guia de funciones-aplicaciones

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Una función f: A → B, es un subconjunto de A × B, en el cual cada elemento x ∈ A
tiene a lo mas una imagen y ∈ B.
Como todo subconjunto de A × B es una relación, los términos de “dominio de
definición” y “dominio de imágenes” aparecen tanto en el estudio de las funciones
como en el de las relaciones.
Problema importante en matemática es determinar si una relación definida en
R × R, mediante una ecuación de la forma f(x,y) =0 es no una relación funcional.
La relación f= {xRy ∧ xRz ⇒ y = z , ∀x ∈ A} , donde A ≠ φ y B ≠ φ .
La relación así definida expresa una función de A en B, lo que se expresa f:
A → B.
Donde A: conjunto de las PRE-imágenes y B: conjunto de las imágenes o valores de la
función.
1.- Analizar cuales de los gráficos corresponden a relaciones funcionales,
determinando Dom yRec.
Determine además:
1.1.-la imagen de 2 según R 1
1.2.- R 5 (4)
1.3.-la preimágen de 5 según R 3
2.- considere E= { x/x ∈ N :2 < x < 5
}
F= {x / x ∈ N : 2k + 2, conk = 0,1,2,3}
Se definen. R 1 = {(3,2), (4,4), (3,8)}
R 2 = {(3,4), (4,2), (4,8)}
R 3 = {( x, y ) /( x, y ) ∈ E × F , y = 2}
2.1.-escriba cada relación por extensión
2.2.- haga un grafico sagital.
2.3.- establezca funcionalidad para cada una de las relaciones.
2.4.-determine Dom y Rec. Para cada una de ellas.
Funciones con dominio restringido: consideremos la relación R definida en
A × B,
A= {1,2,3,4}
muestra:
B= {5,6,7,8,9,10} y R= {(1,5), (2,5), (3,6)}.cuyo grafico sagital se
LA RELACION “R” REPRESENTA UNA RELACION CUALQUIERA.
Pero si ahora consideramos que .C ⊆ A; C= {1,2,3} y definimos .R’: C → B, tal que:
R’= {(1,5), (2,5), (3,69} la relación R’ redefinida en estos términos, permite transformar
una relación definida en principio de A → B, en una función que actúa en una parte de
A, que es C, sobre B.
El dominio así definido se llama: DOMINIO DE DEFINICION O DOMINIO
RESTRINGIDO.
TIPOS DE FUNCIONES: De acuerdo a las características del comportamiento de las
imágenes o de los valores de la función, estas pueden ser:
FUNCION INYECTIVA O UNO A UNO: ∀x, y ∈ Domf / f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y
(Para dos valores distintas de la preimàgenes, le corresponden también valores distintos
de la función)
la imagen al valor f(x)
FFU
UN
NC
CIIO
ON
N IIN
NV
VE
ER
RSSA
A: Devuelve la imagen.
Ejemplo:
Si f(x) = x 2 +4x
,f(1) =5
,entonces : x 2 +4x +4 = y+4 ,o sea : (x+2) 2 = y + 4
Como y= x 2 +4x
X+2 = y + 4
f −1 ( x) =
Para f
f(2)12
que equivale a : x=
,de donde :
y + 4 -2 , por lo tanto la inversa se expresa por :
x+4 −2
−1
(5) =
5+ 4 − 2 =1
y también: f −1 (12)= 12 + 4 − 2 = 2
FFU
UN
NC
CIIO
ON
N SSO
OB
BR
RE
EY
YE
EC
CT
TIIV
VA
AO
OE
EPPIIY
YE
EC
CT
TIIV
VA
A: ∀y ∈ B; ∃x ∈ A / f ( x) = y
(La función actúa sobre todo el condominio)
FUNCION BIYECTIVA: CUANDO LA FUNCION ES INYECTIVA Y
SOBREYECTIVA A LA VEZ. (UNO A UNO Y SOBRE).
¡Un caso especial de la función biyectiva es la función de primer grado que esta
representada en el plano cartesiano por un recta y tiene la forma f(x)=mx+b
,donde m se asocia a la inclinación de la recta medida con respecto al eje +OX y b
se define como el coeficiente de posición que corresponde a la ordenada de la recta
en el origen!
Algunas características de esta función se resumen en los gráficos que se
indica
estos datos tómelos como información preliminar, ya volveremos sobre el
tema y profundizaremos estos conceptos)
GUIA DE EJERCICIOS:
1.- Decida atendiendo a la definición formal de la relación funcional. ¿Cual de los
siguientes gráficos cartesianos corresponde a una función?
2.- En cada grafico decidir si corresponden a relaciones funcionales, caso contrario
redefinir funcionalidad determinando Dominio y Recorrido y clasificando en inyectiva,
sobreyectiva y biyectiva.
3.- Considere E= {x / x ∈ N : 2 < x < 8} ,en ExE se definen las relaciones:
A= {( x, y ) /( x, y ) ∈ ExE : x − y = 0}
B= {( x, y ) /( x, y ) ∈ ExE : 2 x − y = 0}
C= {( x, y ) /( x, y ) ∈ ExE : x < 2, y − 4 = 0}
D= {( x, y ) /( x, y ) ∈ ExE : x = 1, y ∈ E}
F= {( x, y ) /( x, y ) ∈ ExE : x ∈ E , y = x + 1}
Determine:
3.1.- cada una de las relaciones por extensión
3.2.-Haga un gráfico sagital de cada una de ellas
3.3.-Clasifique en relaciones funcionales si las hay.
3.4.-De las relaciones funcionales ,clasifique en sobre , inyectivas,sobreyectivas.
4.-Encuentre la redefinición de las funciones definidas en RxR. Haga un grafico
2x −1
f(x) =
g(x)=x 2 +2x
h(x)=4x-3
x+2
5.-Dada las funciones:
F(x)=4x-5 g(x) 2x+3
h(x) = x 2 +2
Determine
5.1.-La imagen de 2 según f
5.2.-La imagen de -1 según g
5.3.-La imagen de 4 según h
5.4.-La preimàgen de 10 según f
5.5.-La preimàgen de 11 según g
5.6.-La preimàgen de 18 según h
5.7.-Calcular f(g(0)+g(f(2))
5.8.-Calcular: h(f(g(1)))-2f(g(h(-1)))
5.9.-Calcular:(fog)(3)+(fogoh)(2)
6.-Encuentre el recorrido de las siguientes funciones. Y escriba la función inversa.
x −1
x +1
h(x)= x − 1
f(x)=
g(x)=
m(x)= x 2 − 1
x
2x − 4
7.-Considere las funciones de primer grado:
f(x) = 2x-3. g(x) = 3x-2
h(x) =2x+5 l(x)=1/2 x-3
7.1.-Haga un grafico parta cada una de ellas
7.2.-Determine en f(x) el valor de la abscisa para el cual la ordenada es cero.
7.3.-El valor de la preimàgen en g(x) para el cual la imagen se anula.
7.4.-Las intersecciones de la recta asociada a h(x) con los ejes coordenados.
7.5.-El coeficiente de posición de cada una de las rectas asociadas a las funciones en el
plano.
7.6.-El coeficiente angular de cada una de las rectas en el plano.
7.7.-La ordenada del punto de coordenadas P (1, Y) que pertenece a la recta. f(x)
7.8.-La abscisa del punto Q(x,2) que pertenece a la recta g(x)
7.9.-Las coordenadas del punto donde se cortan las rectas f(x) y g(x).Calcule
analíticamente y haga un grafico.
7.10.-Las coordenadas del punto de intersección de las rectas f(x) y h(x) en el plano.
Represente gráficamente.