Herramientas de análisis numérico aplicadas a la resolución de

Herramientas de
análisis numérico
aplicadas a la resolución
de problemas de
programación lineal en
procesos metalúrgicos
Librería Solver Integrada en Microsoft Excel
(Frontline Systems)
Luis Marín Escalona
Julio de 2oo7
Índice
Como hacer referencia a la librería Solver en el editor de Visual Basic___________________ 3
Función SolverAdd _______________________________________________________________ 7
Descripción ___________________________________________________________________ 7
Sintaxis ______________________________________________________________________ 7
Función SolverChange ____________________________________________________________ 8
Descripción ___________________________________________________________________ 8
Sintaxis ______________________________________________________________________ 8
Función SolverDelete ____________________________________________________________ 9
Descripción ___________________________________________________________________ 9
Sintaxis ______________________________________________________________________ 9
Función SolverFinish ____________________________________________________________ 10
Descripción __________________________________________________________________ 10
Sintaxis _____________________________________________________________________ 10
Función SolverFinishDialog _______________________________________________________ 11
Descripción __________________________________________________________________ 11
Sintaxis _____________________________________________________________________ 11
Función SolverGet _____________________________________________________________ 12
Descripción __________________________________________________________________ 12
Sintaxis _____________________________________________________________________ 12
Función SolverLoad _____________________________________________________________ 15
Descripción __________________________________________________________________ 15
Sintaxis _____________________________________________________________________ 15
Función SolverOk _______________________________________________________________ 16
Descripción __________________________________________________________________ 16
Sintaxis _____________________________________________________________________ 16
Función SolverOkDialog__________________________________________________________ 17
Descripción __________________________________________________________________ 17
Sintaxis _____________________________________________________________________ 17
Función SolverOptions___________________________________________________________ 18
Descripción __________________________________________________________________ 18
Sintaxis _____________________________________________________________________ 18
Función SolverReset ____________________________________________________________ 20
Descripción __________________________________________________________________ 20
Sintaxis _____________________________________________________________________ 20
Función SolverSave_____________________________________________________________ 21
Descripción __________________________________________________________________ 21
Sintaxis _____________________________________________________________________ 21
Función SolverSolve_____________________________________________________________ 22
Descripción __________________________________________________________________ 22
Sintaxis _____________________________________________________________________ 22
Ejemplos ______________________________________________________________________ 23
Ejercicios Propuestos ___________________________________________________________ 26
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2
Como hacer referencia a la librería Solver
en el editor de Visual Basic
Todas las funciones incorporadas dentro de esta librería requieren que se establezca una
referencia a Solver y un modulo activo en el editor de Visual Basic.
Para establecer correctamente una referencia a Solver debe seguir los siguientes pasos.
1) Insertar un modulo de Visual Basic.
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3
2) Establecer una referencia a la Solver haciendo clic en Herramientas > Referencias
3) Seleccionar la librería Solver.xls
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4
4) Aceptar el cuadro de dialogo que se muestra a continuación.
Si por algún motivo dentro del cuadro de dialogo anterior, no se encuentra dicha librería,
debe establecer la referencia siguiendo los siguientes pasos.
5) Haga clic en examinar
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5
6) Ubique la librería Solver.xla en forma manual, por lo general se encuentra:
En versiones de Microsoft Office en español
C:\Archivos de Programa\Microsoft Office\Office\Macros\Solver
C:\Archivos de Programa\Microsoft Office\Office10\Macros\Solver
C:\Archivos de Programa\Microsoft Office\Office11\Macros\Solver
En versiones de Microsoft Office en ingles
C:\Program Files\Microsoft Office\Office\Library\Solver
C:\Program Files\Microsoft Office\Office10\Library\Solver
C:\Program Files\Microsoft Office\Office11\Library\Solver
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6
Función SolverAdd
Descripción
La función SolverAdd se utiliza para agregar restricciones al problema planteado, es
equivalente a hacer clic en la opción Agregar del menú de herramientas de Solver.
Sintaxis
SolverAdd (CellRef, Relation, FormulaText)
CellRef: Requiere una referencia o rango de celdas al lado izquierdo de la restricción.
Relation: Requiere números enteros (1, 2, 3, 4, 5) la relación aritmética entre el lado
izquierdo y el lado derecho de la restricción se especifica en la tabla 1. Si el valor asignado a
Relation es 4 o 5, CellRef debe hacer referenciar a celdas cambiantes.
FormulaText: El lado derecho de una restricción.
Relation
Relación Aritmética
1
<=
2
=
3
>=
4
Las celdas referenciadas por CellRef tendrán como valor final enteros.
5
Las celdas referenciadas por CellRef tendrán como valor final 0 o 1.
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7
Función SolverChange
Descripción
Cambia una restricción existente, es equivalente a hacer clic en la opción Cambiar del menú
de herramientas de Solver.
Sintaxis
SolverChange(CellRef, Relation, FormulaText)
CellRef: Requiere una referencia o rango de celdas al lado izquierdo de la restricción.
Relation: Requiere números enteros (1, 2, 3, 4, 5) la relación aritmética entre el lado
izquierdo y el lado derecho de la restricción se especifica en la tabla 1. Si el valor asignado a
Relation es 4 o 5, CellRef debe referenciar a celdas cambiantes.
FormulaText: El lado derecho de una restricción.
Si CellRef y Relation no coinciden con una restricción existente, se debe usar la función
SolverDelete y SolverAdd para cambiar la restricción.
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8
Función SolverDelete
Descripción
Elimina una restricción existente, es equivalente a hacer clic en la opción Eliminar del menú
de herramientas de Solver.
Sintaxis
SolverDelete(CellRef, Relation, FormulaText)
CellRef: Requiere una referencia o rango de celdas al lado izquierdo de la restricción.
Relation: Requiere números enteros (1, 2, 3, 4, 5) la relación aritmética entre el lado
izquierdo y el lado derecho de la restricción se especifica en la tabla 1. Si el valor asignado a
Relation es 4 o 5, CellRef debe referenciar a celdas cambiantes.
FormulaText: El lado derecho de una restricción.
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9
Función SolverFinish
Descripción
Le indica a Microsoft Excel que hacer con los resultados y el tipo de reporte a crear, una vez
que la resolución del problema ha finalizado.
Sintaxis
SolverFinish(KeepFinal, ReportArray)
KeepFinal: Es una variable opcional que puede tomar como valores 1 o 2.
Si KeepFinal toma el valor de 1 o se omite su valor, los parámetros finales de solución
permanecen en las celdas cambiantes reemplazando cualquier otro valor. Si KeepFinal es 2,
los parámetros finales de solución son descartados, y se restauran los parámetros iniciales del
problema.
ReportArray: es una variable opcional que puede tomar los valores de 1, 2 o 3. El tipo de
reporte que puede crear Microsoft Excel cuando se ha llevado a cabo la resolución del
problema, puede ser un reporte de respuestas (1), un análisis de sensibilidad (2) o un reporte
con los limites el campo de solución (3).
Para especificar el reporte que desea visualizar debe usar la función Array, por ejemplo:
ReportArray:= Array(1,3)
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10
Función SolverFinishDialog
Descripción
Le indica a Microsoft Excel que hacer con los resultados y el tipo de reporte a crear, una vez
que la resolución del problema ha finalizado. Es equivalente a la función SolverFinish, pero
con la salvedad que aparece un cuadro de dialogo después de solucionado el problema.
Sintaxis
SolverFinishDialog(KeepFinal, ReportArray)
KeepFinal: Es una variable opcional que puede tomar como valores 1 o 2.
Si KeepFinal toma el valor de 1 o se omite su valor, los parámetros finales de solución
permanecen en las celdas cambiantes reemplazando cualquier otro valor. Si KeepFinal es 2,
los parámetros finales de solución son descartados, y se restauran los parámetros iniciales del
problema.
ReportArray: es una variable opcional que puede tomar los valores de 1, 2 o 3. El tipo de
reporte que puede crear Microsoft Excel cuando se ha llevado a cabo la resolución del
problema, puede ser un reporte de respuestas (1), un análisis de sensibilidad (2) o un reporte
con los limites el campo de solución (3).
Para especificar el reporte que desea visualizar debe usar la función Array, por ejemplo:
ReportArray:= Array(1,3)
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11
Función SolverGet
Descripción
Devuelve información con la configuración actual de Solver. La configuración de Solver se
especifica en las opciones de Parámetros y Opciones del menú de herramientas de Solver.
Sintaxis
SolverGet(TypeNum, SheetName)
TypeNum: Requiere números enteros. La siguiente tabla especifica los parámetros del menú
de herramientas de Solver.
SheetName: Variable opcional que representa el nombre del la hoja que contiene la
información del modelo, Si esta variable se omite, se asume que la hoja que contiene esta
información es la hoja activa.
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12
La siguiente tabla especifica los parámetros del menú de herramientas de Solver.
TypeNum
Retorna
1
La celda objetivo del problema, o el error #N/A si Solver no tiene una Hoja
activa.
2
Un número correspondiente a la función objetivo. (1) Maximizar, (2) Minimizar,
(3) Igualar a un valor (Value Of).
3
El valor a igualar la función objetivo.
4
Las celdas cambiantes.
5
El número de restricciones
6
Una matriz con el lado izquierdo de cada restricción en formato de texto.
7
Una matriz con el número correspondiente a la relación aritmética entre el lado
izquierdo y el lado derecho de cada restricción.: 1 representa <=, 2 representa =,
3 representa >=, 4 representa enteros, y 5 representa binarios.
8
Una matriz con el lado derecho de cada restricción en formato de texto.
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13
La siguiente tabla especifica los parámetros de la opción Opciones del menú de herramientas
de Solver.
TypeNum
Retorna
9
El tiempo máximo de cálculo.
10
El número máximo de iteraciones
11
La precision
12
El valor de tolerancia entera.
13
True, si se asume el modelo lineal, en caso contrario False.
14
True, si se muestra el resultado de las iteraciones, en caso contrario False.
15
True, si se usa escala automática, en caso contrario False.
16
Un número correspondiente al tipo de estimación.: 1 representa Lineal, y 2
representa Cuadrática.
17
Un número correspondiente al tipo de derivadas.: 1 representa progresivas, y 2
representa Centrales.
18
Un número correspondiente al tipo de búsqueda: 1 representa Newtoniana, y 2
representa Gradiente Conjugado.
19
El valor de convergencia.
20
Verdadero si se asumen valores no negativos.
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14
Función SolverLoad
Descripción
Carga los parámetros de Solver que se han guardado en la hoja activa.
Sintaxis
SolverLoad(LoadArea)
LoadArea: Requiere como variable una referencia a una hoja activa y un rango de celdas en
la cual se desee cargar un modelo específico. La primera celda en LoadArea contiene una
formula con la función objetivo, la segunda celda contiene una formula para las celdas
cambiantes, las celdas siguientes contienen las restricciones y las últimas celdas contiene
eventualmente matrices con los parámetros de Solver. El rango representado por el
argumento LoadArea puede ser una hoja de trabajo o cualquier hoja, pero se debe especificar
su nombre si la hoja no esta activa. Por ejemplo:
SolverLoad("Hoja2!A1:A3")
Carga un modelo en para la Hoja2 en la eventualidad de que la Hoja2 no este activa.
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Función SolverOk
Descripción
Define un modelo básico de Solver, es equivalente a hacer clic en el menú de Parámetros de
Solver, especificando las opciones del modelo.
Sintaxis
SolverOk(SetCell, MaxMinVal, ValueOf, ByChange)
SetCell: Variable opcional que hace referencia a la celda objetivo de la hoja de trabajo
active. Es equivalente a especificar la celda objetivo en el menú de herramientas de Solver.
MaxMinVal: Variable opcional que puede tomar los valores de 1, 2 o 3 dependiendo del
objetivo del problema, ya sea maximizar, minimizar o igualar a un determinado valor, la
siguiente tabla describe los valores que puede tomar esta variable.
MaxMinVal
1
Maximizar.
2
Minimizar.
3
Especificar un valor.
ValueOf: Variable opcional. Si MaxMinVal es 3, se debe especificar el valor de la función
objetivo.
ByChange: Variable opcional que especifica el rango de celdas que deberán cambiar con el
fin de cumplir con los requerimientos del modelo.
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Función SolverOkDialog
Descripción
Igual a la función SolverOk, con la salvedad que en este caso se muestra el cuadro de dialogo
de Solver.
Sintaxis
SolverOkDialog(SetCell, MaxMinVal, ValueOf, ByChange)
SetCell: Variable opcional que hace referencia a la celda objetivo de la hoja de trabajo
active. Es equivalente a especificar la celda objetivo en el menú de herramientas de Solver.
MaxMinVal: Variable opcional que puede tomar los valores de 1, 2 o 3 dependiendo del
objetivo del problema, ya sea maximizar, minimizar o igualar a un determinado valor, la
siguiente tabla describe los valores que puede tomar esta variable.
MaxMinVal
1
Maximizar.
2
Minimizar.
3
Especificar un valor.
ValueOf: Variable opcional. Si MaxMinVal es 3, se debe especificar el valor de la función
objetivo.
ByChange: Variable opcional que especifica el rango de celdas que deberán cambiar con el
fin de cumplir con los requerimientos del modelo.
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Función SolverOptions
Descripción
Especifica opciones avanzadas del modelo, esta función y sus argumentos corresponden a las
opciones en el cuadro de dialogo Opciones del menú de herramientas de Solver.
Sintaxis
SolverOptions(MaxTime, Iterations, Precision, AssumeLinear, StepThru, Estimates,
Derivatives, Search, IntTolerance, Scaling, Convergence, AssumeNonNeg)
MaxTime: Variable opcional que especifica la máxima cantidad de tiempo en segundos en que
Microsoft Exel espera resolver el problema. Este valor debe ser un entero positivo. El valor
por defecto, adecuado para la mayoría de problemas pequeños es 100, sin embargo se
pueden ingresar valores mayores como 32.767.
Iterations: Variable opcional que especifica la máxima cantidad de iteraciones en que
Microsoft Exel espera resolver el problema. Este valor debe ser un entero positivo. El valor
por defecto, adecuado para la mayoría de problemas pequeños es 100, sin embargo se
pueden ingresar valores mayores como 32.767.
Precision: Variable opcional que puede tomar valores entre 0 y 1 y especifica el grado de
precisión para ser usado en la resolución del modelo. El grado de precisión por defecto es
0.000001. Un decimal mayor como por ejemplo 0.0001 indica un grado de precisión menor. En
general para obtener altos grados de precisión se deben indicar decimales menores, sin
embargo el tiempo que Solver se toma en resolver el problema resulta mayor.
AssumeLinear: Variable opcional que toma el valor de True para que Solver asuma un modelo
lineal, esta opción solo se puede utilizar cuando todas las restricciones en el modelo son
lineales. El valor por defecto de esta opción es False.
StepThru: Variable opcional que toma el valor de True para hacer que Solver se detenga en
cada solución trivial, el valor por defecto de esta variable es False.
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18
Estimates: Variable opcional que especifica el tipo de aproximación utilizada para obtener
una estimación inicial de la variables básicas del modelo. Si la variable Estimates toma el
valor 1, el tipo de aproximación será tangencial, si toma el valor 2 el tipo de aproximación
será cuadrática. La aproximación tangencial se basa en un método de interpolación lineal. La
aproximación cuadrática se basa en un método de interpolación cuadrática. El valor por
defecto es 1 (estimación tangencial).
Derivatives: Variable opcional que especifica derivación progresiva o central para la
estimación de la función objetivo en el espacio solución restringido por las ecuaciones de
restricción. Si la variable Derivatives toma el valor 1, el tipo de derivación será progresiva, si
toma el valor 2 el tipo de derivación será central. La derivación central requiere de un
numero mayor de cálculos, sin embargo se recomienda su uso en modelos que tienen
problemas de convergencia. El valor por defecto es 1 (derivación progresiva).
Search: variable opcional que especifica el algoritmo de convergencia que se utilizara en
cada iteración para decidir en que dirección se encuentra la solución del modelo. Si la
variable Search toma el valor 1 se utilizara el algoritmo de convergencia de Newton, Si la
variable Search toma el valor 2 se utilizara el algoritmo de convergencia del Gradiente
Conjugado. El algoritmo de convergencia de Newton es el método de convergencia por
defecto. Este algoritmo de convergencia requiere más memoria que el método del Gradiente
Conjugado, sin embargo este ultimo algoritmo requiere de un menor número de iteraciones.
IntTolerance: Variable opcional que puede tomar valores entre 0 (cero) y 1, y especifica el
grado de tolerancia entera. Este argumento es aplicable solo si se han definido restricciones
enteras. Un alto grado de tolerancia puede aumentar el tiempo de convergencia del modelo.
Scaling: Variable opcional, si dos o más restricciones tienen grandes diferencias en sus
órdenes de magnitud, el valor True permite que Solver escale las restricciones a órdenes de
magnitud similares, durante la resolución del problema. Por ejemplo si se desea maximizar el
porcentaje de ganancias, basadas en millones de pesos de inversión, en este caso Scaling
debe asumir el valor False, con el fin de que Solver no escale las restricciones. El valor por
defecto de esta variable es False.
Convergence : Variable opcional que puede tomar valores entre 0 (cero) y 1, y especifica el
convergencia para modelos no lineales. Cuando el cambio relativo de la función objetivo es
menor que la convergencia para las ultimas 5 iteraciones, Solver se detiene informando que
se ha encontrado una solución y se han satisfecho todas las restricciones.
AssumeNonNeg: Variable opcional que asume el valor True cuando Solver asume como limite
inferior el 0 (cero) para todas las celdas cambiantes a excepción de las celdas que tengan
alguna restricción al respecto. Cuando esta variable asume el valor False, Solver se restringe
la búsqueda dentro de los límites especificados en las restricciones.
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19
Función SolverReset
Descripción
Elimina las referencias a todas las celdas y restricciones impuestas por el cuadro de dialogo
de Solver, además restaura la configuración por. La función SolverReset es llamada en forma
automática cuando se utiliza la función SolverLoad.
Sintaxis
SolverReset( )
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20
Función SolverSave
Descripción
Guarda la configuración de un modelo, planteado en una determinada hoja de trabajo.
Sintaxis
SolverSave(SaveArea)
SaveArea: Requiere como variable una referencia a una hoja activa y un rango de celdas en la
cual se desee cargar un modelo específico. SavedArea puede ser una hoja de trabajo o
cualquier hoja, pero se debe especificar su nombre si la hoja no esta activa. Por ejemplo:
SolverSave("Hoja2!A1:A3")
Guarda el modelo plantado en la Hoja2 en la eventualidad de que la Hoja2 no este activa.
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21
Función SolverSolve
Descripción
Ejecuta la resolución de un modelo, es equivalente a hacer clic en la opción Resolver del
menú de herramientas de Solver
Sintaxis
SolverSolve(UserFinish, ShowRef)
UserFinish: Variable opcional que puede asumir el valor True para que Solver no muestre el
cuadro de dialogo indicando la que se ha encontrado una solución. El valor por defecto de
esta variable es False.
ShowRef: Variable opcional que en el caso de asumir True traspasa a la variable StepThru
todos las opciones del modelo. El argumento ShowRef entrega el código de una macro en
formato de texto que puede servir como intermediaria para la resolución del modelo.
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22
Ejemplos
1. Encuentre una solución a la siguiente ecuación:
x x = 145
Solución
1) Asigne los siguientes nombres a las celdas que Ud. estime conveniente:
Funcion_Objetivo
x_
2) En la celda con nombre Funcion_Objetivo ingrese la formula correspondiente al lado
izquierdo de la ecuación, tal como se muestra a continuación:
=x_^x_
3) En la celda con nombre x_ escriba un valor de partida, por ejemplo 1. Evite partir con
valores Triviales.
4) Abra el Editor de Visual Basic e inserte un modulo.
5) Haga referencia a la librería Solver.xls
6) Copie el siguiente código en el modulo activo:
Sub Ejemplo_1()
SolverReset
SolverOk SetCell:="Funcion_Objetivo", MaxMinVal:=3, ValueOf:="145", ByChange:="x_"
SolverSolve UserFinish:=True
End Sub
7) Vuelva a la hoja de trabajo de Microsoft Excel y ejecute la macro Ejemplo_1.
La solución de esta ecuación es
x_ = 3.75867417536912
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23
2. Se plantea el siguiente problema de programación lineal.
Función Objetivo
Minimizar z =300* x1 + 500*x2
Sujeto a las siguientes restricciones:
x1 <= 4 (Restricción 1)
2*x2 <= 12 (Restricción 2)
3*x1 +2* x2 <= 18 (Restricción 3)
x1, x2 >= 0 (Restricción 4)
Solución
1) Asigne los siguientes nombres a las celdas que Ud. estime conveniente:
Funcion_Objetivo
x_1
x_2
R_2
R_3
2) En la celda con nombre Funcion_Objetivo ingrese la formula correspondiente a la
función objetivo tal como se muestra a continuación:
= 300* x1 + 500*x2
3) En la celda con nombre x_1, x_2 y R_2, R_3, escriba un valor de partida para cada
variable y la formula correspondiente al la restricción 2 y 3, respectivamente.
4) Abra el Editor de Visual Basic e inserte un modulo.
5) Haga referencia a la librería Solver.xls
6) Copie el siguiente código en el modulo activo:
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24
Sub Ejemplo_2()
SolverReset
SolverOk SetCell:="Funcion_Objetivo", MaxMinVal:=1, ValueOf:="0", ByChange:="x_1,x_2"
SolverOptions MaxTime:=100, Iterations:=100, Precision:=0.000001, AssumeLinear _
:=False, StepThru:=False, Estimates:=1, Derivatives:=1, SearchOption:=1, _
IntTolerance:=5, Scaling:=False, Convergence:=0.000001, AssumeNonNeg:=True
SolverAdd CellRef:="x_1", Relation:=1, FormulaText:="4"
SolverAdd CellRef:="R_2", Relation:=1, FormulaText:="12"
SolverAdd CellRef:="R_3", Relation:=1, FormulaText:="18"
SolverSolve UserFinish:=True
End Sub
7) Vuelva a la hoja de trabajo de Microsoft Excel y ejecute la macro Ejemplo_2. La
solución de problema de programación lineal es
x_1 = 2, x_2 = 6, Funcion_Objetivo = 3600
Observe que la variable AssumeNonNeg que forma parte de las opciones de Solver, toma el
valor True, variable que restringe el espacio solución a valores positivos, lo que permite
cumplir con la ultima restricción.
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25
Ejercicios Propuestos
1. La tabla de datos que se muestra a continuación contiene datos obtenidos durante
una prueba experimental.
x
y = f(x)
3,4
3,75
0,43894097
0,44244849
4,1
0,44484355
4,45
0,44647899
4,8
0,44759573
5,15
0,44835827
5,5
0,44887897
5,85
0,44923452
6,2
0,4494773
6,55
0,44964308
6,9
0,44975628
7,25
0,44983358
9,45
0,44998487
7,95
0,44992241
8,3
0,44994702
8,65
0,44996382
9
0,4499753
9,35
0,44998313
9,7
0,44998848
10,05
0,44999213
10,4
0,44999463
10,75
0,44999633
11,1
0,4499975
11,45
0,44999829
11,8
0,44999883
12,15
0,4499992
12,5
0,44999946
12,85
0,44999963
Se ha encontrado que los datos se ajustan a una función del tipo:
f( x ) = a ( 1 − e
( −b x )
)
Determine los parámetros a y b que permiten correlacionar los datos experimentales
a esta función.
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26
2. La tabla de datos que se muestra a continuación contiene datos obtenidos durante
una prueba experimental.
x
f(x)
0,43
0,47
1,50065076
1,54620502
0,51
1,58937453
0,55
1,63046026
0,59
1,66970633
0,63
1,70731383
0,67
1,74345062
0,71
1,77825847
0,75
1,81185832
0,79
1,84435431
0,83
1,8758368
0,87
1,9063848
0,91
1,93606783
0,95
1,96494744
0,99
1,99307839
1,03
2,02050965
1,07
2,04728525
Se ha encontrado que los datos se ajustan a una función del tipo:
f( x ) = x a + x b
Determine los parámetros a y b que permiten correlacionar los datos experimentales
a esta función.
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27
3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales.
2 cos( φ2 ) + 3 cos( φ3 ) + 4 = 0
2 sin( φ2 ) + 3 sin( φ3 ) = 0
4. A partir del siguiente circuito de flotación, desarrolle el balance de flujos y finos
considerando un factor de peso para cada dato experimental.
Datos experimentales
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