Econometría Grado en Finanzas y Contabilidad

Esquema
5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
Econometrı́a
Grado en Finanzas y Contabilidad
Helena Veiga
Apuntes basados en el libro ”Introduction to Econometrics: A modern Approach”
de Wooldridge
Helena Veiga
Capı́tulo 5: Regresores Endógenos
Esquema
5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimadores de Variables Instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
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Capı́tulo 5: Regresores Endógenos
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5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
La endogeneidad aparece si en el modelo de regresión múltiple :
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + ... + βk xk + u,
los regresores están correlados con el error, es decir, si:
E (xj u) 6= 0 para algunos xj .
Hay tres situaciones principales en que esto puede suceder:
caso 1 No incluimos en el modelo una variable independiente
importante;
caso 2 Las variables independientes se observan con error;
caso 3 Tenemos un sistema de varias ecuaciones de regresión
simultáneas.
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5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
caso 1: Omisión de un regresor importante
Supongamos que omitimos una variable que deberı́a estar en el
modelo verdadero (o poblacional). Este es un problema de mala
especificación (subespecificación en este caso) del modelo, que
causa que los estimadores de OLS sean sesgados e inconsistentes.
La obtención del sesgo cuando se omite una variable importante es
un ejemplo de análisis de la mala especificación. Para empezar,
veamos el caso en que el modelo poblacional verdadero tiene dos
variables explicativas:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + u
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(1)
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5.1 Causas de la endogeneidad
5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
Suponemos que este modelo cumple las hipótesis clásicas y que
nos interesa principalmente β1 , el efecto parcial de x1 sobre y . Por
ejemplo, y puede ser el salario por hora (o su logaritmo), x1 la
educación, y x2 una medida de la capacidad innata del individuo.
Para obtener un estimador insesgado de β1 , tendrı́amos que
calcular la regresión de y sobre x1 y x2 (esto nos darı́a estimadores
insesgados de todos los parámetros). Sin embargo, sea por
ignorancia o porque no disponemos de datos, estimamos el modelo
excluyendo a x2 , es decir:
ỹ = β̃0 + β̃1 x1 .
Usamos el sı́mbolo ˜ en lugar de ˆ para hacer hincapié en que β̃1
se obtiene a partir de un modelo mal especificado.
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5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
Obtendremos el valor esperado de β̃1 , condicionado a los valores
muestrales de x1 y x2 . El cálculo de esta esperanza no es difı́cil,
porque β̃1 es el estimador de OLS de una pendiente. Lo importante
es que estudiamos sus propiedades cuando el modelo de regresión
está mal specificado porque hemos omitido una variable.
Pn
(x1i − x̄1 )yi
β̃1 = Pin
2
i (x1i − x̄1 )
El siguiente paso es el mas importante. Como (1) es el modelo
verdadero, podemos escribir
yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + ui .
Despues de algunos cálculos y tras tomar esperanza condicionada a
los valores de las variables independientes obtenemos
Pn
(x1i − x̄1 )x2i
E (β̃1 ) = β1 + β2 Pi n
2
i (x1i − x̄1 )
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Por P
tanto, en general, E (β̃1 ) no es igual a β1 : β̃1 es sesgado para
n
(x −x̄ )x
β1 . Pi n (x1i −x̄11 )22i es, simplemente, la pendiente de la regresión de x2
1i
i
sobre x1 , la cual se puede expresar como
x̃2 = δ̃0 + δ̃1 x1 .
Como estamos condicionando a los valores muestrales de las dos
variables independientes, δ̃1 no es aleatorio. Por tanto, podemos
escribir E (β̃1 ) como
E (β̃1 ) = β1 + β2 δ̃1 .
Esto implica quer el sesgo de β̃1 es E (β̃1 ) − β1 = β2 δ̃1 . A menudo
se llama a esto el sesgo de la variable omitida.
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5.2 Estimador de variables instrumentales
5.3 Contrastes de endogeneidad
Hay dos casos en que β̃1 es insesgado:
• Si β2 = 0, x2 no está en el modelo poblacional y β̃1 es
insesgado.
• Si δ̃1 = 0, entonces β̃1 es insesgado para β1 , incluso si β2 6= 0.
Como δ̃1 es la covarianza muestral entre x1 y x2 dividida por
la varianza muestral de x1 , δ̃1 = 0 si y solo si x1 y x2 están
incorreladas en la muestra. Por tanto, obtenemos la
conclusión importante de que si x1 y x2 están incorreladas en
la muestra, entonces β̃1 es insesgado. En otro caso, aparece la
endogeneidad y β̃1 es sesgado e inconsistente.
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Resumen del sesgo de β̃1 cuando se omite x2 :
β2 > 0
β2 < 0
corr (x1 , x2 ) > 0
sesgo positivo
sesgo negativo
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corr (x1 , x2 ) < 0
sesgo negativo
sesgo positivo
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caso 2: Errores de medida en las variables independientes
Sabemos que si en un modelo se excluye una variable importante,
por ejemplo porque no tengamos datos de ella, tenemos un
problema importante.
¿Como podemos resolver, o al menos reducir, el problema del
sesgo de la variable omitida? Una posibilidad es obtener una
variable próxima (proxy) a la variable omitida. Una variable
próxima es una que está relacionada con la variable que
deberı́amos incluir en nuestro modelo (pero que no lo hacemos).
Para ilustrar las ideas fundamentales nos basta con un modelo de
tres variables independientes, de las cuales se observan dos:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3∗ + u.
Suponemos que se dispone de datos de y , x1 , y x2 , no de x3∗ , pero
que tenemos una variable próxima a x3∗ , a la que llamamos x3 .
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5.3 Contrastes de endogeneidad
¿Que le pedimos a x3 ? Como mı́nimo, que tenga una relación con
x3∗ del tipo:
x3 = x3∗ + v3 ,
donde v3 ∼ N(0, σv2 ) y v3 está incorrelado con x3∗ y u. Por tanto, el
modelo que podemos estimar es:
y
y
y
= β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 (x3 − v3 ) + u
= β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + (−β3 v3 + u)
= β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + e,
donde e = (−β3 v3 + u). Como cov (x3 , e) 6= 0, x3 es endógena y el
estimador de OLS es sesgado e inconsistente.
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caso 3: Ecuaciones simultáneas
Es util ver, en un modelo simple, cómo una variable explicativa que
es, a la vez, explicada, está, en general, correlada con el término de
error. Esto lleva a sesgo en OLS, como ya sabemos. Sea el modelo
estructural de dos ecuaciones:
y1 = α1 y2 + β1 z1 + u1 (2)
y2 = α2 y1 + β2 z2 + u2 (3)
y supongamos que nos interesa estimar la primera ecuación. Las
variables z1 y z2 son exógenas y están, por tanto, incorreladas con
u1 y u2 . Por sencillez, hemos quitado las constantes de las dos
ecuaciones.
Para demostrar que y2 está correlada con u1 , despejamos en las
dos ecuaciones y1 e y2 en función de las variables exógenas y los
errores. Nos queda, para y2 :
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5.3 Contrastes de endogeneidad
y2 = π21 z1 + π22 z2 + v2 ,
donde π21 = α2 β1 /(1 − α2 α1 ), π22 = β2 /(1 − α2 α1 ), y
v2 = (α2 u1 + u2 )/(1 − α2 α1 ). Esta ecuación, que nos pone y2 en
función de las variables exógenas y los errores, es la forma reducida
de y2 . Los parámetros π21 y π22 se llaman parámetros de la forma
reducida. Debemos notar que son funciones no lineales de los
parámetros estructurales (o sea, de los parámetros que aparecen en
la forma estructural).
El error de la forma reducida, v2 , es función lineal de los erores de
la forma estructural, u1 y u2 . Como u1 y u2 están ambos
incorrelados con z1 y z2 , v2 también está incorrelado con z1 y z2 .
Por tanto, podemos estimar en forma consistente π21 y π22
mediante OLS.
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Sin embargo, lo que nos interesa es etimar la ecuación (2). En ella,
cov (y2 , u1 ) = cov (π21 z1 + π22 z2 + v2 , u1 )
= cov (v2 , u1 )
= cov ((α2 u1 + u2 )/(1 − α2 α1 ), u1 ) 6= 0,
y por tanto hay endogeneidad, el estimador de OLS es sesgado e
inconsistente.
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5.3 Contrastes de endogeneidad
En esta sección, veremos cómo el método de las variables
instrumentales (IV) puede resolver el problema de la endogeneidad
de una o mas variables explicativas.
Como ejemplo, sea el problema de la capacidad innata, no
observada, en la ecuación del salario de adultos que trabajan. Un
modelo inicial es:
log (wage) = β0 + β1 educ + β2 abil + e,
donde e es el término de error.
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Supongamos que, o no disponemos de una variable próxima, o ésta
no tiene las propiedades mı́nimas para que obtengamos un
estimador consistente de β1 . Entonces, si metemos abil junto el
término de error, nos queda el modelo de regresión sencillo:
log (wage) = β0 + β1 educ + u,
(2)
donde u contiene a abil . Si estimamos este modelo por OLS,
obtenemos un estimador de β1 , que será sesgado e inconsistente si
educ y abil están correladas. A pesar de esto, resulta que
podremos utilizar el modelo (2) como base de nuestra estimación
si podemos encontrar una variable instrumental para educ.
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En concreto, volviendo a escribir el model de regresión sencillo,
y = β0 + β1 x + u,
con x y u posiblemente correladas:
Cov (x, u) 6= 0.
El método de las variables instrumentales funciona tanto si x y u
están correladas como si no lo están, pero, por razones que
veremos despues, si están incorreladas es mejor usar OLS.
Para poder tener estimadores consistentes de β0 y β1 cuando x y u
están correladas, necesitamos mas información. Supongamos que
tenemos una variable observada z que cumple dos condiciones:
Cond. 1 z está incorrelada con u, o sea, cov (z, u) = 0;
Cond. 2 z está correlada con x, es decir,cov (z, x) 6= 0.
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Llamamos a z una variable instrumental para x.
Estas dos condiciones son muy distintas, en el sentido de que la
primera nunca la podemos contrastar, porque el error u no se
observa. Nos conformaremos con creer que se cumple esta
condición porque ello se deduzca de la teorı́a económica o
simplemente por intuición. En cambio, la condición de que z
esté incorrelada con x en la población se puede contrastar con la
muestra aleatoria. La manera mas sencilla de hacerlo es ajustar
una regresión entre x y z. Para la población será:
x = π0 + π1 z + v .
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Entonces, como π1 = Cov (z, x)/Var (z), la segunda hipótesis se
cumple si y solo si π 6= 0. Por tanto, si x y z están correladas, para
un nivel de significación suficientemente pequeño (p.ej. 5 % o 1 %),
rechazaremos la hipótesis nula
H0 : π1 = 0
frente a la alternativa bilateral H0 : π1 6= 0. En este caso, podemos
tener una confianza razonable de que la segunda condición se
cumple.
En el ejemplo del salario (o su logaritmo) wage, una variable
instrumental z para educ debe estar 1) incorrelada con la
capacidad innata abil (y con cualquier otro factor no observable
que explique a wage), y 2) correlada con educ. Por ejemplo, la
variable última cifra del DNI seguramente estará incorrelada con
abil , pero no estrá correlada con educ, asi que no nos servirá como
variable instrumental para educ.
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Lo que habı́amos llamado variable próxima (proxy) a una variable
no observada tampoco es una buena variable instrumental por el
motivo contrario. Por ejemplo, una variable próxima a abil
estará muy correlada con ella, pero debe no estarlo para ser una
buena variable instrumental.
Una posible IV para educ serı́a el número de hermanos que tenı́a el
individuo en la época en que recibı́a la educación. Es probable que
el número de hermanos esté incorrelado con abil , pero correlado
con educ.
Ahora vamos a demostrar que la disponibilidad de una variable
instrumental se puede utilizar para estimar consistentemente los
parámetros de la ecuación (2).
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Dado el modelo sencillo:
y = β0 + β1 x + u,
la covarianza entre z e y es
cov (y , z) = β1 cov (x, z) + cov (z, u).
y, por las condiciones 1 y 2 que deben cumplir las variables
instrumentales, cov (z, u) = 0 y cov (z, x) 6= 0, por tanto
β1 =
cov (y , z)
.
cov (x, z)
Después de simplificar los tamaños muestrales de numerador y
denominador obtenemos el siguiente estimador de β1 mediante IV:
Pn
(zi − z̄)(yi − ȳ )
β̂1 = Pin
i (zi − z̄)(xi − x̄)
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El estimador de IV de β0 es simplemente β̂0 = ȳ − β̂1 x̄, o sea, es
parecido al de OLS, pero con β̂1 estimado por IV en vez de por
OLS.
Una caracterı́stica del estimador de IV es que, cuando x y u están
de verdad correladas, nunca es insesgado. Pero, para muestras
pequeñas, puede haber un sesgo importante. Por eso es preferible
utilizar muestras grandes con el estimador de IV:
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Dado el parecido de los estimadores de IV y de OLS, no nos
sorprende el que el estimador de IV tenga una distribución
aproximadamente normal para muestras grandes. Para hacer
inferencia acerca de β1 , necesitamos una desviación tı́pica con la
que poder calcular estadı́sticos t e intervalos de confianza.
Lo habitual es imponer hipótesis de homocedasticidad, como en el
caso de OLS. Pero ahora la homocedasticidad es condicional en la
variable instrumental, en lugar de serlo en la variable explicativa
endógena x, es decir, tenemos el resto de hipótesis sobre u, x, y z,
y, además,
E (u 2 |z) = σ 2 .
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La varianza asintótica de β̂1 es ahora:
σ2
,
nσx2 ρ2xz
donde σx2 es la varianza poblacional de x, σ 2 es la varianza
poblacional de u, y ρ2xz es el cuadrado de la correlación poblacional
entre x y z. De esta forma podemos obtener una desviación tı́pica
para el estimador de IV. Todas las cantidades necesarias se pueden
estimar en forma consistente a partir de una muestra aleatoria.
Para estimar σx2 , simplemente calculamos la varianza muestral de
los xi ; para estimar ρ2xz , podemos obtener el R cuadrado de la
2 . Finalmente, para
regresión de los xi sobre los zi , esP
decir Rx,z
n 2
2
2
estimar σ , podemos usar σ̂ =
i ûi /(n − 2).
La desviación tı́pica (asintótica) de β̂1 es, pues, la raiz cuadrada de:
σ̂ 2
,
2
SSTx Rxz
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donde SSTx es la suma total de cuadrados de los xi . La desviación
tı́pica que se obtiene se puede usar para construir o estadı́sticos t
para hipótesis sobre β1 o intervalos de confianza.
Es informativo el comparar las varianzas asintóticas de los
estimadores de IV y OLS cuando x y u están incorrelados. Bajo las
hipótesis de Gauss-Markov la varianza del estimador de OLS es
2 );
σ 2 /SSTx , mientras que para el estimador de IV es σ 2 /(SSTx Rx,z
Como un R cuadrado está entre 0 y 1, la varianza de IV es siempre
2 es
mayor o igual que la de OLS (si OLS es válido, claro). Si Rx,z
pequeño, entonces la varianza de IV puede ser mucho mayor que la
de OLS, pero si el R cuadrado es 1, entonces las dos varianzas son
iguales (o sea, si x está incorrelada con u, entonces la misma x
puede ser la variable instrumental de x).
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Estimación por MC2E-Modelos de Ecuaciones Simultáneas
Sea el sistema de ecuaciones simultáneas de antes en forma
estructural:
y1 = α1 y2 + β1 z1 + u1 (2)
y2 = α2 y1 + β2 z2 + u2 (3)
cuya forma reducida es:
y1 = π11 z1 + π12 z2 + v1 , (4)
y2 = π21 z1 + π22 z2 + v2 (5),
donde π11 = α1 β2 /(1 − α1 α2 ), π12 = β1 /(1 − α1 α2 ),
v1 = (u1 + α1 u2 )/(1 − α1 α2 ). Además, en cuanto a la ecuación
(5), es π21 = α2 β1 /(1 − α1 α2 ), π22 = β2 /(1 − α1 α2 ) y
v2 = (u2 + α2 u1 )/(1 − α1 α2 ).
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Como, en la forma reducida, cada ecuación solo tiene variables
exógenas, podemos estimar la forma reducida por OLS, y los
estimadores de los πij serán BLUE.
El método de mı́nimos cuadrados bietépicos consta de dos pasos,
el primero es el que acabamos de describir, estimar la forma
reducida por OLS (una vez que sepamos que el modelo
está identificado). Entonces se estiman y1 e y2 mediante:
ŷ1 = π̂11 z1 + π̂12 z2
ŷ2 = π̂21 z1 + π̂22 z2 .
En el segundo paso, estas estimaciones se usan como instrumentos
de y1 e y2 en la forma estructural del sistema. Nótese que son de
verdad instrumentos, porque están incorrelados con los vj y, por
tanto, con los uj y, en cambio, están correlados con los yj
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Es decir, en el segundo paso, sustituimos los yj endógenos de la
forma estructural por sus instrumentos y estimamos el modelo
resultante por OLS:
y1 = α1 ŷ2 + β1 z1 + u1
y2 = α2 ŷ1 + β2 z2 + u2
A estos dos pasos se les llama mı́nimos cuadrados bietápicos
(MC2E o 2SLS) y se obtiene ası́ un estimador que es consistente,
pero no es eficiente ni insesgado.
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El estimador de MC2E es menos eficiente que el de OLS cuando
las variables explicativas son exógenas.
Por tanto, es útil disponer de un contraste de endogeneidad para
saber si necesitamos los MC2E. La obtención de un contraste de
este tipo es sencilla. En el ejemplo anterior tenemos, para y1 ,
y1 = α1 y2 + β1 z1 + u1 ,
(3)
con z1 exógena. Si y2 está incorrelada con u1 , deberı́amos estimar
la ecuación por OLS.
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5.3 Contrastes de endogeneidad
¿Como podemos contrastar esto?
Hausman (1978) sugirió comparar las estimaciones de OLS y
MC2E y determinar si la diferencia entre ambas es
estadı́sticamente significativa La idea es que ambos, OLS y MC2E
son consistentes si todos los regresores son exógenos, por tanto, si
OLS y MC2E son muy distintos, y2 debe ser endógena (seguimos
suponiendo que las zj son exógenas).
Es una buena idea calcular las estimaciones de OLS y MC2E para
ver si son muy diferentes. Para determinar si la diferencia es
significativa, lo mas sencillo es hacer un contraste de regresión.
Este se basa en estimar la forma reducida de y2 , o sea
y2 = π21 z1 + π22 z2 + v2
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Ahora, como los zj están incorrelados con u1 , y2 estará incorrelado
con u1 si y solo si v2 está incorrelado con u1 ; esto es lo que
tenemos que contrastar. Escribimos u1 = δ1 v2 + e1 , donde e1
está incorrelado con v2 y tiene media cero. Entonces, u1 y v2 están
incorrelados si y solo si δ1 = 0.
La manera más sencilla de llevar esto a la práctica es incluir a v2
como regresor adicional en (3) y hacer un contraste de la t. El
problema es que v2 es un término de error y, por tanto, no lo
observamos. Pero como podemos estimar la forma reducida en la
ecuación de y2 , también podemos calcular los residuos de esta
forma reducida, v̂2 .
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5.3 Contrastes de endogeneidad
Por tanto, estimamos
y1 = α1 y2 + β1 z1 + δ1 v̂2 + error ,
mediante OLS y contrastamos H0 : δ1 = 0 con el estadı́stico de la
t. Si rechazamos H0 para un nivel de significación pequeño,
deducimos que y2 es endógena, puesto que v2 y u1 están
correlados.
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