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Regulación Automática II – Final de Junio 10/11
Problema 2 (50 minutos, 5 puntos)
Como consecuencia de añadir un bloqueador-muestreador a un sistema continuo de regulación de
temperatura mediante termostato se obtiene el siguiente sistema equivalente discreto en función de una
ganancia k:
G( z) = k
z − 1, 2
z − 0, 4
1. (1 punto) Se ha elegido adecuadamente el periodo de muestreo? Justifique la respuesta.
El hecho de que exista un cero fuera del círculo unidad no necesariamente es un problema. El elemento
fundamental de juicio es la posición del polo dominante lejos de z=1 lo que indica un sistema rápido pero
que no va a tener suficientes muestras antes de estabilidad para que se pueda emplear para el control por
computador del sistema continuo del que deriva.
2. (1 punto) Indique, sin realizar ningún cálculo previo el retardo del sistema. Determine la función
característica del sistema expresada como ecuación en diferencias y justifique el retardo obtenido.
SOLUCION
1 − 1, 2 z −1
⇒ yn − 0 , 4 yn −1 = k [ un − 1, 2un −1 ]
1 − 0, 4 z −1
3. (1 punto) Determine la estabilidad del sistema en lazo abierto y cerrado en función de k.
G( z −1 ) = k
SOLUCION
Lazo abierto: Estable para todo k ya que tiene el polo dentro de la circunferencia unidad
Π dp 0, 6
=
=3
Lazo cerrado: Aplicando el criterio del módulo: k =
Π dz 0 , 2
4. (2 puntos) Determine el término general de la salida ante entrada escalón unitario. Obtenga los dos
primeros términos de la salida a partir del término general y a partir de la ecuación en diferencias
obtenida en el primer apartado.
SOLUCION
z − 1, 2 z
y( z ) = k
⋅
z − 0, 4 z − 1
{ yk } = Z −1 ( y( z )) = k ∑
p =1; p = 0.,4
Re s( Z n −1
z( z − 1, 2 )
1 − 1, 2 0, 4 − 1, 2
k
) = k[
+
0 , 4n ] = [ −1 + 4( 0.4 )n ]
( z − 0, 4 )( z − 1 )
1 − 0, 4 0, 4 − 1
3
k
k
y0 = k; y1 = [ −1 + 4( 0.4 )1 ] = [ −1 + 1, 6 ] = 0, 2k
3
3
5. (2 puntos) Determine el término general de la secuencia ponderatriz. Calcule por convolución
nuevamente los dos primeros términos de la salida ante entrada escalón unitario y compruebe que el
resultado es correcto con los apartados anteriores
Regulación Automática II – Final de Junio 10/11
SOLUCION
{ g k } = Z −1 ( G( z )) = k ∑
Re s( Z n −1
p = 0.,4
( z − 1, 2 ) ⎧k [ −0.8( 0, 4 )n −1 ] n > 0
=⎨
( z − 0, 4 ) ⎩
k( n = 0 )
g 0 = k; g1 = −0.8k
Por convolución: y0 = g 0 .u0 = g 0 = k;
y1 = g 0 .u1 + g1 .u0 = g 0 + g1 = k − 0.8k = 0 , 2k
6. (1 punto) Demuestre que el equivalente discreto de un sistema continuo de primer orden
b
b 1 − e − aT
F( s ) =
con bloqueador de orden cero y periodo de muestreo T es Z( F( s )) = [
]
a z − e − aT
s+a
SOLUCION
(Ver teoría)
3
determine el sistema reducido
( z − 0 ,5 )( z − 0 ,8 )( z − 0,9 )
equivalente discreto y justifique la calidad de la aproximación.
7. (1 punto) Dado el sistema G( z ) =
SOLUCION
Eliminando el polo más cerca del origen:
3
1
1
6
l z)=
G(
⋅
⋅ =
( z − 0,8 )( z − 0,9 ) 1 − 0,5 z z( z − 0 ,8 )( z − 0 ,9 )
La calidad de la aproximación hay que determinarla para los dos modos transitorios restantes (polos 0,8 y
0,9).
1
1
1
p = 0 ,8
⋅
0 ,8 − 0 ,5 1 − 0 ,5 0 ,8
p = 0 ,9
8. (1punto) Dado el regulador PI Gc ( s ) = 5
1
1
1
⋅
0 ,9 − 0 ,5 1 − 0 ,5 0 ,9
s+2
determine el regulador discreto equivalente
s + 0 ,5
mediante aproximación trapezoidal.
SOLUCION
El periodo de muestreo siguiendo el criterio de 30 muestras antes de establecimiento es
El equivalente discreto se obtiene mediante el cambio de variable bilineal s =
resultado Gc ( z ) = 5, 7143
(z-0.6667)
(z-0.9048)
τ
10
= 0, 2s
2 1 − z1
⋅
que da como
T 1 + z1
Regulación Automática II – Final de Junio 10/11
Problema 1 (45 minutos, 5 puntos)
Un sistema de tipo 1 se somete a un ensayo en el laboratorio arrojando los siguientes resultados:
1
2 polos a frecuencias de corte de
-
Ganancia estática (sin tener en consideración el polo en el origen): 5
SISTEMA: Gp ( s ) =
π
Hz y
5
-
π
Hz
100
s ( s + 2)( s + 5)
Se pide:
1. Ganancia adicional necesaria para obtener un error de velocidad del 4% en lazo cerrado con
realimentación unitaria. (0.5 puntos)
ev =
1
1
=
≤ 0, 04 ⇒ k ≥ 5
kv 5k
2. Si bien la actuación en ganancia permite mantener el valor del error en unos valores admisibles,
partiendo de unos valores iniciales de ωg = 6 rad/s y γ = -15º, ¿qué tipo de actuación será
necesaria para conseguir las siguientes condiciones adicionales? Razonar la respuesta (0.75
puntos):
RAF
a. ωg ≥ 7 rad/s y γ ≥ 30º
RAF o RRF (mejor ya que γ es pequeño)
b. γ ≥ 15º
RAF y RRF (margen de estabilidad supera 50º)
c. γ ≥ 60º
3. Diseñar el compensador para la opción c del apartado anterior. (2 puntos)
Gc( s) = 4, 73
s + 0, 44 s + 1,1
s + 0, 041 s + 11
4. Dicho compensador se implementará en un microcontrolador FreeScale Coldfire v1 de 32 bit.
Teniendo en cuenta que el sistema trabajará a una pulsación máxima de trabajo ω en torno a los
5 rad/s, y que el objetivo sería obtener una expresión discreta equivalente válida del regulador
mediante la transformada bilineal, discutir razonadamente la elección del periodo de muestreo en
los siguientes casos (0.75 puntos):
a. T = 0.5 s.
b. T = 0.1 s.
c. T = 0.01 s.
ωmaxT
2
tan(
ωmaxT
2
)
T = 0,5
ωmaxT
T = 0,1
ωmaxT
T = 0, 01
ωmaxT
5. Si Gc ( s ) = 4
2
2
2
= 1, 25 ≠ tan(
ωmaxT
= 0, 250 tan(
2
)=3
ωmaxT
= 0, 0250 tan(
2
) = 0, 255
ωmaxT
2
) = 0, 0255
NO
SI
SI
s+2
, obtener la ecuación en diferencias que se deberá programar en el micro
s + 0.2
para conseguir la acción de control planteada, en las condiciones del apartado 4, eligiendo el T
máximo (de los tres) que consiga que el efecto de warping sea despreciable. (1 puntos)
Regulación Automática II – Final de Junio 10/11
2 z −1
T z +1
z − 0,82
Gc( z ) = 4,35
z − 0,98
T=0,1s (por diseño)
s=
yk − 0,98 yk −1 = 4,35[uk − 0,82uk −1 ]