2 - Fundación Juan March

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Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan hAarch (Madrid)
Biblioteca de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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CURIOSIDADES
MATEM ÁTICAS
Bßlioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
ES PROPIEDAD DEL AUTOR
Bffilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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PRIMITIVO LAHOZ
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CURIOSIDADES
MATEMÁTICAS
SEGUNDA EDICIÓN, AUMENTADA
MADRID
IMPRENTA ARTÍSTICA SÁR2 HER M A NOS
NORTE, 21
1925
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teca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Bffiliateca de Ilusionismo. Fundacion Juan March (Madrid)
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PRÓLOGo)
(5-)n esta breve colección de amenidades nu9 méricas no hay ningún mérito mío propio;
todo ha sido descubierto y propagado hace ya
mucho tiempo por insignes matemáticos, o por
ingeniosos aficionados, y carece, casi todo, de
paternidad.
Xe he ayudado para reunirlo aquí, en parte
de mi memoria, pues algunas de estas curiosidades las he oído a compañeros o amigos en momentos de expansión; otras las he aprendido en
libros de estudio o de recreo, y no pocas están
tomadas de obras serias de autores de tanto mérito como 6uler, -Cucas, <faissant, SIseissing, Ozonan y otros.
Ta todo expuesto con sencillez, desprovisto
Ilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
de ropaje científico, sin fórmulas ni nomenclaturas.
Nada más. 6ste librito no tiene otro objeto
que procurar al lector un rato de entretenimiento
por el más instructivo de los procedimientos. oSi
esto consigue, se habrán colmado las aspiraciones de
EL AUTOR.
le.nnn•nn•••••••n••••n•nn
6
•
BIliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Machid)
1
Un número invariable.
Escríbase sobre un papel el número 1089, y
ocúltese el papel para que no vean el número escrito.
Pídase al interlocutor que escriba una cantidad
cualquiera de tres cifras; que escriba debajo de
ésta la misma, pero en sentido inverso, y que reste la que sea menor de la otra.
Si la cantidad menor es la de arriba, la resta
debe hacerse a la inversa, o sea restar siempre la
cantidad menor de la mayor; obtenida esta resta
que escriba debajo la misma al revés y que sume
estas.: dos últimas cantidades. Cuando haya he
cho la suma, que será indefectiblemente 1089, le
enseñamos el número que habíamos escrito antes, y como es natural quedará asombrado.
Solamente se exceptúan los dos casos siguientes: Que el número que escriba sea un capicúa,
en cuyo caso escrito al revés será el mismo, y, por
consiguiente, entre dos números iguales no puede haber resta; o que sea un número de cifras
iguales, por ejemplo tres, o siete, en cuyo caso
tampoco puede haber resta.
7
Ilieteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Ejemplos:
1. 0
2
743
347
396
693
1089
892
298
594
495
1089
Adivinar una resta de tres cifras.
Pídase que escriban un número de tres cifras;
que coloquen debajo el mismo número en sentido inverso y que resten el menor del mayor (bien
sea de abajo a arriba o de arriba a abajo); se hacen las mismas observaciones respecto al número
que escriban que en el ejercicio anterior.
Hecha la resta, rogamos que nos den a conocer la primera o la última cifra, y conocida una
cualquiera de las dos conocemos toda la resta.
Basta saber, que en toda cantidad de tres cifras escrita debajo al revés y restada, la cifra del
centro de la resta es siempre un 9, y las dos de
los extremos suman también 9 entre ambas; así,
pues, conocida una, no tenemos más que buscar
la diferencia hasta 9, y ya sabemos el total.
Ejemplos:
I.°
2.°
781
187
594
265
562
297
,3blioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
111
Cómo adivinar una cantidad, cualquiera
que se piense.
Se pide que piensen un número, que lo multipliquen por 3; que dividan el resultado por 2;
que multipliquen esta nueva cantidad por 3 otra
vez, y que el resultado así obtenido lo dividan
por 9. Hecho esto, le pedimos que nos dé a conocer el resultado de la división; conocidos por
nosotros este resultado, lo duplicamos mentalmente, y lo que dé, eso será el número que
pensó.
Ejemplo:
Número pensado:
24.
24 X 3 72
72 : 2= 36
36 X 3 = 108
108 : 9= 12
Conocemos el resultado 12, le añadimos el doble y tenemos 24, el número pensado.
Otro ejemplo:
Número pensado:
2360.
2360 X 3 = 7080
7080 : 2= 3540
3540 X 3 = 10620
10620 : 9= 1180
9
Iliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Resultado conocido por nosotros: 1180. Le
añ idiinos el doble y tenemos: 2360.
IV
Cómo adivinar el número borrado
de una cantidad.
Pídase que escriban una cantidad de. cuatro
cifras, por ejemplo: 3245, y que sumen el valor
absoluto de las mismas (en este caso 14). Ahora
se manda que resten este valor absoluto de la
cantidad (3245 — 14 -= 3231), y de la cantidad
que queda después de hecha esta operación que
quiten una cifra cua l quiera y que nos digan el
valor absoluto de las tres que han dejado.
Conocido por nosotros este valor buscaremos
la diferencia hasta 9, y esta diferencia será el número borrado.
Supongamos que de 3231 borran un 3, en cuyo
caso quedan 321.
Valor absoluto de estas cifras: 6.
De 6 a 9 van 3. Tres es el número borrado.
Cuando la suma del valor absoluto de las tres
cifras es mayor de 9, se busca la diferencia
hasta 18, y cuando es mayor de 18, se busca
hasta 27.
IO
Biblioteca de Ilusionismo. Fundado' Juan March (Madrid)
Ejemplo:
Cantidad: 3645
Vabir de sus cifr is: 18.
3645 menos 18 igu .1 a 3627.
Cifra que se borla: el 6
Cantidad que queda: 327.
Valoi de estas cifras: 12.
De 12 a 18 van 6, cifra borrada.
V
Adivinar dos o tres cifra .; distintas al mismo
tiempo del 1 al O.
Se pide que piensen dos números distintos
del i al 9. Una vez pensados, y escritos para mayor seguridad, se manda que dupliquen el primero de ellos y que añadan al resultado la cifra
que nosotros queremos (por ejemplo, el 4); que
la cantidad así obtenida la multipliquen por 5,
que a este resultado añadan el segundo número
pensado y que nos digan el total que todo esto
arroja. Conocido este total, sólo tenemos que
multiplicar por 5 el número que nosotros le dijimos que añadiera de nuestra cuenta (en este
caso el 4) y este producto restarlo del total que
conocemos.
De los dos números de la resta el primero
será el que pensó en plimer lugar, y el segundo
el otro.
ifilr
ioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Ejemplo:
Números pensados: el 3 y 4.
3+3=6
6 + 4 que le atIadimos por nuestra cuenta igual a 10.
10 X 5 = 50
10
4 (segundo número que pensó) igual a 54.
Conocemos la cifra 54 y el núm. 4, que fué el
que mandarnos añadir.
Multiplicamos este número por 5 y tenemos 2 0. Restamos 2 0 de 54 y quedan 34 en la
resta.
El 3 es, por lo tanto, el primer número, y el 4
el segundo.
Para adivinar tres cifras se opera lo mismo
que para dos, pero al llegar al final de las dos
primeras, o sea después de añadir la segunda, se
continúa en la forma siguiente:
Se manda duplicar la cantidad; se manda añadir otra segunda cifra conocida por nosotros
(por ejemplo, el 6); se manda multiplicar otra vez
este resultado por 5 y añadir a este último resultado la tercera (por ejemplo, el 7), cifra pensada,
dándonos a conocer el total.
Conocido el total, multiplicamos por 5 las dos
cifras que le mandamos añadir, el 4 y el 6
(46 X 5), y este producto lo restarnos del total.
Los tres números de la resta, por orden correlativo, serán los que pensó.
2
liotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Ejornple:
Continuando el anterior, tendremos:
54 + 54 = 108
108 + 6 (que le mandamos añadir =_ 114
114 X 5 = 570
570 X 7 (tercer número que pensó) = 577
4 y 6, 6 sea 46 (nuestros números) X 5 = 230
577 — 230 = 347
3, 4 y 7 serán los números pensados.
VI
Problema de clave.
En un colegio mixto donde asisten 15 niños y
15 niñas hay que echar a suerte entre los 3 0 para
el reparto de 15 premios.
La profesora, queriendo mostrarse imparcial,
manda que se coloquen en circulo los 3 0 en el
lugar que cada uno quiera, y una vez colocados,
advierte que después de echar a suerte la salida
empezará a contar desde el 1 hasta el 9, y dará
un premio a cada uno que le toque dicho número 9, continuando, sin interrupción, las vueltas que sean necesarias, empezando a continuación del 9 otra vez con el x y haciendo salir del
circulo a cada uno de los agraciados a medida
que lo vayan siendo.
13
iiiiir
d ioteca de Ilusionismo. Fundación Juan Marelt (Madrid)
Hecho el reparto en esta forma, correspondieron los 15 premios a las 15 niñas. ¿Cómo fué la
colocación de los 30 párvulos?
Véase la colocación en el siguiente circulo,
compuesto de puntos y rayas, en el que los niños están represei tados por puntos y las niñas
por rayas.
(La flecha indica el punto de partida y la dirección.)
Haciendo este juego con dos clases de fichas
u objetos diferentes colocados en la forma indicada y eliminando del circulo todos aquellos
donde recaiga el número 9, se verá a las pocas
vueltas la exactitud del resultado.
Para la colocación bastará, recordar la siguiente clave:
Pop ulea viga pa cerregina gerea.
Con esta frase en la memoria se colocan de la
siguiente manera:
Se tiene en cuenta el orden de las cinco voca:
14
Bälio tec a de Ih.ionismo. Fundación Juan March (Madrid)
les, que es el siguiente: a, e, i, o, u, y empezando
por los niños y alternando a cada vocal niños y
niñas se colocan tantos de unos y otras como
sea el lugar de orden que corresponde a la vocal.
Ejemplo: la o, que es la primera de la frase:
cuarto lugar, cuatro niños. La u, que es la segunda, quinto lugar, cinco niñas. La e, que es la
tercera, segundo lugar, dos niños. La a, primer
lugar, una niña, etc., etc.
VII
Adivinar la suma que han de dar varias cantidades desconocidas antes de escribirlas.
Se pide que escriban una cantidad de cuatro,
seis, ocho cifras o las que quieran, y una vez
que la escriban y nos la muestren, se pregunta
cuántas más quieren escribir debajo, a condición
de que, por cada una que escriban ellos, hemos
de escribir otra nosotros. Contestan, por ejemplo: que cinco con la escrita, y entonces nosotros
les decimos que vamos a escribir ya aparte la
suma de todas, fueren las que fueren antes de
ponerlas.
Para ello no tenemos más que multiplicar
aparte una cantidad compuesta de tantos nueves
como cifras tenga la primera que él escribió, por
el número de cantidades suyas (en este caso
'5
dárloteca de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Pol. 5)
y guardar este resultado, que será igual al
que dé la suma.
La razón de esto es muy sencilla, sabiendo
que, cada vez que escriba él una cantidad, nosotros hemos de escribir f:lebajo otra formada por
la diferencia que haya de cada número de los
suyos hasta nueve, y, por lo tanto, basta con
multiplicar con una cantidad igual de nueves el
número de veces en que entren los factores de
ambos.
Demostración:
Quiere escribir cinco veces.
Primera cantidad que conocemos:
36842
Escribimos aparte:
99999 X 5 499995
Operación:
36842 (suya)
63157 (nuestra)
57439 (S .)
42560 (n.)
32814 (s.)
67185 (n.)
27225 (s.)
72774 (n.)
25216 (s.)
74783 (n.)
499995
16
Blhe tec
a de Ilusionismo. Fu.ndación Juan March (NLadrid)
VIII
El mismo caso por otro sistema.
Como se ve por el caso anterior, es fácil descubrir la razón porque así sucede y se adivina.
Además, de esa manera obtendremos siempre
un resultado compuesto de nueves, excepto los
dos números de los extremos, que serán también
los factores de 9, lo cual tiene que llamar la atención. Para evitar esto existe otro método un poco
más complicado, pero que a lo menos da por resultado sumas en las que entran todas las cifras
sin orden fijo de lugares. Es como sigue:
Se pide que escriban un número, por ejemplo:
36985246.
Preguntamos cuántas otras cantidades quieren
escribir, y una vez contestados, decimos que vamos a escribir la suma por anticipado.
Supongamos que quiere escribir otras tres cantidades, en cuyo caso con la ya escrita son
cuatro.
Escribimos aparte la primera cantidad que conocemos, con la sola diferencia de que al último
número de la misma le restamos esas cuatro mismas unidades y estas mismas que restamos al último las colocamos delante del primero.
En el caso actual tenemos, pues, que las
2
17
ffiliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Mad/id)
36985246 quedan transformados en 436985242,
que ocultamos hasta hacer la suma, que será
igual.
Ahora, sobre la primera contidad que él ha escrito, hacemos lo siguiente: restamos de cada cifra tantas unidades como cantidades suyas ha de
haber, y debajo de la cantidad formada así ponemos otra, compuesta de la diferencia que haya
hasta 9, de cada una de las de arriba.
Tenemos, así, pues:
36985246 I. a suya
92540802 1. a nuestra
07459197 2.a
A continuación puede él ya poner debajo la
que le dé la gana y luego nosotros colocamos
debajo otra, formada por el mismo procedimiento, o sea procurando que el número de la suya y
el que nosotros coloquemos debajo sumen siempre 9, y así continuamos hasta escribirlas todas.
Continuación del caso presente:
36985246
92540802
07459197
23295686
76704313
36285421
63714578
52496756
45503243
436985242
18
13ffilio1ec a
de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Hecha la suma, se descubre la nuestra, y se
verá que son iguales.
IX
Para hacer escribir a uno el número que no
quiera.
Se escriben correlativamente todas las cifras
de 1 al 9 menos el 8, o sea, I 2 3 4 5 6 7 9, y
se le pregunta cuál es la cifra que menos le gusta escribir. Cuando conteste, el número que él
diga lo multiplicamos mentalmente por 9, sin que
él lo sepa, y el producto que dé lo colocamos debajo de dichas ocho cifras y le mandamos que
multiplique. La suma que le dé dicha operación
estará toda compuesta por números todos iguales precisamente de la cifra que nos dijo que menos le gustaba escribir.
Por ejemplo, nos contesta el 5.
Multiplicamos 5 X 9
45, y colocamos:
12345679
X45
61728395
49382716
555555555
Que nos contesta el 3, tenemos 3 X 9
19
ll....._
iotec a de Ilusionismo. Fundación Juan Macen (Madrid)
jä
27.
12345679
X27
86419753
24691358
333333333
Y así sucesivamente.
X
Adivinar dos cantidades, cualesquiera que
uno piense entre veinte distintas. También
pueden ser: naipes, fichas, nombres. etc.
Escríbanse en 20 papeletas otras tantas cantidades distintas; se extienden por parejas (de dos
en dos), formando lo grupos, y se invita a que
piensen en dos cantidades de las que se encuentren juntas en un mismo grupo.
Una vez que lo hayan pensado se recogen en
cualquier orden, pero de dos en dos siempre,
procurando que no se barajen. Una vez recogidas, se colocan de una en una siguiendo el orden
en que salgan, empezando por abajo o por arriba, pero siempre por donde se haya empezado,
en cuatro filas de cinco cada una, según vamos
a decir:
Se tiene presente en la memoria la disposición
de estas cuatro palabras que siguen y el lugar
donde cae cada una de sus letras.
20
BAliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Mo t us
N o m e ira pe%
e d i
t
Coc is
Se coloca la primera papeleta sobre la m de la
primera fila y la segunda sobre la otra m, que se
halla en la segunda fila. Se coge la tercera y se
coloca sobre la u de la primera fila y la cuarta
sobre la otra u.
La siguiente se coloca sobre la primera letra
sin cubrir en la primera fila (la 1), y la que sigue
sobre la otra t (tercera fila), se cubre la última letra de la primera fila y luego la otra que se halla en la cuarta.
Se cubre a continuación la primera letra sin
cubrir de la segunda fila y luego la otra letra
igual, y se continúa así sucesivamenie hasta colocar las 20 papeletas, cubriendo por orden de
filas la primera letra que haya sin cubrir y buscando en seguida la otra repetida donde esté.
Entonces se pregunta en qué fila o filas se encuentran las cantidades, y si contesta en una
sola, no hay más que buscar las dos letras que
hay repetidas en aquella fila, y si contesta señalando dos filas, buscar la letra igual que esté en
las dos, y aquellas serán las cantidades.
Por ejemplo:
Si contesta que están en la primera y en la ter21
*teca de Ilusionismo. Fundación Juan
March (Madrid)
cera, la t es la repetida; si contesta que están en
la tercera y cuarta, la i; si contesta que están en
la segunda, la n, y así sucesivamente.
22
BIlioieca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
CUADROS MÁGICOS
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de ilusionismo. Fundación Juan March (Adad/id)
Bthlio kca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
XI
Cuadros mágicos.
Los cuadros mágicos son, como su nombre lo
indica, combinaciones que se hacen en forma de
cuadros con números colocados sobre casillas
entre lineas verticales y horizontales, de tal forma dispuestos, que sumados los números de entre estas lineas en dirección horizontal, vertical o
diagonal, dan por resultado una misma cantidad.
Los hay de 9, 16, 25, 36, 64 y más casillas, y
algunos ofrecen, como veremos, todavía otras
particularidades. Cuando en estos mismos se
pueden trasladar cualquiera de sus columnas horizontales o verticales de un lado a otro o al centro sin que se alteren en nada los productos diagonales, entonces se llaman cuadros Diabólicos.
Cuando horizontal y verticalmente suman igual,
y diagonalmente empezando por un lado forman
columnas de un mismo número, se llaman Parquets. Existen igualmente los Dominós Mágicos
y Diabólicos a base de la misma teoría.
He aquí algunas muestras de todos.
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CUADROS MÁGICOS
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BIlioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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612 41O alo i1/ 211
o1/ Iì 512, 613 313
414 41/ 514 012 015-
29
ioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
CIRCULO MÁGICO
El cuadro a, de los Mágicos, como se ve, da
15 por producto (cifra mágica) sumando en todas direcciones; el cuadro b, es el mismo disminuido en una unidad por casilla; los cuadros c
y d, dan iguales sumas; el cuadro e, ofrece la particularidad de ser doble; el de dentro da 77 y el
de fuera 1; el cuadro f, está a su vez dividido
en otros cuatro iguales de 130, dando las ocho
casillas en cualquiera dirección 260.
30
c a de Ilusionismo. Fundacion Juan March (Madrid)
De los Diabólicos: a, da 34, y b, 6 5 . kI Parquet suma 20, y ofrece la particularidad diagonal que se aprecia en seguida.
Los Dominós a y b, dan 15 y 12, respectivamente; los Diabólicos a y b, dan 18 5 27.
El circulo Mágico, o serie de círculos, es un
cuadro Mágico, al que se hubiera estirado de un
lado en forma de abanico o acordeón hasta hacer que se tocasen dos lados. Sus radios suman
todos, con el núm. 12 que hay en el centro, 360,
y sus círculos, con el mismo núm. 12, otros 360.
Cada uno de sus ejes, el doble que el radio. Cada
dos radios son la cuarta parte, y está dividido en
dos mitades iguales de 1440.
31
ioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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Bffilicrteca de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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RAREZAS
lioteca de Ilusionisme.Fundación Juan March (Madrid)
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan Manch (Madrid)
XII
Particularidades de una cantidad
y de su progresión aritmetica.
El núm. 15873 tiene la particularidad de que
multiplicado por 7 da un producto compuesto
todo de unos.
Este mismo número elevado correlativamente
a su progresión aritmérita, es decir, al doble, triple, etc., hasta nueve veces, da siempre un producto de cifras iguales: doses, treses, etc. Veanse a continuación dichas progresiones y algunos
ejemplos:
15873 — 31746 — 47619 — 63942
79355 — 95238 — 111111 — 126984 — 142857
15873
47619
142857
7
7
7
111111
333333
999999
XIII
Un número fácil de multiplicar.
Para multiplicar el núm. 142857 por 3 no es
necesario más que trasladar el 1 al final, y de
esta manera cLueda convertido en 428571, que
es el producto de dicha multiplicación.
35
lioteca de Ilusionismo. Fundació n Juan Maisch (Madrid)
XIV
Otra curiosidad del mismo número.
Multiplicando el núm. 142857 por 1, 2, 3, 4,
5 y 6, da los siguientes resultados:
142857 X 1 ----- 142857
142857 X 2 = 285714
142857 X 3 = 428571
142857 X 4 = 571428
142857 X 5 =_--- 714285
142857 X 6 = 857142
Lo primero que se aprecia es que en todos los
resultados entran solamente los seis números del
multiplicador, sin faltar ninguno ni repetirse, solamente cambiando los lugares y no figurandc>
para nada en ninguno de los seis resultados, ni
el 3, ni el 6, ni el 9, ni el o.
Luego, dividiendo los resultados por la mitad
y anteponiendo las tres cifras últimas a las tres
primeras, se advierte que el primer resultado es
igual al último, o sexto; el segundo igual al quinto; el tercero igual al cuarto; el cuarto igual al
tercero; el quinto igual al segundo, y el sexto
igual al primero.
La misma cantidad multiplicada por 7 da todo
nueves.
142857 X 7 91e92
36
Biblioteca de ilusionismo. Fundación Juan
March (Madrid)
XV
Particularidades del número 9.
Multiplicando por 9 la cantidad 12345679 se
obtienen todo unos.
Multiplicando dicha cantidad por cada uno de
los múltiplos de 9, o sea: 18, 27, 36, etc., hasta
Si, se obtienen productos de una sola cifra repetida (doses, treses, etc.).
Ejemplos:
12345679
9
12345679
27
11 11 11111
333333333
12345679
63
37037037
74074074
777777777
Multiplicando por el mismo número la cantidad 98765432, obtendremos igualmente resultados de una sola cifra (en este caso ochos).
Multiplicando esta misma cantidad por los múltiplos del 9, obtendremos igualmente una sola
cifra, pero en orden inverso (a multiplicador mayor cifra menor), a condición de que la primera
cifra de la izquierda de la suma la añadamos a la
última de la derecha. Compruébese si se desea.
37
Iii;teca de Ilusionismo. Fundación Juan March Madrid)
XVI
Una división curiosa.
El núm. 370370370 dividido por 3 da por cociente la siguiente cifra correlativa:
370370370
07
010
083
017
020
023
027
030
03
3
123456789
XVII
Una cantidad original.
Multiplicando el núm. 142857 por 2, 3, 4, 5,
ó 6, obtendremos productos distintos, pero en
los cuales entran solamente, y sin repetirse, las
mismas seis cifras del multiplicando.
Elemplos:
142857
142857
285714
857142
6
2
Multiplicando esta misma cantidad por 7, obtendremos todo nueves.
38
Bffilio teca de Ilusionismo. Fundacion Juan Manch (Madrid)
142857
7
999999
Sumando la misma cantidad partida por la mitad, obtendremos igualmente nueves.
142
857
999
Curiosa disposición que ofrecen los productos parciales de la siguiente multiplicación.
6785399
X 839938
54283192
, 20356197
60068591
60068591
20356197
54283192
5998214465262
Como se puede ver, en la segunda fila diagonal son todo nueves, y en las otras los tres números de las tres primeras son iguales a los de
las tres últimas, partiendo del centro.
39
Bilioieca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
XIX
Algunas m ultiplicaciones curiosas.
sf,
Los siguientes números, multiplicados entre
dan por resultado todo unos.
3 X 37 = 111
X 101 == 1111
X 271
11111
X 4649 == 1111111
11
41
239
Duplicando, triplicando, c uadruplicando, etcétera, cualquiera de los dos factores, se obtienen
doses, treses, cuatros, etc.
xx
Una cifra inesperada.
Sabido es que el juego del ajedrez lo inventó
un soldado del ejército de Alejandro el Grande,
llamado Palarnedes.
Conducido éste a la presencia de aquél para
recompensarle por tan famosa invención, le preguntó Alejandro qué es lo que quería, y Palainedes le contestó que se conformaba con un grano
de trigo por cada uno de los 64 cuadritos del tablero, pero aumentado correlativamente en progresión geométrica a medida que fuesen avanzando uno a uno en la cuenta de los 64 cuadros.
40
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan
March (Madrid)
Quedó conforme y maravillado Alejandro de lo
poco con que, a su juicio, se conformaba el inventor, y mandó que se echase la cuenta y se le
pagase.
Pero aún fué mayor su asombro cuando sus
ilustres matemáticos le dieron a conocer la suma
de los granos de trigo compuesta de 20 cifras, y
según se calculó no había bastante trigo en /a
tierra ni lo habría durante algunos años para poderlo pagar. He aquí dicha cifra:
18,446,744,073,7o9,551,615.
X7ZI
Combinaciones.
El número de lugares que pueden ocupar varias cifras o letras, o sea el número de combinaciones que se pueden hacer con ellas, se multiplica de una manera asombrosa a cada unidad
que se va añadiendo.
Para dar una idea aproximadamente de ello,
véase el siguiente anagrama compuesto de las
cuatro letras de la palabra Amor:
AMOR MORA ORAM RAMO
AMRO MOAR ORMA RAO
AORM MROA OARM RMAO
AOMR MRAO OAMR RMOA
ARMO MAOR OMRA
m
AROM MARO OMAR ROA
ROMA
Total: 24 combinaciones.
41
lioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Ahora véase la enorme progresibilidad de dichas combinaciones operando con varios signos
o cifras hasta en número de 12, sin que ninguna
sea igual a otra:
2—
2
6
4 .
24
5—
120
6—
720
7—
5,040
40,320
8 —
362,880
9 —
10 — 3,628,800
11 — 39,916,800
12 — 479,001,600
Con
» 3 . —
»
»
»
»
»
»
»
»
»
e No es asombroso!
XXII
Potencias del 1 y del 9.
La segunda potencia de cada uno de estos números aumentados correlativamente del mismo
número, una, dos, tres, hasta nueve veces, es
decir:
X II —
X 111-1111 X III1
y así hasta 11111111 1 X 11111 1 1
1 X I — II
y lo mismo el 9, sus resultados ofrecen la originalidad que se puede observar en las dos pirámides numéricas que van a continuación:
42
Biblioteca de ilusionismo. Fundacion Juan March (Madrid)
1 2.a
1
11 »
121
111 »
12321
1111 »
1234321
11111 »
123454321
111111 »
12345654321
1111111 »
1234567654321
I 1 111111 »
123456787654321
111111111 » 12345678987654321
9 2 . a
81
99 »
9801
999
998001
9999 e
99980001
99999 »
9999800001
999999 •
999998000001
9999999 »
99999980000001
99999999 » 9999999800000001
999999999 » 999999998000000001
XX11111
Cómo multiplican los cosacos.
Escriben uno al lado de otro ambos factores y
forman debajo de cada uno dos columnas de la
manera siguiente: debajo del de la izquierda colocan la mitad del mismo; debajo de esta mitad
la mitad de la misma, y así sucesivamente hasta
llegar al número uno, entendiendo estas mitades
sin fracción; es decir, la mitad de 23, por ejemplo, i; la mitad de II, 5. Debajo del factor de
la derecha se hace todo lo contrario; se duplica
la primera cantidad; luego se duplica ésta; luego
la que sigue, y así hasta emparejar con la última
cantidad del otro lado, colocando los productos
43
liotec a de Ilusionismo. Fondacion Juan March (Madrid)
paralelos. Hecho esto se borran de esta últitna
columna todos los productos colocados enfrente
de los productos pares de la otra columna; se
suman los no borrados, y esta suma sera el resultado de la multiplicación.
Ejemplos:
El guión colocado a la derecha de la columna
indica las cantidades que se deben borrar.
1.°
2.°
32 X 8 = 256
16
16—
8
32—
4
64—
2 128—
1 256
135 X
67
33
16
8
4
2
I
22 = 2970
44
88
176 —
352 —
704 —
1408 —
2816
2970
XXIV
Cómo multiplican algunos árabes.
Cuando no se tiene mucha practica para hacer esta operación se tiran, más o menos completas, las lineas necesarias, oblicuas unas y
perpendiculares a éstas las otras, según se puede
ver en los dos ejemplos que van a continuación
de la explicación.
Los cuadros que quedan formados se dividen
44
L.Ilioteca de Ilusionismo. Fundacion Juan March Madrid)
así mismo, para mayor claridad, por una rayita, aunque con práctica se puede prescindir de
esto.
Hecho así, se colocan a la cabeza de cada columna oblicua las cifras del multiplicador, y encima, sobre las columnas de las perpendiculares,
las del multiplicando.
Supongamos el caso: 57 X 346.
Colocados los factores en la forma dicha (véase el ejemplo A), multiplicamos la primera cifra
del multiplicador por la primera del multiplicando, y el producto lo anotamos en el cuadrito más
abajo de la primera columna perpendicular, añadiendo a la izquierda del mismo número, separado por una rayita, las que llevamos. Tornamos
la segunda cifra del multiplicador y la multiplicamos igualmente por la primera del multiplicando, anotando el resultado en el cuadro de encima en la misma columna. Multiplicamos de
igual forma las dos cifras del multiplicador por
segunda del multiplicando, anotando el resultado en las casillas de la columna correspondiente, y repetimos la operación con la tercera del
multiplicando de igual manera.
Cuando están llenas todas las casillas tiramos
una línea horizontal que toque al ángulo inferior
del cuadro, sumamos los números de cada diagonal perpendicular a esta linea y la operación
está hecha. Véanse dos ejemplos:
45
liote ea de llusionis mo Fundacion Juan March (Madrid)
346
2354
X57
X4683
2422
1730
7062
18832
14124
9416
19722
11023782
A
7 82
$ 1 0 2
46
Bililieteca de Busionisme.Fundación Juan March (Madiid)
Demostración de la operación: A.
5 ><3 = 15 I • ' columna, casilla de abajo.
»
arriba.
7 X 3 =- 21 »
5 X 4=20 2. a»
•
abajo.
»
»
arriba.
7 X4=28 »
5X6=30 3.'
»
abajo.
»
»
7 X6 = 72 »
arriba.
Súmense las diagonales y está hecho.
47
lioteca de Liusionisnio.Fundación Juan March (Madrid)
Bffiliotera de Ilusionismo. Fundación JuartMarch (Madrid)
PROBLEMAS
ra de Ilusionismo. Fundación ,T,.”1,..T.,11 (Nladlid)
Bffilioteea de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
XXV
Problemas aritméticos.
A
6X3=--8
Cómo puede ser 6 y 3 igual a 8?
En francés, de la siguiente manera:
111111+--Solución:
HLIIT
5X5=11
Se toman a una persona ambas manos, y lanzando una exclamación de sorpresa, se le dice
que tiene i i dedos. El otro, como es natural, lo
niega; se insiste, se apuesta y se hace la prueba.
Se le manda colocar las manos en alto bien
abiertas, y empezando por una se le cuentan correlativatnente los dedos en orden inverso, o sea:
zo, 9, 8, 7 y 6; por aquí, seis, se le dice, recalcándolo. Se le toma la o t ra mano y se cuenta: 1,
2, 3, 4 y 5; cinco y seis once, y se gana la
apuesta.
5!
a de Ilusionismo. Fundación Juan
March (Madrid)
Con tres números iguales, que no son el 4, sumar 12.
Se pregunta si son capaces de hacer esta operación, y si no hay ninguno que la sepa se le
enseña.
Hela aquí:
11
1
12
Con cinco nueves escribir la cantidad Loco.
He aquí cómo se escribe:
999
9
Novecientos noventa y nueve y nueve novenos (o sea un entero) igual a t.000.
Problema de paciencia.
Con las nueve primeras cifras (del L al 9) formar tres cantidades, de tres números cada una,
de manera que no falte ningún número ni se repita entre las tres, y que sean: la segunda, el doble que la primera, y la tercera el triple.
Helas aquí:
219-
438 -657
52
Bffiliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
E
Un problema de solución aparente.
Un anciano dejó al morir a sus tres hijos
carneros, diciendo en su testamento que se entregase: al mayor la mitad; al mediano la mitad
que al mayor, y al menor la mitad que al mediano, siendo condición expresa que se los repartiesen sin matar ninguno. El albacea, al querer entregar su parte a cado uno, se vió en un compromiso, y discurriendo halló la manera de dar su
parte viva a todos y más de lo que les correspondía.
He aquí cómo procedió:
Mandó traer un carnero de su propiedad y lo
juntó a los ii.
Entonces dió: al mayor, 6 (medio más de lo
que le correspondía); al mediano, 3 (un cuarto
más de lo que le correspondía), y al menor, 2
(cinco octavos más de lo que le correspondía). Se
encontró con que, de esta manera, había repartido los ti y le sobraba el que había puesto de su
propiedad; se lo guardó, y colorín colorado.
El pescador y su barca.
A la orilla de un lago se halla un pescador con
su barca. Lleva consigo un serón de lechugas, y
le acompañan un lobo y una oveja, todo lo cual,
53
liotec a de Ilusionismo. Fundación Juan. March (Madrid)
tiene que trasladar a la otra orilla. La barca es
tan pequeña que no puede pasar en ella más que
una sola cosa cada vez.
¿Cómo se arreglará para pasar todo sin dejar
solos en ninguno de los viajes, al lobo con la
oveja, ni a la oveja con las lechugas?
Solución:
Primer viaje: Pasa la oveja, la deja y vuelve.
Segundo viaje: Pasa el lobo, deja el lobo y se
lleva la oveja.
Tercer viaje: Deja la oveja, pasa las lechugas,
deja las lechugas y vuelve.
Cuarto viaje: Pasa la oveja y ha terminado.
Los cinco lotes impares.
Con zo alfileres, judías, fichas, etc., mandar
que formen cinco montones o grupos impares.
Pueden poner en cada uno la cantidad que
quieran, pero a condición de que han de ser cinco los montones y todos impares.
Solución:
Cuando estén ya cansados de hacer combinaciones, se les puede decir amablemente que no
se inolesten más, porque no tiene solución, es
imposible.
54
Biblioteca de Ilusionismo. Fundado,. Juan Maxrh (Madrid)
En un paseo público de un kilómetro de longitud han plantado árboles en todo él, a una distancia de cien metros uno de otro.
¿Cuántos árboles habrán plantado?
Solución:
La mayoría contestarán que x i, y bien se les
puede, en tal caso reprochar, que no saben una
palabra de números, pues se les puede hacer ver
que no son ti, sino 22, 0 sea u en cada lado.
Los dos arrieros.
Dos arrieros caminan juntos y llevan en sus
borricos ocho cántaros de vino. Disputan a mitad de camino y acuerdan partirse el vino por
mitad y marchar cada uno por su lado. No tienen
otras medidas para hacer la partición ni otras vasijas que las tres donde llevan el vino, que son
tres pellejos de ocho, cinco y tres cántaros, respectivamente. Con ellos tienen que arreglarse
para medir y separar los cuatro cántaros que corresponden a cada uno. ¿Cómo se arreglarán?
Solución:
Primeramente llenarán el pellejo de los ocho
cántaros, luego de éste pasarán cinco al de cinco, y a continuación pasarán del de cinco tres al
de tres. Después vaciarán el de tres en el de ocho,
55
Ilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
y los dos que quedaron en el de cinco los pasarán al de tres. Volverán a llenar del de ocho el
de cinco y de éste pasarán uno al de tres, que ya
tenia dos, quedando así cuatro en el de cinco.
Vaciarán el de tres en el de ocho y así quedan:
cuatro en el de ocho y cuatro en el de cinco, quedando resuelto el problema.
La propina.
Un viajero, al despedirse de la fonda, entrega
al camarero cierta cantidad de pesetas para que
las distribuya entre él y otros dos sirvientes, mas
el botones, en la siguiente forma:
Para él la mitad, más media peseta; para el que
le sigue la mitad de lo que queda, más media
peseta; para el últino la mitad de lo que queda,
más media peseta, y para el botones la peseta
que queda. Tocaron todos a cantidad completa
de pesetas, sin fracción ninguna. ¿Qué cantidad
era la que le entregó?
Solución: 15 pesetas.
Prueba:
1.0 -7 y media, ms media 8. Quedan
2. 0 -3 y media,
30_j y media,
»
4.
)
3.
»
»
2.
»
1.
4. 0 -1, no queda.
56
Biblioteca de ilusionismo. Fundación Juan
7.
»
March (Madrid)
y bis
Problema fácil.
En un corral hay cierto' número de animales;
las cabezas de los mismos suman 36 y las patas
¿Cuántas aves y cuántos cuadrúpedos hay
en total?
Solución:
Cuadrúpedos Aves. 14
22
Demostración:
14 cuadrúpedos
22
aves
14
22
cabezas
cabezas
56 patas
44 patas
36
animales
3ti
cabezas
100 patas
K
Problema falso.
(La trampa debe descubrirla el lector.)
Mandó a un muchacho su patrón a vender al
mercado 120 naranjas, al precio de cada cinco
naranjas lo céntimos, según lo cual importaban
2,40. El muchacho vendió las cinco primeras y se
gastó los lo céntimos. Luego empezó a discurrir
para hallar la forma de vender las restantes al
mismo precio que le había marcado el amo y sacar las 2,40 que importaban todas, hasta que halló la solución.¿Cómo se arregló?
(Téngase presente que las 120 importaban
57
tIlioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (112142id)
2,40, vendidas cada cinco, a o,i o, y que él las
vendió a ese precio y sacó 2,50.)
Solución:
Vendió las cinco primeras y con las 115 que le
quedaban formó dos montones; en uno puso 58,
las más gordas, y en otro puso 57, las más delgadas. Las del primer montón las vendía cada
dos una perra chica, y las del otro cada tres una
perra chica, y así sacó las 2,40, más los io céntimos de la primera venta, vendiendo cada cinco
a io céntimos.
Negocio redondo.
Un individuo llevaba cierta cantidad de dinero, encontróse con un amigo y le dijo: «Si me
duplicas el capital que llevo te doy dos pesetas.»
El amigo le duplicó el capital y recibió las dos
pesetas. A continuación encontróse con otro amigo y le volvió a decir: «Si me duplicas el capital
que llevo te daré dos pesetas.» El amigo le duplicó el capital y recibió las dos pesetas. Encontröse en seguida con otro y le hizo la misma proposición; éste le duplicó igualmente el capital, recibió las dos pesetas, y el otro se quedó sin nada.
¿Qué capital llevaba al principio?
Por raciocinio se puede averiguar esta incógnita procediendo de la siguiente manera:
58
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Al quedar sin nad t es porque ha dado las dos
pesetas que tenia, último dato que conocemos.
Estas dos pesetas eran el producto de una cantidad duplicada por el último amigo, luego esa
cantidad era una peseta.
Una peseta era lo que le quedó después de haber dado al segundo amigo las dos pesetas; luego esta peseta y aquellas dos (tres pesetas) eran
el producto de la cantidad duplicada por el segundo amigo, o sea 1,5 0.
Y esta 1,5o era lo que le quedó después de dar
dos pesetas al primer amigo; luego esta t,5o y
aquellas dos (3,50) era el producto de una cantidad duplicada por el primer amigo, o sea 1,75;
1,75 era, pues, el capital inicial.
Demostraciem:
1. er amigo: Se duplica 1,75 (3,50), le da 2,00; quedan 1.50.
2.° amigo: Se duplica 1,50 (3,00), le da 2,00; queda 1,00.
3. er amigo: Se duplica 1,00 (2,00), le da 2,00; no le queda
nada.
Otra propiedad del núm. 9.
Para multiplicar cual luier cantidad por 9, basta añadir a la misma un cero al final, colocar debajo la misma r.antidad y restarla. Esta resta será
igual al producto de la multiplicación.
59
Motee a de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
Ejemplo:
36742
367420
X 9
— 36742
330678
330678
N
Cuestión de lugar.
Regalaron a un señor 32 botellas de un jerez
de buena marca y las guardó él mismo en la bodega, colocándolas de tal forma en la misma, que
era cuadrada, que contando por cualquiera de los
cuatro lados se encontraban siempre nueve botellas en cada lado.
De cuando en cuando bajaba a la bodega, contaba un lado o los cuatro, y como hallaba nueve,
se volvía a marchar tan tranquilo, confiado en
que estaban todas.
Este señor tenía un criado, el cual durante
este tiempo entró tres veces en la bodega y se llevó cada vez cuatro botellas, dejando las restantes
de tal forma colocadas, que el amo no notó la
falta ninguna de las tres veces.
¿Cómo se arregló?
Solución:
Colocación que hizo el amo:
1
7
1
7
7
6o
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
1
7
1
Cambios que hizo el criado:
I .a
5
2
5
2
3. a
2. a VEZ
VEZ
2
5
2
5
3
3
3
3
3
3
3
3
4
1
4
VE2
1
1
4
1
4
XXVI
Problemas geométricos.
Con 20 alfileres, pajitas, cerillas, etc., formar el
siguiente cuadro dividido en nueve cuadritos.
Borrar o quitar ocho y que queden solamente
dos cuadritos.
Solución:
61
Ilioteca de Ilusionismo. Fundación JIMIl March (Madrid)
Con 15 alfileres, pajitas, etc., formar cinco
cuadritos en la siguiente forma:
Borrar o quitar tres y que queden tres cuadritos completos.
Solución:
Quitar de la línea más alta la raya del centro y
las dos que forman el ángulo inferior de la izquierda.
Robo impune.
Cierta dama poseía una crucecita formada de
brillantes, todos ellos de igual tamaño. El número de éstos era tal, que contando de arriba a
abajo, o de la extremidad de cualquiera de sus
dos brazos hasta la base, sumaban siempre 9.
62
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madxid)
Véase la cruz:
2
7
8
9
Habiéndosele partido ésta, la entregó a un orfebre para que la compusiera, sin quedarse con
otros datos para comprobar su autenticidad
cuando se la devolviese que los que conocemos.
El orfebre separó dos brillantes de la cruz y se
los guardó sin reemplazarlos; entregó la cruz restaurada; y hecha por su dueña la comprobación
por el procedimiento que conocemos, encontró
nueve, como siempre, y quedó conforme.
¿Cómo se arregló el orfebre para que no se notase la sustracuión?
63
Ilioteca de Ilusionismo. Fundación Juán Maxrh (Madrid)
Solución:
ji
2
2
6
XXVII
Páradoja geométrica.
64 = 65
Sesenta y cuatro son sesenta y cinco.
He aquí una operación matemática curiosísima.
Un cuadrado dividido en 64 cuadritos iguales,
descomponerlo y volverlo a juntar de tal manera
que con los mismos 64 cuadritos quede formado
un rectángulo compuesto de 65, de igual tamaño
que los anteriores. He aquí la operación:
64
ib1jo teca de Ilusi i,rno. Fundación Juan Mara (141adiid)
i.•
El cuadrado ( 8 X 8
64).
ft•••nn
2,
Forma en que se ha de dividir.
,
65
kieteca de Ilusionismo.Fndación Juan March (Madrid)
3. 0
Forma de unirlo de nuevo.
(5 X 1 3
65)
Entre ríos.
Un río, al dividirse en dos brazos, forma una
isla; inmediatamente se une otra vez y forma otra.
Ambas islas están unidas por un puente, y además existen otros seis puentes (tres en cada lado,
para pasar a ellas desde las orillas opuestas.
Véase el siguiente grabado:
66
lioteca de Ilusionismo. Fundación Juan Mara (Madrid)
El problema consiste en pasar seguidamente
pof todos los puentes una sola vez. Repito que
hay que pasar por los siete sin pasar más que
una sola vez por cada uno.
Solución:
No la tiene. Es imposible pasar por todos una
sola vez; para pasar por todos ellos seguido, hay
que pasar dos veces. Háganse las pruebas para
convencerse.
XXIX
Multiplicación abreviada sin productos
parciales.
He aquí un ejercicio que puede ser de mucha
utilidad practicándolo mucho, pues abrevia enormemente esta operación. Pero para poder hacer
uso de él se precisa tener práctica, y, sobre todo,
buena memoria y no sufrir distracción ninguna,
pues es necesario retener en la memoria las cantidades e irlas sumando mentalmente englobadas. Doy aquí nada más que unos ejemplos sencillos; al que quiera estudiar más detenidamente
67
lioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
4
este sistema, le recomiendo el folleto de R. 13.
editado recientemente en Barcelona, en el
que encontrará mayor ampliación, y todos los casos e inconvenientes resueltos que pueda hallar.
Baste decir que, por este sistema, se pueden
multiplicar toda clase de cantidades; de igual número de cifras en el multiplicando y en el multiplicador; de distinto número de cifras en am bos
ceros, decimales, etc.; pero en tratándose de cantidades de más de cuatro cifras, repito que es un
poco complicado por la gran capacidad de retención que requiere.
Véase cómo se procede:
Vert,
Ejemplo:
34 X 27 918
34
27
918
B. A.
34
27
b. a.
Procedimiento:
1 • a cifra, aX Ay se escribe el resultado.
2.' » a X B b X A + las que llevábamos.
» b><B+ las que llevábamos.
4.' » (si la hay). Las que llevamos.
Otro caso (tres cifras):
344 X 254
344
254
C. B. A.
344
254
c. b. a.
87376
68
ioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
87376
Procedimiento:
1.a cifra, a X A.
2.a » a X B b X A + las que llevamos.
3.a » a X C cXA+bXB+ las que llevamos
4.ab X C c X B las que llevamos.
•5.a » c
x C las que llevamos.
Si llevamos alguna, se escribe otra cifra.
Otro caso (cuatro cifras):
2356 X 3342 = 7873752
2356
D. C. B. A
3342
2366
3342
7873752
d. c. b. a.
Pi ocedimiento:
1.a cifra, a X A.
2.a » a X B b X A las que 11 eva mos.
3.a » bXB-1-eXAI-aXCI- las que llevamos4'
4.a » bXCI-cX8-1-aXD+ d X A ± las que
llevamos.
5.a »
6.a »
7.a »
c XCi-DXbA-BXd+ las que llevamos.
CXd+DXcflasquell evamos.
D X d las que llevamos.
69
'Ajote ca de ilusionismo.
Fundación Juan March (Madrid)
XXX
Un frase ingeniosa para terminar.
«Dá.bale arroz a la zorra el abad.»
En esta frase, como se ve, lo mismo se lee empezando el principio que empezando al final y
leyendo hacia atrás.
FIN
Bffilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan Mara (Madrid)
APÜNDICF
Ilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan Marcit (Madrid)
u-ca
de Uusiozuato.
rucia
aaari s uanMaithQIathid)
APÉNDICE
A LA SEGUNDA EDICIÓN
Para los iniciados.
Todo el mérito de este trabajo corresponde al
notable profesor de Matemáticas don Sabino F.
Alvarez, espíritu innovador y analítico, autor de
varias teorías modernas sobre la ciencia Matemática (1), al cual se debe cuanto en él se exponga,
y con cuya ayuda ha sido redactado.
Origen de los números misteriosos.
Suponiendo que los distinguidos lectores de
este librito les será grato conocer el porqué, y
origen del misterio de estos números, creo de mi
deber satisfacer plenamente su plausible deseo.
Todos esos números, verdaderamente misteriosos, proceden de dos solamente; son solo dos:
(1) Véase su folleto Eureka. Eludes sur les figures
courbes au moyen du triangle, en cuyo trabajo se drsarrollan teorías nuevas sobre el triángulo que resuelven infinidad de probiernas de gran aplicación científica y
práctica.
73
Iliotec a de Ilusionismo. Fundación Juan Mara (Madrid)
el 3 y el 7, con sus potencias positivas y negativas.
Las potencias de los números son ya algo misteriosas; han revelado teorías de gran importancia científica, entre ellas, la de los logaritmos. Son
los términos de progresiones geométricas desde
el infinito hasta el infinito. Pongamos una, cuya
razón sea el 5.
53 . 52:51 •505-1 •5--2 :5—
3
Sus valores, 125; 25; 5; 1; 0,2; 0,04; 0,008 Coino se ve, las potencias negativas son fracciones, cuyo desarrollo lo forma una potencia
contraria, prescindiendo de la parte entera. En
ésta, son las potencias positivas del 2 las que
desarrollan las negativas del 5, y viceversa. Lo
propio sucede entre el 3 y el 7.
Si el número 9 resulta misterioso, es porque es
potencia del 3; 3 X 3, Ó 3 2 =--- 9.
¿De dónde procede el número que multiplicado por el producto del 9 por otra cifra, da un resultado, como se ha visto, compuesto exclusivamente de esa cifra?
Si llainanos n, a la cifra que multiplica el 9,
n n n .... producto
tendremos: 3 — 4 X 3 2 n
exclusivamente compuesto de la cifra n. Lo cual
vamos a desarrollar aritméticamente para que todos puedan entenderlo.
74
Biblioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
He aquí:
3- 4 =1' 0'... 13
10... 0,333... 3
3
0,0370370370... 3
07
0,012345679..
10
13
17
20
23
27...
oo
Ahora, prescindiendo de la parte entera, tenemos para las potencias negativas suc . sivas de 3.
3 — 1
333 ....; 3 — 2
iitt ...; 3
370370 .... 3 — 12345679 ; número misterioso que multiplicado por 3 2 n, ó 9 n da por pro
dueto n n _n
El misterio consiste sencillamente en que 3 — 4
32 anula la parte de fracción convirtiéndola
X
en 1, es decir, en 0,999 ..., y está demostrado
que una fracción compuesta de nueves vale exactamente la unidad 0,999 ... t. Luego no queda más que ese 1, sumado a las decenas de 9 n,
para formar en el producto. Ejemplo:
2X9
18;
3X9
27;
4 X 9 = 36;
1 decena -I- 1 = 2;
2
»
+ 1 =- 3;
3
»
+1
4;
»
»
»
»
»
»
7>
producto de doses.
de treses.
»
»
de cuatros.
etcétera.
Y entre las muchas rarezas que aún se pueden
75
ffilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Mbid)
encontrar, obsérvese que siguiendo la operación
hasta el 9, en todos los productos los valores particulares de sus cifras, suman 9; que colocados
en la forma que van, forman dos progresiones
iguales opuestas del i al 8 las decenas, y del 8
al i las unidades, que la suma de estos productos es 396, que multiplicada por el 7, produce
otro número raro, 2772, que también se presta a
otra porción de rarezas.
El otro número misterioso, el 15873, ¿de dónde procede? Muy sencillo; procede también del 3
y del 7, en esta forma: 3 – : 7, o sea, la segunda potencia negativa del 3 por la primera positiva del 7, prescindiendo siempre de la parte entera:
3
- 2 : 7t = ... 111111 ...
041
061
051
021...
00
I
15873...
El reproducirse en el producto final la cifra n
al ser multiplicado este número por 7 n, obedece
a la misma razón que el otro, por 9 n aunque el
mecanismo difiere algo.
Teoría de los números capicúas.—Los productos
del 7 por las nueve cifras, o sea, 7 n, sumados
como en el caso 9 n, suman 3 08, que multiplica76
Bffilioteca de Ilusionismo. Fundacion Juan March (Madrid)
do por 9, reproduce el mismo capicúa 2772; esto
prueba la relación intima, misteriosa que existe
entre los dos números 3 y 7. Si se multiplica esta
suma 308 por dos, da otro capicúa; 6/6. Si se
resta la suma de las decenas de los productos
que es 27, de la de las unidades de los mismos
que es 38, el resto es otro capicúa, el //. Si las
sumamos al revés, es decir, poniendo por unidades las decenas, y las decenas por unidades en
esta forma:
27
38
407
dan otro número misterioso que se presta a otra
colección de rarezas, por ejemplo: 407 X 32
407 X 9
3663, otro capicúa.
En fin: las L a y 2.' potencias negativas del 3,
prescindiendo siempre de la parte entera, son capicúas; y todos los productos de cada una de
ellas por 2, 3, 4, 5, etc. son capicúas. Y, todos
los capicúas, que son infinitos, que siempre se
han tenido por casuales, no son más que el resultado de las infinitas combinaciones de las potencias del 3 y del 7. Nada hay casual; todo sucede por algo.
En cuanto al 7, tiene otra propiedad, suya exclusiva; la de convertir en potencia negativa de
si mismo, todo otro número que forme un que77
ffilioteca de Ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
brado con él y él por dominador, prescindiendo
siempre de la parte entera.
Sofismas del 3 y el 7.-0 sea: números que divididos por el mismo divisor, dan diferentes cocientes. Esto que parece imposible es, si embargo exacto. Ejemplos:
2100... I 7
2100... 7
.
70 1 299... 00
36-0.. '
70...
900.. 19
90..1 99... '
700.7
.
700 7
0
100..
...--414
._4 \
..0'
-4' \
90019
0.. I 100... .4(cj( tIt- )5x: \
1.1131t.I.S,,pz I
70 99... '
7..
FIN DEL APÉNDICE
SIL» . a de Plusionisnto. Fundar ión Juan March (Madrid)
Ilioteca de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
to teca
de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)
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lio teca de flustoniarno. Fundación Juan Manch (Madrid)
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kuteca
de Dusionismo. Fulidacion Juan March (Madrid)
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oteca de ilusionismo. Fundación Juan March (Madrid)