguaje se le hace corresponder una asignación
y una interpretación. tIA del universo.
CI, A = CI
XtI,A = xA
f(t1, t2,… tn) = f(t1I, A, t2I, A,… tnI, A)
Def. 2.11 Asignación variante de otro. Se ha asignado una asignación A para
una variante del universo. Otra asignación Ax, es una variante en x de A si coincide con
A en la asignación de toda la variable excepto para la variable x.
Satisfacción.
A cada fórmula Ф de L (F, R, C) perteneciente a una estructura <U, I>, se le
hace corresponder un valor de verdad ФI, A como sigue:
1.
2.
3.
4.
5.
⊥I, A = 0; ⊥I,A = 1G
(t1 ≈ t2)I,A = 1 sii t1A = t2A
[R(t1, t2,… tn)]I, A = 1 sii (t1, t2,… tn) ∈ RI
[¬Ψ]I, A = [Ψ]I, A
[Ψ * Ф]I, A = ΨI, A * ФI, A
[∀xΨ]I,A = 1 sii ΨI, Ax para toda asignación Ax variante de x respecto a A
[(∃xΨ)]I, A = 1 sii ΨI, Ax para toda asignación Ax variante de x respecto a A
Ejemplo. Son básicos. Se consideraran fórmulas con a lo sumo dos
predicados Monádicos y tres constantes. No contienen funciones ni símbolos de
igualdad. Pertenecen al lenguaje L(R, F, C) con:
R = {P, Q}, F = , C = {a, b, c}
Para cada una de estas fórmulas se escogerá (1) un universo U, (2) una
interpretación I y (3) una asignación.
Cada interpretación de este lenguaje debe fijar, (1) que subconjuntos del
universo PI y QI y (2) que elementos del universo son aI, bI, cI.
P
P
1 2
3
2
P
2
1
3
1
3
Figura 1.1 Tres estructuras sobre el mismo universo:
Lógica Matemática
Página 49
Formalmente, siempre se requiere un universo U, una interpretación I y una
correspondencia A entre variables y elementos.
I = <U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}; cI = 1>
Entonces aplicando la definición de satisfacción de una fórmula:
(Pc)I,A = 1 sii cI,A ∈ PI sii CI ∈ PI sii 1 ∈ {1, 3}
Luego Pc resulta verdadera sobre esta estructura. Sobre toda estructura en que
Pc resulte verdadera ¬Pc resulta falsa. Y viceversa.
Ejemplo sobre universo figura 1.1
<U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}>, con A(x) = 3
La fórmula Px es verdadera sobre esta estructura. Aplicando la definición de
satisfacción de una fórmula:
(Px)I, A = 1 sii xI, A ∈ PI sii xA ∈ PI sii 3 ∈ {1,3}
Sin embargo si variamos la asignación sobre x, en la misma estructura, se
obtiene que la sólo es falsa.
<U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}>, con A(x) = 2
Otro ejemplo
∀xPx podría leerse todos (los elementos del universo) son rubios
(cualquier otra cosa). Su valor de verdad no depende de la asignación, si todas las
asignaciones de la variable x hace verdadera Px entonces ∀xPx es verdadera.
Otro universo.
Q
P
3
1
Q
P
P¬Q
2
PQ
¬PQ
¬P¬Q
Estructura con dos predicados monádicos.
Sobre esta estructura (∃xPx) ∧ (∃xQx) se pregunta si tanto P como Q cumplen
la propiedad, pero poseen relaciones diferentes rubio y alto por ejemplo, es
equivalente a escribir (∃xPx) ∧ (∃yQy).
En la evaluación de ∃x(Px ∧ Qx) ∃x referencian al mismo elemento.
Lógica Matemática
Página 50
Conceptos semánticos básicos
Def. 2.12 Satisfacibilidad. Una fórmula es satisfacible si existe algún universo,
interpretación y asignación donde sea verdadera. Así un conjunto de fórmulas (Ф1,
Ф2,… Фn) son satisfacibles si existe algún universo, interpretación y asignación donde
coinciden todas en ser verdaderas (LPs se podría decir, si la conjunción de todas las
fórmulas son verdaderas).
Def. 2.13 Validez. Una fórmula es verdadera si en una estructura <U, I> se
satisface ФI, A en el mismo. Así una fórmula Ф es válida en esa estructura si satisface ∀
I, A.
Def. 2.14 Consecuencia. Una fórmula Ф es consecuencia lógica de fórmulas Θ sii
en toda estructura <U, I> y asignación en que todas las fórmulas Θ son verdaderas
también lo es Ф, Θ ⊨ Ф. Y puede que se satisfaga en alguno más.
Si Θ es insatisfacible cualquier fórmula es consecuencia lógica de ella.
Def. 2.15 Equivalencia. Dos fórmulas son equivalentes Ψ y Ф sii Ф ⊨ Ψ y Ψ ⊨
Ф, es decir, si se satisface exactamente para las mismas asignaciones de una estructura
<U, I>.
2.3 Deducción natural
En los lenguajes proposicionales se tenían la gran ventaja de poder verificarse
mediante tablas de verdad las cuestiones semánticas básicas sobre fórmulas. Ventaja
en los lenguajes de predicados de primer orden no existe por la dificultad de averiguar
extensivamente los valores de verdad de las fórmulas frente a un universo U dado.
Otro tema era su complejidad temporal.
Consideraciones previas.
Una fórmula de particulariza cuando se realiza una sustitución de una variable
que puede coger cualquier valor del universo, por una constante, es decir, por un solo
valor de este universo y que es asignable a la variable.
Todos los sistemas deductivos hacen uso de esta particularización que toma la
forma sintáctica de una sustitución, y gracias a unas restricciones impuestas se
mantiene un buen comportamiento semántico de la expresión obtenida: se mantienen
los valores de verdad necesarios, se produce una consecuencia.
2.3.1 cuantificadores universales
Lógica Matemática
Página 51
Primer ejemplo simple de una deducción natural en LPPO de una fórmula
obtenida de la inferencia de una fórmula de LP.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P ⟶ q Premisa ⊢ p⟶ r
Q ⟶ r Premisa
q
Suposic
p
E⟶ 1,3
r
E⟶2,3
p
I⟶4,5
Pero no puede ⊢ de
fórmulas en el que el
cuantificador posea a
todo el ámbito de
fórmulas unidas con
conectivas binarias.
∀x(Px ⟶ Qx)
∀x(Qx ⟶ Sx)
∀x(Px ⟶ Sx)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
∃xPx ⟶ ∀yQy Premisa ⊢ ∀xPx⟶ ∀zSz
∀yQy ⟶ ∀zSz Premisa
∃xPx
Suposic
∀yQy
E⟶ 1,3
∀zSz
E⟶2,3
∃xPx ⟶ ∀zSz
I⟶4,5
Es preciso abrir nuevas reglas de inferencia.
Abrir. Las fórmulas cuantificadas (eliminarlas)
Aplicar las reglas de inferencia proposicionales
Cerrar. Las fórmulas resultantes (introducir cuantificadores)
Reglas de introducción y eliminación.
Eliminación.
Es muy intuitivo, una fórmula universal ∀xPx puede particularizarse en
cualquier momento. Tan sólo que el término sustituyente sea libre para x en Ф. De ahí
∀xPx ⊨ Pa.
∀xФ
∀xE
Ф[x/t]
El termino sustituyente puede ser de cualquier tipo de los símbolos propios de
un lenguaje L(R, F, C).
Ejemplo
∀x(Qx ∧ ∃xRxx)
∀xE
Qa ∧ AxRxx
Se han sustituido todas las apariciones libres de la sólo (fuera del ámbito del
cuantificador, pues se buscan en sus subfórmulas) de x por la constante a.
Una fórmula como ∀x(Qx ∧ ∃xRxx) conviene escribirla como su equivalente
∀x(Qx ∧ AyRyy), pues la instanciación sobre x en el ámbito de ∀x sólo afectan a las
Lógica Matemática
Página 52
apariciones libres de la subfórmula sin cuantificar. Es un mero proceso de aclaración
de fórmulas. Podría realizarse sin la sustitución σ [x/y].
Introducción a los cuantificadores universales.
Esta instanciación se realiza para generalizar un caso particular, como puede
ser una constante. Toda la interpretación de la fórmula cuantificada siempre incluirá
entre sus líneas o interpretaciones la que designa la fórmula particularizada.
La generalización se produce sustituyendo todas las apariciones de la
constante (a) por una variable (x) y ligando esta, anteponiendo el cuantificador ∀ con
la var sustituyente ∀x.
a
.
.
Ψ[x/a]
∀xΨ
∀xI
La caja no se abre porque se haga una sustitución, sino que indica que se ha
producido una particularización que tras un determinado desarrollo o deducción se
vuelve a generalizar para ese resultado obtenido.
Se particulariza una fórmula para trabajar sobre ella en casos concretos que
permiten volver a generalizar el resultado o deducción obtenida.
2.2.3 Cuantificadores existenciales
Introducción
Ф[x/a]
∃xI
∃xФ
Si un elemento a tiene cierta propiedad, se puede afirmar que existe algún
elemento que la tiene.
Eliminación No directo
Si algún elemento tiene cierta propiedad, no se puede derivar que un elemento
concreto la tenga. Regla.
A Ф[x/a]
Lógica Matemática
Suposic
Página 53
.
.
Ψ
Ψ
∃xE
Se hace suposición de que un determinado elemento tiene la propiedad, por
ejemplo a. esta constante no debe aparecer en ninguna fórmula previa. Tampoco se
exportará fuera de este ámbito. Ψ no la tiene. Es específica de la suposición y usos
externos de la caja pueden traer confusiones.
2.4 Tablas semánticas
Son los tableaux de LPPO. Son similares.
2.4.1 Notación Uniforme. Para expandir las ramas del tableau, deben usarse
notaciones uniformes que procedan de la descomposición de las fórmulas utilizando
unas reglas de descomposición y por tanto de expansión.
En LPPO se introducen además de las dos reglas de inferencia de LP α y β, dos nuevas
reglas más, que son γ y δ. ∀x y ∃x respectivamente. Así toda fórmula en este sistema
es (intrínsecamente) conjuntiva (α), disyuntiva (β), universal (γ) o existencial (δ).
2.4.2 Reglas de expansión γ y δ
Tanto en γ (∀x) como δ (∃x) la expansión aporta un solo nodo, la subfórmula
inmediata ∀xRx Rx.
Parámetros PAR
Cada lenguaje de LPPO fija sus propias constantes y funciones.
La demostración sobre fórmulas en LPPO suelen requerir, como herramientas,
el uso de constantes auxiliares (parámetros) que son extensiones del determinado
lenguaje L que se esté usando. Así las demostraciones usan este lenguaje extendido
LPar.
Los sustituyentes en este lenguaje LPar serán parámetros o términos cerrados,
no variables.
Reglas de expansión de δ
Son del tipo ∃xФ ó ¬∀xФ. Su expansión es un único nodo de la forma Ф[x/t] ó
¬∀[x/t] donde sólo se han sustituido las apariciones libres de la subfórmula producida.
*P es un parámetro.
Lógica Matemática
Página 54
El parámetro añadido debe ser nuevo en el árbol (o rama).
Reglas de expansión de γ
Son del tipo ∀xФ ó ¬∃xФ. Su expansión es un único nodo de la forma Ф[x/t] ó
¬Ф[x/r]. t es un término. Este debe ser cerrado, es decir, no debe incluir variables, sólo
constantes o funciones de L o constantes auxiliares.
La particularización de un universo no requiere un trato especial, pues
cualquier elemento pertenecerá al universo.
Ejemplo de tableau
∀xPx ∨ ∃yQy ⊢ ∃y∀x(Px ∨ Qy)
1. ∀xPx ∨ ∃yQy
2. ¬ (∃y∀x(Px ∨ Qy))
3. ¬∀x (Px v Qx)
4. ¬(Pb v Qa)
Insatisfacible, por tanto
la deducción propuesta
es correcta.
5. ¬Pb
6. ¬Qa
7. Pb v ∃yQy
8. Pb v Qa
9. Pb
⊥,5
10. Qa
⊥,6
2.5 Resolución
Toda fórmula de primer orden admite infinitas fórmulas equivalentes.
2.5.1 Forma prenexa
Es encontrar una fórmula equivalente que tenga todos los cuantificadores al
principio de ésta.
Ejemplo
Lógica Matemática
Página 55
(∀xPx ∧ ∃yQy) ⟶ ∀t∃wRtw Ξ ∃x∀y∀t∃w((Px ∧ Qy) ⟶ Rtw) Ξ
∀t∃x∀y∃w(¬(Px ∧ Qy) v Rtw)
Teorema del reemplazo. Permite calcular sintácticamente fórmulas
equivalentes cambiando una subfórmula por otra equivalente, es decir, sólo una parte
por otra equivalente.
Tabla de equivalencias
Siempre que la fórmula no prenexa no contenga variables libres de la variable
del cuantificador prenexado.
∀xΘ ∧ Ψ Ξ ∀x (Θ ∧ Ψ)
También para la conmutativa Ψ ∧ ∀xΘ Ξ ∀x (Θ ∧ Ψ)
∀xΘ v Ψ Ξ ∀x(Θ v Ψ)
∃xΘ ∧ Ψ Ξ ∃x (Θ ∧ Ψ)
∃xΘ v Ψ Ξ ∃x(Θ v Ψ)
Otras:
Introducir negación más la Ξ de De Morgan
¬∀xΘ Ξ ∀x¬Θ
, ¬∃xΘ Ξ ∃x¬Θ
Renombrar variables
∀xΘ Ξ ∀yΘ [x/y]
, ∃xΘ Ξ ∃yΘ [x/y]
Permutar cuantificadores del mismo tipo
∀x∀yΘ Ξ ∀y∀xΘ
, ∃x∃yΘ Ξ ∃y∃xΘ
A veces ocurre que el significado intrínseco de un cuantificador no es el que
aparece. Ocurre como con las conectivas binarias, cambian bajo el efecto de una
negación. Así si el cuantificador esta en el ámbito de una negación y siempre que no
existan más variables iguales de su ámbito su significado cambia. Como ocurre con los
condicionales.
∀xΘ ⟶ Ψ Ξ ∃x (Θ ⟶ Ψ)
Y su conmutación
∃xΘ ⟶ Ψ Ξ ∀x (Θ ⟶ Ψ)
2.5.2 Funciones de Skolen
La derivación por resolución requiere introducir, no sólo parámetros
(Constantes auxiliares) sino también funciones auxiliares que se denominan
Lógica Matemática
Página 56
constantes o funciones Skolen. Su elección se denomina Skolemización de una
fórmula.
Se utiliza para eliminar cuantificadores existenciales.
Objetivo. A partir de fórmulas cuantificadas existencialmente, generar fórmulas
tan satisfacibles como la inicial, no necesariamente equivalente.
Es similar a la eliminación de cuantificadores existenciales en deducción
natural.
∃x∀yRxy Skolemización ∀yRay
Concepto de consecuencia por resolución.
Para confirmar que una fórmula es consecuencia de otra u otras, niéguela e
incorpórela entre estas, escriba todas en forma clausulada FC, es decir, en FNC, y
determine si el conjunto es insatisfacible por resolución.
La Skolemización forma parte del proceso de clausulación. La fórmula
clausulada resultante no es equivalente sino igualmente satisfacible.
Ejemplo
∃x∀yQyx Ξ ∀yQya Ξ Qba
Función Skolem
∃x∀yQyx Ξ ∀yQyf(xy)
Las constantes de skolem se pueden interpretar como una función skolem de 0
argumentos, es decir, se producen cuando no hay cuantificadores universales delante
del existencial.
2.5.3 Forma clausulada FC
Dada una fórmula cualquiera Ф, se puede obtener una fórmula prenexa
equivalente ФPRENEX. Dada una fórmula cuantificada existencialmente, mediante
constantes y funciones Skolem se puede obtener una PRENEX sin ellos ФPRENEXSKO que
resulta igualmente satisfacible que no equivalente.
Pasos para la clausulación.
1.
2.
3.
4.
Prenexación de los cuantificadores
Eliminación de las conectivas binarias no clausuladas
Introducción de de las negaciones necesarias
Prenexación de los cuantificadores en la cabecera de la fórmula.
Prenexar preferentemente los cuantificadores existenciales
Lógica Matemática
Página 57
5. Eliminación de existenciales mediante Skolemización
6. Las cláusulas se independizan de los cuantificadores universales
Una cláusula C se define como la disyunción de literales y la forma clausulada
FC está compuesta por la conjunción de cláusulas.
C = {l1 v l2 v… v ln}
FC = {C1 ∧ C2 ∧… ∧ Cn } ⟹ FC = {{l1vl2v…vln}1, {l1vl2v…vln}2,…{l1vl2v…vln}n}
Al llegar a FNC las variables comunes en distintas cláusulas se les debe
independizar renombrándolas.
Finalmente prescindir de los cuantificadores universales y presentar ya en
forma clausulada, definir cada cláusula como el conjunto de sus literales.
2.5.4 Unificación
Principio de resolución.
Los literales que se contradicen pueden eliminarse de la unión de dos cláusulas,
garantizando que los literales que quedan de la unión son igualmente satisfacibles.
(p ∨ ¬r ∨ t) (r ∨ ¬q)
⟹
{p, ¬r, t}
⟹
{r, ¬q}
También satisfacible
{p, t, ¬q}
También puede aceptarse este principio en los LPPO, pero no se cumpliría si
alguno de los términos del literal fuese distinto, ¬Rba ≠ Rca. Sin embargo si el término
distinto fuese una variable por sustitución podría obtenerse un literal
adecuado, {¬Rba}, {Rxa} ⟹ Rba, obtenida por instanciación [x/b].
A este proceso de instanciación para obtener la cláusula adecuada se denomina
unificación.
Si por resolución se obtiene la cláusula vacía, se puede afirmar que el conjunto
de cláusulas iniciales es insatisfacible. Proceso sintáctico que sirve para la búsqueda de
consecuencias.
Unificadores
Primero dos literales con distinto significado (P y Q) no son unificables. La
unificación sólo trabaja sobre los términos dentro de un predicado. No usa los
conceptos de resolución.
Lógica Matemática
Página 58
Debe unificarse término a término mediante sustitución.
Θ1 = P(x, f(g(c)), x)
Θ2 = P(b, f(y), b)
Θ1 : σ3 = σ1 σ2 = {x/b, y/g(c)}
Θ1 = Θ2 ; unificadas
Debe sustituirse siempre la variable por el subtérmino máximo, es decir, la var
por la que más subtérminos posea.
Ejemplo
1º inst σ1 = {x/g(y)}
Θ1 = f(g(y)), h(g(g(y))
Θ2= f(g(y)), h(z)
Θ1 = f(x, h(g(x))
Θ2= f(g(y)), h(z)
2º inst σ2 = {z/ g(g(y))}
Θ1 = f(g(y)), h(g(g(y))
Θ2= f(g(y)), H(g(g(y)))
Unificación
Unificación mediante sustitución
σ3 = σ1 σ2 = [x/g(y), z/g(g(y))]
Recapitulación; casos.
Var – const
Var1 – var2
Func – func
Var – func
σ = {var/const}
σ = {var1/const, var2/const} / σ ={var1/var2}
σ = {varfunc1/const, varfunc2/const}
σ = {var/func}
También tiene funcionalidad para su conmutación.
Tipos de instanciación en la unificación.
σ inst de var por const
σ = {x/a, y/a}
T inst de var por func
σ = {x/h(z), y/h(z)}
μ inst de var por var
σ = {x/y}
la instanciación μ es el unificador más general, porque particulariza lo mínimo
posible para que ambos términos coincidan.
La particularización a una constante para las dos variables a unificar en una y
otra fórmula, también produce la unificación, pero es una unificación más fuerte que la
necesaria. Aunque digo yo, a la hora de aplicar la resolución lo mismo da pues se
resuelve igualmente, así pues, debe buscarse la unificación que resulte más cómoda.
Lógica Matemática
Página 59
En la sustitución, se aplica σ en todos y cada uno de los términos, en cada uno
de los predicados existentes, pero en algunos suplementos no afecta.
P(t1, t2,… tn)
P(t´1, t´2,… t´n)
σ0 = {…}
P{ P(t1σ, t2σ,… tnσ)}
P{ P(t´1σ, t´2σ,… t´nσ)}
Estas sustituciones se
realizan
hasta
conseguir la unificación
σ0 = σ0 σ1 ⟹ …
unificación
⟹ σ0 σ1 … σn
Las fórmulas iniciales se clausulan y sobre el método de resolución (FC y
numerada), se aplica sobre la marcha y simultáneamente la unificación y la resolución.
Si es muy complejo unificar primero.
Ampliación de conceptos
∃es una extensión de ∧ y ∃ una de ∨ para dominios no finitos.
∀xPx = Pa ∧ Pb ∧ Pc…
∃xPx = Pa ∨ Pb ∨ Pc…
También los cuantificadores pueden expresarse así.
∀x∀y Ξ ∀xy
∃x∃y Ξ ∃xy
Procedimiento de interpretación
Hasta ahora he visto dos procedimientos.
Iteración de la asignación de cada uno de los ámbitos de los
cuantificadores que aparecen en la fórmula.
Averiguar el valor de verdad de cada una de sus subfórmulas y realizar
lo que sería una tabla de verdad, utilizando estos valores como
asignaciones posibles de cada componente y estudiar el valor que
ofrecen estos valores con las conectivas binarias que relacionan las
fórmulas.
Ejemplo
Lógica Matemática
Página 60
… A(n)
.
.
.
A(x)
1
2
3
∀xPx
1
1
0
∀xQx
1
0
0
Θ
∀xPx ∧ ∀xQx
1
0
0
Ψ
∀xPx∨∀xQx
1
1
0
χ
∀xPx⟶∀xQx
1
0
1
…
.
.
.
Θ es verdadera para A(x) = 1
Ψ es verdadera para A(x) = 1, 2
χ es verdadera para A(x) =1, 3
Tenemos un conjunto de fórmulas en un universo dado. Si alguna de estas
fórmulas no es satisfacible para una determinada interpretación, convertirá en
insatisfacción cualquier conjunto de fórmulas interpretadas sobre ese universo, que
contenga a esa fórmula.
Ix =<Ux>
X2 = insatisfacible en Ix ⟹ {x1, x2, x3,… xn}, es insatisfacible
Leyes de lógica proposicional; expandible a LPPO
Simplificación ⟹ (p ∧ q) ⟶ p; p ⟶ (p ∨ q)
Transposición ⟹ (p ⟶ q) ⟷ (¬q ⟶ ¬p)
En la búsqueda de equivalencias o consecuencias en las fórmulas-enunciado de
los problemas, usar métodos deductivos, el mejor resolución, pero también usar
deducción natural.
En una interpretación es lo mismo:
v(¬Θ) = ¬v(Θ)
v(Θ * Ψ) = v(Θ) * v(Ψ)
Modelo. Interpretación que satisface una fórmula.
Propiedades de satisfacibilidad
Si Θ es satisfacible : Θ = {Ф1, Ф2,… Фn}
o Si se elimina un Фk, será satisfacible
o Si se añade una tautología, será satisfacible
o Si se añade una contradicción, será insatisfacible
o Si se añade una fórmula satisfacible no se sabrá la
satisfacibilidad del conjunto resultante
Si es insatisfacible
o Se añade cualquier fórmula, será insatisfacible
Lógica Matemática
Página 61
o Si se elimina una tautología, Será insatisfacible
o Si se elimina alguna fórmula, podrá ser satisfacible
Lógica Matemática
Página 62
0
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