1. Se dispone de un conjunto de ordenadores que requieren

1.
Se dispone de un conjunto de ordenadores que requieren enviarse información entre ellos (el ordenador i tiene
que enviar al ordenador j una cantidad de paquetes de información wij ). El envı́o de los paquetes no pueden
ser enviados directamente, tienen que enviarse a través de otros que serán transformados en concentradores.
Para cada par de ordenadores concocemos el coste que tendrı́a por paquete enviado entre ellos. Los paquetes de
información deben ser enviado a un concentrador, del concentrador puede ir directamente o a otro concentrador
y de allı́ al ordenador final. El problema consiste en determinar qué ordenadores son transformados en concentrador, y determinar las diferentes rutas de envı́o de paquetes de información entre ordenadores empleando los
concentradores localizados. Suponemos que el número de concentradores es fijo y conocido de antemano. El coste
de transporte de paquetes entre nodos concentradores se ve afectado por un factor de descuento α < 1. Y existe
unos factores que afectan a los costes de recolección χ (coste de envı́o entre nodo y concentrador) y un factor
que afectan a los costes de distribución δ (coste de concentrador a nodo). De manera que si un nodo i envı́a
paquetes al nodo j, empleando los concentradores k y m, i 7−→ k 7−→ m 7−→ j, entonces el coste unitario de la
ruta es:
Cijkm = χCik + αCkm + δCmj
En la siguiente tabla se exponen las coordenadas de la posición de los ordenadores. El coste de envı́o entre dos
ordenadores es proporcional a la distancia euclı́dea entre ambos.
1
20355.966023
39988.592020
23572.548971
37304.369590
24512.513179
40867.253869
27520.840478
36067.877874
19345.710923
33635.749233
16167.127237
19773.197847
31529.184022
32079.249435
38835.826089
38565.884488
46921.515986
44894.490748
51972.040940
49663.479404
El total de paquetes enviados entre cada par de ordenadores
75.455160
25.793680
66.812590
17.329130
17.485420
11.607170
82.372600
35.143120
12.196230
21.717650
36.992250
38.375560
39.315400
33.119610
25.137020
18.441950
77.535140
41.734510
11.899530
24.963930
54.503740
24.997800
51.186310
18.761160
21.182770
12.168340
90.449230
36.299460
15.345270
22.806940
19.269930
26.576220
22.408500
24.907980
19.093040
16.115400
67.791970
48.415280
10.239040
27.790220
20.093530
18.289200
24.202840
16.361600
23.480380
11.117000
95.057940
35.711070
18.935880
23.083630
17.650830
23.168780
20.514430
22.929530
18.306310
16.942850
72.635600
57.578140
11.158610
32.891690
56.770230
38.161870
70.558250
40.161070
73.409770
37.166850
312.258790
173.373140
67.875160
109.098310
17.080500
20.412130
20.242000
23.146280
20.087670
21.828940
98.826690
89.946000
15.064250
50.846560
18.831190
12.482780
22.999690
11.420450
23.889580
9.556350
110.006660
41.226350
23.622110
30.247210
16.385700
16.597520
19.424020
18.670240
19.434310
18.066350
110.368410
91.825380
20.372560
63.327840
Se requiere:
a) Formular el problema como modelo de programación matemática.
b) Transcribir el modelo empleando uno de los lenguajes de modelización estudiados (XPRESS-MP o AMPL).
c) Realizar el un programa de forma que empleando una de las subrutinas estudiadas, resuelva el modelo.
2
2.
Una refinerı́a de petróleo compra dos tipos de crudo (crudo 1 y crudo 2). Estos crudos se pasan por cuatro
procesos: destilación, reforming, cracking, y mezcla, para producir gasolina y gasoil para venta.
Destilación separa el crudo en fracciones conocidas como nafta ligera, nafta media, nafta pesada, aceite ligero,
aceite pesado y residuos de acuerdo a sus puntos de ebullición. Naftas ligeras, medias y pesadas tienen 90, 80 y
70 octanos respectivamente. Las fracciones en las cuales un barril de cada tipo de crudo se divide vienen dadas
en la siguiente tabla:
Crudo 1
Crudo 2
Nafta
ligera
0.1
0.15
Nafta
media
0.2
0.25
Nafta
pesada
0.2
0.18
Aceite
ligero
0.12
0.08
Aceite
pesado
0.2
0.19
Residuos
0.13
0.12
Nota: Hay una pequeña cantidad de basura producida por la destilación.
Reforming. Las naftas pueden ser usadas inmediatamente para mezclarlas inmediatamente en diferentes grados
de combustibles, o ir directamente a un proceso conocido como reforming. Este proceso produce un producto
conocido como gasolina reformada con 115 octanos. La producción de gasolina reformada de cada barril de
diferentes naftas son:
1 barril de nafta ligera produce 0.6 barriles de gasolina reformada.
1 barril de nafta media produce 0.52 barriles de gasolina reformada.
1 barril de nafta pesada produce 0.45 barriles de gasolina reformada.
Cracking. Los aceites (ligero y pesado) pueden ser directamente empleados para mezclas en jet fuel o fuel oil,
o pueden ser pasados por un proceso denominado cracking. Este proceso produce aceite craqueado o gasolina
craqueada. La gasolina craqueada tien 105 octanos.
1 barril de aceite ligero produce 0.68 barriles de aceite craqueado y 0.28 barriles de gasolina craqueada.
1 barril de aceite pesado produce 0.75 barriles de aceite craqueado y 0.2 barriles de gasolina craqueada.
El aceite craqueado es empleado para mezclar en fuel oil y jet fuel, la gasolina craqueada es empleada para
producir combustible.
Los residuos pueden ser empleados para producir o lube oil o mezclar en fuel oil o jet fuel.
1 barril de residuos producen 0.5 barriles de lube-oil.
Mezcla. Hay dos tipos de combustibles regular y premium, obtenidos por mezclas de nafta, gasolina reformada,
y gasolina craqueada. La única restricción es que el resultado tiene que tener al menos 84 octanos (regular), y la
premium como mı́nimo 94 octanos. Se asume que el número de octanos se mezcla linealmente con el volumen.
Jet fuel debe verificar que la presión del vapor no debe exceder 1 kilogramo por cm2 . La presión del vapor para
los aceites craqueados ligeros, pesados, craqueados y residuos son 1.0, 0.6, 1.5 y 0.05 kgr/cm2 , respectivamente.
También se asume que la presión de vapor se mezcla linealmente con el volumen.
Fuel oil. Para producir fuel oil, aceite liegro, aceite craqueado, aceite pesado y residuos debe ser mezclados en el
ratio 10:4:3:1.
Las disponibilidades y las limitaciones de capacidad en las cantidades y procesos usados son:
3
La disponibilidad diaria de crudo 1 es de 20000 barriles.
La disponibilidad diaria de crudo 2 es de 30000 barriles.
Como máximo 45000 barriles de crudo pueden ser destilados al dı́a.
Como máximo 10000 barriles de nafta puede ser reforming al dı́a.
Como máximo 8000 barriles de aceite pueden ser craqueados al dı́a.
La producción diaria de lube oil debe ser entre 500 y 1000 barriles.
El combustible premium debe ser como mı́nimo el 40 % de la producción del regular.
Combustible Premium
Combustible Regular
Los beneficios de la venta por cada barril son: Jet fuel
Fuel oil
Lube oil
700
600
400
350
150
Se pide:
a)
Formular el problema como modelo de programación matemática.
b)
Escribirlo empleando un lenguaje de modelización conocido (AMPL o XPRESS), y resolverlo.
c)
Realizar un programa, empleando alguna de las subrutinas vistas, de manera que resuelva el modelo.
4
3. EMPRESA DE IMPRESORAS II
Una pequeña empresa se dedica casi exclusivamente a la producción de
impresoras, bien de tipo láser (IL) o bien de chorro de tinta (IC), debido a que dispone
de una única cadena de producción.
De manera esporádica, también produce teclados inalámbricos (TI) para lo cual
debe poner en funcionamiento una maquinaria que en condiciones normales permanece
apagada, y esto con un coste semanal fijo estimado de 300 €.
Para maximizar el beneficio del próximo mes, la empresa se pone en contacto
con un gabinete de analistas para que les determine la producción semanal de cada uno
de los tres productos, teniendo en cuenta que no es necesario vender todo lo producido
en cada semana, sino que puede quedar en stock, siendo el stock inicial de cada
producto para el estudio solicitado de 10 IL, 8 IC y 15 TI.
Para que el estudio sea realizado, la empresa entrega la siguiente información al
gabinete de analistas:
1. Según estudios de producción realizados con los datos de los últimos 5 años, la
empresa puede fabricar 12 IL/h, 15 IC/h y 20 TI/h.
2. Las horas de trabajo disponibles en una semana normal son 40 horas (8 h/día),
pero en el mes objeto de estudio, la semana 3ª tiene un día festivo en el que la
empresa cerrará.
3. El material con el que más problemas tiene la empresa a la hora de la producción
es el plástico, con una disponibilidad semanal de 500 m2, necesitando cada
unidad de producto la siguiente cantidad:
dm2 plático
IL
125
IC
90
TI
75
4. La producción de los tres tipos de artículos está doblemente limitada, por un
lado respecto del número máximo que por convenio con los trabajadores pueden
producir cada semana, y por otro lado por las limitaciones de almacenaje
existentes:
Producc. máxina semanal
Capacidad max. almacenaje
IL
150
200
IC
200
300
TI
250
400
La capacidad máxima de almacenaje ha sido obtenida suponiendo que el
almacén se dedicara únicamente a es producto.
5. Los precios de venta así como los costes de producción y almacenaje válidos
para loas semanas sin días festivos son:
Precio de venta (€)
Costes de producción (€)
Costes de almacenaje (€)
IL
300
200
10
IC
150
100
5
TI
50
30
2
Para la semana con el día festivo cambia el precio de venta y los costes de
almacenaje debido que en dicho día se deben pagar horas extras de vigilancia en
el almacén, y para cubrir estos gastos extras, el precio de los productos deben ser
incrementados:
Precio de venta (€)
Costes de almacenaje (€)
IL
330
12
IC
165
7
TI
60
3
6. Los pedidos confirmados para el mes en estudio y que deben quedar satisfechos
a final de mes son:
1ª semana
2ª semana
3ª semana
4ª semana
IL
100
175
70
100
IC
150
100
250
130
TI
200
50
300
150
Con toda esta información, la empresa quiere que el gabinete de analistas le remita
un informe indicando:
•
•
•
Cuántas unidades producir de cada tipo de producto cada semana.
Cuántas unidades de cada producto debe servir cada semana para cumplir con
los pedidos.
Nivel de stock de cada producto al final de cada semana.
con el único fin de maximizar su beneficio total.
4. FABRICA DE HARINAS
Una empresa produce harina de dos calidades (primera y segunda) en cada una
de sus dos factorías, la cual es utilizada en distintas pastelerías para la elaboración de
sus productos (pan y dulces).
Para llevar a cabo su producción, la empresa dispone diariamente de 3 tonelada
de grano en su factoría 1 y de 3.5 toneladas en su factoría 2. El proceso de producción
de ambas factorías transforma el grano en harina, pero no en la misma cantidad ya que
en este proceso se producen pérdidas debido a las partes del grano que no son utilizadas
para generar harina. Teniendo en cuenta esto, 1 kg de grano se transforma en 600 g de
harina de 1ª calidad o en 800 g si la harina es de 2ª, si es enteramente dedicado a la
elaboración de un único tipo de harina.
Conseguir 1 kg de harina de 1ª calidad supone un coste de 50 céntimos de euro
en la factoría 1, y de 60 cent. en la factoría 2, mientras que para la harina de 2ª calidad
el coste de 1 kg es de 45 cent. si es producida en la factoría 1 y de 40 cent. si lo es en la
factoría 2.
La empresa suministra sus productos a 3 pastelerías que diariamente le realizan
los siguientes pedidos de cada tipo de harina:
(Kg)
Pastelería 1
Pastelería 2
Pastelería 3
1ª calidad 2ª calidad
400
600
500
800
300
500
La empresa se hace cargo de los costes de transporte los cuales dependen de la
factoría de origen, de la pastelería destino y del tipo de harina, pues cada tipo de harina
exige un embalaje distinto con coste diferente, estando estos estimados por kg de
producto de la siguiente forma:
(céntimos de € / kg)
Pastelería 1 Pastelería 2 Pastelería 3
Factoría
Harina 1ª calidad
2
3
2
Nº 1
Harina 2ª calidad
1
2
3
Factoría
Harina 1ª calidad
3
1
1
Nº 2
Harina 2ª calidad
2
1
2
Por motivos desconocidos para la empresa productora de harinas, la pastelería 2
exige que cada tipo de harina le sea enviada de una factoría distinta, aunque le es
indiferente qué factoría satisfaga su demanda cada día, y no es necesario que sea
siempre la misma factoría la que le sirva el mismo tipo de harina.
Determinar cuántos kg de cada tipo de harina debe producir cada factoría y
cómo deben ser servidos los pedidos de las pastelerías de manera que el coste total sea
minimizado.
5.
Suscripción a revistas cientı́ficas en una hemeroteca
La Hemeroteca de una Universidad debe establecer el paquete de tı́tulos de re-
vistas cientı́ficas a las que se va a suscribir para el próximo año. La Hemeroteca debe
realizar esta selección de forma que se minimice el gasto total de “acceso a artı́culos”
por parte de los profesores, además de cumplirse una serie de premisas. Este gasto
viene dado por la suma de los gastos de suscripción a las revistas más el gasto de
petición, por parte de los profesores, de los artı́culos de aquellas revistas a las que
la Hemeroteca no está suscrita. Hasta ahora este procedimiento era realizado por el
jefe de servicio en base a criterios personales, basados en la experiencia, pero sin un
método que asegure la elección óptima.
El procedimiento es el siguiente. Cada Departamento de la Universidad envı́a a
la Hemeroteca una lista con los tı́tulos de revistas que desea para el próximo año.
El número de tı́tulos no está limitado, aunque los Departamentos saben que seguramente no todas sus solicitudes serán satisfechas. Lógicamente, los departamentos
más grandes tendrán derecho a más solicitudes satisfechas que los departamentos
de menor tamaño, considerando pues el número de profesores pertenecientes a cada
departamento como criterio para el reparto. Aparte de ésta, se tienen naturalmente
otras consideraciones.
De cada revista conocemos una serie de datos, como son las áreas de conocimiento
que abarca, su precio de suscripción, ası́ como el número de artı́culos, en promedio,
que deberı́amos solicitar de dicha revista en caso de no suscribimos. Este número es
una estimación, que se hace en base a datos históricos. Asimismo se conoce el coste
en el que incurre la Hemeroteca al solicitar un artı́culo de dicha revista. Además,
algunas revistas pertenecen a una misma editorial, por lo que algunos editores nos
ofertan un precio por lote de revistas, es decir, un precio especial de suscripción en
caso de suscribimos a un conjunto dado de revistas.
Se dispone de un presupuesto limitado para la suscripción anual a tı́tulos de
revistas.
1
Dado el anterior planteamiento del problema general, que se da en muchas hemerotecas universitarias, plantea un modelo de programación lineal (entera) que
resuelva el problema concreto cuyos datos se presentan a continuación. La siguiente
tabla da los distintos departamentos, el número de profesores de cada uno, y las
revistas de las que solicitan artı́culos:
Dpto. \ Revistas
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 n.o prof.
Dpto. 1
x
Dpto. 2
x
x
x
x
Dpto. 3
x
80
x
Dpto. 4
x
40
x
x
x
x
x
15
x
25
Los precios de suscripción por revista, artı́culo y lote (en euros), ası́ como la estimación del número de artı́culos a pedir de cada revista y las revistas que componen
cada lote son:
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
precio lote
precio suscrip. 300 250 400 325 600 450 375 300
precio artic.
n.o artic.
2
2
3
2
3
2
2
-
2
-
125 150 225 175 210 180 190 150
Lote 1
x
x
-
x
Lote 2
800
x
x
x
1100
Las áreas de conocimiento cubiertas por cada revista son las siguientes:
áreas conoc. \ revistas
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
A1
x
x
x
A2
x
x
A3
x
x
A4
x
A5
x
A6
x
x
2
x
x
x
x
x
x
x
x
Además de los datos anteriores, se han establecido las siguientes premisas:
Todos los Departamentos deben tener satisfecha al menos una de sus peticiones.
Todas las áreas de conocimiento deben quedar cubiertas.
El número de peticiones satisfechas de un departamento debe ser al menos
proporcional al número de profesores de ese departamento con respecto al
total.
No se debe exceder el presupuesto destinado exclusivamente a suscripciones,
que es de 1500 euros.
Se debe utilizar al menos una de las ofertas (lotes).
3
6.
Adquisición de revistas de divulgación en una
biblioteca
La hemeroteca de una cierta biblioteca está planificando la adquisición de revis-
tas de divulgación y entretenimiento para el próximo año. En concreto se plantea, de
entre 12 tı́tulos de revistas, agrupados en 4 categorı́as diferentes, qué tı́tulos adquirir
y en qué perı́odo. Para ello ha realizado una encuesta entre los usuarios de la hemeroteca para ver las preferencias de los lectores por cada tı́tulo en cada perı́odo. El
motivo de preguntar el tı́tulo y perı́odo se debe a que los lectores suelen tener unas
determinadas preferencias de lectura dependiendo de la época del año: por ejemplo,
un economista puede estar interesado en leer durante los meses de trabajo revistas
de economı́a e informática, y revistas del corazón durante sus vacaciones.
Los tı́tulos en cuestión, agrupados en categorı́as, son los siguientes:
1. Corazón: Súper-Rosa, 5 Minutos, ¡Qué me cuentas!.
2. Economı́a-Informática: PC-De Hoy, PC-Economı́a, Ser Economista.
3. Naturaleza: Natur, Mi amigo Félix, Parques Naturales.
4. Decoración: Mi casa, Decora, Hazlo tú.
Todas las revistas del corazón se editan mensualmente y el resto trimestralmente.
La encuesta ha arrojado los datos que se muestran a continuación, en el que cada
número indica el número de peticiones por tı́tulo y perı́odo, es decir el número
de lectores interesados en tener disponible la revista en cuestión en cada mes o
trimestre:
8
Revista
Trim.1
E
F
Trim.2
M
A
M
Trim.3
J
J
A
Trim.4
S
O
N
D
1
S.R.
50 60 50 75 70 150 200 200 125 75 60 50
2
5 Min.
40 40 40 40 40
50
50
50
40
40 40 40
3
Q.M.C.
20 20 25 25 30
35
35
35
30
25 20 20
4
PC-Hoy
90
90
60
100
5
PC-Econ.
75
70
40
90
6
Ser Econ.
125
125
40
125
7
Natur
35
35
90
35
8
Mi A.F.
30
30
90
30
9
PP.NN.
15
20
100
15
10
Mi casa
25
75
75
25
11
Decora
20
60
60
20
12
Hazlo Tú
15
15
90
15
Asimismo, cada uno de estos tı́tulos tiene un coste de suscripción, independiente
del número de tı́tulos que deseemos de esa revista, y un precio mensual (o trimestral)
por cada uno de los meses (o trimestres) que queramos recibir ese tı́tulo. Estos precios
se muestran (en euros) en la siguiente tabla.
Revista
4
5
6
3.0 2.0 2.5
2.0
2.0
2.0
Precio mes/trim 2.5 2.0 2.5
7.0
7.5
9.0
Precio suscr.
1
2
3
7
8
9
10
11
12
4.0 4.0 4.0
6.0
7.0
5.0
8.0 8.0 8.0
6.5
7.0
6.5
La Hemeroteca debe determinar la polı́tica de adquisiciones para el próximo año
de forma que se maximice el número total de peticiones satisfechas.
El Departamento de Compras de la Hemeroteca ha establecido las siguientes
premisas:
1. No se debe adquirir más de una copia de un determinado número.
2. Se deben cubrir las cuatro categorı́as de revistas en cada uno de los perı́odos
en los que aparecen, es decir, todos los meses debe haber alguna revista del
corazón y cada trimestre al menos una de cada una de las otras categorı́as.
9
3. El presupuesto disponible para el próximo año para la adquisición de estas
revistas es de 600 euros.
4. Si se decide comprar una revista de aparición mensual, se debe adquirir al
menos cuatro de los doce números del año, y si es una trimestral, al menos
dos.
10