Problemas

olimpiada matematica argentina
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C uentos
17 m o ConCurso de Literatura y matemátiCa
2
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1
con cuentas
3
El águila y la bala (un modelo)
Dicen que apostó una bala con un águila a volar,
y ésta dijo sin tardar:—Vete, plomo, noramala,
¿Quién a estas plumas iguala con que hasta los vientos domo?
Mi cuerpo de tomo y lomo verás donde tú no subes,
que esto de andar por las nubes no es para un ave de plomo.
Despreció la bobería, siempre ia bala en sus trece,
diciendo: —¿A quién se le ofrece negarme la primacía?
¿Pues no es más claro que el día que nunca mi vuelo igualas?
En mal camino resbalas, ave infeliz, porque en suma,
si son tus alas de pluma, de pólvora son mis alas.
Ni el ave la lucha esquiva, ni la bala se convence.
—¿Probamos a ver quién vence? —Arriba. —Vamos arriba.
Subió la bala tan viva, que dio a su rival antojos,
pues fue, para darle enojos y centuplicar sus quejas,
un estruendo a sus orejas y un relámpago a sus ojos.
Subió el águila con calma cuando la bala caía,
y la dijo: —Amiga mía, ¿quién se llevará la palma?
Si te hundes en cuerpo y alma, paciencia, yo no desmayo.
Harás de tu capa un sayo, pero que sepas es bueno
que el que sube como un trueno suele bajar como un rayo.
Juan Martínez Villegas (1816-1894)
En estas cuatro décimas se describe el reto de una bala a un águila sobre quién podía volar
más alto.
¿Cuánto tiempo después de la salida adelanta la bala al águila?
¿A qué altura?¿Cuánto tiempo tardan en volver a cruzarse?
Hagamos algunos supuestos: (datos del problema)
a)
La bala fue lanzada desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial
de 200 m/s.
b)
El águila comenzó a subir en el mismo momento desde su nido a 525 m del suelo, con
una velocidad constante de 10 m/s.
Estas son las gráficas de los dos movimientos:
Análisis de las gráficas por separado
La bala sube muy deprisa; su gráfica es la parábola. Vemos que llega al punto más alto (2 000
m) en 20 segundos y tarda en caer otros 20 segundos. Aquí acaba su movimiento.
El águila sube despacio, siempre a la misma velocidad. La recta indica su subida, lenta pero
segura.
Análisis simultáneo de las dos gráficas
¿Cuánto tiempo tarda la bala en adelantar al águila? ¿A qué altura ocurre esto?
El primero de los dos puntos de corte, responde a ambas preguntas: a los 3 segundos y a una
altura de unos 560 m.
El siguiente encuentro, «cuando la bala caía», se produce en el instante 35 s, a unos 880 m de
altura. Muy poco después (5 s), la bala «se hunde en cuerpo y alma», apenas sin tiempo de
escuchar la larga parrafada que le dedicaba su adversaria.
El estudio conjunto de ambas gráficas ha servido para comparar los movimientos. Los puntos
de corte han sido cruciales.
Problemas
1)
¿Cuál es la visión de la maqueta de esta casa que tiene, respectivamente, cada una de
estas personas?
2)
Las figuras siguientes se emparejan dos a
dos para formar un cubo. Hay una que sobra,
¿cuál es?
3)
Desde el lugar dónde Eva se sienta a
comer se puede ver, reflejado en el espejo, el
reloj del pasillo. En el momento que se oyeron
campanadas miró en el espejo y se vio la
siguiente imagen:
¿Qué hora era?
4)
El sonido recorre 340 metros por segundo. Durante una tormenta se ha oído el trueno
13 segundos después de verse el relámpago. ¿A qué distancia se produjo el rayo?
5)
Calcula el producto del número menor que se puede formar con cinco cifras, por el
número mayor que se puede formar con cuatro cifras.
6)
Un hombre hace 17 inspiraciones por minuto y cada inspiración lleva 8/17 de litro de
aire a los pulmones. ¿Qué volumen de aire ha entrado en sus pulmones al cabo de un día?
7)
Luis repartió entre sus amigos los discos que tenía. A uno le regaló un disco y 1/7 de
los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero, tres discos y 1/7 de
los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos. ¿Cuántos discos tenía
y entre cuantos amigos los repartió?
8)
Una tableta contiene un 20% de aspirina, un 40% de vitamina C y un 40% de excipiente.
Si una pastilla pesa 2 gr, ¿cuánto contiene de cada componente?
9)
Escribe un número cualquiera. Resta, de él, la suma de sus cifras. Tacha, de la
diferencia obtenida, una cifra cualquiera distinta de cero. Si me dices la suma de las cifras
restantes te adivinaré la cifra tachada. ¿Por qué? Construye un ejemplo.
10)
El volumen estimado de todos los océanos de la tierra es de 1285600000 km3 y el
volumen de agua dulce estimado es de 35000000 km3. ¿Cuál es la proporción?
11)
Descomponer el número 500 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la
menor se obtenga de cociente 7 y el resto de 20.
12)
Desde un molino de aceite se quiere enviar éste, en camiones cisterna, a un almacén.
Los encargados del almacén solicitan que los camiones lleguen exactamente a las 5 de la tarde.
Si los camiones viajan 80 kilómetros por hora llegarían al almacén con una hora de adelanto,
a las 4 de la tarde. Pero si viajan a 60 kilómetros por hora llegarían, con una hora de retraso,
a las 6 de la tarde. ¿A qué distancia está el molino de aceite del almacén?
13)
En un grupo de 3 señoras, X, Y, Z, una es argentina, otra española y otra brasileña.
Están jugando a las cartas. Cada una ha pasado una carta a la que está a su derecha. La
señora Y ha pasado una carta a la argentina. La señora X ha pasado una, a la que ha pasado
carta a la brasileña. ¿Cuál de ellas es argentina, cuál española y cuál brasileña? Indicación:
Hazte un diagrama.
Intenta, ahora, cazar todos los datos.
14)
Del robo de cierto banco, sólo hay tres testigos que vieron huir el coche de los ladrones.
Uno sólo se acuerda de que la matrícula del coche tenía cuatro cifras y ningún cero. Otro
sabe que las dos primeras eran iguales. Un tercero, extrañamente, sólo sabe que el número
era un cuadrado perfecto. El comisario Stein, por su parte, no tiene ni idea de lo que podría
hacer para averiguar el maldito número. ¿Podrías decírselo tú?
15)
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles, ABC, en el que el cateto AB mida 10 cm.
Marca un punto P cualquiera sobre la hipotenusa y dibuja el rectángulo PDAE.
a) Comprueba que el perímetro del rectángulo es 20 cm cualquiera
que sea el punto P elegido.
b)Llama x a la distancia PD y construye una tabla dando valores a
x y calculando el área del rectángulo.
c)Dibuja la gráfica correspondiente. ¿Cuándo es máxima el área?
¿Cuándo es mínima?
16)
Intenta armar un cuadrado con las piezas que obtengas al cortar la letra
E por las líneas punteadas. ¿Cómo serán entre sí estas figuras?
17)
Una empresa encarga a un taller la fabricación de piezas planas hexagonales de lado
2,1 cm y apotema 1,8 cm para un repuesto.
Las materias primas disponibles en el comercio son planchas de acero de 4 m de largo por 2,5
m de ancho.
Si la empresa encarga 120 000 piezas de repuesto, ¿cuántas planchas necesitará el taller para
cumplimentar el pedido?
18)
La rueda dentada de una bicicleta mide 20 cm de
diámetro y el piñón 4 cm. ¿Cuantas vueltas dará la rueda
trasera por cada vuelta de pedal?
19)
Un avión sale del aeropuerto A en dirección Oeste, apartándose en una primera etapa
del vuelo, 1° 15' 28". En una segunda etapa vuela en dirección Este 1° 14' 30" aterrizando
en el aeropuerto B. ¿A cuántos grados, minutos y segundos se encuentra el aeropuerto B del
A? ¿En qué dirección?
20)
Tres vapores salen del mismo puerto. El primero sale cada 15 días, el segundo cada 12
días y el tercero cada 25 días.
Si hoy salen juntos los tres, ¿cuándo volverán a salir juntos la próxima vez?