Guía de Trabajos Prácticos

ANÁLISIS MATEMÁTICO II
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS – CICLO LECTIVO 2010
Facultad de Ingeniería
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
69. Describa las siguientes situaciones mediante un modelo matemático basado en
una ecuación diferencial. Indicar cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.
a) La variación con el tiempo de una población 𝑃, es proporcional a la 𝑃.
b) Una familia de curvas tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto es
igual al doble de la abscisa en dicho punto.
c) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presión de vapor 𝑃 respecto de la
temperatura 𝑃, es proporcional a 𝑃 e inversamente proporcional a 𝑇 2 .
d) En una ciudad con una población fija de 𝑃 personas, la variación con respecto al
tiempo del número 𝑁 de personas que han contraído cierta enfermedad contagiosa, es
proporcional al producto del número de quienes están enfermas por el número de las
que no lo están.
70. Dadas las siguientes ecuaciones, reconocer las que son ecuaciones diferenciales.
Luego clasificarlas en ordinarias o no ordinarias, indicar su orden y grado. Señalar
cuales son lineales.
a) 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 − cos 𝑥 𝑑𝑥 = 0 con 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
𝑄
b) 𝐿 ∙ 𝑑 𝑡 2 + 𝑅 ∙ 𝑑𝑡 + 𝐶 = 0 con 𝑄 = 𝑓 𝑡
c) 𝑦 ′′′ + 𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ∙ 𝑦 ′ 2 + 𝑥𝑦 = 0 con 𝑦 = 𝑓 𝑥
d) 𝑥 2 + 9𝑥 − 𝑦 = 8 con 𝑦 = 𝑓 𝑥 con 𝑦 = 𝑓 𝑥
e)
f)
𝑑3𝑤
2
𝑑𝑣 3
𝜕𝑠
𝜕𝑠
𝜕𝑥
−
𝑑2𝑤
𝑑𝑣 2
𝜕𝑠
+ 𝑣𝑤 = 0 con 𝑤 = 𝑓 𝑣
+ 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 = 12 con 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
71. Comprobar si las funciones que se indican son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas:
a) 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 , ¿es solución de 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦?
b) 𝑦 =
𝐶 2 −𝑥 2
2𝑥
2𝐴
, ¿es solución de 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0?
c) 𝑦 = 1+𝑥 2 , ¿es solución de 𝑦 ′ = −
4𝑥𝐴
?
1+𝑥 2 2
72. En los siguientes problemas, primero verifique que 𝑦 = 𝑦 𝑥, 𝐶 satisface la ecuación diferencial dada. Luego determine un valor de la constante 𝐶 de modo que 𝑦(𝑥)
satisfaga la condición dada:
a) 𝑦 = 𝐶𝑒 −𝑥 , ¿es solución de 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦? ¿Cuál es el valor de 𝐶 para que 𝑦(0) = 2?
b) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 𝐶), ¿es solución de 𝑒 𝑦 𝑦 ′ = 1? ¿Cuál es el valor de 𝐶 para que 𝑦(0) = 0?
c) 𝑦 = 𝑥 3 𝐶 + ln 𝑥 , ¿es solución de 𝑥𝑦 ′ − 3𝑦 = 𝑥 3 ? ¿Cuál es el valor de 𝐶 para que
𝑦(1) = 17?
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7
73. Calcular la solución general y la solución particular para las condiciones iniciales
dadas:
𝑑𝑦
a) 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 3 con la condición 𝑦 1 = 2
𝑑𝑦
1
b) 𝑑𝑥 = 3 − 12𝑥 2 con la condición 𝑦 − 2 = 2
c) 𝑥𝑦 2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0 con la condición 𝑦 0 = 1
74. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) 𝑑𝑦 − 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3
c) 𝑦 ′ = 𝑥𝑦−2𝑥+4𝑦−8
75. Resolver
𝑑𝑥
a) 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 + 4𝑦𝑒
c)
𝑑𝑥
2𝑥 2 𝑑𝑦
b) sec 2 𝑥 𝑑𝑦 + cosec 𝑦 𝑑𝑥 = 0
2𝑥
𝑦
−
b) 𝑦 + 𝑥 cotg
𝑦
𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑥
= 3𝑥𝑦 + 𝑦. Hallar la solución particular que pase por 𝑥, 𝑦 = 2,1
d) 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦. Hallar la solución particular que pase por 𝑥, 𝑦 =
76. Resolver:
a) 𝑦 ′ − 3𝑥 2 𝑦 = 0
1
b) 𝑦 ′ − 1−𝑥 2 𝑦 = 0
77. Resolver:
a) 𝑦𝑑𝑥 − 4 𝑥 + 𝑦 6 𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑦
c) 𝑥 + 2 2 𝑑𝑥 = 5 − 8𝑦 − 4𝑥𝑦
78. Resolver:
a) 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑦 3
b) 𝑥𝑦 ′ = 𝑦 + 2 𝑥𝑦
1
2
,1
c) 𝑥 3 𝑦 ′ + 2 − 3𝑥 2 𝑦 = 0
b) 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 + 2𝑥𝑦 2 − 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
c) 𝑥 ∙ 𝑦 2 ∙ 𝑦 ′ = 𝑥 3 + 𝑦 3
79. Hallar las trayectorias ortogonales a las siguientes curvas o familias de curvas,
según corresponda:
a) 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 1 2 = 1
c) 4𝑦 + 𝑥 2 + 1 + 𝐶1 𝑒 2𝑦 = 0
𝑦2
b) 𝑥 2 + 16 = 1
d) 𝑦 = −𝑥 − 1 + 𝐶1 𝑒 𝑥
80. Si la población de un país se duplica en 50 años. ¿En cuántos años será el triple
suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes?
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81. En un proceso químico una sustancia se transforma en otra con una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia que queda sin transformar. Si al cabo de una hora
esa cantidad es 50 y al cabo de 3 horas es 24, hallar la cantidad inicial.
82. Cuando un rayo de luz pasa a través de una sustancia transparente, su intensidad 𝐼
disminuye en forma proporcional a 𝐼(𝑡), en donde 𝑡 representa el espesor del medio
expresado en pies. En agua de mar, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es un 25%
de la intensidad inicial 𝐼0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies
bajo la superficie?
83. La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una
rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial de 500 habitantes aumenta un 15% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de
30 años?
84. Asumiendo que la variación de la temperatura 𝑇 de un cuerpo con respecto al
tiempo 𝑡 sea proporcional a la diferencia entre 𝑇 y la temperatura del medio ambiente 𝐴, resolver la siguiente situación: un trozo de carne de 4 kg inicialmente a 10 ºC, se
pone en un horno a 190 ºC a las 17:00 horas. Después de 75 minutos se encontró que
la temperatura de la carne era de 52 ºC. ¿A qué hora estará a 66 ºC?
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