relaciones y álgebra
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RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS
ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Funciones
1. Identificar situaciones dadas que pueden
ser expresadas algebraicamente en la
forma y = ax2 + bc + c.
t
Función cuadrática
2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.
Expresiones algebraicas
t
Factorización
t
División de polinomios
t
Operaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
t
Racionalización.
Ecuaciones
t
Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita
-
Raíces
-
Discriminante
Funciones
t
Función cuadrática
3.
Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.
4.
Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.
5.
Efectuar división de polinomios.
6.
Efectuar operaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias.
7.
Racionalizar el denominador o numerador
de expresiones algebraicas.
8.
Plantear y resolver problemas utilizando
ecuaciones de segundo grado con una
incógnita.
9.
Resolver ecuaciones que se reducen a
ecuaciones de segundo grado con una
incógnita.
10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c.
11. Analizar la influencia de los parámetros
a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c,
utilizando software.
12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con
incógnita.
191
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
192
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Álgebra
Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos
de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al
concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo
experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy
en particular, a Al – Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal
como la conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar
todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético,
puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan
mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.
Notación algebraica
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden
ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas
como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando
las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…
Una misma letra puede representar distintos valores que se diferencian mediante el uso de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda,
a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a
subdos, a subtres.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica
es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación
Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con
las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división,
potenciación, radicación y en cursos posteriores la logaritmación, etc.
193
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Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Signos de operación
t
En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más
ye”.
t
En la resta se utiliza el signo (–). Así, por ejemplo x–y se leerá “equis menos
ye”.
t
En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por
ejemplo x x y = x × y se leerá “equis multiplicado por ye”.
El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien
por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x×y×z = xyz
t
En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/). Así, por ejemplo
x : y = x/y = x÷y y se leerá “equis dividido entre ye”.
t
En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se
sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así,
por ejemplo x4= x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el
caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente
es uno.
t
En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca
la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada
de equis”; 3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
Signos de relación
Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos
cantidades.
t
El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”.
t
El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”.
t
El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”.
t
El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”.
t
El signo ≥ se lee mayor que o igual.
t
El signo ≤ se lee menor que o igual.
Signos de agrupación
Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes
[ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en
su interior debe efectuarse en primer lugar.
194
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Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FUNCIONES
Antes estudiamos un tipo especial de funciones, las funciones lineales; a partir de ahora,
estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales
son funciones polinómicas de grado 2.
El más recordado de los matemáticos árabes de
esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi,
quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
f(x) = ax2 + bx + c
En su tratado sobre Álgebra, al khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas
de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la
solución de las ecuaciones era dado con palabras,
pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos
como hoy en día.
Las ecuaciones de éste tipo de funciones ya
las hemos utilizado anteriormente. En esta sección
del libro Matemática Zapandí, además del estudio
pormenorizado de esta función, conoceremos
algo de la historia de la Matemática en la que se
fundamentó su desarrollo.
Los matemáticos árabes hicieron importantes
contribuciones a la Matemática en la época llamada “la Edad de Oro” del
mundo musulmán, entre
el año 700 y el 1200 d.C.
aproximadamente.
Lograron preservar
el legado matemático de
los griegos, tradujeron y
divulgaron los conocimientos matemáticos de la
India y asimilando ambas corrientes, aportaron
mucho al Álgebra y a la Trigonometría.
Fue mucho después,
en el siglo XVI, cuando
comenzaron introducirse
los símbolos que hoy se
utilizan en el planteamiento de ecuaciones.
Uno de los matemáticos
que mayor influencia tuvo
en este cambio favorable
para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Viète
(1540 - 1603). Con el uso de símbolos para expresar
la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se
impulso enormemente el desarrollo del Álgebra,
pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado
2, 3 y 4.
Así como el desplazamiento de un ciclista que
viaja a velocidad constante, a través del tiempo,
se puede describir mediante una función lineal,
existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas.
Estas son todas las funciones que tienen la forma
siguiente:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números
reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede
195
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ser mayor o menor que cero, pero no igual que
cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus
términos tiene un nombre.
Así: ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
f(0) = – 2(0)2 + 8(0)
=0+0
=0
Para saber cuál es la altura (en metros, por
ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante
en que ha transcurrido 1 segundo, se hace x = 1
y se calcula
f(1) = – 2(1)2 + 8(1)
También se da el caso que se le llame trinomio
cuadrático.
Si hay un tema que podemos llamar "muy
importante" en la Matemática, es el tema de las
funciones cuadráticas.
Tal como lo vimos en el tema funciones y en
función lineal en el libro de Matemática Ujarrás, si
no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos,
que estamos trabajando con todos los números
reales.
=–2+8
=6
Y cuando han transcurrido 2 segundos:
f(2) = – 2(2)2 + 8(2)
= – 8 + 16
= 8
También, podemos calcular cuando x = 3,
x = 4 de igual manera. Es así como se puede
construir la siguiente tabla de valores.
Por ejemplo
Un ejemplo de un fenómeno que se puede
describir a través de una función cuadrática, es
el siguiente:
Se lanza una pelota, desde el suelo, hacia
arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por
la pelota en cada segundo contando a partir del
momento en que fue lanzada.
La función que permite obtener la altura de la
pelota en cada segundo, es una función cuadrática
que depende de la inclinación con la cual se lanzó
y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento,
de acuerdo a ciertas leyes de la Física.
x
f(x)
0
0
1
6
2
8
3
6
4
0
↑
↑
tiempo altura
De la anterior tabla de valores, se pueden inferir
varias cosas acerca del fenómeno en cuestión:
entre ellas:
1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.
Si se obtiene, en un caso específico, la función
f(x) = – 2x2 + 8x.
2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.
Entonces, en el instante inicial (0 segundos
transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir,
tiene altura igual a cero:
3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros
de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento).
196
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Esta tabla de valores nos permite construir la
siguiente gráfica así:
DATOS
No de
apartamentos
alquilados
Precio por
apartamento
(mensual)
Beneficio
total
ACTUAL
FUTURO
x
7
52
52 −
266
266 + x
x⎞
⎛
52 • 226 = 13 832 ⎜ 52 − ⎟ ( 266 + x ) = ____
⎝
7⎠
Con las funciones cuadráticas podemos plantear y resolver problemas de este tipo.
En la columna datos tenemos los títulos
(No de apartamentos alquilados), Precio por
apartamento (mensual) y beneficio total.
En la columna actual, se tiene que el número
de apartamentos alquilados son 52 a razón
de 266 dólares y producen un beneficio mensual total de 52 multiplicado por 266, o sea,
13 832 dólares.
En la columna futuro se tiene la expresión
x
52 − , por qué esto así, porque si se aumenta
7
7 dólares, se tiene que 52 menos “x” entre 7 es
52 menos 7 entre 7, que es lo mismo que, 52
menos 1 que es igual a 51. Pierde un inquilino,
y le queda un apartamento sin alquiler.
Observe
t
Entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza
a descender y recorre exactamente 2 metros.
f(2) – f(3) = 8 – 6 = 2 metros
t
Entre los segundo 3 y 4 se vuelve a recorrer
la distancia que recorrió en el primer segundo:
f(3) – f(4) = 6 – 0 = 6 metros
Otros ejemplos
1. El propietario de un edificio tiene alquilado 52
apartamentos del mismo al valor en dólares
de 266 al mes cada uno. Por cada 7 dólares
que aumente el alquiler de cada piso pierde un
inquilino y por lo tanto queda el correspondiente
apartamento sin alquiler.
¿Cuál será el alquiler, que más beneficio le dé
al propietario?
¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir
el propietario?
La expresión 266 + x nos indica que los apartamentos a este momento tienen un precio
de 266 más el incremento de 7 ó 14 o más. Y
que el beneficio total del propietario se calcula
x
resolviendo ⎛⎜ 52 − ⎟⎞ ( 266 + x ) = ____ .
⎝
7⎠
2. La correspondencia mediante la cual a cada
círculo de radio “r”, con r ∈ R+ se le hace corresponder su área A, es una función cuadrática,
pues la imagen de cada elemento r ∈ R+ viene
dada por A(r) = πr2.
197
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Un agricultor tiene postes para construir 1000
metros de una cerca y un terreno muy grande.
El área de la cerca con forma de rectángulo
con dimensiones x metros y 500 – x metros
puede describirse con una función.
El caso en cuestión refiere al uso de las funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c para
indicar que a cada rectángulo con medidas
x, 500 – x se le hace corresponder su área
“y”, donde y = x(500 – x) = – x2 + 500x
(m2: metros cuadrados).
4. En una región de África, considerada como
reserva ecológica, un grupo de biólogos ha
obtenido datos sobre la relación que hay entre
el número de animales herbívoros y el número
de animales depredadores, y los ha graficado.
Como los puntos de la gráfica tienen una disposición parabólica, se traza la parábola que
mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva
corta al eje x en x = 50 y x = 150, de modo que
estos valores de x deben ser soluciones de la
ecuación f(x) = 0. Además el vértice (100,500)
Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos
obtenidos es:
1
f(x) = − x 2 + 40x − 1500
5
Muchas son las situaciones que se pueden
presentar y resolver con las ecuaciones que
representan las funciones cuadráticas.
La ecuación correspondiente a esta función
es:
Ellos desean construir un modelo matemático
que se ajuste a los datos que han obtenido.
x
50
60
80
100
120
140
150
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), con a, b, c ∈ ℝ
Son ejemplos de funciones cuadráticas:
y
0
180
420
500
420
180
0
y = 2x2 – 3x – 1
donde a = 2, b = – 3, c = – 1
y = – x2 + 3
donde a= – 1, b = 0, c = 3
y=
y=
3 x2 + x – 5 donde a =
3 2 2
1
3
2
1
x − x+
donde a = , b = − , c =
8
5
2
8
5
2
y = x2 500
400
3 , b = 1, c = – 5
donde a = 1, b= 0, c = 0
El dominio de toda función cuadrática es el
conjunto ℝ.
300
Representación gráfica
de una función cuadrática
200
100
0
0
50
100
150
200
250
Cuando representamos en una gráfica "todos"
los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, se
obtiene una curva llamada parábola. Es decir, una
198
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
parábola es la representación gráfica de una
función cuadrática.
Esta distinta orientación está definida por el
valor (el signo) que tenga el término cuadrático (ax2):
t
Por ejemplo.
La figura determinada por un puente es una
parábola o bien, es la figura determinada mediante
una función cuadrática.
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o
con puntas hacia arriba, como en
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2m
7m
-9
9.6 m
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-6
-7
-8
4.416 m
-9
Dicha parábola tendrá algunas características
o elementos bien definidos dependiendo de los
valores de la ecuación que la generan.
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o
con puntas hacia abajo, como en
t
Estas características o elementos son:
9
8
7
t
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
t
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
t
Punto de corte con el eje de ordenadas
t
Eje de simetría
t
Vértice
6
5
4
3
2
1
-9
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-6
-7
-8
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación
o concavidad de la parábola.
Hablamos de parábola cóncava si sus ramas
o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de
parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-9
Además, cuanto mayor sea (a) más cerrada
es la parábola.
199
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces
o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento de la parábola
es su eje de simetría.
Otra característica o elemento fundamental
para graficar una función cuadrática la dá el valor
o los valores que adquiera x, los cuales deben
calcularse.
El eje de simetría de una parábola es una recta
vertical que divide simétricamente a la curva; es
decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que
refleja la mitad de la parábola.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de
cualquier función cuadrática calculamos, f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de
una función cuadrática son aquellos valores de
x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los
valores de x tales que y = 0; que es lo mismo
que f(x) = 0.
Entonces hacemos, ax² + bx + c = 0
Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de
la parábola con el eje de las X (abscisas).
Punto de corte en el eje de las
ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el
eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Eje de simetría o simetría
Ramas de la parábola
Vértice
Como podemos ver en el gráfico anterior, el
vértice de la parábola es el punto de corte (o punto
de intersección) del eje de simetría con la parábola.
Para una función cuadrática y = ax2 + bx + c,
−b
la coordenada x del vértice es siempre
. Como
2a
el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical
−b
. Cambiando los valores de a y b en la gráfica
x=
2a
siguiente se puede ver dónde están el vértice y la
línea de simetría.
Las gráficas de las funciones cuadráticas
Como recordaremos cuando se estudio en
el libro de Matemática Ujarrás para obtener la
gráfica de la función y = – 2x + 5, por ejemplo,
se procede a tabular, es decir, se dan valores a la
variable independiente x y se busca (por medio de
las operaciones indicadas) el valor de la variable
dependiente y, como se ilustra a continuación.
Función: y = – 2x + 5
Vértice
x
y
PUNTOS
2
1
B(2,1)
1
Eje de simetría
A(1,3)
y = –2(1) + 5 = –2 + 5 = 3
y = –2(3) + 5 = – 6 + 5 = – 1
y = –2(2) + 5 = 4 + 5 = 1
3
–1
C(3,1)
5
–5
E(5,– 5 y = –2(5) + 5 = – 10 + 5 = – 5
4
200
3
– 3 D(4,– 3) y = –2(4) + 5 = – 8 + 5 = – 3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Una vez que los valores se han tabulado, se
procede a representarlos gráficamente.
7
6
Por ejemplo.
5
4
Represente gráficamente la función cuadrática
dada por y = x2 – 6x + 9
A
3
Solución:
2
B
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
lineales. Se dan valores a la variable independiente
“x” y, resolviendo las operaciones indicadas, se
van obteniendo los valores de la variable dependiente “y”.
1
2
1º Construimos una tabla semejante a esta:
3 4
C
5 6
7
x
y
PUNTOS
y = ax2 + bx + c
-2
-3
-4
-5
D
E
-6
La gráfica de una función de primer grado se
llama también función lineal porque su gráfica es
siempre una línea recta.
Generalizando, una función lineal o de primer
grado es de la forma y = mx + b, donde m y b
pueden tener valores positivos o negativos.
2º La completamos.
Con los números “x” que son cualquier valor
real y los números “y” que son números que se
obtienen al sustituir el valor de “x” en la ecuación
de la función cuadrática y = ax2 + bx + c. Con
estos valores se forman los puntos que corresponden a los pares ordenados (x, y) formados
por los valores de “x” y sus correspondientes de
“y”. Así.
Respecto de la función cuadrática o de segundo
grado, ésta se caracteriza por tener el término x
con exponente 2; ejemplos de esta función son:
y = x2 + 5; y = – 3x2 + 1; y = 4x2 – 1; y = (x – 3)2,
etcétera.
Representación tabular y gráficamente de
una función cuadrática
PRIMER CASO:
Para obtener la gráfica de la función cuadrática
y = ax2 + bx + c, se procede primero a tabular,
es decir, se construye una tabla semejante a la
ya utilizada para construir gráficas de funciones
201
x
y
PUNTOS
y = x2 – 6x + 9
1
4
A(1,4)
y = (1)2 – 6(1) + 9 = 4
2
1
B(2,1)
y = (2)2 – 6(2) + 9 = 1
3
0
C(3,0)
y = (3)2 – 6(3) + 9 = 0
4
1
D(4,1)
y = (4)2 – 6(4) + 9 = 1
5
4
E(5,4)
y = (5)2 – 6(5) + 9 = 6
RELACIONES Y ÁLGEBRA
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3º Una vez tabulados los valores, éstos se representan gráficamente de la siguiente manera:
7
6
5
4
2
A
B
1
En el eje de abscisas la segunda coordenada
es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Aquí hacemos uso de la ecuación:
x=
3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
E
D
1
2. Puntos de corte con el eje OX.
2
3 4
C
5 6
−b ± b2 − 4ac
2a
donde tenemos que:
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
7
t
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b²
– 4ac > 0
t
Un punto de corte: (x, 0) si b² – 4ac = 0
t
Ningún punto de corte si b² – 4ac < 0
-2
-3
-4
-5
-6
La utilidad de las funciones lineales y cuadráticas encuentra un campo fértil. En la ciencia
y la técnica, justificando con ello, la dimensión
que la herramienta matemática ha alcanzado
en estas áreas.
Representación gráfica
Podemos construir una parábola a partir de
estos puntos:
1. Vértice
xv =
−b
2a
⎛ −b ⎞
yv = f ⎜ ⎟
⎝ 2a ⎠
En el eje de ordenadas la primera coordenada
es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c
(0,c)
Por ejemplo:
Representar la función f(x) = x² – 4x + 3
SEGUNDO CASO:
3. Punto de corte con el eje OY.
⎛ −b ⎛ −b ⎞ ⎞
v⎜ , f⎜ ⎟ ⎟
⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠
Por este punto pasa el eje de simetría de la
parábola.
−b
La ecuación del eje de simetría es: x v =
2a
1. Vértice
−b − ( −4 ) 4
xV =
=
= =2
2 (1)
2a
2
Para hallar el valor de yv sustituimos xv
yv = 2² – 4(2) + 3 = –1
El vértice es V(2, -1)
2. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X), eje OX.
202
Para hallar los puntos del eje de las X, hacemos
uso de la expresión:
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como x² – 4x + 3 = 0, aquí tenemos que
a = 1, b = – 4 y c = 3
Y como b2 – 4ac > 0, tiene dos puntos de
corte en el eje de las abscisas, puesto que
b2 – 4ac = 4.
Recuerde
La gráfica de una función cuadrática es una
curva con forma de U llamada parábola.
Puede ser trazada dibujando soluciones
de la ecuación, encontrando el vértice y
usando el eje de simetría para graficar
puntos seleccionados, o encontrando las
raíces y el vértice.
4 ± 16 − 12
2
4+ 4 4+2 6
x1 =
=
= =3
2
2
2
4− 4 4−2 2
x2 =
=
= =1
2
2
2
x=
La forma estándar de una ecuación cuadrática es y = ax2 + bx + c. Esta forma nos
permite encontrar fácilmente el vértice de
la parábola y el eje de simetría usando la
fórmula para la coordenada x del vértice,
−b .
x=
2a
Los puntos de corte con el eje de las abscisas
son (3, 0), (1, 0).
3. Punto de corte con el eje OY
Este punto se halla sustituyendo en la ecuación
de la función cuadrática y = x² – 4x + 3.
y = x² – 4x + 3
(0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
El punto de corte con el eje de las ordenadas
es (0, 3)
TRABAJO INDIVIDUAL 1
Gráfica:
6
5
Selección
1) A un cartón rectángular cuyos lados miden 4 cm
y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un
cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones algebraicas, ¿cuál permite calcular el área
y del cartón sin las esquinas?
4
3
2
x
1
-1 0
-1
1
2
3
A) y = (5 – 2x)(4 – 2x)
4
B) y = (5 + 2x)(4 + 2x)
C) y = 4x2 – 18x – 20
-2
D) y = – 4x2 – 18x + 20
203
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
De las siguientes expresiones. ¿Cuál permite
calcular el área “y” a partir del valor “x”?
¿Cuál de las opciones corresponde a la gráfica asociada a la relación entre la altura que
alcanza el balón y el tiempo?
A)
10
Altura
2) Se desea construir una caja de metal, a partir
de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para
ello se recortan cuatro cuadrados de lado “x”,
uno de cada esquina.
A) y = 4x2 – 8x – 4
5
B) y = 4x3 – 8x + 4x
C) y = 4x2 – 8x + 4
B)
3) El ancho de un rectángulo es siete unidades
menor que el largo y el área es igual a 588 m2,
¿cuál es la ecuación que representa correctamente esta situación?
Altura
0
D) y = 4x2 + 8x + 4
5
Tiempo
10
5
A) x(x – 7) = 588
0
-5
B) x – 7 + x = 588
C) x2 + 7x + 588 = 0
10
Tiempo
5
C)
D) x – 7x + 588 = 0
Altura
2
10
4) La tabla muestra la altura que va alcanzando
un balón de fútbol después de ser despejado.
Altura alcanzada
por el balón (en
metros)
0
0
1
5
2
8
3
9
4
8
5
5
0
-5
D)
Tiempo
15
Altura
Tiempo (en
segundos
5
10
5
-5
204
0
5
Tiempo
5
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Resuelva cada uno de los problemas siguientes
en forma ordenada.
1) Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm,
¿cuál es la expresión algebraica que permite
determinar el área (A)?
Medida de un lado
del cuadrado
Área del cuadrado
2 cm
4 cm2
3 cm
9 cm2
5 cm
25 cm2
x cm
¿ ?
c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener
el total de saludos (y), si uno de los equipos
tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un
jugador menos?
Respuesta:
4) Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro
de 30 m, el cual tiene un lado de longitud x
metros. Escriban una expresión algebraica que
represente la variación del área (y) en función
de x.
Respuesta:
Respuesta:
2) Si al cuadrado anterior, se le aumentan 2 cm
en una de las dimensiones y 3 cm en la otra
dimensión, ¿cuál es la expresión algebraica
que determina el área (A) del rectángulo que
se ha formado?
5) El parque de mi barrio está ubicado en un
terreno cuadrado. Una parte cuadrada del
terreno de 50 m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es la zona verde con
un área de 14 400 m2.
Respuesta:
50
50
3) En la escuela se organizó un torneo de Voleibol.
Antes de iniciar un partido entre dos equipos
de 10 integrantes cada uno, los jugadores de
cada equipo saludarán a todos los elementos
del equipo contrario.
x
x
a) ¿Cuántos saludos se realizan en total?
Respuesta:
b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes,
¿cuántos saludos se realizaran en total?
Respuesta:
205
¿Cuál es la función cuadrática en función de
“x” que nos permite identificar a la situación
anterior?
Respuesta:
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
6) La altura que alcanza una pelota arrojada hacia arriba en función del tiempo se representa
mediante la gráfica siguiente:
c) ¿En qué intervalo de tiempo la función crece
y en cuál decrece?
Respuesta:
Altura (m)
4
3
C. De acuerdo a la siguiente información indique
la función cuadrática que resuelve cada uno
de los problemas siguientes:
2
1
0 1
2
3
a) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base
mide x + 2 y su altura x - 2?
4
T (s)
Respuesta:
a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál es
la variable dependiente?
Respuesta:
b) ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base
mide 2x + 1 y su altura 2x + 2?
b) ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo
ocurre?
Respuesta:
206
Respuesta:
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FACTORIZACIÓN
Si dos expresiones algebraicas (monomios,
binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos
como producto otra expresión algebraica (monomios, binomios, …, polinomios).
A partir de este momento, estudiaremos varios
procedimientos que nos permitirán determinar
los factores de una expresión algebraica dada,
cuando existan.
Pero antes, recordemos algunos conceptos
importantes:
❖
podemos realizar aplicando la propiedad distributiva
de la multiplicación con respecto de la suma, de
la manera siguiente:
ma + mb = m ( a + b )
En este caso se dice que hemos extraído el
factor común m en la expresión ma + mb, ya que
dicho factor aparece en cada uno de los términos
de la expresión dada.
En general tenemos que:
Si en una expresión algebraica dada existe un factor que sea común a todos sus
términos, ésta se puede descomponer en
el producto de dicho factor común por el
polinomio que resulta al dividir cada uno
de los términos de la expresión dada por
ese factor común.
Si dos expresiones algebraicas A y B se multiplican y su producto es C, cada una de las
expresiones A y B se dice que es un factor o
divisor de C.
Ejemplos:
1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2
y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2.
2. Del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12.
Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores
de x2 + 7x + 12.
❖
A menudo, resulta conveniente determinar los
factores de una expresión algebraica dada. La
operación que consiste en hallar estos factores
se denomina factorización o descomposición
en factores de la expresión.
Seguidamente estudiaremos algunos procedimientos para factorizar determinadas expresiones
algebraicas.
Ejemplos de este tipo de factorización.
a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a)
Solución:
Se puede observar que 4 y 8a contienen como
factor común al 4. El otro factor estará formado
por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a, ya
que 4 ÷ 4 = 1; y 8a ÷ 4 = 2a.
Luego, tendremos que
4 + 8a = 4(1 + 2a)
b) Factorizar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1)
A. Factorización por factor común
1. Factor común monomio
Por ejemplo, si queremos descomponer en
factores o sea factorizar la expresión ma + mb, lo
Solución:
En este caso tenemos que existe un factor
numérico y un factor literal.
207
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como factor numérico tenemos al número 3,
puesto que este es divisor de 6, 9 y 3 a la vez.
Además, como factor literal tenemos a las
letras a y b con el exponente 1 , entonces el
factor común es 3ab.
Luego el trinomio se puede expresar
6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab( 2a – 3b +1), puesto que
(6a2b) ÷ (3ab) = 2a
(– 9ab ) ÷ (3ab) = –3b
Por lo tanto, 10b2 – 5b + 15b3 = 5b (2b + 1 + 3b2)
d) Factorizar
Solución:
Los factores literales corresponden a los factores x e y comunes del polinomio.
Para encontrar el factor numérico de los co25 30
y ; obtenemos primero el
eficientes
9
21
factor común de los numeradores así:
25
30
5
6
(3ab) ÷ (3ab) = 1
c) Factorizar 10b – 5b + 15b
3
Solución:
Se puede observar que el factor literal es el
factor b.
Para encontrar el factor común numérico,
tomamos los coeficientes 10, 5 y 15 y los
simplificamos hasta saber cuál es el máximo
común divisor entre ellos. Así procedemos:
10
5
15
2
1
3
Luego, dividimos el polinomio entre el factor
común que tenemos:
10b2
= 2b
5b
5b
=1
5b
15b 3
= 3b2
5b
9
21
3
7
5
Segundo obtenemos el factor común de los
denominadores así:
5
25 2 30 2
xy −
x y
9
21
2
2
= 5b (3b2 + 2b +1)
3
Juntando ambos factores, formamos una nueva fracción que va a ser el factor común, la
misma tiene como numerador el factor común
de los numeradores y como denominador el
factor común de los denominadores, entonces
tenemos que
5
5
6
25 2 30 2
xy −
x y = xy
y− x
21
3
3
7
9
Observe: el factor que posee paréntesis en el
resultado de dividir cada uno de los términos
del polinomio original entre 5 xy .
3
e) Factorizar x2y2 + x3y2 + xy
Solución:
El factor común es x e y…
208
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x2 y 2
= xy;
xy
x3y2
= x 2 y;
xy
xy
=1
xy
Por lo tanto:
x2y2 + x3y2 + xy = xy(xy + x2y + 1)
ACTIVIDAD 1
Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común.
1.
120a + 20b + 120 =
12. 42a2 b 2 − 18a7b + 30a3b 2 =
2.
9a 2 x − 18ax 2 =
13. −hk2 + 2hk + h2 =
3.
x2 + x 3 − x 4 =
14. m3 + mn2 − mn4 + m =
4.
ab2 − a 3b + ab =
15. a 3b2 + a 3b =
5.
4a 3 + 30a 2 − 50a =
6.
21c 4 + 7b2 c − 14b 3 =
7.
12xy 2 − 18y 3 x 2 + 16xy =
8.
b 3 c 2 − 21c 2 + 14bc 2 =
9.
16. 5ab +
17. 25x 2 y + 30xy 3 + 20x =
18. − x 2 y + y 3 − xy 4 − 4y =
112mn4 + 120m5n − 126m2n2 =
10. a 4b + a 2b 4 + a 5 + a 3b 3 =
11. 15y 2 + 20y 3 − 30y 4 + 40y 5 =
12. −hk2 + 2hk + h2 =
13. m3 + mn2 − mn4 + m =
14. a b + a b =
3
2
3
10 2
15
a b − b4 =
3
7
209
19.
25
15 2 10 3
xy −
xy −
x y=
9
9
9
20.
2 3 2 3 2 3 1
ab −
a b − a=
20
5
15
21.
15 3 2
20 4
x y+
x y + 30x 2 y 2=
2
3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Factor común polinomio
Cuando factorizamos por el método del Factor Común en algunos casos el factor común
será un polinomio. Para estas situaciones se
procederá de la siguiente manera:
a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y)
2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3)
= 2a(m + 3) + 1(m + 3)
El factor común es (m + 3); por eso si:
2a(m + 3)
1(m + 3)
= 2a y =1
(m + 3)
(m + 3)
Solución:
tenemos como resultado que
Observando la expresión nos damos cuenta
que los dos términos de la misma tienen de
factor común el binomio (x + y); así entonces
podemos realizar lo siguiente:
2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)
(x + y)
4
=4
(x + y)
7
(x + y)
=7
(x + y)
d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b
Solución:
Vamos a acomodar esta expresión realizando
los pasos siguientes:
5x(2 + b) – 2 – b =
5x(2 + b) – (2 + b) =
y tendremos entonces que
5x(2 + b) – 1(2 + b)
4(x + y) – 7(x + y) =
(4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)
Luego, tenemos que el factor común es
(2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1)
Recuerde que:
– a – b = – (a + b)
– a + b = – (a – b)
en ambos casos estas expresiones son producto del uso de la ley distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1)
El factor común es (a – 1)
Así entonces dividimos los términos entre este
factor común y obtendremos
2x(a − 1)
(a − 1)
= 2x; − 3
= − 3
(a − 1)
(a − 1)
Entonces tendremos como resultado final:
Solución:
2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)
El factor común es (y + 2). Si dividimos cada
término por este tenemos que:
(x − 5)(y + 2)
=x−5
(y + 2)
e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2)
c) Descomponer: 2a(m + 3) + m + 3
Solución:
Esta expresión aunque en apariencia diferente
a las demás se puede escribir así:
3(y + 2)
=3
(y + 2)
Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3)
= (y + 2)(x – 2)
210
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2
A. Factorice las siguientes expresiones.
1.
a(x + 1) + 8(x + 1)
9.
2.
− 5(2n + 3) + p(2n + 3)
10. x 2 + 1− b(x 2 + 1)
3.
2a(x − 3) − 11(x − 3)
11. x(m + 7) − m − 7
4.
2x(m – n) + 3(m – n)
12. 12(b + c) − b − c
5.
4(x + 5) + n(x + 5)
13. 2y(x + 2) − x − 2
6.
x(3 + 5y) + 3 + 5y
7.
m(1− x) + 1− x
8.
4x(m − 2) + m − 2
9.
1− x + 2a(1− x)
1− x + 2a(1− x)
14. − 3 − b + x( + b)
15. −2x − 3 + m(2x + 3)
10. Factorice:
x 2 + 1− b(x 2 + 1)
B.
f) –1 + 7x + 2a(1 – 7x)
11. x(m + 7) − m − 7
a) m(a – 9) + (a – 9)
g) x – 8 + x(x – 8)
12. 12(b + c) − b − c
b) 3x (x – 2) – 2y(x – 2)
13. 2y(x + 2) − x − 2
h) – 5(2a + b + 3) – 2a – b – 3
c) a(n1+ 2) + n 1+ 2
14. − − b + x( + b)
3
3
i) (x – 6)(n + 1) – 3(n + 1)
d)
a – 1+ 3)
15. x(a
−2x+−1)3 –+ m(2x
j) (x +1)(x – 2) + 3y(x – 2)
e) – x – 1 – 7y(x + 1)
k) (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)
211
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Factorización de una diferencia
de dos cuadrados
EJEMPLO 2
Una expresión algebraica cuyos términos sean
dos cuadrados, uno de ellos con signo negativo,
puede relacionarse inmediatamente con el producto notable correspondiente a la diferencia de
dos cuadrados.
En efecto, esta expresión se puede descomponer fácilmente en factores buscando la raíz
cuadrada de cada término y formando una nueva
expresión que contenga la suma por la diferencia
de tales raíces.
a2 – b2 = ( a + b)( a – b)
¿Es – 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadrados?
– 4x2 + 16 = 16 – 4x2 Lo escribimos
en forma de
diferencia.
16 = ( 4)2 y 4x2 = (2x)2 Los términos son
cuadrados.
16 = 4 y
4x 2 = 2x Poseen raíz
cuadrada exacta.
Ya que hay un signo menos entre 16 y 4x2,
tenemos una diferencia de dos cuadrados.
Identificación de la diferencia de dos
cuadrados
Recuerde:
Para que una expresión sea la diferencia de
dos cuadrados, se deben cumplir dos condiciones.
La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la
diferencia de las bases de estos cuadrados,
esto es, de las raíces cuadradas de estos.
1. Debe haber dos términos, ambos cuadrados
para extraer la raíz cuadrada exacta.
2. Debe haber un signo menos entre los dos
términos.
En símbolos:
Analicemos los siguientes casos:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
EJEMPLO 1
¿Es 16a2 – 49 la diferencia de dos cuadrados?
El primer término del binomio es un cuadrado
16a2 = (4a)2 entonces 16a 2 = (4a)2 = 4a
El segundo término del binomio es un cuadrado
49 = (7)2 entonces 49 = (7)2 = 7
Existe un signo menos entre ellos.
Entonces tenemos una diferencia de dos cuadrados.
Ejemplos
A. Descomponer en factores
a) x2 – 25
Solución:
Cómo x2 – 25 es una diferencia de cuadrados
tal que x 2 = x; 25 = 5 . Entonces la descomposición o factorización es (x + 5)(x – 5)
Por tanto x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
212
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
b) 1 − 0,49a 2
4
Solución:
Como
a2
=
4
1
− 0,49a 2 es una diferencia de cua4
drados y como
1
1 1
=
= además 0,49a 2 = (0,7a)2 = 0,7a
4
4 2
se tiene que
1
1
− 0,49a 2 =
+ 0,7a
2
4
1
− 0,7a
2
Solución:
Tenemos que 9a4 – 25 es una diferencia de
9a = (3a ) = 3a
2 2
2
Multiplicamos la suma de las raíces por la
diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (3a2 + 5)(3a2 – 5).
Por tanto 9a4 – 25 = (3a2 + 5)(3a2 – 5)
m
am = am÷n = a n
Como –a8 + 1 = 1 – a8, el binomio es una diferencia de cuadrados y además
1=1
Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas
por la diferencia entre la raíz del minuendo y
la del sustraendo (1 + a4)(1 – a4)
Pero observe, el segundo término de esta
factorización (1 – a4) sigue siendo una diferencia de cuadrados perfectos, por lo que es
necesario factorizado de nuevo:
1=1
4
a4 = a 2 = a2
2
2. a − 1
4 9
Como
n
25 = 52 = 5
1
3
a8 = a8 ÷ 2 = a4
cuadrados y además
Solución:
9
=
3. – a8 + 1
1
a
2
Ejemplo : x 6 = x 6 ÷ 2 = x 3
1. 9a4 – 25
4
=
Importante
B. Factorizar
4
1
=
9
a2
Así tenemos que (1 + a2)(1 – a2) = 1 – a4
Otra vez tenemos que el factor (1 – a2) también
sigue siendo una diferencia de cuadrados, el
cual se descompone como (1 + a)(1 – a); por
tanto:
– a8 + 1 = 1 – a8 = (1 + a4)(1 + a2)(1 + a)(1 – a)
a2 1
es una diferencia de cuadrados y
−
4 9
213
3.
1− 4m2
4.
16 − y 2
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5.
4x 2 − 9
RELACIONES Y ÁLGEBRA
4. (a + 5)2 – 9
Solución:
(a + 5)2 – 9 = ((a + 5) + 3)((a + 5) – 3)
= (a + 5 + 3)(a + 5 – 3)
= (a + 8)(a + 2)
6.
4x 2 − 81
7.
100 – m4
8.
25 − 4n2
9.
−16 + 4b2
1
− 9a 2
ACTIVIDAD 3 4
10.
a 2 16
−
11.
A. Factorice las siguientes expresiones utilizando el método
36 de25la diferencia de cuadrados.
1.
n2 − 1
2.
x 2 − 25
3.
1− 4m2
4.
16 − y 2
5.
4x 2 − 9
6.
4x 2 − 81
7.
100 – m4
8.
25 − 4n2
9.
−16 + 4b2
1
10.
− 9a 2
4
11.
a 2 16
−
36 25
12.
121 y 2
−
100 81
2
12.
121 y 2
−
100 81
13. 1−
a2
4
14. b2 −
1
4
15. 100 −
1 4
a
16
16. 64a 2 −
1
25
17. (7x + 1)2 − 81
18. (a + 4)2 − (a + 3)2
19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2
20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2
214
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Factorice.
❖
a) 162 – 9y2
_______ b) 16a2 – 9
c) 25x2 – 4
_______ d) 25m2 – 49 _______
e) 64y – 81
_______ f) –16 + a
4
12
_______
_______
g) 121a8 – 100 _______ h) 50a10 – 72 _______
i)
x4 – 1
k) 16 – y4
_______ j) 4x4 – 64
_______
_______ l) 5x4 – 80
_______
Si multiplicamos a y b y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su
opuesto, – 2ab.
EJEMPLO 1
¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado?
Observe que este trinomio contiene dos términos cuadrados perfectos (x2 y 16), cuyas raíces
cuadradas son x y 4 respectivamente.
El doble producto de estas raíces es
2 • x • 4 = 8x que coincide con el término restante
del trinomio.
Como dicho término tiene signo positivo, entonces el trinomio se descompone en el cuadrado
de una suma.
Trinomio cuadrado perfecto
Luego, resulta:
Cuando estudiamos los productos notables
se observó que el cuadrado de un binomio es
un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios
cuadrados perfectos.
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
Por ejemplo:
Por consiguiente, x2 + 8x + 16 es el cuadrado
del binomio (x + 4).
EJEMPLO 2
( x + 5)2 = x2 + 10x + 25
¿Es x2 + 6x + 11 un trinomio cuadrado?
( x – 5)2 = x2 – 10x + 25
Los trinomios x2 + 10x + 25 y x2 – 10x + 25
son trinomios cuadrados, porque son cuadrados
de un binomio.
Los siguientes puntos ayudan a identificar
ó
un trinomio cuadrado como a2 + 2ab + b2
2
2
a – 2ab + b .
❖
❖
Dos de sus términos son cuadrados perfectos,
a2 y b2.
No debe de haber signo menos en a2 o en b2.
La respuesta es no porque sólo hay un término
al cuadrado.
¿Cuál es?
EJEMPLO 3
¿Es 16a2 – 56a + 49 un trinomio cuadrado?
Sí.
❖
Dos de sus términos son cuadrados perfectos.
16a2 = (4a)2
49 = (7)2
215
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
❖
❖
e) (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1
No hay signo menos antes de 16a2 ni de 49
Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos el
resultado, obtenemos el tercer término,
2 • 4a • 7 = 56a
Por consiguiente, 16a2 – 56a + 49 es
(4a – 7b)2
(y + 3)
1
2 • (y + 3) • 1 ➠ El signo del término medio es positivo.
Luego (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1 = (y + 3 + 1)2= (y + 4)2
f) (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1
C. Factorización de trinomios cuadrados
(y – 2)
1
Para factorizar trinomios cuadrados podemos
utilizar las relaciones siguientes.
2 • (y – 2) • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.
Luego (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 = (y – 2 – 1)2= (y – 3)2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ACTIVIDAD 4
EJEMPLOS
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2• x • 3 + 32 = ( x + 3 )2
x
3
2•x•3
El signo del término medio es positivo
➠
b) 9a – 6a + 1 = (3a) – 2• 3a • 1 + 1 = (3a – 1)
2
3a
2
2
2
1
2 • 3a • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.
c) 1 – 16x2 + 64x4 = 12 – 2 • 1 • 8x2 + (8x2)2
1
8x
2 • 1 • 8x2 ➠ El signo del término medio es negativo.
luego 1 – 16x2 + 64x4 = (1 – 8x2)
2
2
d) 27 + 72n + 48n2 = 3(9 + 24n + 16n2)
= 3 (3 + 4n)2
A. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos?
a) x2 + 8x + 16
b) x2 – 10x + 25
c) x2 – 12x + 4
d) 4x2 + 20x + 25
e) 9x2 – 14x + 16
f) 16x2 + 40x + 25
B. Factorice completamente cada trinomio.
a) x2 + 16x + 64
b) x2 + 14x + 49
c) x2 – 2x + 1
d) 1 – 4y + 4y2
e) 2x2 – 4x + 2
f) x3 – 18x2 + 81x
g) 20x2 + 100x + 125
h) 5y4 +10y2 + 5
i)
j) 1– 2a3 + a6
9x10 + 12x5 + 4
k) 49(x + 1)2 – 42(x + 1) + 9
l) (x + 7)2 – 4x – 24
m) (a + 4)2 – 6a – 15
n) 4 – 4(1 – x) + (1 – x)2
216
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
D. Factorización completa
combinando el factor común y los
productos notables
e) 20x2 + 60x +45 = 5 (4x2 + 12x + 9)
Hagamos otros ejemplos.
2x
= 5 (2x + 3)2
Si los términos de la expresión tienen un factor
común, primero sacamos el factor común. Luego
continuamos con la factorización.
3
ACTIVIDAD 5
Factorizar.
a) 49x4 – 9x6 = x4(49 – 9x2)
= x4 [ (7)2 – (3x)2]
= x4(7 + 3x)(7 – 3x)
A. Descomponga en factores.
a) a2(a – 1) – 9(a – 1) = _________________
Sacamos el factor común x 4.
Factoriza la diferencia de cuadrados.
b) 4 (x + 2) – x2 (x+2) = _________________
9
c) b2(b – 3) – (b – 3) = ________________
b) 18a2 – 50a6 = 2a2(9 – 25a4)
d) 3(x + 3)2 – 27 = ___________________
= 2a2[(3)2 – (5a2)2]
= 2a2(3 – 5a2)(3 + 5a2)
f) 5(2y – 7)2 – 20 = _________________
Sacamos el factor común 2a2.
Factoriza la diferencia de cuadrados.
= (1 – 4x6)(1 + 4x6)
= [(1)2 – (2x3)2](1 + 4x6)
= (1 – 2x3)(1 + 2x3)(1 + 4x6)
i) 3x – 6x3 + 3x5 = _________________
d) 3x2 – 42x – 147 = 3 (x2 – 14x + 49)
x
= 3 (x – 7)2
g) 2x2 – 12x + 18 = _________________
h) 27x2 + 18x + 3 = _________________
c) 1 – 16x12 = (1)2 – (4x6)2
e) 2(y – 5)2 – 72 = ___________________
7
j) (x + 2)2 + 3x(x + 2)2 = _________________
k) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = _________________
l) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = ___________________
217
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Determinar el mayor factor común de cada polinomio.
1) 2a2 + 12a
2)
9b2 – 81b
3) 12c2 – 6
4)
9d2 + 27
5) e2 + 9
6)
2f2 – 7
7) 3x2 – 12x + 18
8)
18n2 – 27n + 9
9) 2x4 + 6x3 – 10x2
10)
9y5 – 66y4 + 3y3
1) 3x2 + 12y2
2)
18x2 – 12y
3) x2 + 7x
4)
3x2 – 21x3
5) 6x2 – 4x
6)
b3 + b2 + b
7) a2b + ab2
8)
15a2c – 3c
9) 25r2s – 10rs2
10)
–12x2 – 6x
C.
D.
Factorizar
Factorizar las siguientes expresiones
1) y (y – 1) + 2 (y – 1)
2) a (a – 8) + 9 (a – 8)
3) (4c + 5) x – (4c + 5) 4) (x + 1) (2x + 3) – (x + 1)
5) (x – y)2 + (x + y) (x – y)
6) 2m (m – n) – (m + n)(m – n)
7) (1 – 3c) + (1 – 3c)y2
8) – ( 1 –2y) – 8 (2y –1)
218
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1
1. Encuentre el factor común, si existe alguno.
a) 6a3 + 30a2;
9a3 + 27 a2 + 9a
Respuesta: _____________
b) 24a4 – 15a3 + 6a ; 16a4 + 24a3 – 48a2 – 32a
Respuesta: _____________
c) 12b6 – 480b4 ; 144b8 + 72b2 Respuesta: _____________
d) 27x5 – 81x2 + 9x ;
Respuesta: _____________
8x4 – 16x + 4 2. Halle el factor común en las siguientes expresiones.
a)
54a 4b 3 − 36a 3b 4
b)
30x 2 y − 24xy 2 + 18x 2 y 2
c)
28a 3b2 + 42a 4b2 − 56a 5b 3
d)
15a 2 x 2 − 3a 2 x 3 + 75a 2 x 4 − 9a 2 x 5
e)
12a 2b 3 − 30a 3b2 − 42a 4b + 18a 2b 4
f)
6xy + 6x + 6 + 6y
3. Halle el factor común y exprese como productos las expresiones siguientes:
a) ab + ac =
____________
b) b2 – 2b =
____________
c) 3m – 3n = ____________
d) 2c + 8 =
____________
e) 2xy – 10x =
____________
f) 5y2 + 15y3 =
____________
219
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
g) 8m2 – 12mn =
____________
h) 9a3x2 – 18ax3 =
____________
i) x3 + x2 + 2x = ____________
j) 4a2 – 8a + 2 = ____________
k) 2a2 + 4ab – 6ac =
____________
l) 6m3n2 – 12m2n + 3m =
____________
m) 9a5 – 6a2x + 3a3x2 =
____________
n) 6a2b3 – 9ab + 12b2 =
____________
4. Factorice las siguientes expresiones:
a) 4a + 4b =
b) x2 – xy =
c) b2c2+ 3bc3 =
d) 6x2 – 4xy =
2 2
2
e) 1b y − 1b y =
2
2
f) 24x + 28x3 – 56x4 =
5. Descomponga en factores.
a) 4(a + 3) x – (a + 3) =
b) 2m(b – 5) + (b – 5) =
_______
_______
c) (2a – 1) – (2a – 1) 3q =
_______ d) 3t(p – 6) + (p – 6) =
_______
e) – 5(a – 10) + x(a – 10) – 2(a – 10) =_______
f) 7c (b2 + 1) + 3(b2 + 1) =_______
220
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 2
1. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos ?
a) x2 – 14x + 49
_______________
f) x2 + 2x + 4
_______________
b) x2 – 16x + 64
_______________
g) 8x2 + 40x + 25
_______________
c) x2 + 16x – 64
_______________
h) 9x2 + 18x + 9
_______________
d) x2 –14x – 49
_______________
i) 36m2 – 24m + 16
_______________
e) x2 – 6x + 9
_______________
j) 16 – 56y + 49y2
_______________
2. Transforme en productos los trinomios siguientes:
a) x2 + 2x + 1
_______________
b) n2 – 2n + 1
_______________
_______________
d) y2 – 12y + 36 _______________
e) m2 + 14m + 49
_______________
f)
_______________
g) 81 + 18p + p2 _______________
b2 – 3b + 9 4
2
h) b – 10b + 25
c) a2 + 8a + 16
i) a4 + 8a2 + 16
_______________
j)
1 – 1,6y + 0,64y2
_______________
_______________
3. Factorice. Recuerde que primero hay que buscar un factor común.
a) 2x2 – 4x + 2
_______________
e) 20x2 + 100x + 125
_______________
b) 2x2 – 40x + 200
_______________
f)
_______________
c) x3 – 18x2 + 81x
_______________
g) 5y4 + 10y2 + 5
_______________
d) x3 + 24x2 + 144x
_______________
h) 2a – 4a4 + 2a7
_______________
12x2 + 36x + 27
4. Determine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados.
a) x2 – 4
_______________
e) x2 – 35
_______________
b) x2 – 36
_______________
f) x2 – 50
_______________
221
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
c) x2 + 36
_______________
d) x2 + 4
_______________
a)
24x 4 + 60x 3 − 18x 2
b) 45x11 + 60x 3 + 20x 5
g) –25 + 16x2
2
h) –1 + 36x
c) 4x 2 − 9
5. Factorice los siguientes polinomios.
d)
6x 6 − 96x 2
a)
24x 4 + 60x 3 − 18x 2
e)
12x 9 − 36x 6 + 27x 3
b)
45x11 + 60x 3 + 20x 5
f)
x 4 + 16 − 8x 2
c)
4x 2 − 9
g)
8x 4 − 84x 3 + 18x 2
d)
6x 6 − 96x 2
h)
18x 7 + 8x + 29x 4
e)
12x 9 − 36x 6 + 27x 3
_______________
_______________
6. Factorice.
f) x 4 + 16 − 8x 2
a) 4x2 – 25
_______________
e) 64y4 – 81
_______________
g) 8x 4 − 84x 3 + 18x 2
b) 9a2 – 16
_______________
f) 36x – 49x3
_______________
2
c)
h) 100x
18x 7 –+ 1
8x + 29x 4
_______________
g) 81y6 – 25y2
_______________
d) 16x6 – 25
_______________
h) 8x2 – 98y2
_______________
7. Factorice. Observe los ejemplos e y f de la página 360.
a) ( y – 2 )2 + 2 ( y – 2 ) + 1 =
___________________
b) 4( x + 5 )2 + 20( x + 5 ) + 25 = ___________________
c) ( h + 7 )2 – 10 (h + 7) + 25 = ___________________
d) ( b + 4 )2 – 2( b + 4 ) + 1 = ___________________
e) 49( a + 1 )2 – 42( a + 1 ) + 9 = ___________________
222
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Factorización de un trinomio que no
es un cuadrado perfecto
C. Para x2 + 8x + 19, tenemos que a = 1, b = 8 y
c = 19, luego el discriminante
Si tenemos un trinomio en el cual no pueden
hallarse dos términos que correspondan, cada
uno, a un cuadrado perfecto y un tercer término
que corresponda al doble producto de las bases
de los cuadrados perfectos, entonces el trinomio
no será cuadrado perfecto y los métodos que se
usan para factorizarlo son diferentes.
Para verificar si es factorizable un trinomio
ax + bx + c, que no es cuadrado perfecto se obtiene
lo que se ha dado por llamar el discriminante.
= 64 – 76
Ejemplos.
Calculemos el discriminante de los trinomios
de segundo grado.
En consecuencia se tiene que:
1. Si el trinomio ax2 + bx + c es tal que su discriminante es un número real menor que cero
(negativo), se dice que en este caso que el
trinomio no es factorizable en ℝ, es decir, es
irreducible en ℝ.
2. Los trinomios que no son cuadrados perfectos,
y su discriminante es mayor que cero o igual
a cero, como por ejemplo:
4x2 + 12x + 9
A. Para x2 + 7x + 12, se tiene que a = 1, b = 7,
c = 12.
Recuerde x2 = 1 • x2
Entonces ∆ = b2 – 4ac = (7)2 – 4(1)(12)
∆=1
B. En el caso x2 – x – 20 si a = 1, b = –1 y
c = – 20, tenemos que
∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(–20)
= 1 + 80
∆ = 81
∆= 0
La factorización se realiza variando los procedimientos anteriores.
A continuación estudiaremos el caso de
trinomios que no son cuadrados perfectos pero
que son trinomios de segundo grado con una
sola variable y de la forma ax2 + bx + c.
= 49 – 48
tenemos que b2 – 4ac = (12)2 – 4(4)(9)
= 144 – 144
Veamos.
∆ = –12
Como podemos observar los trinomios que no
son cuadrados perfectos poseen un discriminante
que puede ser negativo, igual a cero o bien
mayor que cero.
2
Se llama discriminante del trinomio de segundo grado ax2 + bx + c, al número que resulta
de calcular (b2 – 4ac) el cual se le simboliza con
∆ = b2 – 4ac, donde las letras a, b y c representan
números reales fijos y ∆ la cuarta letra del alfabeto
griego.
∆ = b2 – 4ac = (8)2 – 4 (1)(19)
Factorización por inspección
Caso 1
Estudiaremos ahora, el caso en el que el trinomio ax2 + bx + c que no es un cuadrado perfecto,
tiene discriminante positivo (mayor que cero) que
223
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
se puede descomponer en la forma (x + p)(x + q)
en donde las letras p y q representan reales fijos y
además el coeficiente a, que multiplica a la variable
cuando está elevado al cuadrado, es igual a 1.
x + p
x + 7
x + q
x2 + 3x
x2 + px
qx
7x + 21
x2 + 10x + 21
x2 + (p + q) x + pq
Nótese que los factores de x2 + 10x + 21 son
(x + 3) y (x + 7) y los de x2 + (p + q) y (x + q).
En general, un trinomio de la forma ax2 + bx = c
se puede descomponer en factores, el primer término
de cada factor es x, y los segundos términos p y q son
dos números cuya suma es b y cuyo producto es c.
12, 1
13
3, 4
7
8
Los números que necesitamos son 3 y 4.
Por tanto x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
2. Factorizar x2 – 8x + 12
En este caso tenemos que a = 1 y además
posee un discriminante ∆ = 16. ¡Verifíquelo!
Sabemos que el trinomio se puede descomponer en la forma (x + _____)(x + _____)
Ahora buscaremos dos números cuyo producto
es 12 y cuya suma es – 8. Como el coeficiente
del término medio es negativo, necesitamos
dos números negativos cuyo producto sea 12
y cuya suma sea – 8.
Es decir;
Su suma es igual a b; p + q = b
Producto 12
Suma
– 2, – 6
–8
– 3, – 4
–7
– 1, – 12
Su producto es igual a c; p • q = c
A. Veamos el ejemplo cuando el término constante
es positivo.
1. Factorizar x2 + 7x + 12
En este trinomio a = 1 y el discriminante
∆ = 1, también como b = 7 y c = 12, el trinomio
se puede expresar como
x2 + 7x + 12 = (x + p)(x + q)
Suma
+ pq
Esta manera de multiplicar nos proporciona
una forma general para factorizar situaciones
semejantes.
Producto 12
2, 6
Como recordarán para multiplicar (x + 3) por
(x + 7) se resuelve de la manera siguiente:
x + 3
A continuación buscamos dos números cuyo
producto es 12 y cuya suma es 7.
– 13
Los números que necesitamos son – 2 y – 6.
Por tanto x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)
3. Factorizar a2 + 7ab + 10b2
Para factorizar x2 + 7x + 12 como podemos
apreciar el primer término de cada factor es x.
(x + _____)(x + _____)
224
Ya sea a2 es el producto de a y a, b2 es el producto de b y b, buscamos dos binomios de la
forma.
(a + ___b)(a + ___b)
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Buscamos dos números cuya suma es 7 y
cuyo producto es 10.
Producto 10
Suma
1, 10
11
2, 5
7
Producto – 6
Suma
1, – 6
–5
– 1, 6
5
2, – 3
–1
– 2, 3
1
Los números que necesitamos son 2 y 5.
Los números que necesitamos son –2 y 3.
a2 + 7ab + 10b2 = (a + 2b)(a + 5b)
Luego a2 + ab – 6b2 = (a – 2b)(a + 3b)
B. Veamos ejemplos cuando el término constante es negativo.
Algunas veces el término constante de un trinomio es negativo. En este caso, el término
medio puede ser positivo o negativo.
1. Factorizar x2 – 8x – 20.
Encontrar dos números cuya suma sea – 8 y
cuyo producto sea – 20.
Producto – 20
Suma
– 1, 20
19
1, – 20
– 19
– 2, 10
8
2, – 10
–8
4, – 5
–1
– 4, 5
1
ACTIVIDAD 6
A. Obtener el discriminante de cada uno de los
siguientes trinomios.
1. x2 + 5x + 6
6. x2 – 7x + 12
2. x2 + 6x + 5
7. x2 – 8x – 9
3. x2 + 10x + 24
8. x2 + 9x + 14
4. x2 – 6x – 16
9. x2 – 1
5. x2 + x – 6
10. x2 + 2x – 48
B. Factorizar.
1. x2 + 7x + 12
8. m2 + 8mm + 15n2
Los números que necesitamos son 2 y – 10.
2. x2 + 13x + 36
9. a2 + 5ab + 6b2
Por tanto x2 – 8x – 20 = (x + 2)(x – 10)
3. x2 – 8x + 15
10. p2 + 6pq + 8q2
También podemos considerar en este caso
situaciones como la siguiente:
4. x2 – 7x + 12
11. a2 + 5ab – 14b2
5. x2 + 4x – 12
12. x2 – xy – 30y2
6. x2 – 21x – 100
13. 4x2 + 40x + 100
7. x2 – 21x – 72
14. 120y2 – 23xy + x2
2. Factorizar a2 + ab – 6b2.
Buscamos dos binomios de la forma (a__b)
(a__b). Es decir, debemos encontrar dos números
cuya suma sea 1 y cuyo producto sea –6.
225
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Factorizar 2x2 + 5x – 12
Supongamos que el coeficiente principal a de
un trinomio no es 1. Consideremos la siguiente
multiplicación.
Primeros términos: Encontrar dos números
cuyo producto sea 2.
Últimos términos: Encontrar dos números cuyo
producto sea – 12
(2x + 5)(3x + 4)= 6x2 + 8x + 15 + 20
= 6x2 +
23 x + 20
(2x + 3)(x – 4) (2x – 2)(x + 6) (2x – 1)(x + 12)
Factorizaciones
posibles
Caso 2
Para factorizar los trinomios ax2 + bx + c como
el hallado anteriormente buscamos los binomios
(__x + ___)(__x + ___) donde los productos de los
números que van en los espacios son como sigue.
1. Los números de primer espacio de cada binomio dan el producto a.
El producto exterior más el producto interior
debe ser igual a 5x.
2x2 + 5x – 12 = (2x – 3)(x + 4)
3. Los productos exterior e interior dan la suma b.
3. Factorizar 8m2 + 8m – 6
8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)
Primeros términos: Encontrar dos números
cuyo producto sea 4.
Últimos términos: Encontrar dos números cuyo
producto sea –3.
Ejemplos
1. Factorizar 3x2 + 5x + 2
Primero buscamos un factor común a todos los
témrinos. No hay ninguno. Ahora buscamos
dos números cuyo producto sea 3.
1, 3 ó – 1, –3
Ahora buscamos números cuyo producto sea 2.
1, 2 ó – 1, – 2
Ya que el último término del trinomio es positivo,
los signos de los segundos términos deben
ser iguales. Aquí tenemos algunas posibles
factorizaciones.
(4m + 3)(m – 1) (4m – 3)(m + 1) (2m + 3)(2m – 1)
(4m – 1)(m + 3) (4m + 1)(m – 3) (2m – 3)(2m + 1)
El producto exterior más el producto interior
debe ser igual a 4m.
8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)
(x + 1)(3x + 2) ó (x + 2)(3x + 1)
Cuando multiplicamos, el primero término será
3x2 y el último será 2 en cada caso. Solo la
primera multiplicación da el término de 5x.
3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)
= 2(2m + 3)(2m –1)
ACTIVIDAD 7
(x – 1)(3x – 2) ó (x – 2)(3x – 1)
Factorizaciones
posibles
2. Los números del último espacio de cada binomio dan el producto c.
(2x – 3)(x + 4) (2x + 2)(x – 6) (2x – 12)(x + 1)
Factorizar
a) 6x2 + 7x + 2
b) 8x2 + 10x – 3
c) 6x2 – 41x – 7
d) 3x2 – 21x + 36
e) 8x2 – 2
f) 9a2 – 15a – 6
226
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
g) 2x2 + 4x – 6
h) 4a2 + 2a – 6
i) 6m2 + 15mn – 9n2
j) 20 + 6x – 2x2
k) 2x2 + x – 1
l) 30b2 – b – 20
De esta forma, sumando y restando 25 a la
expresión original, se tiene
4x2 – 20x + 9 = 4x2 – 20x + 9 + 25 – 25
= (4x2 – 20x + 25) + (9 – 25)
= (4x2 – 20x + 25) + (–16)
Factorización por el método de
completar cuadrados
Sumamos y restamos 25 para no alterar.
Conmutamos al 9 con el 25.
Caso 1
Segundo producto notable
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Este método se utiliza en el caso de que el
trinomio no es un cuadrado perfecto.
Ejemplos
A. Consideremos el caso de 4x2 – 20x + 9. Aquí
tenemos que (4x2) es un cuadrado perfecto
cuya base es 2x, ya que
Factorizando el primer sumando (primer paréntesis) como un trinomio cuadrado perfecto
se tiene
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 + (– 16)
(2x)2 = 4x2
y por otra parte, (–20x) es un término que
corresponde a un producto en el cual (2x) es
un factor, ya que
= (2x – 5)2 – (16)
= (2x – 5)2 – (4)2
Como podemos observar, la última expresión
del miembro de la derecha corresponde a una
diferencia de cuadrados que, como hemos
visto, se puede factorizar como la suma por
la diferencia de las bases, las cuales en este
caso son (2x – 5) y 4, por lo tanto,
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 – (4)2
–20x = (2x)(–10)
Por lo tanto se conservan invariantes los términos (4x2) y (–20x) y debemos sumar y restar
un término que sea un cuadrado perfecto
y que unido a (4x2) y a (–20x) constituyan un
trinomio cuadrado perfecto.
Para obtener este término, se divide el sumando
(–20x), por el doble de la base del cuadrado
perfecto que se ha mantenido invariante:
= (2x – 5 + 4)(2x – 5 – 4)
= (2x – 1)(2x – 9)
4x2 – 20x + 9 = (2x – 1)(2x – 9)
−20x
= −5
2(2x)
y el resultado de esta división elevado al cuadrado es el término buscado, esto es,
(–5)2 = 25
Por lo tanto la factorización completa de
B. Factorizar 9a2 + 12a – 5
227
Se mantiene invariante el cuadrado perfecto
(9a2) y el término (12a).
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Para calcular el término que se debe sumar y
restar se tiene
12a
=2
2(3a)
Luego, como (2)2 = 4, el término a sumar y
restar es 4,
9a2 + 12a – 5 = 9a2 + 12a – 5 + 4 – 4
= (9a2 + 12a + 4) + (–5 – 4)
= (9a2 + 12a + 4) + (– 9)
= (9a2 + 12a + 4) – (9)
= (3a + 2)2 – (3)2
= (3a + 2 + 3)(3a + 2 – 3)
= (3a + 5)(3a – 1)
d) y­2 + 4 y + _____ = _____
3
e) x2 + 6x + _____ = _____
Siguiendo el mismo procedimiento anterior,
tenemos que
−5x −5
=
2(1x) 2
Como ⎛⎜ −5 ⎞⎟ = 25 , el término a sumar y restar
⎝ 2⎠ 4
25
es
4
25 25
2
x − 5x + 4 = x 2 − 5x + 4 +
−
4
4
25
−25
= x 2 − 5x +
+
+4
4
4
2
2
5⎞
9
⎛
= ⎜x− ⎟ −
⎝
⎠
2
4
5 3⎞ ⎛
5 3⎞
⎛
= ⎜x− + ⎟ ⎜x− − ⎟
⎝
⎝
⎠
2 2
2 2⎠
8⎞
2⎞ ⎛
⎛
= ⎜ x − ⎟ ⎜ x − ⎟ = (x − 1)(x − 4)
⎝
⎝
⎠
2
2⎠
Por tanto x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)
a) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
c) x2 + 5x + _____ = _____
Este no es un trinomio cuadrado perfecto, pues
el término central debe ser –2(1x)(2) = – 4x.
Observe que los términos extremos si son
cuadrados perfectos, x2 = (x)2 y 4 = (2)2.
−25 + 16
5⎞
⎛
= ⎜x− ⎟ +
⎝
4
2⎠
A. Completar los cuadrados y dar el equivalente
cuadrado de un binomio.
b) x2 – 20x + _____ = _____
C. Factorizar x2 – 5x + 4
ACTIVIDAD 8
f) x4 – 8x2 + _____ = _____
g) 25x2 – 10x + _____ = _____
h) x2 + 5x + _____ = _____
B. Factorizar utilizando el método de completar
cuadrados.
a) x2 – x – 6 =
b) y2 – 8y + 15 =
c) x2 + 5x – 14 =
d) c2 + 5c – 24 =
e) x2 – 3x – 28 =
f) a2 + 12a + 35 =
g) b2 – 7b + 10 =
5
1
h) a 2 − a +
6
6
228
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
CASO 2
El coeficiente del término
lineal (el 12) se divide
entre dos y ese cociente
se eleva al cuadrado.
Cuando no es posible factorizar el trinomio
cuadrado perfecto se completa con la única finalidad
de poder factorizar al trinomio resultante.
Recordemos que al elevar un binomio al cuadrado se produce un trinomio cuadrado perfecto.
El resultado va a completar el trinomio para que
sea un trinomio cuadrado
perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se
resta este número.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ó
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Por lo que, al factorizar un trinomio cuadrado
perfecto, obtenemos un binomio al cuadrado:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
ó
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Lo que haremos a continuación será agregar
el término independiente representado por “b2”
para que, al estar completo el trinomio cuadrado
perfecto, obtengamos una expresión semejante a
la siguiente:
2
⎛ 12 ⎞
2
⎜⎝ ⎟⎠ = 6 = 36
2
x2 + 12x + 36 – 36 – 3
(x2 + 12x + 36) – 39
Para factorizar el trinomio
cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término
cuadrático y del término
independiente.
x2 = x
Con la literal “x”, el número y el signo del término
lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma
el binomio al cuadrado,
que es la factorización de
x2 + 12x – 3.
(x + 6)2 – 39
36 = 6
a2 + px + q = (x + h)2 + k
Para completar el trinomio cuadrado perfecto
y así factorizarlos como binomios al cuadrado se
realiza el siguiente procedimiento:
2 Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el
Ejemplos
1
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k
el trinomio siguiente: x2 + 12x – 3
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es +12x
El término independiente es –3
trinomio siguiente: x2 – 8x + 4
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es – 8x
El término independiente es +4
El coeficiente del término
lineal (el 8) se divide entre
dos y ese cociente se
eleva al cuadrado.
229
2
⎛ 8⎞
2
⎜⎝ ⎟⎠ = 4 = 16
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
El resultado va a completar el trinomio para que
sea un trinomio cuadrado
perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se
resta este número.
x2 – 8x + 16 – 16 + 4
(x2 – 8x + 16) – 12
Para factorizar el trinomio
cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término
cuadrático y del término
independiente.
Con la literal “x”, el número y el signo del término
lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma
el binomio al cuadrado,
que es la factorización de
x2 – 8x + 4.
Para factorizar el trinomio
cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término
cuadrático y del término
independiente.
x2 = x
Con la literal “x”, el número y el signo del término
lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma
el binomio al cuadrado,
que es la factorización
de x2 + x - 1.
16 = 4
(x – 4) – 12
2
4
1 1
=
4 2
x2 = x
2
1⎞
5
⎛
⎜⎝ x + ⎟⎠ −
2
4
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k
el trinomio siguiente: x2 – 3x + 8
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es 3x
3
El término independiente es 8
Expresar de la forma, a2 + px + q = (x + h)2 + k
el trinomio siguiente: x2 + x – 1
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es + 1x
El término independiente es –1
El coeficiente del término
lineal (el 1) se divide entre
dos y ese cociente se
eleva al cuadrado.
El resultado va a completar el trinomio para que
sea un trinomio cuadrado
perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se
resta este número.
El coeficiente del término
lineal (el 3) se divide entre
dos y ese cociente se
eleva al cuadrado.
El resultado va a completar el trinomio para que
sea un trinomio cuadrado
perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se
resta este número.
2
12 1
⎛ 1⎞
=
=
⎜⎝ ⎟⎠
2
22 4
1⎞ 1
⎛ 2
⎜⎝ x + x + ⎟⎠ − − 1
4
4
Para factorizar el trinomio
cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término
cuadrático y del término
independiente.
1⎞ 5
⎛ 2
⎜⎝ x + x + ⎟⎠ −
4
4
230
2
32 9
⎛ 3⎞
=
=
⎜⎝ ⎟⎠
2
22 4
9⎞ 9
⎛ 2
⎜⎝ x − 3x + ⎟⎠ − + 8
4
4
9 ⎞ 23
⎛ 2
⎜⎝ x − 3x + ⎟⎠ +
4
4
x2 = x
9 3
=
4 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con la literal “x”, el número y el signo del término
lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma
el binomio al cuadrado,
que es la factorización de
x2 + 12x – 3.
d) x2 – x + 5 =
e) x2 – 5x – 1 =
2
3⎞
23
⎛
⎜⎝ x − ⎟⎠ +
2
4
f) x2 + 11x + 11 =
ACTIVIDAD 9
Transforme cada uno de los siguientes trinomios en trinomios cuadrados perfectos a la forma:
a(x – h)2 + k.
En el libro de Matemática 1 volveremos
a considerar a esta forma de factorizar
un trinomio debido a que completar el
cuadrado es una herramienta útil cuando
convertimos una ecuación cuadrática que
está en la forma estándar de una ecuación
cuadrática y = ax2 + bx + c a una que
está en la forma vértice de una ecuación
cuadrática, o y = a(x – h)2 + k.
En la forma vértice, el punto (h, k) será el
vértice, el cual es el punto más bajo de una
parábola (si el valor de a es positivo y la
parábola se abra hacia arriba) o el punto
más alto (si el valor de a es negativo y la
parábola se abre hacia abajo).
a) x2 + 8x – 1 =
b) x2 – 6x + 2 =
c) x2 + 10x + 10 =
231
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Otra de las operaciones que se puede realizar
con polinomios es la división, puesto que para
realizar operaciones con polinomios se utilizan las
propiedades de los números reales y además las
leyes sobre las potencias ya utilizadas Matemática
Ujarrás 2016.
Muchas son las justificaciones que se pueden
dar sobre el uso y desarrollo de esta operación;
podemos decir, que su origen es netamente práctico, y que en la mayoría de los casos lo que se
pretende es resolver una necesidad inmediata: un
caso concreto. También veremos casos donde ya
no son situaciones normales para nosotros, sino
que su manejo nos va a permitir desarrollar destrezas matemáticas, otro de los objetivos de este
libro Matemática Zapandí 2016.
Si m es igual que n
am
a) 52 ÷ 52 =
52 25
=
=1
52 25
b) a 2 ÷ a 2 =
a2
= a 2−2 = a 0 = 1
a2
3. Si el exponente del denominador es el mayor,
el cociente será otra fracción de numerador 1
y denominador la base elevada a la diferencia
de los exponentes. Si m es menor que n
1
am ÷ an = n − m
a
Ejemplos:
1. Si el exponente del numerador es mayor que
el exponente del denominador se conserva la
base y se le resta el menor de los exponentes
al mayor.
a)
a2
1
1
= 6−2 = 4
6
a
a
a
b)
a2
1
1
= 4−2 = 2
4
a
a
a
Si m es mayor que n
am ÷ an = am – n
Ejemplos
x7
= x 7−6 = x1 = x
6
x
b)
y12 ÷ y6 = y12 – 6 = y6
an = a0 = 1
Ejemplos:
Pero antes recordemos lo siguiente sobre la
división de potencias.
a)
÷
Otras de las expresiones algebraicas que
se pueden simplificar son los productos
notables
2. Si los exponentes son iguales, se trata de la
división de un número por sí mismo, el cociente
valdrá 1.
232
a
a ))
3
(a
(a +
+ b)
b)3
−1
2
= (a
(a +
+ b)
b)33 −1
=
= (a
(a +
+ b)
b)2
=
(a
+
b)
(a + b)
b)
b)
(7x +
+ 1)
1)44
(7x
4−2
2
=
= (7x
(7x +
+ 1)
1)4 − 2 =
= (7x
(7x +
+ 1)
1)2
2
2
(7x +
(7x
+ 1)
1)
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tenga presente que la base se conserva y se
restan los exponentes; en el caso de (a + b) el
exponente es el número 1.
☞
c) Dividir – 5a4b3 entre – a2b8
Solución:
IMPORTANTE: En Álgebra la división se
indica generalmente por la línea fraccionaria.
b −5 =
Veamos otros ejemplos de división de
polinomios, en este caso división de
monomios entre monomios
1
b5
a) Dividir – 8(x3y)4 entre 2(x2y2)3
− 8(x 3 y)4 entre 2(x 2 y 2 )3 =
− 8(x 3 y)4
2(x 2 y 2 )3
d) Dividir – 20x2y­3 entre 4x6y7
− 8x12 y 4
=
2x 6 y 6
=
=
Solución:
− 20x 2 y 3 ÷ 4x 6 y 7 =
− 20x 2 y 3
=
4x 6 y 7
− 4 • 2 x12 − 6
2 y6 − 4
− 5x 2 − 6 y 3 − 7 =
− 4x 6
y2
− 5x − 4 y − 4 =
− 5
x4 y 4
Importante:
v
v
Para dividir este tipo de monomios con paréntesis, aplicamos la ley de potencias: para elevar
a potencia un producto: (ambn)x = am•xbn•x .
− 4x 6
utilizamos
y2
las leyes de signos estudiadas de división de
potencias de igual base.
Para obtener el cociente
b) Dividir 4a3b2 entre – 2ab
Solución: 4a 3b2 ÷ − 2ab
4a 3b2
=
− 2ab
− 2a 2b
233
Recuerde:
Si dividen o simplifican el coeficiente del
dividendo entre el coeficiente del divisor
y a continuación se escriben las letras en
orden alfabético, poniéndole a cada letra
un exponente igual a la diferencia entre
el exponente que tiene en el dividendo y
el que tiene en el divisor. El signo estará
dado por la ley de signos.
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así.
ACTIVIDAD 1
(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7
O así.
Efectúe las siguientes divisiones.
12 + 9 12 9
=
+ = 4+3=7
3
3 3
1.
(x x )
= __________
(x 4 )3
2.
3(x 2 y 3 )2
= __________
−18(xy)4
En general:
3.
−(a 2b 3 )4
= __________
3ab 4
Donde x es un monomio distinto de cero.
2
3 4
Esto también se cumple en la división de los
binomios por los monomios.
a+b a b
= +
x
x x
Consideremos algunos ejemplos.
4.
5.
6.
Ejemplo 1
−(2m6n3 )5
= __________
4(−3m2n3 )2
Dividir 15a3b2 – 9ab entre 3ab
−6(p2 q3 )2
= __________
12p7 q2
15a 3b2 − 9ab
=
3ab
15a 3b2 9ab
−
=
3ab
3ab
2(x 4 y 3 )2
= __________
−3(xy)5
5a 2b − 3
Ejemplo 2
I. División de un binomio
por un monomio
El cociente de un binomio por un monomio es la
suma de los cocientes, que resultan de dividir cada
uno de los términos del binomio por el monomio.
Dividir –81m4n8+108m8n4 entre –9m3n3
− 81m4n8 + 108m8n4
=
− 9m3n3
Veamos cuál es la razón.
Una forma de simplificar la expresión numérica
(12 + 9) ÷ 3 es usar las propiedades conocidas.
234
− 81m4n8 108m8n4
+
=
− 9m3n3
− 9m3n3
9mn5 − 12m5n
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos:
ACTIVIDAD 2
1. Dividir (3a3 – 6a2b + 9ab2) entre 3a
Determine los cocientes.
1.
3x 2 + 9x
= ____________
3x
2.
5y + 15
= ____________
10
3.
35p m + 75p m
= ____________
5p2m
4
2
4.
35m q − 15m q
= ____________
−5m3
5.
64a 2b 3 − 48a 4b 3
= ____________
− 4a 2b2
6.
5a 2b2 − a 2b2
= ____________
ab2
4
3
3
5
2. Dividir (6a8b8 – 3a6b6 – a2b3) ÷ 3a2b3
(6a b
8
2
7.
4a 2b 3 − 6a 2b5
= ____________
24ab2
8.
− 2a 6b 3 − 16a 2b 3
= ____________
− 6ab
8
)
− 3a 6b6 − a 2b 3 ÷ 3a 2b 3 =
6a 8b8 − 3a 6b6 − a 2b 3
=
3a 2b 3
a 2b3
6a 8b8 3a 6b6
−
−
=
3a 2b 3 3a 2b 3 3a 2b 3
2a 6b5 − a 4b 3 −
1
3
ACTIVIDAD 3
Determine los cocientes de
II. División de un trinomio por un
monomio
Para dividir un trinomio por un monomio se
dividen cada uno de los términos del trinomio por
el monomio separando los cocientes parciales
con sus propios signos, lo que representa la Ley
Distributiva de la división.
235
1.
(x
2.
( 4x
3
+ 6x − 5 entre 2
3.
( 3a
3
− 5ab2 − 6a 2b 3 entre −2a
4.
(x
− 4x 2 + x entre x
5.
( 4x
6.
(6m
3
3
)
+ 10x 2 − 8x entre −2x
)
)
)
8
3
)
− 10x 6 − 5x 4 entre 2x 3
)
− 8m2n + 20mn2 entre − 2m
2.
( 4x
3
3.
( 3a
3
)
+ 6x − 5 entre 2
4.
)
RELACIONES Y ÁLGEBRA
- EL MAESTRO EN CASA
4x + x ) entre x
( x − Matemática
5.
( 4x
6.
(6m
7.
(x
8.
( − 2m n
− 5ab2 − 6a 2b 3 entre −2a
3
4
2
x2
– 1 x + 1 5. Se divide el primer término del residuo parcial
–x2 – x
x–1
(–x – 1) por el primer
–x – 1
término del divisor
(x + 1); así (x ÷ –x = –1
2
x
– 1 x + 1 6. Se multiplica este segun2
do término del cociente
–x – x
x–1
por el divisor;
–x – 1
–1(x + 1) = –x – 1. Luego
–(x + 1)
se resta del dividendo
0
parcial. Observe que
cada término del producto cambió a su opuesto.
Debido a esto tenemos
el residuo 0.
)
− 10x 6 − 5x 4 entre 2x 3
8
3
)
− 8m2n + 20mn2 entre − 2m
)
− 5x 3 + 15x entre − 5x
2
3
)
− 14mn3 − 6mn entre −8mn
III. División de un binomio
entre un binomio
Cuando estudiamos la operación división,
nunca pensamos que llegaríamos a dividir otra
cosa que no fueran "números".
Casos semejantes a 37 ÷ 4 eran muy familiares.
De acuerdo al procedimiento anterior se tiene
que dividir x2 – 1 entre x +1 es igual a x –1.
37 4
-36 9
1
Otro ejemplo
Es decir 37 = 9 • 4 + 1
Una situación similar se presente con los polinomios de una sola variable, tales como x2 – 1,
x2 – 7x + 1 y muchos otros más.
Dividir x – 1 entre x + 1
2
Solución
x2 – 1 x + 1
Procedimiento
1. Se ordenan los binomios
en forma descendente.
2
x ____ – 1 x + 1 2. Se deja el espacio para
el término de grado 1 (x)
2
x _____– 1 x + 1 3. Se divide el primer término del dividendo por el
x
primer término del divisor
(x2 ÷ x = x).
x2
– 1 x + 1 4. Se multiplica este primer
2
–(x + x)
x
término del cociente por
el binomio divisor;
–x – 1
x(x+1) = x2 + x. Este
resultado se resta del
dividendo (x2 – 1).
Dividor (4x2 – 1) entre (2x + 3)
Solución:
Lo ordenamos descendentemente así obsérvese
que hay que dejar el espacio para el polinomio
ausente x en el binomio dividendo (4x2 – 1)
4x2
– 1 2x + 3
– (4x2 + 6x)
2x – 3
– 6x – 1
–(– 6x – 9)
8
1. Dividimos (4x2) ÷ (2x) = 2x.
2. Multiplicamos 2x(2x + 3) = 4x2 + 6x.
3. El resultado anterior lo restamos de
(4x2 – 1).
4. Dividimos el primer término del residuo parcial (–6x – 1) por el primer término del divisor
(2x + 3)
236
(– 6x) ÷ (2x) = – 3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Multiplicamos – 3(2x + 3) = – 6x – 9 y se lo
restamos a – 6x –1.
Dividir (x2 – 5x + 7) por
Solución
x2 – 5x + 7
6. Obtenemos un residuo parcial 8.
Así entonces tenemos que dividir
4x2 – 1 entre 2x + 3 es igual al cociente 2x – 3
y un residuo 8
x+1
x2 – 5x + 7 x + 1
x
Observe
– 6x – 1 es igual – 6x – 1 esto es – 6x – 1
–(– 6x – 9)
+ 6x + 9
+ 6x + 9
0 + 8
8
x+1
Procedimiento
1. Se ordenan los poli­
no­mios en forma
descen­dente.
2. Se divide el primer
término del dividendo por el primer
término del divisor
(x2 ÷ x = x)
x2 – 5x + 7
–(x2 + x)
– 6x + 7
x + 1 3. Se multiplica este
primer término del
x
cociente por el polinomio divisor;
x (x+1) = x2 + x. Ese
resultado se resta
del dividendo
(x2 – 5x + 7).
x2 – 5x + 7 x + 1 4. Se divide el primer
término del residuo
– x2 – x
x –6
parcial por el primer
– 6x + 7
término del divisor
(– 6x ÷ x = – 6)
ACTIVIDAD 4
Divida.
1. (2 – 4b2) entre (1 + b)
2. (25 – 36x4) entre (5 – 6x2)
3. (1 – x2) entre (1 – x)
4. (2x2 – 18) entre (x + 3)
x2 – 5x + 7 x + 1 5. Se multiplica este
segundo término del
x –6
– x2 – x
cociente por el divisor;
– 6x + 7
– 6 (x + 1) = – 6x – 6.
+ 6x + 6
Luego se resta del
13
dividendo parcial.
Recuerde que cada
término del producto
cambia por su opuesto. Debido a esto
tenemos el residuo 13.
5. (9 – x4) entre (3 – x2)
6. (10x2 – 6) entre (2x + 8)
7. (3x2 – 2) entre (x – 4)
8. (x2 – 9) entre (x + 5)
Observe que hemos transformado el polinomio.
IV. División de un trinomio
por un binomio
Anteriormente hemos dividido un binomio por
un binomio, también podemos dividir un trinomio
por un binomio. Consideremos los siguientes:
237
x2 – 5x + 7 = (x + 1) (x – 6) + 13
dividendo
divisor
cociente
residuo
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
orden de las potencias, y con sentido contrario u
opuesto en el resutlado del producto..
Veamos otros ejemplos.
2. Dividir (x2 + x3 + 2) por 1 + x2
Para dividir dos polinomios ordenamos a ambos
en forma descendente:
x3 + x2 + 2
Colocamos los polinomios ya ordenados en
forma descendente, como lo hacemos para
una división de números reales:
por
x2 + 1
divisor
dividendo
Dividimos la potencia de mayor exponente del
dividendo por la mayor potencia del divisor.
x3 + x2
+2
x3 + x2 + 0x + 2
– x3
– x
2
x – x +2
– x2
–1
x2 + 1
x + 1
Restamos x2 + 1 de x2 – x + 2
(x3 + x2 + 2) ÷ (x2 + 1)
Así: x3 ÷ x2 = x,
x3 + x2 + 0x + 2
– x3
– x
2
x – x+2
– x2
– 1
–x+ 1
x2 + 1
x + 1
cociente
residuo
x2 + 1
x
Recuerde:
Se multiplica este primer término del cociente por el polinomio divisor x(x2 + 1) = x3 + x
Dejamos de dividir cuando el grado del
residuo (– x + 1) es menor que el grado
de divisor (x2 + 1)
Restamos este resultado del dividendo:
Por lo tanto
x3 + x2 + 2 = (x2 + 1) (x + 1) + (– x + 1) x + x + 0x + 2
– x3
– x
2
x – x +2
3
2
x + 1
x
2
dividendo divisor cociente residuo
Repetimos el proceso, dividimos la potencia
de mayor exponente del polinomio x2 – x + 2 por
la potencia de mayor exponente del divisor x2 + 1,
es decir: x2 ÷ x2 = 1.
x3 + x2 + 0x + 2
– x3
– x
2
x – x +2
3. Vamos a dividir: (x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5)
Colocamos los polinomios ordenados en potencias de mayor a menor:
x2 + 1
x + 1
x2 – 2x – 35
x+5
Multiplicamos 1 • (x2 + 1) = x2 + 1 y colocamos
este resultado debajo del dividendo, respetando el
238
Dividimos la potencia de mayor exponente del
dividendo por la potencia de mayor exponente
del divisor:
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así,
x2 – 2x – 35
x2 ÷ x = x
x+5
x
Restamos:
x2 – 2x – 35
– x2 – 5x
– 7x – 35
+ 7x + 35
0
Multiplicamos el resultado por el divisor:
x (x + 5) = x2 + 5x
Colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el orden de las potencias y
con signo opuesto al resultado del producto
x (x + 5) = x2 + 5x esto es – x2 – 5x.
x2 – 2x – 35
x+5
–(x2 + 5x)
Restamos este resultado del dividendo:
x2 – 2x – 35
– x2 – 5x
– 7x – 35
x2 – 2x – 35
–(x2 + 5x)
–7x – 35
residuo
En este caso, hemos obtenido un residuo
igual a cero.
2
Por lo tanto, tenemos que
x2 – 2x – 3 = (x + 5)(x – 7)
x+5
x
División sintética
A. División de un trinomio entre un binomio de la
forma (x - a), siendo a un número real.
1. Analicemos la división siguiente:
x+5
x–7
x2 – 2x – 35 x + 5
– x2 + 5x
x–7
– 7x – 35
+ 7x + 35
x2 – 5x + 7 x + 1
Multiplicamos –7(x + 5) = –7x – 35 y colocamos este resultado respetando el orden de las
potencias y con signo opuesto, 7x + 35.
cociente
Decimos entonces que el polinomio
x – 2x – 35 es divisible por el polinomio x + 5
x
Repetimos el proceso, dividimos la potencia
de mayor exponente de –7x – 35 por la potencia
de mayor exponente del divisor: –7x ÷ x = –7
x+5
x–7
– x2 –
x
x – 6
– 6x + 7
+ 6x + 6
13
Para resolver este tipo de divisiones se creó
un método más rápido y sencillo donde se utiliza
solo los coeficientes.
En lugar de escribir todos los pasos, veamos
el siguiente arreglo de números.
239
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
coeficientes del
dividendo
Siempre consideramos
del binomio (x – a) el valor opuesto
de a o bien lo podemos hacer así:
x – a = 0 cuando x = a
1
– 5
7
– 1
6
1
– 6 13
1(–1) + –5
–1
2. Divida (5x2 + 2 + 7x) por (2 + x)
Antes de comenzar a dividir utilizando división
sintética, ordenamos el polinomio dividendo
5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así
5x2 + 7x + 2. Lo mismo con el polinomio
2 + x = x + 2.
Utilizamos los coeficientes del dividendo y el valor
opuesto del número constante del polinomio divisor.
De esta manera:
De donde podemos decir que
(x2 – 5x + 7) ÷ (x + 1) = x – 6
con un residuo (r) de 13
–6 (–1) + 7
coeficiente residuo
del cociente
Observe:
a) El grado del cociente es un grado menor que
el grado del dividendo. (x – 6)
7
2
– 10
6
8
El coeficiente del cociente es un grado menor: 5x – 3
c) Cada uno de los demás coeficientes del cociente
se obtiene multiplicando el coeficiente anterior
por el opuesto de "a" y sumando este producto
al coeficiente siguiente del dividendo.
1 (– 1) + — 5 = – 6
El residuo es el último número donde se encuentra
ubicado el cociente. Residuo = 8
Entonces, 5x2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.
y – 6 (– 1) + 7 = 13
d) El residuo (13) es igual al producto del último
coeficiente del cociente más el término constante del dividendo.
Recuerde
Como el grado del residuo ha de ser inferior
al del divisor que es 1, el residuo en estas
divisiones es siempre un número real.
Si al ordenar el polinomio en forma descendente falta un término, se completa
este con un cero.
5 – 3
–2
Recuerde:
b) El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo (1)
5
2. Divida (3x2 + 6x – 7) por (x – 1)
Utilizando los coeficientes del dividendo y el
valor opuesto del número constante del polinomio divisor tenemos que:
3
6
–7
3
9
9
2
3
1
Cociente: 3x + 9
Residuo: 2
Entonces 3x2 + 6x – 7 = (3x + 9)(x – 1) + 2
240
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. División de un trinomio entre un binomio de la
forma (ax + b)
1. Dividir 4x – 9x + 1 por 2x + 3
2
Solución:
Paso 1. Tomamos el divisor 2x + 3 y lo igualamos a cero; así:
2x + 3 = 0
2x = − 3
− 3
x =
2
Solución:
El divisor es (3x + 5); este lo igualamos a cero así:
3x + 5 = 0
3x = − 5
− 5
x =
3
Considerando los coeficientes del polinomio así:
− 3
Consideramos los coeficientes del polinomio
(trinomio) así:
4
2. Dividir – 3x2 + 4x + 15 entre (3x + 5)
– 9
1
− 12
=−6
2
45
2
47
2
4
4x
− 15
–
15 −3
2
4
15
15
=5
3
− 3
9
– 3x + 9
− 45
3
0
− 5
3
Recuerde
Los números –3 y 9, excluyendo el residuo 0; debe ser divido por coeficiente
del divisor (x + 5); así;
Residuo
Importante
47
2
deben ser divididos por el coeficiente del divisor
(2x + 3). Así tenemos que 4 = 2, − 15 = − 15 ,
2
2
2
por lo tanto, el cociente de (4x2 – 9x + 1) ÷ (2x + 3)
47
es c: 2x – 15 y el residuo
2
2
Por lo tanto al realizar la división sintética de
– 3x2 + 4x + 15 entre 3x + 5 se obtiene
como cociente: – x + 3 y residuo r: 0
Los números 4 y –15 excluyendo el residuo
ACTIVIDAD 5
Divida.
Verifiquemos que:
a)
x 2 + 5x + 6
=
x+2
15 ⎞ 47
⎛
4x 2 − 9x + 1 = ( 2x + 3 ) ⎜ 2x −
⎟ + ⎝
2 ⎠
2
b)
x 2 − 15x + 56
=
x−7
c)
(n
d)
( 4 − 8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2) =
e)
(x
= 4x 2 −
30
2
x + 6x − 2
= 4x − 15x + 6x +
2
= 4x − 9x + 1
Residuo
2
45
2
+
47
2
2
241
2
)
− 7n − 9 ÷ (n + 1) =
2
2
)
− 7x + 5 entre (x − 3) =
b)
b)
x 2 − 15x + 56
x − 15x + 56 =
=
x−7
x−7
c)
c)
− 9 ) ÷ (n + 1) =
((nn −−7n
7n − 9 ) ÷ (n + 1) =
RELACIONES
Y ÁLGEBRA
2
2
d)
d)
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
+ 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) =
((44−−8n
8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) =
e)
e)
+ 5 ) entre (x − 3) =
((xx −−7x
7x + 5 ) entre (x − 3) =
f)
f)
− 3) =
((xx −−xx−−66)) entre (x
entre (x − 3) =
g)
g)
+ 1) entre ( a + 2 ) =
((aa −−5a
5a + 1) entre ( a + 2 ) =
h)
h)
− 7x + 1) entre ( x − 4 ) =
((2x
2x − 7x + 1) entre ( x − 4 ) =
i)
i)
+ 5x + 1) entre ( 2x − 1) =
((3x
3x + 5x + 1) entre ( 2x − 1) =
j)
j)
+ 8 − 7x ) entre ( − 3 + 5x ) =
((10x
10x + 8 − 7x ) entre ( − 3 + 5x ) =
k)
k)
7x + x ) entre ( 4x + 1) =
((11−
11− 7x + x ) entre ( 4x + 1) =
l)
l)
− 7x − 6 ) entre ( 2x + 1) =
((2x
2x − 7x − 6 ) entre ( 2x + 1) =
m)
m)
− 29x + 1) entre ( 4x + 1) =
((7x
7x − 29x + 1) entre ( 4x + 1) =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
División de un trinomio
por un trinomio
Como recordaremos dado un polinomio P(x)
(polinomio dividendo) y otro D(x) ≠ 0 (polinomio
divisor), siempre existen y son únicos otros dos
polinomios C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polinomio resto) tal que: P(x) = D(x) • C(x) + R(x) donde:
grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0.
Es decir que si dividimos como con reales la
notación simbólica representa esta división:
P(x)
2
2
2
2
4
4
2
2
D(x)
R(x) C(x)
La división de polinomios, en este caso un
trinomio por un trinomio, en general se realiza de
forma semejante a la de números de varias cifras,
aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos
indicando. El proceso es el siguiente:
1. Dividir 4x3 – 3x2 + 3 entre x2 – x + 1
Así como puede observar, la división
que usted conoce desde la primaria ha evolucionado grandemente, como también lo ha
hecho la humanidad; es por eso que debemos
ponerle atención para no quedarnos atrás en
el conocimiento humano. Tengamos presente
que el valor y utilidad que tuvo en su momento
la división que conoció en primaria son los
mismos que tiene en el presente esta forma
de división.
Solución:
Observe:
Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado:
t
242
Se divide el primer término del dividendo entre
el primero del divisor, dando lugar al primer
término del cociente.
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
t
t
t
Se multiplica dicho término por el divisor y se
coloca debajo del dividendo con los signos
contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
3. Dividir 6x3 – 16x2 – 8 entre 3x2 + x + 4
Solución:
6x3 – 16x2 – 8 ÷ 3x2 + x + 4
Se suman los polinomios colocados al efecto,
obteniéndose un polinomio de grado menor al
inicial.
6x3– 16x2
– 6x3 – 2x2 – 8x
ACTIVIDAD 6
Actividades: Realice las siguientes divisiones:
2. Dividir x + 2x + 1 entre x + x + 1
x + 2x + 1
3
÷ x +x+1
2
x3+ 0x2 + 2x + 1
x2 + x + 1
– x – x – x
x+1
3
2
– x + x + 1
– x2– x – 1
0
2
–2x– 16
Respuesta: C(x) = 2x – 6 y de resto R(x) = – 2x + 16
2
Solución:
2x + 6
18x2 + 6x + 24
Respuesta: Como se ve se ha obtenido de cociente C(x) = 4x + 1 y de resto R(x) = – 3x + 2.
3
3x2 + x + 4
– 18x2 – 8x – 8
Se continua el proceso hasta que el resto ya
no se pueda dividir entre el divisor por ser de
menor grado.
Normalmente se dividen polinomios con una
sola variable (x) tanto en el dividendo como
en el divisor.
– 8
a) (2x4 + 11x2 – 3) ÷ (3x3 – 5x + 3) = ___________
b) (4x3 + 8x – 4) ÷ (2x2 – 4x + 1) = ___________
2
Respuesta: C(x) = x + 1 y de resto R(x) = 0
c) (x3 – x2 – x) ÷ (x2 + x + 1) = ___________
d) (6x3 – 5x2 + x) ÷ (x2 – 2x – 1) = ___________
243
RELACIONES Y ÁLGEBRA
6 6
2 3
2 3
Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) (2(−− 3a
7x)2b − a b ) entre ( 3a b ) = ___________
a)
TRABAJO INDIVIDUAL 1
b)
b)
c)
1 Resuelva las siguientes divisiones.
a)
( − 3a b
b)
( − 10m n
c)
5x 3 − 2x 2 + 6x
= ___________
3x 2
6
6
7
)
(
c)
)
d)
− a 2b 3 entre 3a 2b 3 = ___________
4
d)
+ 12m3n8 entre 2m2 = ___________
e)
)
(
)
e)
f)
− 7x 5 − 4x 4 + 3x 3
d)
= ___________
3x 2
2. Simplifique las expresiones siguientes:
6x 3 − 10x 2 + 8x
= ___________
2
(2 − 7x)2x
a)
=
_________________
4(2 − 7x)
− 108a 7b6 − 14a 2b 3 + 2b6
f)
= ___________
2 6
(a 2b − 7b)2− a b
b)
=
_________________
2(a 2b − 7b)
f)
e)
g)
h)
_________________
=
4(2 − 7x)
( − 10m n
7
)
(
)
+ 12m3n8 entre 2m2 = ___________
4
(a 2b − 7b)2
=
_________________
2(a 2b3 − 7b)2
5x − 2x + 6x
= ___________
3x 2
(x 2 y 2 − 1)4
=
_________________
2 2
2
5(x− 7x
y −
5 1)
− 4x 4 + 3x 3
= ___________
3x 2
−3(a 2 − b)4
=
_________________
2
4
5(a
6x 3−−b)
10x 2 + 8x
= ___________
2x
( x − y )3 =
_________________
4 7 6
2 3
6
4 (− 108a
x − y ) b − 14a b + 2b
= ___________
− a 2b6
(
− 4 a 2 − c
(
3 a2 − c
(
)
)
4
− 2 a 4b + 2
2
(a b + 2)
4
=
3
)
_________________
4
=
28x 2 y 2
=
7x
_________________
_________________
c)
(x 2 y 2 − 1)4
=
5(x 2 y 2 − 1)2
_________________
i)
d)
−3(a 2 − b)4
=
5(a 2 − b)4
_________________
j)
( 2x + 3y ) ( x + y ) =
( x + y ) ( 3x + 2y )
_________________
e)
( x − y )3
4
4(x − y )
=
_________________
k)
x 2 + 5x + 6
=
x+3
_________________
(
)
f)
g)
− 4 a 2 − c
(
3 a2 − c
(
)
4
− 2 a 4b + 2
2
(a b + 2)
4
28x 2 y 2
h)
=
7x
=
3
)
_________________
4
=
_________________
244
_________________
25 ( a + b )
(a + b )2
=
_________________
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Divida por a cada binomio.
a) ax + ay = __________
b) 3a – 7 ab = ___________
c) a2y – 3a5 =
___________
4. Efectúe las siguientes divisiones:
a) px2 + p por p
___________
d) – ax + ay por a
__________
b) 3ax2 – 8ax2 por a
___________
e) – ax + ay por – a
__________
c) mp – 7m por m
___________
f) am2 – 5a por a
__________
5. Efectúe las siguientes divisiones
a)
c)
75a 5b 4 – 65a 3b 4
3
– 5a b
3
– 4b 2 – 6b + 8b 3
–2ab
= ________
b)
= ________
d)
– 81m 4n 8 + 108m 8n 4
– 9m 3n 3
– 9nx 3 + 15n 2 x 2 – 3n
– 3n
6. ¿Cuál es el primer término del cociente de
a)
x2 – 5x + 6 dividido por x – 3?
b)
x2 –5x + 6 dividido por x – 2?
c)
8m2 – 10m – 3 dividido por 4m + 1?
d)
8 – 10n – 3n2 dividido por 2 – 3n?
= ________
245
= ________
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
7. Divida por el método de la división sintética.
a)
a2 + 3a + 2 por a + 1
___________
b) b2 + 5b + 4 por b + 1
___________
c)
c2 + 8c + 12 por c + 2
___________
d) x2 – 3x – 40 por x + 5 ___________
e)
x2 + 4x + 4 entre x + 2
___________
f) (–9x2 + 3 + x) ÷ (x + 3)
___________
g)
12 + 5x − 2x
4−x
___________
2
h) 7 − 9x + 8x 3x − 1
___________
8. Divida con división sintética las siguientes expresiones (D: dividendo, d: divisor, c: cociente;
r: residuo)
a)
23 − 11x 2 + 2x 3
=
2x − 3
___________
b) (3x2 – 7x + 2) ÷ (3x – 1) = ___________
c)
2x2 + 3x – 5 entre –2x – 5 = ___________
d) d2 – 5d – 24 entre d – 3 = ___________
e)
1 + c – 6c2 entre 1 + 3c = 9. Divida por la forma:
___________
las siguientes expresiones.
a) p3 – 8p – 3 divido por p2 + 5p – 2
b) p3 – 8p – 10 dividido por p2 + 2p + 1
c) x4 + 2x + 1 dividido por x2 + x + 3
d) 6x3 – x + 3 dividido por 3x2 + 2x + 4
246
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Antes cuando estudiamos números racionales
usamos fracciones de un tipo muy sencillo, aquellas cuyo numerador y denominador eran números
enteros. En la antigüedad ya se empleaban estas
fracciones sencillas: la palabra «fracción» procede
del latín «fractus» que quiere decir «roto», «quebrado». Los romanos consideraban una fracción como
un todo roto, tal como una parte de un bastón o de
un pastel, los romanos, como los babilonios antes
que ellos, dividían un todo, o unidad, en sesentavos y llamaban a estas partes «partes minutiae
primae» que significa «partecitas primeras» y por
una segunda división cada una de estas partes
se subdividía en otras sesenta «partes minutiae
secundae» o «segundas partecitas». Este dio
origen con el tiempo a que un «minuto» fuera la
sesentava parte de una hora o de un grado y el
«segundo» la sesentava parte de un minuto o 1
3600
de hora o de grado.
Además.
a 2 − 7 es una fracción algebraica racional
donde el numerador es a2 – 7 y el
1
denominador es 1. No olvide que una
constante es un polinomio de grado
cero, con la excepción del 0.
Las expresiones algebraicas racionales tienen las mismas propiedades que los números
racionales.
Por ejemplo consideremos las siguientes fracciones algebraicas.
También solían los romanos subdividir un todo
en 12 partes llamadas cada una «uncial» de donde se derivan la palabra onza y la inglesa «inch»
(pulgada). En el sistema inglés de medidas Troy,
la libra está subdividida en 12 onzas.
Fracción algebraica racional
Llamamos fracción algebraica racional a toda
a
expresión de la forma
(a sobre b), donde a o b,
b
o ambos, son polinomios y además el denominador
es un polinomio no nulo.
x 2 + 3x − 10
Por ejemplo,
3x + 2
2
significa (x + 3x –10) ÷ (3x +2)
2
a22
a22
a2
“a” no debe ser 0. Esta observación nos
indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar definido
para todos los números reales menos el
cero; así ℝ – {0}
x
x 4 “y” no debe ser – 4. Esta observación
y+
x 4 nos indica que la expresión racional que
y+
y + 4 corresponde al denominador debe estar
definido para todos los números reales
x + y menos el –4, así ℝ – {–4}
xx +
− y3
+ y3 “x” no debe ser igual a 3. Esta observación
x−
x − 3 nos indica que la expresión racional que
corresponde al denominador debe estar
definido para todos los números reales
menos el 3, así ℝ – {3}
RECUERDE
En adelante y salvo indicación en contrario supondremos que los valores de
la variable o variables que aparezcan en
un denominador son tales que no anulen
dicho denominador.
247
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
También, en una fracción algebraica, al igual
que una fracción numérica, es posible multiplicar
o dividir el numerador y el denominador por un
mismo factor (diferente de cero), obteniéndose así
una fracción equivalente a la fracción dada.
B)
En la práctica se presenta muchas veces la
necesidad de simplificar fracciones algebraicas.
Para ello debe tener presente que:
Simplificar una fracción algebraica consiste
en dividir el numerador y el denominador por un
mismo factor que sea común a ambos.
2(b + 5)
4b + 20
C�����������������������������������������
omo se puede observar, no se puede realizar directamente ninguna simplificación. Sin
embargo podemos factorizar por factor común
el denominador así: 4b + 20 = 4 (b + 5)
2(b + 5) 2(b + 5) 2
1
=
= =
4b + 20 4(b + 5) 4 2
2
2
C) a − b
a 2 + ab
Aquí tampoco podemos simplificar directamente; por tanto procedemos previamente a
descomponer en factores el numerador y el
denominador. Debemos combinar los métodos
de factorización: por producto notable y factor
común.
a 2 – b2 = (a − b)(a + b)
a 2 + ab = a(a + b)
Ejemplos
Simplificar las fracciones algebraicas siguientes:
16x 2 y
A)
2x 2 y 3
Para simplificar esta fracción algebraica, dividimos el numerador y el denominador por
2x2y (que es el mayor factor común a ambos).
Luego resulta
D)
Recuerde
Luego tenemos
a 2 − b2 (a − b)(a + b) a − b
=
=
a (a + b)
a
a 2 + ab
2x 2 − 3x − 2
x 2 + 3x − 10
Factorizando ambos trinomios tenemos por el
método de inspección.
2x 2 − 3 − 2 (2x + 1)(x − 2) 2x + 1
=
=
x 2 + 3x − 10 (x + 5)(x − 2)
x+5
Observe:
El numerador y el denominador en la expresión racional o fracción algebraica
x−4
parecen
4−x
no tener ningún factor común diferente de 1. Sin
embargo, ya que (x – 4) y (4 – x) son inversos
aditivos, podemos reescribir uno de ellos como
inverso del otro.
248
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así tenemos que para proceder a simplificar
esta expresión hacemos
6) Sean A = 3x3 + 9x2 y B = x2 + 6x + 9
−1 (4 − x)
x−4
=
= −1
4
(4(4
x
− x)
−1
− x)
x−4
= −1
=
1)
(4 − x)
4−x
Otros ejemplos semejantes a este.
3x − 6 3(x − 2)
=
2)
Se factoriza el numerador
2 −−x2)
2 −−x6 3(x
3x
2)
=
2 – x = –(– 2 + x) = – 1(x – 2)
2−x
23(x
− x− 2)
=
−1(x
2)
3(x −−2)
=
3−1(x − 2)
= −3
=
−1
3
Simplificamos
=
= −3
−1
b) Halle el valor numérico de C cuando x = – 5
1)
3)
1− y 2
(1− y)(1+ y)
=
2
y − 4y + 3 (y − 1) (y − 3)
=
−1 (y − 1)(1+ y)
(y − 1)(y − 3)
=
−1(1+ y)
( y − 3)
=
−1− y
( y − 3)
a) Calcule y simplifique
c) ¿Para qué valores de x (x ∈ ℝ) está definida
la expresión C?
Solución
a)
3x 3 + 9x 2
3x 2 (x + 3)
=
x 2 + 6x + 9 (x + 3)(x + 3)
=
3x 2
x+3
Combinamos
métodos de
factorización.
Observe:
Como 2 = 0,4 x 5
tenemos que (5n + 2) = (5n + 0,4 x 5)
C=
A
c) Los valores donde está definida C =
B
son todos ℝ – {– 3}
x −1
7. Por cual expresión debe amplificarse
2
5
para obtener como resultado x − 1 ?
5x + 5
Solución
x2 − 1
Como se dice que el resultado es
;
5x + 5
Podemos aplicar la operación inversa de la
amplificación (la simplificación) es proceso
nos indicará la expresión para amplificar.
= 5 (n + 0,4)
249
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Veamos:
x 2 − 1 (x − 1)(x + 1)
=
5(x + 1)
5x + 5
=
x −1
5
Entonces, podemos decir que x + 1 es la expresión que amplifica a x − 1 para obtener
x2 − 1
5
5(x + 1)
Respuesta: Debe ampliarse por (x + 1)
g)
2a − 3
(a − 7)2
_________
h)
x+3
x(x + 2)
_________
i)
b +1
b2 − 9
_________
j)
3c
c 2 − 7c − 18
_________
B) Simplifique tanto como sea posible:
x2 – 1 es una diferencia de cuadrados
5x + 5 = 5(x + 1) se factoriza por factor común.
ACTIVIDAD 1
A) Diga para qué valores están definidas las
fracciones algebraicas siguientes.
250
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
22)
4c 2 + 7c − 15
= ____________
c 2 + 12c + 27
23)
3x 2 − 7x − 20
= ____________
2x 2 − 5x − 12
24)
4y 2 + 20y + 25
= ____________
2y 3 + 3y 2 − 5y
C. Sean A = 3a2 + 2a – 8 y B = 9a2 – 16.
A
1) Calcular y simplificar C =
B
2) Hallar el valor numérico de C cuando a = –4
3) ¿Para qué valores de a (a ∈ ℝ) está definida
la expresión C?
m+n
2
2
2
para obtener como resultado m − n ?
2m − 2n
x+4
E. La expresión
se obtiene al simplificar
x −1
una fracción cuyo
D. ¿Por cuál expresión debe amplificarse
numerador era x2 + 5x + 4. ¿Cuál era la fracción
original?
2a − 3
se obtiene al simplificar
3a + 1
una fracción cuyo denominador era 6a2 + 11a + 3.
¿Cuál era la fracción original?
F. La expresión
Suma y resta de fracciones
algebraicas
Denominadores iguales
Para sumar y restar fracciones algebraicas con
denominadores iguales, sumamos o restamos los
numeradores y escribimos la suma o diferencia
sobre el denominador común.
251
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
A. EJEMPLOS Sumar y simplificar.
1.
2.
4x 5x 4x + 5x
+
=
3
3
3
9x
=
3
= 3x
Se escribe la suma sobre el
denominador común.
2y 2 + 4y − 3 y 2 − 2y − 12 2y 2 + 4y − 3 − (y 2 − 2y − 12)
−
=
y+3
y+3
y+3
Sumamos los términos
semejantes del numerador.
=
2y 2 + 4y − 3 − y 2 + 2y + 12
y+3
Simplificamos
=
y 2 + 6y + 9
y+3
=
(y + 3)(y + 3)
(y + 3)
6a 2
4a 2
6a 2 + 4a 2
+
=
a+2 a+2
a+2
10a 2
=
a+2
3.
2.
2x 2 + 3x − 7 x 2 + x − 8 2x2 + 3x − 7 + x2 + x − 8
+
=
2x + 1
2x + 1
2x + 1
3x2 + 4x − 15
2x + 1
(x + 3)(3x − 5)
=
2x + 1
=y+3
Podemos sumar o restar cualquier número
de expresiones con denominadores comunes sumando o restando los numeradores y colocando
el resultado sobre el denominador común.
=
Se factoriza para buscar posibles factores comunes.
ACTIVIDAD 2
Efectuar cada una de las operaciones indicadas.
B. EJEMPLOS. Restar y simplificar.
1.
3m
m − 4 3m − (m − 4)
−
=
m+2 m+2
m+2
3m − m + 4
=
m+2
2m + 4 2(m + 2)
=
=
m+2
(m + 2)
=2
a)
3a 2a
+
= ____________
5
5
b)
6m 8m
+
= ____________
11 11
c)
7x 2x
−
= ____________
10 10
d)
18xy 11xy
−
= ____________
7
7
e)
4x + 3 3x + 4
+
= ____________
x+2
x+2
f)
−6m m − 10
+
= ____________
m−5 m−5
Los paréntesis son necesarios orque se debe restar
el numerador completo.
Simplificamos.
252
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EJEMPLOS
1. Encontrar el mcd de 8x2y2 y 12xy3
8x2y2 = 2 • 2 • 2 • x • x • y • y
12xy3 = 2 • 2 • 3 • x • y • y • y
mcd = 2 • 2 • 2 • 3 • x • x • y • y • y = 24x2y3
2. Encontrar el mcd de x2 + 5x – 6 y x2 – 1
x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1)
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
mcd = (x + 6)(x + 1)(x – 1)
3. Encontrar el mcd de x2 + 4 y x+1
Como estas expresiones no son factorizables,
el mcd es su producto, (x2 + 4)(x + 1).
Suma con denominadores diferentes
Para sumar expresiones racionales con denominadores diferentes,
Suma y resta de fracciones algebraicas
Denominadores diferentes
Mínimo común denominador (mcd)
Para sumar fracciones algebraicas racionales
con denominadores diferentes, primero es necesario encontrar el mínimo común denominador
de éstas.
1. Encontramos el mcm de los denominadores.
2. Escribimos cada expresión racional como una
expresión equivalente con el (mcd). Para escribir una expresión equivalente, multiplicamos
por una expresión equivalente a 1.
3. Sumamos los numeradores. Escribimos la
suma sobre el (mcd).
EJEMPLOS Sumar y simplificar.
a)
Cómo encontrar el mínimo común denominador (mcd)
Para encontrar el mcd de dos o más expresiones algebraicas,
1. Factorizamos cada expresión.
5x 2 7x
5x 2
7x
+
=
+
12 2 • 2 • 2 2 • 2 • 3
8
=
5x 2
3
7x
2
• +
•
2•2•3 2
2•2•2 3
=
15x 2 + 14x
24
=
2. Formamos el producto usando
cada factor el mayor número de
veces que aparece.
x(15x + 14)
24
El mcm de los denominadores es 2 • 2 • 2 • 3 = 24
2
Multiplicamos cada térnino por una forma del número 1 = 2 para
obtener el mcd.
253
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
b)
3
x +1
+
5
x −1
=
=
=
3
•
x −1
x +1 x −1
+
5
•
x +1
d) Resolver
x −1 x +1
3(x − 1) + 5(x + 1)
Solución
3x − 3 + 5x + 5
x
x +1
3
x
x + 1
3
+
+
=
+
+
x − 1 x + 1 x2 − 1 x − 1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
8x + 2
=
x ( x − 1)
3 ( x + 1)
x +1
+
+
( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
2(4x + 1)
=
3x + 3 + x2 − x + x + 1
( x − 1) ( x + 1)
El mcd es (x + 1)(x – 1)
=
=
=
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
Como el numerador y denominador no tienen
factor común, diferente de 1, no podemos simplificar más.
x −1
2x
+ 2
c) Resolver 2
x − 1 x − 2x + 1
Solución
x −1
2x
1
2x
+ 2
=
+
2
x − 1 x − 2x + 1 x + 1 ( x − 1)2
=
=
3
x
x +1
+
+ 2
x −1 x +1 x −1
=
=
( x + 1) ( x − 1)2
x2 + 3x + 4
( x + 1) ( x − 1)
Resta con denominadores diferentes
EJEMPLOS Restar y simplificar
1)
( x – 1)2 + 2x ( x + 1)
( x + 1) ( x – 1)2
x+2
x−4
−
x +1
x+4
=
=
x 2 – 2x + 1+ 2x 2 + 2x
( x + 1) ( x − 1)
x2 − 2x + 1+ 2x2 + 2x
=
2
3x 2 + 1
=
( x + 1) ( x − 1)2
=
Factorizamos cada uno de los denominadores
x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
=
x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
mcd = (x + 1)(x – 1)2
x+2
•
x+4
x−4 x+4
−
(x + 2)(x + 4)
(x − 4)(x + 4)
−
x +1 x − 4
•
x+4 x−4
(x + 1)(x − 4)
(x + 4) (x − 4)
(x + 2)(x + 4) − [(x + 1)(x − 4)]
(x + 4)(x − 4)
x 2 + 6x + 8 − (x 2 − 3x − 4)
(x − 4)(x + 4)
x 2 + 6x + 8 − x 2 + 3x + 4
(x − 4)(x + 4)
9x + 12
(x − 4)(x + 4)
mcd = (x – 4)(x + 4)
Restamos los numeradores.
254
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3)
El mínimo común divisor es 4(n + 3)(n +3)
2x + 6
x+5
− 2
2
x − 3x x − 4x + 3
Solución:
Se factorizan los denominadores
x2 – 3x = x(x – 3)
x2 – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)
El mínimo común múltiplo ó sencillamente el
mínimo denominador común es x (x – 3) (x – 1).
Por lo tanto:
ACTIVIDAD 3
A. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm).
1. c2d, cd2
2. 2x2, 6xy
3. a – b, a + b
4. m – 6, m + 6
5. 3(a – 3), 6 (3 – a)
Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que obtener el
común denominador.
Después igual que con los números, basta sumar o restar los
numeradores.
6. 4(b – 1), 8(1 – b)
7. x + 2, x – 2
255
f)
1
3
,
2
b + b − 6b
RELACIONES Y ÁLGEBRA
1
3
b − 6b
2
b
y
b−2
x
1
1
Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) x 2 − 10x + 25 , x 2 − 25 y x 2 + 10x + 25
8. x + 3, x – 3
h)
9. x2 – 4, x2 + 5x + 6
10. x2 + 3x + 2, x2 – 4
i)
11. t3 + 4t2 + 4t, t2 – 4t
12. y3 – y2, y4 – y2
2
1
c +c
2
14. x2 – y2, x2 + 2xy + y2
1.
16. 2x2 + 5x + 2, 2x2 – x – 1
2.
B. Reduzca a común denominador.
3.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x+3
y
x
2x + 6
x2
y
x −1
5
4
1
x −x
2
,
1
,
x 2 − 10x + 25
c +c
1
,
v − 3v − 4
y
x + 2x + 1
2
1
v
2
x + 2
b + b − 6b
2
6.
2
1
3
x+2
y
v + 2v + 1
5.
4
y
x +x−2
2
x
x +x+2
1
2
4.
2
2
3
1
b − 6b
,
c
c + 2c + 1
1
,
x + 2x − 3
15. m2 – 5m + 6, m2 – 4m + 4
x+2
c
2
2
y
x−2
2
1
c −1
x − 4x + 3
y
x−3
x2 − 9
C. Sumar y simplificar.
13. a + 1, a2 – 1
a)
,
2
x
x 2 − 25
c + 2c + 1
y
x−2
7.
1
8.
x
b
y
9.
b−2
y
2
1
10.
x 2 + 10x + 25
1
c −1
256
x−3
a2
2
8y
10
4x
15
2
5
6a
+
5
8x
25
+
2
x−2
3
x +1
x+4
x
x−5
= _____________
= _____________
= _____________
x2
3
x
2y
5
x+y
xy
= _____________
8
+
+
x
3a 2
+
7
8a
+
+
+
+
+
= _____________
3x + y
x 2y
3
x+2
2
3x
= _____________
= _____________
= _____________
x
x+4
x−5
x
= _____________
= _____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
11.
Multiplicación de fracciones
algebraicas
x
1
+ 2
= _____________
x + 2x + 1 x + 5x + 4
2
Como vimos anteriormente, el producto de
números racionales se calcula multiplicando los
numeradores y los denominadores.
7
5
12. 2
+
= _____________
a + a − 2 a 2 − 4a + 3
3 5 3 • 5 15
• =
=
4 6 4 • 6 24
También multiplicamos fracciones algebraicas
de la misma manera.
D. Restar y simplificar.
1.
2.
3.
5x + 3y 3x − 4y
−
= ____________
2x 2 y
xy 2
Ejemplos
Efectuar las multiplicaciones siguientes y simplificar el producto.
3
5
−
= ____________
x+5 x−5
a)
x
2
−
= ____________
x 2 + 2x + 1 x 2 + 3x + 2
x
5
4. 2
− 2
= ____________
x + 11x + 30 x + 9x + 20
5a 3 2
5a 3 • 2
•
=
4 5a 4 • 5a
=
10a 3
20a
=
a2
2
Multiplicamos los
numeradores y los
denominadores
Se simplifica
b)
E. Determinar, entre las siguientes expresiones,
las que son equivalentes.
15b
3a 3b
• 2 3
10
6a b
Solución: Tanto los numeradores como los
denominadores monomios se multiplican
como antes lo hicimos. Luego, procedemos
a simplificar.
3a 3b 15b
3 • 15 • a 3 • b • b
• 2 3 =
10 6a b
10 • 6 • a 2b 3
=
c)
257
=
18x 2 y x + y
•
=
x 2 − y 2 6xy
45 a 3 b2
60 a 2b 3
3a
4b
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Solución: Aquí primeramente debemos factorizar la diferencia de cuadrados que aparece
en el primer denominador y luego se simplifica
la expresión.
18x 2 y
(x + y) 3x
18x 2 y x + y
•
=
•
•
2
2
x −y
6xy (x + y)(x − y) 6xy x − y
ACTIVIDAD 4
Efectúe las multiplicaciones siguientes y simplifique tanto como sea posible
3x 2 − 11x + 10
2x
• 2
=
2
8x
x − 2x
(3x − 5)(x − 2)
2x
3x − 5
•
=
2
Solución:
por ins8x 2 En este
x(x −caso
2) se
4xfactoriza
pección el numerador del primer factor y por
factor común el denominador del segundo
3x 2 − 11x + 10
2x
=
d) factor. 2
• 2
8x
x − 2x
(3x − 5)(x − 2)
2x
3x − 5
•
=
2
8x
x(x − 2)
4x 2
d)
Otros ejemplos donde se combinan diferentes
métodos de factorización es el siguiente
258
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
División de fracciones algebraicas
Podemos dividir fracciones algebraicas con el
mismo procedimiento que utilizamos para dividir
dos números racionales. Para dividir fracciones
algebraicas, multiplicamos la primera expresión
por el recíproco del divisor.
EJEMPLOS. Dividir y simplificar.
1.
8n 5
3
÷
2n 2
9
=
=
8n 5
3
•
9
Factorizamos e identificamos los factores comunes.
Simplificamos
2n 2
72n 5
6n 2
= 12n 3
5.
Multiplicamos por el recíproco de divisor.
Multiplicamos los numeradores y los denominadores.
Simplificamos
2.
4
2
=
2x + 8 x + 4 2x + 8
9
÷
=
•
3
9
3
x+4
(2x + 8)(9)
=
3 (x + 4)
=
4
(x + 2) (x + 2)
⎛ x + 2⎞
⎛ x + 2⎞
÷
⎜⎝
⎟⎠ ÷ ⎜⎝
⎟⎠ =
3
2
34
22
=
(x + 2)
81
4
81
4
•
(x + 2)
4
(x + 2)
2
2
2
Elevando a potencia una fracción algebráica
2(x + 4)(9)
3 (x + 4)
=6
Simplificamos utiliando división de potencias
Multiplicamos por el recíproco del divisor.
Multiplicamos
Factorizamos y simplificamos.
3.
(x + 2)4
= (x + 2)4 − 2
(x + 2)2
x +1 x +1 x +1 x + 3
÷
=
•
x + 2 x + 3 x + 2 x +1
(x + 1)(x + 3)
=
(x + 2)(x + 1)
=
x+3
x+2
6)
Multiplicamos por el recíproco del divisor.
Multiplicamos y simplificamos.
259
x 2 ( x − 1)
x 2 ( x − 1) x 2 − 9
x2 + x
÷
=
•
x 2 + 5x + 6 x 2 + 9 x 2 + 5x + 6 x 2 − x
=
x 2 ( x − 1) • ( x − 3) ( x + 3)
( x + 3) ( x + 2 ) x ( x − 1)
=
x ( x − 3)
x+2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 5
x2 + x
2x
÷
A. Hallar el resultado de
x +1 x + 5
B. Hallar el resultado de
5x + 10 3x + 6
÷
x2 − 1
x +1
C. Efectúe las siguientes divisiones y simplifique.
Operaciones combinadas con
fracciones algebraicas
A. Sin signos de agrupación
5u − 3 2 + u 4u − 5
− 2 + 2
Ejemplo 1. Resolver
a 2u
au
au
Solución
260
En esta expresión algebraica se tiene que
los términos que la forman son fracciones
“algebraicas” que se restan y se suman, ellas
poseen el mismo denominador. Es claro que el
resultado será una nueva fracción algebraica
en donde el denominador será el mismo.
(5u − 3) − (2 + u) + (4u − 5 5u − 3 − 2 − u + 4u − 5
=
a 2u
a 2u
8u − 10
=
a 2u
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
IMPORTANTE
En este tipo de operaciones cuando tiene que
eliminar paréntesis que le antecede el signo
+ no produce cambios en sus términos, por
ejemplo en (5u – 3), en cambio, el términos
(2 + u) le antecede el signo – por eso colocamos
– 2 – u; en realidad, aplicamos la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto de
la suma con el – 1.
Por lo tanto 5u − 3 − 2 + u + 4u − 5 = 8u − 10
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
Por lo tanto
n
n − 1 35n2 + n − 40
6n2 − 7
+
−
=
n+2
3n + 6
6
6(n + 2)
2
Ejemplo 2. Resolver 6n − 7 + n − n − 1
n+2
3n + 6
6
Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los
términos que la forman son fracciones “alegebraicas” que se restan y se suman, ellas
poseen un distinto denominador. Aquí debemos
encontrar un mínimo común denominador
(m.c.d) de (n + 2), (3n + 6) y 6 que es 6(n + 2).
Ejemplo 3. Resolver
Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los
términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un
distinto denominador. Aquí debemos encontrar
un mínimo común denominador (m.c.d) de
(x2 + x – 6), (x + 3) y (2x2 – 8); pero antes observe
que (x2 + x – 6) = (x + 3)(x – 2). Con respecto
de (x + 3) no hay nada que hacer. Por último,
(2x2 – 8) = 2(x2 – 4) pero este es una diferencia
de cuadrados, así que aplicamos el método de
la factorización por diferencia de cuadrados; por
esto se tiene (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) = 2(x – 2)(x+ 2).
Así tenemos que el mínimo común divisor es:
Así:
Recuerde:
Dividimos el mcd por cada denominador
y luego el resultado lo multiplicamos por
el numerador de cada uno.
4x
2
7x − 3
+
− 2
x + x − 6 x + 3 2x − 8
2
(x2 + x – 6)
(x + 3)(x – 2)
261
(x + 3)
(x + 3)
m.c.d = 2(x + 3)(x – 2)(x + 2)
(2x2 – 8)
2(x – 2)(x + 2)
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Con signos de agrupación
2x ⎞ ⎛
⎛ 1
+
Ejemplo 1: Resolver ⎜⎝
⎟ • ⎜ 1−
1+ x 1− x 2 ⎠ ⎝
Solución
Cuando resolvemos operaciones algebraicas
con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y
paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada
paréntesis en orden de aparición. Aquí comen-
+
zamos con ⎜
y luego con ⎜⎝ 1− x ⎟⎠
⎝ 1+ x 1− x 2 ⎟⎠
al final colocamos los resultados simplificados
completamente.
Comencemos con
⎛ 1
2x ⎞
⎛
1⎞
⎞.
2x ⎞ ⎛ 1
2x
⎛ 1
+
+
= ⎜
⎜⎝
2 ⎟
1+ x 1− x ⎠ ⎝ 1+ x (1− x)(1+ x) ⎟⎠
Factorizamos por la fórmula de diferencia de
cuadrados 1 – x2 = (1 – x)(1 + x).
El mínimo común denominador es (1 – x)(1 + x).
(1 − x)(1 + x)
1+ x
1
+
2x
1− x2
(1 − x)(1 + x)
= (1 − x )
(1 − x) (1)
1+ x
=
=
=
(1 − x)(1 + x)
=1
(1) ( 2x )
(1 − x) (1) + (1) ( 2x )
(1 − x)(1 + x)
1 − x + 2x
(1 − x)(1 + x)
1+ x
(1 − x)(1 + x)
2x ⎞
1
1+ x
+
=
2⎟
⎝ 1+ x 1− x ⎠ (1− x)(1+ x)
Entonces se tiene que ⎛⎜
Por lo tanto,
2
7x − 3
5x 2 − 2x − 7
4x
+
−
=
x 2 + x − 6 x + 3 2x 2 − 8 2(x + 3)(x − 2)(x + 2)
1⎞
⎟
x⎠
Sigamos resolviendo ⎛⎜ 1− 1 ⎞⎟ , mínimo común
⎝
x⎠
denominador es x por esto se tiene que
1−
262
1 x −1
=
x
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Entonces tenemos que
2x ⎞ ⎛
⎛ 1
+
⎜⎝
⎟ • ⎜ 1−
1+ x 1− x 2 ⎠ ⎝
1⎞
⎟
x⎠
x −1
1+ x
(1+ x ) ( x − 1)
•
=
(1− x)(1+ x) x
x(1− x)(1+ x)
⎛ x2
⎞ ⎛
x⎞
Entonces tenemos que ⎜ − y ⎟ ÷ ⎜ 1+ ⎟ =
y⎠
⎝ y
⎠ ⎝
⎛ x2
⎞ ⎛
x ⎞ (x − y)(x + y) y + x
÷
⎜⎝ y − y ⎟⎠ ÷ ⎜⎝ 1+ y ⎟⎠ =
y
y
− 1(1+ x ) (1− x )
=
x(1− x)(1+ x)
=
(x − y)(x + y)
y
•
y
x+y
− 1
=
x
=
y (x − y)(x + y)
y (x + y )
1
2x ⎞ ⎛
1 ⎞ − 1
Por lo tanto ⎛⎜
+
• 1− ⎟ =
2 ⎟ ⎜
⎝ 1+ x 1− x ⎠ ⎝
x⎠
x
= (x – y )
Recuerde:
a c a d
÷ = •
b d b c
⎛ x2
⎞ ⎛
x⎞
Ejemplo 2: Resolver ⎜ − y ⎟ ÷ ⎜ 1+ ⎟
y⎠
⎝ y
⎠ ⎝
Solución
y+x=x+y
Cuando resolvemos operaciones algebraicas
con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ]
y paréntesis de llaves { }; se debe resolver
cada paréntesis en orden de aparición. Aquí
⎛ x2
⎛
⎞
⎛ x2
⎞
Comcencemos con ⎜ − y ⎟ . Es claro que el
⎝ y
⎠
mínimo común denominador es “y”. Por esto
⎛ x2
⎞ x2 − y 2
se tiene que ⎜ − y ⎟ =
. Y como el nuy
⎝ y
⎠
merador es una diferencia de cuadrados se
x 2 − y 2 (x − y)(x + y)
=
y
y
⎛
x⎞
Sigamos resolviendo ⎜ 1+ ⎟ , mínimo común
⎝
y⎠
⎛ x2
Por lo tanto se tiene que
⎛ x2
⎞ ⎛
x⎞
⎜⎝ y − y ⎟⎠ ÷ ⎜⎝ 1+ y ⎟⎠ = ( x − y )
3⎞
⎛ 1
⎞ ⎛
Ejemplo 3: Resolver ⎜
+ 1⎟ • ⎜ 3x − ⎟
⎝ x −1 ⎠ ⎝
x⎠
Solución
⎛ 1
⎞
+ 1 y luego con
Comenzaremos con ⎜
⎝ x − 1 ⎟⎠
3⎞
⎛
⎜ 3x − ⎟ al final colocamos los resultados
⎝
x⎠
simplificados completamente.
⎛ 1
⎞
+ 1 . Es claro que el
Comencemos con ⎜
⎝ x − 1 ⎟⎠
mínimo común denominador es “x – 1”.
Por esto se tiene que
⎞
tiene que ⎜ − y ⎟ =
⎝ y
⎠
x⎞
comenzamos con ⎜ − y ⎟ y luego con ⎜ 1+ ⎟
⎝
y⎠
⎝ y
⎠
al final colocamos los resultados simplificados
completamente.
denominador es “y” por esto se tiene que
⎛
x⎞ y + x
⎜⎝ 1+ y ⎟⎠ = y
263
x
⎛ 1
⎞ 1+ (1) ( x − 1) (1+ x − 1)
+ 1⎟ =
=
=
⎜⎝
x −1 ⎠
x −1
( x − 1) x − 1
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
⎛
3⎞
B. Efecuar las siguientes operaciones.
)
x + 2 ⎞ ⎛ x2 − 9 ⎞
⎛ x−2
a) ⎜ 2
+ 2
•
= _____________
⎝ x − 4 x − x − 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 4x − 10 ⎟⎠
Sigamos resolviendo ⎜ 3x − ⎟, mínimo común
⎝
x⎠
denominador es “x” por esto se tiene que
(
2
3 ⎞ 3x 2 − 3 3 x − 1 3 ( x − 1) ( x + 1)
⎛
=
=
⎜⎝ 3x – ⎟⎠ =
x
x
x
x
b)
Entonces se tiene que
3 ( x − 1) ( x + 1)
x
3⎞
⎛ 1
⎞ ⎛
+ 1⎟ • ⎜ 3x − ⎟ =
•
⎜⎝
x −1 ⎠ ⎝
x
x⎠ x −1
=
x − 7⎞
⎛ 2x + 6 x + 3 ⎞ ⎛ x
c) ⎜ 2
•
÷
+⎜
⎟
⎟ = _____________
⎝ x − 9 x − 7⎠ ⎝ x + 7
5 ⎠
3x(x – 1)(x + 1)
x ( x − 1)
= 3(x + 1)
x−2 ⎛ x+2
x2 − 9 ⎞
+
•
= _____________
x 2 − 4 ⎜⎝ x 2 − x − 6 4x − 10 ⎟⎠
Por lo tanto se tiene que
TRABAJO INDIVIDUAL 1
3⎞
⎛ 1
⎞ ⎛
+ 1⎟ • ⎜ 3x − ⎟ = 3(x + 1)
⎜⎝
x –1 ⎠ ⎝
x⎠
ACTIVIDAD 6
A. En las expresiones siguientes, efectúe las
operaciones indicadas y simplifique:
1)
1
1− x
2
+
−
= _____________
x x 2 + 2x x + 1
2)
x
3
−
+ 2 = _____________
2x − x − 1 1− 2x + x 2
3)
1
3
2
+ 2
−
= _____________
x + 4x + 3 x − 1 x + 3
4)
2
3
1
−
+ 2
= _____________
9x − 6x + 1 x + 1 3x + 2x − 1
1. Los siguientes ejercicios corresponden a
multiplicaciones y divisiones de expresiones
fraccionarias. En ellos se sugiere factorizar,
simplificar y finalmente, efectuar la operación
indicada.
2
2
2
264
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Para resolver ejercicios de suma o resta de
expresiones fraccionarias es necesario saber determinar el mínimo común múltiplo de
expresiones algebraicas. En cada uno de los
tríos de números o de expresiones algebraicas
se pide determinar el MCM correspondiente.
3. Los siguientes ejercicios corresponden a sumas o restas de expresiones fraccionarias.
Determinar en cada uno el MCM de sus denominadores y efectuar la(s) operación(es)
correspondiente(s).
1) 28, 49, 21
2) 4a3b2, 6a2b4, 8ab3
3) a2 – b2, a2 – 2ab + b2, 2a + 2b
4) x2 – 25, x2 – 2x – 35, x2 – 14x + 49
5) a – b, ab – b2, a2b – b2
265
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Y NUMERADORES
Cuando tenemos fracciones con radicales
en el denominador conviene obtener fracciones
equivalentes pero que no tengan radicales en el
denominador. A este proceso es a lo que se llama
racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso
es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Racionalización de un monomio
A. Cuando el denominador es un términos radical
de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica
el numerador y el denominador por el radical
del denominador.
b
=
a b
b• b
=
a b
=
2
b
b
2
2
3
=
=
6
2
2
3
•
•
2
2
3
3
=
=
6• 2
2• 2
2• 3
3• 3
=
=
6 2
4
=
3
=1
B. Cuando el denominador es un término radical
de índice 2 que tiene coeficiente racional, se
procede de la manera siguiente: se multiplica
el numerador y el denominador por el radical
sin tomar en cuenta el coeficiente.
Este caso corresponde a los radicales de la
a
forma
, aquí para racionalizar multiplic b
camos numerador y denominador por b ; el
cociente se deja igual.
a
c b
=
a b
c b b
=
a b
c b
2
=
a b a b
=
cb
b•c
Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones.
1. Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones:
b)
2
3
= 1 ; EJEMPLOS:
a b
EJEMPLOS
6
Observe que en ambos, utilizamos el hecho
de que la división de un número por si mismos es 1.
2
Este caso corresponde a los radicales de la
a
forma
, aquí para racionalizar multiplicamos
b
numerador y denominador por b , así:
a
a)
a)
5 2
=
3
5 2
•
2
2
=
3• 2
5 2• 2
multiplicamos por 1=
6 2
=3 2
2
6
=
3
9
3
b)
6
266
5x
a x
=
5x
a x
Observe
•
x
x
=
=
6
6
=
5 • 2 10
=
5x x 5 x
=
ax
a
2
2
5x • x
a x• x
x • x = x 2 = x; 5x 5
=
ax a
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
c) Determine una expresión equivalente a
a
2 .
18
Solución:
Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos;
el numerador y el denominador por 2 para
que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.
Así pues, tenemos que:
2
18
=
2 2
2 • 32 • 2
=
2 2
2 2 • 32
=
bm
n
2 2
2 1
=
=
2
3
2•3
3
ACTIVIDAD 1
Racionalizar el denominador.
=
n
bn
=
a n bn− m
b
3
2
Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción
por
3
22 y se efectúan las operaciones:
2
3 3
Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción
3
por
c)
3
=
32 y tenemos:
2 • 3 32
3 3 3 • 3 32
=
=
267
3 3 33
=
23 9 23 9 2 3
=
=
9
9
3• 3
9
Solución:
=
23 9
4 • 5 x2
4 • 5 x2
Racionalización de monomios
con índices mayores que 2
=
3
3
se deja igual.
a n bn− m
2
a) 33 3
bn− m , si hubiera coeficientes,
bn− m
n
=
Racionalice el denominador de cada una de
las siguientes expresiones.
Cuando el denominador es un radical de
a
índice tres o más, esto es, la forma n m , con
b
m < n, para racionalizar multiplicamos numerador
bm
bn− m
n
Ejemplos:
2
n
n
•
Observe:
b) y denominador por
a
3
4 • 5 x2
3
4 • 5 x2
3 5 x3
4• x
5
=
3 5 x3
4• x
=
3 5 x3
4x
5
•1
•
5
5
1=
x3
5
5
x3
x3
x3
5
x2 • 5 x 3 = 5 x5 = x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
d)
4
ACTIVIDAD 2
Solución:
Racionalizar el denominador de:
3• 5 2 3 x 2 y 6
4
3• 5 2 3 x 2 y 6
=
=
=
=
3• 5 2 3 x 2 y 6
4
3• 5 2 3 x 2 y 6
•1
•
5
5
1=
5
5
22 x 3 y 4
2 xy
2
3
1.
4
22 x 3 y 4
2.
22 x 3 y 4
4 5 22 x 3 y 4
3• 2xy 2
4 5 4x 3 y 4
3• 2xy 2
2 5 4x 3 y 4
=
3xy 2
5
2 3 x 2 y 6 • 5 22 x 3 y 4 = 5 25 x 5 y10 = 2xy 2
7y
e)
4
3
432y10
5
2 4
3
3
= _________
5 10
3
3.
3
4.
3
5.
3
6.
3
3
432y10
=
=
=
432
144
48
16
8
4
2
1
3
3
3
2
2
2
2
432 = 24 • 33
=
7y
3
432y10
7y
3
2 4 33 y10
1=
•1
•
3
3
3
3
22 y 2
7.
22 y 2
22 y 2
22 y 2
3
2 4+2 33 y10+2
7y 3 4y 2
12y 4
3
2 4 33 y10 • 3 w2 y 2 = 3 2 4+2 33 y10+2 =
3
26 33 y12 = 22 • 3y 4 = 12y 4
268
3
3
= _________
6
4
= _________
16
7
= _________
11
2
= _________
4
8.
3
9.
3
10.
3
11.
3
7y 3 22 y 2
3
= _________
3
7
= _________
5
Solución:
7y
= _________
1
= _________
2
5
= _________
2
9
= _________
9
12.
1
= _________
2 3
13.
1
= _________
xy
3
11.
9
= _________
9
3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
1
12. 3 = _________
2 3
13.
1
= _________
xy
14.
2
= _________
3 8x
15.
16.
3
4
32x 5 y 2
2
7
24x 3 y15
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Estimado estudiante: El tema de los
productos notables se estudió en el libro
de Matemática Ujarrás 2016 en la semana
decimocuarta.
= _________
En efecto, para transformar una expresión
algebraica con uno o dos términos irracionales
en el denominador, por su equivalente en expresiones algebraicas de dos términos racionales,
amplificamos cada una de las expresiones por
el conjugado del denominador.
Por ejemplo:
El conjugado de
El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3
El conjugado de
= _________
Racionalización de un binomio
Cuando el denominador es una expresión algebraica de dos términos se multiplica el numerador y
el denominador por el conjugado del denominador
de la expresión.
3 + 2 es
3− 2
2 + 5 es
2 −5
Siempre que tenemos un binomio de la forma
a + b (a y b son números reales) decimos
que su conjugado es a – b.
En este último caso, corresponde a los radicales
a
a
de la forma
o
con {a, b, c} ⊂ ℝ,
b+ c
b+c
b > 0, c > 0, para racionalizar multiplicamos nume-
rador y denominador por la expresión conjugada
del denominador así:
a
b+ c
=
a( b − c)
=
a( b − c)
( b + c)( b − c) ( b) − ( c)
2
2
=
a( b − c)
b−c
Ahora bien,
Ejemplos: Racionalice el denominador de cada
una de las siguientes expresiones.
a)
5
a)
3+ 2
=
5
3+ 2
b)
Para racionalizar este tipo de expresiones
radicales nos valdremos de la fórmula notable
(a – b) (a + b) = a2 – b2.
269 c)
5
3−2
2− 7
=
( 3 − 2)
5( 3 − 2 )
1
•
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
4−7
2( 5 − 2)
=
3
3(2 + 7 )
3
•
( 3 + 2) ( 3 − 2)
5( 3 − 2 )
3
=
=
=
=
3 (2 + 7 )
− 3
5( 3 − 2 )
( 3 )2 – ( 2 )2
=5 3−5 2
=
3(2 + 7 )
2 2 − ( 7 )2
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
3( 5 + 2)
2( 5 − 2)( 5 + 2)
3( 5 + 2)
=
3
b)
2− 7
=
=
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
=
4 −Matemática
7
− 3
=
=
binomio
conjugado
5 +2
=
3(2 + 7 )
2 2 − ( 7 )2
RELACIONES
Y ÁLGEBRA
3 (2 + 7 )
2( 5 − 2)
(
•
3(2 + 7 )
3
c)
3
=
)
=
=
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
- EL MAESTRO EN CASA
3( 5 + 2)
f)
2( 5 − 2)( 5 + 2)
(
3( 5 + 2)
2
(
)
( x − 1) 3 2 + x + 1
x −1
=
3 2 − x +1
3 2 − x +1 3 2 + x +1
=
2
2 ⎡⎣ ( 5 ) − (2) ⎤⎦
3( 5 + 2)
=
( x − 1) ( 3
)(
)
2 + x +1
2
2
( 3 2 ) − ( x + 1)
( x − ) ( 3 2 + x + 1)
3( 5 + 2)
=
(9 • 2 ) − ( x + 1)
( x − 1) ( 3 2 + x + 1)
3( 5 + 2)
=
( x − 1) ( 3
2(5 – 4)
2 •1
22
)
18 − x − 1
)
2 + x +1
17 − x
TRABAJO INDIVIDUAL 1
1. Racionalice el denominador.
3
a)
;
x
2
;
y
b)
c)
d)
1
7
5
x2
2
x8
;
;
2. Racionalice el denominador en cada expresión.
4
a)
;
x +2
b)
c)
270
3
;
3 − 2x
2 x − x+2
;
2 x + x+2
x
e)
;
x + 1− x − 1
d)
3
;
3−2 x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Racionalice y simplifique
4. Determine el binomio conjugado en cada
uno de los siguientes casos.
a) 3 + x
______________
b) 5 x + 2 − x
______________
c) 3 2 − x + 1
______________
5. Racionalice.
a)
1
= _____________
3
b)
8
= _____________
3
c)
3
= _____________
5
d)
x
= _____________
y
6. Racionalice el denominador.
a)
b)
c)
d)
271
2
3 3
3 6
6 2
5 2
3 5
3 15
5 32
= _____________
= _____________
= _____________
= _____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
7. Racionalice y simplifique el resultado.
Ejemplos
Racionalice el numerador de las expresiones
siguientes, simplificando los resultados en caso
de ser posible.
1.
(
3+x − 3
=
x
3+x = 3
3+x − 3
•1
x
)(
3+x + 3
( 3 + x + 3)
( 3 + x ) − ( 3) =
x( 3 + x + 3)
x
2
x
x
2.
(
(
(
2
3 +x−3
3+x + 3
1
3+x + 3
)
)
2+x + 2
=
x
2+x + 2
=
)(
2+x + 2
• 1
x
2+x − 2
( 2 + x − 2)
( 2 + x) − ( 2) =
x( 2 + x − 2 )
x
2
0
Se podrá racionalizar
el numerador, así como
el denominador de una
fracción.
x
x
(
(
2+x−2
2+x − 2
x
2+x − 2
1
2+x − 2
272
)=
2
)
=
)
=
)=
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x + 1− 2
=
x−3
3.
(
x + 1− 2
( x − 3) (
x + 1− 2
•1
x−3
)(
x + 1+ 2
x + 1+ 2
2
(
)
2
x + 1 − (2)
( x − 3) (
)
=
)
=
)
=
x + 1+ 2
x + 1− 4
( x − 3) (
x + 1− 1
( x − 3) (
x + 1+ 2
x−3
1
x + 1+ 2
x + 1+ 1
=
x
4.
(
(
)(
(
)
x + 1− 1
)
x
(
x + 1− 1
(
x + 1− 1
x
((
1
2)
)=
2
x + 1 − (1)
x + 1− 1
1)
x + 1− 1
2
x
Racionalice el numerador de las expresiones
siguientes, simplificando los resultados en caso
de ser posible.
)
=
=
)
))
x + 1− 1
273
x+2 − 2
= _____________
x
4− x
= _____________
x − 16
3)
8+x − 8
= _____________
x
4)
x+2 −5
= _____________
x − 23
x + 1+ 1
•1
x
x + 1+ 1
x
)
)=
TRABAJO INDIVIDUAL 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ECUACIONES CUADRÁTICAS
En este tema empezamos a trabajar con expresiones matemáticas en las que figuran, no sólo
números, sino también letras ligadas con el signo
de igualdad.
En las ecuaciones, las letras designan incógnitas: cantidades desconocidas, cuyo valor estamos
buscando.
En esta unidad vamos a resolver ecuaciones
de segundo con una incógnita o bien, ecuaciones
cuadráticas; las cuales son de la forma
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Consideraremos varios métodos para su factorización y su posterior solución entre ellos tenemos:
el factor común, por agrupamiento, por fórmula
notable, por diferencia de cuadrados, método de
inspección y la fórmula general entre otros.
También resolveremos problemas prácticos
cotidianos que se pueden resolver con este tipo
de ecuaciones.
− b ± b2 − 4ac
2a
Las ecuaciones cuadráticas
o de segundo grado
La expresión ax2 + bx + c = 0, donde a,b,y c
son números reales cualesquiera y a≠ 0, se llama
ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.
Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, como otros logros matemáticos,
aparecen alrededor del año 2000 antes de Cristo,
en las tablillas aritméticas de los babilonios y en
los papiros egipcios del año 1650 antes de Cristo.
Los babilonios de modo sorprendente resolvían
estas ecuaciones completando cuadrados y con el
uso de ciertas fórmulas generales. Los egipcios,
por su parte, las resolvían usando un procedimiento
muy engorroso, conocido como método de falsa
posición.
En el siglo VI antes de Cristo, la escuela de Pitágoras aplicaba para la resolución de estas ecuaciones, el afamado método griego del Álgebra geométrica y para ello aplicaban el cálculo de áreas. Dos
siglos más tarde los discípulos del filósofo Platón
(424–347 antes de Cristo) resolvían las ecuaciones
cuadráticas utilizando proporciones.
Los hindues y en particular Bhaskara (1114 –
1185 d.C.) utilizaron para resolver las ecuaciones
cuadráticas nuevamente el método de completar
el cuadrado.
Como podemos apreciar, muchos son los
metódos que se han utilizado para resolver dichas
ecuaciones. Nosotros resolveremos este tipo de
ecuaciones utilizando primeramente los métodos
de factorización ya estudiados y posteriormente la
fórmula general de resolución de la ecuación de
segundo grado ax2 + bx + c = 0.
− b ± b2 − 4ac
2a
Pero antes recordemos estos conceptos que se
encuentran en el libro de Matemática Ujarrás 2016,
en la Semana Décimoquinta, titulada Ecuaciones.
Las ecuaciones y las fórmulas pueden estar
compuestas ya sea de proposiciones verbales o
bien, de proposiciones numéricas.
274
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
La solución de una ecuación es el número
que hace que la igualdad sea cierta al sustituir la
letra por dicho número
aún, si el producto es 0, al menos uno de los factores debe ser 0. En general, podemos establecer
el siguiente principio:
Por ejemplo:
Para cualquier par de números reales a y
b, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0, y si
a = 0 ó b = 0 entonces ab = 0.
El valor x = 2 hace que la igualdad
x2 + 3x – 10 = 0 sea cierta para dicho número.
1 g (2)2 + 3(2) – 10 = 0
1 g (4) + 3(2) – 10 = 0
4 + 6 – 10 = 0
10 – 10 = 0
0= 0
Esto es, a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Conjunto solución
Se llama conjunto solución a todos los números
que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces o resultados de la ecuación.
Para comprobar si un número es solución de
una ecuación, se sustituye la letra por el número y se
hacen las operaciones, si queda el mismo resultado
a la derecha y a la izquierda del igual el número es
la solución.
Este principio matemático nos permite establecer que si tenemos una ecuación con 0 en un
lado y una factorización en el otro, la podemos
resolver encontrando los valores que hacen 0 a
los factores.
EJEMPLO 1
Resolvamos la ecuación cuadrática
(5x + 1)( x – 7) = 0
Solución
(5x + 1)(x − 7) = 0
5x + 1= 0 ó x − 7 = 0
5x = −1
ó x = 7
−1
5
ó x = 7
x=
Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado o cuadrática es
una ecuación polinómica donde el mayor exponente
es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere
al caso en que sólo aparece una incógnita y que se
expresa en la forma canónica ax2 + bx + c = 0, donde
a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y
es siempre distinto de cero, b es el coeficiente lineal
o de primer grado y c es el término independiente.
Solución de ecuaciones de segundo grado por
factorización
Como ya sabemos, el producto de dos o más
números es 0 si alguno de los factores es 0. Más
275
Verificación
x =
−1
5
Aplicamos el principio
a•b=0↔a=0 ó b=0
Resolvemos cada factor.
x=7
(5x + 1)(x − 7) = 0
(5x + 1)(x − 7) = 0
⎡⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎤
⎢⎜⎝ 5/ • 5/ + 1⎟⎠ ⎜⎝ 5 − 7⎟⎠ ⎥ = 0
⎣
⎦
⎡⎣( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 ) ⎤⎦ =
⎡
⎛ −1 ⎞ ⎤
⎢( −1+ 1) ⎜⎝ 5 − 7⎟⎠ ⎥ = 0
⎣
⎦
⎡⎣( 35 + 1) ( 0 ) ⎤⎦ = 0
(0 ) • ⎛⎜⎝
0=0
−1− 35 ⎞
⎟= 0
5 ⎠
( 36 • 0 ) = 0
0=0
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x=7
Por lo tanto, las coluciones de la ecuación
9
x(2x – 9) = 0 son x = 0 y x =
y el conjunto
2
9
⎧
⎫
solución es ⎨0, ⎬
2
⎩
⎭
Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ,
a ­≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o
cuadrática. Los anteriores ejemplos, también representan ecuaciones cuadráticas.
(5x + 1)(x − 7) = 0
⎡⎣( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 ) ⎤⎦ = 0
⎡⎣( 35 + 1) ( 0 ) ⎤⎦ = 0
(36 • 0) = 0
0=0
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son
−1
⎧ −1 ⎫
x=
y x = 7 y el conjunto solución es ⎨ , 7 ⎬
5
⎩5
⎭
(5x + 1)(x – 7) = 0 ↔ 5x2 – 34x – 7 = 0
donde a = 5, b = – 34, c = – 7
x(2x –9) = 0 ↔ 2x2 – 9x + 0 = 0
donde a = 2, b = – 9 , c = 0.
EJEMPLO 2
Resolvamos la ecuación x (2x – 9) = 0
Solución
x(2x − 9) = 0
EJEMPLO 3
x=0
ó
2x − 9 = 0
x=0
ó
2x = 9
x=0
ó
x=
9
2
Resolvamos la ecuación x2 + 5x = – 6
Solución
La expresión comprende a la forma factorizada de la ecuación cuadrática: 2x2 – 9x = 0
x2 + 5x + 6 = 0
Aplicamos el principio
(x + 3)(x + 2) = 0
a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x + 3 = 0 ó x + 2 = 0
Resolvemos cada factor
x=–3 ó x=–2
Es una ecuación cuadrática donde a = 1, b = 5, c = 6
Aplicamos el principio:
a•b=0↔a=0 ó b=0
y resolvemos cada factor.
Verificación: con 0
x(2x − 9) = 0
0(2 • 0 − 9) = 0
0 • (0 − 9) = 0
0 • − 9 = 0
0=0
Verificación con
El trinomio x2 + 5x + 6 = 0, lo factorizamos por el
método de inspección.
9
2
9
9
• ( 2/ • − 9) = 0
2
2/
9
• (9 − 9) = 0
2
9
• 0=0
2
0=0
Verificación: con – 3
Verificación con – 2
(x + 3)(x + 2) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
0 g – 1 = 0
1g0=0
0 = 0
0=0
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación
es {– 3, – 2}.
276
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EJEMPLO 4
x=0 ó x–5=0
x=0 ó x=5
Resolvamos la ecuación x2 – 8x + 16 = 0
Solución
Ordenamos la ecuación del trinomio ax2 + bx = 0,
observe que el término c en este caso es c = 0.
x2 – 8x + 16 = 0
Factorizamos por el método de factor común.
(x – 4)(x – 4) = 0
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x–4=0 ó x–4=0
x=4
Resolvemos cada factor.
x=4
Verificamos estos resultados.
Es una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática donde a = 1, b = – 8, c = 16 coeficientes
de ax2 + bx +c = 0
Verificación: con 0
Se factoriza por el método de factorización por
fórmula notable: (a – b)2 = (a – b)(a – b)
= a – 2ab + b
2
2
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x2 = 5x
x2 = 5x
x(x – 5) = 0
x(x – 5) = 0
0 ( 0 – 5) = 0
5 (5 – 5) = 0
0 g – 5 = 0
5g 0 =0
0 = 0
0= 0
Por lo tanto el conjunto solución es el conjunto {0,5}
Comprobación
Verificación: con x = 4
EJEMPLO 6
x2 – 8x + 16 = 0
Resolvamos la ecuación cuadrática 4x2 = 25
(x – 4)(x – 4) = 0
4x2 = 25
(4 – 4)(4 – 4) = 0
4x2 – 25 = 0
0g 0 = 0
(2x + 5)(2x – 5) = 0
0 =0
Verificación: con 5
Por lo tanto la única solución es 4, esto es, el
conjunto solución es {4}.
EJEMPLO 5
2x + 5 = 0 ó 2x – 5 = 0
2x = – 5
x=
ó 2x = 5
5
−5
ó x=
2
2
Se ordena el trinomio de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, observe el término bx es cero.
Resolvamos la ecuación x = 5x
2
Solución
Se factoriza por el método de la diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x2 = 5x
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x – 5x = 0
2
Resolvemos cada factor.
x(x – 5) = 0
277
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Verificación
− 2
3
⎧ − 2 ⎫
, 6 ⎬
Por lo tanto el conjunto solución es ⎨
⎩ 3
⎭
Luego: x = 6 y x =
Ejemplo 8
Resolvamos la ecuación cuadrática dada por
2⎞ ⎛ 1
⎛5
⎞
⎜⎝ x − ⎟⎠ ⎜⎝ x − 1⎟⎠ = 0
3
5
2
Solución
⎧ − 5 5 ⎫
Por lo tanto, el conjunto solución ⎨
, ⎬
⎩ 2 2⎭
Ejemplo 7
Resolvamos la ecuación cuadrática dada por
1⎞
⎛1
⎞⎛3
⎜⎝ x − 3⎟⎠ ⎜⎝ x + ⎟⎠ = 0
2
4
2
Solución
⎛1
⎞⎛3
⎜⎝ x − 3⎟⎠ ⎜⎝ x +
2
4
1⎞
⎟ =0
2⎠
⎛1
⎞
⎜⎝ x − 3⎟⎠ = 0
2
1⎞
⎛3
⎜⎝ x + ⎟⎠ = 0
2
4
1
x−3=0
2
1
x=3
2
3
1
x+ =0
4
2
3
− 1
x=
4
2
− 1
x= 2
3
4
− 4
x=
6
− 2
x=
3
3
1
2
6
x=
1
x=
x=6
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Resolvemos cada factor.
Luego x =
6
y x=2
25
⎧6
⎫
Por lo tanto el conjunto solución es ⎨ , 2 ⎬
⎩ 25 ⎭
Ejemplo 9
Resolvamos la ecuación de segundo grado
6x2 + 19x + 10 = 0
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Solución:
Resolvemos cada factor como una ecuación de
primer grado.
6x2 + 19x + 10 = 0
Como 6 • 10 = 60
278
RELACIONES Y ÁLGEBRA
6x 2 + 19x + 10 = 0
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como 6 • 10 = 60
15 • 4 = 60
ACTIVIDAD 1
15 + 4 = 19
Es una ecuación de segundo grado donde a = 6, b = 19, c = 10, coeficientes de ax2 + bx + c = 0
A) Resolver las ecuaciones siguientes:
Utilizamos el método de inspección con ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 1.
1.
(x + 8)(x + 6) = 0
2.
(a – 3)(a + 5) = 0
3.
(x + 12)(x – 11) = 0
4.
x(x + 5) = 0
5.
y(y – 13) = 0
6.
0 = y(y + 10)
7.
(7x – 28)(28x – 7) = 0
8.
2x( 3x – 2) = 0
6x 2 + ⎡⎣(15 + 4 ) x ⎤⎦ + 10 = 0
(6x
2
)
+ 15x + ( 4x + 10 ) = 0
3x ( 2x + 5 ) + 2 ( 2x + 5 ) = 0
(2x + 5 ) ( 3x + 2 ) = 0
(2x + 5 ) = 0
( 3x + 2 ) = 0
2x + 5 = 0
3x + 2 = 0
2x = − 5
3x = − 2
x=
− 5
2
x=
− 2
3
Utilizamos el método de agrupamiento para encontrar la factorización final.
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Resolvemos cada factor como una ecuación de
primer grado.
x=
− 5
2
− 5
− 2
La solución son los valores x =
yy x=
3
2
− 2
y x=
3
Por lo tanto el conjunto solución es ⎧⎨ − 5 , −2 ⎫⎬
3 ⎭
⎩ 2
279
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B) Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
1.
x2 + 6x + 5 = 0
2.
x2 + 7x + 6 = 0
3.
x2 + 7x – 18 = 0
4.
x2 + 4x – 21 = 0
5.
b2 – 8b + 15 = 0
6.
x2 – 9x + 14 = 0
7.
16x – 60x = x2
8.
u2 = 182 – u
9.
9x – 5x2 = 0
10. X – 3x2 = 0
11. 5x2 = – 45
12. 12y2 + 12y = –10
13. 12y2 – 5y = 2
14. 5x2 – 2x – 3 = 0
20. 2x2 – 50 = 0
21. 9x2 –16 = 0
22. x2 – 36 = 0.
23. 4x2 + 4x + 1 = 0
24. 9x2 – 12x + 4 = 0
25. 9x2 – 6x + 1 = 0
26. 4x2 + 20x + 25 = 0
27. 9x2 + 24x + 16 = 0
28. 16x2 – 24x + 9 = 0
Fórmula general de resolución de la
ecuación de segundo grado
Ya conocemos cómo resolver una ecuación
de segundo grado aplicando la descomposición de
factores; pero hay ecuaciones cuadráticas donde
este procedimiento no es de fácil aplicación.
Por esta razón en esta parte vamos a aprender
a resolver ecuaciones de segundo grado ax2 + bx
+ c = 0, utilizando la fórmula general.
15. 10x2 + 7x – 26 = 0
− b ± b2 − 4ac
2a
16. 20 – 4y = 3y2
17. – 9x2 + x = 0
18. – x2 + 6x = 0
19. x2 – 49 = 0
Solución de ecuaciones
de segundo grado con una incógnita
En la resolución de una ecuación de segundo
grado con una incógnita, de la forma ax2 + bx + c = 0,
en donde a,b y c son números reales, juega un papel
280
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
muy importante la expresión: b2 – 4ac, la cual recibe
el nombre de discriminante.
x1 =
Discriminante
Se llama «discriminante» de la ecuación
ax2 + bx + c = 0 a la expresión ∆ = b2 – 4ac
A. Consideremos cuando el discriminante es
mayor que cero.
x2 =
D = b2 – 4ac > 0
Si el discriminante es un número real mayor
que cero (positivo), D > 0, entonces ∆ es un
número real positivo y el conjunto solución de
la ecuación tiene dos elementos, esto es
⎧⎪ −b + D − b − D ⎫⎪
S= ⎨
, ⎬
2a
⎪⎭
⎪⎩ 2a
− b − D 7 − 25
=
2a
6
7−5
=
6
2
=
6
1
=
3
EJEMPLO 2:
Resolver la ecuación 3x2 – 7x + 2 = 0
Resolver la ecuación 2x2 – 5x + 1 = 0
Solución
Puesto que a = 3, b = – 7 y c = 2, podemos
hallar el discriminante con la expresión
∆ = b2 – 4ac.
Solución
Veamos:
Puesto que a = 2, b = – 5 y c = 1 podemos
hallar el discriminante con la expresión
D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b − 4ac
2
D = b2 – 4ac
= (− 7)2 − 4(3)(2)
= 49 − 24
= 25
D > 0
25
⎧1 ⎫
El conjunto solución de la ecuación es ⎨ , 2 ⎬
⎩3 ⎭
EJEMPLO 1:
− b + D − 7 +
=
2a
6
7+5
=
6
12
=
6
=2
Como el discriminante es mayor que cero, la
ecuación posee dos soluciones:
= (– 5)2 – 4(2)(1)
= 25 – 8
= 17
D > 0
281
Como el discriminante es mayor que cero, la
ecuación posee dos soluciones
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Solución
− b + D 5 + 17
x1 =
=
2a
4
x2 =
Como x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
− b − D 5 − 17
=
2a
4
x2 + 5x – 3 = 2x2 – 12x
x2 – 2x2 + 5x + 12x – 3 = 0
Por lo tanto, el conjunto solución es
–x2 + 17x – 3 = 0
⎧⎪ 5 + 17 5 − 17 ⎫⎪
, ⎬
⎨
4
⎪⎭
⎪⎩ 4
x2 – 17x + 3 = 0
Resolvemos esta operación hasta obtener una
ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0
EJEMPLO 3:
Resolver la ecuación x2 + x = 0
En orden del grado trasladamos los términos al lado
izquierdo y reducimos.
Solución
Puesto que a = 1, b = 1 y c = 0 podemos
hallar el discriminante con la expresión
D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b2 – 4ac
= (1)2 – 4(1)(0)
La ecuación se multiplica por (– 1) para quitar el
signo menos del término de segundo grado
����������������������������������������
Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 podemos hallar el discriminante con la expresión
D = b2 – 4ac.
Veamos:
= 1 – 0
D = b2 – 4ac
= 1
D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la
ecuación posee dos soluciones
x1 =
− b + D − 1+ 1 − 1+ 1 0
=
=
= =0
2
2
2a
2 •1
x2 =
− b − D − 1− 1 − 1− 1 − 2
=
=
=
= − 1
2a
2 •1
2
2
= (–17)2 – 4(1)(3)
= 289 – 12
= 277
D > 0
Por lo tanto, el conjunto solución es {– 1, 0}
EJEMPLO 4:
Resolver la ecuación x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
282
Como el discriminante es mayor que cero, la
ecuación posee dos soluciones
x1 =
− b + D − ( − 17 ) + 277 17 + 277
=
=
2a
2 •1
2
x2 =
− b − D − ( − 17 ) − 277 17 − 277
=
=
2a
2 •1
2
Observe que 277 no es una raíz exacta,
277 = 16,64331699…
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Por esto se tiene que el conjunto solución de
la ecuación
B. Consideremos cuando el discriminante es
igual a cero.
⎧⎪17 − 277 17 + 277 ⎫⎪
x(x + 5) − 3 = 2x(x − 6) es ⎨
,
⎬
2
2
⎪⎭
⎪⎩
D = b2 – 4ac = 0
Si el discriminante es igual a cero, D = 0,
entonces ∆ es también igual a cero y el
conjunto solución de la ecuación es unitario, es
− b
decir, tiene un único elemento que es
, esto es
2a
− b
⎧
⎫
S= ⎨
⎬
2a
⎩
⎭
EJEMPLO 5:
Resolver la ecuación 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
Solución:
Como 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
EJEMPLO 1:
5x2 + 10x = 2x2 + 2x
Resolver la ecuación 4x2 – 20x + 25 = 0
5x2 – 2x2 + 10x – 2x = 0
Solución
3x + 8x = 0
Puesto que a = 4, b = –20 y c = 25 podemos hallar el discriminante con la expresión
D = b2 – 4ac.
Veamos: D = b2 – 4ac
2
Puesto que a = 3, b = 8 y c = 0 podemos hallar
el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b2 – 4ac
= (8)2 – 4(3)(0)
= 64 – 0
= 64
D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la
ecuación posee dos soluciones
= (–20)2 – 4(4)(25)
= 400 – 400
= 0
x1 =
− b + D − ( 8 ) + 64 − 8 + 8 0
=
=
= =0
6
6
2a
2•3
El discriminante D = 0, luego la solución viene
dada por la expresión
− b
20
20 5
=
=
=
2a 2(4)
8
2
⎧5 ⎫
El conjunto solución es ⎨ ⎬ .
⎩2 ⎭
EJEMPLO 2:
− b − D − ( 8 ) − 64 − 8 − 8 − 16 − 8
x2 =
=
=
=
=
6
6
3
2a
2•3
Por esto se tiene que el conjunto solución de
la ecuación es
⎧ − 8 ⎫
,0 ⎬
⎨
⎩ 3
⎭
Resolver la ecuación 6x – x2 – 9 = 0
Solución
Ordenamos y cambiamos signos multiplicando
por –1 a ambos lados.
283
x2 – 6x + 9 = 0
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Puesto que a = 1, b = – 6 y c = 9, podemos hallar
el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
Veamos: D = b2 – 4ac
= (– 6)2 – 4(1)(9)
= 36 – 36
= 0
− b + D − b + D
=
2a
2a
6+ 0
2 •1
6+0
=
2
6
=
2
=3
x2 =
= 144 – 144
= 0
La solución de esta ecuación se obtiene con
la expresión
⎧ − b ⎫
x=⎨
⎬
⎩ 2a ⎭
⎧ − b ⎫ ⎧ − 12 ⎫ ⎧ − 12 ⎫ ⎧ − 4 ⎫ ⎧ − 2 ⎫
S= ⎨
⎬=⎨
⎬=⎨
⎬=⎨
⎬=⎨
⎬
⎩ 2a ⎭ ⎩ 2 • 9 ⎭ ⎩ 18 ⎭ ⎩ 6 ⎭ ⎩ 3 ⎭
Por lo tanto, la solución de la ecuación 9x2 +
⎧ − 2 ⎫
12x + 4 = 0 es el conjunto ⎨
⎬
⎩ 3 ⎭
Importante:
Los resultados se tienen que factorizar al
máximo, esto es, has su forma canónica.
EJEMPLO 4:
6− 0
=
2 •1
6−0
=
2
6
=
2
=3
− b − D − b − D
=
2a
2a
= (12)2 – 4(9)(4)
=
Veamos: D = b2 – 4ac
El discriminante D = 0, también la solución la
podemos hallar con
x1 =
Resuelva la ecuación cuadrática x – x2 = 1 – x.
Solución
x – x2 = 1 – x
x – x2 – 1 + x = 0
–x2 + x + x – 1 = 0
–x2 + 2x – 1 = 0
Esto quiere decir que el conjunto de soluciones
reales de la ecuación es el conjunto unitario {3}
x2 – 2x + 1 = 0
multiplicamos por (–1)
ambos lados del igual
Como a = 1, b = –2, c = 1 y el discriminante
es ∆ = b2 – 4ac.
EJEMPLO 3:
Resolver la ecuación 9x2 + 12x + 4 = 0
Solución
Puesto que a = 9, b = 12 y c = 4, podemos hallar
el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
∆ = b2 – 4ac
284
∆ = (– 2)2 – 4(1)(1)
∆=4–4
∆= 0
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Puesto que el ∆ = 0, podemos encontrar la
solución de esta ecuación con la expresión; la cual
es única x =
− b
2a
Por lo tanto, la solución de x – x2 = 1 – x. es
el conjunto { 1 }.
C. Consideremos cuando el discriminante es
menor que cero.
D = b2 – 4ac < 0
Si el discriminante es un número menor que
cero (negativo), D < 0, entonces ∆ carece
de sentido en el conjunto ℝ ya que, como sabemos, en ℝ no existen las raíces cuadradas
de los números negativos.
EJEMPLO 2:
Determinar el conjunto solución de la ecuación
x2 – x + 1 = 0
Solución
Puesto que a = 1, b = –1 y c = 1 podemos
hallar el discriminante con la expresión
D = b2 – 4ac.
Observe:
D = b2 – 4ac
D = (– 1)2 – 4(1)(1)
D= 1–4
D=–3
Entonces el discriminante es negativo, D < 0,
por lo tanto el conjunto solución de
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación, en este caso, es vacío, es decir, no tiene
ningún elemento y por ello decimos que:
S = f
x2 – x + 1 = 0 es f, es decir, S = { } ó S = ∅
RESUMIENDO:
EJEMPLO 1:
Para una ecuación de segundo grado con
una incógnita ax2 + bx + c = 0 con discriminante
igual D, se tiene:
Determinar el conjunto solución de la ecuación
2x2 + x + 8 = 0
Solución
Puesto que a = 2, b = 1 y c = 8 podemos hallar
el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
I. D > 0, tiene dos soluciones reales distintas
Observe:
D = b2 – 4ac
D = (1)2 – 4(2)(8)
D = 1 – 64
D = – 63
⎧⎪ − b − D − b + D ⎪⎫
S= ⎨
,
⎬
2a
⎪⎭
⎩⎪ 2a
⎧ − b ⎫
II. D = 0, tiene una solución real S = ⎨
⎬
⎩ 2a ⎭
Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por
lo tanto el conjunto solución de 2x2 + x + 8 = 0
es S= ∅ que es lo mismo que S = { }.
285
III. D < 0, ninguna solución real S = f
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
16) x2 = –15x – 56
ACTIVIDAD 2
Utilizando la fórmula general, determine el
conjunto de soluciones reales de cada una de las
siguientes ecuaciones:
17)15x = 24x2 + 2
1) 6x2 + x = 2
19)–9x2 + 17x + 2 = 0
2) x2 – 4 – 3(x – 2)2 = 0
20) x2 = –15x – 56
3) 3x2 + 8x – 35 = 0
4) 4x(x –20) + 5 = 0
5) 3x2 + 8x + 3 = 0
6) 8x2 + x = 0
7) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2)
8) 5x(x – 2) + 6 = 0
9) 123x2 = 0
10)2x2 – 8 = 0
11) 8x2 = 24x + 2
18) x + 11 = 10x2
21)3x2 + 8x + 3 = 0
22) 3x2 + 8x – 35 = 0
23)–v2 – v = –1
2
24) 3m = 2m −
25)
9
8
2 2
x − 8x + 3
3
26)u2 + u + 1 = 0
27)2(3m – 1)2 + ( 3m – 1) = 1
28)4x ( x – 20) + 5 = 0
29)(x + 4)(x – 4) = 8(x – 2)
12)3x2 +12 = 0
13)x + x + 16 = 0
30)5x ( x – 2) + 6 = 0
2
14)–3x2 – x + 4 = 0
15)x = 16x – 63
2
31)– 3x2 – x + 4
32)3y2 + 4y = y + 5
286
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Aplicaciones de las ecuaciones
de segundo grado a la solución
de problemas
Problema 1
En la misma forma a lo ya estudiado para el
caso de las ecuaciones de primer grado con una
incógnita, existen muchos problemas cuya solución
requiere del uso de ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
Sin embargo, en el caso de los problemas que
se resuelven mediante ecuaciones de segundo
grado con una incógnita, dado que el conjunto de
soluciones reales en éstas tienen, a lo sumo, dos
elementos; resulta que, en muchos casos es preciso descartar uno de esos elementos (¡y a veces
ambos!) como respuesta al problema planteado.
Ahora bien, ¿cómo saber cuál de los elementos
del conjunto de soluciones reales debe ser descartado como respuesta?, tal cosa se hace con
base en el enunciado mismo del problema, así
por ejemplo, si el problema nos pregunta por el
número de personas presentes en una sala de cine
y uno de los elementos del conjunto de soluciones
2
de la correspondiente ecuación es , entonces,
3
naturalmente debe ser descartado como respuesta
pues no puede haber tal número de personas en
una sala de cine.
De igual forma si se nos pide la altura en metros
de un árbol y uno de los elementos del conjunto de
soluciones de la correspondiente ecuación es –12,
entonces, naturalmente debe ser descartado como
respuesta, pues la altura de un árbol en metros no
puede ser un número negativo.
En resumen, al resolver un problema mediante
una ecuación de segundo grado, se debe prestar
especial atención para determinar si las respuestas
numéricas tienen sentido en relación con el enunciado del problema, a fin de descartar aquellas que,
por la naturaleza misma del problema, no tienen
significado.
La suma de dos números es 10 y la suma de
sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
Solución:
Primero se asigna la variable x a una de las
incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que
son ambos números, como el problema no hace
distinción entre uno y otro, puede asignarse x a
cualquiera de los dos, por ejemplo:
x: primer número.
Como la suma de ambos es 10, entonces
necesariamente el otro será:
10 – x: segundo número
Con la condición final dl problema se establece
que la suma de los cuadrados de ambos números
es 58. Así entonces tenemos que:
x2 + (10 – x)2 = 58
Esta es la ecuación a
resolver
x2 + (100 – 20x + x2) = 58 Aplicamos la segunda
fórmula notable con el
término (10 – x)2
(a– b)2 = a2 – 2ab + b2
x2 + 100 – 20x + x2 = 58
Eliminamos el paréntesis
2x2 – 20x + 100 – 58 = 0 Resolviendo
2x2 – 20x + 42 = 0
Dividimos por 2 a ambos lados el trinomio
obtenido
x2 – 10x + 21 = 0
21 = –7 g –3
– 10 = –7 + –3
287
Utilizamos el método
de inspección para
a=1
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
(x – 7)(x – 3) = 0
x–7=0
ó
x=7
x – 3 = 0
Aplicamos el principio
x = 3
agb=0↔a=0 ó
b=0
Las condiciones del problema explican que el
ancho aumenta en 3m y el largo aumenta en 2m,
así que, luego del aumento quedan:
x + 3: nuevo ancho de la sala
x + 5: nuevo largo de la sala
obtenemos los valores de x.
(x + 3)(x+ 5): nueva área de la sala.
La nueva área es el doble de la primera, así
que planteamos la ecuación:
Respuesta: Los números buscados son 3 y 7.
(x + 3)(x+ 5) = 2 g x (x + 3)
Comprobación:
x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Efectuamos las
multiplicaciones
3 + 7 = 10
32 + 72 = 9 + 49 = 58
x2 – 2x2 + 8x – 6x + 15 = 0
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros
mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y
el largo aumenta 2m, el área se duplica. Halle el
área original de la sala.
Solución:
En este caso, si hay diferencia entre largo
y ancho, así que hay que tener cuidado con la
asignación y sobre todo, con la interpretación de
la variable x.
Este problema permite fácilmente que la x se
coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo
o ancho.
Así que supongamos:
x: ancho de la sala // El largo es 3 metros
mayor que el ancho, así que:
x + 3: largo de la sala // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x (x + 3): área de la sala (Estos son los datos
iniciales)
y reducimos
términos
semejantes
–x2 + 2x + 15 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
Multiplicamos por
–1 ambos lados
–15 = 3 g –5
aplicamos el
método de
inspección
–2 = 3 + – 5
(x + 3)(x – 5) = 0
x + 3 = 0 ó x – 5 = 0
Aplicamos el
principio
x = – 3 ó x = 5
agb=0↔a=0 ó
b=0
Observando las dos soluciones x = – 3 y x = 5,
tenemos que la solución x = – 3 se debe desechar,
puesto que x es el ancho de la sala y no puede
ser negativo.
288
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Entonces la solución x = 5, debe ser el ancho
original.
Así que x + 3 = 5 + 3 = 8 metros debe ser el
largo.
Por lo tanto, el área original es 8 m g 5m = 40 m2.
Problema 3
x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2 Desarrollamos cada
cuadrado utilizando
la primera fórmula
notable: (a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
x2 – x2 – x2 + 4x – 2x + 4 – 1 = 0 Reducimos términos
semejantes
–x2 + 2x + 3 = 0
Calcular la medida de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de
sus lados son tres números consecutivos.
x2 – 2x – 3 = 0
Multiplicamos por –1
a ambos lados.
( x + 1)(x – 3) = 0
Factorizamos
por el método de
inspección.
Solución
Podemos ayudarnos de un dibujo para plantear
este problema
¡Hágalo usted!
x + 1 = 0 ó x – 3 = 0
x = –1
a • b = 0 ↔ a = 0 ó b=0
Como x = –1 no es una de las respuestas,
puesto que las medidas no son negativas; tenemos
que la medida de uno de los catetos es 3, el otro
es 4 y la medida de la hipotenusa es 5.
Sean:
x: un primer cateto
Respuesta: La medida de la hipotenusa es 5.
x + 1: el segundo cateto
Recuerde las medidas de sus lados son tres
números consecutivos
x + 2: la hipotenusa
Considerando el Teorema de Pitágoras tenemos:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
ó x = 3
Aplicamos el principio
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa
al cuadrado es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
Problema 4
Cada graduado de un grupo de noveno año
escribe la dirección de los demás alumnos de
su aula. Si en total se copian 600 direcciones,
¿cuántos alumnos tiene el grupo?
Solución:
Sea n el número de alumnos del grupo.
289
n – 1 el número de direcciones que
escribirá cada alumno.
600 el número total de direcciones.
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
El número de alumnos por el número de direcciones es igual a 600
n(n – 1) = 600
x–9=0óx+7=0
x = 9 ó x = –7
Resolvemos cada
ecuación
n2 – n = 600
n2 – n – 600 = 0
Dejamos por fuera la respuesta x = – 7 porque
la edad de David no puede ser – 7 años.
(n – 25)(n + 24) = 0
n – 25 = 0 ó n + 24 = 0
n = 25 ó n = – 24
Lógicamente dejamos por fuera la respuesta
n = – 24, puesto que no es posible, luego se dice
que el grupo tiene 25 alumnos.
Luego tenemos que la edad de David será 9
años y por consiguiente la edad de Fernando es
x – 2 = 7 años.
ACTIVIDAD 3
Problema 5
David es dos años mayor que Fernando y la
suma de los cuadrados de ambas edades es de
130 años. Hallar ambas edades.
Solución
1. Hallar tres números impares consecutivos, tales
que si al cuadrado del mayor se le restan los
cuadrados de los otros dos se obtiene como
resultado 7.
Siendo x: la edad de David
Entonces x – 2: la edad de Fernando
Según el problema:
x2 + ( x – 2)2 = 130
Utilizamos para
desarrollar (x – 2)2
x2 + x2 – 2(x)(2) + 22 = 130
La fórmula notable:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
2 x2 – 4x + 4 – 130 = 0
Reducimos términos
semejantes y
dividimos por dos a
ambos lados
Respuesta:
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de
su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre
será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años
tiene ahora cada uno.
x2 – 2x – 63 = 0
(x – 9)(x + 7) = 0
Factorizamos
por inspección y
aplicamos Respuesta:
a • b = 0 ↔ a = 0 ó b=0
290
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Si al triple de un número se suma su cuadrado
se obtiene 88. ¿Cuál es el número?
7. El número de diagonales de un polígono de n
n(n − 3)
lados está dado por D =
2
Encontrar el polígono que tiene 54 diagonales.
Respuesta:
4. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido
en el doble del número resultan 10 unidades
más del séptuplo del número.
Respuesta:
Respuesta:
8. La suma de los primeros n números
n(n + 1)
naturales es S =
2
¿Cuántos números naturales consecutivos
comenzando con el 1 suman 1275?
5. Halle dos números cuya suma es 32 y su producto es 255.
Respuesta:
9. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado más su
triple es igual a 40?
Respuesta:
6. ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo
rectángulo que se indica en el dibujo, sabiendo
que las dimensiones dadas están en metros?.
Respuesta:
10. El producto de dos números consecutivos positivos es 210. ¿Cuáles son esos números?
Respuesta:
Respuesta:
291
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1
A. Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada.
1. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
2. Halle dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 145.
Respuesta:
3. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la
suma de ambos. ¿De qué número se trata?
Respuesta:
4. Calcule los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide 2 cm más
que la altura.
Respuesta:
292
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm2. Halle los catetos de este
triángulo.
Respuesta:
6. Si se duplica el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
Respuesta:
7. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en 2 cm, el área del
nuevo rectángulo será 60 cm2. Halle los lados del rectángulo.
Respuesta:
8. El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcule sus dimensiones.
Respuesta:
293
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Escriba las siguientes ecuaciones de segundo grado ordenada de acuerdo con la expresión general:
ax2 + bx + c = 0
a) 3x • (x + 4) = x2 – 5x + 3
b) (x – 3)2 + 1 = 2x – 5
c) 4x2 – 3x = 2x2 + 7x
d) (4x – 8) • (6x – 3) = 0
294
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las funciones cuadráticas son utilizadas en
algunas disciplinas como por ejemplo, Física,
Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para
describir movimientos con aceleración constante,
trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de
empresa, variación de la población de una determinada especie de ser vivo y que responde a un
tipo de función, y a obtener así información sin
necesidad de recurrir a la experimentación.
Cada uno de estos elementos y comportamientos de la parábola pueden ser identificados y nos
permitirán construir su gráfica hallar su expresión
algebraica y además obtener información de la
función en general.
La magnitud del coeficiente principal nos va a
dar información sobre el lado recto y hacia dónde
abre la parábola.
Además de estas características geométricas de
la parábola, tenemos que existen otras aplicaciones,
como en los espejos parabólicos de los faros de los
carros, en los telescopios astronómicos. Los radares
y las antenas para radioastronomía y televisión por
satélite, presenta también ese tipo de diseño.
Gráficas de funciones cuadráticas
Cuando iniciamos el estudio de las funciones
y en especial de las funciones cuadráticas, las
representamos en la forma tabular, gráfica y algebraicamente. Se identificaron situaciones dadas y
que pueden ser expresadas algebraicamente en
la forma y = ax2 + bx + c.
Recordemos que las gráficas de todas las
funciones cuadráticas son parábolas. El eje de
simetría de todas las parábolas son paralelas al
eje Y, donde el signo del coeficiente de x2 en la
función y = ax2 + bx + c determina la concavidad
de su gráfica.
Eje de
simetría
La parábola abre
hacia arriba
Cero de
la función
Cero de
la función
Lado recto
Vértice de la parábola
Coeficiente
principal
Efecto en la parábola
a<1
Longitud de lado recto mayor
a>1
Longitud de lado recto menor
a<–1
Longitud de lado recto menor
a>–1
Longitud de lado recto mayor
Positivo
Abre hacia arriba
Negativo
Abre hacia abajo
Veamos las siguientes gráficas:
Ejemplo 1
La función yA = 5x2 tiene un coeficiente principal a = 5, es decir, es mayor que uno y positivo.
Por lo tanto, su gráfica tendrá una longitud de
lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá
hacia arriba.
1 2
La función y B = x tiene un coeficiente princi2
1
pal a = , es decir, es menor que uno y positivo,
2
295
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor
(estará más abierta) y también abrirá hacia arriba.
Además de la forma general ó polinómica de
la función cuadrática y = ax2 + bx + c, donde la
parábola queda definida por los parámetros "a",
"b" y "c", existe la llamada "forma canónica" que a
menudo es más útil, pues nos permiten determinar
las coordenadas del vértice (h, k) utilizando las
b
4ac − b2
.
expresiones h = −
y k=
2a
4a
y
6
5
4
3
YA = 1 x2
2
2
1
-4
-3
-2
-1
YB= 5x2
0 1
2
Forma canónica o estándar de la
función cuadrática
3
Además se tiene que el factor "a" como lo
vimos anteriormente define la forma de la curva.
x
4
Ejemplo 2
La función yC = – 3(x – 2)2 + 4 tiene un coeficiente principal a = – 3, es decir, es menor que
menos uno y negativo. Por lo tanto, su gráfica
tendrá una longitud de lado recto menor (estará
más cerrada) y abrirá hacia abajo.
1
(x – 2)2 + 4 tiene un coefi3
1
ciente principal a = – , es decir, es mayor que
3
menos uno y negativo, lo que indica que tiene una
longitud de lado recto mayor (estará más abierta)
y también abrirá hacia abajo.
La función yD = –
Cuando estudiamos las expresiones algebraicas transformamos ecuaciones de la forma
y = ax2 + bx + c a la forma y = a(x + h)2 + k, esto
lo realizamos considerando el método de completar
cuadrados.
Ejemplos
1. Transformar la función y = x2 + 14x + 60 a su
forma canónica o estándar.
Solución:
y = x2 + 14x + 60
Como a = 1, b = 14, c = 60
b
4ac − b2
tenemos que
h= −
y k=
2a
4a
y
h= −
4
d
2
3
YD = - 1 (x-2)2+4
3
2
-3
-2
-1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
14
= −7
2 •1
7
x
4 (1) ( 60 ) − (14 ) 240 − 196
4ac − b2
=
=
= 11
k=
4 (1)
4a
4
La forma canónica corresponde a
y = 1 • (x + 7)2 + 11
Siempre se debe escribir dentro del paréntesis el valor opuesto del valor h obtenido.
Yc= -3(x-2)2 +4
-3
296
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Para comprobar nuestro resultado simplemente
invertimos el proceso:
y = 1 • (x + 7)2 + 11
y = 1 • (x + 14x + 49) + 11
y = x2 + 14x + 49 + 11
y = x2 + 14x + 60
En conclusión, la forma estándar de
y = x2 + 14x + 60 es y = 1 • (x + 7)2 + 11
Solución:
y = – x – 8x – 23
y = – (x2 + 8x + 23)
y = – x2 – 8x – 23
En conclusión, la forma estándar de
y = – x2 – 8x – 23 es y = –1 • (x + 4)2 – 7
Solución:
y = – x2 + x + 6
Como a = –1, b = 1, c = 6
b
4ac − b2
h= −
k=
tenemos que
2a
4a
h= −
Como a = 1, b = 8, c = 23
b
4ac − b2
h= −
y k=
2a
4a
– x2 – 8x – 23 =
–1 • (x2 + 8x + 23)
2
tenemos que
2
3. Transformar la función y = – x2 + x + 6 a su
forma canónica o estándar.
8
8
h= −
= = −4
2 •1 2
y = –x2 –8x –16 – 7
2
2. Transformar la función y = – x2 – 8x – 23 a su
forma canónica o estándar.
4 (1) ( 23) − ( 8 )
4ac − b2
=
k=
4 (1)
4a
2
4 ( −1) ( 6 ) − (1)
4 ( −1)
=
− 24 − 1 − 25 25
=
=
−4
−4
4
La forma canónica corresponde a
1⎞
25
⎛
y = −1• ⎜ x − ⎟ +
⎝
2⎠
4
92 − 64
=
=7
4
k=
1
1 1
=−
=
2 • −1
−2 2
2
Para comprobar nuestro resultado simplemente
invertimos el proceso:
2
1⎞
25
⎛
y = −1• ⎜ x − ⎟ +
⎝
2⎠
4
La forma canónica corresponde a
y = –1 • (x + 4)2 – 7
2
1⎞
25
⎛
y = −1• ⎜ x 2 − x + ⎟ +
⎝
4⎠
4
1 25
y = −x 2 + x − +
4 4
2
y = −x + x + 6
No olvidemos que el –1 es factor común
del trinomio cuadrado.
Para comprobar nuestro resultado simplemente
invertimos el proceso:
y = –1 • (x + 4)2 – 7
y = –1 • (x2 + 8x + 16) – 7
297
En conclusión, la forma estándar de
2
1⎞
25
⎛
2
y = – x + x + 6 es y = −1• ⎜ x − ⎟ +
.
⎝
2⎠
4
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Forma factorizada de la función
cuadrática
2. Transformar la función y = 6x2 – 13x – 5 a su
forma factorizada.
Una tercera forma de expresión de una función
cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres
parámetros que definen a la parábola son las dos
raíces x1 y x2 (cuando son reales y distintas) y el
coeficiente cuadrático "a".
Solución:
y = 6x2 – 13x – 5
Haciendo uso del método de factorización por
inspección Caso 2 ya estudiado anteriormente,
y considerando que a = 6, tenemos que:
5⎞ ⎛
1⎞
⎛
y = 6•⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟
⎝
⎝
⎠
2
3⎠
Forma factorizada
de la parábola
➠
y = a(x – x1)(x – x2)
Es natural aceptar esta forma de expresión de
la función cuadrática, pues se verifica que cuando
"x" toma el valor de las raíces x1 y x2 la función
“y” se anula. Además tiene el coeficiente "a" que
define la forma de la curva. Quedando definida la
forma y los dos ceros de la función, la parábola
queda totalmente definida.
Solución:
y = x2 – 3x – 28
Haciendo uso del método de factorización por
inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente,
y considerando que a = 1, tenemos que:
y = 1 • (x – 7)(x + 4)
En conclusión, la forma factorizada de
y = x2 – 3x – 28 es y = 1 • (x – 7)(x + 4)
5⎞ ⎛
1⎞
⎛
y = 6x2 – 13x – 5 es y = 6 • ⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟
⎝
⎝
⎠
2
3⎠
3. Transformar la función y = – x2 + 9x – 8 a su
forma factorizada.
Solución:
y = – x2 + 9x – 8
Haciendo uso del método de factorización por
inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente,
y considerando que a = –1, tenemos que:
y = –1 • (x – 8)(x – 1)
En conclusión, la forma factorizada de
y = x2 – 3x – 28 es y = –1 • (x – 8)(x – 1)
Ejemplos
1. Transformar la función y = x2 – 3x – 28 a su
forma factorizada.
En conclusión, la forma factorizada de
Las tres formas una función cuadrática
Forma
Expresión
Parámetros
Polinómica
y = ax2 + bx + c
a, b, c
Canónica
y = a(x + h)2 + k
a, h, k
Factorizada y = a(x – x1) • (x – x2)
298
a, x1, x2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplo
Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = ax2 + bx + c
y = a(x – x1)(x – x2)
y = a(x + h)2 + k
Nos permite visualizar la
ordenada al origen
Nos permite visualizar las
raíces de la función
Nos permite visualizar las
coordenadas del vértice v(– h, k)
Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = –2x2 + 8x – 6
y = –2(x – 1)(x – 3)
y = –2(x – 2)2 + 2
ACTIVIDAD 1
1. Si f(x) = 2x2 – 8x + 5, exprésela de la forma
f(x) = a(x – h)2 +k
2. Encuentre la ecuación estándar de la parábola
y = – x2 – 3x + 6
3. Encuentre la ecuación estándar de las siguientes parábolas.
Trazo de la gráfica de una
función cuadrática cuyo
criterio es y = ax2 + bx + c
La forma más sencilla de trazar una función
cuadrática es tabulando.
Esto es hacer un cuadro en donde se le dé
varios valores a x (la variable independiente) para
obtener y (la variable dependiente) y así con varios pares de coordenadas ubicar los puntos en
un plano para trazar la gráfica de la función.
Por ejemplo: y = x2 – 4x + 3
Vamos a tabular, asignándole valores a x, para
ser reemplazados en la función y así obtener el
valor de y, los cuales son los valores de f(x), y así
obtener el par de coordenadas:
a) y = 3 x2 + 6x –2
b) y = 2 x2 – 8x– 4
c) y = – 3x2 + 9x– 7
d) y = – 4x2 – 8x + 3
y = x2 – 4x + 3
x
y
0
3
a) y = – x2 + 6x – 8
1
0
b) y = x2 + 4x
2
–1
c) y = – x2 + 1
3
0
4
3
4. Dadas las siguientes funciones cuadráticas,
exprese en las restantes formas.
d) y = 2(x – 2)(x + 3)
e) y = –2(x – 4) + 8
2
299
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Al llevar estos pares de coordenadas a la
gráfica se obtiene:
y
6
5
4
3
d2
Ordenada 2
al origen
1
Ahora vamos a interpretar las curvas que nacen
de la función y = ax².
d2
Eje de simetría
x= Xv
d1
0
1
resultante es la homotecia de ésta, es decir, es
otra transformación geométrica en el plano porque
cumple que las parejas de puntos homotéticos están
alineados a un centro O y además los segmentos
homotéticos son paralelos. Además, es obvio, que
del mismo modo que ésta se mueve, su expresión
algebraica también sufre esos cambios.
Pero antes…
d1
2
3
Vértice V (Xv, Yv)
4
5
6
7
8
9 x
Traslación vertical Ceros X1 y X2
Como podemos observar de la gráfica anterior,
las parábolas siempre tienen algunas características o elementos bien definidos dependiendo de
los valores de la ecuación que la generan.
Si realizamos una traslación vertical de una
función, la gráfica se moverá de un punto a otro
punto determinado en el sentido del Eje Y, es decir,
hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo:
tOrientación o concavidad (ramas o brazos)
y
tPuntos de corte con el eje de las abscisas
(raíces o ceros)
Función original
tPuntos de corte con el eje de las ordenadas
tEje
Traslación
hacia arriba
Traslación
hacia abajo
de simetría
tVértice
x
Apoyado en lo anterior vamos a realizar el
trazo de funciones cuadráticas en cualquiera de
sus formas: polinómica, canónica o factorizada.
Una de las cosas que queremos descubrir aquí
es el hecho de “que tiene que ver el cambio que
puede sufrir una gráfica en relación al cambio en
la función algebraica”.
Es claro que si decimos que una función se
mueve un poco hacia arriba o hacia abajo o bien
hacia los lados sufre una translación. La figura
Traslación horizontal
Si realizamos una traslación horizontal de
una función, la gráfica se moverá de un punto a
otro punto determinado en el sentido del Eje X, es
decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.
300
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplos
Ejemplo:
1. La gráfica de la función cuadrática: y = x2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es: Función original
y
y
x
Traslación hacia
la izquierda
Traslación hacia
la derecha
Las traslaciones tanto verticales como horizontales, están ligadas al concepto de incremento o decremento de un valor constante (que
denominaremos c), por lo cual son únicamente
en forma de suma o diferencia, y se expresan
matemáticamente de la siguiente forma:
Operación sobre
la función
y = f(x)
Traslación de una función con c > 0
x
Observemos a continuación, cómo es afectada
la gráfica cuando sumamos o restamos una
constante a la variable independiente (x) o a
la variable dependiente (y).
i. Gráfica de y = x2 + 1: La gráfica de esta función
se traslada una unidad hacia arriba.
Función original
y
y = f(x + c)
Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la
izquierda.
6
y = f(x – c)
Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la
derecha.
y = f(x) + c
Se traslada en forma vertical
"c" unidades hacia arriba.
3
y = f(x) – c
Se traslada en forma vertical
"c" unidades hacia abajo.
7
5
4
2
1
-3
301
-2
-1
0
1
2
3
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ii. Gráfica de y = x2 – 1: La gráfica de la parábola
se traslada una unidad hacia abajo.
y
2. Graficar la función: y = (x – 1)2 + 2
7
6
Solución: Según lo visto anteriormente, el
gráfico corresponde a una traslación de la
gráfica de la parábola y = x2, un lugar a la
derecha y dos unidades hacia arriba. 5
y
4
7
3
6
2
5
1
-3
-2
-1
4
0
1
2
x
3
3
-1
2
1
iii. Gráfica de y = (x – 1) : La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la derecha. 2
y
0
1
2
x
3
-1
c) ¿Cuál es el punto de intersección con el eje y
de la gráfica trasladada?
x
3
-1
iv. Gráfica de y = (x + 1) 2: La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la izquierda.
y
b) ¿Cuál es la expresión algebraica?
Solución:
y
7
7
6
6
5
5
4
4
2
eje de simetría
y = (x-2)2+3
Vértice (2,3)
2
eje de simetría f(x) = x2
1
1
0
Función trasladada 2 unidades hacia
la derecha y 3 unidades hacia arriba
3
f (x) = x2
Función original
3
-1
2
b) Indique en la misma gráfica: el vértice inicial,
el vértice posterior a la traslación, el eje de
simetría de la gráfica original, el eje de simetría
de la gráfica posterior a la traslación.
1
-2
1
a) ¿Cuál es la representación gráfica?
2
-3
0
5
3
-1
-1
6
4
-2
-2
3. Trasladar la función f (x) = x2, dos unidades
a la derecha y 3 unidades hacia arriba.
7
-3
-3
1
2
3
-4
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
302
2
3
Vértice (0,0)
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
a) Gráficamente.
IMPORTANTE
c) El punto de intersección con el Eje y es (0,7),
Toda función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c se
puede expresar de la forma y = f(x) = a(x – h)2 + k.
La gráfica de esta última función es una traslación
de la gráfica f(x) = ax2, desplazada “h” unidades
horizontalmente, derecha o izquierda, y “k” unidades verticalmente, arriba o abajo.
puesto que:
y = (x – 2)2 + 3
y = (0 – 2)2 + 3
y = (2)2 + 3 = 7
d) Algebraicamente
5. Representar gráficamente la parábola de la
ecuación y = 2x2 – 8x + 7.
4. Graficar la función: y = (x + 2)2 + 3.
Solución:
El vértice de esta función estará ubicado en la
coordenadas (– 2, 3)
Solución:
Estas funciones se pueden representar mediante traslaciones solo que expresándolas
de la forma y = a(x – h)2 + k.
y = 2x2 – 8x + 7
y = 2(x2 – 4x) + 7 sacamos el factor 2 (coeficiente del término ax2)
y = 2(x2 – 4x + 4) – 8 + 7 dentro del paréntesis
sumamos el 4 pero afuera
Ponemos un – 8
por el factor 2.
y = 2(x – 2) 2 – 1
Observe que la gráfica de y = 2x2 – 8x + 7 =
2(x – 2) 2 – 1 es la parábola obtenida al trasladar
la función y = 2x2 de modo que su vértice sea
el punto (2, –1).
y
y
7
y = 2x2
6
6
5
4
4
3
(-2, 3)
2
2
1
-4
-3
-2
-1
-4
1
2
3
x
-2
0
-2
303
2
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Un resultado importante
y
2
y = 2x2- 8x+7
La forma de una parábola depende única y
exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir,
cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene
la misma forma que la parábola y = ax2.
6
4
2
-4
-2
0
-2
y = 2x2 -16x+35
y = 2x2
2
4
(2,-1)
8
x
6
ACTIVIDAD 2
4
(4,3)
1. Represente por traslación las siguientes funciones:
2
a) y = x2 + 3
-2
2
4
6
b) y = x2 – 2
c) y = (x + 1)2
TRABAJO INDIVIDUAL 1
d) y = (x – 4)2
2. Represente por traslación las siguientes funciones:
1. Obtenga el vértice y la ecuación del eje de
simetría de las siguientes parábolas:
a) y = (x – 1)2 + 1
a) y = (x + 1)2 + 3
b y = 3(x – 1)2 + 1
b) y = (x – 4)2 – 2
c) y = 2(x – 1)2 – 3
c) y = (x + 1)2 – 3
d) y = (x + 4)2 – 2
d) y = – 3(x – 2)2 – 5
e) y = x2 – 7x – 18
f) y = 3x2 + 12x – 5
304
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Identifique el eje de simetría para cada una de
las siguientes gráficas.
c) y = 2(x – 1)2 + 1
a) y = 2(x + 2)2 – 3
b) y = (x – 3)2 + 1
1
c) y = − (x + 5)2 − 8
2
3. Dibuje en la cuadrícula la gráfica de la función
y = 2x2 y a partir de ella obtenga las siguientes
gráficas.
a) y = 2x2 – 3
b) y = 2(x + 3)2
d) y = 2(x + 1)2 + 3
4. Halle el vértice y la ecuación del eje de simetría
de las siguientes parábolas.
a) y = – 4(x + 7)2 – 1
b) y = 6(x – 12)2 + 14
c) y = 3(x – 1)2 + 4
Observe
eje de simetría es la recta que pasa por el
vértice de una parábola que la divide en dos
mitades congruentes.
tEl
305
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene
el eje de simetría x = h.
tLa
La intersección con el eje de las abscisas (eje
horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0
en la función:
h(t) = 10t – 5t2
0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 – t)
t1 = 0 ó t2 = 2
Interpretando físicamente lo anterior, podemos
afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del
objeto es cero, es decir, está en el suelo.
Por otro lado, se puede observar en el gráfico en t = 1 segundo se encuentra la máxima
altura, y si reemplazamos t = 1 en la función,
obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 – 12 = 5 m
Este punto donde se alcanza el valor máximo
de la función se denomina vértice de la parábola.
tLa función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c
donde
a,b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola
tiene las siguientes propiedades:
−b
El eje de simetría es la recta x =
.
2a
⎛ −b ⎛ −b ⎞ ⎞
El vértice es el punto ⎜ , f ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟ .
⎝ 2a
2a ⎠
El punto de intersección con el eje Y es C.
Aplicaciones de
las funciones cuadráticas
1. Una de las aplicaciones de la función cuadrática, consiste en determinar la altura h(t)
que alcanza un objeto después de transcurridos t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo: h(t) = v 0 t −
1 2
gt
2
Si suponemos que la velocidad inicial es 10
m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces
la altura es: h(t) = 10t – 5t2.
Si graficamos esta función para algunos valores
para t, obtenemos: t
0
1
1,5
2
h(t)
0
5
3,75
0
2. Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la función
1
f(x) = − x 2 + 2x + 4 .
12
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la
pelota?
b) ¿A qué distancia horizontal del punto de
lanzamiento alcanzó la altura máxima?
h(t)
5
c) ¿Cuál es el valor máximo de la función f.
3,75
0
1
1,5
2
Solución:
Expresamos la función f en la forma estandar.
t
306
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
f(x) = −
f(x) = −
1 2
x + 2x + 4
12
1
24
• 24 =
=2
12
12
1 2
x − 24x + 4
12
(
3. Encontrar la fórmula de la función cuadrática
f cuya gráfica se muestra a continuación. )
10
2
8
⎛ 24 ⎞
2
⎜⎝ ⎟⎠ = 12 = 144
2
6
1 2
f(x) = −
x − 24x + 122 − 122 + 4
12
(
f(x) = −
)
2
1 2
1
x − 24x + 144 − • ( −144 ) + 4
12
12
(
)
1
f(x) =
( x − 12 )2 + 12 + 4
12
f(x) =
4
−
-5 -4
1
144
• −144 =
= 12
12
12
-3
-2
-1
-2
1
Solución: Hay varios métodos para responder a la pregunta anterior, pero todos ellos tienen una idea
en común: es necesario comprender y luego
seleccionar la información correcta de la gráfica 1
( x − 12 )2 + 16
12
Método 1: La representación gráfica de f es
y
20
18
La gráfica tiene dos raíces o ceros en el Eje X
(– 3,0) y (– 1,0) y interseca al Eje Y en (0,6). Las coordenadas del Eje X se pueden usar
para escribir la ecuación de la función f como
sigue: f (x) = a (x + 3) (x + 1) Como la intersección con el Eje Y es (0,6)
sabemos que f (0) = 6 6 = a (0 + 3) (0 + 1) = a(3)(1) = 3a
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
x
Observando la gráfica podemos indicar que:
a) Como la función representa la altura que viaja
la pelota, su altura máxima es k = 16.
b) La distancia horizontal del punto de lanzamiento
que alcanzó la altura máxima es x = h = 12.
a=
6
=2
3
La fórmula para la función cuadrática f es dado
por: f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2 x2 + 8 x + 6 Método 2
c) El valor máximo de la función f se alcanza en
el punto (12, 16).
307
La parábola tiene un vértice en (– 2, –2) y la
intersección con el Eje Y en (0,6). La forma
estandar (o vértice) de una función cuadrática
f puede escribirse así: f (x) = a (x + 2)2 – 2.
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como tenemos que f(0) = 6
6 = a (0 + 2)2 – 2 = 4a – 2 – 4a = 6 + 2 ↔
4a = 8 ↔ a = 2
La fórmula para la función cuadrática f es dado
por: f (x) = 2 (x + 2)2 – 2 = 2x2 + 8x + 6
2. En la parábola siguiente se tiene que su punto
1
mínimo es ⎛⎜ , − 16⎞⎟ . Si la intersección en el
⎝2
⎠
Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática?
A) f(x) = – 4 x2 – 4x – 63 B) f(x) = 4 x2 – 4x – 63
TRABAJO INDIVIDUAL 2
C) f(x) = – 4 x2 + 4x – 63 D) f(x) = 4 x2 + 4x – 63
1. En la parábola siguiente se tiene que su punto
máximo es (–1,49). Si la intersección en el
Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática?
3. Una parábola tiene que su punto mínimo en
(3, – 5) y la intersección en el Eje Y en –2 ¿Cuál
es la ecuación de la parábola?
40
30
20
10
x
-10
0
-10
-20
-30
-40
A) f (x) = – 9 x2 –18x + 40 B) f (x) = 9 x2 –18x + 40 C) f (x) = – 9 x2 + 18x + 40 2 2
x − 4x − 2
3
1
B) f(x) = x 2 − 2x − 2
3
1
C) f(x) = x 2 − x − 2
6
7
14
D) f(x) = x 2 − x + 2
9
3
A) f(x) =
10
4. Una compañía de investigación de mercados
estima que n meses después de la introducción
de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo
usarán, en donde
D) f (x) = 9 x2 + 18x – 40 f(n) =
10
n• (12 − n), (0 ≤ n ≤ 12)
9
Estime el número máximo de familias que
usarán el producto.
Respuesta:
308
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre
ratas que fueron alimentadas con una dieta que
contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando
el porcentaje P de levadura de la mezcla de
proteína se estimó que el peso medio ganado
en gramos de una rata en un periodo fue
f(P) =
b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad?
Respuesta:
c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?
Respuesta:
−1 2
P + 2P + 20 (0 ≤ P ≤ 100)
50
8. Un delfín toma impulso y salta por encima de
la superficie del mar siguiendo la ecuación
y – x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo
del mar (en metros) y x el tiempo empleado
en segundos.
Encontrar el máximo peso ganado.
Respuesta:
6. La cotización en bolsa de las acciones de la
empresa va a seguir en 2016, aproximadamente la evolución siguiente f(t) = 342 + 39t – 3t2,
donde t es el tiempo en meses.
a) Calcule cuándo sale a la superficie y cuándo
vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.
Respuesta:
a) ¿En qué mes alcanza la máxima cotización?
Respuesta:
b) ¿Cuánto duró el salto?
Respuesta:
b) Calcule el porcentaje de beneficios que habrá
obtenido.
Respuesta:
7. El número de personas atacadas cada día por
una determinada enfermedad viene dada por
la función f(x) = – x2 + 40x + 84, donde x representa el número de días transcurridos desde
que se descubrió la enfermedad. Calcule:
9. La empresa de servicio tiene costos variables
por mantenimiento del edificio, dada por la
función C(x) = 60 000 + 5x2 – 1000x y costos
fijos de 60 000.
a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día?
Respuesta:
¿Cuántas personas se necesitan hospedar
para minimizar los costos?
Respuesta:
309
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
10. Un fabricante determina que su ingreso "R" obtenido por la producción y venta de "x" artículos
está dada por la función: R(x) = 350x – 0,25x2.
a) Calcule el ingreso cuando se venden 100
artículos.
b) Si el ingreso obtenido es de ¢120 000, determine la cantidad de artículos vendidos.
Respuesta:
11. Supongamos que la temperatura de un cierto
día de la ciudad de San José luego de t horas
pasada la media noche está dada por la función:
1
T(t) = − t2 + 4P + 10 o
4
a) Graficar la temperatura en función del tiempo.
b) ¿Cuál fue la temperatura a las 2 de la mañana.
c) ¿A qué hora la temperatura fue máxima?
Respuesta:
12. Las temperaturas entre las 0 hs y las 2 hs
en una zona rural se ajustan por la función
1
2
T(x) = − ( x − 12 ) + 10 , donde T es la tem10
peratura en ºC y "x" es la hora del día.
a) ¿Cuál fue la temperatura máxima?
b) ¿A qué hora del día se registró?
c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de la
tarde?
Respuestas:
13. El arco de un puente que cruza un río, se adapta
1
a la función cuadrática h(x) = − x ( x − 20 )
20
donde "h" es la altura del arco y "x" es el ancho
del río, ambos en metros.
a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el
arco?
b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará
el puente la altura máxima?
c) Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla?
Respuestas:
310
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS
ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABLIDAD
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Variables cuantitativas
1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas.
t
Discretas
t
Continuas
Distribuciones de frecuencia
t
Clases o intervalos
t
Frecuencia absoluta
t
Frecuencia relativa y porcentual
t
Representación tabular
t
Representación gráfica
3
Histogramas
3
Polígonos de frecuencia
2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas.
3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos
en clases o intervalos.
4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la
elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia
absoluta y relativa (o porcentual).
5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de
distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos
cuantitativos.
6. Resumir la información proporcionada por una distribución
de frecuencias mediante un histograma o un polígono de
frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas.
7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de
frecuencia y sus representaciones gráficas.
Muestras aleatorias
1.
Probabilidad frecuencial
2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no
puede ser determinada empleando el concepto clásico.
t
Estimación de probabilidad:
empleo de la frecuencia relativa
(concepto frecuencial o empírico)
t
Introducción a la ley de los grandes números
Identificar la importancia del azar en los proesos de
muestreo estadístico.
3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los
cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado.
4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que
están vinculadas con evento seguro, probable e imposible
también son válidas para la identificación frecuencial.
5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia
relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad
clásica conforme el número de observaciones aumenta.
6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios
dentro del contexto estudiantil.
311
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
312
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Estadística
Continuamos con la unidad Estadística y probabilidad en el libro de
Matemática Zapandí 2016 con la definición de algunos conceptos elementales y básicos, y sin embargo pilares, para una comprensión intuitiva y real
de lo que es la Estadística. Se pretende introducir al estimado estudiante
en los primeros pasos sobre el uso y manejo de datos numéricos: distinguir
y clasificar las características, enseñarle a organizar y tabular las medidas
obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por último los
métodos para elaborar una imagen que sea capaz de mostrar gráficamente
unos resultados (histogramas y polígonos de frecuencia)
El aserto “una imagen vale más que mil palabras” se puede aplicar al
ámbito de la estadística descriptiva diciendo que “un gráfico bien elaborado
vale más que mil tablas de frecuencias” Cada vez es más habitual el uso de
gráficos o imágenes para representar la información obtenida. No obstante,
debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar gráficos, puesto que
una misma información se puede representar de formas muy diversas, y no
todas ellas son pertinentes, correctas o válidas.
Nuestro objetivo, consiste en establecer los criterios y normas mínimas
que deben verificarse para construir y representar adecuadamente los gráficos
en el ámbito de la estadística descriptiva.
313
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
314
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
Cuando coloquialmente se habla de estadística,
se suele pensar en una relación de datos numéricos
presentada de forma ordenada y sistemática. Esta
idea es la consecuencia del concepto popular que
existe sobre este término y que cada vez está más
extendido debido a la influencia de nuestro entorno,
ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio
de difusión, bien sea el periódico, la radio, la televisión y otros no nos aborde diariamente con cualquier
tipo de información estadística sobre accidentes de
tráfico, índices de crecimiento de población, turismo,
tendencias políticas, etc.
Sólo cuando nos adentramos en un mundo más
específico como es el campo de la investigación, por
ejemplo, de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, etc. se empieza a percibir que la
Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte
en la única herramienta que, hoy por hoy, permite
dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios,
en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y
relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan
ser abordados desde la perspectiva de las leyes
deterministas. Podríamos, desde un punto de vista
más amplio, definir la estadística como la ciencia que
estudia cómo debe emplearse la información y cómo
dar una guía de acción en situaciones practicas que
entrañan incertidumbre.
La Estadística se ocupa de los métodos
y procedimientos para recoger, clasificar,
resumir, hallar regularidades y analizar los
datos, siempre y cuando la variabilidad e
incertidumbre sea una causa intrínseca
de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad
de ayudar a la toma de decisiones y en
su caso formular predicciones.
Podríamos por tanto clasificar la Estadística
en descriptiva, cuando los resultados del análisis
no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e
inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar
las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos
más amplio.
Estadística descriptiva:
Describe, analiza y representa un grupo de
datos utilizando métodos numéricos y gráficos
que resumen y presentan la información contenida
en ellos.
Estadística inferencial:
Apoyándose en el cálculo de probabilidades y
a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones,
decisiones, predicciones u otras generalizaciones
sobre un conjunto mayor de datos.
Conceptos básicos sobre estadística
Anteriormente en los libros de Matemática
Térraba y Matemática Ujarrás 2016 conocimos y
estudiamos estos conceptos, aquí nuevamente vamos a repasarlos debido a que haremos referencia
continuamente de estos a lo largo del desarrollo
de las siguientes páginas.
Población, elementos y variables estadísticas
Es obvio que todo estudio estadístico ha de
estar referido a un conjunto o colección de personas
o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo
que denominaremos población.
315
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Las personas o cosas que forman parte de la
población se denominan elementos. En sentido
estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo
más abstracto como la temperatura, un voto, o un
intervalo de tiempo.
A su vez, cada elemento de la población tiene
una serie de características que pueden ser objeto
del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos
distinguir en ella los siguientes caracteres:
Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso,
Altura, Color de pelo, Etc.
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos
cualidades o caracteres que se llaman variables
estadísticas.
Variables estadísticas
Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo
que los podemos clasificar en: dos grandes clases:
a) Variables cuantitativas
Las variables cuantitativas son las que se
describen por medio de números.
Por ejemplo
El peso, la altura, la edad, número de hijos
posibles: 0, 1,2, 3, 4, 5,…
A su vez este tipo de variables se puede dividir
en dos subclases:
t
Cuantitativas discretas.Son aquellas que
pueden tomar solo ciertos valores en un intervalo, de manera que no admite un valor
intermedio entre dos valores consecutivos fijos,
por ejmplo el número de hermanos, páginas
de un libro, etc.
t
Cuantitativas continuas: Son las variables
que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente, ellas admiten cualquier
valor de rango numérico determinado (edad,
peso, talla).
La población puede ser según su tamaño de
dos tipos:
t
Población finita: el número de elementos que
la forman es finito, por ejemplo el número de
alumnos de una escuela primaria.
t
Población infinita: el número de elementos
que la forman es infinito, o tan grande que
pudiesen considerarse infinitos. Como por
ejemplo si se realiza un estudio sobre lo productos que hay en el mercado. Hay tantos y
de tantas cualidades que esta población podría
considerarse infinita.
Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un
subconjunto de la misma al que se llama muestra,
es decir, un determinado número de elementos de
la población.
No obstante en muchos casos el tratamiento
hace que a variables discretas las trabajaremos
como si fueran continuas y viceversa.
b) Variables cualitativas
Las variables cualitativas son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras,
es decir, no le podemos asignar un número.
Por ejemplo
1. Supongamos que en una urna tenemos 20
bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de
316
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
color blanco. Sacamos una bola al azar, esto
es sin mirar la urna. Si suponemos que la
variable es “el color de la bola extraída de la
urna”. Entonces los valores posibles de esta
variable son el extraer {rojo, azul, blanco}.
2. El grupo sanguíneo tiene por modalidades:
grupo sanguíneo A, grupo sanguíneo B, grupo
sanguíneo AB y grupo sanguíneo O.
ACTIVIDAD 1
1. Diga de las variables siguientes cuáles representan datos discretos y cuales datos continuos.
A. Censos anuales realizados por el INEC
(Instituto Nacional de Estadística y Censo)
3. Si estudiamos el grado de recuperación de un
paciente al aplicarle un tratamiento, podemos
tener como modalidades:
B. Temperaturas registradas del cráter del
Volcán Arenal cada hora en una estación
sismográfica.
Grado de recuperación: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno.
C. Longitud de 20 000 llaves producidas en
una fábrica.
A veces se representan este tipo de variables
en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor
en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas con estas
cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el
doble que otro de intensidad 2!
D. Número de jabones vendidos en uno de
los supermercados en el Cantón de Aserrí.
E. Las medidas de los diámetros de los tornillos producidos en un día en una fábrica.
F. Las alturas de los estudiantes de una
escuela.
G. El número de hijos en cada una de las
familias que integran la Escuela Manuel
Hidalgo Mora de Aserrí.
IMPORTANTE
Si la variable estadística es continua,
y hay muchos valores entre sí, que
en algunos casos se repiten, es conveniente agrupar estos valores de la
variable estadística en intervalos para
poder manejar la información de forma
más cómoda. Para ello dividimos todos
los valores de la variable estadística
en n partes iguales, y cada uno de
los intervalos obtenidos se les llama
intervalo de clase. La marca de clase
(xi) es el punto medio de los intervalos
de clase.
2. Diga qué tipo de variables son:
A. X = Los países de Centroamérica.
B. T = Número de libros en uno de los estantes en la recepción de ICER.
C. L = Número de litros de agua en una piscina.
D. M = El radio de un circulo.
E. Ñ = El número de pedacitos de lotería
vendidos cada día por Don Alejandro.
317
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Indique si estamos tomando una muestra o
toda la población en cada caso:
d) Estatura de los recién nacidos en Costa Rica
durante el último año.
a) Para hacer un estudio sobre el número de
hermanos de los estudiantes del nivel Zapandí
del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a
los estudiantes del Zapandí C.
­­­­­­­­­­­­­­­­
b) Para hacer un estudio sobre el número de
hermanos y hermanas de los estudiantes del
nivel Zapandí C del Liceo de Aserrí, se pregunta
para esto a cada uno de los estudiantes de la
clase.
5. Clasifique cada una de las siguientes variables
en cualitativas o cuantitativas. Si son cuantitativas clasifíquelas a su vez en discretas o
continuas.
a) ocupación
b) zona de residencia
c) peso
4. Diga en cada una de las siguientes situaciones,
cuál es la variable y de qué tipo es (cualitativa,
cuantitativa discreta o cuantitativa continua):
a) Tiempo de espera para entrar en la consulta
de un médico.
d) altura
e) número de automóviles que ha poseído
f) número de hermanos
b) Color favorito.
g) número de empleados de una fábrica
c) Número de veces al mes que van al cine los
estudiantes de la Escuela de Barrio Corazón
de Jesús de Aserrí.
h) peso en kg de los recién nacidos en un día en
la provincia de Limón.
318
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tabla de distribución de frecuencia
1. Rango o amplitud total (recorrido)
A menudo en una investigación se recogen
grandes cantidades de datos numéricos. Cuando
esto ocurre es difícil visualizar un orden o estructura
que ayude a analizarlos. Para lograrlo es necesario
condensar los datos en grupos de acuerdo a ciertas
divisiones de la recta numérica (intervalos o clases).
Es el límite dentro del cual están comprendidos todos los valores de la serie de datos, en
otras palabras, es el número de diferentes valores
que tome la variable en un estudio o investigación
dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una
variable y el valor mínimo que ésta toma en una
investigación cualquiera.
El rango es el tamaño del intervalo en el cual
se ubican todos los valores que pueden tomar los
diferentes datos de la serie de valores, desde el
menor de ellos hasta el mayor estando incluidos
ambos extremos. El rango de una distribución de
frecuencia se designa con la letra R.
Intervalo de clase: Intervalos empleados
en las tablas de frecuencias estadísticas,
capaz de contener diversas medidas de
una variable. Consta de un límite inferior
(Li) y un límite superior (Ls).
Otro punto importante que el estadista debe
definir, es la cantidad de intervalos de clase que
empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad
de intervalos no deberían ser muchos, debido
a que no se cumpliría el objetivo de resumir la
información, y no tan pocos intervalos, ya que se
perdería mucha información.
Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Observe:
El rango R gráficamente se puede interpretar
de la manera siguiente:
Aunque con esta agrupación la información
inicial sobre cada dato individual se pierde, es
más fácil visualizar rápidamente las características
principales del grupo total de datos.
La frecuencia de un intervalo es el número de
datos que corresponden a ese intervalo.
Una distribución de frecuencia es una tabla en
la que aparecen todos los intervalos y las frecuencias de datos correspondientes a cada intervalo.
Esta agrupación de datos numéricos por intervalos
o clases se llama una distribución de frecuencia
porque en ella se indica cuan frecuentemente
aparecen datos en cada intervalo.
Aspectos importantes que se deben tener
en cuenta cuando se crea una distribución de
frecuencia
2. Clase o intervalo de clase
Son divisiones o categorías en las cuales
se agrupan un conjunto de datos ordenados con
características comunes. En otras palabras, son
fraccionamientos del rango o recorrido de la serie
de valores para reunir los datos que presentan
valores comprendidos entre los límites.
319
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Para organizar los valores de la serie de datos
hay que determinar un número de clases que sea
conveniente. En otras palabras, que ese número
de intervalos no origine un número pequeño de
clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza de los valores y
un número muy alto puede provocar demasiados
detalles como para observar alguna información
de gran utilidad en investigación.
Se recomienda que en una distribución de
frecuencia no haya más de 15 ni menos de 5
intervalos.
No existe una fórmula, ni unos principios únicos
para establecer el número de intervalos. Cuando
sea necesario estableceremos el número de intervalos NC calculando la raíz cuadrada del total de
elementos considerados en el estudio.
En este libro de Matemática Zapandí 2016,
agruparemos los datos de variable continuas
en clases o intervalos que incluyen todos los
valores desde un número dado hasta otro
número pero excluyendo a este número.
Además aquí optaremos por manejar un
número de intervalos solo entre 5 y 15.
b)
120 – bajo 130
8
5
130 – bajo 140
6
Lo representaremos así:
Peso
100 – 120
120 – 130
130 – 140
Frecuencia
5
8
6
En el ejemplo anterior 100 es el límite inferior
y 120 es el límite superior del primer intervalo.
Número de intervalos (Nc): Cantidad de
intervalos con los cuales se compone una
tabla de frecuencia.
4. Tamaño de los intervalos de clase
3. Límites de los intervalos
El límite inferior de un intervalo corresponde al
valor mínimo que puede incluirse en el intervalo. El
límite superior de un intervalo corresponde al valor
máximo que puede incluirse o no en el intervalo.
Por ejemplo:
Puntuaciones
200 – 299
300 – 399
400 – 499
Frecuencia
100 – bajo 120
Nc = n
a)
Peso
Los intervalos de clase pueden ser de tres
tipos según el tamaño que estos presentan en una
distribución de frecuencia:
a) clases de igual tamaño
b) clases desiguales de tamaño
c) clases abiertas
Frecuencia
2
8
6
5. Amplitud de los intervalos (A)
Se refiere al tamaño que debe tener cada
intervalo de clase.
En el ejemplo anterior 200 es el límite inferior
y 299 es el límite superior del primer intervalo.
Para determinar la amplitud (A) de los intervalos
de una distribución se divide la amplitud o alcance
320
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
de la distribución: Rango (R) entre el número de
intervalos (Nc).
R
A=
Nc
Las edades de los alumnos fueron:
17
21
24
23
21
19
El conjunto de intervalos debe incluir todos
los datos.
No debe haber traslapo de intervalos.
17
18
19
20
22
19
19
27
25
29
21
23
19
21
24
21
20
20
31
22
24
19
20
21
Construya una tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas que resuma los
resultados obtenidos.
6. Distribución de frecuencia absoluta
En la tabla de frecuencia absoluta (fi) se señala,
para cada intervalo o clase, la cantidad de datos
cuyos valores pertenecen al intervalo.
Solución:
PASO 1: Ordenamos la información en forma
creciente
17
19
20
21
22
24
7. Distribución de frecuencia relativa
La frecuencia relativa (hi) es la razón que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de un intervalo
entre el número total de datos en la distribución.
t
La frecuencia relativa (hi) se puede expresar
como una proporción o como un por ciento.
t
La distribución de frecuencia relativa (hi) es
esencial para comparar datos de dos distribuciones diferentes.
t
Si la frecuencia relativa (hi) del intervalo se
multiplica por 100 se obtiene el por ciento
correspondiente a dicho intervalo.
Esto es la frecuencia porcentual (%).
Ejemplo 1
Un sondeo realizado en la facultad de Administración de una universidad del país sobre 30 alumnos
del sexto semestre de Administración Industrial,
pretende mostrar que edad es la más representativa.
18
19
20
21
23
27
19
19
21
21
24
29
19
20
21
22
24
31
PASO 2: Determinar el número de intervalos
(Nc)
Como tenemos 30 datos vamos a calcular la
raíz cuadrada de este número ( Nc = n )
Nc = n
(Nc =
30 = 5,477 ≅ 6 intervalos)
Se debe siempre aproximar el número de
intervalos al entero más próximo, recordando
que este valor no será menor a 5, ni un valor
mayor a 15. Nuestra tabla estará constituida
por seis intervalos.
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
Antes de hallar el ancho de los intervalos de
clase, debemos calcular el rango (R) como
primera medida.
Observando la tabla tenemos que el termino
menor es 17 y el mayor 31 (R = 31 – 17 = 14).
Por lo general, en las publicaciones no especializadas, se utiliza más la frecuencia porcentual
(%) que la frecuenica relativa (hi).
Sin embargo esta se obtiene luego de haber
calculado la frecuencia relativa.
17
19
20
21
23
25
321
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho:
R 14
A=
=
Nc 6
A = 2,333
El ancho se debe ajustar para trabajar con el
mismo número de decimales que en el conjunto
de datos tratados. Como los datos son valores
enteros, aproximamos al entero superior
Ni Li Ls
1
Ni Li Ls
1
El ajuste del ancho no podrá ser menor al valor
obtenido inicialmente.
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).
En el momento de realizar el ajuste del ancho del
intervalo, el rango se incrementa automáticamente.
Este “Nuevo Rango” lo denotaremos como R’:
2
R’ = A • Nc
R’ = 3 • 6 = 18
Ni
18 21
Li
Ls
1
15 18
3
21 24
4
5
6
18 21
24 27
27 30
30 33
IMPORTANTE:
R’ = A • Nc
El rango se incremento en cuatro años. El
incremento se le sumará al valor Máximo (Xmax’)
o se restará al valor Mínimo (Xmin’). En este
caso optaremos por aumentar el valor Máximo
y reducir el valor Mínimo en dos.
Incremento = R’ – R = 18 – 14 = 4
(Xmax’) = 31 + 2 = 33
Observe que esta primera distribución presenta algunos inconvenientes al momento
de repartir las frecuencias a cada intervalo
de clase, por ejemplo, existen 6 personas
del total de encuestados que tienen una
edad de 21 años, los cuales podrían ser
clasificados en el intervalo dos o en el tres.
Ni
(Xmin’) = 17 - 2 = 15
15 18
•
•
•
Seguimos realizando este proceso hasta alcanzar el valor máximo:
2
Nuevo Rango ( R’): rango que es convenido por el ancho de los intervalos a
los decimales que son manejados en los
datos objeto del estudio. Su cálculo se
realiza multiplicando el ancho ajustado
por el número de intervalos:
15 18
El segundo intervalo parte del límite superior
del intervalo anterior
A ≅3
Con los valores máximos y mínimos, y el ancho,
podremos armar cada intervalo de clase. El
primer intervalo parte del valor mínimo, al cual
le agregamos el ancho.
PASO 5: Determinar los intervalos de clases
iniciales.
322
2
3
Li
Ls
18 21
21 24
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Este caso se le conoce como el “Problema de
la Ambigüedad”, y el cual debe ser solucionado antes de terminar la tabla de frecuencia.
En este libro de Matemática Zapandí 2016
realizaremos lo siguiente:
Se trabajan con intervalos cuyos límites
superiores e inferiores tendrán un decimal
adicional sobre el número de decimales
manejados en los datos.
Estimado estudiante.
Este procedimiento de conteo, lo estudiamos en el libro de Matemática Térraba
2016.
Por ejemplo, si el Límite Superior del primer
intervalo es 21 y los datos trabajados son
valores enteros, el nuevo límite superior será
21,1. Si los datos trabajan con un decimal, el
nuevo Límite Superior sería 21,01.
Si posee alguna duda ahí puede volver a
repasarlo.
Ni
El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el
último límite Superior (Valor Máximo) se
mantendrán sin modificación.
Li
2
18,1 21,1
3
21,1 24,1
Ls
18,1
21,1
24,1
27,1
30,1
33,0
24,1 27,1
//
//// //
27,1 30,1
/
30,1 33,0
/
PASO 8: La columna de frecuencias absolutas
se completa de acuerdo al conteo obtenido en
el PASO 7.
Li
Ls
1
15,0 18,1
3
21,1 24,1
4
5
6
323
///
//// //// //// /
2
Conteo
18,1 21,1
Ni
PASO 6: Determinar los intervalos de clases
reales.
Li
15,0
18,1
21,1
24,1
27,1
30,1
21,1 24,1
6
Las seis personas que tienen 21 años quedarían registradas en el intervalo número 2.
Ni
1
2
3
4
5
6
3
5
Ls
15,0 18,1
4
Ls
Li
1
2
El problema quedaría solucionado de la siguiente manera:
Ni
PASO 7: Cuando ya se tiene definidos quienes
son los intervalos reales, por conteo, y ayudándonos con la tabla obtenida en el PASO 1, obtenemos la frecuencia absoluta de cada intervalo
de clase, o sencillamente clase.
fi
3
18,1 21,1
16
24,1 27,1
2
27,1 30,1
30,1 33,0
Total
7
1
1
30
Observe que el número total de datos corresponde a 30.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 9: La columna de frecuencias relativas
se completa de acuerdo a la información obtenida en el PASO 8.
Recuerde que la frecuencia relativa de cada
clase se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el número total de datos, en este
caso N = 30.
Ni
1
2
3
4
5
6
Li
15,0
18,1
21,1
24,1
27,1
30,1
Ls
fi
hi
18,1 3 3 ÷ 30 = 0,10
21,1 16 16 ÷ 30 = 0,53
24,1 7 7 ÷ 30 = 0,23
27,1 2 2 ÷ 30 = 0,07
30,1 1 1 ÷ 30 = 0,03
33,0 1 1 ÷ 30 = 0,03
Total 30
1,00
Li
15,0
18,1
21,1
24,1
27,1
30,1
Sabemos que el total de los datos N es igual
al total de observaciones, luego N = 200.
a) Calculemos h1
de la primera clase,
Ls
fi
hi
18,1 3 0,10
21,1 16 0,53
24,1 7 0,23
27,1 2 0,07
30,1 1 0,03
33,0 1 0,03
Total 30 1,00
c) Calculemos h3
0
10
60
20 30
30
40 50
n5
10 20
30 40
total
n2
0,40
n4
0,10
N = 200
h3
h5
Como n4 corresponde a la frecuencia absoluta
del cuarto intervalo de clase,
n4
= 0,10
200
n2 = 200 • 0,10
n4 = 20
hi
h1
Como h3 corresponde a la frecuencia relativa
del tercer intervalo de clase,
d) Calculemos n4
Calcular los datos que faltan en la siguiente
tabla:
fi
Como n2 corresponde a la frecuencia absoluta
del segundo intervalo de clase,
n2
= 0,40
200
n2 = 200 • 0,40
n2 = 80
2. Ejemplo de cálculo con frecuencias
Li Ls
Como h1 corresponde a la frecuencia relativa
b) Calculemos n2
PASO 10: Respuesta: la tabla de frecuencias
absolutas, frecuencias relativas es la siguiente:
Ni
1
2
3
4
5
6
Solución:
e) Calculemos n5
n5 corresponde a la frecuencia absoluta del
quinto intervalo de clase, puesto que
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n1 = 60,
n2 = 80, n3 = 30, n4 = 20
324
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
se tiene que 60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200
fi
, resultado
N
de dividir la frecuencia absoluta entre
el total de la población.
t
190 + n5 = 200
n5 = 200 – 190
n5 = 10
Frecuencia relativa hi =
f) Calculemos h5
h5 corresponde a la frecuencia relativa del
quinto intervalo de clase, puesto que
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 donde h1 = 0,30,
h2 = 0,40; h3 = 0,15, h4 = 0,10
se tiene que
0,30 + 0,40 + 0,15 + 0,10 + h5 = 1,00
0,95 + h5 = 1,00
h5 = 1,00 – 0,95
h5 = 0,05
La tabla completa corresponde a
Li Ls
0
fi
hi
10
60
0,30
20 30
30
0,15
10 20
80
30 40
40 50
total
20
10
N = 200
0,40
0,10
0,05
Recuerde:
Tablas de datos
Tabular datos consiste en confeccionar una
tabla en la que aparecen bien organizados
los valores de la variables que se están
estudiando, junto con otros datos que
ahora explicamos:
t
Frecuencia absoluta fi es el número de
individuos que toma cada valor.
Representaciones gráficas
Hemos visto que la tabla de distribución de
frecuencias resume los datos que disponemos de
una población, de forma que ésta se puede analizar
de una manera más sistemática y resumida. Para
darnos cuenta de un solo vistazo de las características de la población resulta aún más esclarecedor
el uso de gráficos y diagramas, cuya construcción
abordamos en Matemática Ujarrás 2016.
Gráficos para variables cuantitativas
Para las variables cuantitativas, se consideran dos tipos de gráficos, en función de que para
realizarlos se usan las frecuencias (absolutas o
relativas o porcentuales) a saber:
Diagramas diferenciales: Son aquellos en
los que se representan frecuencias absolutas o
relativas (porcentuales). En ellos se representa el
número o porcentaje de elementos que presenta
una modalidad dada.
Diagramas integrales: Son aquellos en los
que se representan el número de elementos que
presentan una modalidad inferior o igual a una
dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y
es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido
para variables cualitativas.
325
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas.
Los histogramas son una forma sencilla de
mostrar datos que se han recolectado para
su análisis, a partir de hojas de verificación
u hojas de registro, o simplemente a partir
de registros convencionales de datos.
Veamos a continuación las diferentes representaciones gráficas que se pueden realizar para
cada una de ellas así como los nombres específicos
que reciben.
Estimado estudiante:
El objetivo básico de un histograma es transmitir
la información de forma tal que pueda ser captada
rápidamente, de un golpe de vista. Luego, un
histograma debe ser ante todo sencillo y claro, a
pesar de su aspecto artístico, ya que se elabora
para ser incluido en un trabajo científico.
Según hemos visto existen dos tipos de
variables cuantitativas: discretas y continuas. En el libro de Matemática Zapandí
2016 sólo vamos a considerar el tipo
de gráficos para variables continuas en
función de que para realizarlos se usen
las frecuencias (absolutas, relativas o
porcentuales) los cuales corresponden a
los diagramas diferenciales.
Este tipo de gráfico se usa para representar
una distribución de frecuencias de una variable
cuantitativa continua.
Método de elaboración del histograma
1. Obtener una muestra y los valores de la variable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es
recomendable utilizar una hoja de registros.
Construcción y análisis de
histogramas
En muchas ocasiones la información proporcionada en una tabla de distribución de frecuencias es tan singular o importante que se decide
presentar esos resultados de forma gráfica.
Cuando se decide utilizar el gráfico, este sustituye a la tabla, no la complementa. Por ello no se
deben tener tantos gráficos como tablas. Como
se presenta sólo uno de los dos se acostumbra
reflejar la información numérica en el gráfico para
que no sea necesaria la tabla correspondiente.
Incluso, un número innecesariamente grande
de gráficos le puede restar lucidez al trabajo en
lugar de proporcionarle calidad o rigor científico.
Se debe lograr un balance entre estas dos formas
de presentación de resultados.
2. Calcular el rango o amplitud de los datos
(diferencia entre el mayor y el menor de los
datos).
3. Determinar el ancho de cada intervalo que
servirá para construir el histograma. Se obtiene dividiendo el rango calculado en el paso
R
anterior en el número de intervalos: c =
.
Nc
4. A cada barra corresponde un intervalo de clase
o “clase”.
326
Es recomendable que el histograma tenga de
5 a 15 barras. Una buena aproximación del
número de intervalos aconsejable se obtiene
calculando la raíz cuadrada del número de
datos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Se aconseja que el tamaño o amplitud de
intervalo tenga un grado de aproximación no
mayor a aquel con el que se registran los datos.
t
Los histogramas pueden estar referidos a las
frecuencias absolutas, a las frecuencias relativas o porcentuales.
5. Establecer los límites o fronteras de cada clase,
es decir, los valores de inicio y terminación de
cada intervalo.
El análisis de sus características nos puede conducir a diferentes conclusiones acerca de la población
de la cual se ha tomado la muestra en estudio.
6. Construir la tabla de frecuencias. La tabla de
frecuencias se puede construir de diferentes
formas pero hay que tener en cuenta que el
primer intervalo debe contener el menor de los
datos y el último el mayor. Asimismo, la presentación de los datos en la tabla de frecuencias no
debe generar confusiones acerca del intervalo
que contiene cada dato. En lo posible, todos
los intervalos deben tener el mismo ancho.
Ejemplo 1
7. Es usual que en la primera columna se registre
el número de orden de cada clase, en la segunda se escriban los intervalos, en la tercera
las marcas de clase en la cuarta las frecuencias absolutas y en la quinta las frecuencias
relativas.
8. Graficar el histograma. En lo posible dar una
presentación tal que la altura sea aproximadamente ¾ del ancho de la gráfica.
El histograma de frecuencias en sí es una
sucesión de rectángulos construidos sobre un
sistema de coordenadas cartesianas de la manera
siguiente:
t
t
t
Las bases de los rectángulos se localizan en
el eje horizontal, Eje X. La longitud de la base
es igual al ancho del intervalo.
En una Clase de Matemática se pesan todos
los estudiantes para realizar una práctica de estadística. Los datos obtenidos se resumen en la
siguiente tabla y están expresados en kg.
66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51
58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61
62 60 56 55 62 65
Calcule:
a) El tamaño de la población.
b) Construya una tabla estadística asociada con
intervalos de amplitud de 3 kg.
c) Construya el histograma de frecuencias absolutas asociado a esta tabla.
d) Construya el histograma de frecuencias relativas asociado a esta tabla.
Solución:
a) El tamaño de la población es 30.
b) Para construir una tabla estadística de distribución absoluta o simple en intervalos de
amplitud 3 kg necesita
PASO 1. Se ordenan los datos de la tabla de
valores en forma creciente. Ver tabla siguiente:
Las alturas de los rectángulos se registran
sobre el eje vertical, Eje Y y corresponden a
las frecuencias de las clases.
49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58
Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases.
66 66 68 69 69 72
327
59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
El Valor inferior es 49 y el Valor superior es
72.
PASO 2: Construimos los intervalos con una
amplitud de 3 kg (este es un dato previo), así,
no olvidemos que el valor inferior es 49 y el
valor superior es 72.
Intervalos
49 - 52
Intervalos
49 - 52
52 – 55
55 – 58
58 – 61
61 – 64
64 – 67
n
n
55 – 58
5
58 – 61
6
61 – 64
5
64 – 67
5
67 – 70
3
70 – 73
1
Total
30
Recuerde que para obtener las frecuencias
relativas debemos realizar la división de la
frecuencia absoluta entre el total de datos, en
este caso es N = 30.
Frecuencia
Frecuencia
49 - 52
2
2 ÷ 30 = 0,067
52 - 55
3
3 ÷ 30 = 0,100
55 - 58
5
5 ÷ 30 = 0,167
58 - 61
6
6 ÷ 30 = 0,200
61 - 64
5
5 ÷ 30 = 0,167
64 - 67
5
5 ÷ 30 = 0,167
67 - 70
3
3 ÷ 30 = 0,100
70 - 73
1
1 ÷ 30 = 0,033
Total
30
1,00
Intervalos
Los datos 53 53 54 están en el intervalo 52 – 55, observe que el 55 queda
afuera, recuerde, antes se combino para
este libro de Matemática Zapandí 2016
que el extremo superior del intervalo no
es un valor de este.
n
3
Los datos 49 51 están en el intervalo
49 – 52.
Los datos 55 56 56 57 57 están en
el intervalo 55 – 58.
.
.
.
Procediendo de igual manera completamos la
siguiente tabla con las frecuencias absolutas.
52 – 55
PASO 4. De igual manera, observando la tabla
de valores del PASO 1 y la tabla de frecuencias
absolutas construidas en el PASO 3, podemos
construir la columna de frecuencias relativas
de los intervalos de clase.
70 – 73
PASO 3. Observando la tabla de valores
del PASO 1 y los intervalos construidos en el
PASO 2, podemos construir la columna de frecuencias absolutas de los intervalos de clase.
2
67 – 70
Frecuencia
absoluta
328
absoluta
relativa
Importante: Cuando el propósito de la tabla
que estamos creando es construir un polígono
asociado a ella, necesitamos la columna de las
marcas de clase o puntos medios de los interva-
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2
0,067
52 – 55
3
0,100
55 – 58
5
0,167
58 – 61
6
0,200
61 – 64
5
0,167
64 – 67
5
0,167
67 – 70
3
0,100
70 – 73
1
0,033
49 + 52
= 50,5
2
52 + 55
= 53,5
2
55 + 58
= 56,5
2
58 + 61
= 59,5
2
61+ 64
= 62,5
2
64 + 67
= 65,5
2
67 + 70
= 68,5
2
70 + 73
= 71,5
2
TABLA 1: Peso (en kg) de los estudiantes
de una clase de Matemática
49 - 52
52 – 55
55 – 58
58 – 61
61 – 64
64 – 67
67 – 70
70 – 73
Total
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
2
3
5
6
5
5
3
1
30
0,067
0,100
0,167
0,200
0,167
0,167
0,100
0,033
1,000
Observe:
Habitualmente se representa la frecuencia
observada en el Eje Y, esto es, la información
reunida en la columna de las frecuencias absolutas, la escala vertical o Eje Y generalmente
comienza en cero.
Frecuencia
absoluta
2
3
5
6
5
5
3
1
30
Realizando lo anterior, tenemos que la tabla de
frecuencias estadística asociada es la siguiente:
Intervalos
Marcas
relativa
49 – 52
c) El histograma de frecuencias absolutas asociado
a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente:
de clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
Intervalos
los. Para las marcas de clase solo se necesita
la columna de los intervalos. Pero como todo
está junto, la vamos a colocar después de la
columna de las frecuencias relativas.
Marcas
de clase
50,5
53,5
56,5
59,5
62,5
65,5
68,5
71,5
En el Eje X, se coloca la variable, usualmente
miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien,
los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal, el Eje X o escala horizontal puede iniciarse
con cualquier número adecuado que convenga
como punto de partida para iniciar clases.
La escala del eje correspondiente a la variable se rotula con los límites inferiores de notación
de las clases consideradas y se agrega al final el
que le correspondería a una clase subsiguiente
inexistente. En este caso, las frecuencias deben
resultar proporcionales no a la altura de las barras,
sino al área de las mismas, lo que significa que la
obtención de las alturas de las barras resulta un
poco más compleja que en los gráficos anteriores.
329
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
En el Eje X, se coloca la variable, usualmente
miden la amplitud de los intervalos de clase, o
bien, los límites de cada clase aparecen en el eje
horizontal.
Frecuencia absoluta
Gráfico 1:
Histograma de frecuencias absolutas
Peso (en kg) de los estudiantes de una clase
de Matemática
Escala 3 : 2
Frecuencia relativa
Gráfico 2:
Histograma de frecuencias relativas porcentuales
Peso (en kg) de los estudiantes de una clase
de Matemática
Peso (kg)
Recuerde:
Un histograma se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado
por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de
los intervalos y el centro de cada intervalo
es la marca de clase, que representamos
en el eje de las abscisas, Eje X. La altura
de cada rectángulo es proporcional a la
frecuencia del intervalo respectivo.
Escala 3 : 2
Ejemplo 2:
d) El histograma de frecuencias relativas asociado
a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente.
El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias absolutas de las edades de
30 obreros de una fábrica, observe que en el eje
horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos
el extremo inferior y el extremo superior de los
distintos intervalos de clase y en el eje vertical o
Eje Y, la frecuencia absoluta.
Observe, en el Eje Y, se coloca la información
reunida en la columna de las frecuencias relativas expresadas en porcentajes.
Frecuencia
Relativa (%)
6,7
10,0
16,7
20,0
16,7
16,7
10,0
3,3
100,0
Gráfico 3:
Histograma de frecuencias absolutas
Edades (años) de los obreros de una fábrica
Frecuencia absoluta
Peso (kg)
Edades (años)
330
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplo 3:
El siguiente dibujo corresponde a un histograma
de frecuencias relativas o porcentuales de las edades
de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje
horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el
extremo inferior y el extremo superior de los distintos
intervalos de clase y en el Eje vertical o Eje Y, la
frecuencia de los datos dados en porcentajes.
Gráfico 4:
Histograma de frecuencias relativas o porcentuales
Edades (años) de los obreros de una fábrica
con los histogramas: histograma de frecuencias
absolutas e histogramas de frecuencias relativas,
también se tiene polígonos de frecuencias absolutas y polígonos de frecuencias relativas.
Ejemplo 1:
El siguiente polígono que construiremos es un
polígono de frecuencias absolutas.
Consideremos la Tabla 2 sobre la velocidad
(kg/h) en una zona escolar:
Li
Ls
Frecuencia relativa
2,0 6,1
6,1 10,1
10,1 14,1
14,1 18,1
18,1 22,1
22,1 26,1
26,1 30,0
Total
Polígonos de frecuencia
Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables
cuantitativas continuas, pero como no se utilizan
barras en su confección sino segmentos de recta,
de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se
usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución o una clasificación
cruzada de una variable cuantitativa continua con
una cualitativa o cuantitativa discreta, ya que por
la forma de construcción del histograma sólo se
puede representar una distribución.
Marcas
de clase
4,1
8,1
12,1
16,1
20,1
24,1
28,1
PASO 1: Para crear el polígono de frecuencias
absolutas primero se debe crear el histograma de
frecuencias absolutas de acuerdo a la Tabla 2 anterior:
Observe que ya lo tenemos construido, usted
debe seguir todos los pasos que ya estudiamos
anteriormente.
Para su confección, una vez construidas y rotuladas las escalas, de manera a como se realiza
para un histograma, los valores de alturas obtenidos
se marcan sobre el punto medio o marca de clase
de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta.
Para elaborar un polígono de frecuencia partimos de una tabla de frecuencia dada. Al igual que
331
Gráfico 5:
Histograma de frecuencias absolutas
Velocidad (km/h) en zona escolar
Frecuencia absoluta
Edades (años)
Frecuencia
absoluta
12
15
21
24
21
12
8
113
Velocidad (km/h)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 2: Trazar los segmentos de recta entre
los puntos medios de los techos de columnas
contiguas, partiendo desde el punto de origen (0,0)
hasta el punto final definido en el eje horizontal
t
El punto con mayor altura representa la mayor
frecuencia.
t
Suelen utilizarse para representar tablas de
datos agrupados.
Gráfico 5.1:
Polígono e histograma de frecuencias absolutas
Velocidad (km/h) zona escolar
t
El área bajo la curva representa el 100% de
los datos.
t
El polígono de frecuencia está diseñado para
mantener la misma área de las columnas.
Frecuencia absoluta
Consideremos la siguiente porción de un gráfico cualquiera para probar la anterior afirmación.
“El polígono de frecuencia está diseñado
para mantener la misma área de las columnas”.
Velocidad (km/h)
PASO 3: Nuestro polígono de frecuencias sin
el histograma quedaría de la siguiente forma:
Frecuencia absoluta
Gráfico 5.2:
Polígono de frecuencias absolutas
Velocidad (km/h) zona escolar
Observe que cada línea corta una porción de la
columna, pero a su vez, agrega una porción adicional.
Ambas porciones son iguales (triángulos rectángulos
iguales), manteniendo el área global en el gráfico.
Velocidad (km/h)
Características de los polígonos de frecuencias
t
No muestran frecuencias acumuladas
t
Se prefiere para el tratamiento de datos cuantitativos.
332
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
IMPORTANTE:
Solución:
Para representar el polígono de frecuencias en
el primer y último intervalo, suponemos que adyacentes a estos rectángulos existen otros intervalos
de la misma amplitud y frecuencia nula, que se unen
por una línea recta a los puntos del histograma
correspondiente a las marcas de clase. Observe
el dibujo siguiente, el polígono de frecuencias tiene
en común con el histograma el que las áreas de las
gráficas sobre un intervalo son idénticas. Considere
ambas gráficas diferenciales representadas en la
parte superior de la figura siguiente:
PASO 1: Para construir un polígono de frecuencias, se debe construir primero el histograma
de frecuencias absolutas, no olvide, debemos
suponer un rectángulo al inicio y adyacente a los
obtenidos, también al final de los rectángulos con
frecuencias nulas. Gráfico 7:
Histograma de frecuencias absolutas
Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Gráfico 6:
Histograma y polígono de frecuencias absolutas
Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante
el mes de mayo en el Hospital de la Mujer
Peso (kg)
10
PASO 2: En el histograma construido, marcamos los puntos medios de los rectángulos, incluyendo los adyacentes a los dibujados de acuerdo
con la tabla de frecuencias.
Peso (kg)
Ejemplo 2:
Gráfico 7.1:
Histograma y polígono de frecuencias
Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Considere la Tabla 3 de frecuencias que corresponde al peso en kilogramos de 65 personas adultas:
TABLA 3: Peso en kilogramos
Ejemplo de ilustración
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 – 110
110 – 120
Marcas de
clase
55
65
75
85
95
110
115
Frecuencia
absoluta
8
18
16
14
10
5
2
Total : 65
Frecuencia absoluta
Intervalos
Construir un polígono de frecuencias absolutas.
333
Peso (kg)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 3: La respuesta debe ser dada retirándole
los triángulos y dejando solo los segmentos que
unen los puntos medios de los intervalos de clase.
Frecuencia absoluta
Gráfico 7.2:
Polígono de frecuencias
Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
v
Límites de Clase
v
Marca de Clase
v
Frecuencia de clase
v
Rango o recorrido
v
Frecuencia absoluta
v
Frecuencia relativa
2. Los siguientes puntajes representan el número
de tomates rechazados en un día en un mercado mayorista. Los puntajes corresponden
a 50 días seleccionados aleatoriamente.
29 58 80 35 30 23 88 49 35 97
12 73 54 91 45 28 61 61 45 84
Peso (kg)
83 23 71 63 47 87 36
Recuerde:
28 91 87 15 67 10 45 67 26 19
v
Construya una tabla de frecuencias con 9
clases.
v
Construya un histograma de frecuencias absolutas que corresponde a la tabla anterior.
3. La siguiente tabla registra la temperatura
máxima en una ciudad durante 20 días.
ACTIVIDAD 2
1. Escriba el significado de cada una de las siguientes palabras:
Clase
v
Intervalo de clase
94 26
95 63 86 42 22 44 88 27 20 33
Un polígono de frecuencias es una gráfica
de líneas de una distribución de frecuencias, en donde para el eje horizontal se
anota las marcas de clase y en el eje
vertical la frecuencia absoluta o relativa.
También un polígono de frecuencias puede formarse colocando un punto sobre la
mitad de la cúspide de cada rectángulo del
histograma y luego uniendo dichos puntos
por medio de una línea). Este representa
curvas útiles para describir los datos.
v
8
Temperatura
(°C)
Frecuencia
fi
30 – 32
6
27 – 29
33 – 35
36 – 38
334
2
8
4
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿Cuál es el histograma correspondiente a la
tabla anterior? Seleccionar entre a, b y c.
a)
4. En una clase se pesan todos los alumnos y los
datos obtenidos en kilogramos se resumen en
la siguiente tabla.
66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51
Frecuencia absoluta
58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61
62 60 56 55 62 65
Calcule:
a) El tamaño de la población.
b) Construye una tabla estadística asociada.
Temperatura (°C)
c) Construya el polígono de frecuencias asociado
a esa tabla.
b)
Frecuencia absoluta
5. Organice los datos siguientes en intervalos
de 10 cm desde 150 a 200.Construya una
tabla de frecuencias y elabore un polígono de
frecuencias simple:
171 158 150 185 186 178 166 185 199
183 175 173 175 164 173 178 179 164
176 159 190 173 189 163 156 169
Temperatura (°C)
c)
Resumiendo:
Frecuencia absoluta
El análisis de la distribución de frecuencias en
las variables cuantitativas continuas tiene el interés
de que las categorías mediante las que se ordena
la distribución no viene determinado por la variable,
sino que debe elegirse. El primer paso para construir la tabla de la distribución de frecuencias es
dividir el recorrido (conjunto de posibles valores de
la variable)en clases o intervalos (preferentemente
que no se solapen). Al punto central de cada un de
estos recorridos lo llamaremos marcas de clase
y lo representamos por Mc.
Temperatura (°C)
335
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Categorías
de la variable
Frecuencia
Absoluta
l0, l1
Mc1
n1
…
…
…
lf–1, lj
Mcj
nj
…
…
…
lk–1, lk
Mck
nk
N
Freuencia
Relativa
Intervalo
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Li + Ls
2
donde Li es el límite inferior del intervalo y Ls es
La marca de clase queda fijada por Mc =
el límite superior del intervalo.
n1
N
…
n
hj = 1
N
…
n
hk = k
N
h1 =
Se llama amplitud del intervalo a la
cantidad de unidades del recorrido de la
variable que contiene un intervalo.
1
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Construya una tabla de frecuencia con la siguiente tabla de datos:
96,65
546,56
376,43
358,48
718,43
859,76
705,55
73,16
731,09
118,94
949,14
97,94
835,14
869,57
950,77
461,15
673,45
235,69
353,18
717,34
72,06
146,19
251,83
742,90
167,49
137,28
927,49
831,52
189,10
897,99
992,42
473,74
243,41
174,51
490,94
43,07
170,72
226,96
510,13
722,36
253,90
558,50
919,39
87,95
224,61
136,76
888,39
774,02
56,06
852,44
965,75
784,01
763,32
829,01
SOLUCIÓN
PASO1: Debemos ordenar la tabla de datos en forma creciente
43,07
97,94
170,72
243,41
461,15
673,45
742,90
835,14
919,39
56,06
118,94
174,51
251,83
473,74
705,55
763,32
852,44
927,49
72,06
136,76
189,10
253,90
490,94
717,34
774,02
859,76
949,14
73,16
137,28
224,61
353,18
510,13
718,43
784,01
869,57
950,77
336
87,95
146,19
226,96
358,48
546,56
722,36
829,01
888,39
965,75
96,65
167,49
235,69
376,43
558,50
731,09
831,52
897,99
992,42
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 2: Determinar el número de intervalos
(Nc).
Incremento = R’ – R = 949,36 – 949,35 = 0,01
(Xmax’) = 992,42 + 0,005 = 992,425
Como tenemos 54 datos vamos a calcular la
raíz cuadrada de este número ( Nc = n )
Nc = n
(Nc =
54 = 7,348 ≅ 8 intervalos)
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
Pero antes debemos determinar el rango como
primera medida utilizando
(Xmin’) = 43,07 – 0,005 = 43,065
PASO 5: Determinar los intervalos de clases
iniciales.
Observe con atención lo siguiente:
Xmax = 992,42
Xmin = 43,07
t
La columna Ni nos indica el número del
intervalo o clase, para este caso lo vamos
a incluir, pero no necesariamente se hace
todo el tiempo.
t
El colocar la columna Li y la columna Ls
en algunos casos es relativamente más
cómoda.
t
Seguidamente se dará la información de
los intervalos de clase iniciales en dos
presentaciones, ambas son equivalentes,
usted puede seleccionar la que le parezca
más conveniente.
R = 992,42 – 43,07 = 949,35
Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho:
R 949,35
=
Nc
8
A = 118,67
A=
Ni
El ancho se debe ajustar para trabajar con el
mismo número de decimales que en el conjunto
de datos tratados, son dos decimales.
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).
Como el ancho fue ajustado, se procede a
hallar el nuevo rango (R’).
R’ = A • Nc
R’ = 118,67 • 8 = 949,36
El incremento entre el nuevo rango (R’) y el
rango inicial (R), se reparte entre el valor mínimo y el valor máximo.
Ls
Intervalos
43,065 – 161,735
1 43,065 161,735
161,735 – 280,405
2 161,735 280,405
280,405 – 399,075
3 280,405 399,075
A ≅ 118,67
Li
4
399,075 517,745
5
517,745 636,415
6
636,415 755,085
7
755,085 873,755
8
873,755 992,425
399,075 – 517,745
517,745 – 636,415
636,415 – 755,085
755,085 – 873,755
873,755 – 992,425
PASO 6: Determinar los intervalos de clases
reales.
Observe
El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y el
último límite Superior 992,425 (Valor Máximo)
se deben mantener sin modificación.
337
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como el límite superior del primer intervalo
de los intervalos originales es 161,735 (tiene
tres decimales) para crear el primer intervalo
de clases reales, se debe agregar un cuarto
decimal uno, así: 161,7351 y al límite inferior
del primer intervalo real, siempre manteniéndolo
sin cambios se le agrega un cero, así: 43,0650,
por esto el intervalo en la tabla inicia así:
Ni
1
Li
Ls
Ni
1
2
3
4
5
6
7
8
Para obtener la frecuencia relativa dividimos
el total de los datos por la frecuencia absoluta
de cada intervalo de clase.
Ni
1
2
3
4
5
6
7
8
Estos son los intervalos de clase reales en
dos presentaciones, ambas son equivalentes,
usted puede seleccionar la que le parezca más
conveniente.
Intervalos
43,0650 - 161,7351
161,7351 - 280,4051
280,4051 - 399,0751
399,0751 - 517,7451
517,7451 - 636,4151
636,4151 - 755,0851
755,0851 - 873,7551
873,7551 - 992,4250
Paso 7: Determinar las frecuencias absolutas.
Para obtener la frecuencia absoluta de cada
intervalo de clase, se realiza el conteo de los
datos ubicados en la tabla de datos que pertenecen en dicho intervalo.
54
43,0650 161,7351
Ls
161,7351
280,4051
399,0751
517,7451
636,4151
755,0851
873,7551
992,4250
total
Paso 8: Determinar las frecuencias absolutas,
frecuencias relativas.
Haciendo el mismo procedimiento creamos el
último intervalo de clases reales así:
Ni
Li
1 43,0650
2 161,7351
3 280,4051
4 399,0751
5 517,7451
6 636,4151
7 755,0851
8 873,7551
Ls
fi
161,7351 14
280,4051 7
399,0751 3
517,7451 4
636,4151 2
755,0851 7
873,7551 9
992,4250 8
8 873,7551 992,4250
Li
43,0650
161,7351
280,4051
399,0751
517,7451
636,4151
755,0851
873,7551
Li
Ls
fi
hi
43,0650 161,7351 14 0,26
161,7351 280,4051 7 0,13
280,4051 399,0751 3 0,06
399,0751 517,7451 4 0,07
517,7451 636,4151 2 0,04
636,4151 755,0851 7 0,13
755,0851 873,7551 9 0,17
873,7551 992,4250 8 0,15
total
54 1,00
Paso 9: Determinar las frecuencias absolutas,
frecuencias relativas y marcas de clases.
Para obtener la marca de clase de cada intervalo se suma el límite inferior y el límite superior,
al resultado de esta suma se le divide por dos.
338
Ni
1
2
3
4
5
6
7
8
Li
Ls
fi
hi
MC
43,0650 161,7351 14 0,26 102,40
161,7351 280,4051 7 0,13 221,07
280,4051 399,0751 3 0,06 359,67
399,0751 517,7451 4 0,07 339,74
517,7451 636,4151 2 0,04 577,08
636,4151 755,0851 7 0,13 704,82
755,0851 873,7551 9 0,17 814,42
873,7551 992,4250 8 0,15 933,09
total
54 1,00
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados) a libras de niños
y niñas nacidos en cierto intervalo de tiempo:
4
8 4
6
10 9 7
7
6 4
8
8 9
7
8
6
6
10 8
11
8
7
6 5 10
6
8
7
5
b) A la tabla anterior, vamos a unirle la columna
de las frecuencias relativas.
7 7 8
9 6 3
9
7
4 7 6
9
7
5 6 5
7 10 8 5 7
a) Construir una tabla de distribución de frecuencia
absoluta de estos pesos.
b) Luego encontrar las frecuencias relativas
c) Construir un histograma de frecuencias relativas con los datos de las partes a) y b).
Intervalos
fi
hi
(%)
2,0
4,1
5
10%
4,1
6,1
14
28%
6,1
8,1
21
42%
8,1
10,1
9
18%
10,1,1 12,0
1
2%
Total
50
100
c) Construcción del histograma de frecuencias
relativas
d) ¿Por qué se ha utilizado un histograma para
representar estos datos, en lugar de una gráfica
de barras?
Solución:
a) Antes de comenzar a construir la tabla de frecuencias debemos ordenar los datos en forma
creciente:
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
6
7
9
6
8
9
6
8
9
6
8
9
6
8
9
6
8
6
8
6
8
6
8
7
8
10 10 10 10 11
Vamos a construir una columna con los 5
intervalos de clase reales y amplitud de 2 y la
columna de las frecuencias absolutas.
Intervalos
2,0
4,1
4,1
6,1
6,1
8,1
8,1
10,1
10,1,1 12,0
Total
hi
(%)
d) Interpretación del gráfico: Se puede observar
que la mayor cantidad de niños tuvieron un
peso de 6 a 7 libras.
10%
28%
42%
18%
2%
100
339
Además, se utiliza un histograma en lugar de
un gráfico de barras porque la variable peso es
una variable cuantitativa continua. A los efectos
de facilitar los cálculos se la redondea, pero
su naturaleza igual sigue siendo cuantitativa
continua.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Se tiene la siguiente distribución de frecuencias de los salarios (por 1000 colones) de los
65 obreros de una compañía purificadora de
agua.
C. Construya un histograma de frecuencias relativas.
D. Construya un polígono de frecuencias absolutas.
SALARIOS (por
1000 colones)
NÚMEROS DE
OBREROS
¢50,00 - ¢59,95
8
Solución:
¢60,00 - ¢69,95
10
1. Columna de las frecuencias relativas.
¢70,00 - ¢79,95
16
¢80,00 - ¢89,95
14
¢90,00 - ¢99,95
10
¢100,00 - ¢109,95
5
¢110,00 - ¢119,95
2
E. Construya un polígono de frecuencias relativa.
SALARIOS
(por 1000 colones)
NÚMEROS
FRECUENCIAS
DE
RELATIVAS
OBREROS (En tanto por ciento)
¢50,00 - ¢59,95
8
8
= 0,123 = 12,3%
65
Construya la columna de frecuencias relativas
y la columna de las marcas de clase faltantes
y luego conteste:
¢60,00 - ¢69,95
10
10
= 0,154 = 15,5%
65
¢70,00 - ¢79,95
16
24,6
1.- El límite inferior de la sexta clase.
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5
2:- El límite superior de la cuarta clase.
¢90,00 - ¢99,95
10
15,4
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10
TOTAL: 65
TOTAL: 100,00%
TOTAL: 65
Para obtener las frecuencias relativas (fi) se
divide la frecuencia absoluta (hi) del intervalo
de clase (número de obreros) por el total de
de los obreros N= 65
3.- La marca de clase de la tercera clase.
4.- Los límites reales de la quinta clase.
5.- Tamaño del quinto intervalo de clase.
6.- Frecuencia de la tercera clase.
7.- Frecuencia relativa de la tercera clase.
8.- Intervalo de clase que tiene mayor frecuencia.
2. Columna de las marcas de clase.
B. Construya un histograma de frecuencias absolutas.
340
Para obtener las marca de clase (Mc) se suman
los extremos inferior y superior de los intervalos
de clase y luego se divide por dos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
SALARIOS
NÚMEROS
(por 1000 colones) DE OBREROS
FRECUENCIAS
RELATIVAS
(En tanto por ciento)
Marcas de
clase
¢50,00 - ¢59,95
8
12,3%
50 + 59,95
= 55
2
¢60,00 - ¢69,95
10
15,5%
50 + 69,95
= 65
2
¢70,00 - ¢79,95
16
24,6%
75
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5%
85
¢90,00 - ¢99,95
10
15,4%
95
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70%
105
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10%
115
TOTAL:
65
100,00%
Respuesta 1: El límite inferior de la sexta clase
(¢100,00 - ¢109,95) es ¢100,00.
Respuesta 2: El límite superior de la cuarta
clase (¢80,00 - ¢89,95) es ¢89,95.
Respuesta 3: La marca de clase de la tercera clase
1
(¢70,00 - ¢79,95) es (¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En
2
la práctica se redondea a ¢75,00.
Respuesta 4:
Límite real inferior de la quinta clase:
1
(¢90,00 + ¢89,95) = 89,975
2
Límite real superior de la quinta clase:
1
(¢99,95 + ¢100,00) = 99,975
2
Respuesta 5: Tamaño del quinto intervalo de
clase (¢90,00 – ¢99,95) es igual al límite real
superior de la quinta clase menos límite real
inferior de la quinta clase es igual ¢99,975 –
¢89,975 = ¢10,00.
Respuesta 6: La frecuencia de la tercera clase
¢70,00 - ¢79,95 es 16
Respuesta 7: La frecuencia relativa de la tercera
16
clase ¢70,00 - ¢79,95 es
= 0,246 = 24,6%
65
Respuesta 8: El intervalo de clase que tiene
mayor frecuencia es ¢70,00 – ¢79,95.
341
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Frecuencia absoluta
B. Un histograma de frecuencias absolutas.
C. Un histograma de frecuencias relativas en porcentajes.
D. Un polígono de frecuencias absolutas.
FRECUENCIA
20
16
14
10
8
5
2
55
65
75
85
95
SALARIOS ( en colones )
342
105
115
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
E. Un polígono de frecuencias relativas.
4. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos,
obteniéndose los siguientes resultados:
Estos es lo mismo que:
Peso (en kg) Número de niños
2,5 – 3,0
3,0 – 3,5
3,5 – 4,0
4,0 – 4,5
Total
6
23
12
9
50
A. Construya una tabla de frecuencias relativas.
Grafique:
B.- El histograma de frecuencias absolutas
Solución:
A. Tabla de frecuencias relativas.
fi
hi
2,5 – 3,0
6
6 ÷ 50 = 0,120 = 12%
3,0 – 3,5
23
23 ÷ 50 = 0,460 = 46%
3,5 – 4,0
12
12 ÷ 50 = 0,240 = 24%
4,0 – 4,5
9
9 ÷ 50 = 0,180 = 18%
Total
fi
hi
2,5 – 3,0
6
12%
3,0 – 3,5
23
46%
3,5 – 4,0
12
24%
4,0 – 4,5
9
18%
Total
50
100%
B. Histograma de frecuencias absolutas.
C.- Un polígono de frecuencias relativas.
Peso (en kg)
Peso (en kg)
50 50 ÷ 50 = 1,00 = 100%
343
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con base en la información de la tabla anterior
conteste las siguientes preguntas:
C. Un polígono de frecuencias relativas.
POLÍGONO
Número de niños
a) ¿Cuántos obreros fueron consultados?
Respuesta:
b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de
trabajo?
Respuesta:
TRABAJO INDIVIDUAL 1
1. Se les preguntó a los obreros de una fábrica
cuánto tiempo empleaban para trasladarse
desde su domicilio al lugar de trabajo. Con
los datos obtenidos se construyó la tabla de
frecuencias que se muestra a continuación.
Clase
Frecuencia
Frecuencia
(fi)
relativa porcentual (%)
45 – 55
4
3
55 – 65
16
11
65 – 75
36
24
75 – 85
60
40
85 – 95
31
20
95 – 105
0
0
105 – 115
3
2
Totales
150
100,00
c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de
trabajo?
Respuesta:
d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de
trabajo?
Respuesta:
e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de
trabajo?
Respuesta:
344
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
f) ¿Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de
trabajo?
Determine:
A.- Límite superior de la quinta clase.
B.- Limite inferior de la octava clase.
Respuesta:
g) ¿Cuál es el porcentaje de los obreros que duran
más tiempo en trasladarse de su domicilio al
lugar de trabajo?
Respuesta:
C.- Marca de clase de la sétima clase.
D.- Límites reales de la última clase.
E.- Tamaño del intervalo de clase.
2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de
frecuencias que indica el tiempo de duración
efectivo de una muestra de 400 CD. Si se
establece que el número de intervalos son 9,
complete la columna de frecuencias relativa y
la columna de marcas de clase.
DURACIÓN
(Horas)
NUMERO
DE CD’S
300 - 400
14
400 - 500
46
500 - 600
58
600 - 700
76
700 - 800
68
800 - 900
62
900 - 1000
48
1000 - 1100
22
1100 - 1200
6
TOTAL: 400
Frecuencias
Relativas
Marcas de
clase
F. Frecuencia de la cuarta clase.
G.- Frecuencia relativa de la sexta clase.
3. El gerente de una agencia bancaria, de acuerdo a un estudio del tiempo de espera de los
clientes, antes de ser atendidos por parte de
los cajeros, obtiene para un día laborable
cualquiera la siguiente información:
Tiempo de espera
(en minutos)
10
14
14
18
18
22
22
26
26
30
30
34
Total
345
N. de clientes
8
20
32
40
24
16
140
Construya la columna de las marcas de clase
y la frecuencia relativa.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
4. La siguiente información se refiere a una
muestra de 120 componentes electrónicos y
su duración.
DURACIÓN
(en miles de horas)
10
15
20
25
30
15
20
25
30
35
Total
7. La siguiente tabla muestra de distribución de
frecuencia de los salarios ( en miles de colones)
de los 110 obreros de una fábrica.
Nº de
Componentes
8
24
44
28
16
120
Construya la tabla de distribución de frecuencias relativas
5. Las horas de estudio que 50 universitarios dedicaron a la preparación de un examen fueron:
25, 16, 42, 8, 36, 25, 19, 14, 12, 18, 21, 36, 46,
24, 18, 26, 31, 42, 26, 16, 5, 29, 14, 20, 26, 19,
32, 45, 28, 17, 34, 28, 9, 15, 24, 40, 36, 32,
23, 25, 35, 35, 26, 18, 7, 22, 17, 12, 16, 32
Salarios
(en miles de colones)
Número
de obreros
800 – 899
10
900 – 999
13
1000 – 1099
17
1100 – 1199
21
1200- 1299
22
1300 – 1399
15
1400 – 1499
9
1500 – 1599
3
Total
110
CONTESTE:
a) La frecuencia porcentual correspondiente a la
segunda clase es:
A) 50
Agrupe los datos en cinco intervalos, y construye una tabla de frecuencias porcentuales.
B) 12
C) 55
6. Los siguientes valores corresponden a los índices de productividad de 20 establecimientos:
45,0
55,0
48,9
40,5
42,8
52,0
49,0
52,5
51,7
50,0
50,0
56,5
57,0
52,0
45,0
49,0
44,3
41,0
59,2
46,3
a) ¿Cuál es el valor extremo inferior?
Resp./ _____________________________
b) La frecuencia relativa correspondiente a la
quinta clase es:
A) 22
B) 0,02
C) 0,2
c) El valor medio o marca de clase correspondiente a la sexta clase es:
A) 1399
b) ¿Cuál es el valor extremo superior? B) 1300
C) 1349,5
Resp./ _____________________________
346
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
8. Considere la siguiente tabla de frecuencias:
Ni
1
2
3
4
5
6
7
Lm
Ls
21,20 29,21
fi
hi(%)
5
12,50
37,21 45,21 10
25,00
29,21 37,21
2
45,21 53,21
7
61,21 69,21
3
5,00
17,50
53,21 61,21 12
30,00
69,21 77,20
2,50
Total
1
7,50
40 100,00
10. En una revisión se ha pesado a un grupo de
50 alumnos, con los resultados (en kilos) que
se exponen en el cuadro. Complete la tabla
de frecuencias.
Mc
25,21
33,21
41,21
53 61 71 63 58
57,21
64 43 62 55 81
73,21
69 64 56 68 63
49,21
66 65 54 67 76
42,5 - 47, 5
65,21
58 72 60 61 72
52,5 - 57, 5
9. Debido a un grave accidente, el gerente de una
compañía consultora perdió información de un
estudio de mercado que realizó a una importante compañía a nivel nacional de gaseosas.
Solo se conoce algunos datos parciales sobre
una entrevista que se elaboró a 150 personas.
Lm
2
2,1
1
3
4
5
6
7
Ls
fi
0,0
2,1
24
4,1
6,1
35
6,1
4,1
8,1
8,1
10,1
12,1
14,0
10,1
12,1
Total
8
150
hi
Mc
67,5 - 72, 5
72,5 - 77, 5
57 56 63 64 59
77,5 - 82, 5
73 69 66 74 48
Total
11. Las estaturas (en centímetros) de los socios
de un club de jóvenes, son las siguientes:
153
138
152
145
152
0,134
1,00
62,5 - 67, 5
70 61 65 56 74
0,246
0,107
57,5 - 62, 5
54 71 52 70 61
b) ¿Cuál es el límite superior del sexto intervalo?
Frecuencias
47,5 - 52, 5
60 50 62 45 67
a) ¿Cuál es el rango?
Nc
Intervalos
123
128
128
124
136
129
134
146
132
160
132
148
143
138
159
147
125
138
144
157
138
139
138
141
150
137
146
122
137
160
134
145
146
146
142
131
148
137
138
148
147
135
151
146
130
Con los datos de esta tabla, construya una tabla
de distribución de frecuencias con 6 intervalos.
12. A partir de la siguiente tabla de frecuencias
con datos parciales:
Ni
13,05
b) ¿Cuántas personas toman 6 gaseosas a 12
por semana?
fi
10 14
3
18 22 10
4
a) ¿Cuántas personas toman 4 gaseosas o menos
por semana?
Ls
1
2
Reconstruya la tabla de frecuencia.
Li
5
14 18
22 26
5
hi(%)
Mc
2
7
26 30 12
Total
36
a) Calcule las frecuencias: hi(%) y Mc .
b) ¿Calcule el rango?
347
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
13. Los siguientes datos corresponden a la temperatura medida en grados Celsius durante tres
semanas en el distrito de Lourdes de Montes
de Oca de la provincia de San José en cierta
época del año.
a) Límite superior de la quinta clase.
b) Límite inferior de la octava clase.
c) Marca de clase de la sétima clase.
d) Tamaño del intervalo de clase.
1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,7
2º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,1
e) Frecuencia de la cuarta clase.
3º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6
Con base en el cuadro anterior, complete la
siguiente tabla de frecuencias relativas.
Temperatura (en Marca de Frecuencia Frecuencia
Grados Celsius)
clase
absoluta
relativa
14,75
3
15,5 – 17,0
f) Frecuencia relativa de la sexta clase.
15. Antes de construir una presa sobre un río, se
efectuaron una serie de pruebas para medir el
flujo de agua que pasa por el lugar de la presa.
Los resultados de las pruebas se usaron para
preparar la siguiente distribución de frecuencia:
Flujo del río
(miles de galones
por minuto)
1001 – 1051
2
28,6
20,75
21,5 – 23,0
Total
21
300 – 400
400 – 500
500 – 600
600 – 700
700 – 800
800 – 900
900 – 1000
1000 – 1100
1100 – 1200
Total
14
46
68
62
48
22
6
49
1301 – 1351
1351 – 1401
Total
58
76
1151 – 1201
1251 – 1301
7
21
1201 – 1251
Número de tubos
Frecuencia
1051 – 1101
1101 – 1151
100%
14. La tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400 bombillos de una
fábrica.
Duración (horas)
Completar la tabla para luego determinar:
32
58
41
27
11
246
Con los datos de la tabla anterior construya
una distribución de frecuencias relativas.
16. Los siguientes datos corresponden a la duración
real, en años, de 21 baterías para automóvil, los
cuales tienen una garantía de 3 años otorgada
por el fabricante:
N = 400
348
3,6 2,3 3,1 3,7 4,1 1,7 3,4 3,7 4,7 3,3
3,9 2,6 4,8 3,9 3,3 2,9 3,5 4,4 4,0 3,2 3,8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con base en esta información complete la
siguiente tabla y luego conteste lo que se pide:
Intervalo
de clase
Marca de Frecuencia
clase
de clase
1,50 - 2,12
TRABAJO INDIVIDUAL 2
1. Analice el histograma siguiente donde se
especifican los años de servicio del personal
docente y administrativo de una escuela.
Frecuencia de
clase relativa
1,81
2,12 - 2,74
3,05
3,36 - 3,98
3,67
3,98 - 4,60
4,60 - 5,22
4,91
Totales
17. La siguiente tabla muestra las alturas (en
centímetros) de todo el personal del ICER
(profesores y administrativos).
1,81
1,76
1.21
1,58
1,66
1,65
1,69
1,69
1,62
1,16
1,24
1,71
1,65
1,60
1,50
1,66
1,50
1,21
1,64
1,50
1,83
1,55
1,75
1,44
1,68
1,54
1,64
1,93
1,61
1,56
1,40
1,84
1,60
1,71
1,67
1,75
1,62
1,52
1,74
1,51
1,50
1,63
1,69
1,34
1,53
1,66
1,61
1,73
1,61
1,83
1,30
1,45
1,67
1,66
1,65
1,60
1,45
1,31
1,41
1,61
1,38
1,77
1,57
1,58
1,31
1,28
1,69
1,61
1,68
1,60
Represente en una tabla lo siguiente:
a) La distribución de frecuencias absolutas.
b) La distribución de frecuencias relativas.
a) ¿Cuántos docentes y administrativos posee la
escuela?
b) ¿Cuántos de ellos llevan más de 20 años de
laborar?
2. A partir de los siguientes datos, construya una
tabla de frecuencia absolutas que contenga 7
intervalos de clase, para los siguientes datos:
31,2
19,0
66,1
96,6
42,7
87,7
5,3
51,2
60,7
67,0
81,2
40,4
26,6
6,4
57,3
349
44,3
59,9
5,4
36,5
10,6
11,7
11,7
67,0
29,6
32,1
75,5
42,4
70,1
19,1
62,1
31,8
87,9
47,9
74,0
56,0
30,1
31,4
46,8
55,6
82,2
91,0
31,8
30,4
77,6
40,9
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Además, construya un histograma de frecuencias absolutas.
Intervalos
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
Total
3. Se les preguntó a los obreros de una fábrica
cuánto tiempo empleaban para trasladarse
desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los
datos obtenidos se construyó la tabla que se
muestra a continuación.
Clase
Frecuencia
Frecuencia
porcentual (%)
45 – 55
4
3
55 – 65
16
10
75 – 85
60
40
65 – 75
85 – 95
95 – 105
105 – 115
Totales
36
31
0
3
150
24
21
0
2
100
Construya un histograma de frecuencias
absolutas (histograma de frecuencias) y un
histograma de frecuencias porcentual (%).
Frecuencia
(fi)
6
18
76
70
22
8
200
5. En una empresa se vienen reprogramando los
tiempos de salida y llegada de sus autobuses.
En particular se tiene el problema de determinar
el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para
ello se acude a los archivos de los últimos tres
meses y se toman aleatoriamente una muestra de 35 tiempos de recorridos entre tales
ciudades. Los datos, en horas, se muestran a
continuación:
4. Utilizando el siguiente histograma, complete
en la tabla de frecuencias relativas dada,
la columna de marcas de clase y dibuje un
polígono de frecuencias.
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Frecuencia absoluta
Marca de
clase
3.49
3.59
3.69
3.42
3.31
3.60
3.66
3.57
3.51
3.61
3.40
3.53
3.50
3.57
3.53
3.67
3.51
3.24
3.58
3.54
3.52
3.04
3.69
3.48
3.61
3.61
3.24
3.63
3.61
3.51
3.70
3.70
3.50
4.40
3.58
a) Realice un histograma de frecuencias absolutas y describa lo que se perciba en él.
b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos
de la muestra. ¿Eso significa que el tiempo
máximo que hicieron los autobuses en los
últimos tres meses fue ese valor? Argumente.
350
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
6. Considere el siguiente histograma y complete
la siguiente tabla de frecuencias.
Intervalo
Frecuencia
Marca de
clase
Intervalo
de clase
Marca
de clase
Frecuencia
relativa
porcentual (%)
8. En una finca productora de papas en Tierra
Blanca de Cartago se realiza un análisis sobre
la producción anual del año anterior. Este
mostró los siguientes resultados:
Frecuencia
relativa
7. Complete la tabla de frecuencias relativas
porcentuales a partir del siguiente histograma.
a) ¿Cuáles son los cuatro meses de mayor
producción?
b) ¿A qué porcentaje equivalen los tres meses
de menor producción?
c) ¿Qué recomendación haría?
351
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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9. El siguiente gráfico corresponde a la precipitación anual.
Con base en la información suministrada:
a) ¿En cuales años se dieron las mayores precipitaciones?
b) ¿Cuál fue el promedio de precipitación anual en los 10 años mostrados?
c) Elabore una tabla de distribución de frecuencias absolutas que resuma el gráfico anterior.
10. En una pequeña finca ganadera guanacasteca se han registrado 52 nacimientos en ocho meses,
como se describe a continuación:
a) ¿Cuál es el mes con mayores nacimientos?
b) ¿Cuál el menor número de nacimientos que se registró en un solo mes?
c) Elabore una tabla de frecuencias relativas y otra de frecuencias absolutas.
352
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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11. En una determinada empresa se realiza un estudio sobre la calidad de su producción. La distribución
siguiente informa sobre el número de piezas defectuosas encontradas en 100 cajas examinadas
con 50 unidades cada una de ellas:
N. de piezas defectuosas
0 1
N. de cajas
2
3
4
5
6
7 8 9 10
6 9 10 11 14 16 16 9 4 3
2
Construya el polígono de frecuencias absolutas.
12. A partir de los siguientes datos, construya la correspondiente tabla de frecuencia y grafique:
6,42
66,49 72,71
64,86
9,80
36,33
13,22
5,32
85,45
92,64 49,55 37,33
14,97 42,92 19,60
66,85 77,37 93,43
a) Un histograma
b) Un polígono de frecuencia.
13. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 colegiales. La característica
es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo:
0,110
0,110 0,126 0,112
0,117
0,113 0,135 0,107 0,122
0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117
0,113
0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109
0,117
0,111
0,012 0,101 0,112
0,111
0,119 0,103 0,100
0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134
0,118 0,106 0,128 0,094 0,114
a) ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de la distribución de los datos?
b) Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas.
c) Dibuje el polígono de frecuencias relativas.
353
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
14. La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojinetes de bolas
fabricadas por una compañía.
0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737
0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735
0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732
0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735
0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744
0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740
Construir una tabla de distribución de frecuencias relativas de los diámetros utilizando intervalos de
clase, luego construya
a) Un histograma de frecuencias absolutas.
b) Un histograma de frecuencias relativas.
c) Un polígono de frecuencias absolutas.
d) Un polígono de frecuencias relativas.
15. La tabla muestra la cantidad de material radiactivo que se encuentra en el suelo de áreas recuperadas de minas de fosfato. Las mediciones de las cantidades de uranio 238 es 25 muestras fueron
las siguientes (medidas en picocuries por gramo).
0,74
6,47
1,90
2,69
0,75
0,32
9,99
1,77
2,41
1,96
1,66
0,70
2,42
0,54
3,36
3,59
0,37
1,09
8,32
4,06
4,55
0,76
2,03
5,70
10,00
Constrúyase un histograma de frecuencias relativas con estos datos y su respectivo polígono de
frecuencias relativas.
354
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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16. Se ha preguntado a los pacientes que han acudido un determinado día a la Clínica de Aserrí acerca
del tiempo (en minutos) que han pasado en la sala de espera antes de entrar en la consulta. Se
obtuvieron los siguientes valores:
28
4
12 35
27 16 18 32
28 37
7
2
26 45 22
8
47
8
6
23
12 34 15
39 15 25 18 17 27 15
a) Construya una tabla de frecuencias agrupando estos datos en los siguientes intervalos:
0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50
b) Represente los datos mediante un histograma de frecuencias absolutas.
17. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital:
4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7,
6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5.
a. Construir una distribución de frecuencias de estos pesos.
b. Encontrar las frecuencias relativas porcentuales.
c. Dibujar un histograma con los datos de la parte a.
d. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras.
18. Un investigador médico desea conocer la eficacia de un tratamiento de diálisis en cuanto al mejoramiento de los niveles de calcio en pacientes renales que concurren habitualmente a cierta unidad
hospitalaria.
Para ello midió los niveles de calcio de una muestra de 49 pacientes antes del tratamiento en cuestión. Las mediciones obtenidas fueron las siguientes:
98
109
97
106
99
100
93
102
96
98
102
99
85
83
82
89
100
83
75
91
77
86
96
81
91
88
97
84
87
90
83
355
96
105
90
103
94
72
90
103
86
82
87
87
101
81
82
99
81
73
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
a) Identificar la variable en estudio, a qué tipo pertenece.
b) Construya una tabla de frecuencias para las mediciones efectuadas, considere 10 intervalos de
amplitud 4.
c) Calcule todas las frecuencias aprendidas
d) Grafique la distribución, histograma y polígono de frecuencias absolutas.
e) Extraiga las conclusiones que pueda obtener.
356
