Dimensión de Krull y propiedad de “going-between”

Dimensión de Krull y propiedad de “going-between”
en una extensión de anillos
José Mª Giral Silió
ADVERTIMENT. La consulta d’aquesta tesi queda condicionada a l’acceptació de les següents condicions d'ús: La difusió
d’aquesta tesi per mitjà del servei TDX (www.tesisenxarxa.net) ha estat autoritzada pels titulars dels drets de propietat
intel·lectual únicament per a usos privats emmarcats en activitats d’investigació i docència. No s’autoritza la seva
reproducció amb finalitats de lucre ni la seva difusió i posada a disposició des d’un lloc aliè al servei TDX. No s’autoritza la
presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant al resum
de presentació de la tesi com als seus continguts. En la utilització o cita de parts de la tesi és obligat indicar el nom de la
persona autora.
ADVERTENCIA. La consulta de esta tesis queda condicionada a la aceptación de las siguientes condiciones de uso: La
difusión de esta tesis por medio del servicio TDR (www.tesisenred.net) ha sido autorizada por los titulares de los derechos
de propiedad intelectual únicamente para usos privados enmarcados en actividades de investigación y docencia. No se
autoriza su reproducción con finalidades de lucro ni su difusión y puesta a disposición desde un sitio ajeno al servicio
TDR. No se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR (framing). Esta reserva de
derechos afecta tanto al resumen de presentación de la tesis como a sus contenidos. En la utilización o cita de partes de
la tesis es obligado indicar el nombre de la persona autora.
WARNING. On having consulted this thesis you’re accepting the following use conditions: Spreading this thesis by the
TDX (www.tesisenxarxa.net) service has been authorized by the titular of the intellectual property rights only for private
uses placed in investigation and teaching activities. Reproduction with lucrative aims is not authorized neither its spreading
and availability from a site foreign to the TDX service. Introducing its content in a window or frame foreign to the TDX
service is not authorized (framing). This rights affect to the presentation summary of the thesis as well as to its contents. In
the using or citation of parts of the thesis it’s obliged to indicate the name of the author.
D I M E N S I O N DE K R U L L Y P R O P I E D A D DE
EN U N A E X T E N S I O N DE
GOING-BETWEEN'
ANILLOS
M e m o r i a p r e s e n t a d a por J M
para aspirar
en
al g r a d o de
Matemáticas
Giral
Doctor
INDICE
NOTACIONES -
1
INTRODUCCION -
2
CAPITULO I — Dimension de Krull y extensiones de
amitos
11
§ 1
El radical dimensional de un anillo
12
§ 2
Cálculo de la dmensión de una extensión
16
§ 3
El caso de subálgebras de álgebras finitogeneradas
CAPITULO II - La propiedad de
23
"Gomg-between"
para una extension
32
§ 1
Definición y propiedades de las GB-extensiones 32
§ 2
Definición Jy caracterizaciones de los GB o y
GB^-anillos
36
§ 3
Definición y propiedades de los GB2~anillos
42
§ 4
El caso noetheriano
51
§ 5
Unirramificación de ideales primos
57
CAPITULO III - La eondieion de GBamito
en el
caso noetheriano
64
§ 1
El caso de álgebras fínitogeneradas
65
§ 2
El caso de anillos de series de potencias
77
REFERENCIAS -
89
-
1
-
NOTACIONES
La p a l a b r a
anillo
significa
s i e m p r e amito
conmutativo
con
unidad
El
símbolo C
se e m p l e a p a r a
representar
una
inclusión
es-
tricta
Si B es un anillo y A un
forman
una extensión,
se llama
ta,
entera
6 que B es una
(finita
etc
de B, se dice
extension
de A
que A C
La
) si B es una A - á l g e b r a
B
extensión
entera
(finou
etc )
P a r a un anillo
la dimension
de A p o r
al
subanillo
A
Spec A d e s i g n a
de Krull de A
su n i l r a d i c a l
Af
sistema multiplicativo
A
el espectro
primo
de A
, el anillo reducido de A
red
el a n i l l o
f o r m a d o por
de
fracciones
de A
las p o t e n c i a s
dim
cociente
relativo
de un
elemento
fe A
Si P e S p e c A
h(P) designa
la altura
de P
igual
a dim A
P
ch(P),
la coaltura
de P
igual
a dim
A/P
A,
-
2
-
INTRODUCCION
La n o c i ó n
de vdeal
do cada vez m a y o r
quemas
los
de
esquemas
espectro
rialmente
quemas
nuas
Spec
es W
como
inducen
B
en los e s p a c i o s
fundamental
(1899-1971 )
(en
desde
1926)
ser un p á l i d o
A
que
las a p l i c a c i o n e s
son
de
el
funto
de
es
conti-
ordenado
riedades
irreducibles
la c o n d i c i ó n
de un ideal p r i m o
no a d y a c e n t e s
tarde K r u l l
existen
demuestra
que
primos
Spec A
11
algebraica
en un
infinitos
17)
dos
de
y convierte
afín
de
Spec A ve_
sentido
fuerte
ideales
local
al
subva
primos
ideales primos,
si A es un anillo
al
hace
deje
al c o n j u n t o
entre
A
de i d e a l e s
noetheriano
descendente
trabajo
anillo
([2]
semejante
contri_
de un
de p o l i n o m i o s
es finita
de su
geométrico
un a n i l l o
de una v a r i e d a d
de cadena
cadenas
Hawpt%dealsatz
Spec A en algo
evolución
de n u e s t r o
de d i m e n s i ó n
el o b j e t o
de un a n i l l o
de esta
aspectos
de vista
de las
vez
de N o r t h c o t t
reflejo
algunos
la d e f i n i c i ó n
Su famoso
conjunto
Mas
el p u n t o
por p r i m e r a
en p a l a b r a s
comparables
base
en una p a r t e
Señalemos
de las l o n g i t u d e s
algebraico
la a l t u r a
topológicos
en el
Spec A
asociando
rifica
así
B con m o r f i s m o s
supremo
que,
se c o n v i e r t e
en e s p a c i o s
Es-
Conmutativa
de a n i l l o s A
únicamente
objeto
del A l g e b r a
de
los h o m o m o r f i s m o s
se debe
de A
con base
la T e o r í a
correspondiéndose
Krull
Krull
conmutativos
con
adquirien-
conmutativo,
responsable
bución
ocupar,
ido
de un a n i l l o
que
Un
afines
hasta
1871) ha
el c e n t r o m i s m o
los a n i l l o s
primo
(Dedekind
importancia
de G r o t h e n d i e c k
El e s t u d i o
pr%mo
etc
regular
*
Krull
no m a n e j a
un a n i l l o
tes
Spec A como un e s p a c i o
noetheriano
en Spec A
No
topología
así en
general
topológico
y orden
pero
son de h e c h o
si A
es
equivalen
-
h(P)+ch(P)=dim
A para
Asimismo,
que
por
en un anillo
mos
lo que a m o r f i s m o s
noetheriano
son a n i l l o s
sobre
enteras
íntegros
se r e f i e r e ,
la d i m e n s i o n
Su m e m o r i a
fundamentales
en e x t e n s i o n e s
-
todo P Spec A
den n i n d e t e r m i n a d a s
teoremas
3
de
Krull
aumenta
1937
([19])
el c o m p o r t a m i e n t o
En p a r t i c u l a r
demuestra
en n si se
incluye
de los
todos
los
ideales
pri
d e m u e s t r a que
tales que A C B es una
extensión
aña-
si A , B
entera,
la
aplicación
Spec
es e p i y e c t i v a
mensión
conserva
0 y verifica
más A es un anillo
de B es una
B
Spec A
el c a r a c t e r m a x i m a l ,
la p r o p i e d a d
íntegramente
extensión
normal
llamada
fibra
ideal p r i m o de Spec A
la a c o t a c i ó n
going-up
de
del cuerpo de c o c i e n t e s
grupo
cia
fibras
cerrado y el c u e r p o
rrespondiente
de cada
de
tiene
de a u t o m o r f i s m o s
del c a r d i n a l
de
cada
opera
de
Si
de A
fibra
como
ade-
cocientes
transitivamente
lo que trae
di-
el
co
en
la
consecuen-
y la p r o p i e d a d
llama
da de
going-down
p a r a la a p l i c a c i ó n a s o c i a d a a la e x t e n s i ó n
^
*
A ^ B y t a m b i é n para las s u b e x t e n s i o n e s de A i n t e r m e d i a s
En
([19]
la citada m e m o r i a
p 755)
Krull
primos adyacentes
A
ky
de Spec B3
Aunque
remas
no
negativamente
ejemplo utiliza
anillos
que
tiene una
el p r o b l e m a
cuestión
oon A y B ani-
cerrado y si Q^C. Q
son ideales
lo son también sus imágenes
estas h i p ó t e s i s
antes m e n c i o n a d o s
responde
la s i g u i e n t e
si A C B es una extensión enteras
llos íntegros y A íntegramente
Q
plantea
son
garantizan
suficientes
a esta p r e g u n t a
no n o e t h e n a n o s
fácil
En
([17])
todos
1972
pero
Sin e m b a r g o
respuesta
I
afirmativa
los
teo-
Kaplans
su
hace
contra
notar
si el
anillo
*
Los
nos
teoremas
teoremas
de
going-up
muy
en p r i m e r a p á g i n a
by
going-down
de C o h e n - S e i d e n b e r g
los g e n e r a l i z a n
proved
y
Krull
ligeramente
en
son
aunque
1946
All of the r e s u l t s
l l a m a d o s por
estos a u t o r e s
([4])
como
of t h i s p a p e r
algu-
sólo
reconocen
have
been
-
B es catenario
alturas
([21]
14 B)
en virtud
4
de la conservación
-
de
en
Spec B -*• Spec A
garantizada
por el
going-down
El problema deriva
entonces
ha-
cia la demostración de la llamada corjetura de la cadena saturada
el cierre entero de un anillo noetheriano es un anillo cate-
nario
Esta
de anillo
cuestión
noetheriano
gar a una agobiante
de L
J
Ratliff
didáctica
decisivos
Para
)
de Nagata
no c a t e n a n o
cantidad
desde
([27]
(véase
[ 30]
sobre
situar
de la
el p r o b l e m a
notar que
tenanos,
por
lo que en estos
afirmativamente
todo por
lu-
parte
exposición
llevado a avances
conjetura
de Krull
los anillos
ejemplo
ha dado
para una
que sin embargo no parece haber
en la resolución
su famoso
p 203-205)
de literatura
y su escuela
que hacer
cuestión
objetivo
en sus justos t é r m i n o s
noetherianos
habituales
hay
son
ca
casos dicho problema
se
responde
Por estas razones hemos p l a n t e a d o
la
siguiente
evidentemente
mas
fuerte
en qué
condiciones
una
ex-
tensión de anillos A C B es tal que la aplicación
Spec B -*• Spec A
verifica
la propiedad de 'going-betwenn ', consistente
ra cada terna P^C P c Pg de Spec A y cada par Q^CQ^
tales que Qj^A
que
= P^
= P
Q H A - P y QjC-QC-Qg
nuestro
trabajo
Está
ción del p r o b l e m a
de Krull
de Spec B
exista un QeSpec B de forma
Este problema
claro que
en que pa-
constituye
el centro
su interés no está en la
résolu
(en el que no se exige que Q H A
sino en que su c o n o c i m i e n t o
situaría
la
de
= P)
aplicación
Spec B -* Spec A
completamente
refiere
en cuanto al orden del e s p e c t r o
(y en el caso n o e t h e n a n o
el caso mas
la condición
que
bajo control
interesante
de
las extensiones
se ha revelado
su estudio
revista
llos n o e t h e n a n o s
a la t o p o l o g í a )
lo s u f i c i e n t e m e n t e
interés
habituales
enteras
sobre
al menos
se
en
Precisamente
fuerte
como
todo en el caso de los
para
ani-
La terminología
designar
la cuestión
clásicas
de
de
g o i n g - b e t w e e n " que
está evidentemente
gomg-up
y
going-down"
hacer notar que Ratliff
problema
de Krull
reconoce
las ya
Por desgracia
hay
emplea el mismo
a dicho problema
e incidentalnerte
fuerte y que existen
verifican
anillos
(sin mas precisión)
tente hasta el momento
going-between
Pasamos
generales
término para
Justamente
afirma
en el sentido
a describir
Esta es toda
la referencia
de la propiedad
considerado por
el contenido
de la memoria
son
en
las
Se ha preferido prescindir
tulo 0 y de enunciados de definiciones
así como
veces un poco
todos
los datos utilizados
de
de Krull
y tiene
gr tr
principal
íntegros
El capítulo
de anillos
I es
ci-
entera
gebras afines sobre un cuerpo
con la única
de
re-
sí mismos
ACB
dim B con dim A y
aparte del clásico
restricción
la
posteriores
Tales
solo cuando B es un anillo de
El objetivo
ca-
independien
para una extensión
fórmulas que relacionen
nomios ó una extensión
los
Parte de los
son de interés por
está en conseguir
las existen en la literatura
theríano
conocidos,
ocupa
en las condiciones mas generales posibles
forma óptima
capí-
a riesgo de ser a
luego en los dos capítulos
creemos que p n m o r d i a l m e n t e
de anillos
de
como fin básico el cálculo
en una extensión
son utilizados
La motivación
comenta
A cambio se
going-between
II y III de nuestra memoria
te de dicha propiedad
pero
términos
prolijos
El estudio de la propiedad
dimensión
de
los
y resultados
salvo en contadas ocasiones bien especificadas
tan con precisión
exis-
introduc-
nos
en ellos
es
nosotros
Un complemento de esta descripción
intercalados
plantea
completos que no la
de que consta
sultados
definirla
que esta propiedad
regulares
en la literatura
del
la pro-
al
ciones a los tres capítulos
pítulos
que
que el nombre se ajusta mas bien a la propiedad
da por nosotros
muy
sugerida por
para
en su reciente estudio axiomático
([28])
piedad que corresponde
introducimos
fórmupoli-
caso de las Si
se logra de hecho
de que A sea un anillo
de
noe-
-
Se comienza
radical
cho
el capítulo
dimensional
I introduciendo
de un anillo
les primos
de un anillo n o e t h e n a n o
El radical
dimensional
dimensión
de Krull pueda
cualquiera
con
en términos
las á l g e b r a s
Se pasa
anillos
después
luego
del grado
llamado
como
familias
con
la
para un anillo
de
idea
dimensión
la o b s t r u c c i ó n
de t r a s c e n d e n c i a
sobre un
a demostrar
de ciertas
relacionadas
expresarse
afines
lo que hemos
-
y dando métodos de calculo de di-
ideal y también de la i n t e r s e c c i ó n
aparece
6
a que
la
noethenano
como
ocurre
cuerpo
que
íntegros y A es n o e t h e n a n o
si A C B es una
se tiene
dim B ^ dim A + gr tr
la
extensión
de
acotación
B
A
A esto se llega g e n e r a l i z a n d o
llamada
fórmula de las d i m e n s i o n e s
nitogeneradas
al caso
la la m e j o r posible
una A - á l g e b r a
existe)
un resultado
, del
completamente
y se busca
fínitogenerada
'local'
conocido,
la
caso de A - á l g e b r a s
fi
general
luego una
La cota
cota
inferior
(en el caso g e n e r a l
se llega a tener
dim B > dim A + gr tr
superior
tal
es
Si B es
cota
no
B-1
A
y la anulación
del radical d i m e n s i o n a l
de
óptima
dim B = dim A + gr
la igualdad
para
todo B
es nulo
En p a r t i c u l a r
cuando
caracteriza
la
obtención
tr
el radical d i m e n s i o n a l
la dimension de Krull coincide con la definida a traves
del grado de trascendencia y las extensiones algebraicas
racterizan por ser las que conservan
dos o b t e n i d o s p e r m i t e n
nales
y se c o m p r u e b a
dicada
der
mo
mas
la dimensión
complemento
se deducen
una A - á l g e b r a
luego
el cálculo
mediante
una
que
serie
de
toda una
Los resulta-
de r a d i c a l e s
la c o i n c i d e n c i a
con
se ca-
la v e n t a j a
dimensió
antes
obvia
de r e s u l t a d o s
la c o n t r a c c i ó n
locales
de un
subálgebra
ideal
Co
reía
primo
cualquiera
siendo A un anillo
noethenano
sene
en cuanto
de a n o m a l í a s
in
de po
el grado de t r a s c e n d e n c i a
el e s t u d i o de una
fínitogenerada
de que aparece
la dimension
frecuente,
a la altura y coaltura
Se aborda
pesar
a su vez
agradablemente
es la situación
computar
tivos
de A
B de
A
B deja
de ser un anillo n o e t h e n a n o
comprueba
que
hace posible
párrafo
(incluso
genéricamente
cuando A es un cuerpo)
tales anomalías no ocurren y esto
demostrar para A y B casi
anterior
de gr tr
acotación
cuando
se conserva
etc
En el capítulo
de ser
es una GB-extensión
si la
lo aue
del
medio
de A es nulo
fórmula
también que en la
extensión
ideal maximal de máxima
II se comienza
Se define
resultados
cálculo de dim B por
Se observa
la propiedad
going-between
de dim B
los mismos
el radical dimensional
de las dimensiones
se
altura
el estudio de la propiedad
llamamos GB-extensiân
de
A C B
aplicación
Spec B -*• Spec A
tiene
la propiedad
neralidades
puente
going-between
del caso
GB-extensiones
tivamente
de
se centra
y las mas
a la propiedad
que van a jugar
de la simplicidad
Kaplansky
GD-extensiones,
going-down
en ello
de su
el interés en la relación
simóles
de
Tras el examen de las
los anillos
de GD-anillo
(McAdam
Dobbs
exhaustivo)
etc
(un anillo
íntegro
alcance
gomg-between
de
(un anillo
tal que todas
GB-extensiones)
GB^-cinillo
(un anillo
sus extensiones
luego
interés primordial
nuestro
going-down
de su
tensiones
enteras
ma se evita
completamente
la coincidencia
de
son
tal que todas
sus
anillo
son G B - e x t e n s i o n e s )
Desde
ó
(anillo
GB^-anillos
ya
mencionado
tal que todas
del problema de
las anteriores
de nuestra
lla-
(un
la propiedad
distinta
el
lo que
y GB -anillo
está en los
llama GB-anillo
enteras verifican
definición
Ratliff
lo que
(vea
definición
sus extensiones
Hay que hacer notar que el artículo de Ratliff
( [2 8 ]) define
llevado a
definiendo
íntegro
son G B - e x t e n s i o n e s )
tal que todas
) han
comenzamos por estudiar
mamos GB ^-anillo
íntegras
a causa
tal que todas sus e x t e n s i o n e s ír^
nosotros
de la propiedad
de
A semejanza
tegras son GD-extensiones)
extensiones
de
espectro
y su escuela
[7] para un informe
rela-
el papel
de valoración
cabo un estudio muy completo de la propiedad
se
entre
definidas
Se observa
ge-
nomenclatura
sus ex
Krull)
De esta
con
la de
for-
El e s t u d i o
ne un aire
grafo
fuertemente
lateral
permite
y caracterización
lio p a s a
al
Tras
enteras
simple
considerar
se e s t u d i a n
luego
la c o n d i c i ó n
como m u c h o m a s
problemas
interna
para todo Pe Spec A3
de A/P
Esto p e r m i t e
posible
limitarse
nogenas
de A
probar
porque
de
GD-ani
extensiones
si A es
3 es un
de
la c o n d i c i ó n
un G B ^ - a n i l l o
sólo
de G B ^ - a n i l l o
primera
para
que
(A/P)
puede
También
un
el cierre entero
de G B ^ - a n i l l o
resulta
de
además
que
criterio
la fuerza
am-
dimension
de
que k[X
que
todo
cerrado de
y se c o n s t a t a
es
e n t e r a s mo —
añadirse
luego un
indicación
y se
A sea
las e x t e n s i o n e s
íntegro
Se o b t i e n e
exten
que A/P C (A/PJ ' sean GD-
integro integramente
GBanillo
de
y localizaciones
la d e f i n i c i ó n
sean íntegras
ito local henseliano
^
en
interesantes
levantamiento
clave
siendo
que
a considerar
y que
de
sus c o c i e n t e s
es necesario y suficiente
extensiones
dichas
aparecen
la c a r a c t e r i z a c i ó n
GB ^-anillo
no
en p a r t e
cociente
y complejos
obtiene
y GB - a n i l l o s t i e o
l
y forma de hecho un p a r á -
Se h a l l a m o t i v a d o
un r e s u l t a d o
Los G B ^ - a n i l l o s
siones
los GB
no n o e t h e n a n o
en el c a p í t u l o
demostrar
de
descenso
Y,z]
de dicha
no
es
condi-
ción
£os
GB^-anillos
más precisa
Si A C B es una
P es unirramifloado
único
ideal p r i m o
es un
GB^-anillo
mo
de A / P
teriza
asimismo
el
terés
caso
Entonces
si y solo
se p a s a
se d e m u e s t r a
rre
entero
que
resulta
si p a r a
se tiene
y su c i e r r e
de un a n i l l o
no
extensión
se dice
de P en Spec
B consta
que un a n i l l o
entero
la c o n d i c i ó n
total
de
a través
de e x t e n s i o n e s
El
capítulo
se t e r m i n a
que
y Pf Spec A
en
(A/P)
cualquiera
Siempre
de G B ^ - a n i l l o
fracciones
Se
se hace
caso
no
A
p n
anillo
luego
de
in-
noethena-
asciende
aunque
un
carac-
un
cuestión
en el
de
ideal
entre
y lo m i s m o
que
noethenano
todo
una G B - e x t e n s i ó n
al c o m p l e t a d o
en el anillo
caracterización
todo Pe Spec A
noethenano
general
que p r u e b a n
una
2 es u n i r r a m i f i c a d o
cuándo
íntegro
cuando
admiten
en B si la fibra
de altura ^
noethenano
en
noetherianos
al
cie-
lo hace
en
finitas
demostrando
la u n i r r a m i f i c a c i ó n
de
una
sene
ciertas
de
resultados
familias
clave
de
-
ideales primos
ideales
(G-ideales
de coaltura
1
ideales maximales
etc
) es s u f i c i e n t e ,
9
ideales
-
de a l t u r a 1
en c i e r t a s
condiciones,
para asegurar la unirramificación de todo ideal primo en una extensión
entera
problemas
Dichos
del s i g u i e n t e
El c a p í t u l o
(y sin duda
between
los mas
por
tes m é t o d o s
nitogeneradas
En
theriano
de la d i m e n s i ó n
caso
los dos
y una A-algebra
anillos
enunciados
tal que A[ Z] C B
sión
sobre un
noethe-
se r e v e l a
con
muy
diferen-
son álgebras
fundamentales
fi-
son
con gr tr ^B > 1
de B es nulo3
Enton-
dim B<*2
una indeterminadat
B un
finita
Si Pe Spec
entonces h(P) < 3
que toda
cuerpo
que
es una extension
B es tal que Bp es un GB^-anillo3
finito
anillos
tales que B es un GB ^-anillo noe_
Sea A un anillo íntegro regularZ
tipo
going-
formales
finitogenerada
resulta
qué
de
Se a b o r d a n
ces dim B ^ 3 y si el radical dimensional
En p a r t i c u l a r
los
ínteres
la c o n d i c i ó n
3
fundamentales
B anillos íntegros
anillo íntegro
abordar
de m a y o r
de a v e r i g u a r
y anillos de series
c
para
a la p r o p i e d a d
lamentablemente
casos
el p r i m e r
Sean A
en torno
en d e f i n i t i v a
encima
dos
los r e s u l t a d o s
complejos)
son G B ^ - a n i l l o s
restrictiva
son b á s i c o s
capítulo
III p r e s e n t a
Se trata
rianos
resultados
k que
k-álgebra
esencialmente
sea un G B ^ - a n i l l o ,
tiene
de
dimen
< 3
Tras
se p a s a
interpretar
a considerar
neral
la r e l a c i ó n
sición
clave p a r a
el caso
entre
de
las
los r e s u l t a d o s
series
going-between
abordar
Sea A un anillo
males
geométricamente
el p r o b l e m a
normales
y tal que el ideal maximal
en
La
gepropo
siguiente
íntegro cuyas fibras
for-
Sea Pe Spec A con ch(P) > 2
de A/P es unirramificado
A
Si A es un GB -anillo3
y más
y completación
es la
local noetheriano
son geométricamente
formales
anteriores
entonces A/P C (A/P)
1
es una
en (A/P)'
GD-extension
A
Hay
que
el
que h a c e r n o t a r
descenso
proposición
que
acarrea
cuyo
que A G B ^ a n i l l o
ha de s e g u i r s e
enunciado
la d e s t r u c c i ó n
por
refleja
de
la vía
las
A GB^anillo
que m u e s t r a
complicaciones
la i n t e g r i d a d
en el p a s o
la
por
lo
anterior
técnicas
al
comple-
- 1 0 -
tado
Tras
interés
a
una
en
serie
de c o n s t r u c c i o n e s
sí m i s m a s
se llega
explícitas
aplicando
con
positivo
la p r o p o s i c i ó n
clave,
demostrar
Sea B
en
un a n i l l o n o e t h e n a n o f a c t o r i a l cuyas f i b r a s f o r m a l e s
o
i d e a l e s m a x i m a l e s de B
son g e o m é t r i c a m e n t e n o r m a l e s
Si
o
,X ! es un GB - a n i l l o , e n t o n c e s n < 3
En p a r t i c u l a r
n
2
los
B [x
o
1
es
si k es un cuerpo, klX^,
un
2~anS'L·
& solo si
n < 3
Resulta
pleados
ría
en
obligado
explicar
las dos p a r t e s
(III
del
la d i s p a r i d a d
capítulo
1 1) es en p r i n c i p i o
III
de
La c o n d i c i ó n
de g e n e r a l i d a d
tea a su vez un difícil problema
los m é t o d o s
(conjetura
necesa
t o t a l , pero
de
em-
plan-
Kaplansky-Hochster)
cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contie_
algun ideal primo de altura 19
nen simultáneamente
tos
casos geométricos
traejemplos
al caso
datos
positivos
largo
y paciente
(III
de
do no
es a p l i c a b l e
la e x i s t e n c i a
Para
como
fundamentales
buen
animado
amigo
e incluso
en
B
pone
de
Al Dr
resultados
Pascual
Muntané,
de
obtenidos
que
y la
el
hacen
noethenanos
caso,
a un a n i l l o
un
méto-
cosas
Casas
de
a
quienes
el
por
estudio
Al d i r e c t o r
de
y paciencia
tantas
a quien
de mi t r a b a j o
quiero
este
debo m ú l t i p l e s
personas
en e s p e c i a l
dedicar
que
junio
de
y
me
a mi
estas
nas
Barcelona
di-
GB^-ani--
empezando
sugestivo
a las m u c h a s
a quien
pensar
henseliano
mi a g r a d e c i m i e n t o
su c o n f i a n z a
También
la r e a l i z a c i ó n
las d e m o s t r a c i o n e s
en éste ú l t i m o
otras
Eduardo
sugerencias
el
de m a n i f i e s t o
me h i c i e r o n
por
tienen
explica
de esta m e m o r i a ,
y de m u c h a s
Esto
se
con
series
semejante
tiempo
Rafael Mallol
(McAdam)
de G B ^ - a n i l l o s
la r e d a c c i ó n
primo
mostradas
los
, existen
1 6) antes m e n c i o n a d a s
debo h a c e r p a t e n t e
ya h a c e m u c h o
Dr
que
algo muy
posible
espectro
trabajo
a 3
terminar
hecho
quienes
han
anillos
improbable
11o a p a r e c e
veces
a los
digamos
superior
(III
'naif
recientemente
representan
Asimismo
Finalmente
mensión
del
que
como
solo
de polinomios
1 4) y
sus e n u n c i a d o s
aparece
y de h e c h o
peregrinaje
forma
han
general
en anillos
las p r o p o s i c i o n e s
como
el p r o b l e m a
Aunque en cier
1 979
pági-
CAPITULO
DIMENSION
Nos
proponemos
talmente
en u n a
global
capítulo
sobre
anillos
de A - á l g e b r a s
Sin
q u e no
ANILLOS
un
de
los
embargo
lo son
fmitogeneradas,
estudio
fundamen-
de la d i m e n s i o n
La m a y o r í a
noetherianos
DE
hacer
comportamiento
de a n i l l o s
a anillos
información
Y EXTENSIONES
en este
del
extensión
ferirán
bras
DE K R U L L
I
Krull
resultados
también
se
en g e n e r a l
siendo
de
A un
se
re-
obtendrá
como
anillo
subálge^
noetheria
no
Los
los
resultados
básicos
de que
se d i s p o n e
en
este
terreno
son
siguientes
a) La
desigualdad
local
Sean A C B amitos
A-algebra
([21]
14 C)
noetherianos
finitogenerada,
íntegros
tales que B es una
Q un ideal primo de BJP=QFÏA
Se
verifi-
ca
h(P)+gr
siendo
gr
tes
B sobre
de
residuales
vale
el
tr ^B
de
signo
si B es un
tr
A
B>h(Q)+gr
el g r a d o
de
tr
trascendencia
el de A y d e s i g n a n d o
los
anillos
= para
anillo
todo
k(p)
locales
por
Ap
k(Q)
del
k(P),
cuerpo
k(Q)
sobre
los
cociencuerpos
B^ r e s p e c t i v a m e n t e
Q si A es u m v e r s a l m e n t e
de p o l i n o m i o s
de
Además
catenano
A en un n ú m e r o
finito
o
de
indeterminadas
En
cuanto
resultados
a fórmulas
de K r u l l
([27]
globales
10
b) Sea A un anillo noethenano,x
10 y 9
1
se t i e n e n
dos
clásicos
10)
,x
n
fica
dim A [ X
los
X ] = dim A + n
indeterminadas
Se veri
—
-
c) Sean A C B anillos
tales que B es entero
dim A - dim
La p r i n c i p a l
sido
averiguar
apto
para
clásico
hasta
en qué
describir
caso
de
que
cuando
en A)
de
apetecido
n
todos
sus
Se
es un
anillo
el
A
Sea
ideal
de A [ x ]
tructura
de
manifiesto
ideal
dimensión
(Entende-
como
algebraica
no n u l o
con
llamamos
veremos
ra
medirá
la
al
compqrtamiento
finita
de
n
Se
llamará
los
ideales
de p o l i n o m i o s
A
de
e I es un
los p o l i n o m i o s
Se
maximales
de
ideal
de A
de A [ X ] que
tienen
que
resulta
de
dim
que
( [18]
de N en Spec
dimensión
(rd(A)) [ X ]
h(M)=n+1
de A tal
de
verifica
Se t i e n e
tal
maximal
la fibra
radical
en I
n=dim
como
que
la
lo que
Sea A un anillo noetheriano
Demostración
h (M) =n+1
que
el
términos
A C B es
de A r e s p e c t o
rd(A[X ] ) =
ces
de
en
de un anillo
X una indeterminada
si N es un
ocurre
rd(A)
conjunto
coeficientes
maximal
es
de a n i l l o s
introducimos
intersección
escribirá
(1 1) - Proposicion
finitaJ
trascendencia
de un p o l i n o m i o
de d i m e n s i ó n
A de
designará
ello
ha
En o t r o s
la e x t e n s i ó n
dimensional
de A a la
L[X]
algebraicas
algebraicas
resultados
como
) la c o n s e r v a c i ó n
extensiones
dimensional
Si A[X]
c)
de K r u l l
de B es cero
A un a n i l l o
altura
en
verifica
indicado
§ 1 - El radical
Sea
de
de un a n i l l o
las
antes
el g r a d o
Para
dimensional
desviación
condiciones
anillos
elemento
coeficientes
estos
extensiones
si A C b son
todo
dical
(como
las
extender
la d i m e n s i ó n
Se
B
para
las v a r i e d a d e s
qué p u n t o
caracteriza
mos
motivación
sobre A
1 2
A[X]=
entonces
h(N)=n
Th
A[X]
n+1
149)
([18],
Si M es
h(MHA)=n
y M3N[X],
Además
Th
un
y
entonla
36) p o n e
esde
HM
= N[X]
M 3 N[X ]
de donde
resulta
rd ( A [ X ] ) = H m
h(M)=n+1
De
(1
1) se deduct, que
de un anillo
está
nal
Por ejemplo
M es
su
([2],
contenido
4
p
(1 2) - Proposicion
una extension
(^n
h(N)=n
que
local
noethenano
entera
íntegro y
de A [x ] es
(0)
Se ver t, fica
(B) = rd
(resultado
(A)
Se tiene
ideal m a x i m a l
de B tal que h(M) = n = dim B
un
dimensió
= M [x ]
Demostración
signa
Jacobson
en el radical
de J a c o b s o n
rd(A[x])
de
Sea A un anillo de dimensión finita, A C B
rd
extensión
) [X ]= ird (A) ) [X ] ®
el radical
estrictamente
el r a d i c a l
11) m i e n t r a s
=
en general
si A es un anillo
ideal m a x i m a l
ex
= nN[x)
h(N)=n
h(MDA)>h(M)
ideal m a x i m a l
c)
) dim A = dim B
luego h(M H A )
= n
Por ser
Sea M un
entera
Entonces
si N
la
de-
de A
D N
C M PI A
h(N)=n
de
donde
rd
(A) =
H N
C
h (N ) =n
Por otra parte
aplicando
ideal
el
( N M ) PIA =
h(M)=n
dado un
going-up
(rd(B)) O A
ideal m a x i m a l
([ 2]
N de A con
5 II) es p o s i b l e
construir
m a x i m a l M de B tal que MPI A = N y h (M) = n
rd (B) H a
y se o b t i e n e
Mas
h(N)=n,
un
Luego
C rd (A)
la igualdad «
tarde
(§ 2) se c o m p l e t a r á
la i n f o r m a c i ó n
culo de rd(A)
una vez e s t a b l e c i d a
su relación
de d i m e n s i o n e s
en una e x t e n s i ó n
sigue
a
(1 1) pone
primo
de altura n-1
de m a n i f i e s t o
aunque
de a n i l l o s
que
existan
sobre
con
la
el
variación
La o b s e r v a c i ó n
rd (A) puede
en A i n f i n i t o s
cál-
ser un
que
ideal
ideales
maxi-
-
males
de altura
a obtener
un r e s u l t a d o
intersección
de v a n a s
familias
(1 3) - Proposicion
Tácales -primos de A
=
{P
o
C P„
1
n>2
ideales
C
C P
calcular
la
primos
noethenanos
n
Sear lo" subconiuntos
de Spec A
nO
>
C1
= { Q ^ Spec Al P Q C
C1
- {Q^spec
para i=i,
de
que p e r m i t i r á
Sea A un amito
P
nO
-
n = dim A
Se p a s a
C
14
, n-1
Q1
CP2}
A¡ Q l _ 1 c
21 C P i + 1
Se verificas
n o
5x e c 1
i
i
para
Ql_1ecl_1}
algun
para cada i=0,l,
»n-1
= p
Demostración
La cadena P Q C P ^ C
C P N a s e g u r a que los conjuntos C„,
,C
son no v a c í o s
Sea Q eC
con 1=0 1
n-2
Da1
*
n-1
*i
i
do que O C P
„C P
_
c o n s i d e r a n d o una cadena m a x i m a l de ideai
1+1
les p r i m o s
1+2
Q' tal que Q * C Q '
ex
*i s t e n
Q^C Q
h(Q
entonces
CQ
/Q^ ) =
número
es
entre Q* y
E
1
p
x
En
finito
+2
un
C P i+ 2
encontrar
con h(Q / Q * ) = 2
infinitos
Para
posible
ideales p r i m o s
los c u a l e s
anillo
Según
Q
se tiene
noethenano
cada
un
ideal
([18])
tales
primo
Th
144)
que
necesariamente
ideal
de ideales p r i m o s m i n i m a l e s
luego
admite
la
sólo
íntersec-
*
ción
de
los Q
ha de ser Q
i
Dado
que
los 0
son de C
1+1
, se
tiene a fortiori
*
Como
cada
la i g u a l d a d
Q
^C .„ c o n t i e n e
1+11+1
anterior implica
a su vez un c i e r t o O
n Q , = ng 1+1
Q
Q , .ec , .
*i
i
*i+l
1+1
y aplicando
esto
a i = 0 1,
,n-2
resulta
un
£C
i l
- 1 5 -
p =
n Q
=
=
Q
*1^ c .1
(1 4) - Corolario
n
Q
Q
*n-1,ec n-1/
Sea A un anillo noetheriano
ideal primo de A y n taZ que h(P) >n>2
H { Qf Spec A l g e ?
Demostración
Sea m=h(P)
ideales primos
o
C.
1
cía que h(Qx
h (Q) =n- 1 } =
(0)
irrefmable
C
m-1
„)=n-1
n-1
)=i+1
i+ 1
)=i, i=0
definidos
para
todo Q
1,
en
m
(1 3)
„6C
„
n-1
n-1
Considerando
v e a m o s por
En efecto
los
h(Q)=n-1>
de
recurrenh(P
Q C
i
0
o
)=0 y
, v
1+ 1
Ç n{Qn_1ecn_1}=
PQ=
(0)
(1 3) •
( 1 5 ) - Corolario
Sea A un anillo noetheriano3
mo de A no maximal
p un ideal pri
Si ch(P)=r., se verifica
P= H{ Qe SpecA I P c Q , h ( Q / P ) = r - l } = H { Q « e s p e c A | P C Q' ch (Q
Demostración
tiene
con
Entonces
n{QIQCP
en virtud
de
C P = P
m
si i>0 y Q eC , existe un Q
,eC
, tal que Q
c
i
i
1-1
1-1
^
1-1
h(P
P un
de A
implica que h(P
juntos C
íntegro3
Se verifica
E x i s t e una cadena
(0) = P C P, C
o
1
lo cual
#
1
Si r=1
d i m A / P = c h ( P ) >2
las
igualdades
Aplicando
son t r i v i a l e s
)=l)
Si r>1,
(1 4) al anillo A/P
se
resulta
inmediatamente
P = n { Q e S p e c A ] P C Q, h ( Q / P ) = r - 1 }
donde
incluso
maximal
es posible
exigir
que Q C M,
de A tal que P C M y h ( M / P ) = r
cesariamente
ch(Q)=1
y esto
implica
siendo M un
En tal caso
ideal
se tiene
ne-
- 1 6 -
P ç n Í Q - |p c Q ,
lo q u e
demuestra
ch ( Q ' ) = 1} C n { Q | p C Q, h ( Q / P ) = r - 1 } = P
(1
5)0
(4 6) - Observaciones
- a) La igualdad
P =nÍQ'e SpecAIP Ç Q , c h ( Q ' ) = l}
para
un
anillo
local n o e t h e n a n o
demostrada
por otros
b) Si A no
es n o e t h e n a n o
posiciones
se e n c u e n t r a
en
([20],
lemma
luego
las a n t e r i o r e s
1)
métodos
desde
Basta considerar un a n i l l o
fallan
de v a l o r a c i ó n
de
pro
dimensión
> 2
§ 2 - Calculo
de la dimensión de una
El primer
neración
cipio
resultado
finita
del
(2 1) - Proposicion
Ä
local'
Una aplicación
de álgebras
•íntegro tal que
en e l i m i n a r
en la desigualdad
capítulo
subálgebras
consiste
extension
la h i p ó t e s i s
a) m e n c i o n a d a
inmediata
B
al
se e n c u e n t r a
prinen
las
fmitogeneradas
Sea A un anillo noethenano3
C
de ge_
B un anillo
Sea Q un ideal primo de B, P = Q D A
Se ve-
rifica
h (P) +gr tr
Demostración
Con
al s e r
gr tr
ello
local
Si
A
la
pues
los términos
el anillo A puede
y
qr tr
A
k(p)
<Q)
y B por
B ^ se p u e d e n
de la d e s i g u a l d a d
suponerse
B=«>, la d e s i g u a l d a d
elementos x
no
se
de d i m e n s i ó n
es t r i v i a l
suponer
modifi-
finita,
,
i
,x
r
de B
Supuesto
que
algebraicamente
sobre A tales que la e x t e n s i ó n A C B
factoriza
forma
A Ç A[ X 1
y A[ x
k
tr
noethenano
B=r<°°, existen
independientes
en
B>h(Q)+gr
Sustituyendo A por A p
A y B locales,
can
A
,
,X R ] Ç B
,x ] C B es una extensión
algebraica
Dado
que la
ex
-
tension
A C A[ x^ ,
mostrar
(incluso
y que
el g r a d o
sición
,x
r
l
con el s i g n o
gr tr
Veamos
A
la f o r m u l a
= , por
de t r a s c e n d e n c i a
de e x t e n s i o n e s
en el caso
verifica
el r e s u l t a d o
es a d i t i v o
resulta
que
que hay
es
que
básico
respecto
suficiente
17
la
-
dea) )
compo-
probar
(2 1)
B = 0
en p r i m e r
lugar que gr
tr j ^ p j ^ í Q )
es
finito
Sean b„ ,
,b
e l e m e n t o s de B t a l e s que sus c l a s e s b„,
,b
i
n
i
n
en* B/Q sean a l g e b r a i c a m e n t e i n d e p e n d i e n t e s sobre A/P
Sea
Q = QHA[b^/
Se
'^n^
t l e n e
A
u n
A [b
4A/P
l
,
,b
-*• A/P[b
,b
dim A / P [ b
Se t i e n e ,
por
i
,b
i
]« Alb,,
1
n
, bn ]
i
*
'
y A/P[b
diagrama
]
n
-»
B
-»•
4B/Q
]/Q* , de
n
»
b
conmutativo
donde
]< d i m A [ b , ,
i
n
el r e s u l t a d o b á s i c o
b) p a r a
,b
anillos
n
]
de
polino-
mios
dim A / P [ b . ,
i
Por otra parte,
A
C AÍb^.,
1
—
1
algebraicos
del
,b
resultado
,b ] se deduce
n
sobre A
tres
de A es
En
de
forma
ultimas
finita,
una
cadena
B tales
- Qm3
m-1
que
*
= 0 H A
i
i
que gr
c
e
1
ö1»
3
1
,
i
*
La
cadena
*
Öm
*
D
Öm-1
*
D
D
Q
Q
extensión
b
n
son
o
la
e s
dimensión
finito
los b 1 ,
»b^
algebraica
Sea
o
Sean
i=1
,b
n
elegidos
,b^ ] C Q sea
de B
para
Como
tr j ^ p j ^ C Q )
suponerse
D
de i d e a l e s p r i m o s
A* = A[b
y Q
Q
a la
de que b.
1
n1^ d i m A
la e x t e n s i ó n A / P [ b 1 #
Q
a) a p l i c a d o
cuenta
implican
pueden
+ n
dim A
n
esto d e m u e s t r a
consecuencia,
que
b
fórmulas
básico
habida
dim A[b„
1
Las
] = dim A / P
n
c
c
m
,
1
elementos
m
Pongamos
c l
m
c
de
-
tiene longitud
*
h (Q )> m
m
m por
Nuevamente
la e l e c c i ó n
es p o s i b l e
h e c h a de c,,
aplicar
c
i
18
luego
m
el r e s u l t a d o b á s i c o a) a
*
la e x t e n s i o n
algebraica A C a
y deducir
que
*
dim A < dim A
luego m está acotado por dim A, de d o n d e h ( Q )
anillo
poner
noetheriano1)
B no será en g e n e r a l
elegida
la
es
finita
Se p u e d e
(el
ahora
su-
cadena
D
Q = Qm
3
m
o
*
de
forma
que* m = h*( Q )
si 0 = x0
m
tiene
*
Entonces
para
el c o r r e s p o n d i e n t e
A
se
y Q H
A=P
h ( Q ) < h (Q* )
P u e s t o que A
es una A - á l g e b r a
el r e s u l t a d o b á s i c o
h(P)+gr
*
fmítogenerada
a) da
tr
h(Q*)+gr
tr
k
k(p)
(Q*)
*
Pero gr
tr
A
A =0 y por
•» -r
g r
y resulta
tr
la e l e c c i ó n
kíP)"^*5
=
g r
tr
hecha
de b„,
1
,b
n
k(P)k(2)
finalmente
h(P)> h(Q*)+gr
(2 2) - Corolario
tegro tal que A C B
tr
(p)
k (Q) > h (Q) +gr
Sea A un anillo noetheriano3
tr
k ( p )
MQ)
•
B un anillo ín-
Se verifica
dim B < dim A + gr tr
B
A
Demostración
(2
Sea Q un ideal p r i m o
1)
h ( Q ) < h (P) + gr tr
En
consecuencia
FTB
de B, P = Q H A
Se tiene
por
- 1 9 -
dim B =
<
Para
acotar
sup
QeSpec
B
sup
h(P)+gr
PeSpecA
obtener
esta
= dim A + g r
más precisos,
dim B, h a b r á
fînitogenerada
justificar
sup
h(P)+gr
P=Q H a
tr
resultados
inferlormente
A-álgebra
h(Q) <
Basta
que
tr
B <
tr
#
en p a r t i c u l a r
suponer
considerar
el
q u e B es
caso
Sean ACB anillos
un anillo noethenano
B = Ap
y B una
íntegros
para
A-álgebra
tales que A es
finitogenerada
tonces A es de dimensión finita si y solo si B es de
finita3
y se verifica en tal caso
a)
A + gr tr
b)
una
necesidad
(2 3) - Proposición
dim
para
A
B - 1 <dim
rd (A) = 0 =>
dim
B < dim
A + gr tr
B = dim
A + gr tr
A
En-
dimensión
B
B
A
y la implicación
toda A-álgebra
Demostración
de
contraria es cierta
si vale la igualdad
monógena B
Aplicando
normalización
la g e n e r a l i z a c i ó n
([3], Ch
V
§ 3 1 cor
de N a g a t a
es
entera
cipio
fIXl'
Los
x
n
3
resultados
del
capítulo
dim
B f
B
Ç
b)
dim A . í
x.
fl 1
tal
h(P)
Esto
= m y f0P
dim B > d i m
B
>m
implica
+ gr
to q u e
ahora
demuestra
gr tr
al
prin-
B<00
A
la p r i m e r a
'
B
Como
f^O,
ideal primo
de
el
co-
P de
A
dim
m,
donde
tomar m
arbitrariamente
B
es p o s i b l e
prueba
se
que
A
A
infinita
la d e s i g u a l d a d
d e un
tr
X
dimensión
tr
tal que m < d i m A
la e x i s t e n c i a
y
algebraicamente
y c) m e n c i o n a d o s
,x 1= d i m A ^ + g r
n
f
(1 4) g a r a n t i z a
grande
encontrar
implican
rolario
Si A t i e n e
lema
f
básicos
S e a m un n u m e r o n a t u r a l
que
del
1) es p o s i b l e
un e l e m e n t o f€A, f f 0 y e l e m e n t o s x „i,
,x n eB
i n d e p e n d i e n t e s sobre A t a l e s q u e la e x t e n s i ó n
A
para
que
sigue
afirmación
dim
de
de
B = »
(2 2) q u e
(2 3)
si dim
dim
A<°°,
B<°°, lo
puesque
-
Supuesto
ahora
La d e s i g u a l d a d
que dim A es f i n i t a ,
anterior,
Si rd(A) = 0, por
tal que
junto
ser
f^M y h ( M ) = d i m
según
de b)
monógena
dim
(2 2) es una
Finalmente,
igualdad
verifica
B<dim A al d e s a p a r e c e r
de a l t u r a
De
zación
igual a dim A
a)
Se
tiene
tr
ferd(A),
todos
inmediatamente
de las e x t e n s i o n e s
f^O
de
los
la
La
implicación
A-álgebra
(2 3)
ideales
pero
maximales
la s i g u i e n t e
caracteri-
algebraicas
Sean ACB anillos íntegros tales que A es
un anillo noethenano
A-algebra
= dim A
las h i p ó t e s i s
en A f
la p a r t e
ideal m a x i m a l M de A
lo que d e m u e s t r a
sea
A-1
•
(2 3) se d e d u c e
(2 4) - Corolario
demuestra
f/0 e x i s t e un
si rd(A)j¿0,
B = A f = A [ j]
(2 2)
= dim A + gr
-
basta t o m a r m = d i m
A, de donde dim A f
dim B > dim B f
que
con
20
de dimensión
fmitogenerada
finita y rd(A)=0 y B una
La extensión ACB es algebraica
si
y solo si dim A = dim B
P u e s t o que un a n i l l o
po,
un
caso p a r t i c u l a r
Nullstellensatz
Los
del
([2]
siguientes
radical
íntegro
de
de d i m e n s i ó n
(2 4) es la v e r s i ó n
5 24 ó ex
corolarios
5
cero es un
de Z a n s k i
cuerdel
18)
permiten
c o m p l e t a r el
estudio
dimensional
(2 5) - Corolario
mension finita
Sea A un anillo noethenano
Si rd(A)7¿0
y
íntegro de di-
f e rd ( A) , f 7*0 . entonces
rd(A_)=0
x
Demostración
altura
P u e s t o que
igual a dim A,
sea g ^ r d ( A ^ ) , g/0
f está
se t i e n e
De n u e v o
en todo
ideal m a x i m a l
dim A f < d i m
se tiene dim
A
Supuesto
de A
rd(A^)^0,
(A^)^<dim A ^ y en
finitiva
dim
lo cual
que
(A_)
contradice
f 9
(A_)
f g
la p a r t e
es una A - á l g e b r a
< dim
A-1
a) de
(2 3)
fmitogenerada
teniendo
•
en
con
cuenta
de-
(2 6) - Corolario
Sean AÇB anillos íntegros3
un anillo noetheriano
f mit og enerada
de dimensión
dim
Bf<
Supuesto
dim
(2 3))
Pero
B
finita y B una
A-álgebra
Entonces
rd (A) =0
Demostración
tales que A es
rd(B)^0,
(de h e c h o ,
según
rd (B) =0
dim
la p a r t e
sea
f^O,
Bf=dim
b) de
B-1
ferd(B)
por
Esto
la p a r t e
implica
a)
de
(2 3)
dim Bj. = dim A + gr tr „ B r = dim A + gr tr , B = d i m
f
A
f
A
en
contradicción
Nótese
descenso
fiesto
con
lo
que no es v á l i d a
es d e c i r
el c o r o l a r i o
Finalmente
proposición
(2 5)
global
^
rd(A)=0
si se t o m a
"local"
mani-
a través
de
la
Sean AÇB anillos íntegros 3 tales que A es
de dimensión
finita y
B una
A-algebra
Sea Q un ideal primo de B, P = Q D A Se
ch (Q) - g r tr
k ( p )
MQ>
<ch(P) <ch(Q)-gr
tr
k
k(p)
verifica
(Q>+1
tal que h(Q)=dimB
Entonces
es un ideal maximal de A tal que H(P)=dimA y A/P Ç B/Q es una
extensión
algebraica
Demostración
rifica
finita
Teniendo
las h i p ó t e s i s
dim A / P + g r
es
de
B = A
información
b) Sea rd (A)=0, Q un ideal maximal
p
como p o n e
de
(2 3)
un anillo noetheriano
fmitog enerada
«
la c o r r e s p o n dLente p r o p i e d a d
rd(B)=0
se o b t i e n e
(2 7) - Corolario
a)
anterior
B
tr
A
en
de
^p
cuenta
(2 3),
que
la e x t e n s i ó n
A/P
C B/Q
ve-
resulta
B/Q-1 < d i m
B/Q < d i m
A/P+gr
tr
A
^p
B/Q
decir
k
ch ( P ) +gr tr
lo q u e
demuestra
Si r d ( A ) = 0
(2 3)
se
k(p)
la p a r t e
y h(Q)=dim
<ch(Q) <ch(P)+gr
tr
k ( p )
Mß>
a)
B, a p l i c a n d o
(2 1) y la p a r t e
b)
tiene
dim A + gr tr
=dim
(Q)"1
B + gr tr
A
B>h(P)+gr
k
k(p)
(Q>
=
tr
d i m
A
B>h(Q)+gr
A + gr tr
tr
ftB+gr
k ( p )
MQ)
tr
k ( p )
=
k
(Q)
de
de d o n d e
se
demuestra
En
sigue q u e
la p a r t e
un
anillo
gr tr
,»MQ)=0
K \P)
y h(P)=dim
W t
-
22
-
A,
lo
que
b) •
cualquiera
A,
si P es un
ideal p r i m o
se
tiene
h(P)
Se
dirá
+ ch(P)<
q u e P es nivelado
(2 8) - Corolario
de dimensión
entonces P es
Se t i e n e
h ( P ) + gr tr
ch(P)
de
se v e r i f i c a
por
A
igualdad
íntegros3
tales que A es
finita y B una
A-álgebra
Si rd(A)=0
nivelado
(2 1) y la p a r t e
B>h(Q)
+ gr tr
+ gr
k
tr
k(p)
a) de
(2 7)
(Q)
k(Q) > c h ( Q )
donde
h (P)+ch (P)+gr
teniendo
en
tr
A
cuenta
B > h (Q)+ch (Q) = dim
la p a r t e
b)
de
(2 9) - Observaciones
guiente
teorema
llo
íntegro
dim
R <1
b) U n
que
a) Un
de E v y a t a r
contiene
caso particular
de
gr tr
la q u e
íntegra
([36]
c) La
R,
p
k es un
10), que
igualdad
en
en
sin
anillo
local n o e t h e n a n o
ta
([13],
(5 6
299),
con
donde
formula
es c i e r t a
dim
B
entonces
de
I)
(2 2) es
el
Si R es un
R <1,
Jv
siani-
entonces
tr
ideal primo
la
A
desigualdad
+ h(P) < g r
embargo
Th
k y gr tr
la
tr
#
([ 10]
cuerpo
([34], p
un
1))
- Zaks
y P un
(2 1) no
Resulta
caso p a r t i c u l a r
(2 1) es
R/P
cuerpo
empleada
un
B «= dim A + g r
(2 3)
h (P) + ch (P) = dim A
en
la
Sea Q un ideal primo de B,P=Q RIA
y Q es nivelado3
Demostración
A
Sean aÇ_B anillos
un anillo noethenano
finitogenerada
si
dim
de u n a
k-álgebra
se r e f i e r e
en t é r m i n o s
en g e n e r a l ,
aun
a
de
plazas
siendo
A=2 y B una A - á l g e b r a
A
fini-
-
d ) La d e s i g u a l d a d
noethenano
ex
(2 2) no
Para ponerlo
13, p
elemento
a del
A = n y dim A [ a]=
§ 3
derar
nuaciôn
dos
cuerpo
de
general
si A n o
considérese
1 se t i e n e
cocientes
un
es
(Í11],
anillo
de A t a l e s
ínt£
que
de álgebras fxmt o g eneradas
fundamentales
de á l g e b r a s
ejemplos
en
-
2n
problemas
subálgebras
cierta
cada n >
El caso de subálgebras
En v a r i o s
es
de m a n i f i e s t o ,
371) d o n d e , p a r a
g r o A y un
dim
de
23
se h a c e
necesario
fínitogeneradas
de v e r d a d e r a
Se c i t a n
consia
conti
entidad
Ç
El p r i m e r o
fínitogenerada
Como
es
el a n i l l o
B respecto
caso particular
de
de un
se t i e n e
invariantes
grupo
B
de u n a
A-álgebra
G de A - a u t o m o r f i s m o s
el p r o b l e m a
XIV
de H i l b e r t
de
si
B
k
es un c u e r p o , X^,
i n d e t e r m i n a d a s y L un c u e r p o t a l q u e
k C L C k (X ,
,X ), es k [ x ,
,X ] H l u n a k - á l g e b r a f m i t o —
—
i
n
1
n
generada?
Es b i e n c o n o c i d a la r e s p u e s t a n e g a t i v a de N a g a t a al
caso
general
del p r o b l e m a
XIV
No parece
que
existan
datos
so*
bre
la d i m e n s i ó n
El
llos
segundo
de
ejemplo
de p o l i n o m i o s
determinadas
estos
sigue
S I R es un a n i l l o
problema
"problema
de
relacionadas
cancelación
B anillos, X,,
1
y A,B
el s e g u n d o
quedando
Véase
[16]
para
Véase
[1], por
,X]
n
= B[ Y
Es n a t u r a l
de c a n c e l a c i ó n
Höchster,
el
y propiedades
,X
n
en
, Y„,
1
,Y
anin
in-
y
q u e A=B'?
A H B aparece
es
sean A,
A[ X. ,
1
tse
anillos
gran
una
son
R-álgebras
sido
numero
,Y ]
n
aquí
el a n i l l o
Fmitogeneradas,
También
el c a s o
contestado
de p r o b l e m a s
información
ejemplo
,
considerar
ejemplo
ha
i
AO
con
general
del
negativamente
por
pendientes
actualizada
*
*
B
A pesar
carencia
de
la i m p o r t a n c i a
de estos
ejemplos
de datos r e l a t i v o s a s u b á l g e b r a s
noetheriano,
la tesis de un d i s c í p u l o
( [33 ])
de m a n i f i e s t o
pone
que
En c u a n t o
de K a p l a n s k y ,
si A es un anillo
tegro y A' D A una A - á l g e b r a
fmitogenerada
termedios
no
cular
B, A C B C A'
A-álgebras
que
fínitogeneradas)
Se va a c o m e n z a r p u e s por
tiones
genéricos
relativas
sobre
a su
Se e m p l e a r á por
p
86)
la fórmula
Q de B se
tulo
Wadsworth
anillos
en
ínin-
parti-
A'>1
A
contrario
si A
bási^
estudiar
cues^
las
definición
([21]
íntegros A C B se d i c e
dimensiones
si p a r a
todo
ideal
que
ve-
primo
cumple
P = QPlA
fórmula
A R
(ni
luego
la s i g u i e n t e
de a n i l l o s
h(P) + gr tr
siendo
caracter
obtener algunos resultados
s u b á l g e b r a s para
comodidad
de
al
en cuanto gr tr
en caso
gran
dimensión
Una e x t e n s i ó n
rifica
una
noethenano
existen
son n o e t h e r i a n o s
es un c u e r p o , y en c u a n t o gr tr ^ A ' > 0
camente
existe
= h ( Q ) + gr tr
Es decir
del r e s u l t a d o
cuando
básico
se cumple
o si A es u m v e r s a l m e n t e
(3 1) - Proposioion
A' es una A-álgebra
MQ>
la i g u a l d a d
a) de la i n t r o d u c c i ó n
E s t e es el caso si A es n o e t h e n a n o
polinomios,
k ( p )
a este
la
cap¿
y B es un a n i l l o
catenario
([21 ]
de
14 C)
Sean A C B C A' anillos íntegros
finitogenerada
en
tales que
Existe un elemento
feB tal
que f^o y se verifica
a) Si A es un anillo de Jacobson
([3], ch
v § 3 4)
B f es un
anillo de Jacobson
b) Si A es un anillo noethenano3
generada3
y en particular
B f es una
un anillo
c) Todo ideal primo Q perteneciente
es contracción
una A-algebra
A-álgebra
finito-
noethenano
al abierto D f =Spec B-V(f)
de un ideal primo de A' y B/Q es subálgebra
de
fmitogenerada
d) Si A es un anillo noethenano
la fórmula de las dimensiones3
y la extensión A C A'
entonces para todo ideal
verifica
primo
-
QeDf
+ gr tr
siendo P=Q PIA
= h(Q) + gr tr
Demostración
A'
braicamente
la fórmula de las
es una B - á l g e b r a
lema de n o r m a l i z a c i ó n
es p o s i b l e
encontrar
([3], Ch
V
sobre B tales que
X
«T
fl I1
X
n]J
la ex-
3
dimensiones
Aplicando
§ 3 1 cor
(X^A1
f/0 y e l e m e n t o s x ^
independientes
la
el
1)
alge-
extensión
C— A' f
entera
Supuesto
bién
que A es un a n i l l o
lo es, al ser una A - á l g e b r a
3)
Luego
les m a x i m a l e s
tracción
todo
ideal p r i m o
de A 1
Puesto
de un i d e a l m a x i m a l
al ser
B
x
,X
f[ i'
todo ideal cp r i m o
ximales,
n^
A
—
'f
£
1
intersección
es un
resulta
ideal m a x i m a l ,
de ideales m a x i m a l e s
f°rma
e x t e n s i
°
n
Ô' ^
entera,
B
Si A es un a n i l l o
una A - á l g e b r a
noethenano,
,XJ
Ç
luego
las
que
ideales
ma
—
Lueloe
extensiones
A'f
6 S
que B f [ x^ ,
también
lo es su
cociente
Q de B tal que f tf Q, el i d e a l
de un
ideal p r i m o de A
al
cación
Spec A ' f
J
b)
D a d o un i d e a l p r i m o
es c o n t r a c c i ó n
considerando
([ 2] , 7 8) a s e g u r a
fínitogenerada
lo cual d e m u e s t r a
to
—
a)
A Ç BF[ X1 ,
el lema de A r t m - T a t e
que
,X
B J x,,
,x ] es un a n i l l o de J a c o b s o n
£
1
n
lo es B^ al ser un c o c i e n t e del a n t e r i o r ([3],
), lo que d e m u e s t r a
con
Como
ftx*]'
de
n
idea
la
se d e d u c e
,x ] es i n t e r s e c c i ó n
§3 4
de
entera
de
tam-
([3] , Ch V
es d e c i r ,
go t a m b i é n
Qf=QBf
fínitogenerada
que en una e x t e n s i ó n
U n a
de B _ [ x „ ,
de J a c o b s o n , A ^ = A ' [ 1 / f ]
Q' de A ' f e s
Q ' H B lí x„,
,x J] es i n t e r s e c c i ó n
f
1
n
,x
es
do ideal p r i m o de
nl
B^,
MQ)
fmitogenerada
generalizado
fe B,
B
cit
k ( p )
SI ademas B es un anillo noethenano
tensión B C A' verifica
Th
-
se tiene
h(P)
es
25
Spec
Bf[xi#
,xj
-*• Spec
Bf
ser
primo
la
apli-
-
composición
que
existe
l u e g o B/Q
fiéQ
las h i p ó t e s i s
nuevo
P=Q fl A
(2 1) y
(2)
Por
fórmula
en
de d),
ß
f
está
de B tal
Q eSpec A '
k
k(p)
noethenano,
La
que
propo-
<0)
es p o s i b l e
) + gr tr
los c u a t r o
Por h i p ó t e s i s
de las d i m e n s i o n e s ,
ftA
aplicar
de
anterior prueba
*(Q >
se m o d i f i c a
la e x t e n s i ó n A C A '
k ( p J
de t r a s c e n d e n c i a
(1) y
loca-
verifica
la
(2)
MQ')
implica
la
igualdad
Si B es un a n i l l o
noethe-
sean Q = Q ' n B, P - Q H A
(2 1) a la e x t e n s i ó n
que
por
luego
' = h ( Q ' ) + gr tr
del g r a d o
aplicar
k(Q)
términos
d a d o un ideal p r i m o Q' de A ' ,
es p o s i b l e
miento
cierto
+ gr tr
A*>h(Q
las dos d e s i g u a l d a d e s
Como
y
ÇA'/Q»
obtener
y la a d i t i v i d a d
nano,
fmitogenerada
sea Q un ideal p r i m o
B>h(Q)
ser B f
h ( P ) + gr tr
en
A
q u e n i n g u n o de
lización
B/Q
que
h(Q) + gr tr
puesto
resulta
Por otra p a r t e
de una A - á l g e b r a
de c) , Q = Q ' n B p a r a
h (P) + gr tr
siendo
De a q u í
-
c)
(2 1) a s e g u r a
(1)
exhaustivas
tal que Q=Q' n B
es s u b á l g e b r a
En v i r t u d
sición
aplicaciones
Q'e Spec A
demostrado
Con
de dos
26
(2) es u n a
B C A',
igualdad
el
lo q u e
razona
demues-
tra d) •
(3 2) - Observaciones
general
un a n i l l o de J a c o b s o n
Wadsworth
([34], ex
b) El c o n t r a e j e m p l o
tra que
Th
de N a g a t a
demuestran
al p r o b l e m a
una A - á l g e b r a
c u e r p o y B un a n i l l o
A ) ha
como
caracterizado
de
todo a n i l l o
También,
ra q u e
intermedio
las
es
ejemplos
en
de
de H i l b e r t
demues
fmitogenerada,
aunque
extensiones
noethenano
De h e c h o
A Ç A'
Wadsworth
(A, A '
fmitogenerada)
B es una A - á l g e b r a
como ya se d i j o , ha p r e c i s a d o
t o d o B sea
XIV
invariantes
tegros, A n o e t h e n a n o . A' una A-álgebra
que
B no
1)
B no es en g e n e r a l
A sea un
([34]
a) A u n q u e A sea un c u e r p o ,
en
ín
tales
fínitogenerada
([33]) c o n d i c i o n e s
pa
-
c) La
no es e p i y e c t i v a
to 5¿0 del
ejemplos
Spec
en g e n e r a l
caso B = A a n i l l o
local
Dar
un c o n t r a e j e m p l o
Para
Puesto
se llega
a un a b s u r d o
luego
{M }
de
efecto,
ideal
(3 1
considérese
anillo
a),
primo
fmi-
c)
el
en
intersección
de
re-
ejemplo
el que A
de J a c o b s o n ,
s i e n d o R una A - á l g e b r a
En
dar
2)
en la o b s e r v a c i ó n
es la f a m i l i a
exis
maximales
fînitogenerada,
R es un a n i l l o de
Jacobson
de los i d e a l e s m a x i m a l e s
de
R,
ie I
tiene
(0)
=
H m
x
îe I
y si B = B/Q y Ñ i
= M ^ H B, ie I
(0) =
n
resulta
Ñ
1
16 I
C o m o cada Ñ ^ = N ^ / Q con N ^ e S p e c
O =
n
ie i
N
B
tensión
te p o r
algebraica
([3], Ch
Luego
ellos,
los N
en c o n t r a
V
finita
Al
3)) r e s u l t a
de la h i p ó t e s i s
en
que
ser A C r / m ^ u n a
(por
son i d e a l e s m a x i m a l e s
ideal p r i m o Q de B
tener
xfl
de c u e r p o s
§ 3 4 Th
Se sigue c o n s i d e r a n d o
q u e lo a f i r m a d o
se sigue
i
Por o t r a p a r t e , A C B / Ñ ^ C R/M^,
d)
ex
Q de B que no es
que B/Q C R
1
([34],
el
elemen-
de n i n g u n a A - á l g e b r a
que B no es un
Supuesto
es
es p o s i b l e
y B tiene un
construirlo,
es un c u e r p o
si
incluso
cuerpo
trivial
f cualquier
a la s e g u n d a p a r t e
B mencionado
ideal p r i m o
Pero
a B
de s u b á l g e b r a
te un
siendo
de un p r i m o
que c o n t e n g a
quiere mas trabajo
Un c o n t r a e j e m p l o
de A
en los que A es un
togenerada
B
A' = A f ,
ideal m a x i m a l
q u e no es c o n t r a c c i ó n
po
-
aplicación
Spec A'
se
27
(2 7), o
simplemen-
que B / Ñ ^ es un
cuer-
y Q es i n t e r s e c c i ó n
de
hecha
el e j e m p l o a n t e r i o r ,
(3 1 d) no es v á l i d o
En e f e c t o
ex-
para
para
demostrar
en g e n e r a l p a r a
el Q a n t e s c i t a d o
todo
se ha
de
gr tr
pues
en caso de
ferente)
por
igualdad
Ä
Mß)
(2 1), única p o s i b i l i d a d
de una A - á l g e b r a
de
lo d e m o s t r a d o
en la t e r m i n o l o g í a
de
[34]
(3 1 d) d e m u e s t r a
, cosa
la e x i s t e n c i a
de un a b i e r t o b á s i c o D^
Se pasa
a calcular
(3 3) - Proposicion
que A es un amito
togenerada
no hace
well-behaved
la d i m e n s i ó n
de una
Sean A C B C A' amitos
y A' es una
de-
primo
Además
en c o n d i c i o n e s m u y
Entonces B es de dimensión
generales
primes
subálgebra
íntegros
tales
A-algebra
fmi-
finita si y solo si
finita, y en tal caso se verifica
dim A + gr tr
b) Si rd(A)=0,
Esto
ideal
formado por
noetheriano
A es de dimensión
en c)
que no todo
que W a d s w o r t h
di-
finitogenerada
Th 2), en contra
de B es ' w e l l - b e h a v e d
a)
(según
B/Q es s u b á l g e b r a
( [34 ]
muestra
h(Q) + gr tr
ü
B-1 < d i m
B <dim
A + gr tr
ü
B
entonces
dim B = dim A + gr tr
'
B.
A '
para todo anillo íntegro B'D B que es una B-algebra
finitoge-
nerada se tiene
dim B' = dim B + gr tr
B1
y rd(B) = 0
Demostración
Procediendo
la d e m o s t r a c i ó n
B . 1[x,,
f
1
y n = gr tr
to de
B
de
dim A*
r
A'f
ne por
de
CA'
—
f
que B f
una vez m á s
= dim
comienzo
entera
Como A es un a n i l l o n o e t h e n a n o ,
(3 1) p r u e b a
te, a p l i c a n d o
igual que al
(3 1) se tiene una e x t e n s i ó n
,x J]
n
A*
exactamente
B
es un a n i l l o n o e t h e n a n o
los r e s u l t a d o s
+ gr tr
r
es una A - á l g e b r a
básicos,
el
razonamien
—
Esto
permi-
escribir
A
B
f ínitogenerada,
(2 3) dim A' f =<», y en c o n s e c u e n c i a
Si dim A < œ , t a m b i é n dim B<<» p u e s
(2 2)
luego
si dimA=oo se
dim Bf=«> y dim
implica
B=°o
tie
-
dim B < d i m
luego
B es de d i m e n s i o n
Aplicando
dim B > d i m
lo cual
finita
se
si y solo
B = dim A , - g r tr _ A ' > dim A + gr tr
t
I
B
también por
= dim A + gr tr
de
sentido
la e x t e n s i ó n
demuestra
contrario
i n c l u i r a B' y A'
fmitogenerada
tr
A'=
a)
A'-gr
A
tr
B
la
A'
=
(3 4) q u e
igualdad
se
demostrará
], que
es
(y p o r tanto una A - á l g e b r a
de
fmi-
inclusiones
-*• A' [ B' 1
t
B
A
implica
en el anillo A ' [ B
el d i a g r a m a
B'
t
A'
C o n s i d e r a n d o A C B' C A ' [ B ' ] y a p l i c a n d o a B
dim
B
tiene
A' = dim A + g r
B
B C B ' , el lema
togen irada), o b t e n i é n d o s e
se
tr
„B
A
y la d e s i g u a l d a d
una A * - á l g e b r a
anterior,
(2 3) se
B = dim A' - g r tr
I
R
luego p e r m i t e
A'-1-gr
A
ft-1
A
Si r d ( A ) = 0 ,
Dada
si lo es A
tiene
junto a la d e s i g u a l d a d
dim B > d i m
-
A + gr tr , B
A
(2 3) a A ' f
= dim A + gr tr
*
29
lo ya
demostrado,
tiene
B' = dim A + gr tr
= dim B + gr tr
Si fuese
igualdad
mente
S
B*
= dim B-gr
tr
n
B + gr tr
A
B*
=
B"
rd(B)^0,
fallaría
A
considerando
con B ' = B ^
gerd(B),
g^O
la
Se t i e n e así d e m o s t r a d a
anterior
completa-
la p a r t e b) •
El
siguiente
hecho
elemental
se incluye
a falta
de u n a
re
ferencia
(3 4) - Lema
Sean B^, B 2 anillos
íntegros que contienen
a un
anillo R
Existe un anillo íntegro CDB 1 tal que C contiene
subanillo
isomorfo a B?
un
Demostración
Sean
respectivamente,
en la forma
mente
k C
k, K^,
tales
K^ c u e r p o s
que k C K^, k C K^
k(S) C K^,
independiente
cocientes
y
B^,
Factorizando
con S s u b f a m i l i a
maximal
de R
d e K^
B^
k C
K^
algebraica-
considerando
k (S) Ç K 1 (S) Ç K 1 (S)
con K 1 ( S )
tensión
clausura
k ( S ) C K^
en K ^ ( S )
Es
algebraica
es a l g e b r a i c a
suficiente
Finalmente
los c o r o l a r i o s
del
tomar
existe una
C = K1(S)
se g e n e r a l i z a n
del
cuerpo K ^ ( S ) ,
dado
que
la
k ( S ) - i n m e r s ion
ex
de K
•
algunos hechos
considerados
en
§ 2
(3 5) - Corolario
Sean A C B C A' anillos íntegros
A es un anillo noethenano
A' es una A-álgebra
tales que
de dimensión finita y rd(A)= 0
fmitogenerada
y
Se verifica
a) La extensión A ç B es algebraica
si y sólo si dimA = dimB
b) Si N es un ideal maximal de B tal que h(N)=dim B,
entonces
M=N HA es un ideal maximal de A tal que h(M)=dim A y A/M C B/N
es una extensión
Demostración
algebraica
a) es c o n s e c u e n c i a
Por otra parte,
dim A + gr tr
= dim B + gr tr
de d o n d e
A
en v i r t u d
B>h(M)
k
k ( M )
(N)
b)
ser A un
tración
del
de n u e s t r a
utiliza
caracter
(3 1)
+ gr tr
=
d i m
a) E a k i n
proposición
c u e r p o y A' un a n i l l o
complicado
de
de
(2 1) y
A
el
'teorema
noethenano
A + gr tr
que
el lema
(3 3 b)
(3 3 b)
se
tiene
+ gr tr . ,„*k(N)
K (HJ
ftB
+ gr tr
k
k(M)
(N>
en
([ 9] , Th
3)
la
(3 1) en el c a s o p a r t i c u l a r
de p o l i n o m i o s
([8]
extensión
de A r t í n - T a t e
=
dim A «
demuestra
de Eakin
en una
de
B>h(N)
gr tr . ,„.k(N) = 0 y h(M)=
k (M)
(3 6) - Observaciones
parte
inmediata
usado
sobre A
Th
2) de
finita
en
la
Su
de
demos^
descenso
bastante
mas
demostración
- 3 1 -
Asimismo
anillo
de p o l i n o m i o s
n, t i e n e
lar de
b) Un
afirma
( [9 \ Th 2)
grado
que afirma
sobre un cuerpo
de t r a s c e n d e n c i a
n
que una
subálgebra
de d i m e n s i ó n
resulta
como
(de
caso
de
un
Krull)
particu-
(3 3 b)
caso
aún más p a r t i c u l a r
lo m i s m o que el teorema
caso n = 1
de
(3 3 b)
es
( [35 ], 1 1 ) , que
del p á r r a f o p r e c e d e n t e
para
el
CAPITULO
LA P R O P I E D A D DE
Se estudia
II
"GOING-BETWEEN
P A R A UNA
en este c a p í t u l o
lo que
g o î n g - b e t w e e n ' p a r a una extensión
traves
de la d e f i n i c i ó n
tiones
generales
pasa
a medir
mados
GB
po
de a n i l l o s ,
se centra
relativamente
ínteres por
ce
finalmente
ficación"
§ 1
Se
la a t e n c i ó n
en
se d e f i n e n
que
la s i g u i e n t e
se
que
son
inducen
definidos
mayor
a n i v e l de
los G B ^ - a n i l l o s
relativas
extensión
de las
como
clases
las de
entero
de
a la
Ha.
c i e r t o ti^
las t r e s
el c i e r r e
cuestiones
y propiedades
de un
los G B ^ - a n i l l o s ,
se e s t u d i a n
de i d e a l e s p r i m o s en una
introduce
anillos
a
cues
de dicha p r o p i e d a d
enteras,
d e f i n i d a por
a considerar
Definición
considerar
Una vez c a r a c t e r i z a d a s
En p a r t i c u l a r
axiomatizada
sus e x t e n s i o n e s
las b u e n a s p r o p i e d a d e s
y la e x t e n s i ó n
Tras
de
tres c l a s e s de a n i l l o s ,
Dichos
a las e x t e n s i o n e s
pectros primos
ríanos
examinando
los cuales todas
son G B - e x t e n s i o n e s
de a n i l l o s ,
transferencia
su a l c a n c e
para
se llama p r o p i e d a d
de G B - e x t e n s i ó n
GB„ y GB - a n i l l o s
1
2
o
aquellos
sobre
EXTENSION
Todo
esnoethe
condu
unirrami-
anillos
GB-extensiones
terminología,
p a r a una
extensión
de a n i l l o s A C B
A C B se llama una GU-extensión
S p e c A y todo Q^
tal q u e Ç ^ C Q 2
de Spec
y Q^H
tal
que Q ^ C Q 2
todo p a r P ^ C P 2
B tal que Q ^ H A = P ^
existe
Q2eSpec
de
B
A = P^
A C B se llama una GD-extensión
Spec A y todo Q d e
si p a r a
si p a r a
Spec B tal que Q^n
y Ç^fï A = P ^
todo par P ^ C P 2
A - P^,
existe
Q^eSpec
de
B
A C b se llama una GB-extensión
P^C p Cp2
Q
n
toda
de Spec A y todo par Q ^ C q^ de Spec
A = P1, Q 2 n a = P2,
1
si p a r a
existe QeSpec
terna
B tal
que
B tal q u e Q 1 C q C
Q^
y Qfl a = P
Las
dos p r i m e r a s
definiciones
se i n t r o d u c e n
lo a u x i l i a r
y se e v i t a r á
mente
sido h e c h o p o r K a p l a n s k y ,
ya ha
otra parte,
para
no
se c o n s i d e r a n
un h o m o m o r f i s m o
de h e c h o
de
las
McAdam,
porque
siguientes
reúnen
ROA
la terna
C tales q u e R
Existe
un R e S p e c
A = P ^ , R2 H A
un Q e S p e c
la t e r n a P ^ P C P j
que
Q 1 fl A = P ^
según
existe
GB-extensión
entonces
y Q DA
( 1 2 ) - Proposición
al
S
y Q HA
2
A C S
= P
Evidentemente
Q.j C Q 2
ser B Ç C una
C tal
Tomando
lo que d e m u e s t r a
anillos
-1
es una GB-extensión
B
Se
de
Puesto
que
Q = RO B se
tie-
b) •
verifica
GB-ex-
GB-extension
M —
A
Enton
existe
si y solo si a U C B W es una
sión para todo ideal maximal vi de
B
GU-extension,
de A y A C B es una
es una
Spec
que R ^ H B = Q 1
y R 2 n B = Q2
a) Si s es un sistema multiplicativo
tensiónj, entonces
Q
y RflB = Q
y RH A = P
Sea A C B
-1
q
-|C R 2
B,
y A C C es una G B - e x t e n s i o n ,
= P,
R
sean
c
de Spec A y el p a r
C tal que R 1 C R 2
R 2 H A = P2
= P2#
42) un R ^ e S p e c
C tal que R ^ C RC R 2
ne Q ^ C Q C Q 2
—
mas
a)
Q^ f> A = P 2 ,
([18], Th
R2eSpec
R^H A = P ^
b) A C B
reducen
Spec A y el par
B tal que Q C
C tal que R^ C R C R ^
Dada
RçSpec
se
verifica
AC_c es
P ^ C p C p^ de
lo que d e m u e s t r a
existe
Se
y B C c es GU-extensión3
= P,
tales
ces
Dada
= R2 OB
Existe
Por
GB-extensión
Demostración
Q2
etc
las p r o p i e d a d e s
Sean A C B C C anillos
b) Si A Ç C es GB-extensión
Spec
parcial-
definiciones
los p r o b l e m a s
a) Si A C B j/ B C c son GB-extensiones3
de
Dobbs,
títu-
GB-extensiones
(1 1) - Proposición
A C b es
que
a
inyecciones
dos p r o p o s i c i o n e s
inmediatas
sistemático,
las c o r r e s p o n d i e n t e s
de a n i l l o s
al caso de
Las
su e s t u d i o
solo
M
GB-exten
—
-
c) A C B es una GB-extensión
GB-extensiân
-
si y sólo si A/i C B/J es una
para todo ideal J de B
siendo I=J HA
D) Si A
B son anillos íntegros y A Ç_ B es una
entonces
A C B es una
GB-extensiôn,
GD-extensiôn
e) A C B es una GB-extensión
A/P C B/Q
34
si y sólo si para todo QeSpec B,
es una GD-extensión3
siendo
P=QDA
*
f) Supuesto
B
que ningún elemento de A es divisor de cero
A C B es una GB-extensión
si y sólo si para todo QeSpec B,
A p C BÇ es una GU-extensión3
Demostración
dad
del
siendo P=Q Ha
a) es c o n s e c u e n c i a
-*•
Spec
La
parte
la p r o p i e d a d
Q„ C Q„
* 1
diagrama
- 1
B -»•
Spec
S
la m i t a d
sea
conmutativi-
aseguran
P^CI P C P ^
2
Si A C
la
demuestra
Spec
B
del
ción
f)
solo
esta
complicación
Spec A y el
un
ideal
corta
a S
La
correspondiente
B tal
que
Q^QCQ^
lo es A / I £ B/J
a
diagrama
A
t
Spec
se r e q u i e r e p a r a
si se h u b i e r a
también
Spec
Spec B/J
evitarse
del
Supuesta
b)
t
condición
de
Q^ no
de un Q e S p e c
B es una G B - e x t e n s l ô n ,
conmutatividad
S=A-M
Existe
2
Si S = A - M ,
la e x i s t e n c i a
lo q u e
con
Q„rïA=P„
W
1
a
A
de b ) ,
la t e r n a
B con Q. H a = P
contiene
- 1
en A w C B
y la c o n m u t a t î v i d a d
M —
M
= P,
de
S
localmente
M de A que
hipótesis
Esta
la
t
a) d e m u e s t r a
de S p e c
2
maximal
causa
de
SpecA
t
y Q HA
inmediata
diagrama
SpecB
p
e ar
en
definido
se u t i l i z a r á
en un
A/I
garantizar
que A p C
GU-morfismo
ejemplo,
Como
no p a r e c e
B^
la
Podría
condi-
justificada
-
Recíprocamente,
Q^C Q2
rar
de Spec
dada una
anterior
la h i p ó t e s i s
con J = Q 1
de d),
Q2eSpec
B tal que Q 2 H A = P 2
Spec
Si P ^ Í O ) ,
B
(0)C Q 2
P C PC P2
B taies que Q 1 H A = P 1 ,
el d i a g r a m a
En
terna
sea
Q
tiene
P
el p a r
Si P ^ Í O )
considerando
CP
1
basta
considec)
de Spec A y
2
tomar
sea
£^ = (0) en
(0)CP1CP
e x i s t e Q 1 C Q^ tal que Q ^ O A = P 1
par
demostrada
basta
la t e r n a
-
Spec A y un
D A =P2
2
y se
de
35
2
y el
L u e g o A C B es
par
una
GD-extension
Para
demostrar
e)
lo es A / P C B/Q según
tensión
un p a r
rando
tiene
si A Ç
c),
luego
Recíprocamente,
Ç ^ C Q^
el p a r
A/P1
correspondiente
P
=
tal que Q / Q ^ H A/P1
Para
dada una
p
de
terna
Spec A/P.J
1
P o r
2 /P.|
= P/P^
diagrama
demostrar
se c o n s i d e r a
en v i r t u d
f)
hi
de d) es una
y Q /Q^
P°tesis
asegura
supuesto
el d i a g r a m a
que
*
y Q 2 n Ap=
P2
Si P 2
PA
-»•
Spec
-*•
= P^p,
P2
=
P
2Ap
de
y Qfl A = P
GB-extensión,
A
Spec
A
P
p'
Spec A p y Q i
*
tomar
se
Q 1 =Q 1 B ^
tal q u e Q 1 C Q 2 C Q y Q2H
*
*
*
*
Q2
del
*
S p e c A y un p a r Q ^ C Q de Spec
*
*
*
P1
B/Q^
t
si P =PA
basta
2
P
*
se
Q/Q e S p e c
q u e A C B es una
*
P^C P 2
*
B/Q1
la c o n m u t a t i v i d a d
Q
Q.n A = P .
P
1
conside
conmutativo
Spec B
Dado un par
*
*
eSpec
existe
Q. C QC
t
*
GD-ex-
P ^ C p C p^ de Spec A y
y una v e z m a s
Spec B
*
también
de Spec B tales q u e ß ^ D A=P.| , ß 2 H A = P 2
P/P^C P 2 /
Q2/Q^ri
B es una G B - e x t e n s i ó n
A=P2
eSpec
B ^ tales que
*
*
Q_ = QB
y se tiene QC
*2
* Q J
t i e n e
una
B tales
terna
que
P ^
Q ^
Por h i p ó t e s i s ,
Entonces
P 2 C P de
A=P
Qfl A = P,
e x i s t e Q2e S p e c B
= Q2BQ'
si Q 2
Ç)
*2
se
tiene
Q, C Q_ 1y Q „ D A_ = P_
*2
*2
P
2
Recíprocamente,
par
*
Q 1 C Q2
*
P =PA
2
*
Q^fl A p
*
*
Q n A
= P
2
terna
P^C pC P2
de Spec A y un
de Spec B tales que Q ^ H A=P ^ , Q2C\ A = P 2 ,
*
*
P. = P A
tiene
dada u n a
= P1
, Q
= Q..B
En
la e x t e n s i ó n
2
2
Por h i p ó t e s i s
A
C B
Q e Spec
B^
se
C
2
*
existe
sean
tal
2
que
*
Si Q=Q n B, e n t o n c e s
Q C QC Q
y Qfl A = P,
2
lo
cual
demuestra
Ejemplo
Sean A Ç
cuerpo
A Ç
f) •
de
cocientes
B es una
En
([31],
Th
sea Q e S p e c
cuestión
Un
tales
de A y B es un A - m o d u l o
2) y b a s t a
Una
íntegros,
que K es
plano
el
Entonces
GB-extensión
efecto,
siones
B ç K anillos
caso
B, P = Q n A
aplicar
básica
simple
va
A
P
=B
Q
(1 2 f)
a ser
es el
Se v e r i f i c a
relacionar
siguiente,
que
las GB y
GD-exten
será u t i l i z a d o
más
tarde
(1 3) - Proposición
valoración
Sea A un anillo
del cuerpo de cocientes
es una GB-extensión
Demostración
Si A C V es u n a
S p e c A y un p a r Q ^ C Q^ de
junto
Q Q
QeSpec
totalmente
Q1
§ 2
V tal que Q C Q
ordenado
implicaría
Definición
11
basta
una
que
y Qn A = P
([27],
P = P^
dada
tales
2) se
aplicar
(1 2 d)
P
terna
2
A = P
Q^H A = P ^,
Como
Spec
tiene
L u e g o A C V es una
y caracterizaciones
A C V
GD-extensión
GB-extensión,
Spec V
un anillo de
de A que contiene a A
si y sólo si es una
Si A C V es una G D - e x t e n s i ó n ,
existe
-íntegrOf v
Q
V es un cori
C Q,
pues
GB-extensión
de los GB
y
2'
•
GB^-anillos
C o n el fin de e x p l o r a r el a l c a n c e de la c o n d i c i ó n de G B - e x
t e n s i ó n sin h i p ó t e s i s r e s t r i c t i v a a l g u n a , se i n t r o d u c e la d e f i n i c i ó n de GB - a n i l l o
Por ser m á s c ó m o d o el m a n e j o de a n i l l o s
J
o
íntegros
éstos
se d e f i n e n
resultan
diados
A,
(véase
también
coincidir
los G B ^ - a n i l l o s ,
con
los G D - a n i l l o s ,
B designan
como
siempre
extensión
ampliamente
estu-
anillos
que A es un GB -anillo
^
o
GB-extensión
Se d i r á
finalmente
[ 7] )
Se d i r á
una
aunque
que un a n i l l o
íntegro
A C B con B í n t e g r o
si t o d a
A
es u n a
es un
extensión
GBj-anillo
GB-extensión
A C B es
—
si
toda
-
Se
comienza por
cociente
estudiar
y localización
el c o m p o r t a m i e n t o
Se p r e c i s a
un h e c h o
37
-
por paso
simple
al
previa-
mente
(2 1) - Lema
Sea A un anillo3
un anillo
tal que À C B
de
que
B tal
posible
A C B ,
I un ideal de A
Existe un anillo B y un ideal J
B«B/J
¡/ J Í I A =
I
encontrar un B que sea también
Demostración
Ä = A/I, B
Si
A es
íntegro,
es
íntegro
Sea
{b } una f a m i l i a de g e n e r a d o r e s de B c o m o
a_ _
A - á l g e b r a , es d e c i r , B = A f { b }1
Sea B = A Í { X }]
con X
mdeter1
1
a
a
a
minadas
C o n s i d e r a n d o los h o m o m o r f i s m o s n a t u r a l e s
A[{X
}]
OC
^
sea J = K e r (IT 2 °ïïi)
}]
C£
1[{X
Puesto
^
Ä [ { b }]
ex
q u e TT J y N 2
s o n
epimorfismos
se
tiene
A[{Xa}]
«Â[{ba}]
= B
J
y J n A =
Además
I
pues
si A es
aeJflA
íntegro
(2 2) - Proposición
tes son
'«•(TT2
está
TTi)(a) = 0<*
claro
TTi(a) =
que A[ { x } ]
O^aei
también
Para un anillo A las condiciones
•
siguien-
equivalentes
a) A es un GB -anillo
o
b) A/i es un GBQ-anillo
para todo ideal I de
A
c) A/P es un GB - anillo para todo ideal primo P de A
d) A/p es un GB-anillo
e) A
de A
, es un GB -anillo
o
red
Demostración
Ä
para todo ideal primo minimal p
Por
ideal
el
lema
a) =» b) Sea Ä = A/I y sea A C^ B una extensión de
(2 1), es p o s i b l e
J de B tal que I = B/J
encontrar
y JHA
= I
GB-extensión
se sigue de (1 2 c) q u e Ä C
b)
=> c) y
c) => d) son t r i v i a l e s
un
anillo
Como A Ç
B es u n a
B 3
B es
A y
un
una
GB-extensión
-
d)
=*•
e) Sea N el n i l r a d i c a l
P ^
p C p^ de Spec
(
Ä
re(j)
un
y
•k
h
Q
= P, xQ „ n A
= P„
X .n A
1
red
1
2
red
2
Por
de A, A
la c o n m u t a t i v i d a d
del
P
ar
= A/p.
1
A
red
una
A/P
e)
aplicar
-*•
B
-
I
B
N (A )
las flechas
u n a
GB-extensión
P^
Teniendo
el lema
Sea p
en
(2 1) p a r a
en v i r t u d
cuenta
obtener
(1 2 c)
que
sean N ( A ) , N ( B )
los
de
Puesto
que N ( B ) O A = N ( A )
N (B)
verticales
inducen
e s p e c t r o s , A C B es una G B - e x t e n s i ó n
—
(2 3) - Proposición
son
que
conmutativo
I
A
los
e s
de A, B r e s p e c t i v a m e n t e
un diagrama
que
taies
GB-extensión
A
y puesto
terna
Argd/p*
=» a) D a d a una e x t e n s i ó n A Ç B de A,
se t i e n e
una
,
red
de A tal que p C
de A/p y c o n c l u i r
es una
nilradicales
B
1/P
GB-extensión
C B/Q
Spec
/ p * Q. B / Q 1
basta
/P
P
ec
t
un i d e a l p r i m o m i n i m a l
que A/P
s
Q-i^
Spec A
Spec B / Q 1
=
Dada
d
diagrama
t
v e r que A/P^
e
-
*
sea P e Spec A tal que P. =P. .„
1 ^
^
1
1/N
Spec B
basta
,=A/N
r
*
38
isomorfismos
por
serlo A
en
, C B
red —
red
Para un anillo A las condiciones
siguientes
equivalentes
a) A es un GB -anillo
o
b) S~ 1 A es un GB -anillo para todo sistema multiplicativo
S
de A
c) A p es un GB - anillo para todo Pe Spec A
d) a M es un GB 0 -anillo para todo ideal maximal
Demostración
*
terna P
*
Cp
I
a)
b) Dada una
*
Cp
S
-1
A Ç
de
A
-1
B de S
A,
una
_i
de Spec S
/
extensión
M
A y un p a r Q C
I
Q
de Spec B
A
taies
-
que Q^n
S
_1
*
A = P ^ , Q^t
_i
S A
*
= p
s e a
1
e l
núcleo
2
del
39
-
homomorfis-
mo
S~1A
A
La e x t e n s i o n A/I C s ^ A induce una i n y e c c i ó n en los r e s p e c t i W
W
*
vos espectros
luego la terna P ^C p C p^ da p o r c o n t r a c c i ó n una
terna
P„C P C P , de Spec A/I
Por (2 2 b) A / I es un GB - a n i l l o ,
1
2
o
l u e g o e x i s t e QeSpec B tal que Q C Q C q
y q D A/1 = P
Se tiene
-1
*
-1
por fuerza Q H S
A = P , luego S
A C B es u n a G B - e x t e n s i o n
b) => c)
y c) => d) son
d) => a) R e s u l t a
La
dos
triviales
inmediatamente
siguiente proposición
clases
de anillos
(2 4) - Proposición
que
de
(12
determina
se han
b)
«
la r e l a c i ó n
es un
3
Un anillo A es un GB^-anillo
si A es integro3
si y sólo si
A / p es un
Recíprocamente,
P.jC P C P 2
dada una
extensión
de Spec A y un par
que p
C P^
sión
Puesto
también
lo es A/p p o r
(2 2)
GB^anillo
Q 1 fl A = P^ , Ô 2 ^ A = P 2 »
que A/P =
Q^C Q2
sea p un
E's s u f i c i e n t e
ver
*
í
/
terna
B tales
que
ideal primo minimal
por
1
A C B, una
de Spec
que A / P 1
/P/p
exten
*s i ó n
A/P1
En
A es un GB - anillo si y sólo si A
Si A es un G B o - a n i l l o ,
A fortiori,
A/p
p de A
GB^-anillo
Demostración
de B
las
introducido
A/p es un GB^-anillo para todo ideal primo minimal
particular
entre
el
C B/Q^
lema
es una
de A
tal
GB-exten
(2 1) existe
una
P
A / p C B * con B
í n t e g r o *(al * serlo A / p ) y un i d e a l Q
t a l e s que Q fl A/p = P /p y B /Q « B/Q
Por h i p ó t e s i s ,
*
C B
es una G B - e x t e n s i ó n
Ç B/Q1
Se p a s a
anillos
Luego por
(1 2 c) t a m b i é n
lo
9
a demostrar
de v a l o r a c i ó n
que
las e x t e n s i o n e s
son las que
deciden
el
definidas
problema
por
es
-
(2 5) - Proposición
cocientes
Sea A un anillo
A es un GB^-anillo
de valoración
íntegro,
40
K su cuerpo de
si y sólo si para todo
V de K que contiene
a
-
anillo
A, A CV es una
GB-exten
sión
Demostración
ración,
Supuesta
hay
la c o n d i c i ó n
que ver que
una
GB-extensión
una
terna
que
Q^N A = P1
Sea L D
P^C p C p ^
tales
Q ^ H B = Q1
Sea V = W OK
xeK,
1
x ó x
tividad
del
W de L
Q^H B =
V es un
son de V
diagrama
en v i r t u d
de
B
con
Q C Q<je
de
([11 ]
valo
B íntegro
cocientes
W ^ B y un p a r
es
de B
Dada
Spec B
tales
19 7)
existe
Q ^ C q^ de
Spec
W
Q2
anillo
Sean
los a n i l l o s de
A ç
de
A y un p a r
Q H A = P2,
de v a l o r a c i ó n
extensión
K el c u e r p o
de S p e c
un a n i l l o
que
toda
sobre
P^
de v a l o r a c i ó n
= Q^n V
de K
P^ =
V
pues
La
si
conmuta
inclusiones
A
-»• B
i
I
V
W
implica
P^ n A = (q n v ) r » A
y análogamente
sión
luego
gun
([11],
tar
Spec
ne
= P^
19
16 b) e x i s t e
W totalmente
Q DA
Por h i p ó t e s i s
existe P'eSpec
Q 1 C Q CQ2
luego
P^ D A
= q^ n A = ( Q ^ r i B ) N A
tal q u e
Q'espec
ordenado
W tal
que Q ' n v = P *
Sea Q=Q
= Q1 D A
anillo
íntegro A
se
(Q 1 H V ) n
=
llama
un
GD-anillo
referencia
sobre
posición
Por
es-
Se
tie
•
es u n a G D - e x t e n s i ó n
de a c t u a l i d a d
inmediato
H B
S£
A = P1 D A = P
s i ó n A C b con B í n t e g r o
Es
GB-exten-
P ^ C P ' C P^ Y P ' H A = P
Q ^ C Q ' C Q^
A C B es una G B - e x t e n s i ó n
Un
A C V es una
y
(Q1 D B ) H A
=
V
= ç ^ H A = p1
(1 2 d) que un
(2 5) p e r m i t e
esta
clase
GB^anillo
demostrar
el
si toda
Una
exhaustiva
de a n i l l o s
es
es un G D - a n i l l o
recíproco
exten-
[7]
La
pro
(2 6) - Corolario
Sea A un anillo
integro
A es un GB ^-anillo
si y sólo si es un GD-anillo
Demostración
Si A es un G D - a n i l l o ,
ciôn V del cuerpo de c o c i e n t e s
una
GD-extensión
Por
por
(2 5) A es un
GB^-anillo
(2 7) - Corolario
Entonces
Según
y por
do p e r m i t e
mostrar
de hecho
tructura
ha d e m o s t r a d o
§ 2 entendiendo
de P r ü f e r
de
que
Es bien
ejemplos
sabido
de un v i e j o r e s u l t a d o
de K r u l l
([l8], Th
los V de
(2 5) son de la forma V = A p
ce o b v i o
que A C V es una
De h e c h o
ejemplo, de
la d e f i n i c i ó n
tensiones
íntegro A
con dim A > 1 ,
construir
existe
un
GD-extensión
anillos
(2 4)) y t a m b i é n e x i s t e n
la
esauto
se e n c u e n t r a n
que es un
fácilmente
65) que
de
en
GD-ani(2 5) y
indica
que
lo q u e
ha-
de A
esto
no p u e d e
e l e m e n t o a del c u e r p o
GB-extensión
de
Esto
ser
co-
se si^
1)
no
tiene
íntegros
utilizando
Sin e m b a r g o
GD-ani^
nueva v í a ,
con P e S p e c A,
es una
de G D - a n i l l o
una e x t e n s i ó n
rede-
sobre
tal que dim A>1
([7], 4 3 y 4
que no sean
y
GB-extensión
de A tal que A C A [ a ] no
gue, por
resulta
(2 7)
se d e d u c e
1
este
de G B ^ - a n i l l o
s u p o n e una
términos
un GB - a n i l l o
(2 2 c)
recientemente
sencillo, mantenemos
en n u e s t r o s
anillo
es
Luego
(2 4) y
de r e s u l t a d o s
(interesantes
anillo n o e t h e n a n o
Por
Naturalmente
serie
72) es un G B ^ a n i l l o
11o, p e r o
d) En
a A, A C V
GD-anillo
la d e f i n i c i ó n
en una
de d e m o s t r a c i ó n
anillo
[18], p
un
(2 7) no es un r e s u l t a d o
de este
contenida
cientes
valora
P un ideal primo de A
indirectas
evitar
(2 5) b a s á n d o s e
Como
tanto
a) D o b b s
(2 7) en [6] por vías m a s
c) Un
de
GB-extensión
(2 6) A es un G B ^ a n i l l o
(2 8) - Observaciones
b) T o d o
contenga
(1 3), A Ç V es una
Sea A un GD-anillos
es un G B ^ a n i l l o ,
líos
de A que
todo a n i l l o
A/P es un GD-anillo
Demostración
A/P
para
43 ex
incluso)
no o c u r r e
GBo-anillos
considerar
En e f e c t o ,
([18], p
(entera,
interés
si A es
25)
se
que no
en n u e s t r o
ex
un
puede
sea
caso
una
(por
que no son G B ^ - a n i l l o s
Por
-
ejemplo
A
en v i r t u d
I
de
x A
¿
es un
GB
-anillo
si A
\
, A
son GB
¿
I
-
-anillos
(2 4)
e) Es p o s i b l e
construir
yección
entre
los
también
GD-extensiones),
ejemplo
ACA[X],
po y X una
O
42
GB-extensiones
espectros
de a n i l l o s
pero
con A un
indeterminada,
que
que
anillo
no
inducen
íntegros
son
de
epi-
(y p o r
ello
GU-extensiones
Por
de P r ü f e r
en v i r t u d
una
que
no
b) y de
sea un
([18]
euer
p
41
ex
3)
§ 3 - Definición
En
las
la
el p a r á g r a f o
definiciones
para
la
clase
cuestión
que
son
son
con
el
de
entera
las que
que
la n u e v a
dición
de
en el
(3 1) - Lema
anillo
son
demasiado
noethenanos
A partir
básicamente
Se
de
se h a c e
luego
las
noethenano
El
situación
es b a s t a n t e
mas
GB
U
rigurosas
de
aquí
-anillo
enteras3
a través
de
propiedades
caracter
A es un
que
extensiones
Esto
estudian
todo G B Q - a n i l l o
paralelismo
compleja
si t o d a
los GB
§ 2
enteras
incluimos
es un G B ^ - a n i l l o ,
es m u c h o m e n o s
se c a m b i a
([ 28] , 3 2)
mostración,
de m a n i f i e s t o
extensión
GB-extensión
GB^-anillo
extensiones
Ratliff
y la
un a n i l l o
la d e f i n i c i ó n
Como
del
condición
de n u e v o
se ha p u e s t o
a la c o n s i d e r a c i ó n
interesan
A C B es una
tienen
fica
los a n i l l o s
independientes
dirá
de los GB ^-anillos
y GB^-anillos
de G B ^ - a n i l l o
Obviamente
si en
de G B q
§ 2 es e s c a s o
Se
que
anterior
se l i m i t a
la d e f i n i c i ó n
que
y propiedades
o
restrictiva
entera
por
- a n i l l o s en v i r t u d
para
estudiar
se p r e c i s a
La p a r t e
Como
este
un
lema
autor
una p r u e b a
Sea A un anillo3
el p a s o
a) d e l
pero
al
de
verá
que
se
ob-
(2 5)
cociente
de
la coii
levantamiento
siguiente
da
Nótese
algebraica
de
se
lema
s ó l o un
de
se d e b e
esbozo
de
a
la
d£
completa
I un ideal de A, Ä = A/I, B un
tal que Ä C B es una extensión
entera
Entonces
se veri-
-
a) Existe
tensión
un anillo
entera3
(y una
A-álgebra
finita
monogena3
monógena)3
libre de rango
finita
(resp
monogena)
3
(y monógena3
sion monógena3
integro3
B puede elegirse
como
Demostración
Sea
A-álgebra
es d e c i r ,
{X
}
y que la
y Ä C B es una
A-módulo
libre de
extenrango
A-álgebra
{3 }
un
he H
se t i e n e n
y A Ä B
resp )
Ä es íntegro
y monogeno
finito
de forma que sea íntegro
d) Si A es un anillo factorial3
finito
B puede
resp )
B puede elegirse
A C B sea finita
(resp
A-módulo
c) Si A C B es una extensión
extensión
ex-
JH A = I y B «B/J
de forma que sea un
son íntegros3
-
B y un ideal J de B tal que A C B es una
b) Si A C i es una extensión
elegirse
43
sistema
B = A[ { } Ï
de g e n e r a d o r e s
Considerando
homomorfismos
de B
como
indeterminadas
naturales
he H
AÏ { X h } ]
Sea
K = Ker
(TT 2 °^I)
i
Se
Ä[ { X h } ]
Ä[ { ß h } ]
= B
tiene
A[ { X > ] . « B
H
K
y K D A = I, p u e s ae K n A
Al
ser A
polinomio
C B una
(ir 2 0 ir 2 ) ( a ) = 0
o
extensión
entera,
TT 1 (a) = 0
para
ae I
c a d a he H e x i s t e
un
f. (X, )eÄ[X.
1 tal q u e f, ( ß, ) = 0
P a r a c a d a he H
1
h
h
hJ
h
h
sea f, (X, )eA[X, 11 un p o l i n o m i o m ó n i c o q u e m ó d u l o I de f,(X. )
Sea
h
h
h
h
h
K. el i d e a l de A [ { X u } ] e n g e n d r a d o p o r { f , ( X . ) }
Se t i e n e K . C K
'
h
h h , IheT H
1 —
Sea
mónico
B = A[ {x^}]
, J = K
h
/K1
/K1
Veamos
q u e A se
inyecta
a = g
f
1
para
ciertos
anillo
1
2)
Entonces
en B
(X
1
)
g eA[íx,}]
n
h
g„,
1
A . D A tal que en A . hay
1 —
1
Dado
f^
(X,
2
)eA,fXt
2
+
+
efecto,
gn
fh
(X
n
Dado
una
1, e x i s t e
2
En
B/J «Al {x^}1 . « b
h
/K
f
h1
raíz
un
si a e K ^
1
de
anillo
se
tiene
)
n
(X, ) 6 a I x v 1 ,
n
h1
a
A,
existe
f^ ([3] , Ch V
h^
A , D A.
2
-
1
tal
que
un
§1 3
en
-
A2
hay
una
raíz a ^
a un a n i l l o A
ha
Dando
estos
o b t e n i d o así u n a
que X h
= Xh
KH A =
I
termina
Prosiguiendo
D A en el que h a y
n —
respectivamente
Se
de f^
+ K1
satisface
El d i a g r a m a
la
esta manera
r a í c e s Cl ,
i
valores
a X^ ,
h.
1
extensión
f^X^)
,ct
A C B
= 0
que
Además
A
B
I
j,
A/I
B/J
de
anillo
que A C B es u n a
B 1 = A[X
B ^/J^^Atß^]
dulo
la
libre
clase
etc
y
1
1
extensión
la q u e
Por
,X™
f1
igual
a la b i e n
un A - m ó d u l o
B/J « B
esto
En
las
A-módulo
hipótesis
primos
(0) C
,J
,r
r
ü n a
en el c a s o
así una
ßJ
mónico,
B
que
es un
de
f^
A-móy X^
es
con 3 ß ^ C A [ß^ [ ß J
fînitogenerado,
tales
que
d e m o s t r a c i
de
Como
,r
J H B
„= J
„ y
i
1-1
î-1 J
°
cuerpos
J=Jr
1=1/
n
formalmente
prueba
verifica
que B = B r
Jfl A = I
es
y
b)
de c), a p l i c a n d o
([21],
I y J, e x i s t e
Luego
de B„ t a l e s
1
1
este proceso
libre
B es una A - á l g e b r a
GD-extensión
Se t i e n e
'
sea B=A[
b)
se ha e n c o n t r a d o
B y un i d e a l J de B t a l q u e J D A = I
es u n a
ser
C B
—
r
fmitogenerado
demuestra
libre
particular,
1=1
conocida
libre
puesto
anillos
B
' ^iJ
es e n t e r a
^ si m es el g r a d o
= A C B, C
—
1 —
o
a = 0
£[ ß ] se construye
J„
f^íX^)
Repitiendo
una c a d e n a de
B ^ / J ^ ^ A[ ß^ ,
ideal
ser
es un B
-módulo
i
1-1
s u c e s i ó n de ideales J„,
_
1
y
una
J
B/J
= I
1, X 1 ,
B
en
y el
,,, * •>
, ,^
d e X^ m ó d u l o
se obtiene
resulta
n
n
J H A = I al
finita
/(f1<x1))
J ^ a
de base
,f,_
h
a)
Aplicando la demostración anterior a la extensión Ä
el
llega
de f L ,
h1
n
h
se
-
conmutativo
demostración
Supuesto
de
44
extensión
plana,
5 D)
un
Entonces
ideal primo
entera
t o m a n d o B/Q en
lo q u e
A C
lugar
B/Q,
y B/J
implica
dados
J/QDA=I
B
En
q u e A c_ B
los
Q C J tal
Ä
un
ideales
que Q H
y
A=(0)
(B/Q)/(J/Q)
de B se ha d e m o s t r a d o
c)
P a r a p r o b a r d) , si B = Ä[ ß] o b s e r v a m o s
f(X)fA[X]
ß
Esto
producto
de grado mínimo
entre
que es p o s i b l e
elegir
los p o l i n o m i o s m ô n i c o s que
anulan
implica que f (X) es i r r e d u c i b l e ,
de otros dos,
y uno de ellos anula
f(X)eA[x]
éstos han de
I también
si d e s c o m p o n e ha de ser en p r o d u c t o
conservan
el grado módulo
ser A un anillo
gro
Junto
factorial,
nótese que
(3 2) - Corolario
nito
(salvo
Un p o l i n o m i o
en
unidades)
mónico
ha de ser i r r e d u c i b l e ,
de p o l i n o m i o s m ó n i c o s y
Entonces
el ideal
pues
éstos
(f(X)) es p r i m o
por
luego
con lo d e m o s t r a d o
Incidentalmente,
ducibles
I
si d e s c o m p o n e
ser m ó n i c o s
ß al ser Ä í n t e g r o
que dé f(X) m o d u l o
pues
B= A [ x ] / . , . .. es un anillo í n t e (f (X) )
en b), esto p r u e b a la parte d) •
(3 1c) ha d e m o s t r a d o
Sean V, w C w variedades
tales que w es una subvariedad
Existe una variedad algebraica
lo
siguiente
algebraicas
de w,V
%
irre
ñ un morfismo
afín irreducible
ne a V como subvariedad y un morfismo
afines
finito v ^
v que contie_
W que
extiende
<P
Ahora
de
se puede
e s t u d i a r el p a s o
al c o c i e n t e
de la
condición
GB^-anillo
(3 3) - Proposicion
son
Para un anillo A las siguientes
es un GBg-anillo
b) A/I es un GB ^-anillo
para todo ideal I de A
c) A/P es un GB^-anillo
para todo ideal primo p de
d) A/p es un GB ^-anillo para todo ideal primo
e) A
condiciones
equivalentes
a) A
minimal p de A
2
Demostración
presente
y que
A
, es un GB -anillo
red
Consiste en la r e p e t i c i ó n
que el lema
la c o n d i c i ó n
(2 1) se ha de
de e x t e n s i ó n
de la de
sustituir
entera pasa
por
fi
(2 2)
teniendo
el lema
al cociente
•
(3 1)
-
El
estudio
repetición
de
de
la
localización
sin
embargo
-
la
(2 3)
(3 4) - Proposición
son
no p e r m i t e
46
Para un anillo A las siguientes
condiciones
equivalentes
a) A es un
GB^-anillo
b) S"1A es un GB ^-anillo para todo sistema multiplicativo
S de A
c) A p es ww GBy-anillo para todo pe spec A
d) A M ES un GB„-anillo
para todo ideal maximal M de A
2
Demostración
terna
Q* H
una
a) => b) D a d a
P^ C
s~1A
P' C
p^ de
n
= P', Q*
GB-extensión
Spec
S~1A
Como
y
S la
se ha
imagen
reducido
de
S
-1
extension
= P^
basta
1
S^A/S^P
S en A / P 1
el p r o b l e m a
entera
ver
para
»
-1
r- B * , u n a
A ^
cierto
P eSpec
1 r
B*/Q*
es
A,
'
)
(3 3), A/P.] es un
a demostrar
que
que S ~ 1 A / P ' Ç
S ~ 1 (A/P
Por
S
* _
*
Q^ C Q^ t a i e s
A y un p a r
P_ = S
1
S~1A/P^
siendo
una
GB2~anillo
que
si A es un GB - a n i l l o
-1
*
i n t e g r o , S un s i s t e m a m u l t i p l i c a t i v o de A y S
A C b
una e x t e n s i ó n
*
^
-1
*
e n t e r a en la q u e B
es un a n i l l o í n t e g r o , e n t o n c e s S
A C B
es u n a
GB-extensión
*
Sea
B el c i e r r e
entero
A
de A
en B
Se t i e n e n
inclusiones
B
I
i
-1
S
*
Dado
X6B
, verifica
x
Si
s = s,
1
n
una
*
A -»• B
^
e c u a c i ó n de
a . .
i n- i
+ —
x
+
s„
1
s , multiplicando
n
(sx)n+
a'
1
(sx)n-1+
sx^B
Luego
la
forma
a
n
+ —
= 0
S
n
por
__
a CA,
i
„„
s es,
l
s11 se o b t i e n e
+ a' = 0
n
una
a 1 CA
i
i=1,
/n
ecuación
i=1,
del
tipo
,n
*
lo q u e
implica
dentro
del
cuerpo
de
cocientes
de
B
se t i e n e n
inclusiones
S
Por h i p ó t e s i s ,
Por
(1 2 a )
*
luego
B
A C B
la e x t e n s i ó n
S 1A Ç s
-1
_ S
G U - e x t e n s ion
-1
1
extensión
([2], 5 11)
Según
de
entera
siguiente proposición
(P)>
cualquiera,
La c o n d i c i ó n
sión,
por
el
es u n a
£ B
es
un
en c u e n t a
que
lo es la e x t e n s i ó n A w c B •
M — M
la c a r a c t e r i z a c i ó n
bàsica
B' d e s i g n a r á
su cierre
entero
si y sólo si
para todo PeSpec A tal que
es n e c e s a r i a
todo PeSpec A en v i r t u d
e n t e r a de A
McAdam
teniendo
Un anillo A es un GBanillo
P a r a ver que la c o n d i c i ó n
A/P^ C
una
de B
de
(A/P)' es una G B - e x t e n s i ó n
de S p e c
entera,
2
11o p a r a
sión
(1 2 b)
constituye
total de f r a c c i o n e s
Demostración
A/P C
es
que S _ 1 A
1 b) r e s u l t a
también
A/P C_ (A/P)' es una GD-extension
ch
y también
GB^-anillos
Si B es un anillo
(3 5) - Proposición
GB-extensión
triviales
si A C B es una e x t e n s i ó n
—
anillo
B
e n t e r a y en c o n s e c u e n c i a
(1
inmediatamente
en el e s t u d i o de los
-1
e n t e r a A C B es una
B es una
d) =» a) R e s u l t a
en el
C s
B es una G B - e x t e n s i ó n
GB-extensión
b)
c) y c) => d) son
La
*
Dada
B tales que Q ^
B/Q
entonces
teorema
es s u f i c i e n t e ,
la terna
P ^
A = P ,J , ö 2
PC P 2
n A
Una
lo es toda
gomg-down
GD-extensión,
ya que
lo cual
=
P
ch(P
2'
b a s t a
comprobar
observación
1
es una
entera
([2],5
•
GD-extensión
sea A C B u n a
(A/P^
extensión
) >2
que
exten-
de Spec A y el p a r Q., C ß 2
sencilla
de K r u l l
GB-ani-
implica
(1 2 d) una
1 ) i n d i c a que si A/P^ C
también
de
(3 2),
y según
es una G D - e x t e n s i ó n
([ 22] , Th
ya que A/P es un
16)
que
de
GD-exten-
íntegra
de
A/P^
L u e g o A/P 1 C B/Q 1
-
(3 6) - Corolario
son
Para un anillo A las siguientes
48
-
condiciones
equivalentes
a) A es un GB ^-anillo
b) Toda extensión finita de A es una
c) Toda extensión entera monógena
Demostración
B a s t a v e r que
La h i p ó t e s i s
si A / P
mite
de c) t a m b i é n
C B es una
encontrar
ideal
entera
GB-extension
Sea P un
la v e r i f i c a
extensión
J de B tal que J ñ A
de A es una
c) =» a)
extensión
una
GB-extensión
el a n i l l o A/P
monógena,
entera
ideal p r i m o
el
monógena
= P y B/J«B
lema
en
(3
de
A
efecto,
1)
per-
A C B de A y un
y la c o n m u t a t i v i d a d
del
diagrama
A
-*•
B
i
I
A/P
implica
es u n a
GB-extensión,
tensión
por
tensión,
2)
(1 2 d)
es
Pero
si t o d a
(A/P)'
suficiente
hacer
de
(3 7) - Corolario
(3 5)
an í l l o s
C
íntegros,
GD- e x t e n s i ó n
por
i n d i c a q u e A es un
que
en e 1 caso de un
e x t e n s i o n e s que
Sea A un anillo íntegro
y solo si, tçda extensión
A C B
subext e n s i ó n m o n ó g e n a
es u n a
notar
considerar
de
serlo
ae (A/p) ', A / P
elemento
tratarse
el c r i t e r i o
interesante
todo
y al
también A/P C
Entonces
Es
gro
para
B
G B - e x t e n s i ó n al
q u e A/P C B es una
En p a r t i c u l a r ,
-*•
entera monógena
sean
(A/P) [a]
una
es
GD-ex
GD-ex-
([24]
prop
GB^-anillo
anillo
anillos
ínte-
íntegros
A es un GB^-anillo
(3 1 c)
El
de GB
en
Basta
lugar
siguiente
-anillos
de
repetir
la d e m o s t r a c i ó n
de
(3 6)
utilizando
(3 1 b)
corolario
proporciona
si
íntegra de A es una GB~
extensión
Demostración
•
ejemplos
importantes
-
(3 8) - Corolario
tegramente
cerrado con dim A < 3
Demostración
primo
Utilizando
liano
es G D - e x t e n s i ó n
([27], 43 4),
Se tiene
A/P C
(A/P)'
y locales
El
Entonces
Si P = ( 0 ) ,
luego
(A/P)'
y entonces
y ser e p i y e c t i v a
la
(A/P) '
se tiene A = A '
A/P
local
ideal
que
es un a n i l l o
resulta
ín-
GB^-anillo
(3 5), sea P un
ob-
hense-
([27],
inmediato
43
que
al ser ambos a n i l l o s
Spec A/P
íntegros
de
•
'descenso'
Sea A C B una extension entera
es una GB-extensión
íntegro
-
aplicación
es un c r i t e r i o
(3 9) - Corolario
A es un
es un anillo
es una G D - e x t e n s i ó n ,
siguiente
de
Sea P ^ ( 0 )
dim A/P < 2
Spec
local hensehano
el c r i t e r i o
de A tal que ch(P) > 2
viamente
12)
Sea A un anillo
49
y B es un GB^-anillo3
Si A C B
entonces A es un CB^-
anillo
Demostración
tensión
entera,
extensión
ambos
Sea P e S p e c
existe
A con
QeSpec
entera A/P C B/Q
anillos
ch(P)> 2
Por ser A C B una
B tal que Q flA = P, lo
Considerando
se t i e n e un d i a g r a m a
los c i e r r e s
conmutativo
cual
exda
una
enteros
de
de e x t e n s i o n e s
en-
teras
A/P
B/Q
i
I
(A/P) « "»•
(B/Q) '
P u e s t o que A £ B es una G B - e x t e n s i ó n ,
es una G D - e x t e n s i ó n
Se t i e n e
([27]),
por
(1 2 c , d ) A / P Ç
B/Q
9 10)
ch (Q) = dim B / Q = dim A/P = c h ( P ) ^ 2
luego
según
inmediato
tensiôn
junto
(3 5) B / Q Ç
(B/Q)*
es una G D - e x t e n s i ó n
q u e la c o m p o s i c i ó n A / P ^
También
al h e c h o
es s e n c i l l o
de que
Spec
la
CB/Q) '
(B/Q)' es a su v e z una
observar
sobre
aplicación
Spec
Entonces
(A/P) '
el d i a g r a m a
es
GD-ex-
que
esto,
-
es
epiyectiva,
Finalmente
(3
implica
que A / P Ç
el c r i t e r i o
(3 5) a s e g u r a
10) - Observaciones
cerrado
de
rar
"going-down
P de A con
una
(debido
de
en
Se
(3 5) A no
entera
GD-extensiön
polinomios
verlo
basta
es un
de
allí
(A/P)'
GB^-anillo
B de A q u e
del
ideal
n o es una
(3 1),
conside-
fallo
un
y A es un a n i l l o
de
•
algebraicamente
de
construye
la d e m o s t r a c i ó n
extension
cuerpo
a Zariski)
C
-
q u e A es un G B ^ - a n i l l o
Para
realidad
de A / P
es una
El a n i l l o
y tal q u e A / P
monogena
siguiendo
una
K un
cero
3(A))
según
extension
mente
([4],
ch(P)=2
entonces
sible,
Sea
no es un G B ^ - a n i l l o
el e j e m p l o
sión,
a)
característica
A = k[X,Y,ZI
(A/P)'
50
primo
GD-exten-
Como
(A/P)'
factorial,
construir
no es una
es
es
po-
explícita-
GB-extensión
Geométricamente,
se o b t i e n e un m o r f i s m o f i n i t o <p de una h i p e r 4
3
3
H de K
s o b r e K , u n a s u p e r f i c i e S de K , u n a c u r v a
superficie
*
*
*
C de
S y un p u n t o P de C, u n a s u p e r f i c i e S C H y un p u n t o P es
*
*
*
*
t a l e s q u e <f>( S *)= S, ¥>(P ) = P* y n o e x i s t e n i n g u n a c u r v a C C s
que pase
b)
por
Sea K un
P
y tal
cuerpo
que
con u n a v a l o r a c i ó n
K ^ X , Y, Z >
el a n i l l o
respecto
Es un a n i l l o
luego
ciôn
por
de
v(a) = 1 para
anillo
GB^-anillo
Junto
con
íntegro
según
no
a^O
de K, r e s u l t a
(3 5)
cerrado
En p a r t i c u l a r
a),
se c o n s e r v a
esto
sea
([27],45,5),
con
que
la
valora
K|[X,Y,ZB
al
todo
ideal maximal
de A de a l t u r a
es un G B ^ - a n i l l o ,
en
estas
condiciones
asegurar
de
(3
5)
de A '
el t e o r e m a
que A C A '
es u n a
de
K[X,Y]
ad]untar
todo
maximal
anillo
de d i m e n s i ó n
indica
generalmente,
ideal
gue
regular
En p a r t i c u l a r ,
Mas
lo
para
henseliano
íntegramente
la o b s e r v a c i ó n
ser G B ^ - a n i l l o
que
v y
c o n v e r g e n t e s en tres v a r i a b l e s
local
todo
multiplicativa
GB^-anillo
c) T o d o
po
de s e n e s
(3 6) es un G B ^ - a n i l l o
trivial
es un
un
v
SP (C ) =C
2
SI K es un
que
la
indeterminadas
2 es c o n t r a c c i ó n
"going-up
GD-extensión
euer
propiedad
í n t e g r o A de d i m e n s i ó n
pues
es
es
fácil
tal
de un
ver
( 12 1 , 5 11)
y la
2
so
que
basta
conclusión
También
anillo
por
K[X,Y]
En
ser
de
GB2-anillo
GB2-anillo
no
se c o n s e r v a
el a n i l l o
pero por
finita
También
tener
de
efecto,
GB2-anillo,
tensión
ejemplo
que
no
es
GB^
(2 8 c)
d) La p r o p i e d a d
finita
es un
el
lema
de un a n i l l o
el e j e m p l o
extensiones
A/P
la o b s e r v a c i ó n
de n o r m a l i z a c i ó n
isomorfo
de a) p o n e
finitas
R
I
C
son
GB-extensiones,
sin
que
R ^
K[X,Y],
R3=
(A/P)'
R2=A/P,
de
R
por
a
lo sea
R
a) n o
es
de N o e t h e r
un
es ese
K[X,Y]
de m a n i f i e s t o
C
extensión
J
tales
R^ Ç R^
y tener
que
que
R
en c u e n t a
C
I
Basta
es
posible
R_
y R1
I
ÇR,
O
considerar
que
K[ X, Y ] es
un
GB2~anillo
La e x t e n s i ó n
es n e c e s a r i a
e) N ó t e s e
En
efecto,
contraen
([ 29 )
§ 4
la h i p ó t e s i s
que
limitándose
R 2 C_ R^ es a s i m i s m o
no es p o s i b l e
a considerar
si B no
a
de
que A C
es un
íntegro
aunque A
de
que
en
(3 9)
GB-extensión
directamente
extensiones
anillo
(0) en g e n e r a l
B es una
demostrar
las
un e j e m p l o
enteras
(3 7),
íntegras
sus p r i m o s
sea un a n i l l o
aun
de
A
minimales
local
no
regular
2 6)
El caso noetheria.no
Con
hipótesis
llos
dada
ello
se i n t r o d u c e
extensión
en
noethenanas
(3 5) se v u e l v e
la
B si e x i s t e
un ú n i c o
es u n i r r a m i f i c a d o
Nótese
ción
referencia
hace
existe
El
QeSpec
que
B tal
resultado
tamente
cuándo
íntegro
y su
Se d i c e
QCSpec
en B
rmficada
bastante
siguiente
de a n i l l o s
solo
que
que
que
([22])
QH A = P
extensión
a la u n i c i d a d
los
GB^-ani-
Con vistas
Sea A C B
Si t o d o
ya que
A C
una
entera,
en
PfSpec
B es
la
a
A
unirradefini-
automáticamente
= P
de
la t e s i s
going-down
entero,
accesible
la e x t e n s i ó n
B es una
que Q H A
de
p e s p e c A es unirramificado
B tal
fundamental
cierre
mas
definición
se d i r á
si A C
se t i e n e
la c a r a c t e r i z a c i ó n
con
el
de M c A d a m
entre un a n i l l o
siguiente
teorema
aclara
comple-
noethenano
([22],Th
2)
-
Sea A un a n i l l o
es una
noethenano
GD-extensión
es u n i r r a m i f i c a d o
Nótese
Spec A '
si y solo
Spec A sea
ble puede
Por
tener
si todo p e s p e c
que
el h e c h o
A tal
incluso
de que
la
que
A ^
A'
h ( P ) >1
aplicación
un h o m e o m o r f i s m o
e j e m p l o , una v a r i e d a d
singularidades
a su n o r m a l i z a d a
entero
en A'
al r e s p e c t o
restrictivo
í n t e g r o , A' su c i e r r e
52
no es
algebraica
de c o d i m e n s i ó n
demasiado
afín
1 y ser
(caso de un c i l i n d r o de d i r e c t r i z
xrreduci
homeomorfa
una
cubica
cuspidal)
Junto
a
terización
(3 5), el t e o r e m a
de los G B 2 ~ a n i l l o s
(4 1) - Corolario
de M c A d a m
da
la s i g u i e n t e
carac-
noetherianos
A es un GB -aniLi
lio si y sólo si para todo pespec A tal que ch(P) > 23 todo ideal
primo de A/p
de altura mayor que uno es unirramificado
También
el p a s o
al
Sea A un anillo noethenano
es p o s i b l e
cierre
entero
(4 2) - Proposición
cierre entero3
unirramificado
tensión
ficado
una
integro3
tal que A C B C A1
B es una
U s a n d o un
1) q u e
Entonces
A' SU
A C B
extiende
se sigue
GB-extensión,
refinamiento
su r e s u l t a d o
que
del
también
es u n a
teorema
de
a los a n i l l o s
todo P e S p e c A con h ( P ) >1
GD-ex-
McAdam
intermedios
es
unirrami
en B
de
Spec
extensión
te e n c o n t r a r
sea una
B tales
entera,
un
terna
P ^
pCp^
que Q.] H a = P.] , Q 2
el t e o r e m a
ideal p r i m o
de
n
de
S p e c A y un
A = P2
gomg-up
Q de B tal que Q
Como A C
t[2],
CQ
'
nueva
cuándo
si y solo si todo pespecA con h(P) >1 es
Recíprocamente,
Q.J C Q 2
decidir
GB-extensión
Sea A un anillo noethenano
Si A
entre A y A',
criterio para
en B
(1 2 d)
([23], Th
dar un
es una
B un anillo
es una GB-extension
Demostración
ahora
en (A/P)'
5 11)
y Q OA
= P
par
B es
permi
Una
*
a p l i c a c i ó n del t e o r e m a p r o p o r c i o n a un i d e a l p r i m o Q
de B
*
*
tal q u e Q C Q
y Q HA = P
Pero como h(P ) > 1 , la h i p ó t e s i s ím£
2
2
2
2
plica Q
= q
y está d e m o s t r a d o que A Ç B es una G B - e x t e n s i ó n •
-
Se va a e s t u d i a r
entero para
se p r e c i s a
locales
un a n i l l o
al
Del
ahora
no n e c e s a r i a m e n t e
considerar
lema
el caso g e n e r a l
el p a s o
siguiente
el c i e r r e
se d e s c o n o c e n
de B, F (B) el a n i l l o
entero
(4 3) - Lema
de B en
íntegro
al c o m p l e t a d o
Si B es un a n i l l o , N ( B ) d e s i g n a r á
el r e d u c i d o
de p a s o
de
Este
posibles
-
cierre
aspecto
en a n i l l o s
el n i l r a d i c a l
total
al
53
semi
referencias
de B,
fracciones
B r g d =B/N(B)
de B y B
F(B)
Sea A un amito
noethenano
Existe un
isomorfis-
mo natural
(A1 )
Demostración
.
red
(A
sea
(0) - Q 1
una d e s c o m p o s i c i ó n
les p r i m o s
Up
n
n
primaria
asociados
es D = P . U
1
en A
red
El c o n j u n t o
([2] 4 7)
n
es una d e s c o m p o s i c i ó n
aeA
son
donde
de
m
a =
que
Se t i e n e
N(S~1A)
Por
a la c l a s e
= S_1N(A)
D de
A
S e a
c i e r t o m se t i e n e
-
idea-
de cero
las
de
imágenes
S' 1
- D
Si
(sa)m=
0,
el
se S
de
S = Ä - 5
natural
A
r e d
3 12) r e s u l t a
(F(A)) red
los
U p^ es
S = A
a
a
(—) la f r a c c i ó n — si aeA,
s
s
([2],
i n d u c e un
con b a r r a s
re<j
mo
que v e r e m o s
los d i v i s o r e s
isomorfismo
«
S~ N ( A )
,P
r e d u c i d a y D = P^ U
lo tanto
1
P^ ,
Qn
de cero de
en g e n ö r a l un
S"1A.
que a s i g n a
n
s a = 5, para
0 y a = Ö
y sean
Designando
primaria
los d i v i s o r e s
tales
Qn
reducida
(5) - 2, n
conjunto
.) '
red
F(Ared)
isomorfismo
se S
en d e f i n i t i v a
Como
un
isomorfis
-
(A')
,
red
( A ' > R E D = A'/N(A')
En e f e c t o ,
al ser N ( F ( A ) ) H A ' = N ( A ' )
(-) 1 " + b,
s
1
se t r a d u c e
en
.a.m
(-)
—
s
la
r
+ b
m
—
= 0
esta
+ b
m
a una potencia
(4 4) - Corolario
en F ( A ) / N ( F ( A ) ) = (F (A) )
de la
b eA
i
Por
ultima
resulta
implica ^
(resp ,
(4 3) se t i e n e un
A
reducido
íntegro,
tener
en
cuenta
-»•
fíl
conmutativo
i
-*• (A
red
que
las
(4 4) p e r m i t e
La p r o p o s i c i ó n
resuelto
(4 5) - Proposición
1=1,
diagrama
A'
red
en
) ' « (A )
flechas
los e s p e c t r o s p r i m o s
corolario
ya
A C A es una
naturales
4-
El
eA'•
si y sólo si A r e a c— (A r e,)'
a
GD-extensión)
A
en
m
= ceN (F (A) )
conveniente
el 1 ema
los m o r f i s m o s
morfismos
i = 1 ,
(resp
L· , GD-extensión)
Demostración
y basta
D
forma
Sea A un anillo noethenano,
es una GB-extensión
con
relación
= 0
se t i e n e
(-)m + b
s
i
s
GB-extension
,)'
red
incluye
+ b
m
-
relación
—
,a.m—1
+ b. ( - )
+
i s
elevada
se
Una
(-)m'1+
s
y si r e c í p r o c a m e n t e
que
(A
54
verticales
inducen
homeo-
•
limitarse
siguiente
_
red
a considerar
traslada
un
el p r o b l e m a
anillo
al
caso
(4 2)
Sea A un anillo noethenano
los vdeales primos minimales
el cuerpo de cocientes de A
l
y A'
i
de
reducido, p^^
A, A I = A/P I # K
el cierre entero de A
A C A '
es una GB-extensión si y solo si A C A'
i — i
í — i
extension para cada i .= 1 ,
,n
i
en K
i
ES una GB-
-
Demostración
prop
Se tiene un
induce
un
K, x
1
isomorfismo
x K
([3]
A 1 s» A ' x
1
teniendo
bra K
las
la
canónico
ch IV § 2 5
i
en cuenta
, 1=1,
,n
n
ch
V
§ 1 2 cor
1)
x A'
n
que A ^ es el cierre entero de A en
Por ser A r e d u c i d o p. H
identificaciones
I
Dp
n
la
= 0,
la extensión A C_ A 1
pertinentes
A-álge-
luego
con
factoriza
en
forma
ACA,, x
—
1
Un
siendo
x A
ideal p r i m o
de A_ x
1
A_ x
1
x P/p
PeSpec A
A c A x
—
1
x A
p^ C P
su
C A! x
n —
1
x A
i
x
es de la
x A
tales q u e ^
OA
primo minimal
= P1
p^ tal
caso
a A es P
xP„/p
x
1
i
xA
x P/p x
i
que A ^ Ç A ^
x A
de
i = 1,
existe
para t e n e r
un
si A
la
(A ^ x
tam-
extensión
x A'
n
de los f a c t o r e s
Ca'
P.CPCí,
1
2
,n son G B - e x t e n s i o n e s ,
C A' x
n —
1
al ser c o m p o s i c i ó n
de Spec
x A^)
n
el e s p e c t r o de un p r o d u c t o
Recíprocamente,
na P ^ C P C P 2
x A
los e s p e c t r o s
GB-extensión,
la
n
n
(de h e c h o , es e q u i v a l e n t e )
identificarse
Sea
(A^x
CPj,
que
que
P„ = A„ x
1
1
A„ x
1
disyunta
Puesto que ^
x A
tomar P = A„x
1
y Pn A = P
lo es
de Spec
xP„/p
x
2
i
J
bién
= P2
Veamos
una G B - e x t e n s i ó n
P„ = A. x
2
1
y basta
Supuesto
P ^ A
forma
n
contracción
es, en c u a l q u i e r
n
n
xA'
n
t e r n a P ^ C p c P^ de spec A y el par P^ C P 2
al
([3],
-
10)
F (A) «
que
ísomorfismo
55
finito
la
Luego A C
de G B - e x t e n s i o n e s
es una G B - e x t e n s i ó n ,
x An)
con
es
(1
una
1 a)
sea
y el par P * C p^ de
reunión
la
Spec
ter-
-
(A' x
x
Existe
tales
que P' n ( A 1
x
56
x A^)=P1,P^ H ( A 1 x
un p r i m o m i n i m a l p^ y una terna P C- p C p ^
de
-
xAn)=P2
Spec A
tales
que
P2
= A, x
x P2/px
x
x
P
= A. X
1
x P/p
x
x A
xP./p
x
1
i
x A
P „ = A„
1 1
Puesto
que
P' H A = P
P'
1
I
A
P 'e Spec (A' x
x A ' ) tal
i
n
P' n ( A
x
X A ) contrae
1
n
te P'H (A. x
x A ) = P,
1
n
A
es una G B - e x t e n s i ó n
HA
n
n
, existe p o r h i p ó t e s i s un
A
que P' C p
C p ' y p' H A = P
Como
\
¿
a P y contiene a P
necesaríameni
luego
x
1
x
i
An
= P
x A
lo que
C A' x
n —
1
xA
1
n
i m p l i c a que A ^ C
A^
I=1,
»n
son G B - e x t e n s i o n e s •
(4 6) - Observación
tensión
A = A
A/A
1
1
x
En e s t e
A diferencia
si y
2 sólo
x
x A
x A
caso
Considerando
n
si A
C
A'
i — i
de
(4 5), A C
i = 1
n son
A'
es una
GD-extensiones
3
e x i s t e un
ideal m a x i m a l M de A tal q u e
el par p C
M de Spec A y el i d e a l
x
x M/p^
x
x
P^ Ç
A
n
x
x A , el ' g o m g - d o w n
no se v e r i f i c a al ser p 9
1
n
J
La d e m o s t r a c i ó n se c o m p l e t a de forma s e m e j a n t e a (4 5)
Finalmente
2~
a n i l l
°
de
noet
las a n t e r i o r e s
ascenso'
heriano
(4 7) - Proposición
entero en el anillo
anillo3
A' es un
no
proposiciones
Nótese
permiten
que una e x t e n s i ó n
es en g e n e r a l
GB„-anillo
de
A
Px
demostrar
f mita
un G B 2 - a n i l l o
Sea A u.n anillo noethenano¿
total de fracciones
m
primo
de A
G B
y
En e f e c t o , el 'teorema c h i n o
i n d i c a que
n
si y solo si existe un par I^J tal que p 1 + p ¥ A
A1
un r e s u l t a d o
GD-ex-
(3
de
un
10 d)
A' su cierre
Si A es un GB
-
Demostración
mo
Entonces
([3], Ch
(3 3) basta ver que
-
. es un GB - a n i l l o ,
rea
2
lo cual e q u i v a l e a que lo sea (A
,)' según el lema (4 3)
Por
rea
(3 3) A r e d e s u n GB - a n i l l o , luego p u e d e s u p o n e r s e q u e A es re-
ducido
Por
57
con
V §1
la n o t a c i ó n
2 cor
de
(A')
(4 5) se t i e n e
un
isomorfis
1)
A*«
A' x
1
x A'
n
y por
(3 3 d) b a s t a ver que A '
,A* son GB_ a n i l l o s
Como
I
n
2
= A/p^
1 = 1 ,
,n es un G B ^ a n i l l o p o r (3 3), q u e d a r e d u -
A
cido
ra
el p r o b l e m a
al caso de un anillo
S u p u e s t o que A es í n t e g r o , sea A' C B una e x t e n s i ó n
Sea P ' C p*C p'
una t e r n a de Spec A' y Ç) C Q„ un p a r
1
Spec
2
B tales
Si P
íntegros
=
con A*
2
y QHA
entera
El c l á s i c o
P'C P'C P2
de
anillos
teorema
que A' C
i m p l i c a que existe un Q e S p e c
= P
P ^
(0) por
de
B/Q^
B tal
A la v i s t a
estudio
en o t r o s
'
es
una
que
Se t i e n e
(4 2) a s e g u r a
de
QeSpec
B tal
que
h(P) > h ( P 1 ) > 1 y
q u e P es
que P
demuestra
unirraii
= P'
que A' C
En-
B es
de ideales primos
(4 1) y
(4 2), la c u e s t i ó n
en una e x t e n s i ó n
las G B - e x t e n s i o n e s
contextos
([27],
P
extensión
•
ideal p r i m o
de
=
una
existe
como P" OA = P ' n A = P, se s i g u e
Q ^-02 ^ ® ^
de un
ser A C A '
luego
Sea P' = Q H A '
§ 5 - Unirramificacion
de N a g a t a
extensión
cerrado
es una G B - e x t e n s i ó n
una G B - e x t e n s i ó n
en el
Contrayendo
([ 2] , 5 16) d e m u e s t r a
(0) , t a m b i é n
en A*
Q ^
= P^
2
y Q H A ' - P'
como A C A'
cación
es una
A C B es u n a G B - e x t e n s i o n ,
Q.,C Q C Q 2
tonces
C B/Q
íntegramente
y esto
Si P.J /
ficado
Ñ A
1
entede
terna P C P C P 2
de K r u l l
GD-extensión
entera
una
A' = P^,
(0) , A'
going-down
Q1 C Q C Q
1
que Q ^
a A se o b t i e n e
cía
íntegro
43
12)
baste
la
unirramifi-
entera
es
fundamental
También
como m u e s t r a
Un a n i l l o
de
íntegro
el
es de gran
siguiente
l o c a l A de
importan
teorema
ideal
maxi
-
mal M es h e n s e l i a n o
extensión
En
probar
entera
lo que
que
Se u t i l i z a n
los que
en
-
toda
de A
la u n i r r a m i f i c a c i ó n
a su v e z ,
pitulo
íntegra
si M es u n i r r a m i f i c a d o
sigue de este p a r á g r a f o
ca la de o t r o s
y
si y solo
58
se trata b á s i c a m e n t e
de c i e r t o s
algunos
se c b t i e n e n
ideales primos
resultados
del
de
ímpli
capítulo
serán de i m p o r t a n c i a
I
en el
ca
III
(5 1) - Lema
Sean A C_ B anillos,
P un ideal primo de A
Se ve-
rifica
a) Si P es unirramificado
da c tal que A C c C B
3
en c para toda A-âlgebra
entonces P es unirramificado
b) Si A C B es una extensión
entonces
sean Q , Q
I
Si Q 1
^ Q2
C = A[x
a P
contradice
lo que d e m u e s t r a
tera
B taies
Q ^
c
*2eö2
l1 Q 2 ^ C
A = Q n
B
A = P
•
" Q1
Y entonces,
Como
ambos
Luego
en
A C C C B
I
si
ideales
ha de
contraen
ser Q^
= Q^,
a)
de b) es c o n s e c u e n c i a
Spec C es e p i y e c t i v a ,
inmediata
al ser C C B una
de
que
extensión
en-
•
Sea
R un a n i l l o
íntegro
que R es un G-dominio
([18]
p
([18], p
16) si A / P es un G - d o m i n i o
bién
luego,
G-ideal
primo
son a q u e l l o s
es m a x i m a l
siguiente
P de un anillo A se l l a m a un
un G - i d e a l y los a n i l l o s
de H i l b e r t )
De
es i n t e r s e c c i ó n
Todo
de
26)
Se
en los que
finito-
es,
(llamados
recíprocamente,
interesa
En un anillo
los G - i d e a l e s que
contienen
tam-
todo
el h e c h o
cualquiera,
le
dice
G-ideal
ideal m a x i m a l
de J a c o b s o n
los G - i d e a l e s nos
([18], Th
de c o c i e n t e s
12) si K es u n a R - á l g e b r a
Un
desde
ideal p r i m o
K su cuerpo
generada
ral
C tal que
que Q n
la h i p ó t e s i s de a)
La d e m o s t r a c i ó n
Spec B
e Spec
- Q2,
,x 2 l » se tiene
esto
en todo anillo
Â
existen
en B
entera y v es unirramificado
p es unirramificado
Demostración
finitogenera-
todo
geneideal
-
(5 2) - Proposición
extensión
tiene
59
-
Sean As B anillos tales que A C B es una
entera y sea PeSpec A
a P es unirramificado
Si todo G-ideal de A que con-
en B¿ entonces P es
unirramifica-
do en B
Demostración
C para
Por
(5 1 a) basta ver que P es u n i r r a m i f i c a d o
toda A - á l g e b r a
(5 1 b)
Luego
es
finita
en d e f i n i t i v a
Sean Q, Q ' e S p e c
U
P
B tales que Q D A
es una
( [2 ] , 5 11) p e r m i t e
y Q.jf"! A = P ^
sis
implica
G-ideal
tría
que
que Q^ = Q^
Como
que
pues
se sigue
Por otra p a r t e
encontrar
= P
de
un Q^eSpec
contiene
todo
ideal p r i m o
resulta
([ 18] , Th
22)
de
going-
que Q
a P
C Q^
la hipóte^
que
todo
a Q
Por
sime
a Q y a Q' son
es i n t e r s e c c i ó n
que Q = Q'
Q esque
B tal
también
un
Puesto
el t e o r e m a
lo que viene a d e m o s t r a r
a Q
Sea Q 1
A
de los
luego P es
que en un a n i l l o de J a c o b s o n
ideales maximales,
los
G-ideales
unirramificado
el s i g u i e n t e
corolario
los G - i d e a l e s
resulta
son
los
inmediatamen-
(5 2)
(5 3) - Corolario
Sea A un anillo de Jacobson3
A c_ B una exten-
sión entera tal que todo ideal maximal de A es unirramificado
B
en
A C B
al m e n o s
y sea P ^ = Q ^
finita,
y por
•
Puesto
te de
= Q' D A
los G - i d e a l e s que contienen
le c o n t i e n e n ,
en B
la e x t e n s i ó n
ser P^ un G - i d e a l que c o n t i e n e
de B que c o n t i e n e
resulta
mismos
Al
que
(existe a l g u n o
extension
es un G - i d e a l de A
que A C C C B
a P es u n i r r a m i f i c a d o
suponerse
en un ideal m a x i m a l )
Ç B/Q^
que P^
puede
de B tal que Q C Q 1
tá c o n t e n i d o
A/P
C tal
todo G - i d e a l de A que contiene
C
G-ideal
fmítogenerada
en
Entonces
la extensión A ç B es
La p r o p o s i c i ó n
(4 2) se puede
en
unirramificada
completar
con el uso de
(5 2)
-
(5 4) - Corolario
Sea A un anillo noethenano
tero de A en su anillo total de fracciones
GD-extensiôn
Spec A'
SpecA
Demostración
es un
-
A' el cierre
3
Si A C_ A
y A carece de G-ideales de altura
60
13
en-
es una
entonces
homeomorfismo
Razonando
como
en
(4 4),
se t i e n e
un d i a g r a m a
con-
mutativo
Spec A 1
Spec A
4
I
Spec (A
que p e r m i t e
los
de
y que A^ C A^
les
de A ^
a p^
sea
A
de
inducida
notaciones
¿
r e
por
están
biyectiva
con
A
C o n
Spec
de
(4 6)
cada
i=1
con
definición
re(j
q u e A=A^x
n
Los
los de A que
demostrar
(5 4) en
se vió
(4 2),
los
el c a s o
xA^
G-idea
contienen
en
que A
íntegro
íntegro,
como
> 1 es u n i r r a m i f i c a d o
es u n i r r a m i f i c a d o
biyectiva
Como
en A ' ,
(III,
en
[14],
que
no
Ch
tamente
es de
no es
grado
([3]
todo
Ch
V
en
Sin
ideal m a x i m a l
(anillo
G-ideal
de A
Spec A
§2
de
1 rem
es
(2))
y
sus
[14]) son
3 sobre
completa)
A tales
de A que no
local
1
(5 4), no es
es u n i r r a m i f i c a d o
de a n i l l o s
unibranche
embargo
[131
2 sino
intersección
e incluso en
señala de h e c h o
es l o c a l m e n t e
0 6 5 11)
(5 2)
familias
'unibranche
distintas
ideal primo
(5 2) Spec A ' -*•
ideales primos
Grothendieck
de a n i l l o
cal)
que t o d o
los que hay
en A '
Entonces
y cerrada
a) En
2 3) se c o n s t r u i r á n
local,
cados
suponer
en A 1
todo
•
(5 5) - Observaciones
suficiente
en
luego por
es c o n t i n u a
es un h o m e o m o r f i s m o
a
para
en b i y e c c i ö n
basta
la m i s m a
Spec A
en v i r t u d
es una G D - e x t e n s i o n
En d e f i n i t i v a ,
altura
t no
ya que p o r
el h o m e o m o r f i s m o
a su vez
red
en c o r r e s p o n d e n c i a
(4 5) se t i e n e
están
Si A es
plo
Spec A
suponer A reducido,
G-ideales
de A
.,)
red
esto
con
son
([ 13] , Ch
un
k [ V , W ] y en
ejem-
entero
IV
(en
lo-
6 15 2 y
dos d e m o s t r a c i o n e s
incorrectas
es
unirramifi
al d a r
cierre
que A
En
(comple
[13],
[14], p o r q u e
el
porqu
ideal
- 6 1 -
b)
(5 4) g e n e r a l i z a
ción
es d i s t i n t a
([23]
cor
del Th
y mas corta
3) p e r o
sobre todo
la
limitada
demostraal
caso
ín
tegro
c) En
(5 2)
si A es n o e t h e n a n o
unirramificación
o incluso
de
de
ideales
G-ideales
Los
de los
los P^
de A
los a n t e r i o r e s
En
que
extensión
que
la
anillo
de
los
son, en c i e r t o m o d o ,
de K r u l l y
de los
(I
duales
de
G-ideales
15)
entera
Si todo ideal
en B , entonces
la
unirramificada
Las dos p a r t e s
del lema
A £ B es finita,
ideal primo
(5 1) p e r m i t e n
lo que
implica
(0) de A es u n i r r a m i f i c a d o
extensión
Q H A = Q' H A
= P
Q1
) = 1
Ç Q y h(Q
entera,
13
entera de anillos
Sea P 1
ideal p r i m o
suponer
que B es
un
B
de a l t u r a
concluir
lio n o e t h e n a n o
Por
B tal
de
= 1
los
ideales
Dado
el par
B una
GD-exten
primos
P.] C p
de
GD-extensión
Puesto
Se ha d e m o s t r a d o
en Q está
que Q y Q'
que
que
así que
también
contienen
h(P1)=1
los
todo
contení
mismos
1 de B
que Q = Q
íntegro
ser
que
ser A C B una
Q' y Q^O A = P^
resulta
de altura
B tales
Sea Q^e Spec
1 de B c o n t e n i d o
simetría
ideales primos
Q eSpec
por ser A C
que Q]j = Q 1
en B p o r
íntegros
las alturas
B tal que Q^ C
implica
Por
= Q1D A
) = híQ^
ideal Q ' e S p e c
la h i p ó t e s i s
Para
Se tiene h ( Q ) > 1
se c o n s e r v a n
Q^eSpec
en Q'
(0) y sean Q
C) , luego h(P
Spec A y el
do
finito
la e s t r u c t u r a
es unirramificado
Sea P e S p e c A, P ^
existe
)< 1
noethenano
A Ç g una
([21]
siguen
1 de A
extensión
El
sión
de
la
Sean A, B anillos íntegro s tales que A es
A £ B es
Demostración
ch(P
solo un n ú m e r o
y A ^ B es una GD-extension
primo de altura
^ P con
lugar de las p r o p i e d a d e s
(5 6) - Proposicion
asegurar
146)
el H a u p t i d e a l s a t z
noethenano
P1
en
en virtud
([18], Th
resultados
se u t i l i z a n
ideales p r i m o s
^ P contenidos
maximales
de A
es s u f i c i e n t e
todo
basta
razonar
ideal p r i m o
Q f
que
en c u a l q u i e r
(0) es r e u n i ó n
ani
de
-
los
ideales
primos
de altura
1 contenidos
en Q
62
-
En e f e c t o ,
sea
xeQ,
x ^ 0
(x) C Q implica
*
* que e x i s t e un ideal p r i m o m i n i m a l
Q
de (x) tal que (x) Ç Q Ç Q
El H a u p t i d e a l s a t z ([2]
11 17)
*
asegura
que h(Q
) = 1 y lo afirmado
(5 7) - Proposición
anillo noethenano
ya es
inmediato
Sean AJ B anillos íntegros
y A C B es una extensión
P ^ Spec A con chfP.j) = 1 es unirramificado
tales que A es un
entera
que
Una vez mas el lema
la e x t e n s i o n A C
B es finita,
(5 1) p e r m i t e
con
Sea PeSpec A con ch(P)>
les que S H A
= Q'PIA = P
Sea Q^eSpec
la
Sea P 1
dado
O' C o !
—
ficado
mos
y Oí H A
1
= P_
1
en B,
1
Entonces,
por
Q=n{QieSpec
going-up
1
1
Esto d e m u e s t r a
1 de B que contienen
conservan
coal-
el par P C P.] y el
existe
Como ch(P_) = ch(Ç))
luego Q^ = Q 1
de c o a l t u r a
= Q H A
B tach(Q1)=1
tura
de
anillo
B tal que ß C Q^ y
enteras
ideal Q', por el teorema
en a)
1 y sean Q, Q'eSpec
las e x t e n s i o n e s
47))
suponer
lo cual B es un
(existe a l g u n o p o r q u e
Th
en B
en B
noethenano
([18]
verifica
si y sólo si todo ideal maximal M
de A con h(M)> 1 es unirramificado
Demostración
Si todo
en B^ se
a) Todo PeSpec A con ch(P) >1 es unirramificado
b) A C B es una GD-extensión
•
QljeSpec B tal
= 1, P„
es
que
ideales
1
los
a Q y a Q'
son
que
unirrami-
los
pri-
mismos
(I, 1 5) se tiene
B IQ C
ch ( Q.) ) = 1 }= H { Q • e Spec
Big' C
Q^ , c h ( Q ' ) = 1} =
= Q'
lo que d e m u e s t r a
Para
demostrar
con h(M)>
b), supóngase
1 es u n i r r a m i f i c a d o
a) r e s u l t a
blemente
a)
algún
=
Por
la c o n c l u s i ó n
ideal maximal de A de a l t u r a
Dados P ^
Q 2 nA*P 2 ,si P2 es m a x i m a l y M P 2 )
Q1
en B
ideal m a x i m a l M de A
que todo PeSpec A es u n i r r a m i f i c a d a
es una G D - e x t e n s i ó n
mar
que todo
(0) para
en B
salvo
Veamos
1?2 en Spec A y Q e S p e c
= 1, ha de
tener Ç^C Q 2 y Q ^
P« es u n i r r a m i f i c a d o
1
en B,
obtenida
A =
Por ser A C
ser P.j =
(0)
B una
posi-
que A C
B tal
extensión
B
que
(0) y basta
En caso
en
to
contrario,
entera
-
existe
up
Q^e Spec
existe
caciôn
B tal que Q 1 n A = P ^ y por
Q2eSpec
de P 2
C Q^ Y Q2<"> A
B tal que Q
implica que Q 2
el t e o r e m a
= Q l u e g o
=
p
63
de
L a
-
going-
unirramifi_
2
Q^ C Q^ y A C
B es
una
GD-extensiôn
Recíprocamente
Si C es un a n i l l o
epiyectividad
Entonces
finita
supóngase
tal que A Ç C C B, r e s u l t a
de Spec B
por
(5 1 a) se p u e d e
y sean N 1
K^eSpec
ser A C B una G D - e x t e n s i ô n
y h(N ^) = h ( N 2 )
1
1
si5n
1
dados
Q2 n A = P ^
simetría
1
en un
nión
Somo
de
los
B taies
([21]
luego Q 2
13
contienen
noethenano
C)
Por
íntegro
b)
•
son
de A con
ser A
c
—
2
B tal
B una
y
que
es
Esto demuestra,
ideales primos
ideal p r i m o
1 que
que
GD-exten-
a) a s e g u r a
la d e m o s t r a c i ó n
todo
Por
maximales
B tal que Q C N 2
los m i s m o s
de a l t u r a
ideales
Sea Q eSpec
N
y
la
GD-extensiôn
ideal m a x i m a l
la p a r t e
al final de
ideales primos
demostrado
= Q1
de
la e x t e n s i o n A C b es
y N2
existe Q e S p e c
se observo
fácilmente
que N ^ H A = l ^ H A = M
entera N^
Como P^ no es m a x i m a l ,
en B
que
Sea M un
1 * 1
que N^ y N 2
anillo
y está
suponer
sea P „ = Q H a
P ^ C M y N2
unirramificado
tura
= h(M) >1
y h (Ç) ) = 1
GD-extensión
Spec C que A C c es una
y que B es n o e t h e n a n o
h (M) >1
Q. c N„
que A C B es una
de
de
por
al-
(5 6),
^
(0) es
contiene
Luego
reuN2
-
CAPITULO
LA C O N D I C I O N
En
este
capítulo
noetherianos,
la m a y o r í a
bras
DE G B ^ - A N I L L O
de los anillos
finitogeneradas
de s e n e s
Los
dos
EN EL CASO
NOETHERIANO
la e x i s t e n c i a
casos
de
fundamentales
noetherianos
la c o n d i c i ó n
sobre un anillo n o e t h e n a n o
que se o b t i e n e n
noetheriana
limita
ponen
fuertemente
si k es un cuerpo y B un G B ^ - a n i l l o
que
Un p u n t o
de
la l l a m a d a
OB^-anillo
clave en el p r o b l e m a
no nulos
ideales primos
lado
McAdam
¿existe
de p o l i n o m i o s ,
do en p r o p i e d a d e s
íntegro,
algún
y la e x i s t e n c i a
quiere
to h a c e
sugerir
que
de G B ^ - a n i l l o s
un t r a t a m i e n t o
formales
destruye
por
([15]
p
en g e n e r a l
estudiar d i r e c t a m e n t e
67)
A tales
contenido
que
en
una r e s p u e s t a
positivos
de
ge-
para
Por
7) está
otro
basa-
henseliano
Kaplansky-Hochster
conexos
lo a n t e s
diferente
exis-
intersec-
de un a n i l l o
son p r o b l e m a s
lo-
concretamente
([25], Th
la c o n j e t u r a
completamente
a su c o m p l e t a d o
imposible
de r e s u l t a d o s
se de^
la
uno de los cuales u t i l i z a r e m o s
caso de las s e n e s
local
íntegro
ideal primo ^ ( 0 )
de
si n < 3
de
en la
P^ , P ^ S p e c
al caso g e n e r a l
que
dim B ^ 3 y
si y solo
contenidos
de u n i r r a m i f i c a c i ó n
c o s a s parecen
El
anillos
8
entonces
([25]) ha dado r e c i e n t e m e n t e
su c o n t r a e j e m p l o
Ambas
álge^
que es un
es la c u e s t i ó n
de un anillo
n e g a t i v a , pero a c o m p a ñ a d a
anillos
y los
En p a r t i c u l a r
conjetura de K a p l a n s k y - H o c h s t e r
h(P^)=h(P2)=2
lio
u n
anillo n o e t h e n a n o
2?
3
f înitogenerada,
es
ideales primos
de dos
neral
la d i m e n s i o n
de una k - á l g e b r a
t a m b i é n que k|[x^,
P
las
la e x i s t e n c i a
muestra
Sea A un
recubren
de m a n i f i e s t o
por encima de
ción
que
habituales
GB^-anillos
tencia
GB^-anillos
formales
resultados
calizado
-
III
se estudia
examinando
64
indicado,
re-
El p a s o de un
la i n t e g r i d a d
el p r o b l e m a
en las
ani
y es
senes
-
por
ascenso
método
de
se b a s a
una
amplia
del
ideal
lo ya o b t e n i d o
en a p r o v e c h a r
clase
de a n i l l o s
maximal
en
la
los p o l i n o m i o s
interrelación
locales
en el c i e r r e
entre
entero
-
Nuestro
existente
la
y la
65
para
unirramificación
integridad
del
com
que u n a
ál-
pletado
§ 1 - El caso de álgebras
Se van
gebra
lio
a obtener
fínitogenerada
basándonos
condiciones
sobre
S=A/P
de
A
Supóngase
En
- P/P
o
verifican
la s i t u a c i ó n
tiene
un
Considerando
el
una
Designando
GB^-ani
integro, K
que existen ideales
h(P/PO)=1
su
primos
y que
y P no
es
un
GB^-anillo
indicada
se t i e n e
sistema
una
extensión
multiplicativo
, sean
B = s"1(A/Po)
Se
sea
siguiente
Entonces A no es un
C A[a]/Q
o
a eK
y Qo HB=Po
Demostración
A/Pq
noethenano
Q q Q1 Q 2 eSpec A [ a] tales que Q q C Q 1 H Q 2
HA=Q2 HA=P
G-ideal
un a n i l l o
para
Sea A un anillo noethenano
cuerpo de cocientes3
Q
necesarias
en la p r o p o s i c i ó n
(1 1) - Proposición
distintos
fmitogeneradas
extensión
con b a r r a s
B C
las
C = S ~ 1 (A[ a] / Q o )
C de a n i l l o s
clases
módulo
noetherianos
PQ
Ó
íntegros
QQ
A[ a] / Q 0 « A / P Q [ 5]
y
si
x
a= — con x ye A
v
se s i g u e
de a y = x
que
*
A
[ a] / Q q
el
tienen
cuerpo
de
Veamos
anillo
rrado
un
cuerpo
Supuesto
B'=
local,
de
cocientes
L,
que
y
o
es a su
vez
de B y C
que
discreta, pues
y dim
anillo
cocientes
luego A / P
y
que el cierre
local
valoración
un m i s m o
—
x
a = —
-
entero
B
fuera
es l o c a l
dim B = h ( P / P Q )
B' es la
B'
=
del
anillo
local,
B
noethenano
1 por
intersección
local
los
es
es un a n i l l o
Por
anillos
un
de
íntegramente
hipótesis
de
B no
ce-
ser B
de
valora
-
ción
de L que dominan
ser B
de v a l o r a c i ó n
entre
B' y L
anillo
=S
1
c
discreta
Ch V I
§4
local
anillo
contenido
([ 31 ' § 1
2
c o r
de
Esto
implica
T h
local
ideal
domina
anillos
luego
B
Pero
Sean
tanto
B C C Ç B
entera,
intermedios
domina
B,
finalmente
Luego
B
locales
luego
y C
ser un G B ^ - a n i l l o
en p a r t i c u l a r
A/P
de
todo
no es un G - i d e a l (por no s e r l o P),
o
G - i d e a l de A / P Q q u e c o n t e n g a a P / P Q es de a l t u r a >
se sigue
Supuesto
de
(II
es u n i r r a m i f i c a d o
unirramificado
en
(A/P
localización
([2]
o
que A fuera un
4 1) que
)
Al
5 12)
en
todo
El
no es m a x i m a l
ch(PQ)^2
la
al
local
como
con
ch(PQ)> 2
anillo
i m p l i c a que
tanto
domina
es a b s u r d o
anillos
no es un
que A no p u e d e
P no es un G - i d e a l
altura > 1
= P
resulta
esto
o
y P/P
por
B' es el ú n i c o
*
-1
*
Q.j=S
(Q^/Q0)IQ2=
, lo cual
B y B
-
*
(ya que Q ^ ^ Q ^ )
Veamos
6),
2) Y P o r
ser B C B" una e x t e n s i ó n
*
no e x i s t e n
3)
C * C L d o m i n a B, p u e s Q ^ A
®1
a n i l l o de v a l o r a c i ó n de L que
en un
l
VI § 1 3 Th
5 prop
e 1
1
que C * C B
no
Ch
de L que
está
n*
y
([ 3]
de v a l o r a c i ó n
(Q2/20)
como
([3]
B
66
y
GB^-anillo
ideal p r i m o
de
(A/P
)'
C o m o h ( P / P )= 1
o
o
resulta entonces que
conmutar
se t i e n e
el c i e r r e
un d i a g r a m a
1 y
por
entero
conmutati-
vo
A/P
(A/P
o
I
B=S_1(A/P
y la u n i r r a m i f i c a c i ó n
en
contradicción
un
GB2-anillo*
pone
El
lema
de
referencia
(1 2) - Lema
Existen
ideal
con
o
)
(A/P
lo a n t e s
debe
alguna
)
1
I
de P / P Q
siguiente
o
implica
o
)'=B
que
demostrado
ser b i e n
B1
es un a n i l l o
L u e g o A no p u e d e
conocido
pero
no
se
ser
dis-
suya
Sea A un amllo
noetheriano3
PeSpecA con h ( P ) > 2
elementos x,yeP tales que todo ideal primo minimal
(x,y) es de altura 2
local,
del
-
Demostración
A tiene
to con
un
Existe
un n u m e r o
P^
elemento
males
x P2
Q1,
se s i g u e
1= 1
finito
no p u e d e n
e
una
P „ C P „ C P en Spec A
1 2
i d e a l e s p r i m o s de a l t u r a
El
de
0, que
(x) son
y£P
y ^ Q^U
(x y)
Se tiene
y todos
([2]
Sea
por
ya que y f. Q
Se p r e c i s a
E
D
que
Davis
aún o t r o
([ 5] )
se n e c e s i t a
(1 3) - Lema
([2]
en xT-y
tos,
, luego
P =Q
para
= 2
lema,
consecuencia
algun
de
pues
x£P'
i, lo que
es
•
de a r g u m e n t o s
comodidad
limitado
de
a lo
integro3
x yeA tales
de (x,y) es de altura 2
Sea T
luego
(xT-y) C N
xnf
cuyo t é r m i n o
n
f r eA[ T]
o
,
constante
es
n
x fe (xT-y)
con g r a d o s
a
ser una
+ a Jy
n
n
Si el
n^
(xT-y)
feN
resulta
n-1
+ a„x
y +
í
*
Luego
del ideal
Sea
+ a Tn
n
+ a„ T +
1
o
canonico
A[ J]
(xT-y)+y
a x
o
V
f (£) = 0
U Q
Si N es el núcleo del homomorfismo
Desde
T =
P £ Q
16) y h ( P ' ) ^ 0
N es el único ideal primo minimal
Escribiendo
mini-
luego
f = a
f
11
por
existe
ideal p r i m o m i n i m a l
Sea A un anillo noethenano
Demostración
por
P £ Ç^U
1
]un
son de a l t u r a < 1
Entonces
h(P')
A[ T]
ya q u e
(que
17))
P' un
Se d e m u e s t r a
una indeterminada
nómica
1
luego
anillo
ideales primos
Luego
que todo ideal primo minimal
entonces
los
11
Si f u e s e h (P ) = 1, n e c e s a r i a m e n t e
imposible
([ 2] , 1 11)
([ 2] , 1 11)
UQ^
h(P') < 2
por
de a l t u r a
del H a u p t i d e a l s a t z
existe
P
tal que x ¿ P 1
n y otra vez p o r
-
cadena
recubrir
,Q n de
67
,a eA
n
expresión
poli-
= 0
-i d e a l N esta
generado
n ^ y m es el m a y o r
de
és-
resulta
xmN C
(xT-y)
Sea P un ideal p r i m o
h(P)=1
Veamos
que x?P
minimal
Si x e P ,
de
(xT-y)
también
Por
el
Hauptidealsat
y=xT-(xT-y)eP,
luego
P
-
sería
6
un
ideal primo m i n i m a l
15 y 6 16) es de la forma
de
(x,y)A[T ], que por
Q[T]con
Como h (Q[ T ]) = h(Q) = 2 p o r
([18]
pótesis,
se llega a la c o n t r a d i c c i ó n
h(P) = 2
y como
xmN C
(xT-y) C P i m p l i c a
(xT-y) C N, ha de
Se pasa
ahora
ser P=N
a demostrar
(1 4) - Proposicton
es un GB2~amllo
noetheriano
con gr tr
Entonces
B >1
([27 ],
por
Th
de
149) y la
Luego
hi-
x $ P
N C P, ya que x # P
la m i n i m a l i d a d
el p r i m e r
Sean AC B
-
Q ideal primo m i n i m a l
( x, y ) A
Entonces
68
amtlos
resultado
de P •
fundamental
íntegros tales que B
y una A-álgebra
fvmtogenerada
dim B <3 y st rd(B)=0, dim B <2
A
Demostración
([ 3]
ch
feA
tes
Aplicando
V
§3 1 cor
lema de n o r m a l i z a c i ó n
1) es p o s i b l e
f^O y elementos
sobre A tales
el
al
b1
que la
Af[b1
Supuesto que dim
según
3 4) es s u f i c i e n t e
(II
lio
Por
(I
2 3) se
B >4
dim
Dado que gr tr
sible
ó que
>3
,b n
^ junto
en d e f i n i t i v a
rd(B)=0
y dim
B >3,
que B^ no es un
GB^ani
B^ = dim B
en
B-1
si dim B =<») y si r d ( B ) = 0
de los dos
X
pan b^,
independien-
tiene
cualquiera
B
elemento
f
demostrar
dim B^ > d i m
(incluso
un
9ekraicamente
extensión
,bn]CB
es f i n i t a
encontrar
generalizado
casos
n
dim
contemplados
B >1,
en
que
hipótesis
ha de ser n > 1
con A^ y se c a m b i a
suponer
la
luego
si se
la n o t a c i ó n ,
se t i e n e una e x t e n s i ó n
agrues
po
finita
A[ Z ] Ç B
con A B a n i l l o s
noethenano
íntegros
Z una
indeterminada
con dim B > 3, que hay
que
y B un
demostrar
anillo
que no es
un
GB^-anillo
El
teorema
na en u n a
extensión
consecuencia
([ 27 ]
9
de E a k m
10)
A,
de d e s c e n s o
finita
son a n i l l o s
([8], Th
de
la c o n d i c i ó n
2)
i m p l i c a que A [ Z ] ,
noetherianos
De aquí
se
noethena-
sigue
y en
-
dim A [ Z ] =
y como A [ Z ] C
B es una
luego
dim A > 2
mentos
ne
x yeA
altura
Entonces
t a l e s que
entera,
1 = dim
el
lema
todo
-
dim A + 1
extensión
dim A +
69
B> 3
(1 2) p e r m i t e
ideal
primo
encontrar
minimal
de
ele-
(x,y)
tie-
2
X
Sea
a = —, C = Al z]
Se
y
tiene
un d i a g r a m a
conmutativo
de
inclusiones
A
C=A[ z ]
B
I
4-
I
A[ a] -»• C[ a] =A[ a] [ Z]
en
el q u e
todo
un
anillo
de p o l i n o m i o s
de
cocientes
generan
son a n i l l o s
de A
noethenanos
al
estar
C C B es una
—
B como C - m ó d u l o
B[ a ]
se
A[a]
por
la
ideal p r i m o
elección
el n ú c l e o
hecha
Puesto
que
contiene
(x,y) C p,
un
(1 3) h a de ser N
Th
36)
primos
tes)
del
ideal
Sea
La
no
entre
Como N C p[T]
S p e c A F A ] ^ Spec A [ T ] / N
familia
infinita
cualquier
les p r i m o s
q^,
sí y t a l e s
que
está
de
número
si b„
1
,b'
m
T una
finita
(x,y) de A
indeterminada
h(p)=2
y sea
N
A[a]
minimal
fibra
comparables
cuerpo
canónico
(xT-y),
familia
sí q u e
el
ideal p r i m o
que p o r
A[ T]
infinita
contienen
la
fibra
formada
por
un
ideal
natural
que
p[ T]
lema
([ 18]
ideales
adyacen-
de p
en
p[T]/N
y
a q
Lue
considerar
idea
contienen
r es p o s i b l e
distintos
de
(y son
que
primos
el
consta
resulta
ideales
q^ de A [ a ]
de
luego
de p en Spec
del i d e a l p[ T] y de u n a
a p[T]
go p a r a
minimal
(xT-y) C p[ T]
8
una
extensión
-»•
ideal p r i m o
el
es
b j
una
de x y
A[T]
en
finita
es
del h o m o m o r f i s m o
A[ a] í Z]
tiene
implica que C[a] Ç B[a]
Sea p un
contenido
extensión
B[a]=c[a][bl
lo q u e
íntegros
de q, d i f e r e n t e s
entre
-
q Cq^,
Se p a s a
h(qi/q)=1
a calcular
qfïA
sus
= q^DA
puestas
de
de
Se v e r i f i c a
([18], Th
h(q
N H A =
de
se sigue
con q ^ e S p e c
h(p[T])
de
la fibra
para el ideal p)
la forma q^*« q^/N
1=1,
-
r
alturas
El ideal primo N v e r i f i c a
do las p r o p i e d a d e s
= p
70
(0) y N^(0)
Consideran-
(0) en Spec A [ T ]
(antes
que h(N)=1
ideal
Cada
exq
es
A [ T ] , p [ T ] C q.^ y q i flA = p
149)
= h (p) = 2
) = h(p)
+ 1 = 3
1 = 1 ,
donde
h ( q) = h (p [ T ] /N ) = 1
y h(q^)=h(q^/N)>
2
Como
en c u a l q u i e r
h (N ) + h i q ^ / N X
resulta
que h(q
) = 2
i = 1
sus
i =1
de A [ a ] [ Z ] y v e r i f i c a n
P^,
) = 3
r
Sean P = q[Z], P = q ^ [ Z ]
distintos
h(q
caso
r
PCP^
Son
ideales
y
P n c = q [ Z ] H A [ Z ] = ( q r i A ) [Z]=
p[Z]
Pnc=qi[z]nA[z]=(qnA)[z]=
PÍZ]
,P r son
ideales primos
primos
de a l t a n a
1=1,
,r
2 de A Í a ] [ z ]
y
contracciones
Entonces
primos
de A [ a ] [ z ] c o n t e n i d o s
encontrar
mente
en A[OC], q„ ,
,q
son d i s t i n t o s e n t r e si
1
r
([2Sl, Th
3) a s e g u r a que existen i n f i n i t o s i d e a l e s
luego
p
uno P' C p ^ n
h(P')=1
P'H C ? p[z]
puesto
que h(P
en e f e c t o ,
conmutatívidad
donde
en p H
Y P'^(0)
=h(Pr)=2
posible
Necesaria-
Veamos
que
P ' O C = p [ z ] i m p l i c a P'O A=p y de
del d i a g r a m a
P' D q[z]=
)=
'
es
P, lo cual
(*) se sigue
no es p o s i b l e
que P'D A [ a ] 3 q,
ya que
la
de
h(P)=h(P')=1
y P ? P'
Por
primo
ble
ser c [ a ] C ß [ a ] una
extensión
Q' en ß [ a ] tal que Q ' O c [ a ] = P '
aplicar
el " g o i n g - u p
a los p a r e s
entera,
Por
existe un
igual m o t i v o
P ' C p^ i=1,
es
,r y
ideal
posi
encon
-
trar
Q^ ,
i=1»
,Q^ en Spec
B[a]
tales
que Q'C Q
71
-
y Q HC[a]=P
,
,r
La
prop
finitud
3) que
de la e x t e n s i ó n
la fibra
de p[ Z]
Como
ponerse
conmutatívidad
les Q
HB
La
I=1,
r fue t o m a d o
,r son de
P 1 flC = p [ Z ]
Al
La
del
([ 3] , Ch V § 2 1
en Spec B tiene un n ú m e r o
tos de e l e m e n t o s
r > s
C C B asegura
arbitrariamente
de
(*) i m p l i c a
la fibra de p[ Z]
fini-
puede
que
los
puesto
su-
idea-
que
ser r > s no p u e d e n ser todos d i s t i n t o s y p o r
*
*
e j e m p l o se tiene Q D B = Q PlB = p
para cierto p
tal que
*
*
p H c = p [Z ] Dado que P ' P I C ï p [Z ] ha de ser Q ' D B ^ p
y por
*
t a n t o Q » PI B C p
un
fibra
ideal J ^
ideal
(0) de B en B[ a] es
(0) de B [ a] c o n t i e n e
(0)
un e l e m e n t o
En
efecto,
c i- 0 de
la
for
ma
c = b + b,
+
o
1 x
y ex
k
EJFLB
+b,
k x
luego J H B
y se t i e n e
la
b
(0)
Entonces
QV
(0) =>
ser C C B una
extension
p*
entera
h (p*)< h(p[z]) = 2 y resulta
se v e r i f i c a
h(p*/P*)
ideal p
contenido
primos
forman
Th
45)
H C=p[Z]
está
*
no es un G - i d e a l
(como ya
que
([18]
= 1
*
El
*
po=Q'nB^(0)
cadena
(0) C p * C
Por
,b. eB
k
o
se i n d i c ó
la f i b r a
En e f e c t o , p
para P[T])
en i n f i n i t o s
de p en C = A [ z ]
ideales
Aplicando
'going-up
en la e x t e n s i ó n C *C B se o b t i e n e n i n f i n i t o s
p r i m o s de B que c o n t i e n e n a p
C o m o B es n o e t h e n a n o ,
el
ideales
e s t e he^
*
cho
imposibilita
que p
Se ha l l e g a d o p o r
proposición
les p r i m o s
(1 1) p a r a
distintos
sea
fin
y p
Q', Q
que
B = p
no
es un G - i d e a l
En
el s i g u i e n t e
siempre
a estar
, Q
1
B C B[ a]
en B[ a]
¿
L u e g o por
son GB - a n i l l o s
146)
de
se t i e n e n
taies que
la
idea-
Q ' C Q O Q_
*
y Q'O B = PQ
corolario
([18], Th
en las c o n d i c i o n e s
la e x t e n s i ó n
*
y que Q H B = Q ^
un G - i d e a l
verifican
(11)
B no
se e x c l u y e n
de forma
vacía
h(p / P Q )
es un
los
=
1
GB2-anillo
casos
•
c o n dim B < 1 ,
-
(1 5) - Corolario
generada
Sea k
-íntegra con dim B >2, B
su cuerpo de cocientes
dim
B= 2 y Spec B'
Demostración
B no
SpecB
Si dim
B >
mente por
basta
Se p a s a
aplicar
el caso
complicaciones
obliga
a partir
local
Esto
implica
( [2 1 ]
para
todo P eSpec A
que
indeterminada,
extensión
2 6)
en
5
La
(5
simple-
idea
de un
surgen
son muy
algo m a s
lo que u n a
Sin
Demostración
superiores
esto
fuertes
ideal m a x i m a l
A„
M
M de A
local
regular
z una
tal que ? [z ]C B es una
Sea p un ideal primo de B tal que B~ es
Entonces
Supuesto
las c o n d i c i o n e s
ser un
GB2-anillo
Consideremos
P
h(p) <3
que h ( p ) > 4 ,
de
pflA
( [18], Th
(1
Por
se d e m o s t r a r a
1) y en c o n s e c u e n c i a
ser A[ Z]C_B una
que
no
extension
B^
ve-
puede
entera
45)
h ( p H A[ Z
y entonces
prefi
y
Sea A un anillo integro regular3
rifica
se t i e n e
se-
embargo,
ideal m a x i m a l
es un a n i l l o
íntegro
de
un a n i l l o A tal q u e
todo
18 6) que A
general
—
un GB^-anillo
que
3)«
(1 4), p o r
dentro
para
B un anillo
finita
local
se e n t i e n d e
regular
( 1 6 ) - Proposición
(I
a dicha proposición
de h i p ó t e s i s
es un a n i l l o
4 1) y
que
ahora
Por a n i l l o reqular
(1 4) i n d i c a
(II
se r e m i t e n
jado
si y solo si
(II
rie de d e t a l l e s
que t r a b a j a r
de B en
equicodimensional)
es la m i s m a
las
rd(B)=0 por
de un a n i l l o
al t e n e r
fmito-
de J a c o b s o n
la d e m o s t r a c i ó n
-
homeomorfismo
la p r o p o s i c i ó n
pues
ser B un a n i l l o
B=2
GB ^-anillo
es un
3,
B una K-álgebra
el cierre entero
B es un
es un G B ^ - a n i l l o
Si dim
un cuerpo,
72
en v i r t u d
de
])>
h (p)> 4
([ 18], Th
149)
hípíl A ) > 3
Sea p e S p e c A tal que p C p f l A
local
regular
existen
y h (p) = 2
elementos
x,yep
Por
tales
ser A ^ un
que
anillo
-
P A
=
que
es p o s i b l e
suponer
descomposición
primaria
, y los r a d i c a l e s
de
i
Si
Si n>1
n>1
por
eexxiissttee un
([2],
(x,y)A
,1
están
2.
f el„n
2
Di
regular,
ideal primo
pues
en d e f i n i t i v a
niendo
contenidos
f é p y de
n
en p
nuevo
y)Af=pAf
de a l t u r a
sus a n i l l o s
locales
La e x t e n s i ó n A ^ f Z lJ C B^ es f i n i t a
f
—
f
Luego
no
n
4 9)
(x y ) A j es un
anillo
n
reducida
I_,
elemento
(x
luego
Hi
Sea
n A=p, luego por
P
las c o m p o n e n t e s p r i m a r i a s
por ejemplo
{ [2 ], 4 9) p es una de
p=I
que p = ( x , y ) A
n
(x y) A = I
1
una
-
(x , y ) A
P
P
Veamos
73
que p=(x
es p o s i b l e
y
2 de A ^
A^
lo son t a m b i é n
un
de A
f ft p
(Bj~
=B~, pues
f pBj
P
abordar
es
la d e m o s t r a c i ó n
supo-
y)A
x
Sea a= ~~
demuestran
ma
Los hechos
exactamente
conmutativo
de
que
igual
1
4
los a n i l l o s
extensión
Spec A[a ] un
hfP^)
es p o s i b l e
PVP
PV(O)
anillo
por
los
cualquier
un
que
B [a ]
íntegros
y una
qCq^
=<
1
diagra
y A[a][z] C
31í z ]
familia
y h(qi)=2
son t a l e s
subfamilia
como
finita
fibra
B[a]
en
infinita
sus
exten-
que h ( P ) = 1,
P
,
ideal primo P , C P . ) n
, P r de
^
p
ÍP
}
q u e
r
y h (P ) = 1
el ideal p r i m o
regular,
en p a r t i c u l a r
([ 3] , Ch V
-*•
i d e a l p de A tiene
tales
p
un
\r
q con h(q)=1
P=q[z],
encontrar
Se tiene
A un
el
ideal p r i m o
dada
se t i e n e
se
B
son n o e t h e r i a n o s
finita
a A[a][z],
= 2
(1 4)
A [a ] [z ]
{q^} de i d e a l e s p r i m o s
siones
en
•
A[a]
es una
que
en este p á r r a f o
inclusiones
A
A[Z]
(*)
en el que
se e n u m e r a n
A[Z]
§2 4 cor
A[ Z]
(x y ) A[ Z] =p[ Z] C p fl A[ Z]
es un
anillo
es í n t e g r a m e n t e
regular
cerrado
En
) la fibra de p[ z] en Spec
ideales primos
minimales
de
(x,y)B
por
([21],
Por
ser
17 J)
consecuencia
B está
formada
el m i s m o
moti^
-
vo
la e x t e n s i o n
primos
([27],
A[ Z] C
10
14),
B conserva
luego
las
todos
alturas
ellos
de
tendrán
74
los
-
ideales
altura
igual
~
a h(p[Z])=2
*
que x, yep# e x i s t e un ideal p r i m o m i n i m a l
*
/V
*
(x y ) B tal que p C p
R a z o n a n d o como en (1 4) con p
(al
de
Dado
p
*
igual
que
Spec
se hizo
B [a ] está
familia
antes
formada
infinita
con p)
por
un
de i d e a l e s
resulta
que
la fibra
ideal primo
primos
de p
en
Q con h ( Q ) = 1 y
una
de a l t u r a
2 que
contienen
a Q
Por
(x y)A
ser A un
un
ideal p r i m o
c e r r a d o ([32], Th
Este
hecho
sible
10
14)
del d i a g r a m a
ser
Q H A[OI][Z]
QCQ
=h(P
por
Aplicando
y Q i n A [ a ] [ Z ] =P
i
1
P y como
las
fibras
por medio
de b[ a ]
remarque
del
alturas
conmutatívidad
a la f i b r a
Como
de
q C q^
p
ha
Q
gSpec
B [a ] t a l
de a l t u r a s ,
que
h(Qi) =
sobre
4)
P'C p ^
de
n P^ tal q u e
cerrado
ideal primo
Q^
la
fibra
tiene
como
entonces
que
extensión
el
cardinal
P'
, P7(0)
tal
a lo m a s
s del
cuerpo
de
antes
el
para
que
s elementos
cocientes
([3], Ch V
ideal
y h(P*)=1
aplicar
de
se ha t o m a d o
i n d i c ó ) un
y encontrar,
de B [ a ]
A[a][z]
resulta
que
se
es p o s i b l e
Cß[a]
un
de P'
y la
uniformemente
Spec
separabilidad
(en la f o r m a
en A [ a ] [ z ]
acotar
B[ a ]
el de A Í a l t z ] ,
Supóngase
íntegramente
cerrado
morfismos
del g r a d o
encontrado
16)
po
en la e x t e n s i ó n A [cd [z]OB[a]
encontrar
ser A [ a ] [ Z ] í n t e g r a m e n t e
Spec
5
La
es
necesariamente
la c o n s e r v a c i ó n
A [ a ] [ Z ] C B[ oj f i n i t a p e r m i t e
ha
lugar,
)=2
El
de
h(P)=1
going-up
Por
cerrado
a I C X H z ] _C b [a ] c o n s e r v a
{q^}
y
íntegramente
En p r i m e r
la f a m i l i a
es p o s i b l e
cerrado
es í n t e g r a m e n t e
Qfl A [ a ] p e r t e n e c e
q y
el
es
h ( Q O A[a][Z])=1
que
3q[Z]=
cada p a r P C P
A[a ] t a m b i é n
AICXHZ]
la e x t e n s i ó n
formada
íntegramente
la d e m o s t r a c i ó n
(*) i m p l i c a
Q^A[a][z]=P
para
en
donde
en p a r t i c u l a r
en S p e c A [ a ] ,
de
que
noethenano
el a n i l l o
2) , de
es c l a v e
asegurar
(I27]
anillo
§2 3
r >s y
primo
Por
ser
going-down
cada p a r P'C
AICXIIZ]
([2],
j=1 ,
y Q^HA[a][z]=P
y r>s,
se
dos
de
,1
Como
los
Q'
D
-
han
de
Puesto
coincidir
sea p o r
que Q ^ ( 0 )
y h(Qi)=2,
Se trata
de ver
Q!¡ = Q 2
ejemplo
que
se t i e n e
se ha
Entonces
h(Q')
logrado
75
-
Q'^^Q^^Q^
= 1
alcanzar
la
situación
*
de
la p r o p o s i c i ó n (1 1)
Veamos
_
*
parte, Q C
implica p
C Q
HB
Q1'^B=Q
i
(
'B=p
Por
es p o s i b l e
ya
Q i n A[Z]
una
^
SI p C Q n B, c o n t r a y e n d o
e n t e r a A[ Z] C B s e r í a p[ zl C Q n A[ z]
la e x t e n s i ó n
no
que
pero
en
esto
que
= q i [ Z ] O A[Z]
=
(q
N
A)lzl
= plzl
*
luego
ha de ser Q
*
Sea p
p
*
^ B = p
= Q'O B
La
°
en Spec B [ a ] i n d i c a
estructura
ya d e s c r i t a ,
.
que
el ú n i c o
ideal p r i m o
de
la
fibra
r i
de
B l cu
de
de
altii
*
ra
1 que
*
P
Q
contrae
a p
es Q
Pero
Q' f Q,
al ser P ^ P
luego
*
Cp
Por otra p a r t e ,
repitiendo
y como
la
fibra
del
ideal
un a r g u m e n t o ya u t i l i z a d o en
(0) C p o C p
Cp
*
*
*
h(p
)=2,
se s i g u e
que
h(p
/p
(0) en
(1 4)
BlaJ
Luego
es
se
(0),
tiene
) = 1
o
Sea D = B ~
plicativo
Localizando
B - p se t i e n e
una
D C
de
ideales primos
en B y B[a ]
con
el
sistema
multi-
extensión
D [a]
distintos
Q^Dtal
Q!jD[a ]
c
Q2D[ct ] , Q 2 D[a ] t a l e s
que
Q ^ I a ] H Q 2 D[oi]
Q1D[alnD
=
Q2D[oJnD=p*D
Q 1 D lal n D = p*
h(p*D/p*
D
D) = 1
*
F a l t a ver que p D no
gular
y por
un
luego
tanto
anillo
es un a n i l l o
es un G - i d e a l
de C o h e n - M a c a u l a y
umversalmente
catenano,
lo
catenano
cual
implica
no,
resulta
e s t o hace
que h ( p D / p
imposible
D)>2
A es un a n i l l o
([213,
( [21 ], 16 E)
( [21 ]
h(p/p*)=h(p)-h(p*)
—
*
de d o n d e
de D
17 F y
16 D)
Entonces
B
es
14 B)
>4-2=2
C o m o D es un a n i l l o
q u e p D sea un
re-
G-ideal
de D
noetheria
( [ 18 ]
Th
146
-
se
luego
ha l l e g a d o
así a e s t a r
en
B~=D no es un GB - a n i l l o
P
2
Sea k un c u e r p o
que las v a r i e d a d e s
algebraicas
e irreducibles,
mente,
su d e m o s t r a c i ó n )
de
e
(1
-
1),
•
algebraicamente
afines
como
las c o n d i c i o n e s
l
cerrado
sobre k que
la p r o p o s i c i ó n
se p u e d e
Sobrentendiendo
se c o n s i d e r a n
anterior
interpretar
(ó m a s
son
propia-
geométricamente
sigue
Sea x una variedad algebraica3
(1 7) - Corolario
variedad de X de oodimension
>4
oa
1
subvariedades
Y3
y un morfismo
finito
forma que ninguna
V
2
C V C V
Y
x'
una sub-
Existe una variedad algebrai^
de
x
con
X'
C v
de
W 2 C V^
2
y
X tal que <p (w 2 ) =v2 ,<p (w ) = v 1 „ de ta
subvariedad
W
tal que
B el
anillo
de c o o r d e n a d a s
B es
extensión
verifica
v ? 2 C WC W
(¿>(W) = v
Demostración
Sea
de n o r m a l i z a c i ó n
míos
y
k[Z^,
pótesis
de
una
cadena
de
(0)C
se t r a d u c e
en
(1
1)
p*
p
Cp*C
de
de n o r m a l i z a c i ó n
morfismo
que B sea una
p ó t e s i s por
gr tr
extension
por D=B~)
P
V
Utilizando
Y
de A[Z]
se o b t i e n e
mento
feA,
f
un GB
- a n i l l o y f tf p,
un r e s u l t a d o
0 tal q u e
si p es un
entonces
(1 6)
Si se
polxno
l a s
de
(1
6)
morfismo
3 2)
este
•
se
cambia
requiere
esta
finitogenerada
genérico
ideal p r i m o
h(p)< 3
el
(II,
X buscado
la de que B sea una A - á l g e b r a
B >1,
t i e n e n
se c o n s i d e r a
a) En la p r o p o s i c i ó n
finita
de
lema
C X
al m o r f i s m o
(1 8) - Observaciones
anillo
el
subvariedades
de la v a r i e d a d
se e x t i e n d e
Se
Por
La d e m o s t r a c i ó n
primos
la c a d e n a
(sin p a s a r
n-1^
ideales
X' C V C V
Aplicando
de un
Z
tomando A=k[Z^
(1 6), p u e s A es r e g u l a r
proporciona
que
finita
de X
existe
con
un
de B, B ~
La d e m o s t r a c i ó n
hi-
el£
es
consis
-
te en a p l i c a r
el lema de n o r m a l i z a c i ó n
(1 4) y luego
(1 6)
mas p r e c i s o
que
Este
resultado
generalizado
es desde
(1 4) a c a m b i o de exigir
El caso de a p l i c a c i ó n mas
evidente
luego
que A sea
l
i
-
como
en
bastante
regular
es el de Z - á l g e b r a s
fini-
togeneradas
b) En el caso de k - á l g e b r a s
caso g e o m é t r i c o )
Es p*o s i b l e
h(p
)=2
lema
la d e m o s t r a c i ó n
considerar
encontrar
mo m i n i m a l
de
(x y)B
consiste
en p r o b a r
dad
de c o d i m e n s i ó n
de c o d i m e n s i ó n
aplicando
tr
K
B[a]
do r e s u e l v e
rrado
na u s a n d o
recta
el
(mediante
de p
2 están
E s t o p u e d e hacerse
la cuestión
que dos
de M c A d a m
I
consiste
a
en p r o c e d e r
se usa el t e o r e m a
(1 6)
como
de B e r t i n i
ideal
muy
pri
elemental
B[ a]
El
punto
la
con-
subvaríedades
subvarie
a la
Una,
k-álgebra
] si
utiliza-
finita,
se
del c a r d i n a l
Otra p o s i b i l i d a d ,
en
con
n Z ] es í n t e g r a m e n t e
y la a c o t a c i ó n
semejante
p
([25]) ya
, Z^] C B[ ot] es una extensión
de forma
p C
de dos m a n e r a s
al anillo k [ Z l #
el
simple
~
en a l g u n a
de N o e t h e r
C o m o k[z„
going-down
el
en Spec
contenidas
el r e s u l t a d o
en
*
que en B[ a] es c i e r t a
es decir
el p r o b l e m a
Aquí
y kfZ^,
fibras,
2
el lema de n o r m a l i z a c i ó n
B[a] y r e m i t i e n d o
n=gr
1
ideal p r i m o
tales que t o d o
sea de altura
la fibra
(es d e c i r ,
(1 6) es m u c h o m a s
elementos x,yCp
jetura de K a p l a n s k y - H o c h s t e r
distintas
de
d i r e c t a m e n t e * un
(1 2)) y c o n s i d e r a r
más d e l i c a d o
fmitogeneradas
([26], p 56)
fuerte y
—
terni
de
las
mas
Pero
ce
di-
aquí
específicamente
geométrico
§2
-El
caso de anillos de series de potencias
Los m é t o d o s
ries
que t i e n e n
llo de
del
§ 1 no son
grado
aplicables
de t r a s c e n d e n c i a
a los a n i l l o s
infinito
sobre
de
el
se
ani-
coeficientes
Se ha de notar
^
cal n o e t h e n a n o
GB - a n i l l o
en p r i m e r
lugar que si A es un a n i l l o
y A su c o m p l e t a d o ,
En efecto
el e j e m p l o de
A
lo-
en g e n e r a l A G B ^ - a n i l l o 7*
(II, 3 10a) p o n e de
maní-
A
-
fiesto
que
K[X,Y
es Rix Y , Z J
78
-
Z]
. no es un GB - a n i l l o , m i e n t r a s sí lo
( X Y ti )
2.
se vió en (II
3 10 b)
A p e s a r de esto el p r o
como
A
blema
se a b o r d a r á
plica
que A
ro
existente
Sea A un a n i l l o
t o t a l de
se t i e n e
fracciones
un d i a g r a m a
íntegro
y cierre
con
ente-
K su c u e r p o
 el c o m p l e t a d o
Si A C A '
<*
de A,
es una e x t e n s i ó n
de
F(A)
fini-
A
/S
x i
;
y
/S
A'
im-
conmutativo
A
R
es f u n d a m e n t a l
entre c o m p l e t a c i ó n
entero de A
esto
de un i r r a m i f i c a c i o n
del p r o b l e m a
local n o e t h e n a n o
A' el cierre
su a n i l l o
ta
las c a r a c t e r í s t i c a s
la r e l a c i ó n
cocientes
que si A es un G B 2 ~ a n i l l o
cumple algunas propiedades
Dadas
siderar
observando
A
A'«A
Y
A
SA
(A)
A
3
I
1 4,
ô
A
KFIA
A
K
en el que
la s i t u a c i ó n
(en p a r t i c u l a r
([3]
Ch
III
I
una
es la siguiente
§ 3 3 y
§ 3 5 prop
en el cual
cal de J a c o b s o n
y por
([3]
y son a s i m i s m o
Ü3],
A'
Ch
III
IV
iguales
A' es un a n i l l o
semilo-
§ 2 5 cor
a A*
3)
Luego
definida
del
3 y Ch
a la topología
§ 2 1 ex
Zariski
la topología
la extensión
Ch
de
de A
también
1
por
su
radi-
ideal m a x i m a l
de
III
3)
§ 3 3 ex
como
ß es
A-módulo
fielmente
plano,
con A' ® A y i es una inyección ([3], Ch
III
A
A
finitogenerado
3) lo que i m p l i c a que A
es un A - m o d u l o
"j es una in
S i 4 Th
yección
al
ser  un A - m ó d u l o
lo a y ser K un A - m ó d u l o
divisores
IV
de cero de A
§3 4 cor
plano
plano
Por
2) vía
la i n y e c c i ó n
.
traves
A
e
ser A un A - m ó d u l o
la inclusión a
Como A'
A
ô es una
inyección
Sea S=A-{o}, T el
K ® A = S"1A « A « S ~ 1
A
A
da
9)
plano
se i d e n t i f i c a
c
Ch
a es f i e l m e n t e
i n y e c c i ó n ) por ser A un a n i l l o
cal n o e t h e n a n o
A coinciden
^
F (A)
r
por
conjunto
plano,
S Ç T
ser
de
([3],
Entonces
(A S Â ) = S _ 1 A C
A
T~1&=F(È)
se incluye c a n ó n i c a m e n t e
en F ( Â ) a
^
de Ej y es un A - m o d u l o
fînitogenerado,
existe
la
no
inclu-
-
Y de A 1
sxôn
todos
en el c i e r r e
los h o m o m o r f i s m o s
En g e n e r a l y
entero
(A)' de A en F(A)
del
diagrama
no es una
igualdad
son
79
En
resumen
inyecciones
en efecto
existen
que
n o e t h e r i a n o s í n t e g r o s í n t e g r a m e n t e c e r r a d o s A=A
A
en A el ideal (0) es p r o d u c t o de dos ideales p r i m o s
tos
([27], E
anillos
locales
anillos
7 p
209)
Si fuese A =
-
(A)
se t e n d r í a
tales
distinpara
los
reducidos
(£)
en v i r t u d
de
noethenano
red
-
(II, 4 3)
reducido
(
<A),)red"
Pero
«^red»'
entonces
, es un a n i l l o l o c a l
red
c e r r a d o en su a n i l l o t o t a l de
íntegramente
(A)
A
fracciones,
§ 1 2 cor
luego
2)
tud
del
anomalía,
entero,
hace
se deduce de ([3] Ch V
A
al tener A dos i d e a l e s p r i -
de G r o t h e n d i e c k
men muy
corto y a c c e s i b l e
La teoría
de
la n e c e s i d a d
precisa
de i r r e d u c i b i l i d a d
§12)
según
es p o s i b l e
y de p a s o
general
([12]
íntegro
distintos
cierre
delicados
, es
red
lo cual no
mos minimales
Esta
(A)
la u t i l i z a c i ó n
analítica
estas
cuestiones
de G r o t h e n d i e c k
exponen
a continuación
brevemente
las
fibras
del
de
residuo
teoremas
la
versión
§7)
Un
resuen
resultados
VI
§37)
de
los
de
Se
tér-
resultados
se llaman fibras
Spec A
Spec A
cualquiera
y Pe Spec A,
A en P a las f i b r a s
cuerpo
fini-
formales
de A a
morfismo
Si A es un anillo
les
local,
Ch
las d e f i n i c i o n e s
con a l g u n o s
Si A es un a n i l l o
([27]
la
se e n c u e n t r a
generaliza
§13) y de N a g a t a
junto
([13],
(sin d e m o s t r a c i o n e s )
([36], C h , V I I I
a utilizar
de
Se c o n s i d e r a
Zanski
minos
de a s e g u r a r
del a n i l l o
formales
local
de A
en Q
se llaman
JP
fibras
Sea Q e S p e c A
Se dice que
ir
forma, k el
la f i b r a
for-
mal correspondiente a Q es geométricamente
normal
para
el a n i l l o (Ap 8 k) S^ k'
es
todo
cuerpo k' e x t e n s i ó n
finita
de k
(reducida)
A
si
normal(reducido)
Es
pleto
inmediato
que
(en p a r t i c u l a r ,
si A es un a n i l l o
un
cuerpo)
sus
local n o e t h e n a n o
fibras
formales
son
comgeo-
-
métricamente
lio n o r m a l
terística
normales
(y en p a r t i c u l a r
es r e d u c i d o )
0
también
mente
todo
anillo
La clave p a r a
guíente
noethenano
ximales
todo
las
tricamente
([l3]
§7
8)
es el si^
anillo
ideales
ma-
entonces
para
fínitogenerada
las
son g e o m é t r i c a m e n t e
todos
los a n i l l o s
sobre un cuerpo o sobre
sus fibras
locales
son
nor
de
el a n i l l o
formales
que
esta t e o r í a p a r a d e m o s t r a r
es clave p a r a
abordar
de
geomé-
la p r o p o s i c i ó n
nuestro
normales
con c h ( P ) > 2 y tal que el ideal maximal de A/P es
cado en (A/P)'
si-
problema
Sea A un anillo local noethenano
cuyas fibras formales son geométricamente
íntegro
Sea pe Spec A
unirramifi-
Si A es un GB ^-anillo , entonces A/P C (A/P)
GD-extensión
Demostración
íntegro
Sea B=A/P
con
fibras
Por ser B un anillo
formales
geométricamente
local
e n t e r o B' es un B - m ó d u l o
Se t i e n e un d i a g r a m a
fmitogenerado
a
^
i I
tiene B =
luego por
y B =(B)'
(I13J,
7 6 1)
-l-í
ß
B' =
el
([13]
(A/P)'v= A/PA
(B) '
ideal m a x i m a l
(en la t e r m i n o l o g í a
)
cierre
A
B
B'
branche
su
A
conmutativo
B
Por o t r a p a r t e
noethenano
normales,
A
en B
de
general
Si A es un
(reducidas)
ideal primo
carac
normales
(2 1) - Proposición
es una
Mas
([13],
de A en sus
B de una A - á l g e b r a
En p a r t i c u l a r ,
de
ani
ideal p r i m o
(ív))
7 4 4)
formales
son tales que todas
Precisamos
guiente
7 3 19
-
todo
familia de a n i l l o s
normales
de B en todo
fínitogeneradas
en todo
tiene esta p r o p i e d a d
fibras
de f r a c c i o n e s
los e n t e r o s
( [ 13 }
de G r o t h e n d i e c k
(reducidas)
álgebras
formales
a una gran
son g e o m é t r i c a m e n t e
formales
males
excelente
tal que
anillo
fibras
normales
extenderla
teorema
pues
Si A es un anillo de D e d e k i n d
las f i b r a s
A son g e o m é t r i c a m e n t e
reducidas
80
de B es
de G r o t h e n d i e c k
B es un a n i l l o
7 6 3) el anillo
([27],
17 9)
unirramificado
uni-
B es í n t e g r o
luego Q=PA
es un
ideal
Se
- 8 1
primo
de A
Se
-
verifica
ch(Q)
= dim B = dim B =
ch(P)>2
/N
y como A es un G B ^ - a n i l l o
(II
3 5) implica
que
A
A
A
i
B = A/Q
4
es una G D - e x t e n s i ó n
a un h o m o m o r f i s m o
A
La
(A/Q)
= B
inclusion
a es una G D - e x t e n s i ó n
r i
plano
<L 21J , 5 D)
luego
la c o m p o s i c i ó n
es una G D - e x t e n s iA ó n
Por ser 3 fielmente p l a n o ,
Spec B'
-*•
Spec B 1
es e p i y e c t i v a
([3] , Ch
GD-extensión,
resulta
B
i
B
fácilmente
de
del
de
4)
la
i a
aplicación
A
3 i = i a una
Al ser
de dicha e p i y e c t i v i d a d
(2 1), se trata
que
ahora de
ideales primos P que v e r i f i q u e n
enunciado
ser
•
la p r o p o s i c i ó n
la e x i s t e n c i a
condiciones
A/P C
§2 5 cor
es una G D - e x t e n s i o n
A la v i s t a
siderar
II
por
A
Si además
(A/P)' no es una G D - e x t e n s i o n ,
se p u e d e
garantizar
se habrán
obtenido
con
las
que
condi-
A
ciones
n e c e s a r i a s p a r a que
Puesto
que
los p r o b l e m a s
i n t e r é s por
sí m i s m o s ,
y generales
que
En p r i m e r
lidad p a r a
en
(2 2) - Lema
es íntegramente
h i p ó t e s i s mas
sencillas
se p r e c i s a un r e s u l t a d o
concreto
de
norma-
cerrado,
u,v
Para todo n > 1, el anillo
UV, uv2.,
jüv 11 ]
cerrado
Veamos
los de
f = 2 a1
con a
evidente
anillos
B = B(u,
exactamente
se considerarán
son de
Sea B un anillo íntegro integramente
indeterminadas
Demostración
de u n i r r a m i f i c a c i ó n
GB^-anillo
(2 1)
lugar
ciertos
el completado A sea un
la
D
= 0 si i< i/n
en p r i m e r
forma
U1
V3
lugar que
los p o l i n o m i o s
fetí son
-
Si
fCB,
cualquiera
u010
de
los m o n o m i o s
de
f se
82
-
expresará
( u v n ) a n = ü 1 V3
(UV) a1
con
x = a
+ a
o
+
1
+ a
3 = <* + 2a +
1
de
+
2
a
+
+a
luego
los
a
con
„
+ n a
1
=
n
n
i < j/n han de ser 0
dados
i, 3 tales
que
j/n
dividiendo
tiene
] = nq + r
Si r = 0, U 1
l > q =
V3
>q
V3=
Se
B[U,V ] que
cocientes,
de
cocientes
V
BCB[U,V]
estar
en
g(U,V)
tiene
= U1_q(UVn)q
lo c u a l
es
lícito
ya
que
de B
V]
cor
un
ecuación
de
a su v e z
al
los p o l i n o m i o s
B es í n t e g r a m e n t e
ser n >1
2) con
elemento
a
i < j/ri
+
U
entero
es p o s i b l e
gk
caracterizados
V
l
1
V
con
sobre
gk"1
dependencia
+
entero
1 >j/n
ser
de
sobre
(que
B
son
términos
cuerpo
cuerpo
cerrado
K(U,V)
sobre
y
B ha
de
Restando
de
B)
no n u l o s
que t o d o m o n o m i o
Si g ¿ 0
su
K el
cocientes
entero
B sin
suponer
siendo
en
íntegramente
c u e r p o de
de K(U V )
3
cerrado
es K ( U , V )
Sea g (U,V)£B[U,V]
un p o l i n o m i o
verifica
posible
B [ U , V ] es un a n i l l o
términos
luego
Vr),
en B
§13
B[u
así
que por
luego
sus
1 >3/n,
g(U V )
tienen
ahora
de
Ch
Vnq
ü l _ q ~ 1 (U V n ) q ( U
están
Veamos
([3],
= U1
0 < r< n
j/n
U1
r> 0
i>j/n
una
+
1
n
Recíprocamente,
Si
n
+ 2a
> -J
1
que
na
donde
x >a
se
n
se
a
ob-
con
no n u l o
de
sea
+
entera
fo
= 0
con
f
,
,f ]( ._ l eB
Conside-
-
remos
los m o n o m i o s
diferencia
el q u e
j-ni
tenga
a
grado
U
i j
V3
(que es > 0 )
1
monomio
U1
a
total
o
V
30
í+j m a y o r
con
a
que
no
(a
en
la e c u a c i ó n
3
g(U,V)
tales
y elijamos
Esto
que
entre
determina
-
un
la
ellos
único
. „
i j
j- 0
o o
1
de
sea m á x i m a
o o
Veamos
no n u l o s
83
de
dependencia
entera,
el
térmi-
k
U ° V °)
no p u e d e
ser
anulado
por
otros
En
efecto
"""o"3 o
al m u l t i p l i c a r
g
go
en
esta
g
la d i f e r e n c i a
diferencia
j - n i < 0)
de
dos monomios
la
no
Luego
ecuación
se
máxima
es k f j ^ - n i ^ ) ,
monomios
así
1
U
ok
formados
3
V
que
la d i f e r e n c i a
de g con d i f e r e n c i a
k
ok
diferencias
incrementa
monomios
a
las
es
que
se
s(j
al m u l t i p l i c a r
máxima
por
aparece
en
al
máxima
a Ji - n i
de
lo t a n t o
ig
3 ual
grado
suman
-niQ)
y se o b t i e n e
el ú n i c o
que por
aparece
j-ni
o
total
k(i
se p r e s e n t a
Si s < k
f
(pues
términos
k
en g
los
Entre
o
aquí
los
combinar
o
lue-
los
+ j ) es
o
aislado
en
la
ecua-
V o
ción
ak
V o
Como
ser
^ 0 , esto
g = 0 y B es
Se p a s a
íntegramente
a demostrar
(2 3) - Proposicion
minadas,
te
un
lleva
el
•
resultado
de
Sea B un amito
primo
Q de
BIX,Y
zl,
no es unirramificado
Demostración
Sean
en
U,V
QC P
factorial,
tal
y = U
subanillo
ha
de
P2=
que
indeter-
(q X Y z) Exis_
si
C=B[X,Y
Z]/Q
en C' y p^/Q
C'
indeterminadas
Se
(1+V)
V2(1+V)
z = U
y el
x,Y z
es unirramificado
B[U,V]
x = U V
Luego
unirramificación
q un ideal primo de B, P =(q,X,Y)
ideal
de
contradicción
cerrado
y C 1 es su cierre entero, P2/Q
tos
a una
C - B[x,Y,z] C
B[U,V]
Sea
consideran
los
elemen-
-
Se
-
tiene
a
luego
c
c
c[a]
es u n a
de C y C[ a] es K(U
2
+
a z - xz = o
extensión
V),
siendo
entera
El c u e r p o
de
cocientes
K el c u e r p o de c o c i e n t e s
C [ a] = B [ x , y z/x]= B [u ,UV UV
luego
c[a]
es
de C [ a ] = C ' ,
Sea
íntegramente
cierre
definido
mos
que
Q el n ú c l e o
del
p o r <¿>(X) = x
h(Q)<1
Se
el
que Q
N
cuerpo
BIX,Y]
de
=
ideales primos
de
se t i e n e
Por
Z]
B[x y
<p (Y) = y
<¿>(Z) = z
(2 2)
luego
fibra
dicha
otra parte,
sobre
inmediatamente
calcular
K(U,V)
R
B[X,Y
de B[X y] es K(U V )
Q es un
del
ideal p r i m o
ideal
fibra
el
la
Esto
de
B[X,Y][Z]
(0) de B [ X , Y ]
son de a l t u r a
implica
como
< 1 ([18]
los
Th
36)
cualquier
y pertenece
3
anillo
íntegro
como
se
un
anillo
a ß
B
factorial
que
Q =
Se t i e n e n
z] / ( q , X , Y
comprue-
el i d e a l
(f) y C
Ä
= 0
(f) £ Q es
primo
ß[x,Y,z]/(f)
isomorfxsmo
Z)~B/q
bIx Y z ] / ( q , X
Y)«
(B/q)[z]
cadena
Q =
está
zl
qeSpec
B[X,Y
luego
vea-
polinomio
h ( Q ) < 1, r e s u l t a
Sea
Q
= 2
<¿>(f) = yz (x + y) - x 3 = U 2 V 2 (1+V)UV (1+V) 2 - U 3 V 3 (1+V) 3
y como
don-
h(Q)< 1
es i r r e d u c i b l e
ser
de
z]
Para
B [ x , y ] = gr tr
ß
f = YZ (X+Y) - X
Por
]
tiene
(0)
a la
el lema
UV
B
de C
cocientes
pertenenciente
según
de
homomorfismo
gr tr
pues
cerrado
entero
B[x,Y
ba
84
<f)Cp
formada
por
=,(q,x Y ) C p 2 = ( q , X , Y
ideales
primos
Z)
Modulo
Q resulta
la
cadena
- s s -
Co) C P i = ( q , x , y ) C p 2
de i d e a l e s p r i m o s
Se trata
C'= C [a ]
y como
a h o r a de p r o b a r
esto
son i g u a l e s
C
a)«
aeP
comprobar
extension
/P2'
que p 2 es u n i r r a m i f i c a d o en
C 1 tal que P H c
i m p l i c a que
bastará
to que en toda
C[a]/(P2
de C
Sea P e S p e c
zeP,
= (q x , y , z )
luego
Puesto
C
(C*)
P1
a
P contiene a x z = a ( a + z )
(p 2 ,a) Ç P
Para ver
) es un ideal p r i m o ,
las fibras
son de d i m e n s i ó n
Esto d e t e r m i n a
que
pues
cero
P y en c o n s e -
en C'
que ver que p 1 no es u n i r r a m i f i c a d o
= C [a ] , el p r o b l e m a
P1
[a ] no es un anillo
P
y
que
hay
(p 2
(pz<x)= P
c u e n c i a p 2 es u n i r r a m i f i c a d o
Finalmente
luego
que
entera
= p2
local
para
equivale
en C*
a demostrar
ello b a s t a r á
comprobar
que
que
a
1
a +z n o son i n v e r s i b l e s
sible
una
en C
p
[a]
extensión
en C [a] / pues
P1
ya que z&p^
entera
( a + z)-a=
y C
Como x z e p ^
C
p
x z n o es inversible
xz i m p l i c a que a ó a + z no son
Consideremos
p
en C
P
a(a+z)=
z es m v e r -
[a]
I al
e s
luego
1
inversibles
en C [a]
el B - a u t o m o r f i s m o
c
B[ X Y , Z ]
definido
B[ X , Y, Z]
por a ( X ) = X , C ( Y ) =
-X-Y
0(Z)=Z
3
Se t i e n e
3
Q (YZ(X + Y ) - X ) = Z ( - X - Y ) (X-X-Y)-X = Y Z ( X + Y ) - X 3
luego a induce u n B - a u t o m o r f ismo de B [ x , y , z ] =
de de forma
= a ( c )/a(c 2 )
única
al c u e r p o
si c^,c2eC,
a (a) = a (X^ )
a induce
que
se extien
de c o c i e n t e s de C con a í c ^ / c ^ =
c2 / O
= "
C
U
*Xy
Como
) 2
a su v e z u n a u t o m o r f i s m o
= -(o+z)
de C[ a]
a(P1)=a(qfX,y)=(q,x,x+y)
= P1
Asimismo
-
permite
extenderlo
los
elementos
dos
mente,
lo
a un
a y a+z han
de ser no
termina
la d e m o s t r a c i ó n
Se p u e d e n
obtener
ya
sean
fibras formales
te normales
entonces
Demostración
Sea
cierre
entero
p„C
de
2
p C
no
•
necesarias
para
Z)
Por
la p r o p o s i c i ó n
conmuta
con
en
anterior
(C
(C
2
tiene
(B[X,Y,z]/Q)
es un
)'
P
P
= B[ X, Y Z]
ser B un
cuyas
Si a es un
anillo
Con
Puesto
el i d e a l
Por
factorial
la n o t a c i ó n
en C'
la l o c a l i z a c i ó n
es u n i r r a m i f i c a d o
P2
es u n i r r a m i f i c a d o en
=
cier-
geométricamen-
4
es u n i r r a m i f i c a d o
C
P2
que
factorial
(q,X,Y,Z)
P
A
simultánea-
A = B[X Y Z],
X,Y
P2=p2/Q
ideal
C
inversibles
q=(0)
P2=(q
aplicar
el
a{a)=-(a+z)
en los ideales maximales de B son
Sea qespec B
(2 3),
Como
Sea B un anillo noethenano
GB^-anillo3
es p o s i b l e
condiciones
[a]
-
GB^anillos
(2 4) - Proposición
P
de C
cual
tos c o m p l e t a d o s
2
automorfismo
86
de
que
el
maximal
la m i s m a
razón,
2
)'
S e a P = QE! X Y,z]
2
Se
2
. « A/P
P2/Q
anillo
local
noethenano
íntegro
y
sus
2
fibras
formales
Grothendieck
luego
son g e o m é t r i c a m e n t e
mencional
es p o s i b l e
aplicar
A/P
es u n a
C
en
de e s t e
(2 1) y d e d u c i r
§
el
teorema
de
ch(P)=h(p2/Q)>
2
que
(A/P)'
GD-extensión
ya u t i l i z a d o
al p r i n c i p i o
normales por
(II,
Entonces
4),
el t e o r e m a
implica
que
de M c A d a m
todo
([22], Th
ideal primo
de C
2)
=A/P
2
de
altura
sigue
que
>1
es u n i r r a m i f i c a d o
h(p„C
1
)< 1
P
Spec
q=(0),
B[X,Y,Z]
(C
P2
)
Como p,C
no
1 P2
lo
Pero
2
h (p C
) = h(Pl)
1 p2
1
luego
en
pues
de
lo
= h (p / Q ) = h ( ( q
1
contrario
se t i e n e
una
X,Y)/Q)
cadena
en
es,
se
-
87
-
ß C ( X , Y ) C (q,X,Y)
y
sería
h(pC
) >2
1
P
2
(2 5) - Coro tarro
fibras
formales
mente normales
factorial
en los ideales maximales de B
Si b j x ^
Demostración
se
Sea B q un anillo noethenano
son geométrica
,xnJ es un GB garullo,
Sx n >4, sea B = BQ[ X^
Xr]
cuyas
entonces n< 3
Con q=(X 4 ,
,x )
tiene
*
luego
B
"
A
'V
X
2'*3l
= BqÏX1
es a b s u r d o
X, X 2 X 3 ,
i ¿. J
( q
,X ]
De
- »„!«,
(2 4)
X ,
n
i
se s i g u e
que
q=(0),
lo
cual
•
(2 6) - Corolario
Sea k un cuerpo
k|x„
,x 1 es un
1
GBn-ani-
n
¿
lio si y solo si n <3
Demostración
n <3
n a
Por
el
(II
corolario
3 8), kffx4,
,X 1 es un GB -anillo si
i
precedente,
n
la c o n d i c i ó n
2
n < 3 es
necesa
•
(2 7)
to
Por
- Observaciones
con
casos
(II,
4
1), p e r m i t e
particulares
thenano
anillo
a) La c o n s t r u c c i ó n
de
factorial
(2 3),
puesto
que
(1 4)
con
Para probar
demostrar
En
efectuada
de m a n e r a
concreto
bastaría
no h a r í a
falta
B[X,Y,Z]
una v e r s i ó n
que P / Q
(2 3)
diferente
si B es un
dim B >1 , e n t o n c e s
esto
en
no
algunos
anillo
noe-
es un
GB2~
simplificada
fuese
JUJI
de
unirramificado
en C '
b) Una
demostración
permite
las
definiciones
labras,
de
ciertas
las
lidad
y resultados
por
a anillos
un
perfecto
locales
k
exclusivamente
aunque
utilizados
la t e o r í a
la t e o r í a
que p r o p o r c i o n a
limitados
cuerpo
sustituir
formales
analítica,
(2 6) d i r i g i d a
simplificaciones,
es p o s i b l e
fibras
de
([36], Ch
VIII
de h e c h o
a
en
En p o c a s
pa-
(2 1)
general
los
de k - á l g e b r a s
caso
limitadas
de Z a r i s k i
todos
a este
de
de
Grothendieck
írreducibi-
resultados
utilizados
fínitogeneradas
13 y p a r t i c u l a r m e n t e
sobre
Th
33)
88
Hay q u e
te a
te)
notar
([13],
que
en esta
referencia
7 6 3) se h a l l a
demostrado
el
resultado
implícitamente
correspondien-
(pero no
explícitamen
-
89
-
REFERENCIAS
[1]
S
S
Abhyankar3
of the
23
[2]
coefficient
(1972),
M F
N
[4]
I S
Cohen,
[7]
[8]
[9]
DobbSj
Arch
Wisk
P
Eakin3
P
M
A
[11]
R
Amer
Mass
Prime
Math
Soc
52
of the p r i n c i p a l
Divided
I
J
Algebra
to Commutative
(1969)
Paris
and
(1972)
integral
(1946),
class,
transformation
rings
252-261
R-sequences
Pacific J
Math
Pacific
J
Math
rings,
A
(1970),
a survey
to a w e l l k n o w n
Annalen
177
finite
Proc
Zaks3
Going-down
Nieuw
255-291
converse
A n o t e on
Gilmer3
and g o i n g - d o w n ,
Papiok3
(1978),
The
Eakms
25
Reading
Seidenberg3
rings, Math
Evyatar3
Soc
Introduction
ideals
26
polynomial
[10]
J
353-364
D E
therian
ring,
197-205
(1976),
M
in a p o l y n o m i a l
A
Ideals
DobbSj
67
On the uniqueness
Hermann
Bull
(1967),
D E
Eemzer,
Maodonald3
a certain monoidal
20
W
Commutative Algebra,
Davis3
and
[6]
I G
Bourbaki,
E D
ring
Adisson-Wesley,
dependence,
[5]
Eakin3
310-342
Atiyah3
Algebra,
[3]
P
Amer
(1968)
theorem
Soc
noe-
278-282
dimensional
Math
on
subrings
31
R i n g s of p o l y n o m i a l s ,
of
(1972),
Proc
75-80
Amer
Math
559-562
Multiplicative
ideal
theory, Dekker, New
York
(1972)
[12]
S
Greoo3
Berlin
[13]
A
P
Salmon3
Math
m
m-adic
topologies,
Springer,
(1971)
Grothendieckj
brique
Topics
Ch
IV 2e
24, P a r i s
J
Dieudonnê3
partie
(1965)
Inst
Elements
de G e o m e t r i e
Hautes Etudes
Sei
Algé-
Publ
-
[ 14]
A
Grothend%eck3
Algébrique
[15]
M
Topics
commutative
24, P r o v i d e n c e
[16]
J
E
[ 17]
I
85
(1971)
the h o m o l o g i c a l
t h e o r y of
Regional
modules
Conference
Series
(1975)
Hilbert's
(1978)
Kaplansky3
Berlin
m
-
Elements de Geometrie
rings, A M S
Humphreys3
Monthly
Dieudonné3
I, S p r i n g e r
Höchster3
over
J
90
fourteenth
problem
Amer
Math
341-353
Adjacent prime
ideals
J
Algebra
20
(1 972),
94-97
[18]
[19]
I
Kaplansky3
go P r e s s ,
Chicago
W
Beitrage
Krull3
beraache
[ 20]
Commutative
42
(1937),
K
Langriann3
zur A r i t h m e t i k
Em
Math
Matsumura3
[22]
S
McAdam3
Going
[23]
S
McAdam3
1 - G o i n g down, J
[25]
S
49
[26]
D
Chica-
integritats-
Idealtheorie,
Math
Annalen
Commutative Algebra
down
Beweis
192
(1971),
Benjamin
Duke Math
J
39
London Math
der
New
(1972)
Soc
Hilbert
47-50
York
(1970
633-636
II Ser 8
674-680
McAdam3
(1975)
der
Funktionalanalytischer
H
S
of
745-766
[21]
[24]
kommutativer
Dimensionsbegriff
chen N u l l s t e l l e n s a t z e s
(1974),
The U n i v e r s i t y
(1974)
III Zum
Z
Rings
G o i n g down
and open
extensions,
Can
J
XXVII
111-114
McAdam3
Intersections
of h e i g t h
2 primes,
J
Algebra
(1977) , 31 5-321
Mumford3
Abelian Varieties,
Oxford
Univ
Press
London
(1 974)
[27]
M
Nagata3
Local
rings,
Interscience
Tracts
13, New
York
(1962)
[ 28]
L
J
Ratllff
Jr
3
Going b e t w e e n
saturated
c h a i n s of prime
7
777-787
(1977),
ideals
rings
and
contractions
Rocky Mountain
J
Math
of
- 9 1 -
[ 29]
[ 30]
L
J
Ratliff
Jr
prime
ideals
J
Pure A p p l i e d A l g e b r a
L
Ratliff
Jr
, Chain C o n j e t u r e s
J
ture N o t e s
[ 31 ]
F
[32]
J
16
Soc
[ 33]
A
36
R
Generalized
(1965),
Sallyj
Berlin
quotient
A note on integral
(1972),
condition
12
(1978),
in Ring
for
159-175
Theory,
Lec-
(1978)
rings, Proc
Amer
Math
794-799
closure,
Proc
Amer
Math
93-96
WadsWorth3
domains
Notes on a new chain
647, S p r i n g e r
Riohmans
Soc
3
P a i r s of d o m a i n s w h e r e
are n o e t h e r i a n ,
Trans
Amer
all
Math
intermediate
Soc
195
(1974)
201-211
[ 34]
A
R
WadsWorth,
algebras,
[35]
A
J
Algebra
Zaks 3 D e d e k i n d
polynomials,
[36]
0
Hilbert
Zariski3
Nostrand
Samuel3
New York
(1976)
of
Math
9
finitely
(1971),
,xj
are
rings
of
285-289
Commutative Algebra Vol
(1960)
generated
298-304
s u b r i n g s of k [x 1
Israel J
P
43
subalgebras
II, Van