17 junio 2003. Examen y solución detallada

Examen Teoría de Circuitos. 17 junio 2003. Ingeniería Técnica Industrial. Universidad de La Laguna
Profesor: Fernando Gago Rodríguez. Nombre
del alumno:
Problema 1 (2.5 puntos)
La onda periódica de la Figura 1 representa la intensidad que atraviesa una
resistencia de 5 . Se pide:
1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
1.5)
1.6)
1.7)
El valor medio de la intensidad por la resistencia (0.5 p):
El valor eficaz de la intensidad por la resistencia (0.5 p):
La potencia media consumida por la resistencia (0.5 p):
La potencia máxima consumida por la resistencia (0.25p):
La potencia mínima consumida por la resistencia (0.25p):
El período de la corriente por la resistencia (0.25 p):
La potencia instantánea consumida por la resistencia para t =1.5 s (0.25 p):
Figura 1
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Profesor: Fernando Gago Rodríguez. Nombre
del alumno:
Problema 2 (4 puntos)
V1 = 120*sin (6t+ 0.8rad)
V1 está expresado en voltios y con la polaridad indicada en el dibujo.
t está expresado en segundos y el valor de la resistencia en ohmios. El ángulo en
radianes.
En el instante t=0 el interruptor, que estaba abierto, se cierra. Se pide:
2.1)
2.2)
2.3)
Expresión del valor de la corriente en función del tiempo (0.4p):
Expresión de la tensión en la resistencia (VA-VB) en función del tiempo (0.4p):
Expresión de la tensión en la inductancia (VB) en función del tiempo (0.4 p):
2.4)
2.5)
Tensión instantánea en la resistencia (VA-VB) para t=0s (0.2p):
Tensión instantánea en la inductancia (VB) para t=0s (0.2p):
2.6)
2.7)
2.8)
Potencia consumida por la inductancia para t=0s (0.15p):
Potencia consumida por la resistencia para t=0s (0.15p):
Potencia generada por la fuente para t=0s (0.15p):
2.9)
2.10)
2.11)
Potencia consumida por la inductancia para t=1s (0.15p):
Potencia consumida por la resistencia para t=1s (0.15p):
Potencia generada por la fuente para t=1s (0.15p):
2.12)
2.13)
2.14)
2.15)
Potencia media consumida en la resistencia en régimen permanente (0.1p):
Potencia media consumida en la inductancia en régimen permanente (0.1p):
Potencia máxima consumida por la resistencia en régimen permanente (0.2p):
Potencia mínima consumida por la resistencia en régimen permanente (0.2p):
2.16)
2.17)
Constante de tiempo del circuito (0.1p):
Valor del tiempo a partir del cual podemos considerar que estamos en régimen
permanente (0.1p):
2.18)
Período de la corriente en régimen permanente (0. 1p) :
2.19)
2.20)
Energía consumida por la resistencia entre t1=20s y t2=21.0472s (0.3p):
Energía consumida durante un período por la inductancia en régimen permanente (0.3
p):
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Profesor: Fernando Gago Rodríguez. Nombre
del alumno:
Problema 3 (3.5 puntos)
Sea el circuito:
V1 = 141.4214 * sin (100* *t)
V1 está expresado en voltios, la resistencia en ohmios, el tiempo en segundos y
el ángulo en radianes.
Se pide, en régimen permanente:
3.1) Valor eficaz de la corriente (0.4p):
3.2) Potencia activa consumida por R1 (0.3p):
3.3) Potencia reactiva consumida por R1 (0.3p):
3.4) Potencia activa consumida por C1 (0.3p):
3.5) Potencia reactiva consumida por C1 (0.3p):
3.6) Potencia activa consumida por L1 (0.3p):
3.7) Potencia reactiva consumida por L1 (0.3p):
3.8) Factor de potencia visto desde la fuente (0.3p):
3.9) ¿Qué frecuencia debería tener la fuente de alimentación para que la corriente por la fuente
fuera máxima? (0.5p):
3.10) ¿Cuánto valdría la corriente (valor eficaz) en esa situación? (0.5p):
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del alumno:
Para evitar confusiones se recuerda que el punto “.” es el separador decimal (no separador
de miles). Así, por ejemplo, 2.002 significa “2 con 2 milésimas” y no “2002”
Trabájese, al menos, con 4 cifras significativas y con unidades del Sistema Internacional.
Indicar SIEMPRE, al lado de cada resultado, la unidad en que está expresado.
Entregar únicamente las 2 hojas de examen con las respuestas al lado de las
correspondientes preguntas.
PARA APROBAR hay que cumplir la siguientes 2 condiciones:
Obtener al menos 5 puntos en total.
En cada problema hay que obtener al menos un 25% de su
puntuación.
TIEMPO TOTAL PARA REALIZAR EL EXAMEN: 2h30’
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Laguna
Profesor: Fernando Gago Rodríguez. Nombre
del alumno:
Problema 1 (2.5 puntos)
La onda periódica de la Figura 1 representa la intensidad que atraviesa una
resistencia de 5 . Se pide:
1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
1.5)
1.6)
1.7)
El valor medio de la intensidad por la resistencia (0.5 p): 2A
El valor eficaz de la intensidad por la resistencia (0.5 p): 2.6247 A
La potencia media consumida por la resistencia (0.5 p): 34.444 W
La potencia máxima consumida por la resistencia (0.25p): 125 W
La potencia mínima consumida por la resistencia (0.25p): 0 W
El período de la corriente por la resistencia (0.25 p): 3s
La potencia instantánea consumida por la resistencia para t =1.5 s (0.25 p): 80 W
Figura 1
Solución:
1) El valor medio de la corriente en un período se calcula como:
(1/T) *
to
to+T
i(t)dt
Para resolver la integral hay que calcular i(t) de forma analítica (calcular su expresión).
Integremos por ejemplo en el período que va de 0s a 3s. La expresión de i(t) es:
i(t) = 2t +1 , para t entre 0s y 2s.
i(t) = 0, para t entre 2s y 3s.
Por tanto:
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0
0
3
i(t)dt =
0
2
i(t)dt =
0
2
i(t)dt +
2
(2t+1) dt = (t2 + t) ]02 = 6.
2
3
i(t)dt =
Así pues, el valor medio será:
0
2
del alumno:
i(t)dt,
(1/T) *
ya que i(t) vale 0 entre 2s y 3s.
to
to+T
i(t)dt = (1/3) *
0
3
i(t)dt = 2 A
El valor de la integral se podría haber calculado directamente obteniendo el área debajo de la
función. En este caso, el área es la suma del área de un rectángulo más un triángulo.
o Un rectángulo de 2*1 Área = 2
o Un triángulo de base 2 y altura 4 Área = 4
o Total del área = 6, que es el valor de la integral.
2) El valor eficaz de la corriente en un período se calcula como:
2
ief
= (1/T) *
to
to+T 2
i (t)dt
Integremos, por ejemplo, en el período que va de 0s a 3s.
0
0
3 2
i (t)dt =
2 2
i (t)dt =
0
0
2 2
i (t)dt +
2
2
3 2
i (t)dt =
(2t+1)2 dt =
0
2
0
2 2
i (t)dt, ya que i(t) vale 0 entre 2s y 3s.
(4t2+4t + 1) dt = ((4/3)t3 + 2t2 + t) ]02 = 20.6667
Por tanto:
2
ief
= (1/3) *
0
3 2
i (t)dt = 6.8889
ief = 2.6247 A
3) La potencia media es:
Pmedia = = (1/T) *
to
to+T
p(t)dt = (1/T) *
to
to+T 2
i (t)*R*dt = R* ief2 = 34.444 W
4) La potencia máxima se produce cuando el valor absoluto de la corriente es máximo, es decir,
cuando vale 5A. Por tanto, la potencia máxima será: 52 * R = 125 W.
5) La potencia mínima se produce cuando el valor absoluto de la corriente es mínimo, es decir,
cuando vale 0A. Por tanto, la potencia máxima será: 02 * R = 0 W.
6) El período son 3s.
7) En t =1.5 s la corriente vale (2t+1) = 4 A. La potencia será 42 * R = 80 W.
En la siguiente gráfica se representa la evolución de la potencia en función del tiempo durante un
ciclo, así como el valor medio de la potencia.
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del alumno:
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Laguna
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del alumno:
Problema 2 (4 puntos)
V1 = 120*sin (6t+ 0.8rad)
V1 está expresado en voltios y con la polaridad indicada en el dibujo.
t está expresado en segundos y el valor de la resistencia en ohmios. El ángulo en
radianes.
En el instante t=0 el interruptor, que estaba abierto, se cierra. Se pide:
2.1)
2.2)
2.3)
Expresión del valor de la corriente en función del tiempo (0.4p):
Expresión de la tensión en la resistencia (VA-VB) en función del tiempo (0.4p):
Expresión de la tensión en la inductancia (VB) en función del tiempo (0.4 p):
2.4)
2.5)
Tensión instantánea en la resistencia (VA-VB) para t=0s (0.2p): 0V
Tensión instantánea en la inductancia (VB) para t=0s (0.2p): 86.08 V
2.6)
2.7)
2.8)
Potencia consumida por la inductancia para t=0s (0.15p): 0W
Potencia consumida por la resistencia para t=0s (0.15p): 0W
Potencia generada por la fuente para t=0s (0.15p): 0W
2.9)
2.10)
2.11)
Potencia consumida por la inductancia para t=1s (0.15p): –953.74 W
Potencia consumida por la resistencia para t=1s: (0.15p): 267.72 W
Potencia generada por la fuente para t=1s (0.15p): -686.02 W
2.12)
2.13)
2.14)
2.15)
Potencia media consumida en la resistencia en régimen permanente (0.1p): 360 W
Potencia media consumida en la inductancia en régimen permanente (0.1p): 0W
Potencia máxima consumida por la resistencia en régimen permanente (0.2p): 720 W
Potencia mínima consumida por la resistencia en régimen permanente (0.2p): 0 W
2.16)
2.17)
Constante de tiempo del circuito (0.1p): 0.5 s
Valor del tiempo a partir del cual podemos considerar que estamos en régimen
permanente (0.1p): 3s
2.18)
Período de la corriente en régimen permanente (0. 1p) : 1.0472 s
2.19)
2.20)
Energía consumida por la resistencia entre t1=20s y t2=21.0472s (0.3p): 376.99 J
Energía consumida durante un período por la inductancia en régimen permanente (0.3
p): 0J
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Solución:
La ecuación diferencial es: V1(t) = R*i(t) + L*di(t)/dt
Homogénea: 0 = R*i(t) + L*di(t)/dt
Particular
fasores:
0 = (R+LD)i
ihomogénea(t) = k*e-(R/L)t
Por ejemplo, la i(t) en permanente. Resolvemos el permanente por el método de los
120 * sin (6t +0.8)
El fasor es: V1 = 120/sqrt(2) con fase 0.8 rad
ZR = R = 2 ohm
ZL = wLj = 6j ohm
Por tanto, el fasor I = V1 / (2+6j) = 18.9737/sqrt(2) con fase de –0.449046 rad
De este modo, la corriente en función del tiempo en permanente será:
ipermanente(t) = iparticular(t) = 18.9737*sin (6t-0.449046)
itotal (t) = ihomogénea (t) + iparticular(t) = k*e-(R/L)t + 18.9737*sin (6t-0.449046)
Aplicamos la condición inicial de que en t=0s la corriente es 0A (el circuito estaba abierto antes
y la corriente no puede cambiar bruscamente en una inductancia). Por tanto itotal (0) = 0A. Ello
nos lleva a una k que vale 8.2366
itotal (t) = 8.2366*e-2t + 18.9737*sin (6t-0.449046)
vR(t) = R*itotal (t) = 16.4732*e-2t + 37.9474*sin (6t-0.449046)
vL(t) = L*d(itotal (t))/dt = -16.4732*e-2t + 113.8422*cos (6t-0.449046) =
-16.4732*e-2t + 113.8422*sin (6t+1.12175)
Valores en t=0s
Si todo está bien calculado, la corriente en 0 debería ser 0A. Por tanto, la tensión en la resistencia
para t=0s debería ser 0 V. Si sustituimos en la expresión de arriba para VR(t) para t =0 debería salir 0
si está bien operado. Compruébese que es así.
Para calcular la tensión en la inductancia, sustituimos en la expresión de VL(t). Sale 86.08 V. Para
comprobar que está bien calculado, en t=0 la tensión en la fuente debería coincidir con este valor, ya
que la tensión en la resistencia hemos visto que es nula por lo que la de la fuente cae toda en la
inductancia. Compruébese sustituyendo en la expresión de V1(t) para t=0.
En t=0, todas las potencias valen 0 porque la corriente es 0.
Valores en t=1s
Sustituyendo en las expresiones de arriba:
i(1) = -11.5698 A; VR(1) = -23.1396 V; VL(1) = 82.4333 V ; V1 (1) = 59.2936. Lógicamente
V1(1) = VR(1) + VL(1)
Potencia consumida resistencia = VR(1) * i (1) = i2(1) * R = 267.72 W
Potencia consumida inductancia = VL(1) * i (1) = -953.74 W (realmente está generando).
Potencia generada por V1 = V1(1) * i(1) = -686.02 W (realmente está consumiendo)
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Lógicamente lo generado por V1 es igual a la suma de lo consumido por R y L.
Potencias en régimen permanente:
En régimen permanente la parte exponencial de las corrientes y tensiones es despreciable. La
potencia media en la inductancia (potencia activa) es 0. La potencia media en la resistencia es su
potencia activa = Ief*Ief*R, donde el valor eficaz de la corriente es el máximo dividido por raíz de 2.
Por tanto:
Potencia media resistencia = (18.9737/sqrt(2))2 * R = 360.00 W.
La potencia máxima en la R se producirá cuando la corriente tenga su valor máximo (18.9737 A) y
valdrá 18.97372 * R = 720.00 W.
La potencia mínima en la R se producirá cuando la corriente pase por su mínimo en valor absoluto (0
A) y será, lógicamente, 0 W.
Constante de tiempo:
Será =L/R = 0.5 s. Por tanto, el régimen permanente se alcanzará transcurridos aproximadamente 6
= 3s.
Período:
w = (2 ) / T = 6 rad /s
T = 1.0472s
Energías:
Nos piden la energía en la resistencia entre 20 y 21.0472s. Fijémonos que es la energía en justo un
período. Por tanto podemos decir que la energía en un período es la potencia media en un período por
su duración, es decir, 360 W * 1.0472 s = 376.99 J. Razonando de igual modo, para la inductancia, al
ser la potencia media 0, sale que la energía es 0 J.
De todos modos, se podría haber usado el método general de integrar la potencia para calcular la
energía:
Energía en R =
Energía en L =
t2
t1
t2
t1
p(t)dt =
p(t)dt =
t2
t1
t2
t1
vR(t)*i(t)dt = t1t2 i2(t)Rdt = 376.99 J
vL(t)*i(t)dt = 0 J
En las expresiones de tensión y corriente podemos despreciar la parte exponencial ya que estamos en
régimen permanente y, por tanto, deberían ser insignificantes.
Solución gráfica:
En la siguiente gráfica se ve la evolución de las tensiones de la fuente, resistencia e inductancia en
función del tiempo:
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Veamos ahora las potencias instantáneas en los distintos elementos:
La potencia media consumida en la inductancia es 0 en permanente. En la resistencia es siempre
positiva la potencia consumida. La potencia generada en la fuente es la suma de la consumida
por resistencia e inductancia.
Ampliemos la gráfica anterior entorno a 1s para ver que los valores calculados con anterioridad
de potencias instantáneas son correctos.
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Problema 3 (3.5 puntos)
Sea el circuito:
V1 = 141.4214 * sin (100* *t)
V1 está expresado en voltios, la resistencia en ohmios, el tiempo en segundos y
el ángulo en radianes.
Se pide, en régimen permanente:
3.1) Valor eficaz de la corriente (0.4p): 0.3477 A
3.2) Potencia activa consumida por R1 (0.3p): 2.4181 W
3.3) Potencia reactiva consumida por R1 (0.3p): 0 VAr
3.4) Potencia activa consumida por C1 (0.3p): 0 W
3.5) Potencia reactiva consumida por C1 (0.3p): -38.4859 VAr
3.6) Potencia activa consumida por L1 (0.3p): 0 W
3.7) Potencia reactiva consumida por L1 (0.3p): 3.7984 VAr
3.8) Factor de potencia visto desde la fuente (0.3p): 0.0695 (capacitivo)
3.9) ¿Qué frecuencia debería tener la fuente de alimentación para que la corriente por la fuente
fuera máxima? (0.5p): 159.15 Hz
3.10) ¿Cuánto valdría la corriente (valor eficaz) en esa situación? (0.5p): 5A
Solución:
Usamos el método de los fasores:
V1 141.4214 / sqrt(2) a 0 º = 100 a 0º.
w = 100 rad / s = 100*pi rad /s f = 50 Hz
ZR = 20 = 20 ohm
ZL = wL*j = 31.4159 j
Zc = -1 /(wC) * j = -318.31 j
Ztotal = 20 – 286.89 j 287.5902 a –86.012 grados.
I = V1 / Ztotal = 0.347717 a 86.012 grados.
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En la resistencia la potencia reactiva es nula (desfase entre la tensión en bornes de la
resistencia y la corriente que pasa por ella es 0º). En la inductancia la potencia activa es nula
(desfase entre la tensión en bornes de la inductancia y la corriente que pasa por ella es +90º).
En el condensador la potencia activa es nula (desfase entre la tensión en bornes del
condensador y la corriente que pasa por él es -90º).
P en R = Ief*Ief*|ZR|*cos (0º) = 2.4181 W (activa)
Q en L = Ief*Ief*|ZL|*sin(+90º) = 3.7984 VAr (reactiva)
Q en C = Ief*Ief*|ZC|*sin(-90º) = -38.4859 VAr (reactiva)
P consumida total por cargas = 2.4181 W
Q consumida total por cargas = -34.6875 VAr
S consumida = S en la fuente = sqrt (P*P + Q*Q) = 34.77 VA (potencia aparente) que debe
ser igual a |V|*|I| = 100 * 0.3477 = 34.77 VA
Factor de potencia = P / S = 0.0695 que debe ser igual al cos (fi) siendo fi el ángulo de
desfase entre V e I en la fuente, es decir, (-86.012º). cos (fi) = 0.0695, lo mismo. El factor de
potencia se dice que es capacitivo porque la Q total es negativa (puede más el efecto del
condensador).
La frecuencia de la pregunta 3.9 es la de resonancia. Aquella en que la Z de la L se anula
con la Z del C, de modo que la Z total es mínima e igual a la R. Para ello: wL = 1/(wC)
f = 159.15 Hz. A esa frecuencia, ZL = 100j y ZC = -100j. La
w=1/sqrt(LC) = 1000 rad /s
Ztotal = 20 ohm
Ieficaz = 100 / 20 = 5A. Fijarse que a esa frecuencia la tensión en la L
tiene un valor de 500j (valor eficaz, es decir, lo que marcaría un voltímetro, 500V). En el C,
la tensión es de –500 j (valor eficaz también 500). En la R, habría 100 V, justo los que tiene
la fuente. Aunque la tensión de la L se compensa con la de la C, cada uno de los elementos
independientemente está sometido a una fuerte sobretensión.