universidad de managua - MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

UNIVERSIDAD DE MANAGUA
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÒN LINEAL POR
METODO GRAFICO CON POM-QM.
Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés
Elaborado por:
Yucep Gutiérrez Baltodano.
Carlos Reynaldo Guevara.
Managua 13 de junio 2015
1 Investigación de Operaciones I
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Programación Lineal:
1) La fábrica de Hilados y Tejidos “Salazar” requiere fabricar dos
tejidos de calidad diferente T y T1; se dispone de 500 Kg de
hilo A, 300 Kg de hilo B y 108 Kg de hilo C. Para obtener un
metro de T diariamente se necesitan 125 gr de A, 150 gr de B y
72 gr de C; para producir un metro de T1 por día se necesitan
200 gr de A, 100 gr de B y 27 de C.
El T se vende a $400 el metro y el T1 se vende a $500 el metro. Si se
debe obtener el máximo del beneficio, ¿Cuántos metros de T y T1 se
deben fabricar?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas.
 Restricciones:
 500 Kg de hilo A
 300 Kg de hilo B
 108 Kg de hilo C
 Produce dos tipos T y T1
 Requerimiento de T
125 gr de A
150 gr de B
72 gr de C
2 Investigación de Operaciones I
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 equerimiento de T1
200 gr de A
100 gr de B
27 gr de C
Venta:
T…… $400
T1…..$500
Concepto
Hilo A
Hilo B
Hilo C
Ventas
2)
F.O
T
125 gr
150 gr
72 gr
$400
T1
200 gr
100 gr
27 gr
$500
Disponible
≤500,000 gr
≤300,000 gr
≤108,000 gr
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 400x1 + 500x2
Sujeto a:
125x1 + 200x2 ≤500,000
150x1 + 100x2 ≤300,000
72x1 + 27 x2 ≤108,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
3 Investigación de Operaciones I
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3)
Solución del modelo:
4 Investigación de Operaciones I
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2) La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que
hacen dos tipos de ventanas: Con marco de madera y con
marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con
marco de madera y de $30 por cada una con marca de
aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al
día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día. Bob forma y corta
el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día,
cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de
vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La
compañía desea determinar: ¿Cuántas ventanas de cada tipo
debe producir al día para maximizar la ganancia total.
a. Formule el modelo de programación lineal.
b. Use el método grafico para resolver el modelo.
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ganancia total
 Restricciones:
 Solamente tiene tres empleados.
 Doug hace marcos de madera 6 al día.
 Linda hace marcos de aluminio 4 al día.
 Bob forma y corta el vidrio. (48 pies cuadrados de vidrio por
Día).
 Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de
vidrio
 Cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio
 Produce dos tipos de ventana marco de madera y marco de
aluminio.
 Requerimiento de ventana de madera
6 pies cuadrados de vidrio
5 Investigación de Operaciones I
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 Requerimiento de ventana de aluminio
8 pies cuadrados de vidrio
Ganancia:
Marco de madera…… $60
Marco de Aluminio…..$30
Concepto
Madera
Aluminio
Vidrio
Ventas
Madera
1
0
6
$60
Aluminio
0
1
8
$30
Disponible
≤6 marcos
≤4 marcos
≤48 pies2
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Max. Z= 60x1 + 30x2
Sujeto a:
x1
≤6
+ x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤48
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
6 Investigación de Operaciones I
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3. Solución del modelo:
7 Investigación de Operaciones I
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3) En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como
complemento en su economía, de forma que no se superen en
conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su
almacén solo puede albergar un máximo de 1,000 kilogramos de
heno. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de heno al
mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de
cuidado requeridos por un conejo son 3 y por un pollo 2 y que los
beneficios que reportaría su venta asciende a C$90 y C$60 por
cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben
criarse para que el beneficio sea máximo.
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas por crianza de animales.
 Restricciones:
 Su almacén solo puede almacenar como máximo 1,000 kg de
heno.
 No se superen en conjunto 180 horas mensuales.
 Cría Conejos y pollos.
 Requerimiento del Conejo:
20 kg de heno al mes.
3 horas mensuales de cuido al mes.
 Requerimiento del pollo:
10 kg de heno al mes.
2 horas de cuido al mes.
Venta:
Conejo…… $90
Pollo…..$60
8 Investigación de Operaciones I
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Concepto
Heno
Horas de cuido
Ventas
Conejo
20 gr
3 horas
$90
Pollos
10 gr
2 horas
$60
Disponible
≤1000 Kg
≤180 horas
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Max. Z= 90x1 + 60x2
Sujeto a:
20x1 + 10x2 ≤1000
3x1 + 2x2 ≤180
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
9 Investigación de Operaciones I
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3. Solución del modelo:
10 Investigación de Operaciones I
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4) En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos
para lanzarlos al mercado. El primero deja una utilidad de
C$45.00 y contiene 150 gr de polvorones, 100 gramos de
mantecado y 80 gr de roscos de vino. El segundo deja una
utilidad de C$56.00 y contiene 200 gramos de polvorones, 100
gramos de mantecados y 100 gr de roscos de vino. Se dispone
de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y
104 kg de roscos de vino. La empresa de embalaje solo le
puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo
convendría fabricar para que el beneficio sea máximo?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas de dulces.
 Restricciones:
 200 Kg de polvorones = 200,000 gr
 130 Kg de mantecados = 130,000 gr
 104 Kg de roscos de vino = 104,000 gr
 La empresa solo pude suministrar 1,200 cajas.
 Produce dos tipos de surtidos:
 Requerimiento de 1er surtido.
150 gr de polvorones.
100 gr de mantecado.
80 gr de roscos vino.
 Requerimiento de 2do surtido.
200 gr de polvorones
100 gr de mantecado
100 gr de roscos vino
Venta:
1er surtido…… C$45.00
2do surtido..…..C$56.00
11 Investigación de Operaciones I
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Concepto
Polvorones
Mantecados
Roscos de vino
Cajas
Ventas
1er Surtido
150 gr
100 gr
80 gr
1
C$45
2do Surtido
200 gr
100 gr
100gr
1
C$56
Disponible
≤200,000 gr
≤130,000 gr
≤104,000 gr
≤12,000
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Max. Z= 45x1 + 56x2
Sujeto a:
150x1 + 200x2 ≤200,000
100x1 + 100x2 ≤130,000
80x1 + 100 x2 ≤104,000
x1 +x2 ≤ 12,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
12 Investigación de Operaciones I
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3) Solución del modelo:
13 Investigación de Operaciones I
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5) Cierto fabricante produce sillas y mesas para las que requiere la
utilización de dos secciones de producción: la sección de montaje y
la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de
trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por
su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la
sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de
montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento,
mientras que la de pintura sólo 8 horas. El beneficio produciendo
mesas es doble que el de sillas. ¿Cuál ha de ser la producción diaria
de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo?
1. Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas.
 Restricciones:
 La producción de una silla requiere 1 hora de montaje y de 2
horas de pinturas.
 La fabricación de una mesa requiere 3 horas de montaje y 1
de pintura.
 La sección de montaje solo funciona 9 horas
 La sección de pintura solo 8 horas
 El beneficio de mesas es doble que el de sillas.
 Dos tipos de productos Sillas y mesas.
Concepto
Montaje
Pintura
Silla(X1)
1
3
Mesa(X2)
2
1
Disponible
≤9
≤8
2. Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Max. Z= x1 + 2x2
Sujeto a:
x1 + 3x2 ≤ 9
2x1 + x2 ≤ 8
x1 ≥ 0
14 Investigación de Operaciones I
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x2 ≥ 0
3. Solución del modelo:
15 Investigación de Operaciones I
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6) En una fábrica se elaboran dos tipos de herramientas A y B. En la
fábrica trabajan 2 obreros durante 8 horas diarias y un supervisor,
para comprobar las herramientas una vez construidas, que trabaja
1 hora diaria. Para la construcción de A se emplean 3 horas diarias
de mano de obra y precisa de 4 minutos de revisión, para B es
necesaria 1 hora diaria de mano de obra y 3 minutos de revisión.
Por problemas de producción en la fábrica no se pueden fabricar
más de 12 herramientas A y B es de C$400, C$200
respectivamente. Hallar cuantas unidades se deben elaborar cada
día de cada una de ellas para obtener un beneficio máximo.
1. Definición del problema:
Objetivo: Maximizar ventas de herramientas.
 Restricciones:
 Trabajan 2 obreros 8 horas diarias.
 Trabaja 1 supervisor para comprobar las herramientas
 La herramienta trabajan 1 hora diaria.
 No se pueden fabricar más de 12 herramientas diarias,
 Dos tipos de Herramientas A Y B
Requerimiento de A:
 3 horas diarias de mano de obra.
 4 minutos de revisión.
Requerimiento para B:
 1 hora diaria de mano de obra.
 3 minutos de revisión.
Venta: A=C$400
B=C$200
16 Investigación de Operaciones I
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Concepto
Mano de obra
Tiempo de revis.
# De Herramien.
Ventas
2)
F.O
Herramienta A
3
4
1
C$400
Herramienta B
1
3
1
C$200
Disponible
≤ 16 horas
≤ 60 min
≤ 12 herram
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 400x1 + 200x2
Sujeto a:
3x1 + x2 ≤ 16
4x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
17 Investigación de Operaciones I
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3)
Solución del modelo:
18 Investigación de Operaciones I
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7. Una empresa produce dos tipos de mesas: un estilo
colonial y otro estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen
de su venta son de $20 por la colonial y $22 por la nórdica.
Para esta semana ya hay un pedido de 10 mesas de tipo
nórdico. El gerente de producción quiere realizar la
planeación de su producción semanal sabiendo que
solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200
horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las
horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la
utilidad para ambas mesas.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar utilidad de venta de producción.
X1: cantidad de mesas de tipo colonial a producir
X2: cantidad de mesas de tipo nórdico a producir
 Restricciones:
Pedido: 10 mesas nórdico
450 horas de construcción
200 horas de barnizado.
Venta:
Colonial….. $20
Nórdica.…..$22
19 Investigación de Operaciones I
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Concepto
Pedido
Construcción
Barnizado
Ventas
2)
F.O
Colonial
0
6
5
$20
Nórdica
1
8
2
$22
Disponible
≥ 10
≤ 450
≤ 200
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 20x1 + 22x2
Sujeto a:
+ x2 ≥ 10
6x1 + 8x2 ≤ 450
5x1 + 2x2 ≤ 200
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
20 Investigación de Operaciones I
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3)
Solución del modelo:
21 Investigación de Operaciones I
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8. Una empresa ensambladora de productos de
comunicación debe programar su producción semanal.
Debido a problemas de liquidez, le interesa minimizar sus
costos semanales, ya que le pagan la producción 20 días
después de entregada. Actualmente está armando dos
artículos diferentes, el T14 y el B2; ambos artículos deben
ser armados y probados por personal especializado. La
empresa compradora requiere no menos de 100 aparatos
semanales; del modelo B2 debe entregar no menos que la
cuarta parte de los que entregue del T14, pero en ningún
caso deben superar en más de 150 al número de equipos
T14. En el cuadro se indica el tiempo que requieren los
especialistas para armar y probar cada equipo, expresado
en minutos, así como la disponibilidad de tiempo.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Minimizar costos mensuales.
 Restricciones:
 Pedido: T 14 + B2 ≥ 100 mínimo de equipos
 Mínimo de B2: B ≥ ¼ T mínimo de equipos B2
 Máximo de B2: B ≤ T + 150 máximo de equipos B2
 Armado:10 T + 12 B ≤ 55 (60) minutos
22 Investigación de Operaciones I
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
Pruebas: 30 T + 6 B ≤ 100 (60) minutos
Costos:
T: número de artículos T14 a producir
B: número de artículos B2 a producir
T14….. $100
B2….…..$60
Equipos
Pedido
Mínimo de B
Máximo de B
Armados
Pruebas
Costos
T14
1
-1/4
-1
10 min
30 min
$100
B2
1
1
1
12 min
6 min
$60
Disponible
≥ 100
≥0
≤150
≤ 3,300 min
≤ 6,000 min
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Min. Z= 100x1 + 60x2
Sujeto a:
x1 + x2 ≥ 100
-1/4 x1 + x2 ≥ 0
-x1 + x2 ≤ 150
10x1 + 12 x2 ≤ 3,300
30x1 + 6 x2 ≤ 6,000
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
23 Investigación de Operaciones I
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3) Solución del modelo:
24 Investigación de Operaciones I
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9. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y
27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y
Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg
de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer
una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de
azúcar y 1 kg de mantequilla.
El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $20 y
por una docena de tipo Q es $30. Halla, utilizando las
técnicas de programación lineal, el número de docenas que
tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea
máximo.
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio total.
 Restricciones:
 150 kg de harina
 22 kg de azúcar
 27.5 kg de mantequilla
 Dos tipos de pasteles P y Q
Requerimientos de P
 3 kg de harina
 1 kg de azúcar
 1 kg de mantequilla
Requerimientos de Q
 6 kg de harina
 0.5 kg de azúcar
 1 kg de mantequilla
25 Investigación de Operaciones I
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Beneficio:
P….. $20
Q……$30
Equipos
Harina
Azúcar
Mantequilla
Beneficio
2)
F.O
P
3
1
1
$20
Q
6
0.5
1
$30
Disponible
≤ 150
≤22
≤27.5
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 20x1 + 30x2
Sujeto a:
3x1 + 6x2 ≤ 150
x1 + ½ x2 ≤ 22
x1 + x2 ≤ 27.5
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
26 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
3)
Solución del modelo:
27 Investigación de Operaciones I
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10. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y
Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las
secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de
cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de
pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz
requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de
montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen,
cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de
montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a $100 y el
modelo Viz a 120, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo
ha de fabricar para maximizar las ventas mensual?
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar ventas mensuales.
 Restricciones:
 Moldeado y pintura 1500 horas como máximo
 Montaje 600 horas como máximo.
 Dos tipos de sombreros Bae y Viz
Requerimientos de Bae
 2 horas de moldeado
 3 horas de pintura
 1 hora de montaje
Requerimientos de Viz
 3 horas de moldeado
 2 horas de pintura
 1 hora de montaje

Ventas:
28 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
Bae…. $100
Viz……$120
Equipos
Moldeado
Pintura
Montaje
Ventas
Bae
2
3
1
$100
Viz
3
2
1
$120
Disponible
≤ 1500
≤1500
≤600
2) Formulación del modelo matemático Lineal:
F.O
Max. Z= 100x1 + 120x2
Sujeto a:
2x1 + 3x2 ≤ 1500
3x1 + 2 x2 ≤ 1500
x1 + x2 ≤ 600
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
29 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
3) Solución del modelo:
30 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
11. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la
producción de vino es siempre menor o igual que la producción de
vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la
producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de
vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.
Halla el número de unidades de cada producto que se deben
producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada
unidad de vino deja un beneficio de $80. y cada unidad de vinagre
de $40 .
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio.
X1= unidades de vino.
X2= unidades de vinagre.
 Restricciones:
 El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que
la producción de vinagre más cuatro unidades.
 El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la
producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18
unidades.
Ventas:
Vino…. $80
Vinagre……$40
31 Investigación de Operaciones I
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
Productos
Producción vino
Producción
vinagre
Ventas
2)
F.O
Vino
2
4
Vinagre
-1
3
$80
$40
Disponible
≤4
≤18
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 80x1 + 40x2
Sujeto a:
2x1 - x2 ≤ 4
4x1 + 3 x2 ≤ 18
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
32 Investigación de Operaciones I
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3)
Solución del modelo:
33 Investigación de Operaciones I
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12. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera
contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el
resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un
15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60
litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se
pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio
de venta por litro de la colonia A es de $50 y el de la colonia B es
$60. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse
diariamente para que el beneficio sea máximo
1) Definición del Problema:
Objetivo: Maximizar beneficio.
X1= # de litros de colonia A
X2= # de colonia B
 Restricciones:
 Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de
50 litros de alcohol.
 Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la
colonia B
Ventas:
Colonia A…. $50
Colonia B……$60
Productos
Jazmín
Alcohol
Producción
máxima B
Ventas
Colonia A
15%
20%
0
$50
Colonia B
30%
15%
1
$60
34 Investigación de Operaciones I
Disponible
≤60
≤50
≤150
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2)
F.O
Formulación del modelo matemático Lineal:
Max. Z= 50x1 + 60x2
Sujeto a:
0.15 x1 + 0.3 x2 ≤ 60
0.2 x1 + 0.15 x2 ≤ 50
X2 ≤ 150
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
35 Investigación de Operaciones I
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3)
Solución del modelo:
36 Investigación de Operaciones I