Métodos de la Fısica Matemática 2 Ejercicios Resueltos Métodos de

Métodos de la Fı́sica Matemática 2
Ejercicios Resueltos
Métodos de la Fı́sica Matemática 2
Cuatro Ejercicios Resueltos Series de Fourier
1. ¿ cuál de las siguientes funciones puede ser expandida en serie de Fourier en el rango indicado ?
1
1
1
1
p
−∞<x<∞
x sen
tan x − ∞ < x < ∞
− <x<
x
π
π
|sen x|
Solución: Para que una función pueda ser expandida en Series de Fourier debe cumplir con las condiciones de
Dirichlet. Vale decir
a) La función debe ser periódica
b) La función debe ser univaluada, contı́nua, excepto quizá, en un número finito de puntos en los
cuales puede ser discontı́nua y esas discontinuidades deben ser finitas
c) La función debe tener un número finito de máximos y mı́nimos en un perı́odo
d ) La integral de |f (x)| en un perı́odo debe ser finita
Entonces:
−∞<x<∞
tan x
Es periódica, pero sus discontinuidades son infinitas y la integral de |f (x)| diverge. No cumple
con la segunda y cuarta condición de Dirichlet
1
p
|sen x|
−∞<x<∞
Es una función periódica con perı́odo π. Si bien lı́mx→nπ |sen x|−1/2 → ∞ esa discontinuidad no
es infinita. Cuando x ≈ 0 ⇒ |sen x|−1/2 ≈ |x|−1/2 y por lo tanto su módulo es integrable. Por
lo tanto |sen x|−1/2 puede ser expandida en Series de Fourier
x sen
1
x
−
1
1
<x<
π
π
Es periódica por construcción, acotada, e integrable en el perı́odo. Sin embargo, alrededor de x 0
oscila, generando un número infinito de máximos y mı́nimo, con lo cual no cumple con la tercera
de las condiciones de Dirichlet.
2. Encuentre los coeficientes de Fourier an y bn para la expansión de Fourier de la función f (x) = exp(x)
en el intervalo −1 < x < 1 ¿ a cuál valor convergerá esa función en el punto x = 2 ?
Solución: Como la función f (x) = exp(x) viene definida en el intervalo (−1, 1), como la obligamos a ser periódica,
tendrá perı́odo T = 2. Con lo cual x = 2 ∈ (1, 3) será equivalente a x = 0 ∈ (−1, 1) por lo tanto la
función convergerá a 1.
Por su parte, el primero de los coeficientes será
Z
Z 1
2 1
1
an =
dx exp(x) cos(nπx) = exp(x) cos(nπx)|−1 +
dx nπ sen(nπx) exp(x)
2 −1
−1
Luis A. Núñez
1
Universidad Industrial Santander
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es decir
n
an = (−1) (exp(1) − exp(−1)) + nπ
1
exp(x)sen(nπx)|−1
Z
dx n2 π 2 exp(x) cos(nπx)
−1
con lo cual
an = 2(−1)n sinh(1) − n2 π 2 an
1
−
⇒ an =
2(−1)n sinh(1)
1 + n2 π 2
Similarmente
2
bn =
2
Z
1
dx exp(x)sen(nπx) =
−1
bn = 0 + nπ cos(nπx)
1
exp(x)|−1
Z
1
exp(x)sen(nπx)|−1
Z
1
+
dx nπ cos(nπx) exp(x)
−1
1
−
dx n2 π 2 exp(x)sen(nπx) = 2(−1)n+1 nπ sinh(1) − n2 π 2 bn
−1
y finalmente
bn =
2(−1)n+1 nπ sinh(1)
1 + n2 π 2
3. Determine la expansión de Fourier para la función f (x) = x en el rango −π < x < π y a partir de ese
desarrollo muestre que
1 1 1
π
= 1 − + − + ···
4
3 5 7
Solución: En general la expansión de cualquier función f = f (x) con 0 ≤ x ≤ T

R
2 x0 +T
dx f (x)

 a0 = T x0



∞

R x +T
2πnx
a0 X
2πnx
an cos
+
+ bn sen
con
an = T2 x00 dx f (x) cos

2
T
T

n=1



R x +T

bn = T2 x00 dx f (x) sen
2πnx
T
2πnx
T
En nuestro caso particular tenemos que f (x) = x (una función impar) y el perı́odo es T = 2π el término
a0 y los coeficientes de Fourier pares, an , se anulan. Los coeficientes impares serán
π
π
Z
1 π
2x cos(nx) 2 cos(nπ)
(−1)n+1
sen (nx) bn =
dx x sen (nx) =
−
=
−
=
2
π −π
πn2 −π
πn
n
n
−π
y la serie de Fourier quedarı́a
∞
X
(−1)n+1
sen (nx)
x=2
n
n=1
∞
π
1 1 1
π X (−1)p+1
⇒
=
sen
(2p
−
1)
= 1 − + − + ···
|{z} 4
2p
−
1
2
3 5 7
π
p=1
x= 2
4. Expanda en series de Fourier la siguiente expresión
x
0<x≤π
f (x) =
−x
−π ≤ x ≤ 0
Luis A. Núñez
2
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Figura 1: Función Periódica
Solución. Tal y como podemos apreciar en la figura 1 hemos hecho periódica la función f (x) y su
expansión en series de Fourier vendrá dada por
∞ a0 X
2πjx
2πjx
f (x) =
+
aj cos
+ bj sen
con T el perı́odo de f (x)
2
T
T
j=1
donde los coeficientes de Fourier pueden ser escritos como
Z
Z
2 T /2
2 T /2
ak
cos kx
a0 =
dx f (x);
dx
=
f (x)
bk
senkx
T −T /2
T −T /2
con k = 1, 2, 3, · · ·
Como f (x) es par en el intervalo, bk = 0 Con lo cual nos queda que
Z
Z
Z
Z
1 0
1 π
1 0
1 π
1 − (−1)k
;
a0 =
dx (−x)+
dx x = π; ak =
dx (−x) cos kx+
dx x cos kx = −2
π −π
π 0
π −π
π 0
πk 2
es decir
f (x) =
∞ ∞
2 X 1 − (−1)k
4 X cos(2j − 1)x
π
π
−
−
cos
kx
≡
2
π
k2
2
π j=1 (2j − 1)2
k=1
las integrales son más fáciles si se explota las propiedades de simetrı́a f (−x) = f (x) y se hubiera
integrado en la mitad del perı́odo
5. Consulte los siguientes enlaces y trate de construir series de fourier con MAPLE y repetir los ejercicios
anteriores
http://www.peterstone.name/Maplepgs/fourier.html
http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=4520
http://www.tecnun.es/asignaturas/metmat/contenido/t1.htm
Luis A. Núñez
3
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