Espacio Vectorial

ÁLGEBRA VECTORIAL
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial es una tripla
1. Un grupo abeliano
vectores.
conformada por:
, los elementos del cual denominamos
2. Un cuerpo
escalares.
3. Una operación externa
, los elementos del cual denominamos
Propiedades
Entre escalares y vectores que cumple las siguientes propiedades:
para cualesquiera escalares
y cualesquiera vectores
Es costumbre denotar el espacio vectorial
también se dice que
es un
.
simplemente por
;
-espacio vectorial.
SUBESPACIOS VECTORIALES
Dado un espacio vectorial
sobre un cuerpo
y un subconjunto no
vacío de , resulta interesante preguntarse si bajo la misma adición
de vectores y la misma acción de escalares sobre vectores, conforma un
espacio vectorial sobre
subespacio del espacio
. En caso afirmativo, se dice que
. Esta relación se denota por
es un
. Según esta
definición, si se desea establecer que
cumplimiento de la siguiente proposición:
es necesario verificar el
Proposición: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo
y sea un
subconjunto no
de . Entonces,
si y sólo si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. Si
2. Si
, entonces
y
, entonces
A continuación se verá que
.
puede describirse en términos de
combinaciones lineales de elementos de . Sean
del espacio
, una combinación lineal de estos elementos es un vector
de la forma
del cuerpo
elementos
, donde
son escalares
. Como lo indica la siguiente proposición:
Proposición: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo
y sea un
subconjunto no
de . Entonces,
coincide con el conjunto de
todas las posibles combinaciones lineales realizadas con elementos de .
Más exactamente,
.
Esta presentación permite identificar a
de . Si
como la envolvente lineal
es finito, entonces:
BASES
En cada espacio vectorial existen ciertos subconjuntos conocidos como
bases; la importancia de estos subconjuntos radica en que cada
elemento del espacio puede ser representado de manera única a través
de sus elementos.
Sea
un espacio vectorial sobre un cuerpo
vacío de
, se dice que
y
un subconjunto no
es un sistema de generadores para
si la
envolvente lineal de
coincide con
, es decir,
se dice finitamente generado si existe en
generadores.
Por otra parte, sea
que
. El espacio
un subconjunto finito
un subconjunto finito de
de
, se dice
es un conjunto de vectores linealmente independientes (L I) si la
única combinación lineal nula con los elementos de
es a través de
escalares nulos. Más exactamente, los vectores de
son linealmente
independientes si para cualesquiera escalares
que
se cumple
Por definición, se asume que el conjunto vacío es (LI). Un subconjunto
cualquiera de es (LI) si cada subconjunto finito de
linealmente dependiente (LD) si no es L I.
es (LI).
es
La siguiente proposición reune algunas propiedades básicas sobre
dependencia e independencia lineal.
Proposición: Sea




un
-espacio y
es L D si y solo si existe
Si
Si
Si
tal que
, donde
.
entonces es L D.
es L I entonces cada subconjunto de es L I.
es finito y LI con
elementos, entonces cada conjunto de
elementos de
es L D.
Ya se puede presentar la noción de base.
cumplen dos condiciones:
1.
2.
. Entonces
es una base para
si se
es L I.
Una de las principales caracterizaciones del concepto de base se
establece en la siguiente proposición.
PROPOSICIÓN: Sea
es una base de
un -espacio y un subconjunto no vacío de .
si y sólo si cada elemento
tiene una
representación única (salvo sumandos nulos) como combinación lineal
de elementos de en la forma:
Teorema: Todo espacio vectorial posee al menos una base.
En general, un espacio vectorial tiene infinitas bases. En efecto, si el
espacio
es no nulo (si
cualquiera de
en
y
es nulo su única base es
es un elemento de
, con cada
) y si
es una base
, entonces cambiando
, se obtienen bases distintas en
por
. Cuando
es infinito esta colección de bases es infinita. En realidad, el único
espacio con base única es el espacio nulo.
Proposición: Si un espacio vectorial
todas sus bases son finitas.
Proposición:
Sea
un
bases
finitas
dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo
; una
y
espacio
posee una base finita, entonces
vectorial
. Entonces
con
.
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean
y
transformación lineal de
en
es una función
que satisface dos condiciones:


para cualesquiera vectores
también que
-lineal de
y cualquier escalar
es un operador lineal de
en
en
.
Ejemplo1. La función
es una transformación lineal.
definida por
, o que
. Se dice
es una función
Ejemplo2. La derivación
del espacio
puede entenderse como un operador lineal
de funciones derivables en
en el espacio
:
Ejemplo3. La integración puede considerarse como un operador lineal
del espacio
en
:
Ejemplo4. Dados dos espacios vectoriales
y
, la función nula
es una transformación lineal, denominada la transformación nula. De
igual manera, la función idéntica
es también una transformación lineal, y se le conoce como la idéntica de
.
Ejemplo5. Sea
entonces la función
un real fijo y
el espacio de polinomios reales,
es una transformación lineal.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el conjunto
de números reales positivos se definen las
siguientes operaciones:
(el producto corresponde a la multiplicación corriente de números reales
positivos)
(
es un número real arbitrario y
Investigar si
reales.
2. Sea
)
es un espacio vectorial sobre el cuerpo de números
el conjunto de todas las sucesiones de números reales
que satisfacen la condición
, para
Investigar si
es un subespacio vectorial del espacio vectorial
todas las sucesiones reales.
de
3. Sean
números reales diferentes fijos. Investigar si los siguientes
polinomios son linealmente independientes:
4. Sea
el espacio de polinomios reales de grado
que cualquier subconjunto
de
contiene un único polinomio de grado
5. Sea
subconjunto
dimensión
. Demostrar
que para cada
, constituye una base de
el espacio de polinomios reales de grado
de
polinomios
que
satisfacen
y sea
la
. Demostrar que
es un subespacio de
Mostrar al menos una base de
.
el
condición
de
6. Completar el siguiente sistema de polinomios hasta una base de
:
OPERACIONES CON VECTORES
SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores u=(x, y) y v=(x´, y´) en R2, definimos su suma
vectorial , o simplemente su suma, como el vector u + v que resulta de
sumar coordenada a coordenada:
u + v = (x + x´, y + y´)
es decir,
(x, y) + (x´, y´) = (x + x´, y + y´)
Nótese que en cada coordenada, la suma que se usa es la suma usual
de números reales. Así que al signo “+” de suma le hemos ampliado el
espectro de “saber sumar números” a “saber sumar vectores”; pero con
una receta muy simple: “coordenada a coordenada”. Por ejemplo,
(3, 2) + (−1, 1) = (2, 3)
La suma vectorial corresponde geométricamente a la regla del
paralelogramo usada para encontrar la resultante de dos vectores.
Esto es, se piensa a los vectores como segmentos dirigidos que salen
del origen, generan entonces un paralelogramo, y el vector que va del
origen a la otra esquina es la suma. También se puede pensar como la
acción de dibujar un vector tras otro, pensando que los vectores son
segmentos dirigidos que pueden moverse paralelos a sí mismos.
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Dados un vector u = (x, y) ∈ R2 y un número t ∈ R se define la
multiplicación escalar t u como el vector que resulta de multiplicar cada
coordenada del vector por el número:
t u = (t x, t y)
Nótese que en cada coordenada, la multiplicación que se usa es la de los
números reales.
La multiplicación escalar corresponde a la dilatación, con tracción y/o
posiblemente al cambio de dirección de un vector.
Veamos. Es claro que:
2u = (2x, 2y) = (x + x, y + y) = u + u
así que 2u es el vector “u seguido de u” o bien, “u dilatado a su doble”.
De la misma manera que 3u es un vector que apunta en la misma
dirección pero de tres veces su tamaño. O bien, es fácil deducir que
(1/2)u, como punto, esta justo a la mitad del camino del origen
0 = (0, 0) a u. Así que (t u) para t > 1 es, estrictamente hablando,
una dilatación de u, y para 0 < t < 1 una contracción del mismo. Por
último, para t < 0, (t u) apunta en la dirección contraria ya que, en
particular, (−1)u = −u es el vector que, como segmento dirigido, va
del punto u al 0 (puesto que u+(−u)= 0) y el resto se obtiene como
dilataciones o contracciones de −u.
No está de más insistir en una diferencia esencial entre las dos
operaciones que hemos definido. Si bien, la suma vectorial es una
operación que de dos ejemplares de la misma especie (vectores) nos da
otro de ellos; la multiplicación escalar involucra a dos objetos de
diferente índole, por un lado al “escalar”, un número real, y por el otro a
un vector, dando como resultado un nuevo vector.
Estas definiciones se extienden a Rn de manera natural. Dados dos
vectores x=(x1, . . . ,xn) y y=(y1, . . . , yn) en Rn y un número real
t ∈ R, defínanse la suma vectorial (o simplemente la suma) y el
producto escalar como sigue:
x + y = (x1 + y1, . . . ,xn + yn)
t x = (t x1, . . . , t xn) .
Las propiedades básicas de la suma vectorial y la multiplicación escalar
se reúnen en el siguiente teorema, donde el vector 0 = (0, . . . , 0) es
llamado vector cero que corresponde al origen; y, para cada x ∈ Rn, el
vector −x = (−1)x se llama inverso aditivo de x.
Teorema.- Para todos los vectores x, y, z ∈ Rn y para todos los
números s, t ∈ R se cumple que:
i) (x + y) + z = x + (y + z)
ii) x + y = y + x
iii) x + 0 = x
iv) x + (−x) = 0
v) s(t x) = (st)x
vi) 1x = x
vii) t (x + y) = t x + t y
viii) (s + t) x = s x + t x
PARALELISMO
Dados dos vectores u,v ∈ R2 distintos de 0, diremos que u es paralelo
a v, que escribiremos ukv, si existe un número t ∈ R tal que u=tv.
PRODUCTO ESCALAR
Dados dos vectores u=(u1, u2) y v=(v1, v2), su producto interno
(también conocido como producto escalar) es el número real:
u · v = (u1, u2) · (v1, v2) = u1v1 + u2v2
En general, en Rn, se define el producto interior (o el producto punto)
de dos vectores u=(u1, ..., un) y v=(v1, ..., vn) como la suma de los
productos de sus coordenadas correspondientes
Así, por ejemplo:
(4, 3) · (2, −1) = 4 × 2 + 3 × (−1) = 8 −3 = 5,
(1, 2, 3) · (4, 5, −6) = 4 + 10 − 18 = −4
Obsérvese que el producto interior tiene dos vectores (u, v ∈ Rn) y nos
da un escalar (u · v ∈ R); no debe confundirse con la multiplicación
escalar, que de un escalar y un vector nos da un vector, excepto en el
caso n=1 en el que ambos coinciden con la multiplicación de los reales.
Teorema.- Para todos los vectores u,v,w∈Rn, y para todo número t∈R
se cumple que:
i) u · v = v · u
ii) u · (t v) = t (u · v)
iii) u · (v + w) = u · v + u · w
iv) u · u ≥ 0
v) u · u = 0 ⇔ u = 0
NORMA
Corresponde a la distancia del punto al orígen.
Dado un vector v ∈ Rn, su norma (o magnitud) es el número real:
|v|= √v · v
de tal manera que la norma es una función| |: Rn → R.
Como v·v≥0, Se tiene entonces la siguiente fórmula que es una
definición equivalente de la norma
|v|2 = v · v
En R2 la norma se escribe, con coordenadas v=(x, y), como
|v|2 = x2 + y2
Entonces |v| corresponde a la distancia euclidiana del origen al punto
v = (x, y), pues de acuerdo al Teorema de Pitágoras, x y y son lo que
miden los catetos del triángulo rectángulo con hipotenusa v. Aquí es
donde resulta importante que los ejes coordenados se tomen
ortogonales, pues entonces la fórmula para calcular la distancia
euclidiana al origen a partir de las coordenadas se hace sencilla.
En R3, con coordenadas v=(x, y, z), la norma se escribe
|v|2 = x2+ y2 + z2
que de nuevo, usando dos veces el Teorema de Pitágoras y que la nueva
dirección z es ortogonal al plano x, y , corresponde a la magnitud del
vector v.
Las propiedades básicas de la norma se resumen en el siguiente
teorema.
Teorema.- Para todos los vectores v, u ∈ Rn y para todo número real
t ∈ R se tiene que:
ÁNGULO ENTRE VECTORES
Podemos usar coordenadas polares para definir el ángulo entre vectores
en general.
Dados x y y, dos vectores no nulos en R2, sean (α, |x|) y (β, |y|) sus
coordenadas polares respectivamente. El ángulo de x a y es
Obsérvese que el ángulo tiene dirección, ya que claramente
Pues
corresponde al movimiento angular que nos lleva de
la dirección de x a la de y, y
es justo el movimiento
inverso. Así que podemos resumir diciendo que las coordenadas polares
de un vector (recuérdese que al aplicar el término ya suponemos que es
no nulo) es la pareja
Con mucha frecuencia van a aparecer ángulos no dirigidos, pensados
como un sector del círculo unitario sin principio ni fin determinados. Para
ellos usaremos la notación ang (x, y) (sin la flechita), llamándolo el
ángulo entre x y y.
Si tomamos dos vectores unitarios en S1, estos parten al círculo en dos
sectores, uno de ellos es menor que medio círculo y ese es el ángulo
entre ellos. Asi que debemos pedir que
0 ≤ ang (x, y) ≤ π
Y es claro que escogiendo a α y a β (los ángulos de x y y,
respectivamente) de manera adecuada se tiene que:
ang (x, y)= |β − α| ∈ [0, π]. Así que, por ejemplo, ang (x, y) = 0
significa que x y y apuntan en la misma dirección, mientras que
ang (x, y) = π significa que x y y apuntan direcciones contrarias, y
ang (x, y) = π/2 cuando son perpendiculares.
Ejercicio.- Cuál es el ángulo de x a y, cuando:
a) x = (1, 0), y = (0, −2)
b) x = (1, 1), y = (0, 1)
b) x =(√3, 2), y = (1, 0).
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=T00R8jv
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